【课件】第五章-§1 方程解的存在性及方程的近似解 -1.2 利用二分法求方程的近似解 高中数学-北师大版-必修第一册(共27张PPT)

(共27张PPT)
高中数学-北师大版-必修第一册
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.2 利用二分法求方程的近似解
第五章 函数应用
学习目标
1.了解二分法求方程近似解的原理.
2.能借助计算器用二分法求函数零点的近似值.
3.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程根的近似值.
重点：借助计算器用二分法求函数零点的近似值.
难点：二分法求方程近似解的原理.
知识梳理
　　一、满足精确度的近似解的定义
绝大部分方程没有求解公式，而且在许多实际应用中，也不需要求出方程解的精确值，只要解满足一定的精确度就可以了.
设是方程f（x）＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0-|<ε，就称x0是满足精确度ε的近似解.
二、方程近似解的求法（二分法）
对于一般的函数若函数的图象是一条连续的曲线，，则方程在区间内有解（如图所示）.
依照如下方法，可以求出方程f（x）＝0的近似解：
取区间（a，b）的中点，若·f（b）<0，则区间内有方程的解.
再取区间的中点……这样操作下去（如果取到某个区间的中点x0，恰使f（x0）＝0，那么x0就是所求的解；如果区间中点x0的函数值不等于0，且区间某个端点的函数值与f（x0）异号，那么x0与这个端点组成新的区间的端点），
经过有限次操作，就得到一串区间，其端点的函数值符号相反，且每次操作都使区间长度减小二分之一.随着操作次数的增加，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程f（x）＝0的解，从而得到近似解.
像这样，对于一般的函数y＝f（x），x∈［a，b］，若函数y＝f（x）的图象是一条连续的曲线，f（a）·f（b）<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
用二分法求方程的近似解的原理
函数y＝f（x）的图象是连续的，并且f（a）与f（b）的符号相反，则f（x）＝0在（a，b）内存在解.
如图，二分法采用逐步逼近的思想，使方程的解所在区间逐步缩小，也就是逐渐逼近方程的解.
给定精确度ε，用二分法求方程的近似解的步骤：
1.确定区间［a，b］，验证f（a）·f（b）<0；
2.求区间［a，b］的中点c；
3.计算f（c）；
（1）若f（c）＝0，则c就是方程的解；
（2）若f（a）·f（c）<0，则令b＝c（此时方程的解x0∈（a，c））；
（3）若f（c）·f（b）<0，则令a＝c（此时方程的解x0∈（c，b））.
4.判断是否达到精确度ε，即若|a-b|<ε，则方程的近似解可取区间内任一值；否则重复2~4.
二分法求方程近似解的思想来源于零点存在定理.
利用二分法求方程近似解的过程可以用右图表示，其中：
“初始区间”是一个两端点函数值异号的区间；
新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号.
在用二分法求方程近似解的步骤中，初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试算.初始区间选得不同，虽然不影响最终计算结果，但可能影响计算量的大小.
若方程f（x）＝0有多个解，则需要选取不同的初始区间来 求得不同解的近似值.
常考题型
一、二分法的概念
例1 （1）［2020·安徽合肥市第十一中学高一检测］
已知函数f（x）的图象如图所示，其中零点的个数与
可以用二分法求解的零点的个数分别为 （　　）
A.4，4 B.3，4 C.5，4 D.4，3
（2）［2020·四川省雅安中学高一检测］在用二分法求方程3x+3x-8＝0在（1，2）内近似根的过程中，设f（x）＝3x+3x-8，已经得到f（1）<0，f（1.5）>0，f（1.25）<0，则方程的根落在区间 （　　）
A.（1，1.25） B.（1.25，1.5） C.（1.5，2） D.不能确定
【解析】（1）f（x）的图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点的个数为3.
（2）∵ f（1）<0，f（1.5）>0，
∴ 在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x-8存在一个零点.
又∵ f（1.5）>0，f（1.25）<0，
∴ 在区间（1.25，1.5）内函数f（x）＝3x+3x-8存在一个零点，
由此可得方程3x+3x-8＝0的根落在区间（1.25，1.5）内.
【答案】（1）D　（2）B
【提示】二分法求函数零点的依据及适用范围
（1）依据：函数零点存在定理.
（2）适用范围：函数的图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.即二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.
训练题 1.［2019·江西九江一中高一检测］下列图象表示的函数能用二分法求零点的是 （　　）
　　　
　　　
　　　
A　　　　　　　B　　　　　　 　C　　　　　　 　D
C
2.［2019·湖北黄冈高一期末］下列函数中，不能用二分法求函数零点的是 （　　）
A.f（x）＝3x-1 B.f（x）＝x2-2x+1
C.f（x）＝log3x D.f（x）＝ex-2
3.［2020·安徽黄山屯溪一中高一检测］若函数f（x）＝log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：
f（2）＝-0.369 1 f（2.5）＝0.334 0
f（2.25）＝-0.011 9 f（2.375）＝0.162 4
f（2.312 5）＝0.075 6 f（2.281 25）＝0.031 9
那么方程log3x+x-3＝0的一个近似根（精确度为0.1）为 （　　）
A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4
B
C
二、函数零点类型的判定
例2 判断下列函数是否有变号零点：
（1）y＝x2-5x-14； （2）y＝x2+x+1；
（3）y＝-x4+x3+10x2-x+5； （4）y＝x4-18x2+81.
【解题提示】判断函数是否有变号零点主要依据其定义.
【解】（1）有. y＝x2-5x-14＝（x+2）（x-7），
且当x<-2时，y>0；当-27时，y>0.
∴ 函数有两个零点，都是变号零点.
（2）没有.y＝x2+x+1＝+>0，
∴ 此函数没有零点.
（3）有.令y＝f（x）＝-x4+x3+10x2-x+5.
∵ f（0）＝5>0，f（5）＝-54+53+10×52-5+5＝-250<0，
∴ 函数在区间（0，5）内至少有一个变号零点.
（4）没有.y＝x4-18x2+81＝（x2-9）2＝（x-3）2（x+3）2≥0，
∴ 函数有两个二重零点：3，-3，但它们都不是变号零点.
◆变号零点的判定方法
函数f （x）在［a，b］上的图象连续不间断，若f（a）·f（b）<0，则函数f（x）在该区间上至少有一个变号零点，也可能有多个变号零点，还可能有不变号零点，但肯定至少有一个变号零点.这一结论可直接应用于函数变号零点的判定.
训练题
对于函数（）＝，若（），（），
则函数（）在区间（，）内 （　　）
A.一定有零点 B.一定没有零点
C.可能有两个零点 D.至多有一个零点
C
三、用二分法求方程的近似解（或函数零点的近似值）
例3 ［2019·江西新余四中高一月考］用二分法求方程在区间［1，2］内的近似解（精确度为0.2）.参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
【解】令f（x）＝2x+x-4，则f（1）＝2+1-4＝-1<0，f（2）＝22+2-4＝2>0.
取值区间 区间中点值xn f（xn）的近似值
（1，2） 1.5 0.33
（1，1.5） 1.25 -0.37
（1.25，1.5） 1.375 -0.035
（1.375，1.5）
∵ |1.375-1.5|＝0.125<0.2，
∴ 2x+x＝4在［1，2］内的近似解可取为1.4.
◆用二分法求方程的近似解的解题策略
（1）根据函数的零点与相应方程的实数解的关系可知，求函数的零点与求相应方程的实数解是等价的.
（2）对于求形如f（x）＝g（x）的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F（x）＝f（x） - g（x）＝0的方程的近似解，然后利用二分法求方程近似解的步骤求解.
【口诀速记】二分法求函数零点的步骤
定区间，找中点，中值计算两边看.
同号丢，异号算，零点落在异号间.
重复做，何时止，精确度上来判断.
训练题 1.［2020·辽宁鞍山一中高一月考］判断函数在区间（1，1.5）内有无零点，如果有，求出一个近似零点（精确度为0.1）.
解：因为f（1）＝-1<0，f（1.5）＝0.875>0，且函数y＝x3-x-1的图象是连续的曲线，所以它在区间（1，1.5）内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：
取值区间 中点值 中点函数近似值
（1，1.5） 1.25 -0.3
（1.25，1.5） 1.375 0.22
（1.25，1.375） 1.312 5 -0.05
由于|1.375-1.312 5|＝0.062 5<0.1，
所以函数的一个近似零点可取为1.32.
2.［2020·河南省信阳高级中学高一月考］求方程lg x＝-1的一个近似解（精确度为0.1）.
解：作出函数y＝lg x和y＝-1的图象如图D-5-8所示.由图象可知，方程lg x＝-1有唯一实数解，且在区间（0，1）内.
设f（x）＝lg x-+1，f（1）＝>0，用计算器计算，列表如下：
取值区间 中点值 中点函数近似值 区间长度
（0，1） 0.5 -0.008 1 1
（0.5，1） 0.75 0.280 5 0.5
（0.5，0.75） 0.625 0.147 5 0.25
（0.5，0.625） 0.562 5 0.073 0 0.125
（0.5，0.562 5） 0.062 5
由于|0.562 5-0.5|＝0.062 5<0.1，
所以函数f（x）的一个零点近似值可取为0.56，
即方程lg x＝-1的一个近似解可取为x≈0.56.
小结
1.满足精确度的近似解
设是方程f（x）＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0-|<ε，
就称x0是满足精确度ε的近似解.
对于一般的函数y＝f（x），x∈［a，b］，若函数y＝f（x）的图象是一条连续的曲线，f（a）·f（b）<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
2.二分法
1.确定区间［a，b］，验证f（a）·f（b）<0；
2.求区间［a，b］的中点c；
3.计算f（c）；
（1）若f（c）＝0，则c就是方程的解；
（2）若f（a）·f（c）<0，则令b＝c（此时方程的解x0∈（a，c））；
（3）若f（c）·f（b）<0，则令a＝c（此时方程的解x0∈（c，b））.
4.判断是否达到精确度ε，即若|a-b|<ε，则方程的近似解可取区间内任一值；否则重复2~4.
3.给定精确度ε，用二分法求方程的近似解的步骤
【戮力同心 共赴前程】
生如蝼蚁当立鸿鹄之志
命如纸薄应有不屈之心
谢谢
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