必修二第一章空间几何体单元测试二（附答案）
文档属性
| 名称 | 必修二第一章空间几何体单元测试二（附答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 632.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-02-14 17:43:24 | ||
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文档简介
必修二第一章空间几何体单元测试二（附答案）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知点点C在坐标轴上，若，这样的点C的个数为（ ）
(A) 1 (B) 2 (C)5 D) 4
2．若，且，则实数的值是（ ）
A、 -1 B、 0 C、1 D、-2
3．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( )
（A）若，，则 （B）若，，则
（C）若，，则 （D）若，，则
4．如图，正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点,H是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合于G点，则在四面体A-EFG中必有（ ）
A.AG平面EFG B.AH平面EFG C.GF平面AEF D. GH平面AEF
5．正方体中，是正方形ABCD的中心，、分别是、的中点， 异面直线与所成的角的余弦值是( )
A. B. C. D.
6．正四面体ABCD的外接球的表面积为4π，则A与B两点的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
8．某几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能的是（ ）
9．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10．若，，则与的位置关系一定是（ ）
A、平行 B、相交 C、异面 D、 与没有公共点
二、填空题
11．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于 .
12．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，,
则三棱柱ABC—A1B1C1外接球的表面积是 ；
13．．圆锥的侧面展开图是一个半径长为4的半圆，则此圆锥的底面半径为 .
14．设正三棱锥的侧面积等于底面积的2倍，且该正三棱锥的高为，则其表面积等于 ．
15．已知某几何的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 。
16．已知为互不重合的平面，为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①；
②；
③；
④.
其中正确命题的序号是____ __ __．
三、解答题
17．如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且2PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.
（Ⅰ）求异面直线EF与AG所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：BC∥面EFG；
（Ⅲ）求三棱锥E-AFG的体积.
18．已知直三棱柱的三视图如图所示，且是的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使与成 角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．
19．如图，四边形与均为菱形， ，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：∥平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
20．如图所示，等腰△ABC的底边AB=6,高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记,用表示四棱锥P-ACFE的体积.
（Ⅰ）求 的表达式；
（Ⅱ）当x为何值时,取得最大值？
(Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值
21．如图，矩形ABCD中，AB=CD=2，BC=AD=。现沿着其对角线AC将D点向上翻折，使得二面角D—AC—B为直二面角。
（Ⅰ）求二面角A—BD—C平面角的余弦值。
（Ⅱ）求四面体ABCD外接球的体积；
22．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点.
求证：MN∥平面BB1D1D．
23．已知四边形满足∥，，是的中点，将沿着翻折成，使面面，为的中点.
（Ⅰ）求四棱的体积；
（Ⅱ）证明：∥面；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的余弦值.
24．（本小题满分14分）
如图5所示，在三棱锥中，，平面平面，于点， ，，．
（1）证明△为直角三角形；
（2）求直线与平面所成角的正弦值
25．．（本题满分12分）
如图甲，直角梯形中，，，点、分别在，上，且，，，，现将梯形沿折起，使平面与平面垂直（如图乙）．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当的长为何值时，二面角的大小为？
参考答案
1．C
2．D
3．B
4．A
5．B.
6．B
7．C
8．D
9．A
10．D
11．
12．
13．2
14．
15．
16．④
17．Ⅰ）解：因为E,F分别是PA,PD的中点，所以EF∥AD,
于是，∠DAG是EF与AG所成的角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
EF与AG所成角的余弦值是．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（Ⅱ）因为BC∥AD,AD∥EF,所以BC∥EF．．．．．．．．．．6分
∥平面EFG．．．．．．．．．．．．8分
（Ⅲ）VE-AFG=VG-AEF=
18．Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱是直三棱柱，，
连结，交于点，连结.
由 是直三棱柱，
得 四边形为矩形，为的中点.
又为中点，所以为中位线，
所以 ∥，
因为 平面，平面，
所以 ∥平面.
（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故两两垂直.
如图建立空间直角坐标系.
，则.
所以 ，
设平面的法向量为，则有
所以 取，得.
易知平面的法向量为.
由二面角是锐角，得 .
所以二面角的余弦值为.
（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点.
因为在线段上，，，故可设，其中.
所以 ，.
因为与成角，所以.
即，解得，舍去.
所以当点为线段中点时，与成角.
19.Ⅰ）证明：设与相交于点，连结．
因为 四边形为菱形，所以，
且为中点． ………………1分
又 ，所以 ． ………3分
因为 ，
所以 平面． ………………4分
（Ⅱ）证明：因为四边形与均为菱形，
所以//，//，
所以 平面//平面． ………………7分 又平面，
所以// 平面． ……………8分
（Ⅲ）解：因为四边形为菱形，且，所以△为等边三角形．
因为为中点，所以，故平面．
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． ………………9分
设．因为四边形为菱形，，则，所以，
．
所以 ．
所以 ，．
设平面的法向量为，则有
所以 取，得． ………………12分
易知平面的法向量为． ………………13分
由二面角是锐角，得 ．
所以二面角的余弦值为． ……………14分
20.
(Ⅰ)即;
(Ⅱ),时, 时,
时取得最大值.
(Ⅲ)以E为空间坐标原点,直线EF为轴,直线EB为轴,直线EP为轴建立空间直角坐标系,则;
,设异面直线AC与PF夹角是
21．如图，过点D、B分别向AC引垂线，垂足分别为E、F。易知AE=CF=1，EF=3，DE=BF=2。又DE⊥AC，AC=面ACD∩面ABC，二面角D—AC—B为直二面角，所以DE⊥平面ABC，又因为BF平面ABC，所以DE⊥BF。故DE、AC、BF两两垂直。如图以点F为坐标原点，FB为x轴，FC为y轴，平行于ED的方向为z轴，建立空间直角坐标系.
则各点的如下A（0,－4,0），B(2,0,0)，C(0,1,0)，D(0,－3,2). （3分）
(1) =(0,1,2)，=（2,4,0）,=(－2,1,0)，=(0,－4,2)
设平面ABD的法向量为=(x,y,1),则，
即=(4,－2,1)
设平面BCD的法向量为=(1,b,c),则
即=（1,2,4）
Cos<,>==. 21世纪教育网
由图形知二面角A—BD—C平面角的余弦值为－. （8分）
(2)设O为AC的中点，∵⊿ABC与⊿ADC都为直角三角形，∴OA=OB=OC=OD，∴Ｏ为四面体ＡＢＣＤ的外接球的球心．
∴四面体ＡＢＣＤ的体积
22．证明：设则
因为MN 平面BB1D1D，
所以MN∥平面BB1D1D
23．（Ⅰ）取的中点连接，因为，为等边三角形，则，又因为面面，所以面，
所以…………4分
（Ⅱ）连接交于，连接，因为为菱形，，又为的中点，所以∥，所以∥面……………7分
（Ⅲ）连接，分别以为轴
则
……9分
设面的法向量，，令，则
设面的法向量为，，令，则……11分
则，所以二面角的余弦值为
24．
（1）证明1：因为平面平面，平面平面， 平面，，
所以平面．
记边上的中点为，在△中，，所以．
因为，，所以．
因为，所以△为直角三角形．
因为，，21世纪教育网
所以．
连接，在△中，因为，，
所以．
因为平面，平面，所以．
在△中，因为，，
所以．
在中，因为，，，
所以．
所以为直角三角形．
证明2：因为平面平面，平面平面， 平面，，
所以平面．
记边上的中点为，在△中，因为，所以．
因为，，所以．
连接，在△中，因为，，，
所以．
在△中，因为，，，
所以，所以．
因为平面，平面，
所以．
因为，所以平面．
因为平面，所以．
所以为直角三角形．
（2）解法1：过点作平面的垂线，垂足为，连，
则为直线与平面所成的角．
由（1）知，△的面积．
因为，所以．
由（1）知为直角三角形，，，
所以△的面积．
因为三棱锥与三棱锥的体积相等，即，
即，所以．
在△中，因为，，
所以．
因为．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
解法2：过点作，设，
则与平面所成的角等于与平面所成的角．
由（1）知，，且，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
过点作于点，连接，
则平面．
所以为直线与平面所成的角．
在△中，因为，，
所以．
因为，所以，即，所以．
由（1）知，，且，
所以．
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
解法3：延长至点，使得，连接、，
在△中，，
所以，即．
在△中，因为，，，
所以，
所以．
因为，
所以平面．
过点作于点，
因为平面，
所以．
因为，
所以平面．
所以为直线与平面所成的角．
由（1）知，，
所以．
在△中，点、分别为边、的中点，
所以．
在△中，，，，
所以，即．
因为．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
解法4：以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，，．
于是，，．
设平面的法向量为，
则
即
取，则，．
所以平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：
（1）以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，．
于是，．
因为，
所以．
所以．
所以为直角三角形．
（2）由（1）可得，．
于是，，．
设平面的法向量为，
则即
取，则，．
所以平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
25．法一：（Ⅰ）MB//NC，MB平面DNC，NC平面DNC，
MB//平面DN C．…………………2分
同理MA//平面DNC，又MAMB=M, 且MA,MB平面MA B．
． （6分）
（Ⅱ）过N作NH交BC延长线于H，连HN，
平面AMND平面MNCB，DNMN, …………………8分
DN平面MBCN，从而,
为二面角D-BC-N的平面角． = …………………10分
由MB=4，BC=2，知60o，
． sin60o = …………………11分
由条件知： …………………12分
解法二：如图，以点N为坐标原点，以NM，NC，ND所在直线分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系易得NC=3，MN=，
设，则．
（I）．
，
∵，
∴与平面共面，又，． （6分）
（II）设平面DBC的法向量，
则，令，则，
∴． （8分）
又平面NBC的法向量． （9分）
…………………11分
即： 又即 …………………12分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知点点C在坐标轴上，若，这样的点C的个数为（ ）
(A) 1 (B) 2 (C)5 D) 4
2．若，且，则实数的值是（ ）
A、 -1 B、 0 C、1 D、-2
3．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( )
（A）若，，则 （B）若，，则
（C）若，，则 （D）若，，则
4．如图，正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点,H是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合于G点，则在四面体A-EFG中必有（ ）
A.AG平面EFG B.AH平面EFG C.GF平面AEF D. GH平面AEF
5．正方体中，是正方形ABCD的中心，、分别是、的中点， 异面直线与所成的角的余弦值是( )
A. B. C. D.
6．正四面体ABCD的外接球的表面积为4π，则A与B两点的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
8．某几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能的是（ ）
9．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10．若，，则与的位置关系一定是（ ）
A、平行 B、相交 C、异面 D、 与没有公共点
二、填空题
11．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于 .
12．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，,
则三棱柱ABC—A1B1C1外接球的表面积是 ；
13．．圆锥的侧面展开图是一个半径长为4的半圆，则此圆锥的底面半径为 .
14．设正三棱锥的侧面积等于底面积的2倍，且该正三棱锥的高为，则其表面积等于 ．
15．已知某几何的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 。
16．已知为互不重合的平面，为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①；
②；
③；
④.
其中正确命题的序号是____ __ __．
三、解答题
17．如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且2PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.
（Ⅰ）求异面直线EF与AG所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：BC∥面EFG；
（Ⅲ）求三棱锥E-AFG的体积.
18．已知直三棱柱的三视图如图所示，且是的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使与成 角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．
19．如图，四边形与均为菱形， ，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：∥平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
20．如图所示，等腰△ABC的底边AB=6,高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记,用表示四棱锥P-ACFE的体积.
（Ⅰ）求 的表达式；
（Ⅱ）当x为何值时,取得最大值？
(Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值
21．如图，矩形ABCD中，AB=CD=2，BC=AD=。现沿着其对角线AC将D点向上翻折，使得二面角D—AC—B为直二面角。
（Ⅰ）求二面角A—BD—C平面角的余弦值。
（Ⅱ）求四面体ABCD外接球的体积；
22．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点.
求证：MN∥平面BB1D1D．
23．已知四边形满足∥，，是的中点，将沿着翻折成，使面面，为的中点.
（Ⅰ）求四棱的体积；
（Ⅱ）证明：∥面；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的余弦值.
24．（本小题满分14分）
如图5所示，在三棱锥中，，平面平面，于点， ，，．
（1）证明△为直角三角形；
（2）求直线与平面所成角的正弦值
25．．（本题满分12分）
如图甲，直角梯形中，，，点、分别在，上，且，，，，现将梯形沿折起，使平面与平面垂直（如图乙）．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当的长为何值时，二面角的大小为？
参考答案
1．C
2．D
3．B
4．A
5．B.
6．B
7．C
8．D
9．A
10．D
11．
12．
13．2
14．
15．
16．④
17．Ⅰ）解：因为E,F分别是PA,PD的中点，所以EF∥AD,
于是，∠DAG是EF与AG所成的角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
EF与AG所成角的余弦值是．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（Ⅱ）因为BC∥AD,AD∥EF,所以BC∥EF．．．．．．．．．．6分
∥平面EFG．．．．．．．．．．．．8分
（Ⅲ）VE-AFG=VG-AEF=
18．Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱是直三棱柱，，
连结，交于点，连结.
由 是直三棱柱，
得 四边形为矩形，为的中点.
又为中点，所以为中位线，
所以 ∥，
因为 平面，平面，
所以 ∥平面.
（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故两两垂直.
如图建立空间直角坐标系.
，则.
所以 ，
设平面的法向量为，则有
所以 取，得.
易知平面的法向量为.
由二面角是锐角，得 .
所以二面角的余弦值为.
（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点.
因为在线段上，，，故可设，其中.
所以 ，.
因为与成角，所以.
即，解得，舍去.
所以当点为线段中点时，与成角.
19.Ⅰ）证明：设与相交于点，连结．
因为 四边形为菱形，所以，
且为中点． ………………1分
又 ，所以 ． ………3分
因为 ，
所以 平面． ………………4分
（Ⅱ）证明：因为四边形与均为菱形，
所以//，//，
所以 平面//平面． ………………7分 又平面，
所以// 平面． ……………8分
（Ⅲ）解：因为四边形为菱形，且，所以△为等边三角形．
因为为中点，所以，故平面．
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． ………………9分
设．因为四边形为菱形，，则，所以，
．
所以 ．
所以 ，．
设平面的法向量为，则有
所以 取，得． ………………12分
易知平面的法向量为． ………………13分
由二面角是锐角，得 ．
所以二面角的余弦值为． ……………14分
20.
(Ⅰ)即;
(Ⅱ),时, 时,
时取得最大值.
(Ⅲ)以E为空间坐标原点,直线EF为轴,直线EB为轴,直线EP为轴建立空间直角坐标系,则;
,设异面直线AC与PF夹角是
21．如图，过点D、B分别向AC引垂线，垂足分别为E、F。易知AE=CF=1，EF=3，DE=BF=2。又DE⊥AC，AC=面ACD∩面ABC，二面角D—AC—B为直二面角，所以DE⊥平面ABC，又因为BF平面ABC，所以DE⊥BF。故DE、AC、BF两两垂直。如图以点F为坐标原点，FB为x轴，FC为y轴，平行于ED的方向为z轴，建立空间直角坐标系.
则各点的如下A（0,－4,0），B(2,0,0)，C(0,1,0)，D(0,－3,2). （3分）
(1) =(0,1,2)，=（2,4,0）,=(－2,1,0)，=(0,－4,2)
设平面ABD的法向量为=(x,y,1),则，
即=(4,－2,1)
设平面BCD的法向量为=(1,b,c),则
即=（1,2,4）
Cos<,>==. 21世纪教育网
由图形知二面角A—BD—C平面角的余弦值为－. （8分）
(2)设O为AC的中点，∵⊿ABC与⊿ADC都为直角三角形，∴OA=OB=OC=OD，∴Ｏ为四面体ＡＢＣＤ的外接球的球心．
∴四面体ＡＢＣＤ的体积
22．证明：设则
因为MN 平面BB1D1D，
所以MN∥平面BB1D1D
23．（Ⅰ）取的中点连接，因为，为等边三角形，则，又因为面面，所以面，
所以…………4分
（Ⅱ）连接交于，连接，因为为菱形，，又为的中点，所以∥，所以∥面……………7分
（Ⅲ）连接，分别以为轴
则
……9分
设面的法向量，，令，则
设面的法向量为，，令，则……11分
则，所以二面角的余弦值为
24．
（1）证明1：因为平面平面，平面平面， 平面，，
所以平面．
记边上的中点为，在△中，，所以．
因为，，所以．
因为，所以△为直角三角形．
因为，，21世纪教育网
所以．
连接，在△中，因为，，
所以．
因为平面，平面，所以．
在△中，因为，，
所以．
在中，因为，，，
所以．
所以为直角三角形．
证明2：因为平面平面，平面平面， 平面，，
所以平面．
记边上的中点为，在△中，因为，所以．
因为，，所以．
连接，在△中，因为，，，
所以．
在△中，因为，，，
所以，所以．
因为平面，平面，
所以．
因为，所以平面．
因为平面，所以．
所以为直角三角形．
（2）解法1：过点作平面的垂线，垂足为，连，
则为直线与平面所成的角．
由（1）知，△的面积．
因为，所以．
由（1）知为直角三角形，，，
所以△的面积．
因为三棱锥与三棱锥的体积相等，即，
即，所以．
在△中，因为，，
所以．
因为．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
解法2：过点作，设，
则与平面所成的角等于与平面所成的角．
由（1）知，，且，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
过点作于点，连接，
则平面．
所以为直线与平面所成的角．
在△中，因为，，
所以．
因为，所以，即，所以．
由（1）知，，且，
所以．
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
解法3：延长至点，使得，连接、，
在△中，，
所以，即．
在△中，因为，，，
所以，
所以．
因为，
所以平面．
过点作于点，
因为平面，
所以．
因为，
所以平面．
所以为直线与平面所成的角．
由（1）知，，
所以．
在△中，点、分别为边、的中点，
所以．
在△中，，，，
所以，即．
因为．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
解法4：以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，，．
于是，，．
设平面的法向量为，
则
即
取，则，．
所以平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：
（1）以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，．
于是，．
因为，
所以．
所以．
所以为直角三角形．
（2）由（1）可得，．
于是，，．
设平面的法向量为，
则即
取，则，．
所以平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
25．法一：（Ⅰ）MB//NC，MB平面DNC，NC平面DNC，
MB//平面DN C．…………………2分
同理MA//平面DNC，又MAMB=M, 且MA,MB平面MA B．
． （6分）
（Ⅱ）过N作NH交BC延长线于H，连HN，
平面AMND平面MNCB，DNMN, …………………8分
DN平面MBCN，从而,
为二面角D-BC-N的平面角． = …………………10分
由MB=4，BC=2，知60o，
． sin60o = …………………11分
由条件知： …………………12分
解法二：如图，以点N为坐标原点，以NM，NC，ND所在直线分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系易得NC=3，MN=，
设，则．
（I）．
，
∵，
∴与平面共面，又，． （6分）
（II）设平面DBC的法向量，
则，令，则，
∴． （8分）
又平面NBC的法向量． （9分）
…………………11分
即： 又即 …………………12分