7.3 离散型随机变量的数字特征(共53张PPT)

(共53张PPT)
离散型随机变量的数字特征
教学目标
通过实验理解离散的机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值。
理解离散型随机变量均值的性质。
掌握两点分布、二项分布的均值。
会利用离散型随机变量的均值，反应离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题。
教学重难点
理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念。
能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题。
掌握方差的性质，以及两点、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差。
复习回顾
离散型随机变量的分布列
离散型随机变量分布列的性质：
X
P
...
...
...
...
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差。
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
把环数看成随机变量的概率分布列：
X
P
1
2
3
4
权数
加权平均
某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
X
P
18
24
36
数学期望
离散型随机变量取值的平均值
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X
P
...
...
...
...
则称
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
X
P
...
...
...
...
数学期望
思考
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量。
（1） Y 的分布列是什么？
（2） EY=？
X
P
...
...
...
...
X
...
...
P
...
...
Y
...
...
离散型随机变量取值的平均值
数学期望
X
P
...
...
...
...
数学期望的性质
分布列与数学期望；
数学期望的性质；
利用期望，求最值。
数学期望及性质
1、在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
解：因为
P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,
所以
即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
2、抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值。
解：X的分布列为
因此
归纳
随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动。随着重复实验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小。因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值。
3、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；
（1）求他得到的分数X的分布列；
（2）求X的期望。
解：
(1) X～B（3，0.7）
X
P
0
1
2
3
(2)
E(X)=2.1
4、猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制作成的铃声来猜歌名，某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示。
歌曲
猜对的概率
获得的公益基金金额/元
A
0.8
0.6
0.4
B
C
1000
2000
3000
规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值。
解：分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的时间，则A，B，C相互独立。
X的分布列如表所示。
X
P
0
1000
3000
6000
0.2
0.32
0.288
0.192
X的均值为
=2336
5、根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01。该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要顺势60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下3种方案：
方案1 运走设备，搬运费3800元；
方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；
方案3 不采取措施。
工地的领导如何决策呢？
1、已知随机变量X的分布列为
(1) 求E(X);
(2) 求E(3X+2).
X
P
1
2
3
4
5
0.1
0.1
0.1
0.3
0.4
【解答】
3、抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，求得分X的均值.
4、甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1h内生产出的次品数分别为 ，其分布列分别为
P
P
1
2
3
0
1
2
0
0.1
0.3
0.4
0.2
0.3
0.2
0.5
甲机床次品数的分布列
乙机床次品数的分布列
哪台机床更好？请解释你所得出结论的实际含义.
一、离散型随机变量取值的平均值
X
P
...
...
...
...
小结
二、数学期望的性质
数学期望
三、如果随机变量X服从两点分布，
四、如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则
X
P
1
0
p
1-p
E(X)=np
则E(X)=np
小结
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？
加权平均
离散型随机变量的方差的定义
设离散型随机变量X的分布为
X
P
...
...
...
...
则称
为 随机变量X的方差。
i=1
n
随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
方差的应用
例1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数 分布列如下：
P
P
9
10
8
0.4
0.4
0.2
0.4
0.4
0.2
9
10
8
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8-10环。
如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？
甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，而乙得分比较分散，甲的成绩更稳，所以会派甲参加比赛。
新课导入
随着我国金融体制改革的深入，许多人从股市尝到了甜头，老王手头有一笔现金想投资于股票市场，然而俗话说的好：“股票有风险，入市需谨慎”，老王既想获得投资收益，又担心投资所带来的风险.我们知道投资风险来自于其未来收益的不确定性，那么我们如何度量这种不确定性？
假设老王有10万元,现有两种投资方案:一是购买股票,二是存入银行获取利息.买股票的收益主要取决于经济形势,假设可分三种状态:形势好(获利40000元)、形势中等(获利10000元)、形势不好(损失20000元).如果存入银行,假设年利率8%,即可得利息8000元.又设经济形势好、中等、不好的概率分别为30%、50%和20%.试问该投资者应该选择哪一种投资方案
知识点讲授
1．离散型随机变量的方差
(1)设离散型随机变量X的分布列为
X
P
...
...
...
...
则称D(X)=____________________为随机变量X的方差，并称其算术平方根为 随机变量X的________.
i=1
n
标准差
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的__________,方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的___________越小．
(3)D(aX＋b)＝_________．
平均程度
平均程度
2．两点分布、二项分布的方差
(1)若X服从两点分布,则D(X)＝________．
(2)若X～B(n,p),则D(X)＝__________．
知识点讲授
p(1-p)
np(1-p)
离散型随机变量的均值E(X)和方差D(X)都反映了X取值的平均水平,这种说法对吗？
提示：不对．E(X)反映的是X取值的平均水平,D(X)刻画了X与E(X)的平均偏离程度．
离散型随机变量的方差；
根据方差和期望求参数；
根据期望求方差。
离散型随机变量的方差
1、抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差。
因为
所以
k=1
6
k=1
6
2、投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表所示。
P
P
1
2
0
0.3
0.3
0.4
0.1
0.6
0.3
0
2
-1
股票A收益的分布列
股票B收益的分布列
（1）投资哪种股票的期望收益大？
（2）投资哪种股票的风险较高？
解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为
因为E(X)>E(Y),所以投资股票A的期望收益较大.
(2)股票A和股票B投资收益的方差分别为
因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y)，所以投资股票A比投资股票B的风险高.
3、有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
1200
1400
1600
1800
0.4
0.3
0.2
0.1
1000
1400
1800
2200
0.4
0.3
0.2
0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：
所以两个单位工资的均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散。这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大些，就选择乙单位。
1、已知随机变量X的分布列
X
P
1
2
3
4
0.1
0.2
0.3
0.4
【解答】
3、甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差（精确到1cm）X和Y的分布列如下：
X
P
-1
-2
0
1
2
0.1
0.1
0.2
0.2
0.4
X
P
-1
-2
0
1
2
0.05
0.05
0.15
0.15
0.6
甲班的目测误差分布列
乙班的目测误差分布列
先直观判断X和Y的部分哪一个离散程度达，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断。
【解答】
小结
1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义
2、记住几个常见公式
若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p)
若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p)
1、某品牌手机投放市场，每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而回收三种情况，按定价售出每部利润100元，打折后售出每部利润0元，没有售出而收回每部利润-300元，据市场分析，发生三种情况的概率分别为0.6，0.3，0.1。求每部手机获利的均值和方差。
2、现要发型10000张彩票，其中中奖金额2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张，1张彩票可能中奖金额的均值是多少？
3、随机变量X的分布列为P（X=0）=0.2，P（X=1）=a，P（X=2）=b，若E（X）=1，求a和b。
4、甲、乙两种品牌的手机，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布为
X
P
-1
-2
0
1
2
0.1
0.1
0.2
0.2
0.4
X
P
-1
0
1
0.1
0.1
0.8
甲品牌的走时误差分布列
乙品牌的走时误差分布列
试比较甲、乙两品牌的手机性能。
则__________描述了 (i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝_______________为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差．
(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于_____的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的_______________．
1、离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为
...
...
...
...
X
P
i=1
n
均值
平均程度变小