【课件】第五章-§2 实际问题中的函数模型 高中数学-北师大版-必修第一册(共37张PPT)

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高中数学-北师大版-必修第一册
§2　实际问题中的函数模型
第五章 函数应用
学习目标
1.回顾几类常见函数（一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数）及其图象性质.
2.进一步熟悉函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）.
3.能根据理想状态下的数据特点建立函数模型解决实际问题，通过现实世界不同变化规律的数学化研究，掌握研究实际问题的基本方法——数学建模.
重点：面对实际问题中的几个变量的依赖关系，能选择适当函数对其刻画.
难点：实际问题的阅读理解、寻找变量之间的依赖关系、数学建模.
知识梳理
一、实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画.函数刻画的方法可以使用图象，但常见的还是使用解析式.
说明：函数刻画的方法除了图象法、解析法，还有列表法.列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫作列表法，列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，这种表格常常应用在实际生产和生活中.
（1）一次函数模型：f（x）＝kx+b（k，b为常数，k≠0）.
正比例函数模型：f（x）＝kx（k为常数，k≠0）是一次函数的特殊情况.
（2）反比例函数模型：f（x）＝（k为常数，k≠0）.
（3）二次函数模型：f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）.
（4）指数型函数模型：f（x）＝abx+c（a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）.
（5）对数型函数模型：f（x）＝mlogax+n（m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1）.
（6）幂型函数模型：f（x）＝axn+b（a，b，n为常数，a≠0，n≠1）.
（7）对勾函数模型：f（x）＝x+（k为常数，且k＞0）.
（8）分段函数模型：这个模型实质是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.
二、用函数模型解决实际问题
1.常见的函数模型
2.用函数模型解决实际问题的基本思路
3.用函数模型解决实际问题的基本步骤
（1）选模：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型；
（2）建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求模：运用函数知识求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中.
常考题型
一、利用函数模型解决实际问题
1.利用一次、二次函数模型解决实际问题
例1 ［2020·山西晋中祁县第二中学高一检测］某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，且不高于800元.经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元）可近似看成一次函数y＝kx+b（如图所示）.
（1）根据图象，求一次函数y＝kx+b的表达式.
（2）设公司获得的利润（利润＝销售总价-成本总价）为T元.
试用销售单价x表示利润T，并求销售单价定为多少时，该公
司可获得最大利润，最大利润是多少？此时的销售量是多少？
【解】（1）由已知，点（600，400），（700，300）在函数图象上，
代入y＝kx+b，得 解得
∴ y＝-x+1 000（500≤x≤800）.
（2）由已知，得T＝xy-500y＝x（-x+1 000）-500（-x+1 000）
＝-x2+1 500x-500 000＝-（x-750）2+62 500（500≤x≤800），
∴ 当销售单价为750元时，可获得最大利润，最大利润为62 500元，此时销售量为250件.
【提示】解函数实际应用问题的4个步骤
1.审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；
2.建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用
数学知识，建立相应的函数模型；
3.解模：求解函数模型，得出数学结论；
4.还原：将数学结论还原为实际意义的问题.
以上过程用框图表示如下：
【名师点拨】
（1）在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线（或其一部分），一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象和性质求解.
（2）实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线（或抛物线的一部分）等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数关系式.结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识解决实际问题.
训练题
1.［2019·安徽马鞍山高一检测］某商场将彩电的售价先按进价提高40%，再“八折优惠”，如果每台彩电的利润为360元，那么每台彩电的进价是 （　　）
A.2 000元 B.2 500元 C.3 000元 D.3 500元
2.［2019·黑龙江牡丹江高二期末］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个.若每个涨价1元，则日销售量减少10个.为获得最大利润，此商品售价应定为每个　　　　元.
C
14
2.利用指数型、对数型、幂型函数模型解决实际问题
例2 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答
下面的问题：
（1）写出该城市的人口总数y（万人）与年份x（年）的函数解析式；
（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；
（3） 计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万人（精确到1年）.
（参考数据：，，
）
【解】（1）1年后该城市人口总数为y＝100+100×1.2%＝100×（1+1.2%）；
2年后该城市人口总数为y＝100×（1+1.2%）+100×（1+1.2%）×1.2%
＝100× （1+1.2%）2；
3年后该城市人口总数为y＝100×（1+1.2%）3；
x年后该城市人口总数为y＝100×（1+1.2%）x.
所以该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数解析式为
y＝100×（1+1.2%）x，x∈N*.
（2）10年后该城市人口总数为y＝100×（1+1.2%）10
＝100×1.01210≈ 112.7（万人）.
（3）令y＝120，则有100×（1+1.2%）x＝120，解得x＝log1.0121.2≈15.28
所以大约16年以后该城市人口总数将达到120万人.
【常用结论】　在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则关于时间x的总产值y，可以用公式y＝N（1+P）x表示.
训练题
1.［2020·广州荔湾区高一期末］在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭（除燃料外）的质量m千克的函数解析式是v＝.当燃料质量是火箭质量的　　 　　倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒.
2.［2020·湖北襄州区高一检测］已知使用地震仪可以衡量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A-lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正地震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（以下数据供参考：1g 2≈0.301 0，1g 3≈0.477 1，1g 5≈0.699 0）
（1）根据相关部门测定，A地发生地震，一个距离震中100千米的地震仪记录的地震最大振幅是30，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；
（2）已知B地发生特大地震，根据相关部门的数据，此次地震的里氏震级达8.0M，地震烈度达到11度.请计算B地地震的最大振幅是5.0级地震的最大振幅的多少倍？
解：（1）M＝lg 30-lg 0.001＝lg 30 000＝4+lg 3≈4.5，因此这是一次约为里氏4.5级的地震.
（2）由M＝lg A-lg A0可得M＝则A＝A0·10M.
当M＝8.0时，地震的最大振幅为A1＝A0·108，
当M＝5.0时，地震的最大振幅为A2＝A0·105，
所以两次地震的最大振幅之比是＝103＝1 000.
3.利用分段函数模型解决实际问题
例3 ［2019·山东临沂高一期末］某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x件，需另投入成本（）万元，当年产量不足80件时， ＝x2+10x（万元），当年产量不少于80件时，C（x）＝52x-1 450（万元），通过市场分析，当每件商品售价为50万元时，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（件）的函数解析式.
（2）当年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【解】　（1）当040x-250；当x≥80时，L（x）＝50x-（52x-1 450）-250＝1 200-2x.
∴ L（x）＝
（2）当0即当x＝60时，L（x）max＝L（60）＝950；
当x≥80时，L（x）＝1 200-2x≤1 200-2×80＝1 040，
即当x＝80时，L（x）max＝L（80）＝1 040>950.
∴ 当年产量为80件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.
【解】　（1）当040x-250；当x≥80时，L（x）＝50x-（52x-1 450）-250＝1 200-2x.
∴ L（x）＝
（2）当0即当x＝60时，L（x）max＝L（60）＝950；
当x≥80时，L（x）＝1 200-2x≤1 200-2×80＝1 040，
即当x＝80时，L（x）max＝L（80）＝1 040>950.
∴ 当年产量为80件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.
◆分段函数模型的求解技巧
（1）在求其函数解析式时，应先确定分“段”，即函数分成几段，并抓住“分界点”，确保分界点“不重不漏”.
（2）求函数值时，先确定自变量的值所属的区间，再代入.同样，已知函数值，求解自变量的值时，就是解方程的过程，即每段都令y等于已知函数值，解出相应x的值，再判断是否属于所在区间.
训练题 ［2019·杭州高一检测］某旅游区在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）.
（1）求y关于x的函数解析式及其定义域.
（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
解：（1）当x≤6时，y＝50x-115，
令50x-115>0，解得x>2.3.∵ x为整数，∴ 3≤x≤6.
当x>6时，y＝［50-3（x-6）］x-115＝-3x2+68x-115.
令-3x2+68x-115>0，有3x2-68x+115<0，
结合x为整数得6（2）对于y＝50x-115（3≤x≤6，x∈Z），
当x＝6时，ymax＝185.
对于y＝3x2+68x115＝（6∵ 270>185，
∴ 当每辆自行车的日租金定为11元时，能使一日的净收入最多.
二、图表型应用问题
例4 ［2019·北京昌平区高一期末］某种茶饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y（℃）与时间t（min）近似满足一次函数关系；②用开水将茶饮冲泡后在室温下放置，温度y（℃）与时间t（min）
近似满足函数解析式y＝+b（a，b为常数），通常这种茶饮在40 ℃时，口感最佳，某天室温为20 ℃时，冲泡茶饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯茶饮，并在口感最佳时饮用，
最少需要的时间为（　　）
A.35 min B.30 min
C.25 min D.20 min
【解析】由题意，当0≤t≤5时，函数的图象是一条线段；当t≥5时，函数的解析式为＝，且图象过点(5,100)和点(15,60)，将这两点的坐标分别代入解析式，
故上述的函数解析式为y＝+20，t≥5.
令y＝40，解得t＝25，∴ 最少需要的时间为25 min.
【答案】　C
【方法技巧】
对于一个具体的应用题，原题中的数量间关系一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图表的形式给出，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．当然这需要我们深刻理解基本初等函数的图象和性质，熟练掌握基本初等函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型有清晰的认识．此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．
训练题 ［2020·北京市陈经纶中学高一检测］因市场战略储备的需要，某公司1月1日起，每月1日购买了相同金额的某种物资，连续购买了4次.由于市场变化，5月1日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且该公司在买卖的过程中没有亏本，在如图所示3个折线图中，所有可以反映这种物资每份价格（单位：万元）的变化情况的是 （　　）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
① ② ③
B
三、拟合函数模型解决实际问题
例5 ［2020·贵州遵义市南白中学高一检测］某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y（单位：元/100 kg）与上市时间x（距2月1日的天数，单位：天）的数据如下表：
时间x 50 110 250
成本y 150 108 150
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本y与上市时间x的变化关系：y＝ax+b，y＝ax2+bx+c，y＝a·bx，y＝a·logbx；
（2）利用（1）中选取的函数，求西红柿种植成本y最低时的上市天数x及最低种植成本.
【解】（1）根据表中数据，可判定西红柿种植成本y与上市时间x的变化关系的函数不是单调函数，这与函数y＝ax+b，y＝a·bx，y＝a·logbx的单调性都不符，所以在a≠0的前提下，可选取函数y＝ax2+bx+c进行描述.把（50，150），（110，108），（250，150）分别代入函数关系y＝ax2+bx+c中，
可得
所以西红柿种植成本y与上市时间x的函数关系是y＝x2-x+.
解得a＝.
（2）由（1）知函数y＝x2-x+，可得函数的图象开口向上，且对称轴为＝150，所以当x＝150天时，西红柿种植成本y最低，最低成本为y＝×1502-×150+＝100（元/100 kg）.即西红柿上市150天时，成本最低为100（元/100 kg）.
【名师点拨】
（1）大多数实际问题都不能事先知道其函数模型，需要通过科学观察和测试得出一些数据，绘出各点，根据点列的形状，通过函数拟合的方法确定函数模型.
（2）确定函数解析式的方法：
①待定系数法：已知条件中给出了含变量的函数解析式或根据已知条件可确定函数类型，此种情形下应利用待定系数法求出函数解析式中未知系数的值，即得函数的解析式.
②归纳法：先让自变量x取一些特殊值，计算出相对应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数的解析式.
③方程法：用x表示变量或其他相关的量.根据问题的实际意义，运用已掌握的知识，列出函数所满足的等式.
训练题 ［2019·福建厦门高一期末］某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画y与t之间关系的是 （　　）
A.y＝2t2 B.y＝2t C.y＝log2t D.y＝t3
C
小结
1.实际问题的函数刻画
2.常见的几种函数模型
（1）一次函数模型(正比例函数模型)；（2）反比例函数模型；
（3）二次函数模型；（4）指数型函数模型；
（5）对数型函数模型；（6）幂型函数模型；
（7）对勾函数模型；（8）分段函数模型.
【戮力同心 共赴前程】
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谢谢
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