(共11张PPT)
第18章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
学
目
习
标
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
预
反
习
馈
阅读教材P52～53，完成下列问题．
1．矩形的定义：有一个角是直角的 叫做矩形．
如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝ ，
∴四边形ABCD是矩形．
2．矩形的性质：矩形的对边 且 ；矩形的四个角都是 ；矩形的对角线互相 且 ．
如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥ ，AD∥ ， AB＝ ，AD＝ ，
∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝ ，
AO＝ ＝ ，BO＝ ＝ ，AC＝ ．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，则CD＝ ．
平行四边形
90°
平行
相等
直角
平分
相等
CD
BC
90°
CD
BC
OC
DO
BD
一半
AC
BD
AB
名
讲
校
坛
例1 (教材P53例1)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形对角线的长．
【思路点拨】 因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等
且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个性质和已知条件，可得△OAB
是等边三角形，因此对角线的长度可求．
【解答】 ∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分．∴OA＝OB.
又∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形．
∴OA＝AB＝4.∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.
【方法归纳】 应用矩形性质计算的一般思路：
①根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形，用勾股定理求线段的长度是常用的思路；
②根据矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形，矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计算和证明中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角度的等量关系．
名
讲
校
坛
【跟踪训练1】（《名校课堂》18.2第1课时习题）如图，在矩形ABCD中，
对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为（ B ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【跟踪训练2】 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，OE＝OF.
求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(SAS)．∴AE＝CF.
名
讲
校
坛
例2 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝5 cm，求HF的长．
【思路点拨】 由中位线定理可知DE＝ AC，即可求出AC的长度，
又因为HF是Rt△AHC斜边上的中线，即可求出HF的长度．
【解答】 由题意，得DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ AC.
∵HF是Rt△AHC的斜边AC上的中线，
∴HF＝ AC.
∴HF＝DE＝5 cm.
名
讲
校
坛
【跟踪训练3】如图，在△ABC中，D为AB的中点，BE⊥AC，垂足为E.
若DE＝4，AE＝6，则BE的长度是（ D ）
A．10 B．
C．8 D．
巩
训
固
练
1．在下面性质中，矩形不一定具有的是（ D ）
A．对角线相等 B．四个角都相等 C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直
2．直角三角形中，斜边长为12，则斜边上的中线长是（ A ）
A．6 B．4 C．8 D．12
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，
AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为（ C ）
A．7 cm B．8 cm
C．9 cm D．12 cm
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，若
∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠ABD为（ D ）
A．60° B．62.5°
C．65° D．67.5°
巩
训
固
练
5．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别
交AD和BC于点E，F，AB＝2，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
6．如图，已知四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE＝
AD，DF⊥AE，垂足为点F，求证：DF＝AB.
证明：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE，
∴∠EBA＝∠DFA＝90°，AD∥BC.∴∠DAF＝∠AEB.
在△AFD和△EBA中，
∴△AFD≌△EBA（AAS）．∴DF＝AB.
4
课
小
堂
结
1．矩形的定义及性质．
2．矩形是特殊的平行四边形，矩形的四个角都是直角，对角线互相平分且相等．
THANK YOU！(共11张PPT)
第18章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
学
目
习
标
1．能应用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力．
2．培养综合应用知识分析解决问题的能力．
预
反
习
馈
阅读教材P54～55，完成下列问题：
1．如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝ ，
∴四边形ABCD是矩形．
2．如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝ ，
∴四边形ABCD是矩形．
3．如图，∵在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝ ，
∴四边形ABCD是矩形．
90°
BD
90°
名
讲
校
坛
例（教材P54例2）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°.求∠OAB的度数．
【思路点拨】 先证明 ABCD是矩形，再根据矩形的四个内角均为90°，
即可求出∠OAB的度数．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD.
又∵OA＝OD，∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形．∴∠DAB＝90°.
又∠OAD＝50°，∴∠OAB＝40°.
【方法归纳】 判定矩形的基本思路：
①若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角；
②若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形；
③若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等．
名
讲
校
坛
【跟踪训练1】如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCB.
又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，
∴△AEF≌△DEC（AAS）．∴AF＝DC.
又∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．
（2）四边形AFBD是矩形．
证明：∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．
∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.
∴四边形AFBD是矩形．
名
讲
校
坛
【跟踪训练2】（《名校课堂》18.2.1第2课时习题）如图，在 ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＋∠ADC＝180°.
∵AF，DF分别平分∠DAB，∠ADC，
∴∠FAD＝∠BAF＝ ∠DAB，
∠ADF＝∠CDF＝ ∠ADC.
∴∠FAD＋∠ADF＝90°.∴∠AFD＝90°.
同理可得，∠BHC＝∠HEF＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．
巩
训
固
练
1．在 ABCD中，增加一个条件四边形ABCD就成为矩形，这个条件是（ B ）
A．AB＝CD B．∠A＋∠C＝180°
C．BD＝2AB D．AC⊥BD
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要
添加的条件是（ D ）
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F，G，H分别是各
边的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积是 ．
12
巩
训
固
练
4．如图，在 ABCD中，E是DC边的中点，且EA＝EB.求证： ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠D＋∠C＝180°.
∵E是DC边的中点，∴DE＝EC.
在△ADE和△BCE中，
∴△ADE≌△BCE（SSS）．∴∠D＝∠C.
∵∠D＋∠C＝180°，∴∠D＝∠C＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
巩
训
固
练
5．如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
（1）求证：AD＝CN；
（2）若∠BAN＝90°，求证：四边形ADCN是矩形．
证明：（1）∵CN∥AB，∴∠DAM＝∠NCM.
在△AMD和△CMN中，
∴△AMD≌△CMN（ASA）．∴AD＝CN.
（2）∵AD∥CN，AD＝CN，∴四边形ADCN是平行四边形．
又∵∠BAN＝90°，即∠DAN＝90°，∴四边形ADCN是矩形．
课
小
堂
结
矩形的判定方法：
1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2．对角线相等的平行四边形是矩形．
3．有三个角是直角的四边形是平行四边形．
THANK YOU！
