2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.4.2超几何分布课件（17张ppt）

(共17张PPT)
7.4.2 超几何分布
1. 复习
(1) 二项分布：
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~B(n，p).
若X~B(n, p)，则有
(2) 二项分布的均值与方差
问题 已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X~B(4, 0.08).
采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，各次抽取的结果不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布.
思考 如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布 如果不服从，那么X的分布列是什么
可以根据古典概型求X的分布列. 由题意可知，X可能的取值为0, 1, 2, 3, 4.
由古典概型的知识，得X的分布列为
超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
2. 超几何分布
其中n, N, M∈N*，M≤N，n≤N，r＝min{n, M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
设X表示选出的5名学生中含甲的人数，则X服从超几何分布，且N＝50，M＝1，n＝5. 因此甲被选中的概率为
例4 从50 名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.
解：
容易发现，每个人被抽到的概率都是 . 这个结论非常直观，上述解答过程就是这一结论的推导过程.
设X表示抽取10个零件中不合格品数，则X服从超几何分布，其分布列为
例5 一批零件共有30个，其中有3个不合格. 随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.
解：
∴至少有1件不合格的概率为
课本80页
1. 一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率.
设抽出的2罐中有奖券的罐数为X，则X服从超几何分布，从而抽取2罐中有奖券的概率为
解：
课本80页
2. 学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班. 假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率.
设选到的4人中甲班同学的人数为X，则X服从超几何分布，从而甲班恰有2人被选到的概率为
解：
若随机变量X服从超几何分布，则有
3. 超几何分布的均值
下面对均值进行证明.
证明：
(1) 对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X~B(20, 0.4)，X的分布列为
例6 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60 个白球，从中随机地摸出20个球作为样本. 用X表示样本中黄球的个数.
(1) 分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
(2) 分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.
解：
对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为
(2)利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到0.00001)，如下表所示.
(2) 分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.
解：
样本中黄球的比例 是一个随机变量，根据表中数据计算得
有放回摸球:
不放回摸球:
因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些.
两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布，虽然这两种分布有相等的均值(都是8)，但从两种分布的概率分布图(如下图)看，超几何分布更集中在均值附近.
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同. 对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似.
解：(1) 设“返奖80元”为事件A，“返奖100元”为事件B，则
故这位顾客返奖不少于80元的概率为
巩固训练1 春节期间，某商场进行促销活动，方案是: 顾客每买满200元可按以下方式摸球兑奖，箱内装有标着数字20, 40, 60, 80, 100的小球各两个，顾客每次抽奖都从这10个小球任取3个，按3个小球中最大数字等额返现金(单位:元)，每个小球被取到的可能性相等.
(1)某位顾客买了268元的商品，求这位顾客返奖不少于80元的概率；
(2)若有三位顾客各买了268元的商品,求至少有两个返奖不少于80元的概率；(3)在(2)的条件下，设返奖不少于80元的人数为X，求X的数学期望与方差.
则至少有两个返奖不少于80元的概率为
解：(2) 由(1)可知，买了268元的商品获得返奖不少于80元的概率为
巩固训练1 春节期间，某商场进行促销活动，方案是: 顾客每买满200元可按以下方式摸球兑奖，箱内装有标着数字20, 40, 60, 80, 100的小球各两个，顾客每次抽奖都从这10个小球任取3个，按3个小球中最大数字等额返现金(单位:元)，每个小球被取到的可能性相等.
(1)某位顾客买了268元的商品，求这位顾客返奖不少于80元的概率；
(2)若有三位顾客各买了268元的商品,求至少有两个返奖不少于80元的概率；(3)在(2)的条件下，设返奖不少于80元的人数为X，求X的数学期望与方差.
解：
巩固训练1 春节期间，某商场进行促销活动，方案是: 顾客每买满200元可按以下方式摸球兑奖，箱内装有标着数字20, 40, 60, 80, 100的小球各两个，顾客每次抽奖都从这10个小球任取3个，按3个小球中最大数字等额返现金(单位:元)，每个小球被取到的可能性相等.
(1)某位顾客买了268元的商品，求这位顾客返奖不少于80元的概率；
(2)若有三位顾客各买了268元的商品,求至少有两个返奖不少于80元的概率；(3)在(2)的条件下，设返奖不少于80元的人数为X，求X的数学期望与方差.
巩固训练2 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.
(1) 求X的分布列与均值；
(2) 求所选3人中至多有1名女生的概率.
解：
(1) 由题意可知，X服从超几何分布，所以X分布列为
所得金额的均值为
(2) 所选3人中至多有1名女生的概率为
小结：
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
1. 超几何分布
若随机变量X服从超几何分布，则有
2. 超几何分布的均值