《奇偶性》课件
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课件20张PPT。
占美玲函数的奇偶性书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 壮 不 努 力 ，老 大 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感加上百分之九十九的汗水！ 勤 奋、守 纪、团结、进取！情境引入： 在初中学习的轴对称图形和中心对称
图形的定义是什么？观察下列图片中物体的特点。观察下图，思考并讨论以下问题：(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 相应的两个函数值对应表如何体现这些特征的？f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1) f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)1．偶函数的概念 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 偶函数的特征:①解析式的基本特征：f (-x)=f (x)②图像特征:关于Y轴对称.观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图像回答问题（1）这两个函数图象有什么共同特征？（2）填函数值对应表-3 -2 -1 0 1 2 3-1 / 1f(-3)=-3=-f(3)
f(-2)=-2=-f(2)
f(-1)=-1=-f(1)f(x)=xf(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)奇函数的特征:①解析式的基本特征：f (-x)=-f (x)②图像特征:关于原点对称. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数(odd fun_ction).2.奇函数的概念 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.(1) 由定义知若x是定义域中的一个数值，则–x也必然在定义域中，因此函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。例如，函数f(x)=x2在（-∞，+∞）上是偶函数，但 f(x)=x2在 [-1，2]上无奇偶性。
判断函数是否具有奇偶性.首先要看函数的定义域是否关于原点对称,即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提。
所以判断定义域本身就是判断或证明函数奇偶性的方法。
注意事项 (2)奇、偶函数定义的逆命题也成立，即
若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.
若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立. (3)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;而函数的单调性是函数的局部性质.
例1、判断下列函数的奇偶性：(1)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=x4即f(-x)=f(x)∴f(x)是偶函数(2)解：定义域为R ∵f(-x)=(-x)5=- x5即f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函数(3)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+ =-f(x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函数(4)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)= = =f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)是偶函数=f(x）=-f(x)3.用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.(3) 、作出结论 判断下列函数的奇偶性(2)f(x)=5 巩固练习(1) f(x)=x3+2x(5)f(x)=0 (x?R)(6) f(x)=x+1 判断下列函数的奇偶性∴f(x)为奇函数.解:定义域为R即 f(-x)= -f(x),(2) f(x)=5解:f(x)的定义域为R.
∵ f(-x)=f(x)=5∴f(x)为偶函数.巩固练习(1) f(x)=x3+2x∵f(-x)=(-x)3+2(-x)= -x3-2x= -(x3+2x)解:函数定义域为R．∴f(x)为奇函数．有既奇又偶的函数吗？解:函数定义域为 [0 ,+∞)．
∵ 定义域不关于原点对称，
∴f(x)为非奇非偶函数．(6) f(x)=x+1解:函数f(x)的定义域为R．
∵ f(-x)=f(x)=0，
又 f(-x)=-f(x)=0，
∴f(x)为既奇又偶函数．(5)f(x)=0 (x?R)根据奇偶性, 函数可划分为四类:奇函数;偶函数;
既奇又偶函数;
非奇非偶函数.
解:函数定义域为R．
∵ f(-x)= -x+1， - f(x)= -x-1,
∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠ –f(x).
∴f(x)为非奇非偶函数.2.奇偶函数图象的性质:(2)偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数奇偶函数图象的性质可用于：
① 判断函数的奇偶性，
②简化函数图象的画法。(1)奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.例2、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.解：画法略例.已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2－2x,求当 x＜0时,f(x)的解析式,并画出此函数f(x)的图象.解:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=－f(x).∵当x≥0时,f(x)=x2－2x,∴当x＜0时,-x>0,f(-x) = (-x)2-2(-x) = x2+2x,即 f(x) = - f(-x) =-(x2+2x),∴f(x)=-x2-2x.复习回顾1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x)?f(x)为奇函数.
如果都有f(-x)=f(x) ?f(x)为偶函数.一个函数为奇函数?它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数?它的图象关于y 轴对称.2.两个性质:3.判断函数奇偶性的步骤
①考查函数定义域是否关于原点对称；
②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；
③作出结论.作业:课本P36 练习1，22.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:
(1). F(x)=f(x)+f(-x) (2) . F(x)=f(x)-f(-x)作业布置导与练作业P.24-25
课时训练P.78
占美玲函数的奇偶性书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 壮 不 努 力 ，老 大 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感加上百分之九十九的汗水！ 勤 奋、守 纪、团结、进取！情境引入： 在初中学习的轴对称图形和中心对称
图形的定义是什么？观察下列图片中物体的特点。观察下图，思考并讨论以下问题：(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 相应的两个函数值对应表如何体现这些特征的？f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1) f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)1．偶函数的概念 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 偶函数的特征:①解析式的基本特征：f (-x)=f (x)②图像特征:关于Y轴对称.观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图像回答问题（1）这两个函数图象有什么共同特征？（2）填函数值对应表-3 -2 -1 0 1 2 3-1 / 1f(-3)=-3=-f(3)
f(-2)=-2=-f(2)
f(-1)=-1=-f(1)f(x)=xf(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)奇函数的特征:①解析式的基本特征：f (-x)=-f (x)②图像特征:关于原点对称. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数(odd fun_ction).2.奇函数的概念 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.(1) 由定义知若x是定义域中的一个数值，则–x也必然在定义域中，因此函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。例如，函数f(x)=x2在（-∞，+∞）上是偶函数，但 f(x)=x2在 [-1，2]上无奇偶性。
判断函数是否具有奇偶性.首先要看函数的定义域是否关于原点对称,即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提。
所以判断定义域本身就是判断或证明函数奇偶性的方法。
注意事项 (2)奇、偶函数定义的逆命题也成立，即
若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.
若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立. (3)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;而函数的单调性是函数的局部性质.
例1、判断下列函数的奇偶性：(1)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=x4即f(-x)=f(x)∴f(x)是偶函数(2)解：定义域为R ∵f(-x)=(-x)5=- x5即f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函数(3)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+ =-f(x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函数(4)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)= = =f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)是偶函数=f(x）=-f(x)3.用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.(3) 、作出结论 判断下列函数的奇偶性(2)f(x)=5 巩固练习(1) f(x)=x3+2x(5)f(x)=0 (x?R)(6) f(x)=x+1 判断下列函数的奇偶性∴f(x)为奇函数.解:定义域为R即 f(-x)= -f(x),(2) f(x)=5解:f(x)的定义域为R.
∵ f(-x)=f(x)=5∴f(x)为偶函数.巩固练习(1) f(x)=x3+2x∵f(-x)=(-x)3+2(-x)= -x3-2x= -(x3+2x)解:函数定义域为R．∴f(x)为奇函数．有既奇又偶的函数吗？解:函数定义域为 [0 ,+∞)．
∵ 定义域不关于原点对称，
∴f(x)为非奇非偶函数．(6) f(x)=x+1解:函数f(x)的定义域为R．
∵ f(-x)=f(x)=0，
又 f(-x)=-f(x)=0，
∴f(x)为既奇又偶函数．(5)f(x)=0 (x?R)根据奇偶性, 函数可划分为四类:奇函数;偶函数;
既奇又偶函数;
非奇非偶函数.
解:函数定义域为R．
∵ f(-x)= -x+1， - f(x)= -x-1,
∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠ –f(x).
∴f(x)为非奇非偶函数.2.奇偶函数图象的性质:(2)偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数奇偶函数图象的性质可用于：
① 判断函数的奇偶性，
②简化函数图象的画法。(1)奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.例2、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.解：画法略例.已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2－2x,求当 x＜0时,f(x)的解析式,并画出此函数f(x)的图象.解:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=－f(x).∵当x≥0时,f(x)=x2－2x,∴当x＜0时,-x>0,f(-x) = (-x)2-2(-x) = x2+2x,即 f(x) = - f(-x) =-(x2+2x),∴f(x)=-x2-2x.复习回顾1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x)?f(x)为奇函数.
如果都有f(-x)=f(x) ?f(x)为偶函数.一个函数为奇函数?它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数?它的图象关于y 轴对称.2.两个性质:3.判断函数奇偶性的步骤
①考查函数定义域是否关于原点对称；
②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；
③作出结论.作业:课本P36 练习1，22.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:
(1). F(x)=f(x)+f(-x) (2) . F(x)=f(x)-f(-x)作业布置导与练作业P.24-25
课时训练P.78