必修二第一章空间几何体单元测试三（附答案）
文档属性
| 名称 | 必修二第一章空间几何体单元测试三（附答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 421.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-02-14 17:43:57 | ||
图片预览
文档简介
必修二第一章空间几何体单元测试三（附答案）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．某几何体中的线段ＡＢ，在其三视图中对应线段的长分别为２、4、4，则在原几何体中线段AB的长度为（ ）
A. B. C.6 D.18
3．三棱锥S—ABC的三条侧棱两两互相垂直，且SA＝1，BS＝，SC＝，则底面内的角∠ABC等于( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
4．设、是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）
6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若； ②若
③若； ④若.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在△ABC中，，，∠ACB＝120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的表面积是（ ）
A. B. C. D.
8．一个棱锥的三视图如图所示：则该棱锥的全面积是：（ ）
A、 B、 C、 D、
9．已知直线，，则直线的关系是（ ）
A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能
10．已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等,则点的轨迹是( )
A.椭圆 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
二、填空题
11．在平面几何里，已知的两边互相垂直，且,则边上的高；现在把结论类比到空间：三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，平面,且,则点到平面的距离
12．已知平面向量不共线，且两两之间的夹角都相等,若,则 与的夹角是 .
13．如图，在正方体中，点在线段上运动时，给出下列四个命题：
①三棱锥的体积不变；
②直线与平面所成角的大小不变；
③直线与直线所成角的大小不变；
④二面角的大小不变．
其中所有真命题的编号是 ．
14．如图，边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1B、D1C1的中点，则△AEF在面BB1D1D上的射影的面积为 .
15．已知边长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为
16．点(1,2,3)关于原点的对称点的坐标为___________。
三、解答题
17．（本题满分14分）如图，在三棱柱中，
每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
18．（本题满分12分）已知：如图边长为1的正方体
（1）求证:直线
（2）求直线与平面所成角的正切值。
（3）求三棱锥的体积。
19．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点。
（1）求证：BE//平面PDF；
（2）求证：平面平面PAB；
（3）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小。
20．如图：已知三棱锥中，面，，，为上一点，，分别为的中点.
(1)证明：.
(2)求面与面所成的锐二面角的余弦值.
(3)在线段(包括端点)上是否存在一点，使平面？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由.
21．如图3所示，，M是棱的中点，N是棱的中点．
(1)求异面直线所成角的正弦值；
(2)求的体积．
22．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明 PA//平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求.
23．（本小题共13分）如图，矩形ABCD中，平面ABE，BE=BC，F为CE上的点，且平面ACE。
（1）求证：平面BCE；
（2）求证：AE//平面BFD。
24．．(本小题满分15分)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱，。
(1) 求证：侧面底面；
(2) 求侧棱与底面所成角的正弦值。
25．（本小题满分14分）
一个四棱锥的三视图如图所示，E为侧棱PC上一动点。
（1）画出该四棱锥的直观图，并指出几何体的主要特征（高、底等）．
（2）点在何处时，面EBD，并求出此时二面角平面角的余弦值．
参考答案
1．B
2．B
3．C
4．B
5．C
6．A
7．A
8．A
9．D
10．B
11．
12．
13．①③④
14．
15．4
16．((1,(2,(3)
17．
解法一：证明：（Ⅰ）设的交点为O,连接，连接.
因为为的中点，为的中点,
所以 ∥且.又是中点，
所以 ∥且,
所以 ∥且.
所以，四边形为平行四边形.所以∥.
又平面,平面,则∥平面. ………………5分
(Ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，.
所以平面.
因为平面，所以.
由已知得，所以,
所以平面.
由（Ⅰ）可知∥，所以平面.
所以.
因为侧面是正方形，所以.
又，平面，平面,
所以平面. ………………………………………10分
（Ⅲ）解: 取中点，连接.
在三棱柱中，因为平面，
所以侧面底面.
因为底面是正三角形，且是中点，
所以，所以侧面.
所以是在平面上的射影.
所以是与平面所成角.
. …………………………………………14分
解法二：如图所示，建立空间直角坐标系.
设边长为2，可求得，,
，，，，
，，.
（Ⅰ）易得，，
. 所以， 所以∥.
又平面,平面,则∥平面. ………………5分
（Ⅱ）易得，，，
所以.
所以
又因为，，
所以平面. …………………………………………… 10分
（Ⅲ）设侧面的法向量为,
因为, ,，，
所以，.
由 得解得
不妨令，设直线与平面所成角为．
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为． ………………………14分
18．（1）略（2） （3）
19．
20．（1）如图建立空间直角坐标系：则
（2）面的法向量为面的法向量为
设面与面所成的锐二面角为，则
（3）若假设在线段上存在一点，且 ，使平面，则有
∥ ∥ ， 满足.
在线段上存在一点，使平面，此时点与点重合.
21．(1)，
GM与的交点为H，联结BH，如图所示．……1分
∵是正方体，G、N是中点，
∴，即ABGN为平行四边形．
∴BG||AN，所成的角．……………………3分
又正方体的棱长为a，可得，
．∴． ………5分
∴．…………6分
(2)∵
∴．8分
∵，∴．
∴的高．
22．（1）证明：连结AC，AC交BD于O．连结EO．∵ 底面ABCD是正方形，∴ 点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴ PA//EO．而平面EDB，且平面EDB，所以，PA//平面EDB．
（2）证明：∵ PD⊥底面ABCD，且底面ABCD， ∴ PD⊥DC.
∵ 底面ABCD是正方形，有DC⊥BC, ∴ BC⊥平面PDC． 而平面PDC，∴ BC⊥DE.又∵PD=DC，E是PC的中点，∴ DE⊥PC. ∴ DE⊥平面PBC．
而平面PBC，∴ DE⊥PB．又EF⊥PB，且，所以PB⊥平面EFD．
(3) =
23．解：（Ⅰ）证明：平面，∥
平面，则 ……………………………………………2分
又平面，则
平面 ……………………………………………5分
（Ⅱ）证明：依题意可知：是中点 ……………………………………6分
平面，则，
而是中点 ……………………………………9分
在△中，∥
又∥ ……………………………………13分
24．（1）证明：，，又，侧面，
侧面，且，侧面。
又底面，故侧面底面。
（2）解：如图，过点作直线的垂线交的延长线于点，
由（1）可知底面，则是侧棱与底面所成角。
，又，故，
则，故。
则，故侧棱与底面所成角的正弦值为。
25．解：
（1）直观图如下：………………3分
该四棱锥底面为菱形，边长为2，其中角A为60度，顶点A在底面内的射影为底面菱形的
中心，四棱锥高为1。………………5分
（2）如图所示建立空间直角坐标系：
显然A、B、P．
令，得：、．
显然，
当．
所以当时，面BDE。………………9分
分别令和为平面PBC和平面ABE的法向量，
由，得
由，得
可得：，
显然二面角平面角为钝角，得其余弦值为。…………14分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．某几何体中的线段ＡＢ，在其三视图中对应线段的长分别为２、4、4，则在原几何体中线段AB的长度为（ ）
A. B. C.6 D.18
3．三棱锥S—ABC的三条侧棱两两互相垂直，且SA＝1，BS＝，SC＝，则底面内的角∠ABC等于( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
4．设、是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）
6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若； ②若
③若； ④若.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在△ABC中，，，∠ACB＝120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的表面积是（ ）
A. B. C. D.
8．一个棱锥的三视图如图所示：则该棱锥的全面积是：（ ）
A、 B、 C、 D、
9．已知直线，，则直线的关系是（ ）
A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能
10．已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等,则点的轨迹是( )
A.椭圆 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
二、填空题
11．在平面几何里，已知的两边互相垂直，且,则边上的高；现在把结论类比到空间：三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，平面,且,则点到平面的距离
12．已知平面向量不共线，且两两之间的夹角都相等,若,则 与的夹角是 .
13．如图，在正方体中，点在线段上运动时，给出下列四个命题：
①三棱锥的体积不变；
②直线与平面所成角的大小不变；
③直线与直线所成角的大小不变；
④二面角的大小不变．
其中所有真命题的编号是 ．
14．如图，边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1B、D1C1的中点，则△AEF在面BB1D1D上的射影的面积为 .
15．已知边长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为
16．点(1,2,3)关于原点的对称点的坐标为___________。
三、解答题
17．（本题满分14分）如图，在三棱柱中，
每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
18．（本题满分12分）已知：如图边长为1的正方体
（1）求证:直线
（2）求直线与平面所成角的正切值。
（3）求三棱锥的体积。
19．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点。
（1）求证：BE//平面PDF；
（2）求证：平面平面PAB；
（3）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小。
20．如图：已知三棱锥中，面，，，为上一点，，分别为的中点.
(1)证明：.
(2)求面与面所成的锐二面角的余弦值.
(3)在线段(包括端点)上是否存在一点，使平面？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由.
21．如图3所示，，M是棱的中点，N是棱的中点．
(1)求异面直线所成角的正弦值；
(2)求的体积．
22．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明 PA//平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求.
23．（本小题共13分）如图，矩形ABCD中，平面ABE，BE=BC，F为CE上的点，且平面ACE。
（1）求证：平面BCE；
（2）求证：AE//平面BFD。
24．．(本小题满分15分)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱，。
(1) 求证：侧面底面；
(2) 求侧棱与底面所成角的正弦值。
25．（本小题满分14分）
一个四棱锥的三视图如图所示，E为侧棱PC上一动点。
（1）画出该四棱锥的直观图，并指出几何体的主要特征（高、底等）．
（2）点在何处时，面EBD，并求出此时二面角平面角的余弦值．
参考答案
1．B
2．B
3．C
4．B
5．C
6．A
7．A
8．A
9．D
10．B
11．
12．
13．①③④
14．
15．4
16．((1,(2,(3)
17．
解法一：证明：（Ⅰ）设的交点为O,连接，连接.
因为为的中点，为的中点,
所以 ∥且.又是中点，
所以 ∥且,
所以 ∥且.
所以，四边形为平行四边形.所以∥.
又平面,平面,则∥平面. ………………5分
(Ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，.
所以平面.
因为平面，所以.
由已知得，所以,
所以平面.
由（Ⅰ）可知∥，所以平面.
所以.
因为侧面是正方形，所以.
又，平面，平面,
所以平面. ………………………………………10分
（Ⅲ）解: 取中点，连接.
在三棱柱中，因为平面，
所以侧面底面.
因为底面是正三角形，且是中点，
所以，所以侧面.
所以是在平面上的射影.
所以是与平面所成角.
. …………………………………………14分
解法二：如图所示，建立空间直角坐标系.
设边长为2，可求得，,
，，，，
，，.
（Ⅰ）易得，，
. 所以， 所以∥.
又平面,平面,则∥平面. ………………5分
（Ⅱ）易得，，，
所以.
所以
又因为，，
所以平面. …………………………………………… 10分
（Ⅲ）设侧面的法向量为,
因为, ,，，
所以，.
由 得解得
不妨令，设直线与平面所成角为．
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为． ………………………14分
18．（1）略（2） （3）
19．
20．（1）如图建立空间直角坐标系：则
（2）面的法向量为面的法向量为
设面与面所成的锐二面角为，则
（3）若假设在线段上存在一点，且 ，使平面，则有
∥ ∥ ， 满足.
在线段上存在一点，使平面，此时点与点重合.
21．(1)，
GM与的交点为H，联结BH，如图所示．……1分
∵是正方体，G、N是中点，
∴，即ABGN为平行四边形．
∴BG||AN，所成的角．……………………3分
又正方体的棱长为a，可得，
．∴． ………5分
∴．…………6分
(2)∵
∴．8分
∵，∴．
∴的高．
22．（1）证明：连结AC，AC交BD于O．连结EO．∵ 底面ABCD是正方形，∴ 点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴ PA//EO．而平面EDB，且平面EDB，所以，PA//平面EDB．
（2）证明：∵ PD⊥底面ABCD，且底面ABCD， ∴ PD⊥DC.
∵ 底面ABCD是正方形，有DC⊥BC, ∴ BC⊥平面PDC． 而平面PDC，∴ BC⊥DE.又∵PD=DC，E是PC的中点，∴ DE⊥PC. ∴ DE⊥平面PBC．
而平面PBC，∴ DE⊥PB．又EF⊥PB，且，所以PB⊥平面EFD．
(3) =
23．解：（Ⅰ）证明：平面，∥
平面，则 ……………………………………………2分
又平面，则
平面 ……………………………………………5分
（Ⅱ）证明：依题意可知：是中点 ……………………………………6分
平面，则，
而是中点 ……………………………………9分
在△中，∥
又∥ ……………………………………13分
24．（1）证明：，，又，侧面，
侧面，且，侧面。
又底面，故侧面底面。
（2）解：如图，过点作直线的垂线交的延长线于点，
由（1）可知底面，则是侧棱与底面所成角。
，又，故，
则，故。
则，故侧棱与底面所成角的正弦值为。
25．解：
（1）直观图如下：………………3分
该四棱锥底面为菱形，边长为2，其中角A为60度，顶点A在底面内的射影为底面菱形的
中心，四棱锥高为1。………………5分
（2）如图所示建立空间直角坐标系：
显然A、B、P．
令，得：、．
显然，
当．
所以当时，面BDE。………………9分
分别令和为平面PBC和平面ABE的法向量，
由，得
由，得
可得：，
显然二面角平面角为钝角，得其余弦值为。…………14分