必修二第一章空间几何体单元测试四（附答案）
文档属性
| 名称 | 必修二第一章空间几何体单元测试四（附答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 323.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-02-15 13:57:03 | ||
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文档简介
必修二第一章空间几何体单元测试四（附答案）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是（ ）
A.（1）（2） B.（2）（3） C. (3)(4) D. (1)(4)
2．一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为 （ ）
A． B．8 C． D．12
3．在平行四边形ABCD中，，若将其沿BD折成直二面角A-BD-C，则A－BCD的外接球的表面积为（ ）
A B C d.
4．已知直棱柱的底面是边长为3的正三角形，高为2，则其外接球的表面积（ ）
A.6仔 B.8仔 C.12仔 D.16仔
5．长方体的长，宽，高分别是3，2,1，则该长方体的体对角线是（ ）
A. B. C. D.
6．一个体积为的正方体的顶点都在球面上，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
7． 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A. B. C. D.
8．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体是（ ）
A.圆柱B.四棱柱C.圆台D.棱台
9．设地球是半径为R的球，地球上A、B两地都在北纬45°的纬线上，A在东经20°、B在东经110°的经线上，则A、B两地的球面距离是 （ ）
A． B． C． D．
10．如图，正三棱柱的棱长和底面边长均为2，主视图是
边长为2的正方形,则左视图的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=________.
12．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，则这个几何体的体积是 ．
13．在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=___________。
14．在的二面角内放入一个球，球与该二面角的两个半平面分别切于两点A，B，且A、B两点的球面距离为2cm，则该球的半径为 .
15．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为2，2，3，则此球的表面积为 ．
16．四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为 。
三、解答题
17．（本小题满分14分）
在一个半径为1的半球材料中截取三个高度均为h的圆柱，其轴截面如图所示，设三个圆柱体积之和为。
求f(h)的表达式，并写出h的取值范围是 ；
求三个圆柱体积之和V的最大值；
18．如图，在矩形中，，沿对角线把折起到位置，且在面内的射影恰好落在上
（1）求证： ；
（2）求与平面所成的角的正弦值.
19．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点.
（1）证明：（i）EF∥A1D1；
（ii）BA1⊥平面B1C1EF；
求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.
20．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；
(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．
21．如图，在四棱锥中，底面，，点E在线段AD上，且CE//AB。
（1）求证：CEPAD；
（2）若，AD=3，CD=，，求四棱锥的体积。
22．如图，矩形ABCD中，AB=CD=2，BC=AD=。现沿着其对角线AC将D点向上翻折，使得二面角D—AC—B为直二面角。
（Ⅰ）求二面角A—BD—C平面角的余弦值。
（Ⅱ）求四面体ABCD外接球的体积；
23．．（本小题满分13分）一个几何体的直观图及三视图如图所示，分别是的中点.
（Ⅰ）写出这个几何体的名称；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求多面体的体积.
24．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示，墩的上半部分是正四棱锥P—EFGH，下半部分是长方体ABCD—EFGH，图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线BD⊥平面PEG
25．本题满分13分如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1
的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（I）求证：GF//底面ABC；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．
参考答案
1．D
2．A
3．C
4．D
5．A
6．A
7．A
8．C
9．C
10．B
11．
12．
13．
14．3cm
15．
16．
17．(1)的取值范围是；⑵三个圆柱体积和的最大值为．
18．（1）证明略 （2）与平面所成角的正弦值为.
19．（3）
20．(Ⅰ)略(Ⅱ) ．
21．（2）5/ 6
22．如图，过点D、B分别向AC引垂线，垂足分别为E、F。易知AE=CF=1，EF=3，DE=BF=2。又DE⊥AC，AC=面ACD∩面ABC，二面角D—AC—B为直二面角，所以DE⊥平面ABC，又因为BF平面ABC，所以DE⊥BF。故DE、AC、BF两两垂直。如图以点F为坐标原点，FB为x轴，FC为y轴，平行于ED的方向为z轴，建立空间直角坐标系.
则各点的如下A（0,－4,0），B(2,0,0)，C(0,1,0)，D(0,－3,2). （3分）
(1) =(0,1,2)，=（2,4,0）,=(－2,1,0)，=(0,－4,2)
设平面ABD的法向量为=(x,y,1),则，
即=(4,－2,1)
设平面BCD的法向量为=(1,b,c),则
即=（1,2,4）
Cos<,>==. 21世纪教育网
由图形知二面角A—BD—C平面角的余弦值为－. （8分）
(2)设O为AC的中点，∵⊿ABC与⊿ADC都为直角三角形，∴OA=OB=OC=OD，∴Ｏ为四面体ＡＢＣＤ的外接球的球心．
∴四面体ＡＢＣＤ的体积
23．解：（Ⅰ）这个几何体是底面是直角三角形的直三棱柱（写成直三棱柱也给分）…2分
（Ⅱ）解法一：（面面平行线面平行）
由三视图可知，
……………………………………………………………4分
取的中点连，
由、分别为、的中点可得
又，
∴，…………………………………6分
又
∴
而，∴………………………………8分
解法二：（线线平行线面平行）
连续，则，……………………………4分
∵，∴………………………………………………6分
又
∴…………………………………………………8分
（Ⅲ）取的中点.
∵，∴，在直三棱柱中
∴……………………………………………………9分
∴多面体是以为高，以矩形为底面的棱锥…………10分
在中，………………………………11分
∴棱锥的体积…………13分
24．
解：（1）侧视图同正视图，如下图所示。
（2）该安全标识墩的体积为：
=
（3）如图，连结EG，HF及BD，EG与HF相交于O，连结PO，
由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF
又EG⊥HF ∴HF⊥平面PEG
又BD∥HF ∴BD⊥平面PEG
25．解：（I）证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，（如图1）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴HG//BC，HF//DE，……………… 2分
又∵ADEB为正方形 ∴DE//AB，从而HF//AB
∴HF//平面ABC，HG//平面ABC, HF∩HG=H,
∴平面HGF//平面ABC
∴GF//平面ABC………………4分
（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF//平面AB………………5分
又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC ………………6分
∴BE⊥AC
又∵CA2+CB2=AB2
∴AC⊥BC,
∵BC∩BE=B,
∴AC⊥平面BCE ………………8分
（Ⅲ）连结CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB， ……………… 9分
又平面ABED⊥平面ABC，CN平面ABC，∴CN⊥平面ABED。……………… 10分
∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴， ………………11分
∵C—ABED是四棱锥,
∴VC—ABED= ………………13分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是（ ）
A.（1）（2） B.（2）（3） C. (3)(4) D. (1)(4)
2．一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为 （ ）
A． B．8 C． D．12
3．在平行四边形ABCD中，，若将其沿BD折成直二面角A-BD-C，则A－BCD的外接球的表面积为（ ）
A B C d.
4．已知直棱柱的底面是边长为3的正三角形，高为2，则其外接球的表面积（ ）
A.6仔 B.8仔 C.12仔 D.16仔
5．长方体的长，宽，高分别是3，2,1，则该长方体的体对角线是（ ）
A. B. C. D.
6．一个体积为的正方体的顶点都在球面上，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
7． 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A. B. C. D.
8．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体是（ ）
A.圆柱B.四棱柱C.圆台D.棱台
9．设地球是半径为R的球，地球上A、B两地都在北纬45°的纬线上，A在东经20°、B在东经110°的经线上，则A、B两地的球面距离是 （ ）
A． B． C． D．
10．如图，正三棱柱的棱长和底面边长均为2，主视图是
边长为2的正方形,则左视图的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=________.
12．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，则这个几何体的体积是 ．
13．在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=___________。
14．在的二面角内放入一个球，球与该二面角的两个半平面分别切于两点A，B，且A、B两点的球面距离为2cm，则该球的半径为 .
15．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为2，2，3，则此球的表面积为 ．
16．四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为 。
三、解答题
17．（本小题满分14分）
在一个半径为1的半球材料中截取三个高度均为h的圆柱，其轴截面如图所示，设三个圆柱体积之和为。
求f(h)的表达式，并写出h的取值范围是 ；
求三个圆柱体积之和V的最大值；
18．如图，在矩形中，，沿对角线把折起到位置，且在面内的射影恰好落在上
（1）求证： ；
（2）求与平面所成的角的正弦值.
19．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点.
（1）证明：（i）EF∥A1D1；
（ii）BA1⊥平面B1C1EF；
求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.
20．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；
(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．
21．如图，在四棱锥中，底面，，点E在线段AD上，且CE//AB。
（1）求证：CEPAD；
（2）若，AD=3，CD=，，求四棱锥的体积。
22．如图，矩形ABCD中，AB=CD=2，BC=AD=。现沿着其对角线AC将D点向上翻折，使得二面角D—AC—B为直二面角。
（Ⅰ）求二面角A—BD—C平面角的余弦值。
（Ⅱ）求四面体ABCD外接球的体积；
23．．（本小题满分13分）一个几何体的直观图及三视图如图所示，分别是的中点.
（Ⅰ）写出这个几何体的名称；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求多面体的体积.
24．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示，墩的上半部分是正四棱锥P—EFGH，下半部分是长方体ABCD—EFGH，图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线BD⊥平面PEG
25．本题满分13分如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1
的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（I）求证：GF//底面ABC；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．
参考答案
1．D
2．A
3．C
4．D
5．A
6．A
7．A
8．C
9．C
10．B
11．
12．
13．
14．3cm
15．
16．
17．(1)的取值范围是；⑵三个圆柱体积和的最大值为．
18．（1）证明略 （2）与平面所成角的正弦值为.
19．（3）
20．(Ⅰ)略(Ⅱ) ．
21．（2）5/ 6
22．如图，过点D、B分别向AC引垂线，垂足分别为E、F。易知AE=CF=1，EF=3，DE=BF=2。又DE⊥AC，AC=面ACD∩面ABC，二面角D—AC—B为直二面角，所以DE⊥平面ABC，又因为BF平面ABC，所以DE⊥BF。故DE、AC、BF两两垂直。如图以点F为坐标原点，FB为x轴，FC为y轴，平行于ED的方向为z轴，建立空间直角坐标系.
则各点的如下A（0,－4,0），B(2,0,0)，C(0,1,0)，D(0,－3,2). （3分）
(1) =(0,1,2)，=（2,4,0）,=(－2,1,0)，=(0,－4,2)
设平面ABD的法向量为=(x,y,1),则，
即=(4,－2,1)
设平面BCD的法向量为=(1,b,c),则
即=（1,2,4）
Cos<,>==. 21世纪教育网
由图形知二面角A—BD—C平面角的余弦值为－. （8分）
(2)设O为AC的中点，∵⊿ABC与⊿ADC都为直角三角形，∴OA=OB=OC=OD，∴Ｏ为四面体ＡＢＣＤ的外接球的球心．
∴四面体ＡＢＣＤ的体积
23．解：（Ⅰ）这个几何体是底面是直角三角形的直三棱柱（写成直三棱柱也给分）…2分
（Ⅱ）解法一：（面面平行线面平行）
由三视图可知，
……………………………………………………………4分
取的中点连，
由、分别为、的中点可得
又，
∴，…………………………………6分
又
∴
而，∴………………………………8分
解法二：（线线平行线面平行）
连续，则，……………………………4分
∵，∴………………………………………………6分
又
∴…………………………………………………8分
（Ⅲ）取的中点.
∵，∴，在直三棱柱中
∴……………………………………………………9分
∴多面体是以为高，以矩形为底面的棱锥…………10分
在中，………………………………11分
∴棱锥的体积…………13分
24．
解：（1）侧视图同正视图，如下图所示。
（2）该安全标识墩的体积为：
=
（3）如图，连结EG，HF及BD，EG与HF相交于O，连结PO，
由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF
又EG⊥HF ∴HF⊥平面PEG
又BD∥HF ∴BD⊥平面PEG
25．解：（I）证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，（如图1）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴HG//BC，HF//DE，……………… 2分
又∵ADEB为正方形 ∴DE//AB，从而HF//AB
∴HF//平面ABC，HG//平面ABC, HF∩HG=H,
∴平面HGF//平面ABC
∴GF//平面ABC………………4分
（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF//平面AB………………5分
又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC ………………6分
∴BE⊥AC
又∵CA2+CB2=AB2
∴AC⊥BC,
∵BC∩BE=B,
∴AC⊥平面BCE ………………8分
（Ⅲ）连结CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB， ……………… 9分
又平面ABED⊥平面ABC，CN平面ABC，∴CN⊥平面ABED。……………… 10分
∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴， ………………11分
∵C—ABED是四棱锥,
∴VC—ABED= ………………13分