初一数学上册总复习--青岛版

初一数学青岛版
（一）我们身边的图形世界　　点、线、面、体
知识强化
一、知识概述
（一）几何图形
1、从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形．
　　我们观察分析周围的物体时，如果只注意它们的形状、大小（如长度、面积、体积等）以及相对位置（如垂直、平行、相交等），而不考虑它们的颜色、材料和质量、用途等等，就从中抽象出了几何图形．几何图形包括立体图形和平面图形，像长方体、正方体、圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球等，它们都是立体图形；像线段、射线、直线、三角形、长方形、梯形、圆、扇形等等，它们都是平面图形．可以说几何图形在生活中无处不在，无所不用．
2、你能把下列图形和名称对应起来吗？
三棱锥　　　圆柱　　　　球　　　长方体　　　圆锥
像长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，简称为体．
　　观察上面几何体的表面特点将它们分类：圆柱、圆锥和球为一类，因为它们的面有的为曲面.棱柱和棱锥的面都是平的为一类，像这一类几何体也叫多面体.
3、包围着体的是面．面有平的面和曲的面两种．
4、平面：没有边界，可以向四面八方无限延伸．
5、有些图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形；有些图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．
（二）点、线、面、体
1、面和面相交的地方形成线．线和线相交的地方是点．
2、从图形运动的观点来看：点动成线、线动成面、面动成体．如天空中喷气式飞机喷烟拉线的过程给我们点动成线的印象；用一块木板的边缘平整沙地的过程给我们线动成面的印象；在桌面上旋转一枚硬币会看到一个小球体，这说明面动成体．
3、几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素．
4、有些图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形．这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．
　　展开与折叠是在立体图形与平面图之间建立联系的重要手段之一，在实际生活中常常需要了解一些立体图形的平面展开图，如包装一个长方体形状的物体，需要根据它的平面展开图来裁剪纸张．同一个立体图形，由于剪开的方式不同，展开的平面图形也就不同，无论是哪种形式的平面展开图，只要能将其围成一个相应的立体图形，它就是该立体图形的平面展开图，如下图中的几个平面图形都是正方体的平面展开图．
　　　　　　　?
二、例题讲解
例1、（1）指出图中几何图形的名称．
　　（2）圆柱的侧面展开图是一个__________，圆锥的侧面展开图是一个__________．
　　（3）用一根长36cm长的铁丝，加工成一个正方体的框，则这个正方体的棱长是__________．
　　（4）一个长为10、宽为5的长方形，若绕它的长所在直线旋转一周，所得的圆柱的曲面面积为__________；若绕它的宽边所在直线旋转一周，所得的圆柱的曲面面积为__________．
答案：
　　（1）三角形　　四边形　　圆柱　　圆锥　　四棱柱　　圆　　球体
　　（2）长方形；扇形
　　（3）3cm
　　（4）100π；100π
例2、如图，第二行图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，请用线连接起来．
答案：
连接如下图：
例3、如图是一个正方体纸盒的展开图，在其中的四个正方形内标有数字1，2，3和－3．要在其余正方形内分别填上－1，－2，使得按虚线折成正方体后，相对面上的数互为相反数，则A处应填_________．
分析：
　　本题突出考查学生的想像能力和逻辑分析能力，解决问题的思路是在图中选一个面作前面(如标有“2”的面)，实际(或想像)折叠，从折叠的过程中，判断一个面应与谁相对．若以标有“2”的面作前面折叠图形，看到“A”与“2”相对，故应填“－2”．
答案：－2
点评：
　　解答本题常出的错误是不进行折叠，粗略—想，便匆忙确定与“A”相对的数字，导致误填．解答这类问题是有规律的，下面提出几条，供参考：
　　(1)当有四个正方形联结成“一”字时，“一”字中相隔一个正方形的两个面相对，“一”字外的两个面相对．
　　(2)当只有三个正方形联结成“一”字时，如果另外三个中，两个联结成一组，它和单独的那一个分居于“一”字两侧，那么两侧与“一”字相连的两个正方形相对，“一”字中两端的两个正方形相对；如果另外三个也联结在一起，则三个中两端的两个正方形分别相对，1与3、4与6相对，剩下的2与5，当然也就相对了．
例4、用平面截一个正方体，截面的形状有哪几种可能？
思路点拨：
　　平面与正方体的侧面的交线可能有三条、四条、五条、六条（如图）.
解：截面形状可能是三角形，四边形，五边形，六边形.
例5、把立方体六个面分别涂上六种不同颜色，并画上朵数不等的花．各面上的颜色与花的朵数情况列表如下：
颜色
红
黄
蓝
白
紫
绿
花的朵数
1
2
3
4
5
6
　　现将上述大小相同、颜色花朵分布完全一样的四个小立方体拼成一个水平放置的长方体．如图所示，问长方体的下底面共有多少朵花？
解析：
　　由图知，红色与黄、蓝、紫、白色相邻，它与绿色相对；
　　黄色与白、红、蓝、绿色相邻，所以黄色与紫色相对；白色与蓝色相对；
　　所以下底面共有5＋2＋6＋4＝17朵．
例6、下图（2）～（5）是图（1）的正方体切去一块，得到的几何体，
　　①它们各有多少个面？多少条棱？多少个顶点？
　　②举例说明其他形状的几何体也切去一块，所得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少．
　　③若面数记为f，棱数记为e，顶点数记为v，则f＋v－e应满足什么关系？
答：
　　①图（2）有7个面、15条棱、10个顶点，图（3）有7个面、14条棱、9个顶点，图（4）有7个面、13条棱、8个顶点，图（5）有7个面、12条棱、7个顶点．
　　②例如：三棱锥被切去一块，如下图所示，有5个面、9条棱、6个顶点．
　　③f＋v－e＝2．
例7、如下图，在圆锥的底面圆周A点处有一只蚂蚁，要从侧面爬一圈后，再回到A点，请你结合圆锥的侧面展开图，设计一条最短路线．
解析：
　　如果圆锥展开图是图（1）的情况，沿着图（1）中的虚线走；如果是图（2）中的情况，则沿着半径走，从圆锥顶点处绕过沿原路返回到点A．
例8、一只蚂蚁从如图所示的正方体的一顶点A沿着棱爬向B，只能经过三条棱，共有多少种走法（　）
　　　　A、8种　　　　　　　　B、7种
　　　　C、6种　　　　　　　　D、5种
解析：
　　从A点出发沿着棱走有三种走法，到达棱的另一个端点时又分别有两种走法，最后只有一种走法到达B，所以，应该有6种走法，选C．

（二）线段、射线和直线
知识强化
一、知识概述
1、线段
　　绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似地看作线段，线段有三个特征：①线段是直的，②线段有两个端点，是有界的，有长短，③线段没有粗细．
　　线段用它的两个端点来表示．在几何中，通常用一个大写英文字母表示一个点，用 A、B表示两个端点的线段表示为线段AB或线段BA，字母是无序的．
　　线段还可以用一个小写英文字母表示，如线段 a．
　　如图所示的是线段，它有两个端点，记作线段AB(或线段BA)，或线段a．
2、射线
　　将线段向一个方向无限延伸就形成了射线．手电筒、探照灯所射出的光线可以近似地看作射线．射线只有一个端点，向一方无限延伸，是无界的．
　　射线用它的端点和射线上另一个任意点来表示，且端点在前，如以 O表示射线的端点，M表示射线上的除O点外的任意一点，则这条射线就可表示为射线OM，字母是有序的．射线OM与射线MO是不同的射线．也可以用一个小写字母来表示，如射线l等．
3、直线
　　将线段向两个方向无限延伸就形成了直线．笔直的铁轨可以近似地看作直线，直线没有端点，向两方无限延伸，是无界的．
　　线段和射线也可以看作是直线的一部分．线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分；射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分．
　　直线用直线上任意两个点来表示，如 A、B是直线上任意两点，则这条直线可表示为直线AB或直线BA，字母是无序的．
　　直线还可以用一个小写字母来表示，如直线l．
4、直线的性质
　　经过两点有且只有一条直线．
　　这条性质包含两层含义：一是说经过两点有一条直线，肯定有，不是没有，即存在性；二是说经过两点只有一条直线，不会多，即唯一性．
　　这个性质可简单叙述为：两点确定一条直线，通常称为直线公理.
二、典型例题讲解
例1、（1）如图所示的两条直线交于P点，用两种方法表示这两条直线是__________．
　（2）如图所示，在下列语句中，能正确表示出图形特点的有（　）
　　①直线l经过点A、B；②点A和点B都在直线l上；③直线l是A、B两点所确定的直线；④l是一条直线，A、B是直线l上任意两点.
　　A．1句　　　B．2句　　　　C．3句　　　　　D．4句
　　（3）如图所表示的含义，下列说法正确的是（　）
　　A．延长射线AB　　　　　　B．延长线段AB
　　C．反向延长线段BA　　　　D．反向延长线段AB
　　（4）如图，直线上有A、B、C三点，下列说法正确的有（　）
①射线AB与射线BC是同一条射线；
②直线AB经过点C；
③射线AB与射线AC是同一条射线；
④直线AB与直线BC是同一条直线．
A．1个　　　　　　　　　B．2个
C．3个　　　　　　　　　D．4个
　　（5）如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的是（　）
答案：
（1）直线a，直线b，或直线AP，直线BP
（2）D
（3）D
（4）C
（5）B
例2、已知平面内的四个点A、B、C、D，过其中两个点画直线，可以画出几条？
分析：
　　因为条件中没有说四个点是否在同一直线上，所以应分情况讨论 .
解：
　　（1）当 A、 B、 C、 D 四个点在同一直线上时，只可以画出一条直线，如图（1）.
(1)　　　　　　　　　　(2)　　　　　　　　　　(3)
　　（2）当 A、 B、 C、 D 四个点中有三个点在同一直线上时，可以画出 4 条直线（如图（2）） .
　　（3）当 A、 B、 C、 D 四个点中任意三个点都不在同一直线上时，因为过其中任何一个点都有三条直线经过，即4×3=12，而每条直线都重复算了一次，所以实际可以画出的直线共×4×3=6条. （如图（3））
例3、如图中，能用字母表示的直线、射线、线段各有几条，分别是哪几条？
分析：
　　要注意直线、射线、线段的区别，直线可以向两端无限伸展，射线只能向一端无限伸展，线段是直线上两点间的部分.
解：
　　直线有 3 条，它们是直线AC，直线AE，直线BE；射线有12条，它们是射线AB，射线AC，射线CA，射线DA，射线AE，射线EA，射线BC，射线CB，射线CD，射线DC，射线DE，射线ED；线段有10条，它们是线段AB，线段AC，线段AD，线段AE，线段BC，线段BD，线段BE，线段CD，线段CE，线段DE.
例4、（1）如图，线段AB上有C，D两点，则图中共有线段（　）
　　　　　　A．3条　　　　　　　B．4条
　　　　　　C．5条　　　　　　　D．6条
　　（2）乘火车从A站出发，沿途经过3个车站方可到达B站(如图)，那么A、B两站之间需要安排多少种不同的车票．
答案：
　　（1）D
　　提示：AC、AD、AB、CD、CB、DB共6条，即3＋2＋1=6.
　　（2）此题利用几何线段来解决实际问题，线段上有n个点(包括端点)时，共有线段条．如图，线段AB上有三点C、D、E，则线段的条数共有10条，而一条线段上有往返两种车票．所以共有20种车票．
例5、阅读以下材料并填空：平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作多少条不同的直线？
　　①分析：当仅有两个点时，可连成1条直线，当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线…….
　　②归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数Sn发现如下规律：
点的个数
可连成直线的条数
2
3
4
5
…
…
N
　　③推理：平面上有n个点，两点确定一条直线，取第一个点A有n种取法，取第二个点B有(n－1)种取法，所以一共可连成n(n－1)条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2，即.
　　④结论：.
　　试探究以下问题：
　　平面上有n个点（n≥3），任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少个不同的三角形？
　　①分析：当仅有3个点时，可作________个三角形；当有4个点时，可作________个三角形；当有5个点时，可作________个三角形……
　　②归纳：考察点的个数n和可作出三角形的个数Sn发现：
点的个数
可作出的三角形个数
3
　
4
　
5
　
…
　
N
　
　　③推理：_________________________________________________________
　　④结论：_________________________________________________________
解析：
　　①1，4，10.
　　②
　　③平面上有n个点，过不在同一条直线上的三点可以确定一个三角形，取第一点A有n种取法，取第二个点B有（n－1）种取法，取第三个点C有（n－2）种取法，所以一共可以作n(n－1)(n－2)个三角形，但△ABC、△ACB、△BAC，△BCA、△CAB、△CBA是同一个三角形，故应除以6，即
　　④

（三）线段的度量和比较
知识强化
一、知识概述
1、两点之间的所有连线中，线段最短．简单说成两点之间线段最短.
2、两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离．
　　线段的长度可用有刻度的直尺测量．
3、线段大小的比较方法
　　(1)叠合法．如比较线段AB、CD的大小，可将线段AB、CD移到同一条射线上，使它们的端点A、C都与射线的端点重合，再由点B与点D的位置关系，就可得出线段AB和CD的三种大小关系．
　　(2)度量法．先用刻度尺量每条线段的长度，再按照长度比较它们的大小．线段的大小关系和它们长度的大小关系是一致的．
　　表示方法：用几何语言表述两线段比较可能出现的三种结果．
　　若两线段为线段AB、线段CD，如上图，则分别有如下结论：ABCD
4、线段的中点
　　如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，那么点M叫做线段AB的中点，类似地，线段有三等分点、四等分点等．
　　如图所示，若点M是线段AB的中点，则
　　AM=BM=AB或AB=2AM=2BM．
5、求线段长度通常有三种方法：①逐步计算求线段的值；②用字母代换求线段的值；③构造方程求线段的值．
6、直线、射线、线段之间的联系与区别
二、典例讲解
例1、（1）如图，A、B是河流l两旁的两个村庄，若在河流l上建一个水厂，使它到两个村庄铺设的供水管道最短，请你在l上标出点C的位置，并说明理由．
　　（2）一个圆柱形的柱子，一只蚂蚁由柱子的一条高AB的最底端B点沿侧面转圈爬到顶端A点，问小蚂蚁怎么走路线最短？
答案：
　　（1）解：连接AB交l于C，则点C就是所求作的点．
　　理由是：两点之间，线段最短.
　　（2）解：如图，先将圆柱侧面展开，蚂蚁应沿着BA爬行，路线最短．
例2、（1）C是线段AB的中点，D是线段BC上一点，则下列说法不正确的是（　）
A．CD=AC－BD　　　　　　　B．
C．CD=AD－BC　　　　　　　D．
　　（2）如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①，②AB=BC，③AC=2AB，④AB＋BC=AC．能表示B是线段AC的中点的有（　）
A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个
　　（3）已知线段AB=10cm，PA＋PB=20cm，下列说法正确的是（　）
　　A．点P不能在直线AB上
　　B．点P只能在直线AB上
　　C．点P只能在线段AB的延长线上
　　D．点P不能在线段AB上
解析：
　　（1）由线段的中点性质知A、B、C都是正确的，D不正确.
　　（2）因为点B在线段AC上，所以①，②AB=BC，③AC=2AB表示B是AC的中点，只有AB+BC不能确定B是AC的中点．
　　（3）若P在线段AB上，则PA＋PB=AB＝10cm，点P可以在线段AB的延长线上或BA的延长线上，所以选D.
答案：（1）D　　　（2）C　　　（3）D
例3、如图所示，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，BD＝2cm，求AD的长．
分析：
　　因为AD＝AC＋CD，而AC＝BC，CD＝DB，BC＝CD＋DB，所以AD＝BC＋DB＝2DB＋DB＝6cm．另外也可以用AD＝AB－DB来解，AB＝2BC，BC＝2DB，所以AD＝4DB－DB＝6cm．
解：
　　因为D是CB的中点，所以CB＝2BD．
　　又因为BD＝2cm，所以CB＝4cm．
　　又C是AB的中点，所以AB＝2CB＝8cm．
　　所以AD＝AB－BD＝8－2＝6（cm）．
答：AD的长是6cm．
例4、已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长.
分析：
　　本题是一道无附图问题，由题意知道 A、 B、 C 三点共线，但未明确C点是在线段 AB 上，还是在 AB 的延长线上，所以要分两种情况来讨论，运用这种方法时，要考虑到有可能出现的情形，不能漏掉任何一种，通过画出正确的图形得到正确的答案．本题关键是求出 AM 的长 .
解：
　　（1）当点C在线段AB上时，如图（1）
　　∵ M是AC的中点，∴ AM=AC.
　　又∵ AC=AB－BC ，AB=8cm，BC=4cm
　　∴ AM=（AB－BC）=(8－4）=2cm
　　（2）当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图（2）
　　∵ M是AC 的中点，∴ AM=AC.
　　又∵ AC=AB＋BC ，AB=8cm，BC=4cm
　　∴ AM=（AB＋BC）=（8＋4）=6cm.
即线段AM 的长度为2cm或6cm.

课外拓展
例1、如图，C是线段AB上的一点，D是线段CB的中点，已知图中所有线段长度之和为23，线段AC的长度与线段BC的长度都是正整数，则线段AC的长度为______.
解：
　　图中共有六条线段，即AC、AD、AB、CD、CB、DB，又因为D是CB的中点，所以CD=DB，CB=2CD，AB=AC＋2CD，AD=AC＋CD，由题可得：AC＋AD＋AB＋CD＋CB＋DB=23，即AC＋AC＋CD＋AC＋2CD＋CD＋2CD＋CD=23，也即3AC＋7CD=23，所以因为AC是正整数，所以CD=2，也即23－7CD=9时，能被3整除；所以AC=3.
　　故填3.
例2、（2008年全国数学竞赛海南预赛）如图，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．若想求出MN的长度，那么只需条件（　）
A. AB＝12　　　　　　　B. BC＝4
C. AM＝5　　　　　　　 D. CN＝2
分析：
　　因为点M是AC的中点，所以AM＝MC＝AC，因为点N是BC的中点，所以BN＝NC＝BC．MN＝MC－NC＝AC－BC＝（AC－BC）＝AB．所以只要知道AB的长度，就可以求出MN的长度．
解：A
评析：
　　这是一道开放型的选择题，解法比较灵活，可以逐步推导，也可以用排除法．
?

（四）正数、负数　　数轴
知识强化
一、知识概述
（一）正数和负数
1、负数的意义
　　负数是由实际的需要而产生的，如：某地气温是8℃，由于强冷空气南下，气温下降了12℃，则该地区这时的实际气温是(8－12)℃，但在算术中这个差是不存在的，实际上这个气温是客观存在的，为了解决这个“不够减”的矛盾，引入一个新数——负数，即(8－12)℃＝－4℃，表示零下4℃．
2、相反意义的量
　　为了表示具有相反意义的量，把其中一种意义的量规定为正，另一种与它意义相反的量规定为负，正的量记为“＋”，如＋6，＋2.5，…叫正数；负的量记做“－”，像－4，－6这类带有负号的数叫负数；“0”既不是正数，也不是负数，是正数与负数的界限，规定零是最小的自然数.
　　自然界有许多具有相反意义的量，如上升与下降，向东与向西、盈余与亏损等都可以用正负数来表示．
（二）有理数的分类
（1）有理数
（2）有理数
（3）字母a的意义
用字母a表示有理数时：
①a>0时，a表示正数，－a表示负数；
②a<0时，a表示负数，－a表示正数；
③a≥0时，a表示非负数.
（三）数轴
1、数轴的意义
　　规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴，原点、单位长度和正方向称为数轴的三要素，这三者缺一不可．数轴是一种特定几何图形．
2、数轴的画法
　　画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点，用这个点表示0，规定这条直线上从原点向右的方向（以箭头表示）为正方向，相反的方向（即从原点向左的方向）为负方向，选取某一长度作为单位长度，就得到了如图所示的数轴（number axis）.
（四）利用数轴比较有理数大小．
　　由数轴知，数轴上的两个有理数中，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此有理数大小比较的规律是：正数大于0，零大于一切负数，负数小于零，正数大于一切负数．建立了数轴后，就可以用数轴上的点表示有理数，原点表示的数是0，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，即用数轴上的点表示有理数的口诀为：左负右正，原为零，所有的有理数都可在数轴上找到对应的点.
二、例题讲解
例1、下列四组数中，都是正数或都是负数的是（　）
①4，1，，0.3　　　　　　　②2，－3，0
③－1，－0.1，　　　　　④－2009，－2，0
A．①③④　　　　　　　　　　B．②④
C．①③　　　　　　　　　　　D．①②③
分析：一组数中所有的数都是正数或负数即可，注意0既不是正数也不是负数．
答案：C
例2、将下列各数填入相应的括号内：－2.5，3.14，－2，＋72，－0.6，0，．
答案：
　　正数，
　　负数
例3、一个物体沿着南北方向在运动，若规定向南记作正，向北记作负，则该物体：（1）向南运动20米记作__________，向北运动50米记作__________；（2）＋25表示向南运动__________米，－26表示向__________运动__________米；（3）原地不动记作__________．
分析：
　　正数与负数可表示具有相反意义的量，正数表示向南运动，则负数表示向北运动 .0表示原地不动，0表示正数与负数的分界，在实际问题中也有确定的意义.
答案：
　　（1）＋20米，－50米；
　　（2）南，25，北，26；
　　（3）0
例4、把下列各数填在相应的大括号里：
－5，2，，－2，0，2008，－25，6.3，－3.7
解：
负数{－5，，－2，－25，－3.7}；
整数{－5，2，－2，0，2008，－25}；
自然数{2，0，2008}；
分数{，6.3，－3.7}．
例5、下列关于有理数分类正确的是（　）
A．有理数分为正有理数和负有理数
B．有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数
C．有理数分为正有理数，0，分数
D．有理数分为自然数，负整数，分数
分析：
　　因为有理数，而正整数和零是自然数，所以有理数分为自然数，负整数，分数．选D．
答案：D
例6、下列各图中，是数轴的是（　）
A．　　　　B．
C．　　　　 D．
分析：
　　原点、单位长度和正方向称为数轴的三要素，这三者缺一不可．A没有正方向，B没有原点，C中单位长度不一致．
答案：D
例7、在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”连接起来
　　　
分析：
　　首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据这些数在数轴上的位置顺序比较大小，再用“＜”连接起来.
解： 这些数在数轴上的表示如图所示.
　　 它们从小到大的排列为：.
例7、小虫从某点O出发在同一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次记为（单位：厘米）：＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．
（1）小虫离开出发点O最远时是多少厘米？
（2）小虫从出发到最后停下来回共爬行多少厘米？
答案：
　　（1）5，5＋（－3）=2，2＋10=12，12＋（－8）=4，4＋（－6）=－2，－2＋12=10，10＋（－10）=0，最远时是12cm．
　　（2）5＋3＋10＋8＋6＋12＋10=54cm．
例8、已知在一条只有正方向的不完整的数轴上有A，B，C，D四个点，如图所示，
　　（1）若点C是原点，单位长度是1，则A，B，C，D四点分别表示什么数？
　　（2）若点B是原点，点C表示的数为10，则A，D两点所表示的数分别是什么数？
　　（3）若D点表示的数是6，A点表示的数是－12，则在图中标出原点的位置，并写出B，C两点各表示什么数？
解：
　　（1）A，B，C，D四点分别表示－3，－1，0，3；
　　（2）A，D两点分别表示－20，40；
　　（3）原点在点C右边的一点，B，C两点分别表示－6，－3．
例9、一只蝈蝈在数轴上跳动，先从A处向左跳1个单位长度到B，然后由B向右跳2个单位长度到C，若C表示的数为－3，则点A所表示的数为__________．
解：
　　考虑逆过程．由－3向左跳2个单位是－5，再向右跳1个单位是－4，所以A点表示的数为－4.

（五）相反数与绝对值
知识强化
一、知识概述
1、相反数的意义
　　（1）代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数．0的相反数是0．
　　（2）几何意义：在数轴上的原点两旁，离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.
　　（3）性质：互为相反数的和为0，即a＋b=0a、b两数互为相反数.
　　（4）符号：在一个数前面加“－”号表示这个数的相反数，如数a的相反数是－a.
2、绝对值的意义
　　在数轴上，表示一个数对应的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值．通常把数a的绝对值记作|a|．
　　（1）绝对值的代数意义是：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
　　（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值表示的是这个数离开原点的距离，记做|a|，离原点越远，数的绝对值越大.
　　（3）绝对值是非负数，即|a|≥0．互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|－a|.
　　（4）在处理绝对值符号时，应首先确定绝对值里面的数的正、负性，若是非负数，则直接去掉绝对值符号；若是负数，则去掉绝对值符号后，前面加负号，即
　　
3、利用数轴比较有理数大小　
　　由数轴知，数轴上的两个有理数中，右边的数总比左边的数大，因此有理数大小比较的规律是：正数大于零，零大于一切负数，负数小于零，正数大于一切负数．两个负数，绝对值大的负数反而小．
二、例题讲解
例1、下列各对数中，互为相反数的有（　）
①（－1）与＋（－1）
②＋（＋2）与－2
③－（－3）与＋（－3）
④
⑤＋[－（＋4）]与[＋（－4）]
⑥－[－（＋2）]与＋[＋（－2）]
A．1对　　　　　　　　　B．2对
C．3对　　　　　　　　　D．4对
分析：
　　化简有多重符号的数的关键是结合数轴理解相反数，按由内到外的顺序去括号．②＋（＋2）＝2，与－2互为相反数，③－（－3）＝3，与（－3）互为相反数，
　　⑥－[－（＋2）]＝2，＋[＋（－2）]＝－2．－[－（＋2）]与＋[＋（－2）] 互为相反数．
答案：C
例2、如图所示，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A、B、C内的三个数依次为（　）
A．1，－2，0　　　　　　　　　B．0，－2，1
C．－2，0，1　　　　　　　　　D．－2，1，0
分析：
　　由展开图可知，A面与－1所在面，B面与2所在面，C面与0所在面均是相对的面，所以A、B、C内的三个数依次为1，－2，0．
答案：A
例3、已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示：
（1）在数轴上表示出－a、－b；
（2）比较a、b、－a、－b的大小（用“＞”连接）．
解析：
　　（1）如图，a与－a，b与－b是互为相反数，它们在数轴上表示的点关于原点对称，即与原点的距离相等，且分布在原点的两旁，据此先描出－a，－b在数轴上表示的点的位置．
　　（2）数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以，－a＞b＞－b＞a．
例4、绝对值不大于4的非负整数有（　）
A．4个　　　　　　　　　B．5个
C．7个　　　　　　　　　D．9个
分析：
　　绝对值不大于4即小于或等于4，由绝对值的意义知，到原点的距离小于或等于4的非负整数有0，1，2，3，4共5个，所以选B．
答案：B
例5、下列各对数中，互为相反数的是（　）
A．－（－20）和|－20|
B．|－3|和|＋3|
C．－（－12）和－|－12|
D．|a|和|－a|
分析：
－（－20）＝20，|－20|＝20，
|－3｜＝3，|＋3|＝3，
－（－12）＝12，－|－12|＝－12，互为相反数，
|－a|＝|a|．所以选C．
答案：C
例5、数轴上到原点的距离小于2的整数点的个数为x，不大于2的整数点的个数为y，等于2的整数点的个数为z，求x＋y＋z的值．
解：
　　在数轴上到原点的距离小于2的整数点有－1，0，1的对应点，即x=3；距离不大于2的整数点有－2，－1，0，1，2的对应点，即y=5；距离等于2的整数点有－2，2，即z=2，所以x＋y＋z=10．
例6、已知，且a＞b，求a、b的值．
解：
例7、比较下列各对数的大小：
剖析：
　　对符号较复杂的数比较大小时，先化简符号和求出它们的值，后比较大小.这里没有先化简符号，凭直觉而出错.
例8、小明参加“趣味数学”选修课，课上老师给了一个问题，小明看了很为难，你能帮他一下吗？
　　a、b互为相反数，c、d互为负倒数，|m|＝2，则的值为多少？
解：
　　a、b互为相反数，则a＋b＝0，c、d互为负倒数，则cd＝－1，|m|＝2，则m＝±2.
　　所以，当m＝2时，原式＝.
当.
中考解析
例1、（黑龙江省中考题）若|a－3|－3＋a=0，则a的取值范围是（　）
A．a≤3　　　　　B．a<3　　　　C．a≥3　　　　D．a>3
解析：
　　∵ |a－3|－3＋a=0，
　　∴ |a－3|=3－a，
　　∴ a－3≤0，∴ a≤3，故选A.
答案：A
例2、（杭州市）如果，那么，两个实数一定是（　）
A．都等于0　　　　　　　　　　B．一正一负
C．互为相反数　　　　　　　　 D．互为倒数
解析：因为a＋b=0，所以a、b一定互为相反数，故选C．
答案：C
例3、（滨州）大家知道，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子在数轴上的意义是____________．
解析：
　　本题是阅读理解题．类比在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离，可知在数轴上的意义是表示a的点与表示－5的点之间的距离.注意．
答案：表示a的点与表示－5的点之间的距离.
?

（六）有理数的加法与减法
知识强化
一、知识概述
1、有理数加法法则
　　（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
　　（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；
　　（3）一个数与0相加，仍得这个数．
2、有理数加法步骤分两步：
　　第一步，确定和的符号；
　　第二步，求和的绝对值．
3、加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a＋b=b＋a．
　　加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，它们的和不变，即 (a＋b)＋c=a＋(b＋c).
4、有理数减法法则
　　减去一个数，等于加上这个数的相反数 .这个法则用式子可以表示为a－b=a＋(－b).
　　注意：有理数的减法，不像算术里那样直接相减，而是把它转化为加法，借助于加法进行计算 .因此，掌握有理数减法的关键是正确地将减法转变为加法.再按有理数的加法法则计算.注意两个“变”：①改变运算符号；②改变减数的性质符号（变为相反数），牢记一个“不变”，被减数与减数的位置不能交换，也就是说，减法没有交换律．
5、有理数加减混合运算
　　（1）代数和：几个正数或负数的和称代数和，是在代数和里把加号及加号前的括号省去不写的简写形式，简写后的代数和的符号都是性质符号，而运算符号“＋”均已省略.如－5－2＋3－5实际表示－5，－2，＋3，－5的和.
　　（2）有理数加减混合运算的步骤：首先变减为加，再写成省略加号的和的形式，然后利用加法交换律和结合律简化计算.
　　（3）使用加法交换律交换数的位置时，要连同数前面的符号一起交换.
　　（4）利用交换律的结合律进行简化计算时应遵循几条法则：
　　①正数和负数分别结合相加；
　　②分母相同或易于通分的分数结合相加；
　　③和为整数的结合相加；
　　④互为相反数的结合相加.
二、例题讲解
例1、计算：
（1）（－18）＋（－22）；
（3）（－3）＋（－3）；
（4）（－2010）＋0.
分析：
　　有理数加法步骤分两步：第一步，确定和的符号；第二步，求和的绝对值．
解：
　　（1）（－18）＋（－22）＝－(18＋22)＝－40；
　　（2）
　　（3）（－3）＋（－3）＝－（3＋3）＝－6；
　　（4）（－2010）＋0＝－2010
例2、计算
　　
分析：
　　进行三个以上的有理数的加法运算时，常常运用加法的交换律和结合律，通过观察分析，根据题中数字的特点，重新组合，分别相加，使运算简便．
解：
　　（1）原式
　　
　　（2）原式
　　
例3、M国股民A上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周每日该股票的涨跌情况：
（单位：元）
星期
一
二
三
四
五
六
每股涨跌
＋4
＋4.5
－1
－2.5
－6
＋2
　　（1）星期三收盘时，每股多少元？
　　（2）本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？
　　（3）已知A买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付交成交额的1.5‰的手续费和1‰的交易税，若股民A在星期六收盘前将股票全部卖出，试问他的收益如何？
解析：
　　这是一道有理数加法的应用问题，贴近我们的实际生活，同学们可能对这个问题有一定的兴趣，下面让我们一起来解这道题．
　　（1）星期三收盘时，每股的股价为：
　　27＋（＋4）＋（＋4.5）＋（－1）=34.5（元）
　　（2）通过计算可知，本周内的最高价是星期二那天的股价为
　　27＋（＋4）＋（＋4.5）=35.5（元）
　　最低价是星期五那天的股价为
　　27＋（＋4）＋（＋4.5）＋（－1）＋(－2.5)＋(－6)=26（元）
　　（3）因为星期六该股的股价为
　　27＋（＋4）＋（＋4.5）＋(－1)＋(－2.5)＋(－6)＋（＋2）=28（元）
　　所以：28×1000×(1－1.5‰－1‰)－27×1000×(1＋1.5‰)=889.5元.
　　即股民A收益了889.5元.
例4、计算
　　（1）（＋32）－（－78）
　　（2）（－7）－（－5）－（－15）－11
分析：
　　进行有理数的减法运算时，首先是把减法运算转化为加法运算，然后按照有理数加法法则运算．
解：
　　（1）原式=（＋32）＋（＋78）=110
　　（2）原式=（－7）＋（＋5）＋（＋15）＋（－11）
　　=[（－7）＋（－11）]＋（5＋15）
　　=（－18）＋20=2
例5、计算：
　　
分析：
　　在做加减混合运算时，通常将加减运算统一为加法运算或改写为省略加号的和的形式。根据实际情况还可以将加法运算律运用于计算之中，正数和负数分别结合相加，分母相同或易于通分的分数结合相加，互为相反数的结合相加，使计算更加简便.
解：
（1）原式
（2）原式
（3）原式
例6、一只蚂蚁在一张棋盘的一条直线上爬行，规定向右为正方向，第一次它从A点向右爬了1个单位，第二次向左爬了2个单位到B点，第三次又向右爬了3个单位后到了C点，第四次再向左爬了4个单位到达D点…，这样它一直爬了20次，爬到了A0点．已知A0点表示－18，那么A点表示什么数呢？
解：
设A点表示的数是a，则
a＋1－2＋3－4+…＋19－20=－18
a＋(－10)=－18
a=－8
所以A点表示什么数是－8．
例7、计算：
（1）（－5）－（－10）＋（－32）－（－7）
（2）
（3）1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100
解：
　　（1）（－5）－（－10）＋（－32）－（－7）
　　＝－5＋10＋（－32）＋7
　　＝[（－5）+（－32）]+（10+7）
　　＝－20
　　（2）
　　（3）1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100
　　＝（1－2）+（3－4）+（5－6）+…+（99－100）
　　＝（－1）+（－1）+（－1）+…+（－1）
　　
＝－50
?中考解析
1、（吉林中考题）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A、a＋b>a>b>a－b　　　　　　B、a>a＋b>b>a－b
C、a－b>a>b>a＋b　　　　　　D、a－b>a>a＋b>b
解析：
　　实数a、b在数轴上的位置，既能反映出它们的大小，又能确定a＋b、a－b等运算结果的符号，观察数轴，可知b<0|b|，从而0a.这样把a＋b、a－b在数轴上表示出来，再依据“数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”，可知a－b>a>a＋b>b.
答案：D
2、（哈尔滨中考题）已知|x|=3，|y|=2，x·y<0，则x＋y的值等于（ ）
A、5或－5　　　　　　　　　B、1或－1
C、5或1　　　　　　　　　　D、－5或－1
解析：
　　由|x|=3，|y|=2，可知x=±3，y=±2；又x·y<0，说明x、y异号．
　　故其和x＋y的值应分两种情况来考虑．
　　（1）当x>0，y<0时，x＋y=3－2=1；
　　（2）当x<0，y>0时，x＋y=－3＋2=－1.
　　　　 或由已知有|xy|=6，又xy<0，∴ xy=－6.
　　　　　∵ (x＋y)2=x2＋y2＋2xy=9＋4＋2×(－6)=1，
　　　　　∴ x＋y=±1.
答案：B
课外拓展
计算：
解析：
注意：一般地，
第（1）题中由于1与2，2与3，3与4，……，20与21之间相差1；
第（2）题中1与3，3与5，……，2001与2003之间均相差2；
第（3）题中，1与4，4与7，……，13与16之间均相差3；
故（1）～（3）题中依次要乘以 .

（七）有理数的乘法与除法
知识强化
一、知识概述
（一）有理数乘法的法则及运算律
1、有理数的乘法法则
　　两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘，都得零.
　　几个有理数相乘的符号确定：
　　几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.几个数相乘，有一因数为零，积就为零.
2、乘法运算律
　　（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变.即ab＝ba.
　　（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.即(ab)c＝a(bc).
　　（3）乘法对加法的分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与两个数相乘，再把积相加.即a(b＋c)＝ab＋ac.
（二）有理数的除法法则
1、有理数的除法法则
　　法则1：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0；
　　法则2：除以一个数等于乘以这个数的倒数，0不能作除数．
2、倒数的意义
　　乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数，0没有倒数.
　　倒数的求法：
　　（1）求一个整数的倒数，直接可写成这个数分之一，即a的倒数为.
　　（2）求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下即可，即的倒数为.
　　（3）求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再求倒数.
　　（4）求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，再求倒数.
二、例题讲解
例1、计算下列各式：
??? （1）（－5）×（－4）；???? （2）（－）×0；
??? （3）（－6）×（－）；?? （4）×（－）；
??? （5）（－2004）×1???????? （6）（－）×（－1）
分析：
　　以上各题都是两个有理数相乘，运用有理数乘法法则，先确定积的符号，再将绝对值相乘即可．
解：
（1）（－5）×（－4）＝＋（5×4）＝20；
（2）（－）×0＝0；
（3）（－6）×（－）＝＋（6×）＝14；
（4）×（－）＝－（×）＝－1；
（5）（－2004）×1＝－2004
（6）（－）×（－1）＝
小结：
　　①两个不为零的有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘：任何数与0相乘，积为0；一个有理数与1相乘仍得这个数，一个有理数与－1相乘得这个数的相反数；乘积为1的两个有理数互为倒数．
　　②乘法计算时，若有因式是带分数，一般要化为假分数．
　　③两因式相乘时，第一个因式前面可以不加括号，但后面的因式必须添加括号，如－1×－8的写法是错误的，因两个运算符号是不能连在一起写的，碰到上述情况，正确的写法是添括号，如：－1×（－8）或（－1）×（－8）.
例2、计算
（1）（
（2）
（3）（
分析：
　　第（1）题若按运算顺序，先算括号里面，那么计算起来比较麻烦，观察此题的特点，24分别是分母2、3、4、6、12的倍数，因此运用分配律，改变运算顺序，可使运算简便，第（2）小题若直接相乘必很麻烦，观察此题的特点，可先把19折成（，然后运用分配律计算．第（3）题直接相乘再相加，这很麻烦，根据此题的特点，可逆用分配律，使计算简便．
解：
（1）（
（2）
????? ＝（20
（3）（
????? ＝
小结：
　　第（1）小题运用了分配律，避开了通分的麻烦．第（2）题先运用分拆的思想，再运用分配律，避免了带分数化假分数，假分数再化成带分数的麻烦，第（3）题逆用了分配律，利用凑整的思想方法，简化了运算，分配律在乘法运算中的作用主要是使运算简便，提高计算速度和准确度，能否灵活地运用分配律是计算能力高低的具体表现．
例3、计算：
分析：
　　有理数的除法，有两个法则可供选择，（1）应用第一个法则较合适，（2）应用第2个法则较合适，运算的顺序应从左至右.
解：
例4、计算：
（1）（－3）÷2÷1
（2）（－2）÷（－10）×（－3）÷（－）
（3）（＋－－）÷（－）
（4）（－12）÷（－－＋－）
分析：
　　第（1）题，在确定符号的同时，将带分数化为假分数，再把除法转化为乘法，最后按乘法法则进行计算．第（2）题乘除混合运算，要先将带分数化为假分数，再把除法转化为乘法，然后按从左到右的顺序计算；第（3）题先别忙于计算小括号，将除先转化为乘（＋－－）×（－42），这时就可运用分配律．但第（4）题，千万不能滥用第（3）题的方法，得将原式＝－12÷（－）＋12÷－12÷＋12÷，这题必须先算小括号，再相除．
解：
（1）（－3）÷2÷1
＝－÷÷
＝－××
＝－1
（2）（－2）÷（－10）×（－3）÷（－）
??? ＝×××
??? ＝2
（3）（＋－－）÷（－）
??? ＝（＋－－）×（－42）
??? ＝×（－42）＋×（－42）－×（－42）－×（－42）
??? ＝－35－24＋28＋15
??? ＝－16
（4）（－12）÷（－－＋－）
??? ＝（－12）÷（）
??? ＝－12÷
??? ＝12÷
??? ＝30
小结：
　　在乘除混合运算中，有带分数的，先将带分数化为假分数，再将乘除混合运算全部变为乘法运算，这样才能使用乘法交换律与乘法结合律，才能简便运算．同级运算一定要遵守从左到右的运算顺序，分配律只能在乘法中可用，不能在除法中用，如6÷（2＋3）＝1.2≠6÷2＋6÷3＝5．
例5、计算－3.1416×(－6)－3.1416×(－10)＋(－14)×3.1416.
分析：以3.1416为基准变形，再逆用分配律计算简便.
解：原式
小结：运用乘法的分配律时，有时逆用它计算比较简便.
例6、（1）求的值.
　　（2）计算：
(1＋0.12＋0.34)(0.12＋0.34＋0.56)－(1＋0.12＋0.34＋0.56)(0.12＋0.34).
　　（3）计算：
（1）分析：关键是求有多少个负因数的积，此题共有2005个负因数，积为负.
解：原式
（2）分析：此题如果把0.12＋0.34和0.12＋0.34＋0.56分别当作一个整体，用字母a和b来代替，可使计算大大简化.
解：设0.12＋0.34＝a，0.12＋0.34＋0.56＝b
　　原式＝(a＋1)b－(1＋b)a＝ab＋b－a－ab
　　　　＝b－a＝(0.12＋0.34＋0.56)－(0.12＋0.34)＝0.56.
（3）分析：根据除法法则并灵活变形求解.
解：原式
小结：当遇到计算量较大的题型时，要考虑适当变形，用技巧方法求解.
例7、一天小明和小颖利用温差来测量一座山峰的高度，小明在山顶测得温度是2℃，小颖在山脚测得温度是4℃，已知该地区高度每升高100米，气温要下降0.8℃，试问这座山峰有多高？
分析：
　　由题意可知，山顶与山脚的温差，4－2＝2℃，而每升高100米，气温要下降0.8℃，所以2÷0.8＝2.5，有100×2.5＝250米高．
解：（4－2）÷0.8×100＝250米
答：这座山峰有250米高．
中考解析
（重庆中考题）有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1～13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24，例如对1，2，3，4，可作如下运算：（1＋2＋3）×4＝24.（注意上述运算与4×（2＋3＋1）应视作相同方法的运算）现有四个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24，运算式如下：
（1）__________________________________；
（2）__________________________________；
（3）__________________________________.
另有四个数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）______________使其结果等于24.
解：
（1）3×[4＋10＋(－6)]
（2）（10－4）－3×（－6）
（3）4－（－6）÷3×10
（4）[（－13）×（－5）＋7]÷3
课外拓展
例、如果四个不同的整数m,n，p,q满足（7－m）（7－n）（7－p）(7－q)＝4，求m＋n＋p＋q的值．
分析：
　　因为m，n，p，q为整数，7－m，7－n，7－p，7－q也为整数，将4分解为四个因数的积．
解：
　　依题意得（7－m）（7－n）（7－p）(7－q)＝2×（－2）×1×（－1），
　　不失一般性，设7－m＝2， 7－n＝－2，7－p＝1，7－q＝－1，
　　即 m＝5，n＝9，p＝6，q＝8，
　　m＋n＋p＋q＝28．
?
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（八）有理数的乘方
知识强化
一、知识概述
1、有理数的乘方
　　一般地，n个相同的因数a相乘，即，记作an，读作a的n次方.求n个相同的因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂.
　　例如 读做2的八次方等于256, 是8个2相乘的结果 , 其中2是底数，8 是指数 ，256 是2的8次幂．
　　幂的读法，关键是分清底数和指数．如－读作“２的四次方的相反数”或“２的四次幂的相反数”，不能读作“－2的四次方”或“－2的四次幂”.
　　注意：一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写．
2、乘方的性质
　　正数的任何次幂都是正数；
　　负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．
　　0 的任何正整数次幂都是 0.
　　用数学符号表示：
　　（1）当 时， （n为正整数）；
　　（2）当a<0时，
　　（3）当时， （n为正整数）．
　　（4）1的任何次幂为1，－1的偶次幂为1，－1的奇次幂为－1.
　　=（n为正整数）；=（n为正整数）
　　注意：负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同负号）用小括号括起来，分数的乘方，在书写时，也应加小括号．如不加括号则表达的是另外一个意义.
3、用科学记数法表示一个绝对值较大的数
　　对于一些绝对值较大的数，如28401000，－5342901等等，这些数书写与记忆都不方便，所以我们寻求一种简洁的记数方法，即把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n是正整数），这种记数的方法叫做科学记数法.
　　用科学记数法表示较大的数的具体方法是：
　　（1）确定a：a只有一位整数位的数；
　　（2）确定n：n等于原整数位数减1.
　　如28401000＝2.8401×107，－5342901＝－5.342901×106.
二、典型例题讲解
例1、在（－6）2中，底数是_______，指数是________，运算结果是________；
在－62中，底数是_________，指数是_________，运算结果是_________.
解：－6，2，36；
6，2，－36
例2、（1） 2×32和（2×3）2有什么区别？各等于什么？
（2）32与23有什么区别？各等于什么？
（3）-34和(-3) 4有什么区别？各等于什么？
分析：
　　没有括号时，应按先乘方，再乘除，后加减的顺序计算．
解：
　　(1) 2×32表示2与3的平方之积，等于18；
　　而（2×3）2表示2与3的积的平方，等于36．
　　（2）32表示3的2次幂；而23表示2的3次幂，它们的结果分别是9和8．
　　（3）－34表示4个3相乘的积的相反数或3的4次幂的相反数；而(－3)4则表示4个(－3)相乘的积或(－3)的4次幂，结果分别是－81和81．因此，不要出现－34= (－3)4这样的错误．
例3、计算：
（1）(－1)＋(－1)2＋(－1)3＋(－1)4＋…＋(－1)100
（2）(－2)2010＋(－2)2011
分析：
　　（1）底数都是－1，指数分别是1、2、3、…、100.乘方的结果分别为－1，1，－1，…，1；
　　（2）底数都是－2，指数分别是2010，2011.前者符号为正，后者符号为负.
解：
（1）(－1)＋(－1)2＋(－1)3＋(－1)4＋…＋(－1)100
　　　＝－1＋1－1＋1＋…＋1＝0．
（2）(－2)2010＋(－2)2011＝22010－22011＝22010×（1－2）
　　　＝－22010．
例4、计算：－24－
错解：原式=16－×（2－16）=16＋2=18
剖析：本题的错误在于不能正确理解－24与的区别造成的，－24是4个2相乘的相反数，底数为2，结果为－16；是4个－2相乘，底数为－2，结果为16．
正解：原式=－16－×（2－16）=－16＋2=－14
例5、用科学记数法表示下列各数.
（1）7020000　　　　　　　（2）68900000
（3）－58200　　　　　　　（4）－70
分析：
　　把一个数写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，整数n比原数的整数部分位数少1．
解：
（1）7020000＝7.02×106
（2）68900000＝6.89×107
（3）－58200＝－5.82×104
（4）－70＝－7×10
例6、写出下列科学记数法所表示的原数.
（1）2.5×102　　　（2）7.08×108　　　（3）－9×109
解：
（1）2.5×102＝250
（2）7.08×108＝708000000
（3）－9×109＝－9000000000
例7、（1）观察下列算式：
　　31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…，用你所发现的规律写出32011的末位数字是______.
　　（2）观察下列等式：
　　12－02＝1；22－12＝3；32－22＝5；42－32＝7；…，用含自然数n的等式表示这种规律为________.
解：
　　（1）通过观察发现从第一个式子开始要经过4个式子，各式的个位数字3，9，7，1重复出现；因为2011＝4×502＋3，所以32011的末位数字与33的末位数字相同，所以32011的末位数字是7．
（2）规律为n2－(n－1)2＝2n－1．
课外拓展
例：现在有两种给你钱的方法：一种方法是一天给你1元，一直给你10年；另一种方法是第一天给你1分钱，第二天给你2分钱，第三天给你4分钱，第四天给你8分钱，第五天给你16分钱，以此类推，一直给你20天，你选择哪一种方案得到的钱多呢？（结果精确到元，可用计算器计算）
解：根据题意可知：
　　第一种方法共得1×365×10＝3650元或1×366×10＝3660元
　　第二种方法得：1＋2＋22＋23＋…＋219＝220－1＝1048575（分）＝10485.75元≈10486元
答：选择第二种方法得到的钱多.
点拔：
令s＝1＋2＋22＋23＋…＋219　　①
由①×2得2s＝2＋22＋23＋24＋…＋220　②
②－①得：s＝－1＋220＝220－1＝10485.75（元）
此法称为错位相减，这样做起来比较简单.
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（九）有理数的混合运算
知识强化
一、知识概述
1、有理数的混合运算
　　含有加、减、乘除及其乘方等多种运算，这样的运算叫做有理数的混合运算.
2、有理数的混合运算顺序
　　怎样进行有理数的运算呢？按什么运算顺序进行呢？
　　通常把六种基本的代数运算分成三级．加与减是第一级运算，乘与除是第二级运算，乘方与开方是第三级运算．运算顺序是：先算高级运算，再算低级的运算；同级运算在一起，按从左到右的顺序运算；如果有括号，先算小括号内的，再算中括号，最后算大括号．
　　简单地说：有理数混合运算应按下面的运算顺序进行：
　　先算乘方，再算乘除，最后算加减；
　　如果有括号，就先算括号里面的．
3、混合运算中的技巧
　　（1）归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算．
　　（2）凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消．
　　（3）分解：将一个数分解成几个数和的形式，或分解为它的因数相乘的形式．
　　（4）约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简．
　　（5）倒序相加：利用运算律，改变运算顺序，简化计算．
二、典型例题讲解
例1、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
分析：
　　（1）算式里含有乘方和乘除运算，所以应先算乘方，再算乘除．
　　（2）此题是含有乘方、乘、除、加减法的混合运算，可将算式分成两段．“－”号前边的部分为第一段，“－”号后边的部分为第二段，运算时，第一步，应将第一段的除法变为乘法和计算第二段中的乘方；第二步，计算乘法；第三步，计算加减法，得出最后结果．
　　(3)此题应先算乘方，再算加减．
　　(4)先算括号里面的再算括号外面的．
　　（5）先算括号里面的加减法，再算括号外面的除法．也可以先将除法化为乘法，再用乘法分配律．
解：
（1）
（2）
（3）(－23)－22－(－3)3＋32
=－8－4＋27＋9
=24.
注意：
（4）
（5）解法一：
＝
＝
＝－7
解法二：
点评：
　　解法2比解法1简单，是因为在解法2中根据题目特点，使用了乘法分配律．在有理数的混合运算中，恰当、合理地使用运算律，可以使运算简捷，从而减少错误，提高运算的正确率．
例2、计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
（4）[53－4×(－5)2－(－1)10]÷(－24－24＋24)
分析：
　　（1）中括号中各加数化成带分数后，其分子都是4的倍数，所以本题先把除法化乘法后，用乘法分配律简单．
　　（2）先算乘方，除法转化为乘法计算．
　　（3）逆用乘法分配律，使运算简便．
　　（4）题中53可以看做5×52，(－5)2=52，对于53－ 4×(－ 5)2可变形5×52－4×52，然后运用乘法分配律．－24与24是互为相反数，所以－24＋24=0.
解：
（1）
　　点评：本题运算过程中的运算技巧值得注意，将整数和分数部分分开算，比直接通分运算要简单．
（2）
＝
　　观察式子特点发现，小括号内各分数的分子都是10的因数，从而想到将小括号和因数用结合律和分配律：
＝
＝
＝
（3）
（4）[53－4×(－ 5)2－(－1)10]÷(－24－24＋24)
=[5×52－4×52－1] ÷(－24－24＋24)
=[52×(5－4)－1] ÷(－24)
=(25×1－1) ÷(－24)
=24 ÷(－24)
=－1.
例3、计算：
解：
（1）
（2）
同理
所以 abc=1
例4、某市质量监督局从某食品厂生产的罐头中，随意抽取20听进行检查，超过标准质量的用正数表示，不足标准质量的用负数表示，抽查的结果如下表：
与标准质量的偏差（单位：克）
－10
－5
0
＋5
＋10
＋15
听数
2
5
4
6
2
1
　　试问：这批样品的平均质量比标准质量多或者少多少克？
解：[－10×2＋（－5）×5＋0×4＋5×6＋10×2＋15×1]÷20
＝20÷20
=1
所以这批样品的平均质量比标准质量多1克．

（十）数据的收集与简单统计图
知识强化
一、知识概述
1、收集数据的方法
　　（1）问卷调查：调查者一般都根据调查目的设计出调查表格，让被调查者填写相关数据．
　　（2）实地调查法：一般根据调查目的由调查者到相应环境中收集相关数据．
　　（3）查阅资料法：调查者根据调查目的采用媒体（报纸、杂志、电视、广播电台、计算机网络等）收集数据．
　　（4）实验法.
2、数据的整理
　　（1）按照一定的标准将一组数据分组整理，目的是比较清晰地掌握数据的整体分布情况．
　　（2）数据分组应做到不重不漏．
　　注意：把统计的材料与表中填好的数据核对一下，看有没有漏写或误写的地方，合计和总计计算得对不对．
3、如何对原始数据进行分组整理？
　　第一步：确定组数．一组数据分多少组合适呢？一般与数据本身的特点及数据的多少有关．由于分组的目的之一是为了观察数据分布的特征，因此组数的多少应适中．如组数太少，数据的分布就会过于集中，组数太多，数据的分布就会过于分散，这都不便于观察数据分布的特征和规律．组数的确定应以能够显示数据的分布特征和规律为目的．第二步：确定各组的组距．组距是一个组的上限与下限的差，可根据全部数据的最大值和最小值及所分的组数来确定，即组距＝（最大值－最小值）÷组数．而且第一组的下限应低于最小变量值，最后一组的上限应高于最大变量值．如果数据相差过于悬殊，也可自定组距．
4、简单统计图的有关问题
　　（1）扇形统计图
　　利用圆和扇形来表示总体和部分的关系，即用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中的百分比大小．这样的统计图叫做扇形统计图．
　　（2）条形统计图
　　用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画出长短不同的直条，再把这些直条按照一定的顺序排列起来，这样的统计图叫做条形统计图．
　　（3）折线统计图
　　用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来，所得的统计图叫做折线统计图．
　　折线统计图横轴表示不同的年份、月份等时间，不同时间之内的距离要根据年份或月份的间隔来确定．
5、三种统计图的选择
　　对于同一组数据信息应使用哪种统计图来表达，要根据具体问题来选用．①当要表达的数据是分散的，并且要要清楚的表示各个项目的实际数据时，选用条形统计图；②当要表达的数据占整体的百分比有多大时，选用扇形统计图；③当要表达的数据能体现在一段时间内的上升或下降的变化趋势及变化的速度时，选用折线统计图．
二、典型例题讲解
例1、中国奥运奖牌回顾
　　（1）根据上表画出第28届奥运会奖牌扇形图；
　　（2）根据上表画出我国这几届奥运会奖牌总数的折线图；
　　（3）要比较客观地评价中国代表队在历届奥运会上的表现比较困难，有人建议比较奖牌总数，有人建议比较金牌总数，有人建议比较金、银牌的总数，你比较赞同哪个方案？或提出一个你认为更合理的方案．
分析：
　　这里面有四个方面的信息，即金牌数、银牌数、铜牌数以及奖牌总数，现在要将它四个方面分解，使得每个方面的信息集中在一起，便于了解、比较，因此制成复合图更合适．
解：
　　（1）第28届奥运会奖牌绘制成扇形统计图，如图所示．
　　（2）我国这几届奥运会奖牌总数的折线图，如图所示．
　　（3）为了便于比较各方面的信息，制成的统计图如图所示，其中每组中四个矩形所表示的依次是：金牌、银牌、铜牌及奖牌总数的分布情况．
例2、（温州）学校组织七、八、九年级同学参加某项综合实践活动．如图所示的扇形统计图表示上述各年级参加人数的分布情况．已知九年级有80人参加，则这三个年级参加该项综合实践活动共有___________人．
解析：
　　本题是一道与扇形统计图有关的试题，看清图中各种数据表示的意义，根据文字提示进行正确的读图是解决问题的关键．从统计图中可获知九年级参加的人数占这三个年级参加该项综合实践活动的总人数的25%，又已知九年级有80人参加，因此可计算出这三个年级参加该项综合实践活动的学生总人数为80÷25﹪=320（人）．
例3、(内江市)某人为了了解他所在地区的旅游情况，收集了该地区2005年至2008年每年旅游收入的有关数据，整理并绘成下图，根据图中信息，可知该地区2005年到2008年四年的年旅游平均收入是____________亿元．
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解析：
　　解答与折线统计图有关的问题，首先把握纵、横轴所表示量的含义，然后注意到图形的变化趋势及转折点对应的数值．从折线统计图中可以看出该地区2005年至2008年每年旅游收入分别为20亿元、40亿元、60亿元、100亿元，因此这四年的年旅游平均收入是（20+40+60+100）÷4=55（亿元）．
例4、（天津市）为了解某新品种黄瓜的生长情况，抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到下面的条形图，观察该图，可知共抽查了________株黄瓜，并可估计出这个新品种黄瓜平均每株结________根黄瓜．
?
解析：
　　由条形统计图上得到正确信息的关键是了解其特点，分清横轴和纵轴所表示的实际意义，由条形统计图可知，长出的黄瓜根数为10、12、14、15的株数分别为15、10、15、20，因为15＋10＋15＋20=60（株），所以共抽查了60株黄瓜，又因为(10×15＋12×10＋14×15＋15×20)÷60=13（根），所以这个新品种黄瓜平均每株结13根黄瓜．
例5、（柳州）某学习小组对所在城区初中学生的视力情况进行抽样调查，下图是这些同学根据调查结果画出的条形统计图．请根据图中信息解决下列问题：
　　（1）本次抽查活动中共抽查了多少名学生？
　　（2）请估算该城区视力不低于4.8的学生所占的比例．
　　（3）假设该城区八年级共有4000名学生，请估计这些学生中视力低于4.8的学生约有多少人？
分析：
　　认真分析对比统计图，从中获取如下信息：七年级、八年级、九年级被抽查的学生视力低于4.8的人数分别是200人、300人、200人，视力不低于4.8的人数分别是600人、500人、300人．根据这些信息可以计算被抽查的所有学生人数、视力不低于4.8的学生所占的比例等．
解：
　　（1）本次抽查活动中共抽查了2100名学生．
　　（2）本次抽查中视力不低于4.8的学生人数为1400人，比例为，约占67%．所以该城区视力不低于4.8的学生约占67%．
　　（3）抽查知在八年级的学生中，视力低于4.8的学生所占比例为，则该城区八年级视力低于4.8的学生人数约为：人．
例6、丁丁所在的七年级（1）班共有40人，下图是该校七年级各班学生人数分布情况．
　　（1）请计算该校七年级年级总人数；
　　（2）请计算该校七年级每班平均人数；
　　（3）请计算各班学生人数，并绘制条形统计图．
某校七年级各班人数分布图
解：
　　（1）40÷20%=200（人）
　　所以，该校七年级总人数为200人．
　　（2）200÷5=40（人）
　　所以，该校七年级每班平均40人．
　　（3）2班：200×23%=46（人）
　　3班：200×22%=44（人）
　　4班：200×17%=34（人）
　　5班：200×18%=36（人）
　　绘制条形图：
某校七年级各班人数统计图
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中考解析
例、（桂林百色）2008年11月28日，为扩大内需，国务院决定在全国实施“家电下乡”政策．第一批列入家电下乡的产品为彩电、冰箱、洗衣机和手机四种产品．某县一家家电商场，今年一季度对以上四种产品的销售情况进行了统计，绘制了如下的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）该商场一季度彩电销售的数量是___________台．
（2）请补全条形统计图和扇形统计图．
解析：
　　（1）从扇形统计图中可以得到手机的销售数量占四种产品的总销售的百分比为40%，从条形统计图中可以观察到手机销售的数量是200台，联合两个统计图中的信息可以求出四种产品的总销售量为：200÷40%=500；
　　（2）从条形统计图中可以观察到彩电、洗衣机的销售数量分别是150台、50台，所以150÷500=30%，50÷500=10%；从扇形统计图中可以得到冰箱的销售数量占四种产品的总销售的百分比为20%，所以冰箱的销售数量为500×20%=100（台）．补图如下：
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课外拓展
如图表示五个城市一年的平均降水量（单位：毫米）
　　（1）你从图中得到了哪些信息？
　　（2）北京市降水面积大约为17000千米2，那么北京市一年降水大约是多少立方米（结果保留3位有效数字）？
　　（3）估计北京平均一天降了多少水？（结果保留3位有效数字）？如果把这些水放在一个50米×25米的游泳池中，水有多深？
　　（4）请你再用一种象形统计图表示这些数据．
解析：
　　（1）这是一幅象形统计图．信息较多，如广州和上海降水量较大，而银川、北京较小，即南部地区降水量大些，因此北方干躁，南方潮湿等等．
　　（2）4.76×109米3
　　（3）1.30×107米3　　　10400米
　　（4）如下图所示的象形统计图，表示城市的平均降水量．
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（十一）用字母表示数　代数式与代数式的值
知识强化
一、知识概述
1、用字母表示数的意义
　　用字母表示数是代数的一个重要特点，能一般而又简明地把数和数量关系表达出来，从而为叙述和研究问题带来方便，又能使具有相同性质的不同数学问题可以用同一个式子表示出来，更具普遍意义．如一件商品的单价为a元，买了b件，则总价为ab元；将一笔钱存入银行，每月可获利息a元，存了b个月，则共获利息ab元，这里同用代数式ab，但它却表示了不同的实际意义．
2、用字母表示数时书写应注意以下原则
　　①字母与字母相乘可以用“·”表示，也可以省略．如a×b 通常写作a·b或ab；
　　②数字与字母相乘，数字通常写在字母前面．如：a×3通常写作3a；
　　③带分数因数一般写成假分数．如x的倍，表示成x，而不要写成；
　　④除法运算写成分数形式．如1÷a通常写作；
　　⑤在一些实际问题中，表示某一数量的代数式如果有单位，当代数式是积或商的形式，单位写在式子的后面即可；如果代数式是和或差的形式，则需要将代数式用括号括起来.再将单位写在后面，如(m＋n)厘米；
　　⑥相同字母相乘，一般不把每个因数写出来，而是写成幂的形式，如a·a·a写作a3.
3、代数式
　　代数式是数与数之间、数与字母之间，字母与字母之间用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）连结起来的式子.所以代数式中可以有“＋”、“－”、“×”、“÷”（或分数线）、乘方等运算符号，但不能有“=”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号．特别注意：单独的数或字母，也是代数式．
4、列代数式
　　在解决实际问题中，往往需要先把问题中与数量有关的语句用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式．
　　要正确列出代数式，请注意以下关键：
　　（1）正确理解和、差、积、商、多、少、大、小、倍、分、倒数、平方差、平方、立方、余数、增加等．
　　（2）正确判断各数量关系中的运算顺序：通常是先读的先写，后读的在后运算，并正确遵循运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）和运用括号（先括号内，后括号外，先小括号，再中括号，最后大括号）．如：“x与y的和的3倍”，显然是先加后乘，把x与y的和看成一个整体括起来，再乘以3，即．
　　（3）在分析语句所表达的数量关系时，应弄清语句中的数量关系是以哪个为基准的．如：“甲数比乙数小3，设甲数为x，用代数式表示乙数”，这里的乙数是基准，甲数＝乙数－3，那么乙数为甲数＋3．因此，乙数为：x＋3，切记避免“见多就加，见少就减”的错误．
　　（4）要掌握基本的数量关系：
　　a. 路程问题：路程＝时间×速度
　　b. 工程问题：工作总量＝工作时间×工作效率
　　c. 价格问题：总价＝单价×数量
　　d. 数字问题，表示数字方法，其中a、b、c分别为个位、十位、百位上的数字．
　　e. 特殊图形的面积、体积公式．
5、代数式的值及求法
　　（1）代数式的值：用数代替代数式中的字母，按代数式里指明的运算关系计算出的结果叫做代数式的值.
　　（2）求代数式的值的一般步骤：①代入，将字母的具体值代替代数式里的字母；②计算，按代数式指明的运算，计算出结果.
　　（3）求代数式值注意的问题：①代数式的值由代数式中字母所取的值确定，同一个代数式，字母的取值不同，所求代数式的值一般也不同；②代入，只是将代数式中的字母换成具体的数值，代数式中原来的运算符号，运算顺序以及代数式中原有的数字都不变；③当代入的数值是负数时，一般要将括号括起来.
二、典型例题解析
例1. 下列各式中：（1）；（2）；（3）n－3人；（4）2·5；（5）．其中符合代数式书写要求的个数为（　）
　　　A. 1　　　B. 2　　　　C. 3　　　　D. 4　　　E. 5
分析：
　　（1）应写成，当带分数与字母相乘时，应将带分数变成假分数．
　　（2）应写成，当表示商数关系时，应按分数的形式来书写，将“除号”变成“分数线”．
　　（3）应写成（）人．
　　（4）2·5应写成2×5．当两数相乘时应用“×”号．
　　（5）符合书写要求．
　　因此（1）、（2）、（3）、（4）皆错，应选A．
例2. 下列各式哪些是代数式？哪些不是代数式？
（1）3>2；（2）a＋b=5；（3）a；（4）3
（5）5＋4－1；（6）m米；（7）
分析：
　　（1）、（2）中的“＞”、“＝”它们不是运算符号，因此（1）、（2）不是代数式．
　　（3）、（4）中a、3是代数式，因为单个数字和字母是代数式．
　　（5）中是加减运算符号把5、4、1连接起来，因此是代数式．
　　（6）m米含有单位名称，故不是代数式．
　　（7）中由乘、减两种运算联起5、x、3、y，因此是代数式．
　　因此代数式有（3）（4）（5）（7）；（1）（2）（6）不是代数式．
例3、用含有字母的式子表示：
　　（1）浓度为20%的盐水为a千克，加盐m千克后盐水浓度为_________；
　　（2）一根蜡烛长为20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧t小时后蜡烛的长为_________；
　　（3）轮船往返相距S千米的A、B两地，轮船在静水中每小时行a千米，水流速度为每小时b千米，则往返A、B两地一次需要____________小时；
　　（4）某市为鼓励市民节约用水，对水费作了如下规定：每户居民月用水量不超过20吨，则每吨按0.5元收费，超过20吨，则超过的部分每吨按0.8元收费，若某户居民某月用水30吨，则应交水费___________元；若某户居民每月用水x吨（x>20），则应缴纳水费___________元.
分析：
这些列代数式的问题都是为后来的学习作铺垫，如要熟练掌握：
“浓度=”，
“顺水速度=静水速度＋水流速度；逆水速度=静水速度－水流速度”，
分段计费等问题.
解答：
　　（1）原溶液中盐为20% a千克，加入m千克盐后，盐为(20%a＋m)千克，溶液质量为(a＋m)千克，因此，浓度为.
　　（2）（20－5t）cm（t≤4）
　　（3）顺水行驶时间为小时，逆时行驶时间为小时，因此，往返一次共需（＋）小时.
　　（4）若某户居民月用水30吨，则应交水费20×0.5＋0.8(30－20)=10＋8=18（元）
若月用水x吨（x>20），则应交水费20×0.5＋0.8(x－20)=10＋0.8x－16=(0.8x－6)（元）
例4、已知|a＋2|＋(b＋3)2=0，求代数式3ab＋2ab2－4a2b的值.
分析：
　　根据非负数之和为 0的条件，求出a、b的值，再代入求值.注意将省略的乘号添上，若代入的是负数应添上括号.
解：
　　∵ |a＋2|＋(b＋3)2=0，∴a＋2=0，且b＋3=0，
　　∴a=－2，b=－3.
　　当 a=－2，b=－3时，
　　原式=3×(－2)×(－3)＋2×(－2)×(－3)2－4×(－2)2×(－3)
　　　　=18－36＋48=30．
例5、当x=7时，代数式ax3＋bx－5的值为7，当x=－7时，代数式ax3＋bx＋5的值为多少？
分析：
　　把 x=7代入条件中不可能求出a、b，但可以把ax3＋bx作为一个整体来看，用整体代入的方法可以求值.
解：
　　把x=7代入ax3＋bx－5，得：343a＋7b－5=7.
　　∴ 343a＋7b=12.
　　当 x=－7时，ax3＋bx＋5=－343a－7b＋5=－(343a＋7b)＋5=－12＋5=－7.
例6、如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第6个图案中灰色瓷砖块数为_________．
解析：
　　本题是规律探索试题，第一个图案中灰色瓷砖块数为4，可表示为4＋(1－1)×2；
　　第二个图案中灰色瓷砖块数为4＋2，可表示为4＋(2－1)×2； 第三个图案中灰色瓷砖块数为4＋4，可表示为4＋(3－1)×2，……于是第六个图案中灰色瓷砖块数可表示为4＋(6－1)×2=14.
中考解析
　整式是中考的必考内容，主要考查用字母表示数，单项式和多项式的有关概念．考题多以填空题、选择题的形式出现，有时与其它知识综合命题，一般难度不大．
例1、（新疆）某商品的进价为元，售价为120元，则该商品的利润率可表示为__________．
解析：
　　商品的利润率＝×100%．利润为120－x．
答案：
　　
例2、（广州市）如图①，图②，图③，图④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________
解析：
　　第5个“广”字中的棋子个数是7＋7＋1＝15．由题中各图的规律可得第n个“广”字的棋子个数是（2n＋5）个．所以第5个“广”字中的棋子个数是15．
答案：15，2n＋5．
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（十二）生活中的常量与变量　函数的初步认识
知识强化
一、知识概述
1、常量与变量
　　不同的事物的变化过程中，有些量的值是按某种规律在变化，有些量的值是始终不变的.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
　　现实生活中有很多这样的例子，例如，汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h，在这一过程中，速度60km／h是常量，路程与时间是变量．
　　注意：常量和变量是对某一变化过程来说，不是绝对而是相对的．常量不一定是具体的数，也有用字母表示的．
2、函数
　　在同一个变化过程中，有两个变量x和y，变量y的取值是由变量x的取值惟一确定的，我们把y叫做x的函数，其中x叫做自变量，y叫做因变量．自变量取一个值时y的对应值为对应的函数值
　　正确理解函数的概念，需注意：
　　①“同一变化过程”是有条件限制的，所给条件不同，“过程”也就不同，不在同一变化过程中的两个变量，不具有函数关系，如小明到书店买书所付的钱数与他的体重都是变量，但这两个变量没有函数关系；
　　②一个变化过程中只有“两个变量”才有可能形成函数关系，其中一个是自变量，如小明放学回家这个过程中，所用的时间与平均速度是两个变量，其中平均速度是自变量，平均速度决定他所用的时间；
　　③“唯一确定”的意思是“有一个并且只有一个”，如在y＝2x＋1中，给x一个值，y只有一个值与之对应，因此y是x的函数；而在y2＝x中，给x一个值，如当x＝1时，y＝±1，即y有两个值与之对应，因此y不是x的函数；
　　④“函数”与“函数值”是两个不同的概念，“函数”是两个变量之间的关系，而“函数值”是一个具体的数；
　　⑤列函数关系式时，要弄清题意，理解问题的实际背景，发现其中的规律，列出关系式.
3、变量之间关系常常用三种方法表示：列表法、解析法、图象法．
三种变量之间关系的表达方式与特点：
二、典型例题讲解
例1、写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是常量？哪些量是变量？
　　（1）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m）2与一边长x（m）之间的关系式；
　　（2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔数n（支）的关系；
　　（3）运动员在400m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系；
　　（4）某种活期储蓄的月利率为0.16%，存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y（元）与所存月数x之间的关系式．
分析：
　　（1）由矩形的性质可求得另一边为，所以可知矩形的面积S与x的关系式．在这个问题中x是变量，当x取不同的数值时，S有惟一的值与之对应，所以S也是变量，30是常量;
　　（2）购物所花的总金额应等于物品的单价与购买的数量的乘积，由关系式则不难指出其常量和变量；
　　（3）根据：距离=速度×时间可以得到，，结合题设即可写出其关系式，继而指出常量和变量；
　　（4）本息和=本金×[1＋月利率×月数×（1－20%）]，由此可写出关系式，并由关系式指出其常量和变量．
解：
　　（1）S与x之间的关系式为S= x(30－x)，其中常量为30，变量为S与x；
　　（2）y与n之间的关系为y=0.4n，其中常量为0.4，变量为y与n；
　　（3）t与v之间的关系式为，其中常量为400，变量为t与v;
　　（4）y与x的关系式为y=10000×[0.16%·x·(1－20%)＋1]=12.8x＋10000，其中常量为12.8和10000，变量为x和y．
例2、观察下列直棱柱，回答问题
?
　　（1）直三棱柱有几个面？直四棱柱有几个面？直五棱柱有几个面？
　　（2）直n棱柱有几个面？若用m表示直n棱柱的面数，试写出m与n之间的关系式；
　　（3）指出你所写的关系式中，哪些是常量？哪些是变量？
解析：
　　（1）5个面；6个面；7个面．
　　（2）直n棱柱有（n＋2）个面，关系式是：m＝n＋2．
　　（3）2是常量，m，n是变量．
例3、某校校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，由此可知，年产值发生了变化．
　　（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
　　（2）如果年数用x（年）表示，年产值用y（万元）表示，那么y与x之间有什么样的关系？
　　（3）当年数由1年增加到5年后，年产值是怎样变化的？
分析：
　　由题意可知，现有年产值是15万元，以后每年增加2万元，由此，年数乘以2万元，即为增加的产值．
解：
　　（1）在这个变化过程中，自变量是年数，因变量是年产值．
　　（2）y=2x＋15.
　　（3）当年数由1年增加到5年后时，年产值由17万元增加到25万元.
例4、下列变量之间的关系不是函数关系的是（　）
A．长方形的宽一定，其长与面积
B．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边与面积
D．球的体积与球的半径
分析：
　　判断变量之间的关系是否存在着函数关系，首先看是否有两个变量，然后再看这两个变量是否是一对一的关系．A项中，长方形的宽一定，它是常量，而面积=长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也变，故A项是函数关系．B项中，正方形的周长与面积是两个变量，给出一个周长的值，除以4就是边长，再平方与面积相对应，故B项是函数关系．C项中，底边与面积虽是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里的高也是变量，这样就有三个变量了，因此C项不是函数关系．D项中，球的体积与其半径是函数关系．
答案：C
例5、心理学家发现学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x（单位：分）之间满足如下：（接受能力数值越大，表示接受能力越强）
提出概念所用时间（分）
1
5
10
13
15
20
25
30
接受能力数值
45.5
53.5
59
59.9
59.5
55
45.5
31
　　（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个是因变量？
　　（2）提出概念所用时间在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内学生的接受能力逐步降低？
　　（3）提出概念的第10分钟时，学生的接受能力数值是多少？
　　（4）估计第几分钟时，学生接受能力最强？
分析：
　　表中反映提出概念所用时间与学生对概念的接受能力两个数值之间的关系．要解答后面三个问题关键是观察出表内两个变量之间的变化规律，从数值上的变化找出学生接受能力最强的时间．
解：
　　（1）反映了提出概念所用时间与学生对概念的接受能力之间的关系，提出概念所用时间是自变量，学生对概念的接受能力是因变量；
　　（2）从第1分钟到第13分钟，学生的接受能力逐步增强；从第13分钟到第30分钟，学生的接受能力逐步降低；
　　（3）提出概念的第10分钟，学生的接受能力数值是59；
　　（4）提出概念的第13分钟，学生的接受能力最强.
例6、观察图中图形和所给表格中的数据回答问题．
梯形个数
1
2
3
4
5
……
图形周长
5
8
11
14
17
……
　　（1）设图形的周长为l，梯形的个数为n，试写出l与n的函数关系式；
　　（2）求n=11时图形的周长．
解：
　　（1）由已知得l=5＋3(n－1)=3n＋2（n为正整数）．
　　（2）当n=11时，l=3×11＋2=35，
故n=11时图形的周长为35．
课外拓展
例、南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，若有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：
　　若这批水果在运输（包括装卸）过程中的损耗为200元/小时，记A、B两市间的距离为x千米.
　　（1）如果用W1、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用（包括损耗），求出W1、W2、W3与x间的关系式；
　　（2）当x＝250时，应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小？
分析：
　　总支出费用应包括途中费用、装卸费用和损耗，第（2）小题在求出自变量x取250时，因变量W1、W2、W3的值便可得到结论．
解答：
　　（1）
　　
　　（2）当x＝250时，W1＝17×250＋1400＝5650（元），W2＝6×250＋2800＝4300（元），W3＝12×250＋1400＝4400（元），因为W1＞W3＞W2，所以应采用火车运输，才能使运输时的总支出费用最小.

（十三）单项式与多项式
知识强化
一、知识概述
1、整式
　　对于字母来说，只含有加、减、乘、乘方运算的代数式叫做整式．
2、单项式
　　不含有加、减运算的整式叫做单项式．特别地，单独的一个字母或一个数也是单项式．
　　如， 2πr，a，0 等都是单项式．
　　单项式中的数字因数叫做单项式的系数．
　　一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如 －2a3b2c 的系数是－2，次数是 6，它是六次单项式．
3、多项式
　　几个单项式的和叫做多项式，多项式中每个单项式叫做这个多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
　　注意：
　　⑴多项式的每一项都包括它前面的符号，如第一项是，第二项是，而不是，常数项是－7，而不是7．
　　⑵由于多项式是由单项式组成，每一个单项式的次数就是各项的次数，多项式的次数仅指次数最高的那个单项式的次数，即多次式的次数就高不就低．
二、例题讲解
例1、在代数式4＋y，7，m，，，2x－4y，，－3a2b，，x2－xy＋y2中，单项式有_________，多项式有_________．
分析：
　　解决此类问题的关键是要理解单项式、多项式的含义．由数与字母的积组成的代数式叫单项式．单独一个字母或数也是单项式．因此7，m，，－3a2b都是单项式．几个单项式的和叫做多项式．因此4＋y，，x2－xy＋y2，2x－4y是多项式．题中的是数与字母的商的形式，因此它不是单项式，它是我们将来要学到的分式（即分母中含有字母的式子）．题中的是由2个分式的和组成的，是由一个单项式与一个分式的和组成，它们均不满足多项式的定义，则都不是多项式．
解：
　　单项式有：7，m，，－3a2b，??? 多项式有：4＋y，，2x－4y，x2－xy＋y2点评：
　　单项式与多项式的根本区别在于前者是一个“积”，后者是一个“和”，把握住这一点，区分起来就容易多了．
例2、是_______次_______项式．最高次项是__________，常数项是_________．
分析：
　　要分清单项式与多项式次数的不同求法．单项式的次数的求法是把单项式中所有字母的指数相加．多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数．题中的多项式是，，4b3和－2四个单项式的和，它们的次数分别是5，7，3和0．最高次项是，它的次数的求法中要注意c的指数是1．在写每一项时要注意：每一项应包括它前面的符号，在变更项的位置时，一定要带着符号走．
解：
　　是七次四项式，最高次项是，常数项是－2．
点评：
　　单项式就一个“积”，把指数加一加就得到次数了；多项式可不成，得把最大的那个指数和贡献出来！
例3、⑴已知是关于的六次单项式，求字母的值．
　　⑵多项式是关于的三次三项式，求代数式的值．
分析：
　　⑴由单项式的次数的定义可知应等于6，解此方程即可求出的值，另注意．
　　⑵应分类讨论，即当和都满足题意．
解：
　　⑴因为是关于的六次单项式，所以，解得．
　　当时，，此单项式不是关于的六次单项式，故，∴．
　　⑵当时，则，此时为三次三项式，所以当时，的值为0．
　　当时，则，此时为三次三项式，所以当时，的值为4．
　　所以的值为0或4．
例4、若关于x的多项式－5x3－（2m－1）x2＋（2－3n）x－1不含二次项和一次项.求m，n的值.
解：
　　因为多项式－5x3－（2m－1）x2＋（2－3n）x－1不含二次项和一次项，
　　所以2m－1=0，2－3n=0，即
例5、已知多项式是六次四项式，单项式3x2ny5－m与该多项式的次数相同，求m、n的值.
解：
　　依题意，得m＋1＋2=6，2n＋5－m=6，
所以m=3 ，n=2．
课外拓展
例：已知m，n是自然数，单项式是五次单项式，当x=―3，y=―2时，求此单项式的值．
解：
　　由题意得
　　∴，∴
　　∴
　　∴
　　
　　
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（十四）同类项　　去括号
知识强化
一、知识概述
1、同类项
　　所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．
　　注意：⑴判断几个单项式(或多项式中的项)是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相同，同时具备这两个条件者是同类项，二者缺一不可．
　　⑵同类项与系数无关，与字母的排列无关．
　　⑶常数项都是同类项．
2、合并同类项
　　把一个多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项．即把它们的系数相加作为新的系数，而字母与字母的指数不变．
　　注意：①只能把同类项合并成一项，不是同类项不能合并；②如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0；③只要不再有同类项，就是最后结果，结果可能是单项式，也可能是多项式．
3、去括号
　　括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”去掉，括号里各项的符号