2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.2离散型随机变量及其分布列课件（30张ppt）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.2离散型随机变量及其分布列课件（30张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 658.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-11 18:20:55 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
7.2 离散型随机变量及其分布列
1. 试验与随机试验
凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验.
（1）试验可以在相同的情形下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
我们就称这样的试验是一个随机试验.
一个试验如果满足下述条件：
试验：
随机试验：
求随机事件的概率时，我们往往需要为随机试验建立样本空间，并会涉及样本点和随机事件的表示问题.类似函数在数集与数集之间建立对应关系，如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应，将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便，而且能更好地利用数学工具研究随机试验.
有些随机试验的样本点与数值有关系，我们可以直接与实数建立对应关系. 例如，掷一枚骰子，用实数m(m＝1, 2, 3, 4, 5, 6)表示“掷出的点数为m”; 又如，掷两枚骰子，样本空间为Ω＝{(x, y)|x, y=1, 2, , 6}，用x+y表示“两枚骰子的点数之和”，样本点(x, y)就与实数x+y对应.
有些随机试验的样本点与数值没有直接关系，我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值. 例如，随机抽取一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果，它们与数值无关. 如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定义
那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系.
类似地，掷一枚硬币，可将试验结果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示；随机调查学生的体育综合测试成绩，可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5, 4, 3, 2, 1；等等.
对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应. 即通过引人一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化. 因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性.
探究 考察下列随机试验及其引入的变量:
试验1: 从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数；
试验2: 抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的拋掷次数.
这两个随机试验的样本空间各是什么 各个样本点与变量的值是如何对应的 变量X, Y有哪些共同的特征
对于试验1，如果用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1组成长度为3的字符串表示样本点，则样本空间Ω1＝{000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}. 各样本点与变量X的值的对应关系如下图所示.
探究 考察下列随机试验及其引入的变量:
试验1: 从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数；
试验2: 抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的拋掷次数.
这两个随机试验的样本空间各是什么 各个样本点与变量的值是如何对应的 变量X, Y有哪些共同的特征
对于试验2，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出现“正面朝上”，则样本空间Ω2＝{h, th, tth, tth, }. Ω2包含无穷多个样本点. 各样本点与变量Y的值的对应关系如下图所示.
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.
2. 随机变量和离散型随机变量
在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应. 变量X，Y有如下共同点:
(1) 取值依赖于样本点；(2) 所有可能取值是明确的.
随机变量：
试验1中随机变量X的可能取值为0, 1, 2, 3, 共有4个值；试验2中随机变量Y的可能取值为1, 2, 3, ， 有无限个取值，但可以一一列举出来.
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量.
离散型随机变量：
通常用大写英文字母表示随机变量，例如X, Y, Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x, y, z.
3. 随机变量与函数的关系
随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集. 随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，这使我们可以比较方便地表示一些随机事件.
现实生活中，离散型随机变量的例子有很多. 例如，某射击运动员射击一次可能命中的环数X，它的可能取值为0, 1, 2, , 10；某网页在24 h内被浏览的次数Y，它的可能取值为0, 1, 2, ；等等.
现实生活中还有大量不是离散型随机变量的例子. 例如，种子含水量的测量误差X1；某品牌电视机的使用寿命X2；测量某一个零件的长度产生的测量误差X3. 这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随机变量. 本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量.
例题 下面给出四个随机变量：
①一高速公路上在1小时内经过某收费站的车辆数X；
②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y；
③某网站1分钟内的访问次数Z；
④1天内的温度K.
其中是离散型随机变量的为( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
C
【说明】判断一个变量是否是离散型随机变量的步骤：
解：
课本60页
2. 下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示 若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.
(1) 抛掷2枚骰子，所得点数之和；
(2) 某足球队在5次点球中射进的球数；
(3) 任意抽取一瓶标有1 500 ml的饮料，其实际含量与规定含量之差.
(1) 点数之和X是离散型随机变量，X的可能取值为2，3， ，12.
{X＝k}表示掷出的点数之和为k.
(2) 进球个数Y是离散型随机变量，Y的可能取值为0，1，2，3，4，5.
{Y＝k}表示射进k个球.
(3) 误差Z不是离散型随机变量.
根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数学工具研究随机试验中的概率问题.
例如，掷一枚质地均匀的骰子，X表示掷出的点数，则事件“掷出m点”可以表示为{X＝m} (m=1, 2, 3, 4, 5, 6)，事件“掷出的点数不大于2”可以表示为{X≤2}，事件“掷出偶数点”可以表示为{X＝2}∪{X＝4}∪{X＝6}，等等.
由掷出各种点数的等可能性，我们还可以得到
这一规律我们还可以用下表来表示.
X 1 2 3 4 5 6
P
随机变量X的概率分布列
4. 随机变量表示随机事件
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ，xn，我们称X取每一个值xi的概率
为X的概率分布列(list of probability distribution)，简称分布列.
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
5. 离散型随机变量的分布列
与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示，还可以用图形表示. 例如，下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图.
根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质:
6. 离散型随机变量的分布列的性质
利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率. 例如，在掷骰子试验中，由概率的加法公式，得事件“掷出的点数不大于2”的概率为
类似地，事件“掷出偶数点”的概率为
根据X的定义，{X＝1}＝“抽到次品”，{X＝0}＝“抽到正品”，X的分布列为
解：
例1 一批产品中次品率为 5%，随机抽取1件，定义
求X的分布列.
用表格表示如下：
X 0 1
P 0.95 0.05
两点分布
7. 两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”， 表示“失败”,定义
如果P(A)＝p，则P( )＝1－p，那么X的分布列如下表所示.
X 0 1
P 1－p p
实际上，X为在一次试验中成功(事件A发生)的次数(0或1). 像购买的彩券是否中奖，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，都可以用两点分布来描述.
我们称X服从两点分布或0 — 1分布.
课本60页
3. 篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分. 已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他一次罚球得分的分布列.
设罚球得分为X，{X＝0}＝“罚球未命中”，{X＝1}＝“罚球命中品”，则X的分布列为
解：
用表格表示如下：
X 0 1
P 0.3 0.7
由题意得，X的可能取值为1, 2, 3, 4, 5，则X的分布列为
解：
例2 某学校高二年级有 200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示.
从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及P(X≥4).
用表格表示如下：
等级 不及格 及格 中等 良 优
分数 1 2 3 4 5
人数 20 50 60 40 30
X 1 2 3 4 5
P
设随机挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0, 1, 2.
根据古典概型的知识，可得X的分布列为
解：
例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台. 如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
用表格表示如下：
X 0 1 2
P
课本60页
4. 抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列.
由题意得，正面向上的次数X的可能取值为
解：
用表格表示如下：
0，1，2.
∴ X的分布列为
由于抛掷一枚硬币2次可能出现的结果有 正正，正反，反正，反反.
X 0 1 2
P
练1 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布列．
随机变量X的可能取值为3, 4, 5，则X的分布列为
解：
巩固训练：1.离散型随机变量分布列
随机变量X的分布列为
2. 离散型随机变量分布列的性质的应用
2. 离散型随机变量分布列的性质的应用
3.两点分布：
由题意知，随机变量X服从两点分布，故X的分布列为
解：
D
C
3. 在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于 的是( )
A. P(X＝2) B. P(X≤2) C. P(X＝4) D. P(X≤4)
C
4. 设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于________．
5.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为_______.
解：由题意知，取出的3个球必有2个旧球，1个新球，故
小结：
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ，xn，我们称X取每一个值xi的概率
为X的概率分布列(list of probability distribution)，简称分布列.
1. 离散型随机变量的分布列
根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质:
2. 离散型随机变量的分布列的性质
7.2 离散型随机变量及其分布列
1. 试验与随机试验
凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验.
（1）试验可以在相同的情形下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
我们就称这样的试验是一个随机试验.
一个试验如果满足下述条件：
试验：
随机试验：
求随机事件的概率时，我们往往需要为随机试验建立样本空间，并会涉及样本点和随机事件的表示问题.类似函数在数集与数集之间建立对应关系，如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应，将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便，而且能更好地利用数学工具研究随机试验.
有些随机试验的样本点与数值有关系，我们可以直接与实数建立对应关系. 例如，掷一枚骰子，用实数m(m＝1, 2, 3, 4, 5, 6)表示“掷出的点数为m”; 又如，掷两枚骰子，样本空间为Ω＝{(x, y)|x, y=1, 2, , 6}，用x+y表示“两枚骰子的点数之和”，样本点(x, y)就与实数x+y对应.
有些随机试验的样本点与数值没有直接关系，我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值. 例如，随机抽取一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果，它们与数值无关. 如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定义
那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系.
类似地，掷一枚硬币，可将试验结果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示；随机调查学生的体育综合测试成绩，可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5, 4, 3, 2, 1；等等.
对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应. 即通过引人一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化. 因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性.
探究 考察下列随机试验及其引入的变量:
试验1: 从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数；
试验2: 抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的拋掷次数.
这两个随机试验的样本空间各是什么 各个样本点与变量的值是如何对应的 变量X, Y有哪些共同的特征
对于试验1，如果用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1组成长度为3的字符串表示样本点，则样本空间Ω1＝{000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}. 各样本点与变量X的值的对应关系如下图所示.
探究 考察下列随机试验及其引入的变量:
试验1: 从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数；
试验2: 抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的拋掷次数.
这两个随机试验的样本空间各是什么 各个样本点与变量的值是如何对应的 变量X, Y有哪些共同的特征
对于试验2，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出现“正面朝上”，则样本空间Ω2＝{h, th, tth, tth, }. Ω2包含无穷多个样本点. 各样本点与变量Y的值的对应关系如下图所示.
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.
2. 随机变量和离散型随机变量
在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应. 变量X，Y有如下共同点:
(1) 取值依赖于样本点；(2) 所有可能取值是明确的.
随机变量：
试验1中随机变量X的可能取值为0, 1, 2, 3, 共有4个值；试验2中随机变量Y的可能取值为1, 2, 3, ， 有无限个取值，但可以一一列举出来.
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量.
离散型随机变量：
通常用大写英文字母表示随机变量，例如X, Y, Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x, y, z.
3. 随机变量与函数的关系
随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集. 随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，这使我们可以比较方便地表示一些随机事件.
现实生活中，离散型随机变量的例子有很多. 例如，某射击运动员射击一次可能命中的环数X，它的可能取值为0, 1, 2, , 10；某网页在24 h内被浏览的次数Y，它的可能取值为0, 1, 2, ；等等.
现实生活中还有大量不是离散型随机变量的例子. 例如，种子含水量的测量误差X1；某品牌电视机的使用寿命X2；测量某一个零件的长度产生的测量误差X3. 这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随机变量. 本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量.
例题 下面给出四个随机变量：
①一高速公路上在1小时内经过某收费站的车辆数X；
②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y；
③某网站1分钟内的访问次数Z；
④1天内的温度K.
其中是离散型随机变量的为( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
C
【说明】判断一个变量是否是离散型随机变量的步骤：
解：
课本60页
2. 下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示 若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.
(1) 抛掷2枚骰子，所得点数之和；
(2) 某足球队在5次点球中射进的球数；
(3) 任意抽取一瓶标有1 500 ml的饮料，其实际含量与规定含量之差.
(1) 点数之和X是离散型随机变量，X的可能取值为2，3， ，12.
{X＝k}表示掷出的点数之和为k.
(2) 进球个数Y是离散型随机变量，Y的可能取值为0，1，2，3，4，5.
{Y＝k}表示射进k个球.
(3) 误差Z不是离散型随机变量.
根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数学工具研究随机试验中的概率问题.
例如，掷一枚质地均匀的骰子，X表示掷出的点数，则事件“掷出m点”可以表示为{X＝m} (m=1, 2, 3, 4, 5, 6)，事件“掷出的点数不大于2”可以表示为{X≤2}，事件“掷出偶数点”可以表示为{X＝2}∪{X＝4}∪{X＝6}，等等.
由掷出各种点数的等可能性，我们还可以得到
这一规律我们还可以用下表来表示.
X 1 2 3 4 5 6
P
随机变量X的概率分布列
4. 随机变量表示随机事件
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ，xn，我们称X取每一个值xi的概率
为X的概率分布列(list of probability distribution)，简称分布列.
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
5. 离散型随机变量的分布列
与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示，还可以用图形表示. 例如，下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图.
根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质:
6. 离散型随机变量的分布列的性质
利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率. 例如，在掷骰子试验中，由概率的加法公式，得事件“掷出的点数不大于2”的概率为
类似地，事件“掷出偶数点”的概率为
根据X的定义，{X＝1}＝“抽到次品”，{X＝0}＝“抽到正品”，X的分布列为
解：
例1 一批产品中次品率为 5%，随机抽取1件，定义
求X的分布列.
用表格表示如下：
X 0 1
P 0.95 0.05
两点分布
7. 两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”， 表示“失败”,定义
如果P(A)＝p，则P( )＝1－p，那么X的分布列如下表所示.
X 0 1
P 1－p p
实际上，X为在一次试验中成功(事件A发生)的次数(0或1). 像购买的彩券是否中奖，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，都可以用两点分布来描述.
我们称X服从两点分布或0 — 1分布.
课本60页
3. 篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分. 已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他一次罚球得分的分布列.
设罚球得分为X，{X＝0}＝“罚球未命中”，{X＝1}＝“罚球命中品”，则X的分布列为
解：
用表格表示如下：
X 0 1
P 0.3 0.7
由题意得，X的可能取值为1, 2, 3, 4, 5，则X的分布列为
解：
例2 某学校高二年级有 200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示.
从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及P(X≥4).
用表格表示如下：
等级 不及格 及格 中等 良 优
分数 1 2 3 4 5
人数 20 50 60 40 30
X 1 2 3 4 5
P
设随机挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0, 1, 2.
根据古典概型的知识，可得X的分布列为
解：
例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台. 如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
用表格表示如下：
X 0 1 2
P
课本60页
4. 抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列.
由题意得，正面向上的次数X的可能取值为
解：
用表格表示如下：
0，1，2.
∴ X的分布列为
由于抛掷一枚硬币2次可能出现的结果有 正正，正反，反正，反反.
X 0 1 2
P
练1 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布列．
随机变量X的可能取值为3, 4, 5，则X的分布列为
解：
巩固训练：1.离散型随机变量分布列
随机变量X的分布列为
2. 离散型随机变量分布列的性质的应用
2. 离散型随机变量分布列的性质的应用
3.两点分布：
由题意知，随机变量X服从两点分布，故X的分布列为
解：
D
C
3. 在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于 的是( )
A. P(X＝2) B. P(X≤2) C. P(X＝4) D. P(X≤4)
C
4. 设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于________．
5.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为_______.
解：由题意知，取出的3个球必有2个旧球，1个新球，故
小结：
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ，xn，我们称X取每一个值xi的概率
为X的概率分布列(list of probability distribution)，简称分布列.
1. 离散型随机变量的分布列
根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质:
2. 离散型随机变量的分布列的性质