7.4二项分布与超几何分布(共46张PPT)

(共46张PPT)
二项分布与超几何分布
教学目标
通过实例，理解二项分布、超几何分布及其特点；
掌握二项分布、超几何分布列及其导出过程；
通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重点
教学难点
二项分布、超几何分布的理解；分布列的推导。
二项分布、超几何分布的具体应用。
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型，吻合模型用公式去求概率简便.
(1)P(A+B)= P(A)+ P(B) (当A与B互斥时);
(3)P(AB)= P(A)P(B) (当A与B相互独立时)
那么求概率还有什么模型呢
分析下面的试验，它们有什么共同特点
(1)投掷一个骰子投掷5次;
(2)某人射击1次，击中目标的概率是0. 8,他射击10次;
(3)实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)
(4)一个盒子中装有5个球(3个红球和2个黑球)，有放回地依次从中抽取5个球;
(5)生产一种零件，出现次品的概率是0. 04,生产这种零件4件.
共同特点是:多次重复地做同一个试验
伯努利实验
我们把只包含两个可能结果的实验叫做伯努利实验。
n重伯努利实验
我们将一个伯努利实验独立地重复n次所组成的随机实验称为n重伯努利实验。
n重伯努利实验特征
(1)同一个伯努利实验重复做n次;
(2)各次实验的结果相互独立。
基本概念
投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？
连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验。用 表示第i次掷得针尖向上的事件，用 表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则
由于事件 彼此互斥，由概率加法公式得
所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是
上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p，求出了连续掷3次图钉，仅出现次1针尖向上的概率。类似地，连续掷3次图钉，出现 k（0≤k≤3)次针尖向上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？
思考
仔细观察上述等式，可以发现
问题导学
在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8， 用 (i=1,2,3)表示第i次投篮命中这件事,用 表示仅投中1次这件事.
由以上问题的结果你能得出什么结论
解
二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p)。
注: 展开式中的第k+1项.
基本概念
二项分布的概念；
二次分布的概率计算公式．
二项分布
1.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求∶
(1)恰好出现5次正面朝上的概率;
(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.
解∶设A="正面朝上"，则P（A）=0.5.用X表示事件A发生的次数，则X～B(10,0.5).
(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6] 内等价于4≤X≤6于是
(1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5，于是
2.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落人底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1、2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
解∶设A="向右下落"，则 ="向左下落"，且P（A）=P（ ）=0.5.因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B（10，0.5）.于是，X的分布列为

X的概率分布图如柱状图所示.
3.甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利
解法1∶采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3∶0，3∶1或3∶2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
解法2∶采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X ～B（3，0.6）.甲最终获胜的概率为
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X～B（5，0.6）.甲最终获胜的概率为
因为 ，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.
假设随机变量X服从二项分布B（n，p），那么 X的均值和方差各是什么
如果X～B（n，p），那么E（X）=np，D（X）=np（1-p）.
探究
1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示"正面朝上"出现的次数.
(1)求X的分布列;
(2)E(X)= ,D(x)= .
(2)E(X)=2 D(X)=1
答案：(1)
X
0
1
2
3
P
4
【解答】
【解答】
【解答】
5.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求∶
（1）没有鸡感染病毒的概率;
（2）恰好有1 只鸡感染病毒的概率.
【解答】
X
0
1
2
3
P
4
5
6
答案：(1)(2)
Y
0
1
2
3
P
4
5
6
小结
一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下∶
明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p;
确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性;
设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,"则X～B（n，p）
已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X表示取得的次品数.
1.X可能取哪些值？
X＝0,1,2
超几何分布
2.X＝1表示的试验结果是什么？求P(X＝1)的值.
答案 任取2件产品中恰有1件次品，
3.如何求P(X＝k)(k＝0,1,2)
答案
超几何分布
什么是超几何分布 先思考一个例子:
1.在含有5件次品的100件产品中,任取3件,求取到的次品数X的分布列.
X 0 1 2 3
P
2.某校组织了一次认识大自然夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，为了活动的需要，要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，那么其中恰有1名女生的概率有多大？
解：从10名同学中随机抽取3名同学；共有 种不同的方法.
其中恰有1名女生有 种方法.
恰有1名女生的概率为：
一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件 (n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为P(X＝m)＝ (0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.
超几何分布
超几何分布的概念；
超几何分布中的公式．
超几何分布
1.从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.
解∶设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且N=50，M=1，n=5. 因此甲被选中的概率
2.一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.
解：设抽取的10个零件中不合格品数为X，则X服从超几何分布，且N=30，M=3，n=10.X的分布列为
至少有1件不合格的概率为
也可以按如下方法求解∶
3.一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本. 用X 表示样本中黄球的个数.
（1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求 X的分布列;
（2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.
解：(1)对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X～B（20，0.4），X的分布列为
对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为
（2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.00001），如下表所示
4.一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率，
5.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率.
A.
B.
C.
D.
【解答】
【解答】
答案：(1)
X
0
1
2
3
P
【解答】
答案：(1)
X
0
1
2
3
P
4
【解答】
超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N、M和n就可以根据公式：
求出X取不同值k时的概率.学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M、N、n、k的含义.
1.抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差，
2.若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大
3.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.
(1)质点回到原点;
(2)质点位于4的位置.
4.某射手每次射击击中目标的概率为0.8，共进行10次射击，求（精确到0.01）∶
（1）恰有8次击中目标的概率;
（2）至少有8次击中目标的概率.
5.有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率（精确到0.001）.
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系
两点分布是特殊的二项分布ξ ~ B(1, p)
a.如果是有放回地取，则
一个袋中放有M个红球，(N- M)个白球，依次从袋中取n个球，记下红球的个数ξ.
b.如果是不放回地取，则ξ 服从超几何分布.
p
1
0
p
1-p