贵州省凯里学院附中2021-2022学年九年级下学期入学考试数学试卷

贵州省凯里学院附中2021-2022学年九年级下学期入学考试数学试卷
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．（2021七上·宿松期末）2022的相反数是（　　）
A．2022 B．-2022 C． D．
2．（2022九下·凯里开学考）下列运算正确的是（　　）
A．a3 +a3＝a6
B．
C．（
+2）0＝1
D．
3．（2017七下·平谷期末）将直尺和直角三角板按如图方式摆放（∠ACB为直角），已知∠1=30°，则∠2的大小是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．65°
4．（2022九下·凯里开学考）不透明袋子中有除颜色外完全相同的2个黑球和4个白球，从袋中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是（　　）
A．2个白球1个黑球 B．至少有1个白球
C．3个都是白球 D．2个黑球1个白球
5．（2022九下·凯里开学考）一个画家有14个边长为1米的正方体，他在地面上把它们摆成如图所示的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为（　　）平方米.
A．19 B．21 C．33 D．36
6．（2022九下·凯里开学考）若方程 的一个根是-3，则k的值是（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
7．（2016九上·平南期中）将抛物线y=x2﹣4x+3向上平移至顶点落在x轴上，如图所示，则两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021九上·彭水期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D， CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°， ，则 的长度为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2022九下·凯里开学考）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），点B（0，3），点C在坐标轴上，若三角形ABC的面积为6，则符合题意的点C有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2022九下·凯里开学考）如图，已知四边形 是边长为4的正方形，以对角线 为边作正三角形 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则 的长是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（2021九上·遵义月考） 2021年2月25日上午，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告：历经8年艰苦努力，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决.用科学记数法表示9899万人为　 　人.
12．（2022九下·凯里开学考）把多项式 分解因式的结果是　 　.
13．（2022九下·凯里开学考）某校对甲、乙两名跳高运动员的近期跳高成绩进行统计分析，结果如下： ， ， ， ，则这两名运动员中的　 　的成绩更稳定.
14．（2020八下·重庆月考）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝130°，DE⊥AB于点E，则∠BDE＝　 　°
15．（2022九下·凯里开学考）在平面直角坐标系中，点
，
，以原点O为位似中心，把
扩大为原来2倍，则点B的对应点
的坐标是　 　.
16．（2022九下·凯里开学考）不等式组 的解集为　 　.
17．（2021·恩施）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 等于1寸，锯道 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆形木材的直径　 　寸；
18．圆锥的底面半径是1，侧面积是3π，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为　 　．
19．（2021·安徽模拟）已知如图，在 ABO中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，A在x轴上，B在反比例函数 上，则 ABO的面积是　 　
20．（2021九上·滨城期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），该抛物线的部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2； ②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3； ③3a+c＞0； ④当x＜0时，y随x增大而减小；⑤点P（m，n）是抛物线上任意一点，则m（am+b）≤a+b，其中正确的结论是 　 　.（填写序号）
三、解答题（共80分）
21．（2022九下·凯里开学考）
（1）计算：
（2）先化简
，再从-1、0、1中选择合适的x值代入求值.
22．（2022九下·凯里开学考）张老师把微信运动里“好友计步榜”排名前20的好友一天行走的步数做了整理，绘制了如下不完整的统计图表：
组别 频数分组 频率
A x＜6000 0.1
B 6000≤x＜7000 0.5
C 7000≤x＜8000 m
D x≥8000 n
合计 　 1
根据信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；并补全条形统计图；
（2）这20名朋友一天行走步数的中位数落在　 　组；（填组别）
（3）张老师准备随机给排名前4名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率.
23．（2022九下·凯里开学考）如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F.
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若BD＝4
，tan∠FDB＝2，求AE的长.
24．（2022九下·凯里开学考）在全国人民的努力下，中国新冠疫情得到了有效控制，但是仍存在小范围反弹的危险，所以我们仍要严加防控，注意个人防护.某药店销售A 、B两种类型的囗罩，已知销售800包A型口罩和450包B型口罩的利润为2100元，销售400包A型口罩和600包B型口罩的利润为1800元，
（1）求每包A型口罩和B型口罩的利润.
（2）该药店计划一次购进两种型号的口罩2000包，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，设购进A型口罩x包，这2000包口罩的利润为y元.
①求y关于x的函数关系式
②该药店购进A、B型口罩各多少包才能使销售总利润最大？
25．（2022九下·凯里开学考）阅读下面材料，并解答其后的问题：
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.
如图1，四边形ABCD中，若AD=AB，CD=CB，则四边形ABCD是筝形.
类比研究：
我们在学完平行四边形后，知道可以从对称性、边、角和对角线四个角度对平行四边形的性质进行研究，请根据示例图形，完成下表：
四边形 示例图形 对称性 边 角 对角线
平行 四边形 是中心对称图形 两组对边分别平行，两组对边分别相等. 两组对角 分别相等. 对角线互相平分.
筝形 ① 两组邻边分别相等 有一组对角相等 ②
（1）表格中①、②分别填写的内容是：
①　 　；
②　 　.
（2）演绎论证：证明筝形有关对角线的性质.
如图2，已知：在筝形ABCD中，AD＝AB，BC＝DC，AC、BD是对角线.
求证： ▲ .
证明：
（3）运用：如图3，已知筝形ABCD中，AD＝AB＝4，CD＝CB，∠A＝90°，∠C＝60°，求筝形ABCD的面积.
26．（2022九下·凯里开学考）如图，在直角坐标系中，直线 与 轴、 轴的交点分别为 、 ，以 为对称轴的抛物线 与 轴分别交于点 、 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 .设抛物线的对称轴 与 轴交于点 ，连接 ，交 于 ，求出当以 、 、 为顶点的三角形与 相似时点 的坐标；
（3）点 是对称轴上任意一点，在抛物线上是否存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：2022的相反数是-2022；
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，根据相反数的定义计算求解即可。
2．【答案】C
【知识点】零指数幂；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故此选项错误；
B、
，无法计算，故此选项错误；
C、（a2+2）0＝1，正确；
D、
无法化简，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据整式加法的实质就是合并同类项，所谓合并同类项，就是系数相加，字母及字母指数不变，可判断A选项；根据二次根式加法实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式的时候，系数进行相加，根式不变，
与
不是同类二次根式，不能相加，即可判断B选项；根据任意非零数的零次方都为1，可判断C选项；
已经是最简，
化为最简为
，无法进行运算，即无法化简，可判断D选项.
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】先根据两角互余的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．∵∠1+∠3=90°，∠1=30°，
∴∠3=60°．
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠3=60°．
故答案为：C
【分析】根据余角的性质和两直线平行内错角相等求角度即可。
4．【答案】B
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：不透明袋子中有除颜色外完全相同的2个黑球和4个白球，从袋中随机摸出3个球，摸出3个球的可能是：2个黑球1个白球，1个黑球2个白球，3个都是白球，
∴A、C、D不是必然事件，
∵黑球只有两个，
∴摸到的3个球不可能都是黑球，因此至少有一个是白球，B是必然事件.
故答案为：B.
【分析】根据不透明袋子中有出颜色外完全相同的2个黑球和4个白球，从袋中随机摸出3个球，摸出3个球的可能的结果有3种：2个黑球1个白球，1个黑球2个白球，3个都是白球，可知：至少有一个白球，不可能三个球同时为黑球，因此至少有一个白球为必然事件，3个都是黑球为不可能事件，2个白球1个黑球、1个白球2个黑球为随机事件.
5．【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：从下面数第一层露出的侧面有：
（个），
第二层露出的侧面有：
（个），
第三层露出的侧面有：
（个），
第一层的上面露出的面有：
（个），
第二层的上面露出的面有：
（个），
第三层的上面露出的面有：1个，
（个），
∴该几何体露出了33个小正方形，
∵每个小正方形的面积为1平方米，
∴被涂上颜色的总面积为：
，
故答案为：C.
【分析】从下往上，先分别计算出每一层露出侧面的个数，再分别求出每一层上面露出面的个数，然后把各层露出的表面数加起来，即可求出被涂上颜色的总面积.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： 方程 的一个根是-3，
，
，
.
故答案为：B.
【分析】把x=-3代入方程x2+kx-6=0中，得9-3k-6=0，解k即可.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；
∴y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∴PP′=1，
阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，
平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，
∴阴影部分的面积=2．
故选B．
【分析】把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标；根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
∵AB是⊙O的直径，∠A=30°，
∴ ，
∵CD是⊙O的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】连接OD，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠COD=2∠A=60°，由切线的性质可得∠ODC=90°，从而求出∠C=30°，可得，利用等角对等边可得.
9．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积
【解析】【解答】解：分两种情况：
①当C点在y轴上，设C（0，t），
∵三角形ABC的面积为6，
∴ |t﹣3| 2＝6，
解得t＝9或﹣3.
∴C点坐标为（0，﹣3），（0，9），
②当C点在x轴上，设C（m，0），
∵三角形ABC的面积为6，
∴ |m＋2| 3＝6，
解得m＝2或﹣6.
∴C点坐标为（2，0），（﹣6，0），
综上所述，C点有4个，
故答案为：D.
【分析】由点C在坐标轴上，可分为两种情况：①当C点在y轴上，设C（0，t），结合三角形面积公式，可列 |t﹣3| 2＝6，求出t＝9或﹣3；②当C点在x轴上，设C（m，0），结合三角形面积公式，可列 |m＋2| 3＝6，求出m＝2或﹣6，即可求出所偶符合条件的C点.
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，连接EA并延长BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，AB=AD，
∴A在BD垂直平分线上，
∵三角形BDE是等边三角形，
∴∠BED=∠EDB=∠EBD=60°，ED=EB，
∴E在BD的垂直平分线上，
∴AE是BD的垂直平分线，
∴∠DEO= ∠DEB=30°，
∵∠EDB=60°，∠ADB=45°，
∴∠EDA=60°-45°=15°，
∴∠EAF=15°+30°=45°，
∵ ，
∴∠EFA=90°，
∴∠FEA=∠EAF=45°，
∴EF=AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=4，∠BAD=90°，
由勾股定理得：BD= ，即ED=BD= ，
设AF=EF=x，则DF=x+4，
在Rt△EFD中，由勾股定理得：
ED2=EF2+FD2，
∴ ，
解得： （是负数，不符合题意舍去），
即AF= .
故答案为：A.
【分析】如图，连接EA并延长BD于点O，由正方形性质，得∠ADB=45°，AB=AD，即A在BD垂直平分线上，由三角形BDE是等边三角形，得∠BED=∠EDB=∠EBD=60°，ED=EB，即E在BD的垂直平分线上，故AE是BD的垂直平分线，得∠DEO= ∠DEB=30°；再根据∠EDB=60°，∠ADB=45°，得∠EDA=15°，进而得∠EAF=45°，结合EF⊥DA ，得∠FEA=∠EAF=45°，即EF=AF；在Rt△ABD中，由勾股定理求得BD= ，即ED=，再在Rt△EFD中，由勾股定理得，ED2=EF2+FD2，即，解得x即可解决问题.
11．【答案】9.899×107
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：9899万＝98990000＝9.899×107.
故答案为：9.899×107.
【分析】用科学记数法表示一个绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
12．【答案】3x（x+3y）（x-3y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=
= .
故答案为：3x（x+3y）（x-3y）.
【分析】先提取公因式3x，再利用平方差公式进行第二次分解即可.
13．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵S2甲＝0.006，S2乙＝0.0315， ， ，
∴S2甲＜S2乙， ，
∴这两名运动员中甲的成绩更稳定.
故答案为：甲.
【分析】根据方差越小，数据的波动性越低，成绩更稳定，由甲、乙运动员跳高成绩的平均成绩相等，跳高成绩的方差甲小于乙的，说明甲的跳高成绩更稳定，由此可以判断.
14．【答案】25
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴
∵DE⊥AB
∴∠BDE＝90°- =25°
故答案为：25.
【分析】根据菱形的性质得到 ，再根据垂直的定义即可得到∠BDE.
15．【答案】（10，-4）或（-10，4）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△ABO扩大为原来2倍， B（5，-2） ，
∴点B的对应点B'的坐标是
或
，即（10，-4）或（-10，4），
故答案为：（10，-4）或（-10，4）.
【分析】在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），根据性质即可直接得出答案.
16．【答案】-7＜x≤1
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①得，x≤1
由②得，x＞-7
∴不等式组的解集为：-7＜x≤1.
故答案为：-7＜x≤1.
【分析】先分别解出不等式①和不等式②的解集，再根据同大取大，同小取小，大小小大中间找的原则，确定两个不等式的公共解集，即可求出不等式组的解集.
17．【答案】26
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：延长DC，交⊙O于点E，连接OA，如图所示，
由题意得CD⊥AB，点C为AB的中点， 寸， 寸，
∴DE为⊙O的直径，
∴ 寸，
设OA=x寸，则 寸，
∴在Rt△AOC中， ，即 ，
解得： ，
∴圆形木材的直径为26寸；
故答案为26.
【分析】延长DC，交⊙O于点E，连接OA，根据垂径定理可得AC=BC=5，设OA=x寸，则 寸，在Rt△AOC中， 由建立方程，求解即可.
18．【答案】120°
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵侧面积为3π，
∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×1×l=3π，
解得：l=3，
∴扇形面积为3π= ，
解得：n=120，
∴侧面展开图的圆心角是120度．
故答案为：120°．
【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl得出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．
19．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过 点作 于 ，
在反比例函数 上，
，
在 中， ， ，
，
， ，
，
，
，
故答案为 ．
【分析】先求出 ，再求出，最后求解即可。
20．【答案】①②⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2 4ac＞0，即：4ac＜b2，所以①符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（ 1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝ 1，x2＝3，所以②符合题意；
∵x＝ ＝1，即b＝ 2a，
而x＝ 1时，y＝0，即a b＋c＝0，
∴a＋2a＋c＝0，即：3a+c=0所以③不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以④不符合题意；
由图象可知，x＝1时，y＝ax2＋bx＋c取得最大值，
∴am2＋bm＋c≤a＋b＋c．
即m（am＋b）≤a＋b，故⑤符合题意
故答案为①②⑤．
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得出抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），可对②进行判断；由对称轴方程得b＝ 2a，再根据x＝ 1函数值为0可得出3a+c=0所以③不符合题意；根据二次函数的性质对④进行判断；根据函数开口向下，可知y＝ax2＋bx＋c取得最大值，对⑤进行判断。
21．【答案】（1）解：原式＝
（2）解：原式＝
∵x≠－1，x≠1，∴x＝0，当x＝0时，原式＝ .
【知识点】实数的运算；分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数的值，同时算出乘方、非零数的零次幂和负整数指数幂，再把所得结果进行加减运算即可；
（2）根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再根据分母不为零，从-1、0、1中选择满足分母不为零的值代入最简分式即可求解.
22．【答案】（1）解：0.3；0.1；
条形统计图如图，
（2）B
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中甲、乙被同时点赞的结果数为2，
∴P（甲、乙被同时点赞）＝ ＝ .
【知识点】频数（率）分布直方图；列表法与树状图法；中位数
【解析】【解答】解：（1）2÷0.1＝20，
m＝
＝0.3，n＝
＝0.1；
故答案为：0.3，0.1；
（2）这20名朋友一天行走步数的中位数落在B组；
故答案为：B；
【分析】（1）由频数分布表和频数分布直方图可知：A组的频率为0.1，频数为2；C组的频数为6，频率为m；D组的频数为2，频率为n；将A组数据代入公式：频率=频数÷总数，可求出总数为20，再利用频率公式，代入C、D组的频数可求出m、n值，即可补全频数分布直方图；
（2）中位数是将一组数据按从小到大排列后最中间的数，一共有20个步数，按步数由少到多排列，最中间的步数是6000≤x＜7000这一分组，即在B组内，依次可以判断；
（3）此题是抽取不放回类型，画出树状图，由图可知：共有12中等可能结果，然后找出甲、乙被同时点赞的结果数，再根据概率=频数÷总数，代入数据计算即可.
23．【答案】（1）证明：如图，连接OD
则OB=OD
∴∠ABD=∠BDO
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠FBD
∴∠CBD=∠BDO
∴OD∥BF
∵EF⊥BC
∴OD⊥EF
∴EF为⊙O的切线
（2）解：如图，连接AD、OD
∵在Rt△BFD中，
∴BF=2DF
∴
∴
即
∵
∴
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90°
由（1）知，EF为⊙O的切线
∴∠ODE=90°
∴∠EDA+∠ADO=∠ADO+∠BDO=90°
∴ ∠EDA=∠BDO
∵∠ABD=∠BDO
∴∠EDA=∠ABD
∵∠E=∠E
∴△EAD∽△EDB
∴
∴AE= DE，DE= BE
∴AE= BE，即BE=4AE
∵AB=BE-AE=3AE
∴
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，由OB=OD得∠ABD=∠BDO，再根据角平分线的性质得∠ABD=∠FBD，即可推出∠CBD=∠BDO，可推出OD∥BF，结合EF⊥BC，可推得OD⊥EF，即可证明EF为⊙O的切线；
（2） 连接AD、OD，根据等角的锐角三角函数相等，即tan∠ABD=tan∠FBD=
，得
，进而求得AD=
，在Rt△ABD中，由勾股定理求得AB=10；由（1）可知EF为圆切线，根据等角的余角相等可列∠EDA+∠ADO=∠ADO+∠BDO=90°，得∠EDA=∠BDO，进而推出∠EDA=∠ABD，易证出△EAD∽△EDB ，利用相似三角形性质得
，得BE=4AE，再由AB=BE-AE=3AE，最后代入数据计算即可.
24．【答案】（1）解：设A型口罩每包的利润为x元，B型口罩每包的利润为y元 ，B型口罩的进货量为（ ）只
由题意得：
解得
答：每包A型口罩和B型口罩的利润分别为1.5元，2元.
（2）解：①B型口罩的进货量为（ ）只，
∴ ，
整理得 （ ）
②由题意得B型口罩的进货量为（ ）只，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
由 可知 随 的增大而减小，
∴当 =500时，2000-500=1500时， 有最大值为，
=3750，
答：购进A、B型口罩各3750包才能使销售总利润最大
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型口罩每包的利润为x元，B型口罩每包的利润为y元 ，由“销售800包A型口罩和450包B型口罩的利润为2100元，销售400包A型口罩和600包B型口罩的利润为1800元”可列出方程组，解方程组求得x、y即可；
（2）①设B型口罩的进货量为（2000-x）包，根据“总利润=单件利润×数量”，结合（1）中两种口罩一包的利润，分别求出A、B型号口罩的利润，再相加整理即可列出函数关系式；②根据“该药店计划一次购进两种型号的口罩2000包，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍”可列不等式求得x的取值范围，再根据①中求得的一次函数关系式，利用一次函数的性质求出最大值即可解决问题.
25．【答案】（1）轴对称图形；一条对角线垂直平分另一条对角线
（2）解： 垂直平分 ；证明：如图2，
在 与 中，
，
，
∴AC平分∠DAB，
又∵AD＝AB，
， ，
即 垂直平分 ；
（3）解：如图，连接AC，BD， 与 交于点 .
∵AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，
∴ ，
∵CD＝CB，∠DCB＝60°，
∴ 是等边三角形，
∴CD＝CB＝BD＝ ，
， ，
∴由（2）知： ， ，
∴在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：（1）根据轴对称图形的定义及其性质可知：筝形是轴对称图形；它的一条对角线垂直平分另一条对角线；
故答案为：轴对称图形；一条对角线垂直平分另一条对角线；
【分析】（1）根据轴对称图形的定义及其性质可知：筝形是轴对称图形；它的一条对角线垂直平分另一条对角线；
（2）AC垂直平分BD； 由“SSS”定理可证△ADC≌△ABC，得∠DAC=∠BAC，推出AC平分∠DAB，结合筝形定义可知AD=AB，进而得出OD=OB，AO⊥BD，即可证明；
（3）连接AC，BD，AC与BD交于点O，根据，分别求出△ADC和△ABC的面积即可；在Rt△DAB中，利用勾股定理得BD=
，再由∠C=60°，易证明△CBD是等边三角形，进而得CD＝CB＝BD＝
，由AD=AB，结合（2）结论AC垂直平分BD可得OD=OB=
BD=
，AC⊥BD，再利用勾股定理分别求出OC=
，OA=
，进而求得AC=
+
，再利用三角形面积公式求出ADC和△ABC的面积，代入
，即可求出四边形ABCD的面积.
26．【答案】（1）解：∵直线 与x轴交点为A，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴点C的坐标为（1，0），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，
∴抛物线为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3
（2）解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，0），
①当∠ADE＝90°时，△ADE∽△AOB.此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，坐标为（﹣1，4）；
②当∠AED＝90°时，△AED∽△AOB.
过点P作PG⊥AC于点G，则△AED∽△PGD.
于是 ，
∴PG＝3GD.
即：﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），
解得t1＝﹣2，t2＝3（不合题意，舍去）.
当t＝﹣2时，﹣22+2×2+3＝3，
所以此时点P的坐标为（﹣2，3）.
综上所述，点P的坐标是（﹣1，4）或（﹣2，3）；
（3）解：存在，点N的坐标分别是：N1（2，﹣5），N2（﹣4，﹣5），N3（﹣2，3）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；相似三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）点N的坐标为：以线段AB为边时，N1（2，﹣5），N2（﹣4，﹣5），
以线段AB为对角线时，N3（﹣2，3）.
综上所述，点N的坐标分别是：N1（2，﹣5），N2（﹣4，﹣5），N3（﹣2，3）.
【分析】（1）根据直线方程易求点A的坐标，由抛物线的对称性可以求得点C的坐标，然后写出抛物线的交点式方程即可；
（2）需要分类讨论：①当∠ADE＝90°时，△ADE∽△AOB．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，坐标为（ 1，4）；
②当∠AED＝90°时，△AED∽△AOB．过点P作PG⊥AC于点G，则△AED∽△CGD．根据相似三角形的对应边成比例列出关于t的一元二次方程： t2＋2t＋3＝3（ 1 t），通过解该方程求得t的值；
（3）根据以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分类讨论进行：①以AB为边时，点A与点N或点B与点N为对应顶点，再根据平行四边形性质，对角线互相平分，利用中点坐标公式即可求出符合条件的N坐标；②以AB为对角线时，点A与点B对应顶点，M和N为对应顶点，再根据平行四边形性质，对角线互相平分，利用中点坐标公式即可求出符合条件的N坐标，即可求解.
1 / 1贵州省凯里学院附中2021-2022学年九年级下学期入学考试数学试卷
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．（2021七上·宿松期末）2022的相反数是（　　）
A．2022 B．-2022 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：2022的相反数是-2022；
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，根据相反数的定义计算求解即可。
2．（2022九下·凯里开学考）下列运算正确的是（　　）
A．a3 +a3＝a6
B．
C．（
+2）0＝1
D．
【答案】C
【知识点】零指数幂；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故此选项错误；
B、
，无法计算，故此选项错误；
C、（a2+2）0＝1，正确；
D、
无法化简，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据整式加法的实质就是合并同类项，所谓合并同类项，就是系数相加，字母及字母指数不变，可判断A选项；根据二次根式加法实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式的时候，系数进行相加，根式不变，
与
不是同类二次根式，不能相加，即可判断B选项；根据任意非零数的零次方都为1，可判断C选项；
已经是最简，
化为最简为
，无法进行运算，即无法化简，可判断D选项.
3．（2017七下·平谷期末）将直尺和直角三角板按如图方式摆放（∠ACB为直角），已知∠1=30°，则∠2的大小是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．65°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】先根据两角互余的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．∵∠1+∠3=90°，∠1=30°，
∴∠3=60°．
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠3=60°．
故答案为：C
【分析】根据余角的性质和两直线平行内错角相等求角度即可。
4．（2022九下·凯里开学考）不透明袋子中有除颜色外完全相同的2个黑球和4个白球，从袋中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是（　　）
A．2个白球1个黑球 B．至少有1个白球
C．3个都是白球 D．2个黑球1个白球
【答案】B
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：不透明袋子中有除颜色外完全相同的2个黑球和4个白球，从袋中随机摸出3个球，摸出3个球的可能是：2个黑球1个白球，1个黑球2个白球，3个都是白球，
∴A、C、D不是必然事件，
∵黑球只有两个，
∴摸到的3个球不可能都是黑球，因此至少有一个是白球，B是必然事件.
故答案为：B.
【分析】根据不透明袋子中有出颜色外完全相同的2个黑球和4个白球，从袋中随机摸出3个球，摸出3个球的可能的结果有3种：2个黑球1个白球，1个黑球2个白球，3个都是白球，可知：至少有一个白球，不可能三个球同时为黑球，因此至少有一个白球为必然事件，3个都是黑球为不可能事件，2个白球1个黑球、1个白球2个黑球为随机事件.
5．（2022九下·凯里开学考）一个画家有14个边长为1米的正方体，他在地面上把它们摆成如图所示的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为（　　）平方米.
A．19 B．21 C．33 D．36
【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：从下面数第一层露出的侧面有：
（个），
第二层露出的侧面有：
（个），
第三层露出的侧面有：
（个），
第一层的上面露出的面有：
（个），
第二层的上面露出的面有：
（个），
第三层的上面露出的面有：1个，
（个），
∴该几何体露出了33个小正方形，
∵每个小正方形的面积为1平方米，
∴被涂上颜色的总面积为：
，
故答案为：C.
【分析】从下往上，先分别计算出每一层露出侧面的个数，再分别求出每一层上面露出面的个数，然后把各层露出的表面数加起来，即可求出被涂上颜色的总面积.
6．（2022九下·凯里开学考）若方程 的一个根是-3，则k的值是（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： 方程 的一个根是-3，
，
，
.
故答案为：B.
【分析】把x=-3代入方程x2+kx-6=0中，得9-3k-6=0，解k即可.
7．（2016九上·平南期中）将抛物线y=x2﹣4x+3向上平移至顶点落在x轴上，如图所示，则两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；
∴y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∴PP′=1，
阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，
平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，
∴阴影部分的面积=2．
故选B．
【分析】把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标；根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．
8．（2021九上·彭水期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D， CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°， ，则 的长度为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
∵AB是⊙O的直径，∠A=30°，
∴ ，
∵CD是⊙O的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】连接OD，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠COD=2∠A=60°，由切线的性质可得∠ODC=90°，从而求出∠C=30°，可得，利用等角对等边可得.
9．（2022九下·凯里开学考）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），点B（0，3），点C在坐标轴上，若三角形ABC的面积为6，则符合题意的点C有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积
【解析】【解答】解：分两种情况：
①当C点在y轴上，设C（0，t），
∵三角形ABC的面积为6，
∴ |t﹣3| 2＝6，
解得t＝9或﹣3.
∴C点坐标为（0，﹣3），（0，9），
②当C点在x轴上，设C（m，0），
∵三角形ABC的面积为6，
∴ |m＋2| 3＝6，
解得m＝2或﹣6.
∴C点坐标为（2，0），（﹣6，0），
综上所述，C点有4个，
故答案为：D.
【分析】由点C在坐标轴上，可分为两种情况：①当C点在y轴上，设C（0，t），结合三角形面积公式，可列 |t﹣3| 2＝6，求出t＝9或﹣3；②当C点在x轴上，设C（m，0），结合三角形面积公式，可列 |m＋2| 3＝6，求出m＝2或﹣6，即可求出所偶符合条件的C点.
10．（2022九下·凯里开学考）如图，已知四边形 是边长为4的正方形，以对角线 为边作正三角形 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则 的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，连接EA并延长BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，AB=AD，
∴A在BD垂直平分线上，
∵三角形BDE是等边三角形，
∴∠BED=∠EDB=∠EBD=60°，ED=EB，
∴E在BD的垂直平分线上，
∴AE是BD的垂直平分线，
∴∠DEO= ∠DEB=30°，
∵∠EDB=60°，∠ADB=45°，
∴∠EDA=60°-45°=15°，
∴∠EAF=15°+30°=45°，
∵ ，
∴∠EFA=90°，
∴∠FEA=∠EAF=45°，
∴EF=AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=4，∠BAD=90°，
由勾股定理得：BD= ，即ED=BD= ，
设AF=EF=x，则DF=x+4，
在Rt△EFD中，由勾股定理得：
ED2=EF2+FD2，
∴ ，
解得： （是负数，不符合题意舍去），
即AF= .
故答案为：A.
【分析】如图，连接EA并延长BD于点O，由正方形性质，得∠ADB=45°，AB=AD，即A在BD垂直平分线上，由三角形BDE是等边三角形，得∠BED=∠EDB=∠EBD=60°，ED=EB，即E在BD的垂直平分线上，故AE是BD的垂直平分线，得∠DEO= ∠DEB=30°；再根据∠EDB=60°，∠ADB=45°，得∠EDA=15°，进而得∠EAF=45°，结合EF⊥DA ，得∠FEA=∠EAF=45°，即EF=AF；在Rt△ABD中，由勾股定理求得BD= ，即ED=，再在Rt△EFD中，由勾股定理得，ED2=EF2+FD2，即，解得x即可解决问题.
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（2021九上·遵义月考） 2021年2月25日上午，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告：历经8年艰苦努力，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决.用科学记数法表示9899万人为　 　人.
【答案】9.899×107
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：9899万＝98990000＝9.899×107.
故答案为：9.899×107.
【分析】用科学记数法表示一个绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
12．（2022九下·凯里开学考）把多项式 分解因式的结果是　 　.
【答案】3x（x+3y）（x-3y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=
= .
故答案为：3x（x+3y）（x-3y）.
【分析】先提取公因式3x，再利用平方差公式进行第二次分解即可.
13．（2022九下·凯里开学考）某校对甲、乙两名跳高运动员的近期跳高成绩进行统计分析，结果如下： ， ， ， ，则这两名运动员中的　 　的成绩更稳定.
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵S2甲＝0.006，S2乙＝0.0315， ， ，
∴S2甲＜S2乙， ，
∴这两名运动员中甲的成绩更稳定.
故答案为：甲.
【分析】根据方差越小，数据的波动性越低，成绩更稳定，由甲、乙运动员跳高成绩的平均成绩相等，跳高成绩的方差甲小于乙的，说明甲的跳高成绩更稳定，由此可以判断.
14．（2020八下·重庆月考）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝130°，DE⊥AB于点E，则∠BDE＝　 　°
【答案】25
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴
∵DE⊥AB
∴∠BDE＝90°- =25°
故答案为：25.
【分析】根据菱形的性质得到 ，再根据垂直的定义即可得到∠BDE.
15．（2022九下·凯里开学考）在平面直角坐标系中，点
，
，以原点O为位似中心，把
扩大为原来2倍，则点B的对应点
的坐标是　 　.
【答案】（10，-4）或（-10，4）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△ABO扩大为原来2倍， B（5，-2） ，
∴点B的对应点B'的坐标是
或
，即（10，-4）或（-10，4），
故答案为：（10，-4）或（-10，4）.
【分析】在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），根据性质即可直接得出答案.
16．（2022九下·凯里开学考）不等式组 的解集为　 　.
【答案】-7＜x≤1
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①得，x≤1
由②得，x＞-7
∴不等式组的解集为：-7＜x≤1.
故答案为：-7＜x≤1.
【分析】先分别解出不等式①和不等式②的解集，再根据同大取大，同小取小，大小小大中间找的原则，确定两个不等式的公共解集，即可求出不等式组的解集.
17．（2021·恩施）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 等于1寸，锯道 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆形木材的直径　 　寸；
【答案】26
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：延长DC，交⊙O于点E，连接OA，如图所示，
由题意得CD⊥AB，点C为AB的中点， 寸， 寸，
∴DE为⊙O的直径，
∴ 寸，
设OA=x寸，则 寸，
∴在Rt△AOC中， ，即 ，
解得： ，
∴圆形木材的直径为26寸；
故答案为26.
【分析】延长DC，交⊙O于点E，连接OA，根据垂径定理可得AC=BC=5，设OA=x寸，则 寸，在Rt△AOC中， 由建立方程，求解即可.
18．圆锥的底面半径是1，侧面积是3π，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为　 　．
【答案】120°
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵侧面积为3π，
∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×1×l=3π，
解得：l=3，
∴扇形面积为3π= ，
解得：n=120，
∴侧面展开图的圆心角是120度．
故答案为：120°．
【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl得出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．
19．（2021·安徽模拟）已知如图，在 ABO中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，A在x轴上，B在反比例函数 上，则 ABO的面积是　 　
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过 点作 于 ，
在反比例函数 上，
，
在 中， ， ，
，
， ，
，
，
，
故答案为 ．
【分析】先求出 ，再求出，最后求解即可。
20．（2021九上·滨城期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），该抛物线的部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2； ②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3； ③3a+c＞0； ④当x＜0时，y随x增大而减小；⑤点P（m，n）是抛物线上任意一点，则m（am+b）≤a+b，其中正确的结论是 　 　.（填写序号）
【答案】①②⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2 4ac＞0，即：4ac＜b2，所以①符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（ 1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝ 1，x2＝3，所以②符合题意；
∵x＝ ＝1，即b＝ 2a，
而x＝ 1时，y＝0，即a b＋c＝0，
∴a＋2a＋c＝0，即：3a+c=0所以③不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以④不符合题意；
由图象可知，x＝1时，y＝ax2＋bx＋c取得最大值，
∴am2＋bm＋c≤a＋b＋c．
即m（am＋b）≤a＋b，故⑤符合题意
故答案为①②⑤．
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得出抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），可对②进行判断；由对称轴方程得b＝ 2a，再根据x＝ 1函数值为0可得出3a+c=0所以③不符合题意；根据二次函数的性质对④进行判断；根据函数开口向下，可知y＝ax2＋bx＋c取得最大值，对⑤进行判断。
三、解答题（共80分）
21．（2022九下·凯里开学考）
（1）计算：
（2）先化简
，再从-1、0、1中选择合适的x值代入求值.
【答案】（1）解：原式＝
（2）解：原式＝
∵x≠－1，x≠1，∴x＝0，当x＝0时，原式＝ .
【知识点】实数的运算；分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数的值，同时算出乘方、非零数的零次幂和负整数指数幂，再把所得结果进行加减运算即可；
（2）根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再根据分母不为零，从-1、0、1中选择满足分母不为零的值代入最简分式即可求解.
22．（2022九下·凯里开学考）张老师把微信运动里“好友计步榜”排名前20的好友一天行走的步数做了整理，绘制了如下不完整的统计图表：
组别 频数分组 频率
A x＜6000 0.1
B 6000≤x＜7000 0.5
C 7000≤x＜8000 m
D x≥8000 n
合计 　 1
根据信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；并补全条形统计图；
（2）这20名朋友一天行走步数的中位数落在　 　组；（填组别）
（3）张老师准备随机给排名前4名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率.
【答案】（1）解：0.3；0.1；
条形统计图如图，
（2）B
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中甲、乙被同时点赞的结果数为2，
∴P（甲、乙被同时点赞）＝ ＝ .
【知识点】频数（率）分布直方图；列表法与树状图法；中位数
【解析】【解答】解：（1）2÷0.1＝20，
m＝
＝0.3，n＝
＝0.1；
故答案为：0.3，0.1；
（2）这20名朋友一天行走步数的中位数落在B组；
故答案为：B；
【分析】（1）由频数分布表和频数分布直方图可知：A组的频率为0.1，频数为2；C组的频数为6，频率为m；D组的频数为2，频率为n；将A组数据代入公式：频率=频数÷总数，可求出总数为20，再利用频率公式，代入C、D组的频数可求出m、n值，即可补全频数分布直方图；
（2）中位数是将一组数据按从小到大排列后最中间的数，一共有20个步数，按步数由少到多排列，最中间的步数是6000≤x＜7000这一分组，即在B组内，依次可以判断；
（3）此题是抽取不放回类型，画出树状图，由图可知：共有12中等可能结果，然后找出甲、乙被同时点赞的结果数，再根据概率=频数÷总数，代入数据计算即可.
23．（2022九下·凯里开学考）如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F.
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若BD＝4
，tan∠FDB＝2，求AE的长.
【答案】（1）证明：如图，连接OD
则OB=OD
∴∠ABD=∠BDO
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠FBD
∴∠CBD=∠BDO
∴OD∥BF
∵EF⊥BC
∴OD⊥EF
∴EF为⊙O的切线
（2）解：如图，连接AD、OD
∵在Rt△BFD中，
∴BF=2DF
∴
∴
即
∵
∴
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90°
由（1）知，EF为⊙O的切线
∴∠ODE=90°
∴∠EDA+∠ADO=∠ADO+∠BDO=90°
∴ ∠EDA=∠BDO
∵∠ABD=∠BDO
∴∠EDA=∠ABD
∵∠E=∠E
∴△EAD∽△EDB
∴
∴AE= DE，DE= BE
∴AE= BE，即BE=4AE
∵AB=BE-AE=3AE
∴
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，由OB=OD得∠ABD=∠BDO，再根据角平分线的性质得∠ABD=∠FBD，即可推出∠CBD=∠BDO，可推出OD∥BF，结合EF⊥BC，可推得OD⊥EF，即可证明EF为⊙O的切线；
（2） 连接AD、OD，根据等角的锐角三角函数相等，即tan∠ABD=tan∠FBD=
，得
，进而求得AD=
，在Rt△ABD中，由勾股定理求得AB=10；由（1）可知EF为圆切线，根据等角的余角相等可列∠EDA+∠ADO=∠ADO+∠BDO=90°，得∠EDA=∠BDO，进而推出∠EDA=∠ABD，易证出△EAD∽△EDB ，利用相似三角形性质得
，得BE=4AE，再由AB=BE-AE=3AE，最后代入数据计算即可.
24．（2022九下·凯里开学考）在全国人民的努力下，中国新冠疫情得到了有效控制，但是仍存在小范围反弹的危险，所以我们仍要严加防控，注意个人防护.某药店销售A 、B两种类型的囗罩，已知销售800包A型口罩和450包B型口罩的利润为2100元，销售400包A型口罩和600包B型口罩的利润为1800元，
（1）求每包A型口罩和B型口罩的利润.
（2）该药店计划一次购进两种型号的口罩2000包，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，设购进A型口罩x包，这2000包口罩的利润为y元.
①求y关于x的函数关系式
②该药店购进A、B型口罩各多少包才能使销售总利润最大？
【答案】（1）解：设A型口罩每包的利润为x元，B型口罩每包的利润为y元 ，B型口罩的进货量为（ ）只
由题意得：
解得
答：每包A型口罩和B型口罩的利润分别为1.5元，2元.
（2）解：①B型口罩的进货量为（ ）只，
∴ ，
整理得 （ ）
②由题意得B型口罩的进货量为（ ）只，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
由 可知 随 的增大而减小，
∴当 =500时，2000-500=1500时， 有最大值为，
=3750，
答：购进A、B型口罩各3750包才能使销售总利润最大
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型口罩每包的利润为x元，B型口罩每包的利润为y元 ，由“销售800包A型口罩和450包B型口罩的利润为2100元，销售400包A型口罩和600包B型口罩的利润为1800元”可列出方程组，解方程组求得x、y即可；
（2）①设B型口罩的进货量为（2000-x）包，根据“总利润=单件利润×数量”，结合（1）中两种口罩一包的利润，分别求出A、B型号口罩的利润，再相加整理即可列出函数关系式；②根据“该药店计划一次购进两种型号的口罩2000包，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍”可列不等式求得x的取值范围，再根据①中求得的一次函数关系式，利用一次函数的性质求出最大值即可解决问题.
25．（2022九下·凯里开学考）阅读下面材料，并解答其后的问题：
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.
如图1，四边形ABCD中，若AD=AB，CD=CB，则四边形ABCD是筝形.
类比研究：
我们在学完平行四边形后，知道可以从对称性、边、角和对角线四个角度对平行四边形的性质进行研究，请根据示例图形，完成下表：
四边形 示例图形 对称性 边 角 对角线
平行 四边形 是中心对称图形 两组对边分别平行，两组对边分别相等. 两组对角 分别相等. 对角线互相平分.
筝形 ① 两组邻边分别相等 有一组对角相等 ②
（1）表格中①、②分别填写的内容是：
①　 　；
②　 　.
（2）演绎论证：证明筝形有关对角线的性质.
如图2，已知：在筝形ABCD中，AD＝AB，BC＝DC，AC、BD是对角线.
求证： ▲ .
证明：
（3）运用：如图3，已知筝形ABCD中，AD＝AB＝4，CD＝CB，∠A＝90°，∠C＝60°，求筝形ABCD的面积.
【答案】（1）轴对称图形；一条对角线垂直平分另一条对角线
（2）解： 垂直平分 ；证明：如图2，
在 与 中，
，
，
∴AC平分∠DAB，
又∵AD＝AB，
， ，
即 垂直平分 ；
（3）解：如图，连接AC，BD， 与 交于点 .
∵AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，
∴ ，
∵CD＝CB，∠DCB＝60°，
∴ 是等边三角形，
∴CD＝CB＝BD＝ ，
， ，
∴由（2）知： ， ，
∴在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：（1）根据轴对称图形的定义及其性质可知：筝形是轴对称图形；它的一条对角线垂直平分另一条对角线；
故答案为：轴对称图形；一条对角线垂直平分另一条对角线；
【分析】（1）根据轴对称图形的定义及其性质可知：筝形是轴对称图形；它的一条对角线垂直平分另一条对角线；
（2）AC垂直平分BD； 由“SSS”定理可证△ADC≌△ABC，得∠DAC=∠BAC，推出AC平分∠DAB，结合筝形定义可知AD=AB，进而得出OD=OB，AO⊥BD，即可证明；
（3）连接AC，BD，AC与BD交于点O，根据，分别求出△ADC和△ABC的面积即可；在Rt△DAB中，利用勾股定理得BD=
，再由∠C=60°，易证明△CBD是等边三角形，进而得CD＝CB＝BD＝
，由AD=AB，结合（2）结论AC垂直平分BD可得OD=OB=
BD=
，AC⊥BD，再利用勾股定理分别求出OC=
，OA=
，进而求得AC=
+
，再利用三角形面积公式求出ADC和△ABC的面积，代入
，即可求出四边形ABCD的面积.
26．（2022九下·凯里开学考）如图，在直角坐标系中，直线 与 轴、 轴的交点分别为 、 ，以 为对称轴的抛物线 与 轴分别交于点 、 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 .设抛物线的对称轴 与 轴交于点 ，连接 ，交 于 ，求出当以 、 、 为顶点的三角形与 相似时点 的坐标；
（3）点 是对称轴上任意一点，在抛物线上是否存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：∵直线 与x轴交点为A，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴点C的坐标为（1，0），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，
∴抛物线为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3
（2）解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，0），
①当∠ADE＝90°时，△ADE∽△AOB.此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，坐标为（﹣1，4）；
②当∠AED＝90°时，△AED∽△AOB.
过点P作PG⊥AC于点G，则△AED∽△PGD.
于是 ，
∴PG＝3GD.
即：﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），
解得t1＝﹣2，t2＝3（不合题意，舍去）.
当t＝﹣2时，﹣22+2×2+3＝3，
所以此时点P的坐标为（﹣2，3）.
综上所述，点P的坐标是（﹣1，4）或（﹣2，3）；
（3）解：存在，点N的坐标分别是：N1（2，﹣5），N2（﹣4，﹣5），N3（﹣2，3）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；相似三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）点N的坐标为：以线段AB为边时，N1（2，﹣5），N2（﹣4，﹣5），
以线段AB为对角线时，N3（﹣2，3）.
综上所述，点N的坐标分别是：N1（2，﹣5），N2（﹣4，﹣5），N3（﹣2，3）.
【分析】（1）根据直线方程易求点A的坐标，由抛物线的对称性可以求得点C的坐标，然后写出抛物线的交点式方程即可；
（2）需要分类讨论：①当∠ADE＝90°时，△ADE∽△AOB．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，坐标为（ 1，4）；
②当∠AED＝90°时，△AED∽△AOB．过点P作PG⊥AC于点G，则△AED∽△CGD．根据相似三角形的对应边成比例列出关于t的一元二次方程： t2＋2t＋3＝3（ 1 t），通过解该方程求得t的值；
（3）根据以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分类讨论进行：①以AB为边时，点A与点N或点B与点N为对应顶点，再根据平行四边形性质，对角线互相平分，利用中点坐标公式即可求出符合条件的N坐标；②以AB为对角线时，点A与点B对应顶点，M和N为对应顶点，再根据平行四边形性质，对角线互相平分，利用中点坐标公式即可求出符合条件的N坐标，即可求解.
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