7.1 二次根式(第１课时)课时练习
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知识要点：
1、二次根式的概念：
式子（a≥0）叫做二次根式，应注意：
（1）根指数是2（可以省略不写），二次根式必须有二次根号，如、等
（2）被开方数可以是数，也可以是代数式。如果是数，这个数必须是非负数；如果是代数式，则这个代数式的值必须是非负的，即a≥0，否则没有意义。
（3）二次根式（a≥0）也是非负数，即≥0。
2、由公式（a≥0）表明可以用平方运算去掉括号；同时，反过（a≥0）来也表明可以把任何一个非负数写成平方形式。
学习要求：
理解二次根式的概念，并会求使二次根式有意义的条件。
2、掌握二次根式的基本性质，并会用平方根的知识加以理解。
3、通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法。
基础巩固题（夯实基础才能突破……）
1、在、、、、、中，二次根式有 。
2、若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围为 。
3、已知则， ，
；
4、若，则x的取值范围是________。
5、如果是二次根式，那么a、b应满足
A、a、b均为非负数， B、， C、， D、。
6、已知-2＜x＜0,则下列各式中在实数范围内没有意义的是 ( )
A、 B、
C、 D、
7、一个正实数的平方根是a+1和2a+5，则这个正实数等于（ ）
A、1 B、－1 C、－2 D、2
8、计算：
9、在实数范围内分解因式：
① ②
③ ④
10、已知，求的值。
思维拓展题（课内与课外的桥梁是这样架起的……）
11、已知。则=__________。
12、已知013、已知与的小数部分分别是a和b，求ab－4a+3b－12的值．
自主探究题（你面对的是尖子生与普通学生的分水岭，跃过去！）
14、若已知的算术平方根，的立方根，求的次方根。
走进中考
15、（江苏镇江常州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围（ ）
A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2
16、（四川凉山）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
17、（福建龙岩）当___________时，二次根式在实数范围内有意义。
18、（黑龙江大庆）对任意实数a，则下列等式一定成立的是（ ）
A、= B、=－ C、=± D、＝
19、（山东菏泽）实数a在数轴上的位置如图所示，则+化简为（ ）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
答案:
1、 2、 x≥0且x≠1； 3、0.7273，233.1； 4、x≥1；
5、D； 6、C； 7、A；
8、17；
9、①， ②，③，
④；
10、3； 11、； 12、； 13、－13；
14、解：由已知条件得：
解此方程组得
∴
∴
∴当为奇数时，的次方根是
当为偶数时，的次方根是。
15、A；
16、A；
17、≥3
18、D
19、A
7.1 二次根式(第2课时)课时练习
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知识要点：
1、二次根式的性质：
2、性质与的区别：
（1）是表示a的算术平方根（先开方再平方）；而是表示a的平方的算术平方根（先平方再开方）。
（2）性质中必须有a≥0；而性质中a可以是一切实数。
学习要求：
1、掌握二次根式的基本性质，并会用平方根的知识加以理解。
2、会将一个非负数或非负式写成另一个数或式的平方，会利用对有关二次根式进行化简
3、通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法。
基础巩固题（夯实基础才能突破……）
1、 ；
2、 ；
3、已知、、三数在数轴上的对应位置如图所示，试化简= 。
4、= 。
5、若，则的取值范围为 （ ）
A、 B、 C、 D、
6、如果，那么化简的结果是（ ）
A、–4 B、4 C、2x–1 D、2x+1
7、若，则、的取值范围为 （ ）
A、 B、 C、 D、
8、当x是什么实数时,下列各式有最小值?并求这个最小值。
①； ②；
③； ④。
9、化简：
① ②
10、已知，化简。
思维拓展题（课内与课外的桥梁是这样架起的……）
11、当时，＝ ，＝ ,＝ 。
12、若，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
13、化简：
14、已知，求的值。
自主探究题（你面对的是尖子生与普通学生的分水岭，跃过去！）
15、求的值。
走进中考
16、(山东济宁)下列函数中，自变量的取值范围是的函数是（ ）
A、 B、 C、 D、
17、（江苏扬州）如图，数轴上点表示的数可能是（ ）
A、??????? B、??????????? C、????????? D、
答案:
1、16； 2、1； 3、—2a；
4、x（x－1） 5、D； 6、B； 7、A；
8、①时，0；②时，0；③时，0；④x为一切实数，7；
9、①， ②；
10、； 11、、、1—x； 12、A； 13、；
14、a
15、4； 其中a=5；
16、C
17、B
7.２ 二次根式的乘除（1）
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知识要点：
1、积的算术平方根的性质：
积的算术平方根的性质可以推广到多个非负因数的情况，如：
2、二次根式的乘法法则：
二次根式相乘，把被开方数相乘，二次根号不变，注意要将根号内所有开得尽平方的式子都开出来。
学习要求：
1、进一步理解二次根式的概念及其相关性质和一些注意事项。
2、探索和发现二次根式的乘的运算规律，会利用二次根式的乘的运算法则进行二次根式的乘法运算。
基础巩固题（夯实基础才能突破……）
1、=
2、求使式子有意义的x的取值范围 。
3、成立的条件是 。
4、当时，的值是 （ ）
A、5 B、5 C、-5 D、25
5、对于任意的实数x,下列各式中一定成立的式子是 ( )
A、 B、
C、 D、
6、当x<0时，则的化简结果是（ ）
Ａ、 B、 C、 Ｄ、
7、计算：
① ② ③
8、计算：
① ②
9、△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AB＝20，BC＝12。求AD的长。
思维拓展题（课内与课外的桥梁是这样架起的……）
10、在如图的4×4的方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，三条边长分别为
3，，。
11、一个长方形的长，宽，求这个长方形的面积。
12、已知a－1的绝对值是其相反数，a+1的绝对值是其本身．试求的值
自主探究题（你面对的是尖子生与普通学生的分水岭，跃过去！）
13、已知4x2+9y2－4x－6y+2＝0，求的值。
走进中考
14、(台湾)以下是甲、乙两人证明((的过程：
(甲) 因为>=3，>=2，
所以(>3(2=5
且=<=5
所以(>5>
故((
(乙) 作一个直角三角形，两股长分别为、
利用商高(勾股)定理 ()2(()2=15(8
得斜边长为
因为、、为此三角形的三边长
所以(>
故((
对于两人的证法，下列哪一个判断是正确的？( )
(A) 两人都正确 (B) 两人都错误 (C) 甲正确，乙错误 (D) 甲错误，乙正确 。
15、（山东青岛）计算：＝ 。
16、（山东烟台）观察下列各式：
请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来__________________________．
答案:
1、； 2、x＜2且x≠1； 3、－２≤ｘ≤２；
4、B； 5、C； 6、B；
7、①，②，③；
8、①，②；
9、； 10、略； 11、70；
12、9； 13、；
14、A
15、1
16、＝
7.２ 二次根式的乘除（2）
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知识要点：
1、积的算术平方根的性质：
2、二次根式的乘法法则：
二次根式相乘，把被开方数相乘，二次根号不变，注意要将根号内所有开得尽平方的式子都开出来。
3、积的算术平方根的性质与二次根式的乘法运算是互为逆过程。
学习要求：
1、进一步理解二次根式的概念及其相关性质和一些注意事项。
2、探索和发现二次根式的乘的运算规律，会利用二次根式的乘的运算法则进行二次根式的乘法运算。
基础巩固题（夯实基础才能突破……）
1、= 。
2、已知矩形长为cm，宽为cm ，那么这个矩形对角线长为 cm。
3、当时，的值是 。
4、若，则等于 ( )
Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、
5、将根号外的因式移进根号内，结果等于 （ ）
A、 B、 C、 D、
6、下列各式中化简正确的是 ( )
A、 B、
C、 D、
7、计算：
① ② ③
8、计算：
① ②
9、甲、乙两人对题目“化简并求值：，其中”有不同的解答，
甲的解答是:,
乙的解答是:,谁的解答是错误的？为什么？
思维拓展题（课内与课外的桥梁是这样架起的……）
10、不改变根式的大小把根号外的因式移到根号内是 ．
11、由两个等腰直角三角形拼成的四边形（如图），已知AB＝，求：
（1）四边形ABCD的周长；
（2）四边形ABCD的面积。
12、已知：，分别求下列代数式的值：
（1） （2）
自主探究题（你面对的是尖子生与普通学生的分水岭，跃过去！）
13、如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺而成。求一块方砖的边长。
走进中考
14、（江西）在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是 。
15、（湖南怀化）下列计算正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
16、（浙江台州）计算：．
答案:
1、； 2、； 3、－1；
4、C； 5、C； 6、D；
7、①，②，③；
8、①，②；
9、乙的错；因为所以. 10、；
11、①；②4.5；
12、①4；②13； 13、；
14、2
15、C
16、解：．
7.２ 二次根式的乘除（3）
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知识要点：
1、商的算术平方根的性质:
二次根式的除法:
2、化简二次根式的途径有两个：①把非负因式外移或内移；②化去根号内的分母。
学习要求：
1、进一步理解二次根式的概念及其相关性质和一些注意事项。
2、探索和发现二次根式的乘、除法的运算规律，会利用二次根式的乘、除法的运算法则进行二次根式的乘除法运算。
3、掌握利用二次根式的乘、除法运算法则对二次根式进行化简。
基础巩固题（夯实基础才能突破……）
1、= ＿＿＿＿
2、若，则m的取值范围是
3、（1）判断下列变形过程是否正确：
① （ ）
② （ ）
（2）计算：①； ②。
4、下列计算中正确的是 （ )
A、 B、
C、 D、
5、给出下列四道算式：
（1）； （2） ；
（3） ； （4）
其中正确的算式是 （ ）
A、（1）和（3） B、（2）和（4） C、（1）和（4） D、（2）和（3）
6、下列化简中正确的是 ( )
A、 B、
C、 D、
7、计算：
① ② ③
8、计算：
① ②
9、已知求的值.
思维拓展题（课内与课外的桥梁是这样架起的……）
10、若1≤x≤5，那么等于( )
A、6－2x B、2x－6 C、4 D、－4
11、计算：
12、三角形的面积为,一条边长为,求这边上的高.
自主探究题（你面对的是尖子生与普通学生的分水岭，跃过去！）
13、已知，，求a+b的值．
走进中考
14、(漳州)已知为实数，则代数式的最小值为……（ ）
A、 B、 C、 D、
15、（浙江嘉兴）计算：＋(－1)3－2×．
答案:
1、； 2、m＞0； 3、⑴①√，②√；⑵①，②；
4、A； 5、B； 6、D；
7、①；②；③；
8、①②；
9、； 10、C ； 11、 ； 12、；
13、；
14、B；
15、解：原式＝2－1－＝－1
7.２ 二次根式的乘除（4）
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知识要点：
1、最简二次根式：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（各根式的被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2）；
②被开方数中不含分母；
③分母中不含根号。
2、化简二次根式一般有下列两种情况：
（1）如果被开方数是分式或分数（包括小数），先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用有理化化简；
（2）如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开得尽方的因式或因数开出来。
学习要求：
1、进一步理解二次根式的概念及其相关性质和一些注意事项。
2、探索和发现二次根式的乘、除法的运算规律，会利用二次根式的乘、除法的运算法则进行二次根式的乘除法运算。
3、掌握利用二次根式的乘、除法运算法则对二次根式进行化简。
基础巩固题（夯实基础才能突破……）
1、的绝对值是 。
2、若，则 。
3、已知：；；；……
你发现了什么规律，请用含（是正整数）的式子来表示： ．
4、正方形的面积为4，则正方形的对角线长为（ ）
A、 B、 C、 D、4
5、如果是二次根式时，和应满足条件（ ）。
A、 B、
C、 D、、 同号，且
6、设，则a、b大小关系是( )
A、 a=b B、 a>b C.、a-b
7、已知：|a-4|+，计算的值。
8、①已知
②已知，求的值．
9、先化简再求值：，其中。
思维拓展题（课内与课外的桥梁是这样架起的……）
10、已知，则的值为( )
A、 B、 C、 D、不确定
11、仔细观察下列计算过程：同样
由此猜想
12、已知x为奇数，且的算术平方根.
13、在Rt ΔABC中，∠C＝Rt∠，BC:AC＝1:2，AB＝5，则斜边上的高长为几？
自主探究题（你面对的是尖子生与普通学生的分水岭，跃过去！）
14、先观察下列分母有理化：从计算结果中找出规律，再利用这一规律计算下列式子的值:
走进中考
15、(浙江湖州)估算的值是在（ ）
Ａ、和之间 Ｂ、和之间 Ｃ、和之间 Ｄ、和之间
16、(四川内江)已知的三边满足
，则为（ ）
A、等腰三角形 B、正三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形
17、(江西省)已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
答案:
1、； 2、； 3、；
4、B； 5、C； 6、B；
7、；
8、①15；②；
9、； 10、A ； 11、111111111； 12、；
13、；
14、2001；
15、B；
16、B；
17、D．
7.３ 二次根式的加减（1）
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知识要点：
1、同类二次根式：
同类二次根式的概念明确指出：几个二次根式都化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这样的二次根式才称为同类二次根式。
2、二次根式的加减运算：
①对二次根式先进行化简，化为最简二次根式；
②对同类二次根式进行合并。
结果写成最简形式，是单个最简二次根式或几个不同类最简二次根式的和。
3、整式加减法中运用的交换律、结合律、分配律及去括号、添括号法则在二次根式的加减运算中仍然适用。
学习要求：
1、进一步理解二次根式的概念及相关性质和一些注意事项。
2、正确理解同类二次根式的概念，能够利用二次根式的化简来判断两个（或多个）二次根式是否是同类二次根式。
3、掌握合并同类二次根式以及二次根式的加、减法法则，能正确进行二次根式的化简和加减法运算。
基础巩固题（夯实基础才能突破……）
1、已知与是同类二次根式，则a= , b= 。
2、已知与是同类二次根式，则a= , b= 。
3、若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝________
4、＿＿＿＿＿＿＿＿
5、下列都是无理数的为（ ）
A、0.07，，； B、0.，π，；
C、，，π； D、0.1010101……101，π，
6、把所有的同类二次根式作为一组，则在二次根式，，，，中，同类二次根式的组数有 ( )
Ａ、０组 B、１组 C、２组 D、３组
7、计算：
① ②
8、判断下面的计算错在哪里，然后给出正确的计算：
计算，其中．
解：原式
9、已知，求的值．
思维拓展题（课内与课外的桥梁是这样架起的……）
10、设，则的值一定是（ ）
Ａ、正数 Ｂ、负数 Ｃ、０ Ｄ、１
11、计算
① ②
12、先化简，后求代数式的值．
（１） （２）
自主探究题（你面对的是尖子生与普通学生的分水岭，跃过去！）
13、已知：求：的值。
走进中考
14、(四川内江)若均为整数，当时，代数式的值为0，则的算术平方根为 ．
15、（湖南怀化）下列计算正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
16、（山东济宁）已知，那么的值为（ ）．
A、－1 B、1 C、 D、
答案:
1、a=2，b=3； 2、a=2，b=－1； 3、x=－3；
４、０； ５、Ｃ； 6、C
7、① ②
8、解：∵∴x－2＜０
∴原式
9、 ； 10、B；
11、①; ②.
12、(1)52; (2)28.
13、 提示：
14、
15、C
16、A
7.３ 二次根式的加减（2）
目标导航：
知识要点：
1、原来学习的运算律和乘法公式仍然适用。
2、把分母转化成有理数的时候，只要分子、分母同时乘以分母的有理化因式。
与、与、与等相乘能转化为有理数。
学习要求：
1、进一步理解二次根式的概念及相关性质和一些注意事项。
2、掌握合并同类二次根式以及二次根式的加、减、乘、除法法则，能正确进行二次根式的化简和加减法运算。
基础巩固题（夯实基础才能突破……）
1、已知a=2＋, b=3+,a _______b (填﹤、﹥、=)。
2、如果 。
3、若5+的小数部分是a，5－的小数部分是b，则ab＋5b＝ ．
4、若应满足的条件为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、若，则＝（ ）
Ａ、±１ Ｂ、１ Ｃ、 Ｄ、
6、计算，结果等于 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7、计算：
① ②
8、已知，求代数式的值．
9、如图，在一个边长为的正方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积．
思维拓展题（课内与课外的桥梁是这样架起的……）
10、方程的解是 （ ）
Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、
11、已知最简二次根式与是同类二次根式，且
，求的值．
12、计算：
自主探究题（你面对的是尖子生与普通学生的分水岭，跃过去！）
13、设、为实数，，化简．
走进中考
14、(浙江绍兴)下列计算正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
15、（上海市）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
16、（湖南长沙）计算：___________．
答案:
1、＜ 2、； 3、2； 4、D； 5、D； 6、B；
7、①； ②；
8、； 9、； 10、C；
11、； 12、a 13、；
14、A
15、C
16、
