第八章 二元一次方程组
8．1 二元一次方程组
教学目标
知识与技能
1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解．
2．学会用类比的方法迁移知识，体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受学习数学的乐趣．
教学重点
理解二元一次方程组的解的意义．
教学难点
求二元一次方程的正整数解．
教学过程
一、情景导入
古老的“鸡兔同笼”问题：
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”
解：设鸡有x只，则兔有(35－x)只，则可列方程：
2x＋4(35－x)＝94，
解得：x＝23，
则鸡有23只，兔有12只．
二、新课教授
1．讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念．
教师提问：
上面的问题可以用一元一次方程来解，那么还有其他方法吗？
设有x只鸡，y只兔，依题意得：
x＋y＝35 ①
2x＋4y＝94 ②
针对学生列出的这两个方程，教师提出如下问题：
(1)你能给这两个方程起个名字吗？
(2)为什么叫二元一次方程呢？
(3)什么样的方程叫二元一次方程呢？
教师结合学生的回答，板书定义1：
含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程．
同时教师引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移和类比，让学生用原有的认知结构去同化新知识，符合建构主义理念．
教师追问：
在上面的问题中，鸡、兔的只数必须同时满足①、②两个方程．把①、②两个二元一次方程结合在一起，用大括号来连接．我们也给它起个名字，叫什么好呢？
学生思考，教师板书定义2：
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
2．讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念．
探究活动：满足x＋y＝35，且符合问题的实际意义的值有哪些？请填入表中．
x …
y …
教师启发：
(1)若不考虑此方程与上面实际问题的联系，还可以取哪些值？
(2)你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗？
(3)它与一元一次方程的解有什么区别？
教师板书定义3：
使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，记为
二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．
注意：
二元一次方程组的解是成对出现的，用大括号来连接，表示“且’．
三、例题讲解
【例】 下列各对数值中不是二元一次方程x＋2y＝2的解的是( )
A. B.
C. D.
解法分析：
将A、B、C、D中各对数值逐一代入方程检验是否满足方程，选D.
变式练习：上题中的选项是二元一次方程组的解的是( )
解法分析：
在例题的基础上，进一步检验A、B、C、D中各对值是否满足方程2x＋y＝－2，使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程．
四、巩固练习
1．根据下列语句，列出二元一次方程（设甲数为x，乙数为y）：
(1)甲数的一半与乙数的3倍的和为11；
(2)甲数和乙数的2倍的差为17.
2．方程x＋2y＝7在自然数范围内的解( )
A．有无数组 B．有一组
C．有两组 D．有四组
3．若mx＋y＝1是关于x，y的二元一次方程，那么( )
A．m≠0 B．m＝0
C．m是正有理数 D．m是负有理数
【答案】 1. (1)0.5x＋3y＝11 (2)x－2y＝17
2. D 3. A
五、课堂小结
本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？(什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？什么叫二元一次方程组的解？)
教学反思
本课的设计是从提出“鸡兔同笼”的求解问题入手，让学生经历了从不同角度寻求不同解决方法的过程，体现了解决问题策略的多样性，以列一元一次方程求解衬托出列二元一次方程组求解的优越性，更使学生感到二元一次方程组的引入顺理成章，所以本课的整体设计，突出了一元一次方程的样板作用，让学生在类比中，主动迁移知识，建立新的概念，使得基础知识和基本技能在学生的头脑中留下较深刻的印象．(共16张PPT)
第八章 二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
人教版数学七年级下册 同步课件
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负分别是多少？你会用你学过的一元一次方程解决这个问题吗？
解法一：设胜x场，负(10-x)场，则
解法二：设胜x场，负y场，则
考考你：
方程中有哪些条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
x+y=10
2x+y=16
2x+(10-x)=16
①
②
新课导入
含有两个未知数（x和y），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做二元一次方程.
观察：
x+y=10 ①
2x+y=16 ②
在未知数的个数和次数与方程
x+(10-x)=16
有什么不一样？
探究新知
你会判断一个方程是二元一次方程？
（1） +2y=1 (2)x+ = -7 (3)8ab=5
（4）2x2-x+1=0 (5)2(x+y)-3(x-y)=1
x
3
1
y
（1） （5）
探究新知
含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
上面的问题中包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程 x+y=10 和2x+y=16．把
两个方程合在一起，写成
就组成了一个方程组．这个方程组含有几个未知数？含有未知数的项的次数是多少？
探究新知
把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
要点：（１）方程组中只有两个未知数
（２）未知数的次数都是一次．
考考你的应变能力：下列方程组中是二元一次方程组的有（ ）
3x-y=0
y=2x+1
5x-y=0
3x+z=1
x=1
y=4
x+y=3
xy+3=1
(A)
(B)
(C)
(D)
A C
探究新知
满足方程
且符合实际意义的x，y的值有哪些？
探究
x
y
0
1
2
3
4
5
6
8
9
10
7
上表中哪对x，y的值是方程
的解？
x+y=10 ①
2x+y=16 ②
从中你体会到二元一次方程有＿＿＿个解
无数
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
探究新知
一般地，二元一次方程组的两个方
程的公共解，叫做二元一次方程组
组的解.
归纳小结
例1.检测下列各对数是不是方程组 x+4y=6 ①
3x-2y=11 ② 的解.
x=2
y=1
x=3
y=-1
x=4
y=
①
②
③
解：(1)把x=2，y=1分别代入方程①， ②，发现不满足②，
所以 不是原方程组的解；
(2)把代入方程①， 发现不满足①，所以 不是原方程组的解；
(3)把代入方程①， ②，发现能使方程①， ②左右两边相等，所以 是原方程组的解.
x=2
y=1
x=3
y=-1
x=4
y=
例题讲解
连连看
把下列方程组的解和相应的方程组用线段连起来：
x=1
y=2
x=3
y=-2
x=2
y=1
y=3-x
3x+2y=8
y=2x
x+y=3
y=1-x
3x+2y=5
针对练习
解：设 x 位工人参加第一道工序，y 位工人参加第二道工序.
练习 教科书第89页练习
针对练习
一、每个方程都含有两个未知数(x和y)，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
二、把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
三、使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
四、一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
五、二元一次方程有无穷多个解；二元一次方程组有且只有一组解.
归纳小结
教科书第90页第1、3、4题
作 业
课堂小结
（1）通过这堂课的学习，谈谈你的收获？
（2）你对哪一点最感兴趣？
（3）你还有什么新的发现？
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