高三数学二轮复习同步练习（Word有答案）

专题10 第1讲 几何证明选讲
一、填空题
1．(2011·广东理，15)如右图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.
[答案]　
[解析]　由圆的切线性质可知∠PAB＝∠ACB，
又∠APB＝∠BAC，所以△PAB∽△ACB，
所以＝，而BC＝5，PB＝7，∴＝，
∴AB2＝35，AB＝.
2．(2011·湖南理，11)如右图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．
[答案]　
[解析]　如图，连结AE，OA，OE，∠AOB＝60°，OA＝2，∴AD＝.
又∵△AFE∽△DFB，
∴＝，AE＝2，BD＝1，
∴＝2，∴AF＝.
3．(2011·陕西理，15)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.
[答案]　4
[解析]　∠B＝∠D，∠DCA＝∠BEA＝90°.
∴△DAC∽△BAE，∴＝.
∴AE＝2，∴BE＝＝4.
4．(2010·北京理，12)如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝______；CE＝________.
[答案]　5　2
[解析]　首先由割线定理不难知道AB·AC＝AD·AE，
于是AE＝8，DE＝5，又BD⊥AE，故BE为直径，
因此∠C＝90°，由勾股定理可知
CE2＝AE2－AC2＝28，
故CE＝2.
5．如图：PA与圆O相切于点A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA＝30°，PA＝2，PC＝1，则圆O的半径等于________．
[答案]　7
[解析]　由已知可得，PA2＝PC·PB，从而可得PB＝12，连结OA并反向延长，交圆于点E，交BC于D，且∠BPA＝30°，在直角三角形APD中可以求得PD＝4，DA＝2，故CD＝3，DB＝8，记圆的半径为R，由于ED·DA＝CD·DB，因此，(2R－2)×2＝3×8，解得R＝7.
6．(2011·广东东莞)如下图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝2，AB＝3.则BD的长为________．
[答案]　4
[解析]　由切割线定理得：DB·DA＝DC2，即DB·(DB＋BA)＝DC2，∴DB2＋3DB－28＝0，∴DB＝4.
7．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°，BC为半圆的切线，且BC＝4，则点O到AC的距离OD＝________.
[答案]　3
[解析]　由已知得∠CBA＝90°，因为BC＝4，∠BAC＝30，所以AB＝＝＝12，故AO＝6，由于∠ODA＝90°，所以OD＝3.
8．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BC2＝BD·AB，则∠ACB＝________.
[答案]　90°
[解析]　在△ABC与△CBD中，
由BC2＝BD·AB，得＝，且∠B＝∠B，
所以△ABC∽△CBD.则∠ACB＝∠CDB＝90°.
二、解答题
9．(2011·江苏，21)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB?AC为定值．
[证明]　连结AO1，并延长分别交两圆于点E和点D，连结BD，SE.
因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上．故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．
从而∠ABD＝∠ACE＝.
所以BD∥CE，
于是＝＝＝.
所以AB?AC为定值．
10．(2011·新课标理，22)如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，且不与△ABC的顶点重合，已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．
(1)证明：C、B、D、E四点共圆；
(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C、B、D、E所在圆的半径．
[解析]　(1)证明：如图，
连接DE，在△ADE和△ACB中，AD·AB＝mn＝AE·AC，即＝.又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB.
因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．
(2)解：m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.
如图，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂直，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.
从而HF＝AG＝5，DF＝(12－2)＝5.
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.
11．(2011·辽宁理，22)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.
(1)证明：CD∥AB;
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
[解析]　(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.
故∠ECD＝∠EBA.
所以CD∥AB.
(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.
连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.
又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.
所以∠AFG＋∠GBA＝180°.
故A，B，G，F四点共圆．
12．如图，AE、AF分别为△ABC的内、外角平分线，O为EF的中点．
求证：OB?OC＝AB2?AC2.
[分析]　OB?OC等于△ABO与△ACO的面积之比(高相等)，自然想到证明△ABO∽△CAO.
[证明]　∵AE，AF为△ABC的内、外角平分线，∴AE⊥AF，
又∵O为EF的中点，∴∠OEA＝∠OAE.
∵∠OAE＝∠CAE＋∠OAC，∠OEA＝∠B＋∠BAE，
而∠BAE＝∠CAE，∴∠OAC＝∠B.
∵∠AOB为公共角，∴△OAC∽△OBA.
∴S△OBA?S△OAC＝AB2?AC2.
又∵△OAB与△OCA有一个公共边OA.
∴S△OBA?S△OAC＝OB?OC，∴OB?OC＝AB2?AC2.
[评析]　利用三角形相似的判定定理来证明三角形相似，然后由面积比等于相似比的平方这一性质来解题．所以并非见到内外角平分线，就用角平分线定理．
专题10 第2讲 坐标系与参数方程
一、选择题
1．(2011·安徽理，5)在极坐标系中点到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为(　　)
A．2　　　　　　　　　 B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　极坐标化为直角坐标为2cos，2sin，即(1，)，圆的极坐标方程ρ＝2cosθ可化为ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，则由两点间距离公式d＝＝，故选D.
2．(2011·北京理，3)在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是(　　)
A．(1，) B．(1，－)
C．(1,0) D．(1，π)
[答案]　B
[解析]　由ρ＝－2sinθ得：ρ2＝－2ρsinθ，
∴x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，
∴圆心直角坐标为(0，－1)，极坐标为(1，－)，选B.
3．(2010·湖南卷)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(　　)
A．圆、直线 B．直线、圆
C．圆、圆 D．直线、直线
[答案]　A
[解析]　将题中两个方程分别化为直角坐标方程为x2＋y2＝x,3x＋y＋1＝0，它们分别表示圆和直线．
4．(2010·北京卷)极坐标方程为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是(　　)
A．两个圆 B．两条直线
C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
[答案]　C
[解析]　由(ρ－1)(θ－π)＝0得ρ＝1或者θ＝π，
又ρ≥0，故该方程表示的图形是一个圆和一条射线．
二、填空题
5．(2011·上海理，5)在极坐标系中，直线ρ(2cosθ＋sinθ)＝2与直线ρcosθ＝1的夹角大小为________．(结果用反三角函数值表示)
[答案]　arctan
[解析]　极坐标方程化普通方程时要注意等价性．
∵ρ(2cosθ＋sinθ)＝2，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得一般方程为2x＋y＝2.
ρcosθ＝1的一般方程为x＝1.
直线2x＋y＝2的倾斜角的补角为arctan2，设两直线夹角为α，则tanα＝tan(－arctan2)＝cot(arctan2)＝＝，∴α＝arctan.
6．(2011·陕西理，15)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
[答案]　3
[解析]　C1为圆(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2为圆x2＋y2＝1.∴|AB|min＝－1－1＝3.
7．(2011·天津理，11)已知抛物线C的参数方程为(t为参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________.
[答案]　
[解析]　根据抛物线C的参数方程，得出y2＝8x，得出抛物线焦点坐标为(2,0)，所以直线方程：y＝x－2，利用圆心到直线距离等于半径，得出r＝＝.
8．(2011·广东理，14)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________．
[答案]　
[解析]　(0≤θ≤π)　化为普通方程为＋y2＝1(0≤y≤1)，
而化为普通方程为x＝y2，
由得，
即交点坐标为.
三、解答题
9．(2011·福建理，21)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4，)，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
[解析]　(1)把极坐标系的点P(4，)化为直角坐标，得P(0,4)，
因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线 l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为
(cosα，sinα)，
从而点Q到直线l的距离
d＝＝
＝cos(α＋)＋2，
由此得，当cos(α＋)＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
10．(2011·新课标理，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
[解析]　(1)设P(x，y)，则由条件知M.由于M点在C1上，
所以即
从而C2的参数方程为(α为参数)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.
射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，
射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.
所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.
11．已知参数C1：(θ为参数)，曲线C2：(t为参数)．
(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′，C2′.写出C1′，C2′的参数方程．C1′与C2′公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．
[解析]　(1)C1是圆，C2是直线．
C1的普通方程为x2＋y2＝1，圆心C1(0,0)，半径r＝1.
C2的普通方程为x－y＋＝0.
因为圆心C1到直线x－y＋＝0的距离为1，
所以C2与C1只有一个公共点．
(2)压缩后的参数方程分别为
C1′：(θ为参数)，
C2′：(t为参数)．
化为普通方程为C1′：x2＋4y2＝1，C2′：y＝x＋，
联立消元得2x2＋2x＋1＝0，
其判别式△＝(2)2－4×2×1＝0，
所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．
12．(2010·辽宁理，23)已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
[解析]　(1)由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，
故点M的极坐标为.
(2)M点的直角坐标为，A(1,0)，故直线AM的参数方程为(t为参数)．
专题10 第3讲 不等式选讲
一、填空题
1．(2011·陕西理，15)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(－∞，－3]∪[3，＋∞)
[解析]　|x＋1|＋|x－2|≥3.
∴|a|≥3.∴a≤－3或a≥3.
2．(2011·北京质检)若关于x的不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a的值等于________．
[答案]　－4
[解析]　由已知－1,2都是方程|ax＋2|＝6的根，代入得a＝－4.
3．(2011·广东五校模拟)若不等式|x－2|＋|x＋3|[答案]　(－∞，5]
[解析]　|x－2|＋|x＋3|≥|x－2－(x＋3)|＝5，要使解集是?，则a≤5.
4．(2011·山东枣庄二模)对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，则实数x的取值范围是________．
[答案]　
[解析]　原不等式可变形为≥|x－1|＋|x－2|，而＝|1＋|＋|1－|
≥|1＋＋1－|＝2，
所以只要|x－1|＋|x－2|≤2即可，解得x∈[，]．
5．(2011·天津理，13)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋－6，t∈(0，＋∞)}，则集合A∩B＝________.
[答案]　{x|－2≤x≤5}
[解析]　由集合A：{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}解出A＝{x|－4≤x≤5}，B＝{x∈R|x＝4t＋－6，t∈(0，＋∞)}＝{x|x≥－2}，故A∩B＝{x|－2≤x≤5}．
6．(2011·江西理，15)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－1| ≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
[答案]　5
[解析]　|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2×1＋2＝5.
7．已知g(x)＝|x－1|－|x－2|，则g(x)的值域为________．若关于x的不等式g(x)≥a2＋a＋1(x∈R)的解集为空集，则实数a的取值范围是________________．
[答案]　[－1,1]　(－∞，－1)∪(0，＋∞)
[解析]　当x≤1时，g(x)＝|x－1|－|x－2|＝－1；
当1所以－1当x>2时，g(x)＝|x－1|－|x－2|＝1，
综合以上，知－1≤g(x)≤1.(此结果也可以由绝对值的几何意义直接得出)
g(x)≥a2＋a＋1(x∈R)的解集为空集，即1＝[g(x)]max8．(2011·惠州一模)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
[答案]　{a∈R|a<0或a＝2}
[解析]　因为|x＋1|＋|x－3|≥4，所以由题意可得a＋≤4恒成立，因a<0时显然恒成立；当a>0时，由基本不等式可知a＋≥4，所以只有a＝2时成立，所以实数a的取值范围为{a∈R|a<0或a＝2}．
二、解答题
9．(2011·福建理，21)设不等式|2x－1|<1的解集为M.
(1)求集合M；
(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
[解析]　(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得0所以M＝{x|0(2)由(1)和a，b∈M可知0所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0，
故ab＋1>a＋b.
10．(2011·江苏，21)解不等式：x＋|2x－1|<3.
[解析]　原不等式化为
或
解得≤x<或－2所以原不等式的解集是{x|－211．(2011·新课标理，24)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集．
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
[解析]　(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为
|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．
(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.
此不等式化为不等式组
或即或
因为a>0，所以不等式组的解集为{x|x≤－}．
由题设可得－＝－1，故a＝2.
12．设a、b、c均为正数，求证：＋＋≥＋＋.
[分析]　首先＋＋＝[(＋)＋(＋)＋(＋)]，然后每个括号分别用基本不等式．
[解析]　∵a、b、c均为正数，
∴(＋)≥≥，当a＝b时等号成立；
(＋)≥≥，当b＝c时等号成立；
(＋)≥≥，当a＝c时等号成立．
三个不等式相加即得＋＋≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
[评析]　在多次使用基本不等式放缩时，每次等号成立的条件要一致．
专题1 基础巩固
一、选择题
1．已知集合A＝{x|xA．a≤1　 　 B．a<1　 　
C．a≥2　 　 D．a>2
2．(2011·大纲全国卷文，5)下列四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是(　　)
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
3．(2011·山东理，1)设集合 M ＝{x|x2＋x－6<0}，N ＝{x|1≤x≤3}，则M∩N ＝(　　)
A．[1,2) B．[1,2]
C．( 2,3] D．[2,3]
4．(2011·海南五校联考)设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,4,5,7}，B＝{1,4,7,8}，那么如图所示的阴影部分所表示的集合是(　　)
A．{3,6} B．{4,7}
C．{1,2,4,5,7,8} D．{1,2,3,5,6,8}
5．(2011·东北三校三模)若集合A＝{x||x|≤3，x∈Z}，B＝{x|x2－4x＋3≤0，x∈Z}，则(　　)
A．“x∈A”是“x∈B”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈A”是“x∈B”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈A”是“x∈B”的充要条件
D．“x∈A”既不是“x∈B”的充分条件，也不是“x∈B”的必要条件
6．(2011·重庆文，2)设U＝R，M＝{x|x2－2x>0}，则?UM＝(　　)
A．[0,2] B．(0,2)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
7．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．p∨q B．p∧q
C．(┐p)∧(┐q) D．(┐p)∨q
8．有下列四个命题：
(1)若“xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
(2)“面积相等的三角形全等”的否命题；
(3)“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
(4)“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题．
其中真命题为(　　)
A．(1)(2) B．(2)(3)
C．(4) D．(1)(2)(3)
二、填空题
9．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(?UA)∩B＝?，则m的值是______．
10．(2010·济南二模)不等式x＋≥3成立的充要条件是________．
11．(2011·哈尔滨质检)有以下四个命题：
①△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件；
②若命题p：?x∈R，sinx≤1，则綈p：?x∈R，sinx>1；
③不等式x3>x2在(0，＋∞)上恒成立；
④设有四个函数y＝x－1，y＝x，y＝x，y＝x3，其中在(0，＋∞)上是增函数的函数有3个．
其中真命题的序号是________．
12．(2011·南昌二模)给出下列命题：
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；
②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；
③“a＝2”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；
④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件．
其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
三、解答题
13．已知两个命题p：sinx＋cosx>m，q：x2＋mx＋1>0，如果对任意x∈R，有p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．
14．设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．
(1)当a＝－4时，分别求A∩B和A∪B；
(2)若(?RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．
15．已知函数f(x)＝4sin2－2cos2x－1，且给定条件p：x<或x>，x∈R.
(1)在綈p的条件下，求f(x)的最值；
(2)若条件q：－2详解答案
1[答案]　C
[解析]　∵B＝{x|1又∵A＝{x|x且A∪(?RB)＝R，利用数轴易知，应有a≥2.故选C.
2[答案]　A
[解析]　∵a>b＋1?a－b>1?a－b>0?a>b
∴a>b＋1是a>b的充分条件
又∵a>b?a－b>0?/ a>b＋1
∴a>b＋1不是a>b的必要条件
∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件．
3[答案]　A
[解析]　依题意：M＝(－3,2)，又N＝[1,3]，
∴M∩N＝[1,2)，故选A.
4[答案]　A
[解析]　阴影部分所表示的集合是?U(A∪B)，而A∪B＝{1,2,4,5,7,8}，故?U(A∪B)＝{3,6}．
5[答案]　B
[解析]　由题可知集合A＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合B＝{1,2,3}，所以“x∈A”是“x∈B”的必要条件但不是充分条件，故选B.
6[答案]　A
[解析]　由x2－2x>0得x>2或x<0.∴?UM＝[0,2]．
7[答案]　A
[解析]　∵f(x)＝x2－x在[0，)上是减函数，在[，＋∞)上是增函数，所以q为假命题，而p为真命题，∴p∨q为真命题故选A.
8[答案]　D
[解析]　(1)的逆命题：“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；(2)的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；(3)的逆否命题：“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m>1”是真命题；命题(4)是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．如A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5}，显然A?B是错误的，故选D.
9[答案]　1或2
[解析]　A＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?得B?A，
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?，
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，
∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件，∴m＝1或2.
10[答案]　x>1
[解析]　x＋≥3?≥3
?≥0?≥0?≥0.
又∵(x－2)2≥0，
∴x＋≥3的充要条件为x－1>0，得x>1.
11[答案]　①④
[解析]　本题是常用逻辑用语问题．①正确，但要注意，若A，B不是三角形的内角，则此命题不成立；②不正确，“?x∈R”形式的否定应为“?x∈R”形式；③不正确；④中的后三个函数均在(0，＋∞)上为增函数，故④正确，故正确的命题为①④.
12[答案]　①④
[解析]　对于①，当数列{an}是等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列；但当数列{anan＋1}是等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m＝3，也可能m＝0，因此③不正确．对于④，由题意得＝＝，当B＝60°时，有sinA＝，注意到b>a，故A＝30°，但当A＝30°时，有sinB＝，所以B＝60°或B＝120°，因此④正确．故应填①④.
13[解析]　∵sinx＋cosx＝sin≥－，故要使对任意x∈R，命题p为真，应有m<－；
又∵对任意x∈R，若x2＋mx＋1>0，则Δ＝m2－4<0，∴－2∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假．
当p真q假时，m≤－2；当p假q真时，－≤m<2，
因此使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是m≤－2或－≤m<2.
14[解析]　(1)由2x2－7x＋3≤0，得≤x≤3，
∴A＝.
当a＝－4时，解x2－4<0，得－2∴B＝{x|－2∴A∩B＝{x|≤x<2}，A∪B＝{x|－2(2)?RA＝{x|x<或x>3}，
当(?RA)∩B＝B时，B??RA.
①当B＝?时，即a≥0时，满足B??RA；
②当B≠?时，即a<0时，B＝{x|－综上可得，实数a的取值范围是a≥－.
15[解析]　(1)由p：x<或x>，x∈R可知，
綈p：≤x≤.
而f(x)＝2[1－cos(＋2x)]－2cos2x－1
＝2sin2x－2cos2x＋1＝4sin(2x－)＋1，
∵≤x≤，∴≤2x≤π.∴≤2x－≤.
∴≤sin(2x－)≤1.∴3≤4sin(2x－)＋1≤5.
故f(x)max＝5，此时x＝；f(x)min＝3，此时x＝.
(2)由条件q可得，－2即，∵綈p是q的充分条件．
即在≤x≤的条件下恒成立，
即只需，即3∴m的取值范围是3专题2 第1讲 函数的图象与性质
一、选择题
1．(文)(2011·海南五校联考)若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(　　)
A．－2　　　 B．－1　　　
C．1　　　　 D．2
[答案]　C
[解析]　由已知得函数y＝x2＋(1－a)x－a是偶函数，因此1－a＝0，a＝1，选C.
(理)(2011·重庆理，5)下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是(　　)
A．(－∞，1] B．[－1，]
C．[0，) D．[1,2)
[答案]　D
[解析]　f(x)＝|ln(2－x)|
＝
所以当x∈(－∞，1)时，f(x)是减函数，
当x∈[1,2)时，f(x)是增函数，故选D.
[评析]　本题亦可作出f(x)的图像，直接判定．
2．(文)(2011·浙江理，1)设函数f(x)＝，若f(a)＝4，则实数a＝(　　)
A. －4或－2 B. －4或2
C．－2或4 D．－2或2
[答案]　B
[解析]　当a≤0时，f(a)＝－a＝4，∴a＝－4；
当a>0时，f(a)＝a2＝4，∴a＝2.
综之：a＝－4或2，选B.
(理)(2011·广东理，4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
[答案]　A
[解析]　∵f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|，
∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．选A.
3．(2011·广东文，4)函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是(　　)
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
[答案]　C
[解析]　要使函数有意义，则有，即，所以函数的定义域为 (－1,1)∪(1，＋∞)．
4．(2011·宁波二模)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且f(x＋1)为奇函数，当x>1时，f(x)＝2x2－12x＋16，则直线y＝2与函数f(x)图像的所有交点的横坐标之和是(　　)
A．1 B．2
C．4 D．5
[答案]　D
[解析]　本题考查函数单调性、奇偶性、对称性知识．结合函数图像，该函数图像与直线y＝2有三个交点，x1＝－1，x2＋x3＝6(其中x2，x3关于x＝3对称)，则横坐标之和为5.
5．(2010·山东理，4)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　)
A．3 B．1
C．－1 D．－3
[答案]　D
[解析]　∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即0＝20＋b，
∴b＝－1，故f(1)＝2＋2－1＝3，
∴f(－1)＝－f(1)＝－3.
6．(2011·厦门质检)以下四个函数图像错误的是(　　)
[答案]　C
[解析]　函数y＝log|x|的图像关于y轴对称，其图像向左平移1个单位可得函数y＝log|x＋1|的图像，其图像关于直线x＝－1对称，由此可知C选择支中的图像是不正确的，故应选C.
7．(文)(2011·辽宁文，6)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)
A. B.
C. D．1
[答案]　A
[解析]　解法一：∵f(x)是奇函数且
f(x)＝＝
∴f(－x)＝＝－f(x)
＝
∴－(1－2a)＝1－2a，∴1－2a＝0，∴a＝.
解法二：∵f(x)的分子是奇函数
∴要使f(x)为奇函数，则它的分母必为偶函数
∴1－2a＝0，∴a＝.
(理)(2011·大纲全国卷理，9)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－)＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
[答案]　A
[解析]　f(－)＝f(－)＝－f()＝－.
8．(2011·山东理，9)函数y＝－2sinx的图像大致是(　　)
[答案]　C
[解析]　依题意f(x)是奇函数且f(0)＝0，则排除A.
令f(x)＝0，则－2sinx＝0，即sinx＝，
又－1≤sinx≤1，∴－4≤x≤4，
即方程f(x)＝0的零点在(－2π，2π)之间，则排除D.
又f′(x)＝－2cosx，则f′(x)＝0，即cosx＝，当x∈R时，x的值有无数个，即函数f(x)的极值点有无数个，则排除B.故选C.
二、填空题
9．(2011·龙岩质检题)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝__________.
[答案]　－1
[解析]　令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x(1－x)，又f(x)为奇函数，所以当x<0时有f(x)＝x(1－x)，令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2(舍去)．
10．(2011·湖南文，12)已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.
[答案]　6
[解析]　由g(x)＝f(x)＋9知g(－2)＝f(－2)＋9＝3，∴f(－2)＝－6，而由于f(x)是奇函数，
所以f(2)＝－f(－2)＝－(－6)＝6.
11．(文)(2011·武汉调研)若函数y＝f(x＋2)的图像过点P(－1,3)，则函数y＝f(x)的图像关于原点O对称的图像一定过点________．
[答案]　(－1，－3)
[解析]　依题意得f(－1＋2)＝3，f(1)＝3，即函数f(x)的图像一定过点(1,3)，因此函数y＝f(x)的图像关于原点O对称的图像一定经过点(1,3)关于原点O的对称点(－1，－3)．
(理)(2011·南京一调)设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合：在定义域内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．已知下列函数：①f(x)＝；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cosπx.其中属于集合M的函数是________(写出所有满足要求的函数的序号)．
[答案]　②④
[解析]　对于①，方程＝＋1，显然无实数解；对于②，由方程2x＋1＝2x＋2，解得x＝1；对于③，方程lg[(x＋1)2＋2]＝lg(x2＋2)＋lg3，显然也无实数解；对于④，方程cos[π(x＋1)]＝cosπx＋cosπ，即cosπx＝，显然存在x使等式成立，故填②④.
12．(文)(2011·安徽文，13)函数y＝的定义域是________．
[答案]　{x|－3[解析]　由6－x－x2>0，得x2＋x－6<0，
即{x|－3(理)(2011·湖南六校联考)设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(－1，)
[解析]　f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，得f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)，又f(1)>1，所以f(2)<－1，即<－1，解得－1三、解答题
13．(文)设f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且满足f(－a2＋2a－5)[解析]　(1)∵f(x)为R上的偶函数，
∴f(－a2＋2a－5)＝f[－(－a2＋2a－5)]
＝f(a2－2a＋5)．
∴不等式等价于f(a2－2a＋5)∵a2－2a＋5＝(a－1)2＋4>0，
而2a2＋a＋1＝2(a＝)2＋>0.
∵f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，而偶函数图像关于y轴对称，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，
∴由f(a2－2a＋5)得a2－2a＋5>2a2＋a＋1?a2＋3a－4<0
?－4∴实数a的取值范围是(－4,1)．
(理)已知函数f(x)＝(x∈R)为奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若f(x)＝k在(－∞，0)上有解，求实数k的范围．
[解析]　(1)令x＝0，得f(0)＝0，即0.5(m＋m－2)＝0，所以m＝1，
当m＝1时，f(x)＝＝－f(－x)，
所以当m＝1时，f(x)为奇函数，所以m＝1.
(2)k＝f(x)＝＝＝1－.
∵x∈(－∞，0)，∴1<2x＋1<2.
∴1>>，∴－114．(2011·山东日照质检题)已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)＝－.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求证：f(x)在R上是减函数；
(3)求f(x)在[－3,6]上的最大值与最小值．
[解析]　(1)证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，从而f(0)＝0.
令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0.
即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
(2)证明：设x1，x2∈R，且x1>x2，则x1－x2>0，于是f(x1－x2)<0，从而f(x1)－f(x2)
＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)
＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)
＝f(x1－x2)<0.
∴f(x)为减函数．
(3)解：由(2)知，所求函数的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．
f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]
＝－2f(1)－f(1)＝－3f(1)＝2，
f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－2f(－3)＝－4.
于是f(x)在[－3,6]上的最大值为2，最小值为－4.
15．(2011·盐城模拟)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋b的图像过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于原点对称．
(1)求f(x)与g(x)的解析式；
(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
[解析]　(1)由题意知：a＝1，b＝0，
∴f(x)＝x2＋2x.
设函数y＝f(x)图像上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y.
∵点Q(x0，y0)在y＝f(x)的图像上，
∴－y＝x2－2x.∴y＝－x2＋2x.
∴g(x)＝－x2＋2x.
(2)F(x)＝－x2＋2x－λ(x2＋2x)
＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x，
∵F(x)在(－1,1]上是增函数且连续，
F′(x)＝－2(1＋λ)x＋2(1－λ)≥0恒成立，
即λ≤＝－1在(－1,1]上恒成立，
由－1在(－1,1]上为减函数，
当x＝1时取最小值0，
故 λ≤0，所求λ的取值范围是(－∞，0]．
专题2 第2讲 基本初等函数
一、选择题
1．(2011·北京文，3)如果logxA．yC．1[答案]　D
[解析]　logx2．(2011·山东理，3)若点(a,9)在函数y＝3x的图像上，则tan的值为(　　)
A．0 B.
C. 1 D.
[答案]　D
[解析]　依题意：9＝3a，∴a＝2，∴tan＝tan＝，故选D.
3．(文)(2011·全国新课标理，2)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是(　　)
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
[答案]　B
[解析]　对于A，y＝x3不是偶函数，A错误；B正确，既是偶函数又在(0，＋∞)上单增；对于C，在(0，＋∞)上单调递减，错误；对于D，在(0，＋∞)上单调递减，错误，故选B.
(理)(2011·安徽文，5)若点(a，b)在y＝lgx图像上，a≠1，则下列点也在此图像上的是(　　)
A．(，b) B．(10a,1－b)
C．(，b＋1) D．(a2,2b)
[答案]　D
[解析]　由题意知b＝lga，
对于A选项，lg＝－lga＝－b≠b，
对B选项lg(10a)＝1＋lga＝1＋b≠1－b.
对C选项lg＝1－lga＝1－b≠b＋1，
对D，lga2＝2lga＝2b，故(a2,2b)在图像上．
4．(2010·湖北文，3)已知函数f(x)＝，则f(f())＝(　　)
A．4 B.
C．－4 D．－
[答案]　B
[解析]　∵f()＝log3＝－2<0
∴f(f())＝f(－2)＝2－2＝.
5．(2011·成都一诊)若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则(　　)
A．aC．b[答案]　C
[解析]　由x∈(e－1,1)得－10，a>b，a－c＝lnx(1－ln2x)<0，a6．(2011·湘潭五模)已知函数f(x)＝，若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(2,3] D．(2，＋∞)
[答案]　C
[解析]　由题可知，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，所以，解得27．(2011·南昌一模)已知实数a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，M＝2a＋2b，则M的整数部分是(　　)
A．1　　　　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
[答案]　B
[解析]　设x＝2a，则有x∈(1,2)．依题意得M＝2a＋21－a＝2a＋＝x＋.易知函数y＝x＋在(1，)上是减函数，在(，2)上是增函数．因此有2≤M<3，M的整数部分是2，选B.
8．(文)(2011·天津文，5)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>a>b
[答案]　B
[解析]　∵a＝log23.6>1，c＝log43.6<1.∴a>c.
又∵c＝log43.6>log43.2＝b.∴a>c>b.
(理)(2011·天津理，7)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝()log20.3，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
[答案]　C
[解析]　a＝5log23.4，b＝5log43.6＝5log2，c＝()log20.3＝5log2，显然有log23.4>log2>log2，由对数函数、指数函数单调性，有a>c>b，故选C.
二、填空题
9．(2011·四川理，13)计算(lg－lg25)÷100－＝________.
[答案]　－20
[解析]　原式＝lg0.01÷100－＝lg0.01÷
＝－2×10＝－20.
10．函数y＝()2x－x2的值域为__________．
[答案]　[，＋∞)
[解析]　令t＝2x－x2，得t∈(－∞，1]，
∴y＝()t的值域为[，＋∞)．
11．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是__________．
[答案]　1
[解析]　结合f(x)与g(x)的图像，h(x)＝易知h(x)的最大值为h(2)＝1.
12．已知集合P＝{x|≤x≤3}，函数f(x)＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为Q.
(1)若P∩Q＝[，)，P∪Q＝(－2,3]，则实数a的值为__________；
(2)若P∩Q＝?，则实数a的取值范围为__________．
[答案]　(1)a＝－　(2)a≤－4
[解析]　(1)f(x)＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为ax2－2x＋2>0的解集，而P∩Q＝[，)，P∪Q＝(－2，3]，可知－2为ax2－2x＋2＝0的一个根，将x＝－2代入ax2－2x＋2＝0得a＝－.
(2)由P∩Q＝?，可知
??a≤－4.
三、解答题
13．(2011·江苏镇江)定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且x∈(0,1)时，f(x)＝.
(1)求f(x)在[－1,1]上的解析式；
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性，并给予证明．
[解析]　(1)当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)．
∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝＝－.
又f(0)＝－f(－0)＝－f(0)?f(0)＝0，
f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，f(－1)＝－f(1)．
∴f(1)＝－f(－1)＝f(－1)＝0.
∴f(x)＝.
(2)f(x)在(0,1)上是减函数．
证明如下：
设0则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
∵x10.
又当00，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(0,1)上单调递减．
14．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．
[解析]　(1)当对称轴x＝a<0时，如图①所示．当x＝0时，y有最大值，ymax＝f(0)＝1－a，
所以1－a＝2，即a＝－1，且满足a<0，∴a＝－1；
(1)当对称轴0≤a≤1时，如图②所示．
当x＝a时，y有最大值，
ymax＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.
∴a2－a＋1＝2，解得a＝.
∵0≤a≤1，∴a＝(舍去)；
(3)对称轴x＝a，当a>1时，如图③所示．
当x＝1时，y有最大值，ymax＝f(1)＝2a－a＝2，
∴a＝2，且满足a>1，∴a＝2.
综上可知，a的值为－1或2.
15．(2011·上海理，20)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足a·b≠0.
(1)若a·b>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若a·b<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
[解析]　(1)当a>0，b>0时，任意x1，x2∈R，x1∵2x1<2x2，a>0?a(2x1－2x2)<0,3x1<3x2，b>0?b(3x1－3x2)<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数．
当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R上是减函数．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0，
当a<0，b>0时，()x>－，则x>log1.5(－)；
当a>0，b<0时，()x<－，则x专题2 第3讲 函数与方程及函数的实际应用
一、选择题
1．(2011·合肥质检)函数f(x)＝lnx＋2x－1零点的个数为(　　)
A．0　　　　 B．1　　　　
C．2　　　　 D．3
[答案]　B
[解析]　作出函数y＝lnx和y＝1－2x的图像，可看出交点只有一个．故选B.
2．(2011·南昌调研)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________．以上横线上应填的内容为(　　)
A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.05)，f(0.125)
[答案]　A
[解析]　由f(0)<0，f(0.5)>0.则在(0,0.5)内必有一个零点，故在下一次应计算f(0.25)，故选A.
3．(2010·上海理，17)若x0是方程x＝x的解，则x0属于区间(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　令f(x)＝x－x，f(1)＝－1＝－<0，
f＝－<0，
f＝－>0，
f＝－＝－<0，
∴f(x)在区间内有零点．
4．(2011·北京理，6)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(　　)
A．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
[答案]　D
[解析]　依题意：当x≤A时，f(x)单调递减；当x≥A时，f(x)恒为常数．
因此，＝30，＝15，解得：c＝60，A＝16，故选D.
5．(文)(2011·海淀期末)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内零点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　C
[解析]　由题意知，所求零点的个数即函数y1＝|x－2|的图像与函数y2＝lnx的图像交点的个数，y1、y2的图像如图所示，显然二者有两个交点，故选C.
(理)(2011·陕西二检)方程sinx＝|lgx|的根的个数是(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
[答案]　B
[解析]　如图，分别画出函数y＝sinx和y＝|lgx|的图像，
显然，当01时，因为y＝sinx∈[－1,1]，故可只考虑函数y＝|lgx|在区间[1,10]上的图像，由图可知，在区间[1,10]上这两个函数的图像有三个公共点．综上所述，两个函数图像有四个公共点，即方程sinx＝|lgx|有四个不同的实根，故选B.
6．(2011·襄阳一调)利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y＝－30x＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为(　　)
A．240 B．200
C．180 D．160
[答案]　B
[解析]　依题意得每吨的成本是＝＋－30，则≥2－30＝10，当且仅当＝，即x＝200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200吨，选B.
7．(2011·山东济宁)已知函数f(x)＝log2(a－2x)＋x－2，若f(x)存在零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) 　 B．[1，＋∞)
C．[2，＋∞ ) 　 D．[4，＋∞)
[答案]　D
[解析]　由题意知，log2(a－2x)＝2－x有解，
即a－2x＝22－x有解，也即a＝2x＋4·2－x，
∵2x＋4·2－x≥4，∴a≥4.故选D.
8．(2011·绍兴模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx－1(a，b∈R且a>0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则a－b的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
[答案]　B
[解析]　函数f(x)＝ax2＋bx－1(a>0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，结合二次函数的图像知，即满足，所以a－b的取值范围即为：满足可行域内的点P(a，b)的目标函数z＝a－b的取值范围，作出可行域如图：
当b＝a－z的一族平行线经过可行域时，目标函数z＝a－b在点(0,1)处取得最小值－1，最大值趋向正无穷，故答案选B.
二、填空题
9．(2011·芜湖模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围________．
[答案]　(0,1)
[解析]　函数f(x)的图像如图所示：
当010．关于x的方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，则a的取值范围为________．
[答案]　(－1,1]
[解析]　原方程可化为a＝sinx－cos2x，
令y＝sinx－cos2x，
则y＝sin2x＋sinx－1＝(sinx＋)2－，
∵x∈(0，]，∴0因为方程有解，所以a∈(－1,1]．
11．(2010·浙江文，16)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
[答案]　20
[解析]　本题考查了不等式的实际应用．
由题意列出不等式：3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000　(x>0)
整理可得：x2＋300x－6400≥0，解之得，x≥20.
∴x的最小值为20.
12．若抛物线y＝－x2＋mx－1和两端点为A(0,3)、B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，则m的取值范围为________．
[答案]　(3，]
[解析]　线段AB的方程为y＝－x＋3(0≤x≤3)．
由消去y得x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)．
∵抛物线与线段AB有两个不同的交点，
∴x2－(m＋1)x＋4＝0在[0,3]上有两个不同的解．
设f(x)＝x2－(m＋1)x＋4，
则f(x)的图像在[0,3]上与x轴有两个不同的交点，
∴解得3＜m≤.
三、解答题
13．如图所示是函数y＝()x和y＝3x2图像的一部分，其中x＝x1，x2(－1(1)给出如下两个命题：
①当x②当x>x2时，()x<3x2，
试判断命题①②的真假并说明理由；
(2)求证：x2∈(0,1)．
[解析]　(1)当x＝－8时，
()－8＝28＝256,3×(－8)2＝192，
此时()－8>3×(－8)2，故命题①是假命题．
又当x∈(0，＋∞)时，y＝()x是减函数，y＝3x2是增函数，故命题②是真命题．
(2)证明：令f(x)＝3x2－()x，
则f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，
∴f(x)在区间(0,1)内有零点，
又∵函数f(x)＝3x2－()x在区间(0，＋∞)上单调递增，∴x2∈(0,1)．
14．(2011·佛山质检)桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a：b＝1：2.
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？
[解析]　(1)由题可得：xy＝1800，b＝2a，
则y＝a＋b＋6＝3a＋6，
S＝(x－4)a＋(x－6)b＝(3x－16)a
＝(3x－16)·＝1832－6x－y.
(2)S＝1832－6x－y≤1832－2
＝1832－480＝1352，
当且仅当6x＝y，即x＝40米，y＝45米时，
S取得最大值1352平方米．
15．(2011·湖北理，17)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
[解析]　(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；
当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)
≤[]2＝，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
专题2 第4讲 导数及其应用
一、选择题
1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝(　　)
A．－1 B．－2
C．2 D．0
[答案]　B
[解析]　f ′(x)＝4ax3＋2bx，∵f ′(1)＝4a＋2b＝2，
∴f ′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2
要善于观察，故选B.
2．(2011·江西文，4)曲线y＝ex在点A(0,1)处得切线斜率为(　　)
A．1 B. 2
C．e D.
[答案]　A
[解析]　y′＝(ex)′＝ex，所以k＝e0＝1.
3．(2011·重庆文，3)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为(　　)
A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5 D．y＝2x
[答案]　A
[解析]　y′＝－3x2＋6x在(1,2)处的切线的斜率k＝－3＋6＝3，
∴切线方程为y－2＝3(x－1)．即y＝3x－1.
4．(2010·山东文，8)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　)
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
[答案]　C
[解析]　本题考查了导数的应用及求导运算，∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0得x＝9，x∈(0,9)时，y′>0，x∈(0，＋∞)时，y′<0，y先增后减，∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题．
5．(文)(2011·湖南文，7)曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
[答案]　B
[解析]　∵y′＝
＝，∴y′|x＝＝.
(理)(2011·湖南理，6)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B．1
C. D.
[答案]　D
[解析]　S＝∫－cosxdx＝sinx
＝sin－sin＝.
6．(2011·山东淄博)若函数y＝f(x)在R上可导，且满足不等式xf ′(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．af(a)>bf(b) B．af(a)C．af(b)bf(a)
[答案]　A
[解析]　令F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf ′(x)＋f(x)，
由xf ′(x)>－f(x)，
得：xf ′(x)＋f(x)>0，即F′(x)>0，
所以F(x)在R上为递增函数．
因为a>b，所以af(a)>bf(b)．故选A.
7．(2011·江苏盐城)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是(　　)
A．0≤a<1 B．－1C．0[答案]　D
[解析]　f ′(x)＝3x2－3a，
由于f(x)在(0,1)内有最小值，故a>0，
令f ′(x)＝0，得x1＝，x2＝－.
则∈(0,1)，∴08．(文)(2011·浙江文，10)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像是(　　)
[答案]　D
[解析]　由F(x)＝f(x)·ex得，
F′(x)＝f′(x)ex＋f(x)·(ex)′
＝ex[ax2＋(2a＋b)x＋b＋c]
∵x＝－1是F(x)的极值点，∴F′(－1)＝0，得c＝a.
∴f(x)＝ax2＋bx＋a∴f′(x)＝2ax＋b
∴f′(－1)＝－2a＋b，f(－1)＝2a－b
由f′(－1)＝0，则b＝2a，f(－1)＝0，b＝2a，故A，B选项可能成立；
由f′(－1)>0，∴－2a＋b>0，∴f(－1)<0，故C选项也成立；
所以，答案选D.
(理)(2011·湖北理，10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝(　　)
A．5太贝克 B．75ln2太贝克
C．150ln2太贝克 D．150太贝克
[答案]　D
[解析]　M′(t)＝－ln2·2－，
∴M′(30)＝－ln2＝－10ln2，∴M0＝600，
∴M(t)＝600·2－，∴M(60)＝600·2－2＝150.
二、填空题
9．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
[答案]　ln2－1
[解析]　(lnx)′＝，令＝，得x＝2，∴切点(2，ln2)代入切线方程，得b＝ln2－1.
10．(2011·山东烟台)曲线y＝2x4上的点到直线y＝－x－1的距离的最小值为________．
[答案]　
[解析]　设直线l平行于直线y＝－x－1，且与曲线y＝2x4相切于点P(x0，y0)，则所求最小值d即为点P到直线y＝－x－1的距离，对于y＝2x4，y′＝8x3，
则y′|x＝x0＝8x＝－1.
∴x0＝－，y0＝，
∴d＝＝.
11．(苏北四市联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，>0(x>0)，则不等式x2f(x)>0的解集是________________．
[答案]　(－1,0)∪(1，＋∞)
[解析]　设F(x)＝，则当x>0时，
F′(x)＝>0，
∴F(x)在(0，＋∞)上为增函数，且F(1)＝f(1)＝0.
∴当x>1时，F(x)>0，则有f(x)>0，
当0又∵f(x)是R上的奇函数，
∴当－10，
当x<－1时有f(x)<0.
∴x2f(x)>0的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．
12．(文)(2011·银川二模)已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
[答案]　3
[解析]　由题可知f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝k＝，所以f(1)＋f′(1)＝3.
(理)(2011·浙江五校联考)已知函数f(x)的导函数f′(x)＝2x－9，且f(0)的值为整数，当x∈[n，n＋1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，则n＝________.
[答案]　4
[解析]　由题可设f(x)＝x2－9x＋c(c∈R)，又f(0)的值为整数即c为整数，∴f(n)＝n2－9n＋c为整数，f(n＋1)＝(n＋1)2－9(n＋1)＋c＝n2－7n＋c－8为整数，又x∈[n，n＋1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，∴n2－7n＋c－8＝n2－9n＋c，即n＝4.
三、解答题
13．已知曲线y＝x3.
(1)求曲线在点(1,1)处的切线方程；
(2)求过点(1,0)与曲线相切的直线方程；
(3)求过点(1,1)与曲线相切的直线方程．
[解析]　(1)∵y＝x3，∴y′＝f ′(x)＝3x2，且点(1,1)在曲线上，
∴f ′(1)＝3×12＝3，即所求切线的斜率k＝3.
∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)∵曲线y＝x3，∴y′＝f ′(x)＝3x2.
显然点(1,0)不在曲线y＝x3上 ，
设切点坐标为(x0，x)，
∴所求直线的斜率k＝f ′(x0)＝3x故所求直线方程为y－x＝3x(x－x0)．
又因为该直线过点(1,0)，代入得，
0－x＝3x(1－x0)，
∴x(2x0－3)＝0，∴x0＝0，或x0＝.
当x0＝0时，k＝3x＝0，
此时所求直线方程为y＝0；
当x0＝时，k＝3x＝，
此时所求直线方程为y＝(x－1)，
即27x－4y－27＝0.
∴所求直线方程为y＝0，或27x－4y－27＝0.
(3)由(2)知，所求直线方程为y－x＝3x(x－x0)．
又直线过点(1,1)，∴1－x＝3x(1－x0)，
整理得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
∴x0＝1，或x0＝－.
当x0＝1时，k＝3，
此时所求直线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0；
当x0＝－时，k＝，
此时所求直线方程为y－1＝(x－1)，
即3x－4y＋1＝0.
∴所求直线的方程为3x－y－2＝0，或3x－4y＋1＝0.
14．(文)(2011·重庆文，19)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图像关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的极值．
[解析]　(1)∵f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1
∴f′(x)＝6x2＋2ax＋b
由题意知－＝－，∴a＝3.
又f′(1)＝0，∴6×12＋2a＋b＝0，
∴6＋6＋b＝0，∴b＝－12.
∴a＝3，b＝－12.
(2)由(1)知a＝3，b＝－12.
∴f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x2＋x－2)＝6(x＋2)(x－1)
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
f′(x)、f(x)随x变化如下表
x
(－∞，－2)
－2
(－2,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴当x＝－2时，f(x)取得极大值f(－2)＝21，在x＝1处取得极小值f(1)＝－6.
(理)(2011·重庆理，18)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．
[解析]　(1)因f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，
故f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，由已知f′(1)＝2a，
因此3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
又令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，由已知f′(2)＝－b，因此12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
因此f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又因为f′(1)＝2×(－)＝－3，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－)＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
(2)由(1)知g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，
从而有g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x.
令g′(x)＝0，得－3x2＋9x＝0，解得x1＝0，x2＝3.
当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，0)上为减函数；
当x∈(0,3)时，g′(x)>0，故g(x)在(0,3)上为增函数；
当x∈(3，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(3，＋∞)上为减函数；
从而函数g(x)在x1＝0处取得极小值g(0)＝－3，在x2＝3处取得极大值g(3)＝15e－3.
15．(2011·江苏，17)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[解析]　设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得
a＝x，h＝＝(30－x)，0(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x2＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.
专题2
1．(2011·北京海淀)已知函数f(x)＝(ax－1)ex，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)因为f ′(x)＝(ax＋a－1)ex，
所以当a＝1时，f ′(x)＝xex，
令f ′(x)＝0，则x＝0，
所以f(x)，f ′(x)的变化情况如下表：
所以x＝0时，f(x)取得极小值f(0)＝－1.
(2)因为f ′(x)＝(ax＋a－1)ex，函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，所以f ′(x)≥0，对x∈(0,1)恒成立．
又ex>0，所以只要ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立即可，
解法一：设g(x)＝ax＋a－1，则要使ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，只要，即成立，解得a≥1.
解法二：因为x>0，所以只要a≥对x∈(0,1)恒成立，
因为函数g(x)＝在(0,1)上单调递减，
所以只要a≥g(0)＝＝1.
2．已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，若待岗员工人数为x人，则留岗员工每人每年可为企业多创利润(1－)万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？
[解析]　设重组后，该企业年利润为y万元，依题意得
y＝(2000－x)(3.5＋1－)－0.5x
＝－5(x＋)＋9000.81，
∴y＝－5(x＋)＋9000.81，(0y＝－5(x＋)＋9000.81
≤－5×2＋9000.81＝8820.81，
∴当且仅当x＝，即x＝18时取等号，此时y取得最大值．
即为使企业年利润最大，应安排18人待岗．
3．(2011·皖南八校)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z.
(1)若b>2a，且f(sinx)(x∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意实数x，不等式4x≤f(x)≤2(x2＋1)恒成立，且存在x0使得f(x0)<2(x＋1)成立，求c的值．
[解析]　(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，对称轴方程为x＝－.
∵b>2a，且a∈N*，b∈N，∴－<－1.
∵sinx∈[－1,1]，∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c在[－1,1]上为增函数．
于是f(sinx)的最大值为f(1)＝a＋b＋c＝2，
最小值为f(－1)＝a－b＋c＝－4，
由此可得b＝3.∵b>2a，且a∈N*，
∴a＝1，从而c＝－2.
∴f(x)＝x2＋3x－2＝(x＋)2－.
即f(x)的最小值为－.
(2)令x＝1，代入4x≤f(x)≤2(x2＋1)得
f(1)＝4，即a＋b＋c＝4.从而b－4＝－a－c.
又由f(x)≥4x，得ax2＋(b－4)x＋c≥0.
∵a>0，故Δ＝(b－4)2－4ac≤0.
即(－a－c)2－4ac≤0，(a－c)2≤0.从而a＝c.
∵b≥0，∴a＋c≤4,2c≤4.
又a＝c∈N*，∴c＝1或c＝2.
当c＝2时，b＝0，f(x)＝2x2＋2.此时x0不满足f(x0)<2(x＋1)．故c＝2不符合题意，舍去．
所以c＝1，经检验c＝1满足题意．
4．(2011·安徽理，16)设f(x)＝，其中a为正实数．
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
[解析]　对f(x)求导得f′(x)＝ex.
(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.
结合①，可知
所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，由此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知05．(2011·大纲全国卷文，21)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x－12a－4(a∈R)．
(1)证明：曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2,2)；
(2)若f(x)在x＝x0处取得最小值，x0∈(1,3)，求a的取值范围．
[解析]　(1)f′(x)＝3x2＋6ax＋3－6a
由f(0)＝12a－4，f′(0)＝3－6a得曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＝(3－6a)x＋12a－4，由此知曲线y＝f(x)在x＝0处的切线经过点(2,2)．
(2)由f′(x)＝0，得x2＋2ax＋1－2a＝0
(ⅰ)当－－1≤a≤－1时，f(x)没有极小值．
(ⅱ)当a>－1或a<－－1时，由f′(x)＝0得
x1＝a－，x2＝－a＋
故x0＝x2，由题设知，1<－a＋<3
当a>2－1时，不等式1<－a＋<3无解
当a<－－1时，解不等式1<－a＋<3得－综合(ⅰ)(ⅱ)得a的取值范围是(－，－－1)．
6．(2011·宁夏银川模拟)已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若m，n∈[－1,1]，m＋n≠0时，有>0.
(1)解不等式f(x＋)(2)若f(x)≤t2－2at＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围．
[解析]　(1)任取x1，x2∈[－1,1]，且x2>x1，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)
＝·(x2－x1)>0，
所以f(x2)>f(x1)．所以f(x)是增函数．
由f(x＋)，解得0≤x<.
故不等式f(x＋)(2)由于f(x)为增函数，所以f(x)的最大值为f(1)＝1，所以f(x)≤t2－2at＋1对a∈[－1,1]，x∈[－1,1]总成立?t2－2at＋1≥1对任意a∈[－1,1]总成立?t2－2at≥0对任意a∈[－1,1]总成立．
把y＝t2－2at看作a的函数，由a∈[－1,1]知其图像是一线段．
所以t2－2at≥0对任意a∈[－1,1]总成立
??
?
?t≤－2或t＝0或t≥2.
7．(2011·徐州二模)已知函数f(x)＝(x2－3x＋)ex，其中e是自然对数的底数．
(1)求函数f(x)的图像在x＝0处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值与最小值．
[解析]　(1)因为f(x)＝(x2－3x＋)ex，
所以f(0)＝，
又f ′(x)＝(2x－3)ex＋(x2－3x＋)ex＝(x2－x－)ex，所以f ′(0)＝－，
所以函数f(x)的图像在x＝0处的切线方程为：
y－＝－x，即3x＋4y－9＝0.
(2)由(1)得f(x)＝(x－)2ex，
f ′(x)＝(x＋)(x－)ex.
当x变化时，函数f(x)，f ′(x)在区间[－1,2]上的变化情况如下表：
x
[－1，－)
－
(－，)
(，2]
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值f(x)max＝max{f(－)，f(2)}，最小值f(x)min＝min{f(－1)，f()}．
∵f(2)－f(－)＝e2－4e－
＝<<0，
f()－f(－1)＝0－e－1<0，
∴f(x)max＝f(－)＝4e－，f(x)min＝f()＝0.
专题3 第1讲 三角函数的图象与性质
一、选择题
1．(2011·北京海淀)函数f(x)＝sin的图像的对称轴方程可以是(　　)
A．x＝　　　　　 　　 B．x＝π
C．x＝ D．x＝
[答案]　A
[解析]　令2x＋＝kπ＋，k∈Z，可得x＝π＋，k∈Z，取k＝0可得函数f(x)的一条对称轴方程为x＝，故选A.
2．(2011·山东济南)函数f(x)＝tanx＋，x∈{x|－[答案]　A
[解析]　据已知易知函数为奇函数，故其图像关于原点对称，排除B，C选项．又当00，排除D，故选A.
3．(2011·长沙二模)若将函数y＝sin(ω>0)的图像向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图像重合，则ω的最小值为(　　)
A．1 B．2
C. D.
[答案]　D
[解析]　y＝sin
y＝sin＝sin，
∴－ω＋2kπ＝，∴ω＝8k－(k∈Z)，
又∵ω>0，∴ωmin＝.
4．(2011·湖北理，3)已知函数f(x)＝sinx－cosx，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为(　　)
A．{x|kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z} B．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
C．{x|kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z} D．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
[答案]　B
[解析]　∵f(x)＝sinx－cosx＝2sin(x－)，
∴f(x)≥1即sin(x－)≥.
∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
5．(2011·陕西文，6)方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内(　　)
A．没有根 B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
[答案]　C
[解析]　画出函数图像，易知有两个交点，即|x|＝cosx有两个根．
6．(2010·四川)将函数y＝sinx的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sinx－
[答案]　C
[解析]　
y＝sin.
7．(2011·郑州4月考)已知函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝2cos(－) B．f(x)＝cos(4x＋)
C．f(x)＝2sin(－) D．f(x)＝2sin(4x＋)
[答案]　A
[解析]　由图像A＝1，＝π－π＝π，
∴T＝4π，ω＝.排除B、D.
又f(x)过B(0,1)，代入验证知选A.
8．(2011·沈阳模拟)下列命题中正确的是(　　)
A．设f(x)＝sin，则?x∈，必有f(x)B．?x0∈R，使得sinx0＋cosx0>1
C．设f(x)＝cos，则函数y＝f是奇函数
D．设f(x)＝2sin2x，则f＝2sin
[答案]　C
[解析]　f(x)＝sin在上有增有减，因此A不正确；sinx0＋cosx0＝sin≤1，故B不正确；y＝f＝cos＝－sinx，为奇函数，故C正确；f＝2sin＝2sin，故D不正确．
二、填空题
9．(文)(2011·重庆文，12)若cosα＝－，且α∈(π，)，则tanα＝________.
[答案]　
[解析]　∵cosα＝－，α∈(π，)，
∴sinα＝－，∴tanα＝.
(理)(2011·重庆理，14)已知sinα＝＋cosα，且α∈(0，)，则的值为________．
[答案]　－
[解析]　由得，
2cos2α＋cosα－＝0，
∴cosα＝－＋(α∈(0，))，∴sinα＝＋，
∴＝
＝－(sinα＋cosα)＝－.
10．(2011·江苏，9)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图像如图所示，则f(0)的值是________．
[答案]　
[解析]　由图像可知，A＝，＝，
∴T＝π，∴ω＝2，则y＝sin(2x＋φ)，
将(π，－)代入，解之得φ＝，
从而y＝sin(2x＋)，f(0)＝.
11．(2011·济南三模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ≤)的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点(2，－)，则函数f(x)＝________________.
[答案]　sin(x＋)
[解析]　由题知两个相邻的最高点与最低点的距离为2，f(x)max－f(x)min＝2，结合图像由勾股定理可得周期T＝4，ω＝＝，
又函数f(x)过点(2，－)，所以sin(π＋φ)＝－，
又因为－≤φ≤，所以φ＝，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝sin(x＋)．
12．(2011·安徽文，15)设f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立，则
①f()＝0
②|f()|<|f()|
③f(x)既不是奇函数也不是偶函数
④f(x)的单调递增区间是[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
⑤存在经过点(a，b)的直线与函数的图像f(x)不相交
以上结论正确的是________(写出正确结论的编号)．
[答案]　①③
[解析]　f(x)＝asin2x＋bcos2x＝sin(2x＋φ)(tanφ＝)
∵f(x)≤|f()|，∴fmax(x)＝|f()|
∴当x＝时，sin(2x＋φ)＝±1
即2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z
∴f(x)＝
①f(π)＝sin(2×π＋kπ＋)＝sin(2π＋kπ)＝0，∴①正确
②|f()|＝|sin(2×＋)|
＝sin(＋)＝sin
|f()|＝|sin(2×＋)|
＝sin，∴|f()|＝|f()|，故②错
③∵φ＝kπ＋，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故③正确．
④当k为偶数时，f(x)＝(2x＋)
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴增区间是[kπ－，kπ＋]k∈Z.
当k为奇数时，f(x)＝－(2x＋)，
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
∴kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴增区间是[kπ＋，kπ＋]，k∈Z，故④错．
⑤错，要经过(a，b)点的直线与f(x)图像不相交，直线平行于x轴，而f(x)的振幅>|b|，∴f(x)与直线必有交点，故⑤错．
三、解答题
13．(2010·北京理，15)已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
[解析]　(1)因为f(x)＝4cosxsin(x＋)－1
＝4cosx－1
＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x
＝2sin
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)当x∈时，2x＋∈，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取到最大值2；当2x＋＝－即x＝－时，f(x)取到最小值－1.
∴f(x)的最大值和最小值分别是2和－1.
14．(文)(2011·广东理，16)已知函数f(x)＝2sin(x－)，x∈R.
(1)求f()的值；
(2)设α，β∈[0，]，f(3α＋)＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
[解析]　(1)f＝2sin＝2sin
＝2×＝.
(2)f＝2sin
＝2sinα＝，∴sinα＝.
f(3β＋2π)＝2sin
＝2sin＝2cosβ＝，∴cosβ＝.
∵α，β∈，∴cosα＝＝，
sinβ＝＝，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×－×＝.
(理)(2011·四川理，17)已知函数f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.
[解析]　(1)∵f(x)＝sin(x＋－2π)＋sin(x－＋)＝sin(x－)＋sin(x－)＝2sin(x－)
∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.
(2)由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝，
cosβcosα－sinβsinα＝－.
两式相加得2cosβcosα＝0.
∵0<α<β≤，∴β＝.
∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0.
15．(2011·东北三省三校)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期，并求f(x)的最小值；
(2)令g(x)＝f－1，若g(x)[解析]　(1)f(x)＝sin2x＋cos2x＋1＝sin＋1，其最小正周期是T＝＝π，又当2x＋＝－＋2kπ，即x＝kπ－(k∈Z)时，sin取得最小值－1，所以函数f(x)的最小值是1－，此时x的集合为{x|x＝kπ－，k∈Z}．
(2)g(x)＝f－1＝sin
＝sin＝cos2x.
由x∈，得2x∈，则
cos2x∈，
∴g(x)＝cos2x∈，
若g(x)则a－2>g(x)max＝，∴a>2＋.
专题3 第2讲 三角变换及解三角形
一、选择题
1．(2011·辽宁理，4)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．2
C. D.
[答案]　D
[解析]　∵asinAsinB＋bcos2A＝a，
∴sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，
sinB＝sinA，∴b＝a，∴＝.
2．(2011·福建理，3)若tanα＝3，则的值等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
[答案]　D
[解析]　由＝＝2tanα＝2×3＝6，故选D.
3．(2011·浙江理，6)若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，则cos(α＋)＝(　　)
A. B. －
C. D. －
[答案]　C
[解析]　∵(＋α)－(－)＝α＋，
∴cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)]
＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)
∵0<α<，－<β<0，
∴<＋α<，<－<.
又cos(＋α)＝，cos(－)＝，
∴sin(＋α)＝，sin(－)＝.
∴cos(α＋)＝×＋×＝，选C.
4．(2011·四川理，6)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是(　　)
A．(0，] B．[，π)
C．(0，] D．[，π)
[答案]　C
[解析]　∵sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，
∴由正弦定理得：a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，
由余弦定理得：cosA＝≥≥，
∴05．(2011·新课标理，5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
[答案]　B
[解析]　依题意：tanθ＝2，∴cosθ＝±，
∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－或
cos2θ＝＝＝－，故选B.
6．(2010·湖南理，6)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝a，则(　　)
A．a>b B．aC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
[答案]　A
[解析]　∵∠C＝120°，c＝a，
∴在△ABC中，由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab
将c＝a代入上式得
2a2＝a2＋b2＋ab，∴a2＝b2＋ab，
∴a2－b2＝ab>0，∴a>b.
7．(2011·天津理，6)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，
则sinC的值为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　如图，根据条件，设BD＝2
在△ABC中，由正弦定理：
＝
在△ABD中，由余弦定理：cosA＝＝，
∴sinA＝
∴sinC＝＝＝＝＝，故选D.
8．(2011·浙江五校二次联考)若△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2，则b＝(　　)
A．5 B．25
C. D．5
[答案]　A
[解析]　解法一：由S△ABC＝acsin45°＝2?c＝4，
再由余弦定理可得b＝5.
解法二：作三角形ABC中AB边上的高CD，
在Rt△BDC中求得高CD＝，结合面积求得
AB＝4，AD＝，从而b＝＝5.
二、填空题
9．(2011·江苏启东中学模拟)在△ABC中，BC＝1，∠B＝，当△ABC的面积等于时，tanC＝________.
[答案]　－2
[解析]　S△ABC＝acsinB＝，
∴c＝4.由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accosB＝13，
∴cosC＝＝－，sinC＝，
∴tanC＝－＝－2.
10．(2010·山东理，15)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．
[答案]　
[解析]　sinB＋cosB＝sin＝，
∵0又∵＝，∴sinA＝，∵a11．(文)(2011·江西文，14)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若p(4，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－，则y＝________.
[答案]　－8
[解析]　|OP|＝，根据任意角三角函数的定义得，＝－，解得y＝±8，
又∵sinθ＝－<0及P(4，y)是角θ终边上一点，
可知θ为第四象限角，∴y＝－8.
(理)(2011·上海理，8)函数y＝sin(＋x)cos(－x)的最大值为________．
[答案]　
[解析]　∵y＝sin(＋x)cos(－x)
＝cosx(cosx＋sinx)＝cos2x＋sinxcosx
＝·＋sin2x＝(cos2x＋sin2x＋)＝sin(2x＋)＋，
故最大值为.
12．(2011·安徽理，14)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．
[答案]　15
[解析]　设三角形的三边依次为a－4，a，a＋4，最大角为θ.由余弦定理得
(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)cos120°，
则a＝10，所以三边长为6,10,14，
S△ABC＝×6×10×sin120°＝15.
三、解答题
13．(文)(2011·江苏，15)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.
(1)若sin(A＋)＝2cosA，求A的值；
(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．
[解析]　(1)由题设知sinAcos＋cosAsin＝2cosA.从而sinA＝cosA，所以cosA≠0，tanA＝.
因为0(2)由cosA＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，得
a2＝b2－c2，
故△ABC是直角三角形，且B＝.
所以sinC＝cosA＝.
(理)(2011·湖北理，16)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，cosC＝.
(1)求△ABC的周长；
(2)求cos(A－C)的值．
[解析]　(1)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×＝4，∴c＝2.
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.
(2)∵cosC＝，∴sinC＝＝＝.∴sinA＝＝＝.
∵a∴cosA＝＝＝，
∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝×＋×＝.
14．(文)(2011·江西文，17)在△ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC
(1)求cosA的值；
(2)若a＝1，cosB＋cosC＝，求边c的值．
[解析]　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC
有ccosB＋bcosC＝a，代入已知条件得3acosA＝a，
即cosA＝
(2)由cosA＝得sinA＝
则cosB＝－cos(A＋C)＝－cosC＋sinC，
代入cosB＋cosC＝得cosC＋sinC＝，从而得
sin(C＋φ)＝1，其中sinφ＝，cosφ＝　(0<φ<)
则C＋φ＝，于是sinC＝，
由正弦定理得c＝＝.
(理)(2011·江西理，17)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知sinC＋cosC＝1－sin
(1)求sinC的值
(2)若 a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值
[解析]　(1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC，
即sin(2cos＋1)＝2sin2
由sin≠0得2cos＋1＝2sin，
即sin－cos＝，
两边平方得：sinC＝.
(2)由sin－cos＝>0得<<，
即由a2＋b2＝4(a＋b)－8得：(a－2)2＋(b－2)2＝0，得a＝2，b＝2，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8＋2，
所以c＝＋1.
15．(2011年5月南通、扬州、泰州)已知向量m＝与n＝(3，sinA＋cosA)共线，其中A是△ABC的内角．
(1)求角A的大小；
(2)若BC＝2，求△ABC的面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．
[解析]　(1)因为m∥n，
所以sinA·(sinA＋cosA)－＝0.
所以＋sin2A－＝0，
即sin2A－cos2A＝1，即sin＝1.
因为A∈(0，π)，所以2A－∈.
故2A－＝，A＝.
(2)设角A、B、C所对的边分别为a，b，c，则由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc.
而b2＋c2≥2bc，∴bc＋4≥2bc，∴bc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)，
所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝，
当△ABC的面积取最大值时，b＝c.
又A＝，故此时△ABC为等边三角形．
专题3 第3讲 平面向量
一、选择题
1．(文)(2011·广东文，3)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C．1 D．2
[答案]　B
[解析]　a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，因为(a＋λb)∥c，所以4＋4λ－6＝0，所以λ＝.
(理)(2011·广东理，3)若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
[答案]　D
[解析]　∵a∥b，∴可设b＝λa(λ∈R)，
∴c·(a＋2b)＝c·(a＋2λa)＝(2λ＋1)c·a＝0，选D.
2．(2011·大纲全国卷文，3)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　|a＋2b|＝＝
＝＝.
3．(2011·四川理，4)如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)
A．0 B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　原式＝＋＋＝＋＝，故选D.
4．(2011·湖北文，2)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于(　　)
A．－ B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　∵a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则cos<2a＋b，a－b>＝＝，
∴?2a＋b，a－b?＝.
5．(2011·重庆文，5)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　D
[解析]　∵a＝(1，k)，b＝(2,2)
∴a＋b＝(3，k＋2)
∵(a＋b)∥a
∴1·(k＋2)＝3k，∴k＝1，∴a＝(1,1)，
∴a·b＝2＋2＝4.
6．(2010·安徽理，3)设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是(　　)
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
[答案]　C
[解析]　a－b＝(，－)
∴(a－b)·b＝(，－)·(，)＝0.
即a－b与b垂直，故选C.
7．设△ABC的三个内角为A、B、C向量m＝(sinA，sinB)，n ＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　∵m·n＝sinAcosB＋cosAsinB
＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，
∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sinC＋cosC
＝2sin(＋C)＝1.
∴sin(＋C)＝，∵0∴＋C＝π或＋C＝(舍去)，∴C＝π.
8．(2011·辽宁理，10)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)
A.－1 B．1
C. D．2
[答案]　B
[解析]　|a＋b－c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a·c＋b·c)
(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋|c|2
＝1－(a·c＋b·c)≤0，
∴|a＋b－c|2≤1，∴|a＋b－c|max＝1.
二、填空题
9．(2011·临沂模拟)已知向量a＝(3,5)，b＝(2,4)，c＝(－3，－2)，a＋λb与c垂直，则实数λ＝________.
[答案]　－
[解析]　a＋λb＝(3,5)＋(2λ，4λ)＝(2λ＋3,4λ＋5)，
∵(a＋λb)⊥c，∴－3(2λ＋3)－2(4λ＋5)＝0，
解得λ＝－.
10．(2011·北京理，10)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.
[答案]　1
[解析]　依题意：a－2b＝(，1)－2(0，－1)＝(，3)，又与c＝(k，)共线，∴k＝1.
11．(2011·湖南文，13)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．
[答案]　(－4，－2)
[解析]　由a与b方向相反可设a＝λ(2,1)，λ<0，所以由|a|＝2＝|λ|，知λ＝－2，所以a＝(－4，－2)．
12．(文)(2011·江西文，11)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
[答案]　－6
[解析]　b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)·(3e1＋4e2)＝3|e1|2－2e1·e2－8|e1|2
又∵〈e1，e2〉＝，|e1|＝1，|e2|＝1，
∴b1·b2＝3－2cos－8＝3－1－8＝－6.
(理)(2011·江西理，11)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．
[答案]　
[解析]　(a＋2b)·(a－b)＝－2，即|a|2＋a·b－2|b|2＝－2，
∴22＋a·b－2×22＝－2，a·b＝2，
又cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b的夹角为.
三、解答题
13．(2011·海口调研)已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，cosx)，函数f(x)＝a·b＋.
(1)求f(x)的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．
[解析]　(1)f(x)＝sinxcosx－cos2x＋
＝sin2x－(cos2x＋1)＋
＝cos2x－cos2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期为π.
令sin＝0，得2x－＝kπ，
∴x＝π＋，k∈Z.
故所求对称中心的坐标为，(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
∴－≤sin≤1，
即f(x)的值域为.
14．已知锐角△ABC三个内角为A，B，C，向量p＝(cosA＋sinA,2－2sinA)，向量q＝(cosA－sinA,1＋sinA)，且p⊥q.
(1)求角A；
(2)设AC＝，sin2A＋sin2B＝sin2C，求△ABC的面积．
[解析]　(1)∵p⊥q，
∴(cosA＋sinA)(cosA－sinA)＋(2－2sinA)(1＋sinA)＝0，
∴sin2A＝.而A为锐角，所以sinA＝?A＝.
(2)由正弦定理得a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝.
∴BC＝AC×tan＝×＝3.
∴S△ABC＝AC·BC＝××3＝.
15．(2011·山东青岛二模)设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量m＝(sinA＋sinC，sinB－sinA)，n＝(sinA－sinC，sinB)，且m⊥n.
(1)求角C的大小；
(2)若向量s＝(0，－1)，t＝，试求|s＋t|的取值范围．
[解析]　(1)由题意得m·n＝(sin2A－sin2C)＋(sin2B－sinAsinB)＝0，即sin2C＝sin2A＋sin2B－sinAsinB，由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，再由余弦定理得cosC＝＝.
因为0(2)因为s＋t＝＝(cosA，cosB)，
所以|s＋t|2＝cos2A＋cos2B＝cos2A＋cos2
＝＋＝cos2A－sin2A＋1
＝－sin＋1.
因为0－所以≤|s＋t|2<，故≤|s＋t|<.
专题3
1．(2011·湖南六校联考)已知在△ABC中，cosA＝，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．
(1)求tan2A的值；
(2)若sin(＋B)＝，c＝2，求△ABC的面积．
[解析]　(1)因为cosA＝，A∈(0，π)，
所以sinA＝，则tanA＝.
所以tan2A＝＝2.
(2)由sin(＋B)＝，得cosB＝，
又B∈(0，π)，所以sinB＝.
则sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
由正弦定理知a＝＝2，所以△ABC的面积为
S＝acsinB＝.
2．(2011·福建福州质检)已知向量m＝(1，cosA)，n＝(sinAcosB，sinB)，m·n＝sin2C，且A，B，C分别是△ABC的三边a，b，c所对的角．
(1)求角C的大小；
(2)设sinA，sinC，sinB成等比数列，且·(－)＝8，求边c的值．
[解析]　(1)由题知，m·n＝sinAcosB＋sinBcosA
＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.
又m·n＝sin2C，∴sin2C＝sinC，
∴sinC(2cosC－1)＝0，∵0∴cosC＝，∴C＝.
(2)∵sinA，sinC，sinB成等比数列，
∴sin2C＝sinA·sinB.
根据正弦定理得，c2＝ab.
∵·(－)＝·＝8，∴bacosC＝8.
∴ab＝16，∴c2＝16，∴c＝4.
3．(2011·合肥二模)设函数f(x)＝sin－2cos2.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，求当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最大值．
[解析]　(1)∵f(x)＝sinx－cosx－1
＝sin－1，
∴T＝＝6，由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋6k≤x≤＋6k，k∈Z，
所以函数f(x)的最小正周期是6，单调递增区间为[－＋6k，＋6k]，k∈Z.
(2)∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，
∴当x＝[0,1]时，函数y＝g(x)的最大值即为x∈[3,4]时y＝f(x)的最大值，
此时x－∈[，π]，sin(x－)∈[0，]，
f(x)∈[－1，]，
即此时函数y＝g(x)的最大值为.
4．(2011·西安二模)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若m＝(2b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)记B＝x，作出函数y＝2sin2x＋cos的图像．
[解析]　(1)由m∥n得，(2b－c)·cosA－acosC＝0，
由正弦定理得：2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0，
∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，∴2sinBcosA－sinB＝0，
∵A，B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA＝，∴A＝.
(2)y＝2sin2x＋cos(－2x)＝2sin2x＋cos2x＋sin2x＝1－cos2x＋sin2x＝sin(2x－)＋1，
∵B＝x，∴由(1)知x∈(0，)．
列表：
x
0
y
1
2
1
函数y＝2sin2x＋cos(－2x)的图像如图所示．
5．(2011·南昌模拟)已知m＝(cos，sin＋cos)，n＝(2sin，sin－cos)，其中ω>0，其中ω>0，若函数f(x)＝m·n的周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
[解析]　(1)由题意知，f(x)＝m·n＝2sincos－cos2＋sin2
＝sinωx－cosωx＝2sin(ωx－)．
∵函数f(x)的周期T＝π，∴ω＝＝2.
(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x－)．∵x∈[－，]，
∴易知f(x)＝2sin(2x－)在区间[－，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，
∴当x＝时，f(x)取最大值2；
当x＝－时，f(x)取最小值－.
6．(2011·上海十三校联考)在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边的长，已知tanB＝，cosC＝，b＝3.求边AB的长与△ABC的面积．
[解析]　在△ABC中，因为tanB＝，cosC＝，
则sinB＝，sinC＝＝.
由正弦定理＝得＝，
解得c＝8.即AB＝8.
又A＋B＋C＝π，则
sinA＝sin(C＋B)＝sinCcosB＋cosCsinB，
因为cosB＝，则sinA＝，
S△ABC＝bcsinA＝6＋8.
综上，AB＝8，S△ABC＝6＋8.
7．(2011·太原二模)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；
(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．
[解析]　(1)∵b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝，
∴f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋(sinx＋cosx)．
令t＝sinx＋cosx，
则2sinxcosx＝t2－1，且－1则y＝f(x)＝t2＋t－1＝2－，－1∴t＝－时，ymin＝－，此时sinx＋cosx＝－.
由于所以函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.
(2)∵a与b的夹角为，
∴cos＝＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)．
∵0<α∵a⊥c，∴cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0.
∴sin(x＋α)＋2sin2α＝0，sin＋2sin2α＝0.
∴sin2α＋cos2α＝0，∴tan2α＝－.
8．(2011·浙江宁波)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图像与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)若锐角θ满足cosθ＝，求f(4θ)的值．
[解析]　(1)由题意可得：A＝2，＝2π，
即＝4π，∴ω＝，
f(x)＝2sin，f(0)＝2sinφ＝1，
由|φ|<，∴φ＝.
f(x0)＝2sin＝2，
所以x0＋＝2kπ＋，x0＝4kπ＋(k∈Z)，
又∵x0是最小的正数，∴x0＝.
(2)f(4θ)＝2sin＝sin2θ＋cos2θ，
∵θ∈，cosθ＝，∴sinθ＝，
∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－，sin2θ＝2sinθcosθ＝，
∴f(4θ)＝·－＝－.
专题4 第1讲等差、等比数列的基本问题
一、选择题
1．(2011·江西文，5)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝(　　)
A．18　　　　 B．20　　　　
C．22　　　　 D．24
[答案]　B
[解析]　S11－S10＝a11＝0，a11＝a1＋10d＝a1＋10×(－2)＝0，所以a1＝20.
2．(2011·天津理，4)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为(　　)
A．－110 B．－90
C．90 D．110
[答案]　D
[解析]　由条件：a＝a3·a9，
即(a1＋6d)2＝(a1＋2d)·(a1＋8d)
∴a1＝20，S10＝10×20＋×(－2)＝110.故选D.
3．(2011·安徽文，7)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝(　　)
A．15 B．12
C．－12 D．－15
[答案]　A
[解析]　设a1＋a2＋…＋a10＝S，
则S＝－1×(3×1－2)＋(－1)2×(3×2－2)＋…＋(－1)10(3×10－2)　①
－S＝(－1)2×(3×1－2)＋…＋(－1)10(3×9－2)＋(－1)11(3×10－2)　②
①－②得2S＝－1＋(－1)2×3＋…＋(－1)10×3－(－1)11×28＝－1＋3×＋28.
∴2S＝30，∴S＝15.
4．(2011·辽宁文，5)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
[答案]　B
[解析]　∵an·an＋1＝16n，∴an－1·an＝16n－1
∴＝＝q2＝＝16
∴q＝4.
5．(2011·东北四市联考)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝(　　)
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
[答案]　A
[解析]　依题意得an＋1－an＝ln，则有a2－a1＝ln，a3－a2＝ln，a4－a3＝ln，…，an－an－1＝ln，叠加得an－a1＝ln(···…·)＝lnn，故an＝2＋lnn，选A.
6．(2011·辽宁抚顺)在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是(　　)
A．24 B．48
C．60 D．84
[答案]　C
[解析]　由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60，故选C.
7．(2011·安徽安庆)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的一个方向向量的坐标是(　　)
A．(2，) B．(－，－2)
C．(－，－1) D．(－1，－1)
[答案]　B
[解析]　由S2＝10，S5＝55得a1＝3，d＝4，∴an＝4n－1，∴P＝(2,8)，故选B.
8．(2011·长沙二模)设Sn是各项都是正数的等比数列{an}的前n项和，若≤Sn＋1，则公比q的取值范围是(　　)
A．q>0 B．0C．01
[答案]　B
[解析]　当等比数列{an}的公比q＝1时，
∵＝＝(n＋1)a1＝Sn＋1，
∴q＝1符合题意．
当q≠1时(q>0)，∵Sn＋Sn＋2≤2Sn＋1，
∴＋－2≤0，
即(qn＋qn＋2－2qn＋1)≤0，
化简得(q－1)2≤0，即a1qn(q－1)≤0，
∴q－1<0，∴0二、填空题
9．(文)(2011·北京文，12)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝4，则公比q＝________；a1＋a2＋…＋an＝________.
[答案]　2,2n－1－
[解析]　＝q3＝＝8，所以q＝2，
所以 a1＋a2＋……＋an＝＝2n－1－
(理)(2011·北京理，11)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.
[答案]　－2；2n－1－
[解析]　依题意：a1＝，a4＝－4，则·q3＝－4，
∴q3＝－8，∴q＝－2.
∴an＝(－2)n－1，∴|an|＝2n－2.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n－1－.
10．(2011·重庆理，11)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.
[答案]　74
[解析]　a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74.
11．等比数列{an}的公比q>0，已知a2＝1，am＋2＋am＋1＝6am，则{an}的前4项和是______．
[答案]　
[解析]　由已知条件am＋2＋am＋1＝6am可得a2qm＋a2qm－1＝6a2qm－2，即得q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3(舍去)，则数列{an}的前四项的和为＋1＋2＋4＝.
12．(文)(2011·襄阳一调)等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：①数列{()an}为等比数列；②若a2＋a12＝2，则S13＝3；③Sn＝nan－d；④若d>0，则Sn一定有最大值．
其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
[答案]　①②③
[解析]　对于①，注意到＝()an＋1－an＝()d是一个非零常数，因此数列{()an}是等比数列，①正确．对于②，S13＝＝＝13，因此②正确．对于③，注意到Sn＝na1＋d＝n[an－(n－1)d]＋d＝nan－d，因此③正确．对于④，当an>0，d>0时，Sn不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③.
(理)(2011·湘潭五模)设Sn为数列{an}的前n项和，若(n∈N*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{cn}是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，则d＝________.
[答案]　4
[解析]　由题意可知，数列{cn}的前n项和为Sn＝，前2n项和为S2n＝，
所以＝＝2＋＝2＋，
所以当d＝4时，为非零常数．
三、解答题
13．(文)(2011·大纲全国卷理，20)设数列{an}满足a1＝0且－＝1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，记Sn＝k，证明：Sn<1.
[解析]　(1)由题设－＝1，
即{}是公差为1的等差数列．
又＝1，故＝n.
所以an＝1－.
(2)由(1)得bn＝＝
＝－，
Sn＝k＝(－)＝1－<1.
(理)(2011·江西理，18)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}唯一，求a的值．
[解析]　(1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，
b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，
由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)
即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－
所以{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.
(2)设{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)
由a>0得Δ＝4a2＋4a>0，故方程(*)有两个不同的实根
由{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝.
14．(2011·潍坊二模)已知等差数列{an}和正项等比数列{bn}，a1＝b1＝1，a3＋a5＋a7＝9，a7是b3和b7的等比中项．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)若cn＝2an·b，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，等比数列的公比为q，
由题设知a3＋a5＋a7＝9，∴3a5＝9，∴a5＝3.
则d＝＝，∴an＝a1＋(n－1)d＝.
∴a7＝4.
又∵a＝b3·b7＝16，
∴b＝b3·b7＝16，
又b5>0，∴b5＝4，
∴q4＝＝4，又q>0.
∴q＝，
∴bn＝b1·qn－1＝2.
(2)cn＝2an·b＝(n＋1)·2 n－1，
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝2＋3·2＋4·22＋…＋(n＋1)·2n－1　　　　　①
2Tn＝2·2＋3·22＋…＋n·2n－1＋(n＋1)·2n ②
①－②得－Tn＝2＋2＋22＋…＋2n－1－(n＋1)·2n
＝2＋－(n＋1)·2n＝－n·2n
∴Tn＝n·2n.
15．(2011·北京石景山区模拟)已知等差数列{an}中，公差d>0，其前n项和为Sn，且满足：a2a3＝45，a1＋a4＝14.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}．若{bn}也是等差数列，并求非零常数c；
(3)求f(n)＝(n∈N*)的最大值．
[解析]　(1)∵数列{an}是等差数列．
∴a2＋a3＝a1＋a4＝14.又a2a3＝45，
∴或.
∵公差d>0，∴a2＝5，a3＝9.
∴d＝a3－a2＝4，a1＝a2－d＝1.
∴an＝a1＋(n－1)d＝4n－3.
(2)∵Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n，
∴bn＝＝.
∵数列{bn}是等差数列，
∴2b2＝b1＋b3，
∴2·＝＋，
解得c＝－(c＝0舍去)．
∴bn＝＝2n.
(3)f(n)＝＝＝≤.即f(n)的最大值为.
专题4 第2讲 数列的应用
一、选择题
1．已知数列{an}是等比数列，且每一项都是正数，若a1，a49是2x2－7x＋6＝0的两个根，则a1·a2·a25·a48·a49的值为(　　)
A.　　　 B．9　　　
C．±9　　　 D．35
[答案]　B
[解析]　∵{an}是等比数列，且a1，a49是方程2x2－7x＋6＝0的两根，
∴a1·a49＝a＝3.而an>0，∴a25＝.
∴a1·a2·a25·a48·a49＝a＝()5＝9，故选B.
2．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)
A．n(2n＋3) B．n(n＋4)
C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)
[答案]　A
[解析]　设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)?k＝2，
f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋(2×6×1)＋…＋(2×2n＋1)＝2n2＋3n.
3．(2011·山东潍坊模拟)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是(　　)
A．5年 B．6年
C．7年 D．8年
[答案]　C
[解析]　本题以实际应用题为背景考查数列中Sn与an的关系．由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当n＝1时也适合，据题意令an≥150?n≥5，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．
4．设函数f(x)＝(x－1)2＋n，(x∈[－1,3]，n∈N*)的最小值为an，最大值为bn，则cn＝b－anbn是(　　)
A．公差不为零的等差数列 B．公比不为1的等比数列
C．常数列 D．既不是等差也不是等比数列
[答案]　A
[解析]　∵f(x)＝(x－1)2＋n，x∈[－1,3]，n∈N*，
∴an＝f(1)＝n，bn＝f(－1)＝f(3)＝n＋4.
∴cn＝b－anbn＝bn(bn－an)＝4(n＋4)．
∴cn＋1－cn＝4.
∴{cn}是公差不为零的等差数列．
5．(2011·武汉调研)已知y是x的函数，且lg3，lg(sinx－)，lg(1－y)顺次成等差数列，则(　　)
A．y有最大值1，无最小值 B．y有最小值，无最大值
C．y有最小值，最大值1 D．y有最小值－1，最大值1
[答案]　B
[解析]　由题意得：2lg(sinx－)＝lg3＋lg(1－y)，
即y＝－(sinx－)2＋1，
又sinx－>0,1－y>0，
即∴当sinx＝1时，y有最小值，无最大值．故选B.
6．(2011·辽宁联考)已知数列{an}为等差数列，且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)等于(　　)
A. B．－
C．± D．－
[答案]　B
[解析]　由a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，得a7＝π.
∴a2＋a12＝2a7＝，
故tan(a2＋a12)＝tan＝tan＝－.
7．(文)(2011·银川一中三模)已知函数f(x)＝x2＋bx的图像在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S2012的值为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　本题考查导数的几何意义及数列求和知识；由于f′(x)＝2x＋b，据题意则有f′(1)＝2＋b＝3，故b＝1，即f(x)＝x2＋x，从而＝＝－，
其前n项和Sn＝1－＋－＋…＋－
＝1－＝，故S2012＝.
(理)首项为b，公比为a的等比数列{an}的前n项和Sn，对任意的n∈N*，点(Sn，Sn＋1)在(　　)
A．直线y＝ax＋b上 B．直线y＝bx＋a上
C．直线y＝bx－a上 D．直线y＝ax－b上
[答案]　A
[解析]　当a≠1时，Sn＝，
而Sn＋1＝＝
＝＋b＝a·Sn＋b.
当a＝1时，Sn＝nb，
而Sn＋1＝(n＋1)b＝nb＋b＝aSn＋b，
故总有Sn＋1＝aSn＋b.
∴点(Sn，Sn＋1)在直线y＝ax＋b上．
8．(2011·江西六校二模)已知函数f(x)＝log2x，等比数列{an}的首项a1>0，公比q＝2，若f(a2·a4·a6·a8·a10)＝25，则2f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2012)等于(　　)
A．21004×2009 B．21005×2009
C．21005×2011 D．21006×2011
[答案]　D
[解析]　f(a2·a4·a6·a8·a10)
＝log2(a2·a4·a6·a8·a10)
＝log2(aq25)＝25，
即a·q25＝225，
又a1>0，q＝2，故得到a1＝1.
2f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2012)＝2f(a1)·2f(a2)·…·2f(a2012)
＝2log2a1·2log2a2·…·2log2a2012
＝a1·a2·…·a2012＝a·q1＋2＋…＋2011
＝12012×2＝21006×2011.故选D.
二、填空题
9．设{an}为公比q>1的等比数列，若a2009和a2010是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2011＋a2012＝__________.
[答案]　18
[解析]　解方程得其两根为、，∵q>1，
∴a2009＝，a2010＝.∴q＝3.
∴a2011＋a2012＝q2(a2009＋a2010)＝9×2＝18.
10．(2011·陕西理，14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)．
[答案]　2000
[解析]　设放在第x个坑边，则
S＝20(|x－1|＋|x－2|＋…＋|20－x|)
由式子的对称性讨论，当x＝10或11时，
S＝2000.
当x＝9或12时，S＝20×102＝2040.
∴Smin＝2000(米)．
11．(2011·北京东城二模)设数列{an}满足a1＋2a2＝3，点Pn(n，an)对任意的n∈N*，都有PnPn＋1＝(1,2)，则数列{an}的前n项和Sn为________．
[答案]　Sn＝n
[解析]　∵PnPn＋1＝OPn＋1－＝(n＋1，an＋1)－(n，an)＝(1，an＋1－an)＝(1,2)，
∴an＋1－an＝2.∴{an}为公差为2的等差数列．
由a1＋2a2＝3，得a1＝－，
∴Sn＝－＋n(n－1)×2＝n.
12．(2011·唐山二模)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立．则M的最小值是________．
[答案]　2
[解析]　由a4－a2＝8，可得公差d＝4，
再由a3＋a5＝26，可得a1＝1，
故Sn＝n＋2n(n－1)＝2n2－n，∴Tn＝＝2－，
要使得Tn≤M，只需M≥2即可，故M的最小值为2.
三、解答题
13．(2011·天津调研)已知点集L＝{(x，y)|y＝m·n}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等差数列，且公差为1，n∈N*.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求·OPn＋1的最小值(其中O为坐标原点)；
(3)设cn＝(n≥2)，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值．
[解析]　(1)由y＝m·n，m＝(2x－2b,1)，n＝(1，1＋2b)，得y＝2x＋1，即L：y＝2x＋1.
∵P1为L的轨迹与y轴的交点，∴P1(0,1)，则a1＝0，b1＝1.
∵数列{an}为等差数列，且公差为1，
∴an＝n－1(n∈N*)．
将点Pn坐标代入y＝2x＋1，得：bn＝2n－1(n∈N*)．
(2)∵Pn(n－1,2n－1)，∴Pn＋1(n,2n＋1)．
∴·OPn＋1＝(n－1,2n－1)·(n,2n＋1)
＝5n2－n－1＝52－.
∵n∈N*，∴当n＝1时，·OPn＋1有最小值，且最小值为3.
(3)当n≥2时，得an·|PnPn＋1|＝(n－1)．
cn＝＝＝－，
∴c2＋c3＋…＋cn＝＋＋…＋＝1－.
14．(文)(2011·湖南六校联考)为加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车．替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．
(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；
(2)若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值．
[解析]　(1)设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，依题意，
{an}是首项为128，公比为1＋50%＝的等比数列，
{bn}是首项为400，公差为a的等差数列．
{an}的前n项和Sn＝
＝256[()n－1]．
{bn}的前n项和Tn＝400n＋a，
所以经过n年，该市更换的公交车总数为：
S(n)＝Sn＋Tn＝256[()n－1]＋400n＋a.
(2)若计划7年内完成全部更换，
所以S(7)≥10000，
所以256[()7－1]＋400×7＋a≥10000，
即21a≥3082，所以a≥146.
又a∈N*，所以a的最小值为147.
(理)(2011·江西南昌质检)已知直线ln：y＝x－与圆Cn：x2＋y2＝2an＋n＋2(n∈N*)交于不同两点An，Bn，其中数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝|AnBn|2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(an＋2)，求数列{bn}的前n项和Sn.
[解析]　(1)圆心到直线的距离d＝＝.
圆Cn的半径r＝，|AnBn|＝，
∵d2＋(|AnBn|)2＝r2，
∴n＋an＋1＝2an＋n＋2，
∴an＋1＝2an＋2.
∴an＋1＋2＝2(an＋2)．
∴数列{an＋2}是以a1＋2＝3为首项，以2为公比的等比数列，∴an＋2＝3×2n－1，即an＝3×2n－1－2.
(2)由(1)知：
bn＝(an＋2)＝(3×2n－1－2＋2)＝n·2n－1.
∴Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，
2Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.
二式相减得Sn＝n×2n－(21＋22＋23＋…＋2n－1)－1
＝n×2n－－1＝(n－1)×2n＋1.
∴数列{bn}的前n项和Sn＝(n－1)×2n＋1.
15．已知函数f(x)＝，
(1)若数列{an}，{bn}满足a1＝，an＋1＝f(an)，bn＝(n≥1)，求数列{bn}的通项公式；
(2)记Sn＝b1＋b2＋…＋bn.若≤m恒成立．求m的最小值．
[解析]　(1)∵an＋1＝f(an)，∴an＋1＝.
又bn＝，∴an＝－1，an＋1＝－1.
∴－1＝3－，化简得4bn＋1＝bn＋1，
∴4(bn＋1－)＝bn－，∴＝，
∴数列{bn－}是首项b1－＝，公比为的等比数列，
∴bn－＝()n－1，bn＝()n－1＋.
(2)Sn＝＋＝(1－)＋，
∴＝≤＝，
∴的最大值为，又≤m，
∴m的最小值为
专题4
1．(2011·大纲全国卷文，17)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
[解析]　设{an}的公比为q，由已知有：
.解得或
(1)当a1＝3，q＝2时，an＝a1·qn－1＝3×2n－1
Sn＝＝＝3×(2n－1)
(2)当a1＝2，q＝3时，an＝a1·qn－1＝2×3n－1
Sn＝＝＝3n－1.
综上，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)或an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
2．(文)(2011·浙江文，19)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，且，，成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对n∈N＋，试比较＋＋＋…＋与的大小．
[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可知()2＝·，
即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，从而a1d＝d2
因为d≠0，所以d＝a1＝a
故通项公式an＝na；
(2)记Tn＝＋＋…＋，因为a2k＝2k·a，
所以Tn＝(＋＋…＋)
＝·＝[1－()n]
从而，当a>0时，Tn<；当a<0时，Tn>.
(理)(2011·浙江理，19)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a.(a∈R)，设数列的前n项和为Sn且，，成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式及Sn；
(2)记An＝＋＋＋…＋，Bn＝＋＋＋…＋，当n≥2时，试比较An与Bn的大小．
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，由()2＝·，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．
因为d≠0，所以d＝a1＝a.
所以an＝na，Sn＝.
(2)因为＝(－)，所以
An＝＋＋＋…＋＝(1－)．
因为a2n－1＝2n－1a，所以Bn＝＋＋＋…＋
＝·＝(1－)，
由n≥2时，2n＝C＋C＋…＋C>n＋1，
即1－<1－，
所以，由a>0时，AnBn.
3．(2011·陕西理，19)如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…，Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k＝1,2，…，n)．
(1)试求xk与xk－1的关系(2≤k≤n)；
(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|.
[解析]　(1)设Pk－1(xk－1,0)，由y′＝ex得Qk－1(xk－1，exk－1)点处切线方程为y－exk－1＝exk－1(x－xk－1)．
由y＝0得xk＝xk－1－1　(2≤k≤n)．
(2)由x1＝0，xk－xk－1＝－1，得xk＝－(k－1)，
所以|PkQk|＝exk＝e－(k－1)，于是
Sn＝|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|
＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n－1)
＝＝.
4．(2011·山东青岛)已知函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的导函数f′(x)＝－2x＋7，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图像上．
(1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值；
(2)令bn＝，其中n∈N*，求{nbn}的前n项和．
[分析]　(1)先求a，b，再根据Sn与n的关系求an及Sn的最大值．
(2)先确定bn，再根据nbn的结构特征求和．
[解析]　(1)∵f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
∴f′(x)＝2ax＋b，
由f′(x)＝－2x＋7得：a＝－1，b＝7，
所以f(x)＝－x2＋7x，
又因为点Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图像上，所以有Sn＝－n2＋7n.
当n＝1时，a1＝S1＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋8，
∴an＝－2n＋8(n∈N*)．
令an＝－2n＋8≥0得n≤4，
∴当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值12.
综上，an＝－2n＋8(n∈N*)，
当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值12.
(2)由题意得b1＝＝8，bn＝＝2－n＋4，
所以＝，即数列{bn}是首项为8，公比是的等比数列，
故{nbn}的前n项和Tn＝1×23＋2×22＋…＋n×2－n＋4，①
Tn＝1×22＋2×2＋…＋(n－1)×2－n＋4＋n×2－n＋3，②
所以①－②得：Tn＝23＋22＋…＋2－n＋4－n×2－n＋3
∴Tn＝－n·24－n＝32－(2＋n)24－n.
[评析]　本题也是数列与函数的综合应用，求解时，要应用函数的思想，把数列中的关系表示出来，同时要注意运算的准确性．
5．在直角坐标系平面上，点列P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)，…，对每个正整数n，点Pn都在函数y＝3x＋的图像上，且Pn的横坐标构成以－为首项，－1为公差的等差数列{xn}．
(1)求点Pn的坐标；
(2)设抛物线列C1，C2，C3，…，Cn，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线Cn的顶点为Pn且过点Dn(0，n2＋1)，记过点Dn且与抛物线Cn相切的直线的斜率为k，求证：＋＋…＋<.
[分析]　(1)利用点(xn，yn)在直线上，代入方程求yn.
(2)依题设构建第n条抛物线方程：
y＝a(x－xn)2＋yn，再用点Dn(0，n2＋1)在抛物线上求a.求kn时，借助导数kn＝y′|x＝0.
[解析]　(1)∵Pn的横坐标构成以－为首项，－1为公差的等差数列{xn}，
∴xn＝x1＋(n－1)d＝－－(n－1)＝－n－，
∵Pn(xn，yn)在函数y＝3x＋的图像上，
∴yn＝3xn＋＝3(－n－)＋＝－3n－.
∴Pn的坐标为(－n－，－3n－)．
(2)证明：据题意可设抛物线Cn的方程为：
y＝a(x－xn)2＋yn，由(1)得
y＝a(x＋n＋)2－3n－，
∵抛物线Cn过点Dn(0，n2＋1)，
∴n2＋1＝a(n＋)2－3n－
＝an2＋(3a－3)n＋－，
∴a＝1，∴y＝(x＋n＋)2－3n－，
∵过点Dn且与抛物线Cn相切的直线的斜率为kn，且y′＝2x＋2n＋3，
∴kn＝y′|x＝0＝2n＋3，
∴＝
＝(－)，
∴＋＋…＋
＝(－＋－＋…＋－)
＝(－)<.
[评析]　1.本题体现了数列与解析几何的完美结合，涉及的主要知识点有等差数列的通项公式，裂项法求和，抛物线的方程，用导数求切线的斜率等，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力．
2．此类题目中，解析几何一般只作为载体出现，求解时，要正确解读解析几何语言，把它译成数列的有关关系式，再借助数列知识求解或求证．
6．已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋2(n≥2，a1＝2)．
(1)求a2，a3，a4；
(2)是否存在一个实数λ，使得数列{}成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
(3)(理)求数列{an}的前n项和Sn，并证明Sn≥n3＋n2.
[解析]　(1)a2＝4＋4＋2＝10，a3＝20＋8＋2＝30，
a4＝60＋16＋2＝78.
(2)假设存在一个实数λ，使得数列{}成等差数列，则－
＝＝1＋恒为常数．
∴2－λ＝0，即λ＝2.此时＝2，－＝1，
∴当λ＝2时，数列{}是首项为2，公差为1的等差数列．
(3)(理)由(2)得＝＋(n－1)＝n＋1，
∴an＝(n＋1)2n－2，
则Sn＝2·2＋3·22＋4·23＋…＋(n＋1)·2n－2n，
2Sn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1－4n，
两式相减得－Sn＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1＋2n＝－n·2n＋1＋2n，
∴Sn＝n·2n＋1－2n，
不难验证，当n＝1或2时，有Sn＝n3＋n2，
当n≥3时，Sn＝n·2n＋1－2n＝2n[(1＋1)n－1]
＝2n[1＋n＋＋…]
≥2n[1＋n＋－1]＝n3＋n2，
综上知Sn≥n3＋n2.
[评析]　(1)求λ值时，应用－＝常数求解，不需验证．而用－＝常数求解时，要验证－的值为同一个常数．
(2)用错位相减法求和时，因运算过程较繁，容易造成运算失误，因此，不但要理解算理，而且应加强练习，熟练运算．
(3)(理)在证明有关指数式与多项式的关系时，常把指数式用二项式定理展开，然后用放缩法证明不等关系．
专题5 第1讲 空间几何体
一、选择题
1．(文)(2011·北京文，5)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(　　)
A．32　　　　　　　　　　 B．16＋16
C．48 D．16＋32
[答案]　B
[解析]　由三视图知，四棱锥为正四棱锥，四个侧面为四个全等的三角形，由图知三角形的高h＝2，S′＝×4×2×4＝16，所以表面积为S′＋4×4＝16＋16.
(理)(2011·北京理，7)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是(　　)
A．8　　　　　　　　　　 B．6
C．10 D．8
[答案]　C
[解析]　依题意，该四面体如图所示．其中，BC⊥CD，AB⊥平面BCD，BC＝4，CD＝3，AB＝4.
于是AC＝4，BD＝5.
∴S△BCD＝6，S△ABC＝8，
S△ACD＝6，S△ABD＝10，故选C.
2．(2011·广东文，9)如下图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为(　　)
A．4 B．4
C．2 D．2
[答案]　C
[解析]　由三视图知S＝×2×2＝2，h＝3，所以V＝Sh＝×2×3＝2.
3．(2011·江西文，9)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为(　　)
[答案]　D
[解析]　左视图为正方形含有一条对角线，即D项中的对角线．
4．(2011·福建福州质检)某简单几何体的一条对角线长为a，在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中，这条对角线的投影都是长为的线段，则a等于(　　)
A.　　 　 B.　 　　
C．1　　　　 D．2
[答案]　B
[解析]　可以把该几何体想象为一长方体AC1，设AC1＝a，则由题意知A1C1＝AB1＝BC1＝，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则x2＋y2＝2，y2＋z2＝2，z2＋x2＝2，三式相加得2(x2＋y2＋z2)＝2a2＝6.∴a＝.故选B.
5．(2011·山东威海模拟)已知球的表面积等于16π，圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，圆台的母线与底面的夹角为，则圆台的轴截面的面积是(　　)
A．9π B.
C．3 D．6
[答案]　C
[解析]　本题考查简单组合体的知识．如右图，
过圆台的轴截面截球得截面如下：AB为球的大圆的直径，据题意知球的半径为2，∠DAB＝60°，连结OD，易知三角形OAD为等边三角形，AD＝2，DE＝，AE＝1，故DC＝2(2－1)＝2，
故S梯形ABCD＝(2＋4)·＝3.
6．(2011·天津十二区县联考，理3)如图，直三棱柱的正视图面积为2a2，则侧视图的面积为(　　)
A．2a2 B．a2
C.a2 D.a2
[答案]　C
[解析]　由正视图的面积为2a2，则直三棱柱的侧棱长为2a，侧视图为矩形，一边长为2a，另一边长为a，所以侧视图的面积为a2.
7．(2011·广东深圳)利用斜二测画法可以得到①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是(　　)
A．①② B．①
C．③④ D．①②③④
[答案]　A
[解析]　因为斜二测画法规则依据的是平行投影的性质，故①②正确，对于③，④，只有平行于x轴的线段长度不变，所以不正确，故选A.
8．(文)(2011·辽宁文，10)已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[分析]　本题考查球的相关性质以及三棱锥体积的求法．
[解析]　如图所示，
由题意知，在棱锥S－ABC中，△SAC，△SBC都是等腰直角三角形，其中AB＝2，SC＝4，SA＝AC＝SB＝BC＝2.取SC的中点D，易证SC垂直于面ABD，因此棱锥S－ABC的体积为两个棱锥S－ABD和C－ABD的体积和，所以棱锥S－ABC的体积V＝SC·S△ADB＝×4×＝.
(理)(2011·辽宁理，12)已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为(　　)
A．3 B．2
C. D．1
[答案]　C
[分析]　本题考查球的相关性质以及三棱锥体积的求法，难度较大．
[解析]　由题意知，如图所示，
在棱锥S－ABC中，△SAC，△SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB＝，SC＝4，所以SA＝SB＝2，AC＝BC＝2.作BD⊥SC于D点，易证SC⊥平面ABD，因此V＝××()2×4＝.
二、填空题
9．(2011·福建理，12)三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．
[答案]　
[解析]　V＝×3××2×2×sin60°＝.
10．(文)(2011·新课标文，16)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．
[答案]　
[解析]　依据题意画出示意图：
设球半径R，圆锥底面半径r，则
πr2＝·4πR2，
即r2＝R2，在Rt△OO1C中，由OC2＝OO＋O1C2得OO1＝R.
所以，高的比为.
(理)(2011·新课标理，15)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为________．
[分析]　本小题考查对球的内接几何体的理解，球的截面性质及四棱锥体积的求解，考查空间想象能力和运算求解能力．
[答案]　8
[解析]　依题意棱锥O－ABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半径，如图连接AC，取AC中点O′，连接OO′.易知AC＝
＝4，故AO′＝2.
在Rt△OAO′中，OA＝4，从而OO′＝＝2.
所以VO－ABCD＝×2×6×2＝8.
11．(2011·惠州一模)已知△ABC的斜二测直观图是边长为2的等边△A1B1C1，那么原△ABC的面积为________．
[答案]　2
[解析]　如图，过C1作C1D1∥y1轴，在△A1D1C1中，设C1D1＝a，由正弦定理得：＝?a＝?S△ABC＝×2×2＝2.
12．(2011·济南三模)一个几何体的三视图及部分数据如图所示，左视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于________．
[答案]　
[解析]　根据三视图可知，该几何体是高为2的四棱锥，且底面正方形的对角线长为1，
∴V＝××1×1×2＝.
三、解答题
13．(文)一个多面体的直观图，主视图(正前方观察)，俯视图(正上方观察)，左视图(左侧正前方观察)如下图所示．
(1)探求AD与平面A1BCC1的位置关系并说明理由；
(2)求此多面体的表面积和体积．
[解析]　从俯视图可得：底面四边形ABCD和侧面四边形A1C1CB是矩形，又从主视图可得，
BC⊥AB，BC⊥BA1，且AB∩BA1＝B，BC⊥面ABA1，
△A1AB是正三角形，∴三棱柱是正三棱柱．
(1)∵底面四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.
又∵BC?面A1BCC1，∴AD∥面A1BCC1.
(2)依题意可得：AB＝BC＝a，
∵S＝×sin60°×a×a＝a2，
∴V＝S×h＝a2×a＝a3.
S侧＝C×h＝3a×a＝3a2；
S表＝S侧＋2S底＝3a2＋2×a2＝(3＋)a2，
此多面体的表面积和体积分别为(3＋)a2，a3.
(理)下图是一几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图．
(1)若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；
(2)求几何体BEC－APD的体积．
[解析]　(1)证明：由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，PA＝2EB＝4.
∵PA＝AD，F为PD的中点，∴PD⊥AF.
又∵CD⊥DA，CD⊥PA，∴CD⊥AF.
∴AF⊥平面PCD.
(2)VBEC－APD＝VC－APEB＋VP－ACD＝×(4＋2)×4×4＋××4×4×4＝.
14．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD＝60°，∠BDC＝45°，△ADP∽△BAD.
(1)求线段PD的长；
(2)若PC＝R，求三棱锥P—ABC的体积．
[解析]　(1)∵BD是圆的直径，
∴∠BAD＝90°，又△ADP∽△BAD，
∴＝，DP＝＝＝＝3R.
(2)在Rt△BCD中，CD＝BDcos45°＝R，
∵PD2＋CD2＝9R2＋2R2＝11R2＝PC2，
∵PD⊥CD，又∠PDA＝90°，∴PD⊥底面ABCD.
S△ABC＝AB·BCsin(60°＋45°)＝R·R·(·＋·)＝R2，则三棱锥P—ABC的体积为
VP－ABC＝·S△ABC·PD＝·R2·3R＝R3.
15．(文)(2011·福建文，20)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.
(1)求证：CE⊥平面PAD；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝，∠CDA＝45°，求四棱锥P－ABCD的体积．
[解析]　(1)∵PA⊥底面ABCD，EC?平面ABCD
∴CE⊥PA，
又∵AB⊥AD，CE∥AB.∴CE⊥AD.
又∵PA∩AD＝A，∴CE⊥平面PAD.
(2)由(1)知CE⊥AD.
在Rt△ECD中，DE＝CDcos45°＝1，CE＝CDsin45°＝1.
又∵AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四边形ABCE为矩形．
∴S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S△CDE＝AB·AE＋CE·DE
＝1×2＋×1×1＝.
又PA⊥底面ABCD，PA＝1
所以V四棱锥p－ABCD＝×S四边形ABCD×PA＝××1＝.
(理)(2011·重庆理，19)如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AD＝CD，∠CAD＝30°.
(1)若AD＝2，AB＝2BC，求四面体ABCD的体积；
(2)若二面角C－AB－D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．
[解析]　(1)解：如图，设F为AC的中点，由于AD＝CD，所以DF⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF＝ADsin30°＝1，AF＝ADcos30°＝.
在Rt△ABC中，因AC＝2AF＝2，AB＝2BC，
由勾股定理易知BC＝，AB＝.
故四面体ABCD的体积
V＝·S△ABC·DF＝×××＝.
(2)解法一：如图，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG∥AD，GH∥BC，从而∠FGH或其补角是异面直线AD与BC所成的角．
设E为边AB的中点，则EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由(1)有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB.所以∠DEF为二面角C－AB－D的平面角．由题设知∠DEF＝60°.
设AD＝a，则DF＝AD·sin∠CAD＝.
在Rt△DEF中，EF＝DF·cot∠DEF＝·＝a，
从而GH＝BC＝EF＝a.
因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD＝AD＝a，
从而在Rt△BDF中，FH＝BD＝.
又FG＝AD＝，从而在△FGH中，因FG＝FH，由余弦定理得
cos∠FGH＝＝＝.
因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为.
解法二：如图，过F作FM⊥AC，交AB于M.已知AD＝CD，平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直．以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F－xyz.
不妨设AD＝2，由CD＝AD，∠CAD＝30°，易知点A，C，D的坐标分别为A(0，－，0)，C(0，，0)，D(0,0,1)，则＝(0，，1)．
显然向量k＝(0,0,1)是平面ABC的法向量．
已知二面角C－AB－D为60°，故可取平面ABD的单位法向量n＝(l，m，n)，使得〈n，k〉＝60°，从而n＝.
由n⊥，有m＋n＝0，从而m＝－.
由l2＋m2＋n2＝1，得l＝±.
设点B的坐标为B(x，y,0)，由⊥，n⊥，取l＝，有
解之得，(舍去)
易知l＝－与坐标系的建立方式不合，舍去．
因此点B的坐标为B(，，0)．
所以＝(，－，0)．
从而cos〈，〉＝
＝＝－.
故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为.
专题5 第1讲点、直线与平面的位置关系
一、选择题
1．(文)(2011·浙江文，4)若直线l不平行于平面α，且l?α，则(　　)
A．α内的所有直线与l异面 B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交
[答案]　B
[解析]　由题意可得，l与α相交，则α内不存在与l平行的直线；
(反证法)假若存在m?l，则m∥l
又∵l?α，∴l∥α这与l不平行平面α相矛盾．
故假设错误．
(理)(2011·浙江理，4)下列命题中错误的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
[答案]　D
[解析]　对于A，α内存在直线平行于α与β的交线，故α内必存在直线平行于β，正确；对于B，由于α不垂直于β，α内一定不存在直线垂直于β，否则α⊥β，正确；对于C，由平面与平面垂直的性质知正确，故D不正确，选D.
2．设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
①?β∥γ　　　　　②?m⊥β
③?α⊥β ④?m∥α
其中，真命题是(　　)
A．①④　　　 B．②③　　　
C．①③　　　 D．②④
[答案]　C
[解析]　①正确，平行于同一个平面的两个平面平行；②错误，由线面平行、垂直定理知：m不一定垂直于β；③正确，由线面平行，垂直关系判断正确；④错误，m也可能在α内．综上所述，正确的命题是①③，故选C
3．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β
B．α∥β，m?α，n?β?m∥n
C．m⊥α，m⊥n?n∥α
D．n∥m，n ⊥α?m⊥α
[答案]　D
[解析]　对于A，当m、n为两条平行直线时，可知A错误．
对于B，m、n两条直线可能为异面直线．
对于C，直线n可能在平面α内，故选D.
4．(2011·北京海淀二模)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n⊥α成立的是(　　)
A．α⊥β，n?β B．α⊥β，n⊥β
C．α⊥β，n∥β D．m∥α，n⊥m
[答案]　B
[解析]　若α⊥β，n?β，则n与α平行或相交，即A不一定使n⊥α；若α∥β，n⊥β则n⊥α，故应选B.
5．(2011·山东烟台质检)已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下面有四个命题：
①α∥β?l⊥m; ②α⊥β?l∥m；
③l∥m?α⊥β； ④l⊥m?m与α不相交．
则其中正确的命题为(　　)
A．①② B．①③
C．①②③ D．①③④
[答案]　D
[解析]　由α∥β，l⊥α得l⊥β，又m?β，∴l⊥m，①正确；由α⊥β，l⊥α得l?β或l∥β，故不能得到l∥m，②错误；由l⊥α，l∥m得m⊥α，又m?β，∴α⊥β，③正确；由l⊥m，l⊥α得m?α或m∥α，故m，α不相交，④正确．故选D.
6．(2011·四川理，3)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
[答案]　B
[解析]　对于选项A，如l1、l3共面为α，而l2⊥α，则A不对；B正确；对C选项，可共面，也可形成3个平面；对D选项，l1、l2、l3可共面，也共点可形成3个平面，故选B.
7．(2011·江西理，8)已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
[解析]　若“P1P2＝P2P3”，则“d1＝d2”，反过来，若“d1＝d2”，则“P1P2＝P2P3”，故应选C.
8．(2011·山东东营5月检测)平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是直线m1和直线n1，给出下列四个命题：
①m1⊥n1?m⊥n；
②m⊥n?m1⊥n1；
③m1与n1相交?m与n相交或重合；
④m1与n1平行?m与n平行或重合．
其中不正确的命题个数是(　　)
A．1　　　　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
[答案]　D
[解析]　本题考查学生的空间想象能力．若能借助于正方体或长方体的模型，则本题容易解答．在如图所示的正方体中，
①错，例如AH和HC在底面的射影分别为AD，DC，易知两射影垂直，但AH和HC不垂直；②错，例如AE和EH互相垂直，它们在底面的射影分别是点A和线段AD；③错，两直线m，n还可异面；④错，例如EH和CF在底面的射影是AD和BC，射影互相平行，但两直线EH和CF是异面直线，故4个命题都是错误的．
二、填空题
9．(2011·河南洛阳)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝a，则它的5个面中，互相垂直的面有________对．
[答案]　5
[解析]　垂直的面有：面PAB⊥面PAD，面PAB⊥面ABCD，面PAB⊥面PBC，面PAD⊥面ABCD，面PAD⊥面PCD.
10．(2011·山东枣庄5月)a、b表示直线，α、β、γ表示平面．
①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，则α⊥β；
②若a?α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；
③若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a⊥b；
④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；
⑤若l?α，m?α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.
其中为真命题的是__________．
[答案]　②⑤
[解析]　对①可举反例如图，
需b⊥β才能推出α⊥β.对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b不垂直；④对a只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线．所以只有②⑤是正确的．
11．(2011·江苏泰州调研)已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；
②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；
④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.
其中正确命题的序号是________．
[答案]　②④
[解析]　①l可能在α内，③l上的两个点可能在α的两侧；②④正确．
12．(2011·江西临川)如图：点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：
①三棱锥A－D1PC的体积不变；
②A1P∥面ACD1；
③DP⊥BC1；
④面PDB1⊥面ACD1.
其中正确的命题的序号是________．
[答案]　①②④
[解析]　因为VA－D1PC＝S△AD1P·h，
由于AD1∥BC1，所以S△AD1P为定值，又h为点C到面AD1C1B的距离，也是定值，所以三棱锥A－D1PC为定值，①正确；因为平面A1BC1∥平面AD1C，所以A1P∥平面AD1C，②正确；③错误，如当点P与点B重合时，DB与BC就不垂直；因为DB1⊥平面AD1C，所以平面PDB1⊥平面AD1C成立，④正确．
三、解答题
13．(文)(2011·陕西文，16)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．
[解析]　(1)∵折起前AD是BC边上的高．
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC＝D，
∴AD⊥平面BDC，
∵AD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BDC.
(2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，
∵DB＝DA＝DC＝1，
∴AB＝BC＝CA＝，
从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝×1×1＝，
S△ABC＝×××sin60°＝，
∴三棱锥D－ABC的表面积S＝×3＋＝.
(理)(2011·陕西理，16)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．
[解析]　(1)∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，
∵AD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.
(2)由∠BDC＝90°及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|＝1，以D为坐标原点，以，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E(，，0)，
∴＝(，，－)，＝(1,0,0)，
∴与夹角的余弦值为
cos<，>＝＝＝.
14．(2011·山东文，19)如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.
(1)证明：AA1⊥BD；
(2)证明：CC1∥平面A1BD.
[解析]　(1)证明：∵DD1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴DD1⊥BD
又∵AB＝2AD且∠BAD＝60°
∴由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD
即BD＝AD，∴AD2＋BD2＝AB2，∴BD⊥AD
又∵AD∩DD1＝D
∴BD⊥平面ADD1A1，又∵AA1?平面ADD1A1，
∴BD⊥AA1
(2)连结AC，交BD于M，连结A1M，A1C1，
∵底面ABCD是平行四边形，∴AM＝CM＝AC
又∵AB＝2AD＝2A1B1
∴A1G綊CM，即四边形A1MCC1是平行四边形；
∴CC1∥AM1，又∵CC1?平面A1BD，A1M?平面A1BD
∴CC1∥平面A1BD.
15．(文)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．
(1)求证：FH∥平面EDB；
(2)求证：AC⊥平面EDB；
(3)求四面体B－DEF的体积．
[解析]　(1)证明：设AC与BD交于点G，联结EG、GH.则G为AC中点，∵H是BC中点，
∴GH綊AB
又∵EF綊AB，
∴四边形EFGH为平行四边形．∴FH∥EG.
又EG?面EDB，而FH?面EDB，∴FH∥面EDB.
(2)证明：∵EF∥AB，EF⊥FB.∴AB⊥FB.
又四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥BC，又FB∩BC＝B，∴AB⊥面BFC.
∵FH?面BFC，∴AB⊥FH.
又∵FB＝BC，H是BC中点，∴FH⊥BC.
又AB∩BC＝B，∴FH⊥面ABCD，∴FH⊥AC.
又EG∥FH，∴EG⊥AC，
又AC⊥BD，BD∩EG＝G，∴AC⊥面EDB.
(3)∵EF⊥BF，BF⊥FC且EF∩FC＝F，
∴BF⊥面CDEF，
即BF⊥面DEF.
∴BF为四面体B—DEF的高．
又∵BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝.
四边形CDEF为直角梯形，且EF＝1，CD＝2.
∴S△DEF＝(1＋2)×－×2×＝
∴VB—DEF＝××＝.
(理)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1＝BC，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．
(1)求证：B1C∥平面A1BD；
(2)求证：B1C1⊥平面ABB1A1；
(3)在CC1上是否存在一点E，使得∠BA1E＝45°，若存在，试确定E的位置，并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由．
[分析]　(1)连接AB1，交A1B于M，则MD就是平面A1BD内与B1C平行的直线；(2)需在平面ABB1A1中找两条相交直线都与B1C1垂直，由直三棱柱的概念，知BB1⊥B1C1，另一条的寻找，从AC1⊥平面A1BD，以平行四边形ABB1A1为正方形入手，证明A1B⊥平面AB1C1从而得出A1B⊥B1C1.(3)用余弦定理解△A1BE.
[解析]　(1)连结AB1与A1B相交于M，则M为A1B的中点．连结MD，又D为AC的中点，
∴B1C∥MD，
又B1C?平面A1BD，MD?平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD.
(2)∵AB＝B1B，∴平行四边形ABB1A1为正方形，
∴A1B⊥AB1.又∵AC1⊥平面A1BD，
∴AC1⊥A1B，∴A1B⊥平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1.
又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥B1C1，
∴B1C1⊥平面ABB1A1.
(3)设AB＝a，CE＝x，∵B1C1⊥A1B1，在Rt△A1B1C1中有A1C1＝a，同理A1B1＝a，
∴C1E＝a－x，
∴A1E＝＝，BE＝，
∴在△A1BE中，由余弦定理得
BE2＝A1B2＋A1E2－2A1B·A1E·cos45°，即
a2＋x2＝2a2＋x2＋3a2－2ax－2a·，
∴＝2a－x，
∴x＝a，即E是C1C的中点，
∵D、E分别为AC、C1C的中点，∴DE⊥AC1.
∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD.
又DE?平面BDE，∴平面A1BD⊥平面BDE.
[评析]　空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直，最终达到目的，其转化关系为线线垂直线面垂直面面垂直．
专题5 第3讲空间向量及其应用（理）
一、选择题
1．以下命题中，不正确的命题个数为(　　)
①已知A、B、C、D是空间任意四点，则A＋B＋C＋D＝0
②若{a，b，c}为空间一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；
③对空间任意一点O和不共线三点A、B、C，若O＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P、A、B、C四点共面．
A．0　　　　 B．1　　　　
C．2　　　　 D．3
[答案]　B
[解析]　由向量的加法运算知①正确．
∵a，b，c为空间一个基底，
则a，b，c为两两不共线的非零向量．
不妨假设a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)，
即(1－y)a＋(1－x)b－(x＋y)c＝0.
∵a、b、c不共面，∴，
不存在实数x、y使假设成立，故②正确．
③中若加入x＋y＋z＝1则结论正确，故③错误．
2．如图ABCD－A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　取D为空间直角坐标系原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝4，则B(4,4,0)，E1(4,3,4)，F1(0,1,4)，
∴＝(0，－1,4)，＝(0,1,4)，
||＝||＝，·＝15，
∴cos<，>＝.即异面直线BE1与DF1所成角的余弦值为.故选A.
3．在90°的二面角的棱上有A、B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB，已知AB＝5，AC＝3，BD＝4，则CD＝(　　)
A．5 B．5
C．6 D．7
[答案]　A
[解析]　由条件知AC⊥AB，BD⊥AB，AC⊥BD，
又C＝C＋A＋B，
∴2＝(C＋A＋B)2＝|C|2＋|A|2＋|B|2
＝32＋52＋42＝50.
∴|C|＝5，∴CD＝5.
4．如图所示，已知在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝2，BO＝6，D为A1B1的中点，且异面直线OD与A1B垂直，则三棱柱ABO－A1B1O1的高是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案]　B
[解析]　以、、为x轴、y轴、z轴的正方向，建立直角坐标系O－xyz，设直三棱柱的高为h，
则A1(2,0，h)，B(0,6,0)，D(1,3，h)，
∴＝(－2,6，－h)，＝(1,3，h)，
又⊥，∴(－2)×1＋6×3－h2＝0，h＝4或h＝－4(舍)，故选B.
5．(2011·山东济南)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　如图，设A1在面ABC内的射影为O，
以O为坐标原点，OA、OA1分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系．设△ABC边长为1，则A(，0,0)，B1(－，，)，
∴＝(－，，)．
面ABC的法向量n＝(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为sinα＝|cos〈，n〉|＝＝.
6．如图所示，在四面体P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B－AP－C的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　如图，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，
设AB＝1，
则易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，AB＝1，
可以求得BD＝，ED＝.
∵＝＋＋，
∴＝＋＋＋2·＋2·＋2·.
∴·＝－.
∴cos〈，〉＝.
7．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为(　　)
A．60° B．90°
C．45° D．以上都不正确
[答案]　B
[解析]　以点D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，
＝(0,1，－1)，＝(1,1，－1)，
设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则?令z＝1，得y＝1，x＝0.
所以n＝(0,1,1)，cos＝＝＝－1.
所以＝180°，所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.
8．正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面的边长为，E是SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[答案]　C
[解析]　设S在底面的射影为O，以O为原点，建立空间直角坐标系O－xyz如图，
则AO＝，OS＝＝，
∴A(，0,0)，S(0,0，)，C(－，0,0)，
∴E点坐标为(，0，)，B(0，，0)，
∴B＝(，－，)，S＝(－，0，－)，
∴cos＝＝－，
∴＝120°.
∴异面直线BE与SC的夹角为60°.
二、填空题
9．如图所示，平行六面体A1B1C1D1—ABCD中，M分A所成的比为，N分所成的比为2，设A＝a，A＝b，＝c，试用a，b，c表示M为__________．
[答案]　－a＋b＋c
[解析]　M＝M＋＋
＝－A＋＋
＝－(A＋A)＋＋(＋)
＝－A＋A＋
＝－a＋b＋c
10．(2011·郑州模拟)底面是正方形的四棱锥A－BCDE中，AE⊥底面BCDE，且AE＝CD＝a，G、H分别是BE、ED的中点，则GH到平面ABD的距离是________．
[答案]　a
[解析]　建立如图所示的坐标系，则有A(0,0，a)，B(a,0,0)，G(，0,0)，D(0，a,0)．
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)．
由题意知GH∥BD，则有GH∥面ABD，所以GH到平面ABD的距离等于G点到平面ABD的距离，设为d.
∵＝(a,0，－a)，＝(－a，a,0)，＝(，0,0)，
由得，∴n＝(1,1,1)．
∴d＝＝＝＝.
11．(2009·四川理，15)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是____________．
[答案]　90°
[解析]　作AD⊥BC垂足为D，连结B1D，则AD⊥平面BC1，在正方形BB1C1C中可证△B1BD∽△BCM.
∴∠B1DB＋∠MBC＝90°.
∴B1D⊥BM.由三垂线定理得B1A⊥BM，
故异面直线AB1与BM成90°角．
(也可以建立如图所示空间直角坐标系，向量法求解．)
12．在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2，∠ABC＝∠DCB＝，则二面角A—BC—D的大小等于__________．
[答案]　
[解析]　如图，因∠ABC＝∠DCB＝，所以AB⊥BC，DC⊥BC.因此向量B，C的夹角就是二面角A—BC—D的大小，而B·C＝B·(B－B)＝B·B－B·B＝B·B，又BD＝，
所以∠DAB＝，
于是B·C＝B·B＝1··＝1，
所以cos＝＝，
故二面角A—BC—D的大小等于.
三、解答题
13．(2011·辽宁理，18)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．
[解析]　如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线OA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.
(1)依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)．
则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)．
所以·＝0，·＝0.
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.
又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ。
(2)依题意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)．
设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，
即即
因此可取n＝(0，－1，－2)．
设m是平面PBQ的法向量，则
可取m＝(1,1,1)，所以cos〈m，n〉＝－.
故二面角Q－BP－C的余弦值为－.
14．(2011·北京理，16)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．
[解析]　(1)因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.
因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.
(2)设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，
所以BO＝1，AO＝CO＝.
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz，则P(0，－，2)，
A(0，－，0)，B(1,0,0)，
C(0，，0)．
所以＝(1，，－2)，
＝(0,2，0)，
设PB与AC所成角为θ，则cosθ＝＝＝.
(3)由(2)知＝(－1，，0)．
设P(0，－，t)，(t>0)，则＝(－1，－，t)．
设平面PBC的法向量m＝(x，y，z)，则
·m＝0，·m＝0，
所以
令y＝，则x＝3，z＝.所以m＝(3，，)．
同理，平面PDC的法向量n＝(－3，，)．
因为平面PBC⊥平面PDC.
所以m·n＝0，即－6＋＝0.解得t＝.
所以PA＝.
15．(2010·江西理，20)如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.
(1)求点A到平面MBC的距离；
(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．
[解析]　解法一：(1)取CD中点O，连OB，OM，则OB＝OM＝，OB⊥CD，MO⊥CD，
又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，所以MO∥ AB，MO∥平面ABC，M、O到平面ABC的距离相等．作OH⊥BC于H，连MH，则MH⊥BC.
求得OH＝OC·sin60°＝，
MH＝＝，
设点A到平面MBC的距离为d，
由VA－MBC＝VM－ABC得·S△MBC·d＝·S△ABC·OH.
即··2·d＝··2·2·，
解得d＝.
(2)延长AM、BO相交于E，连CE、DE，CE是平面ACM与平面BCD的交线．
由(1)知，O是BE的中点，则四边形BCED是菱形．
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A－EC－B的平面角，设为θ.因为∠BCE＝120°，
所以∠BCF＝60°.BF＝2sin60°＝，
tanθ＝＝2，sinθ＝.
则所求二面角的正弦值为.
解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，
又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.
取O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图．OB＝OM＝，则各点坐标分别为C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)．
(1)设n＝(x，y，z)是平面MBC的法向量，则
＝(1，，0)，＝(0，，)．
由n⊥得x＋y＝0；由n⊥得y＋z＝0.
取n＝(，－1,1)，＝(0,0,2)则
d＝＝＝.
(2)＝(－1,0，)，＝(－1，－，2)．
设平面ACM的法向量n1＝(x，y，z)，则n1⊥，n1⊥得，
解得x＝z，y＝z，取n1＝(，1,1)．
又平面BCD的法向量为n2＝(0,0,1)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝，
设所求二面角为θ，则sinθ＝.
专题5
1．(文)(2011·沈阳3月质检)如图，矩形BCC1B1所在平面垂直于三角形ABC所在平面，且BB1＝CC1＝AC＝2，AB＝BC＝.又E，F分别是C1A和C1B的中点．
(1)求证：EF∥平面ABC；
(2)求证：平面EFC1⊥平面C1CBB1.
[证明]　(1)在△C1AB中，∵E，F分别是C1A和C1B的中点，
∴EF∥AB，
∵AB?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC.
(2)∵平面BCC1B1⊥平面ABC，且BCC1B1为矩形，∴BB1⊥AB，
又在△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，
∴AB⊥BC，∴AB⊥平面C1CBB1，
∴平面EFC1⊥平面C1CBB1.
(理)(2011·江西南昌调研)如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.
(1)求证：BC1⊥AB1；
(2)求证：BC1∥平面CA1D.
[证明]　如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．
(1)由于＝(0，－2，－2)，
＝(－2,2，－2)，
所以·＝0－4＋4＝0，
因此⊥，故BC1⊥AB1.
(2)取A1C的中点E，连接DE，
由于E(1,0,1)，
所以＝(0,1,1)，
又＝(0，－2，－2)，所以＝－，
且ED和BC1不共线，则ED∥BC1，
又DE?平面CA1D，BC1?平面CA1D，
故BC1∥平面CA1D.
2．(2011·安徽理，17)如图，ABEDFG为多面体，平面ABED与平面AGFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAC，△ODE，△GDE都是正三角形．
(1)证明直线BG∥EF；
(2)求梭锥F－GBED的体积．
[解析]　(1)(综合法)
证明：设G是线段DA与线段EB的延长线的交点，于△OAB与△ODE都是正三角形，所以OB綊DE，OG＝OD＝2，同理，设G′是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG′＝OD＝2.
又由于G和G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合．
在△GED和△GFD中，由OB綊DE和OC綊DF，可知B，C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.
(向量法)
过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，为x轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系．
由条件知E(，0,0)，F(0,0，)，B(，－，0)，C(0，－，)．
则有＝(－，0，)，＝(－，0，)．
所以＝2，即得BC∥EF.
(2)解：由OB＝1，OE＝2，∠EOB＝60°，知S△EOB＝，而△OED是边长为2的正三角形，故S△OED＝.
所以S四边形OBED＝S△EOB＋S△OED＝.
过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F－OBED的高，且FQ＝，
所以VF－OBED＝FQ·S四边形OBED＝.
3．(文)(2011·惠州模拟)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE＝DE.
(1)求此正三棱柱的侧棱长；
(2)正三棱柱ABC－A1B1C1表面积．
[解析]　(1)设正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为x.
∵△ABC是正三角形， ∴AE⊥BC.
又底面ABC⊥侧面BB1C1C，且交线为BC，
∴AE⊥侧面BB1C1C，
在Rt△AED中，由AE＝DE，得＝，
解得x＝2，即此三棱锥的侧棱长为2.
(2)S＝S侧＋S底，
S侧＝3×2×2＝12，S底＝2××22＝2，
∴S＝S侧＋S底＝12＋2.
(理)(2011·太原模拟)下面一组图形为P－ABC的底面与三个侧面．已知AB⊥BC，PA⊥AB，PA⊥AC.
(1)写出三棱锥P－ABC中的所有的线面垂直关系(不要求证明)；
(2)在三棱锥P－ABC中，M是PA上的一点，
求证：平面ABC⊥平面PAB；
(3)在三棱锥P－ABC中，M是PA的中点，且PA＝BC＝3，AB＝4，求三棱锥P－ABC的体积．
[解析]　(1)如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥平面PAB.
(2)∵PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC＝A，
∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵BC⊥AB，且PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB.
又BC?平面ABC.
∴平面ABC⊥平面PAB.
(3)法一：∵PA＝3，M是PA的中点，∴MA＝.
又∵AB＝4，BC＝3.
∴VM－ABC＝S△ABC·MA＝××4×3×＝3，
又VP－ABC＝S△ABC·PA＝××4×3×3＝6，
∴VP－MBC＝VP－ABC－VM－ABC＝6－3＝3.
法二：∵PA＝3，AB＝4，M是PA的中点，
∴S△PBM＝S△PAB＝××3×4＝3.
又∵BC⊥平面PAB，且BC＝3，
∴VP－MBC＝VC－PBM＝S△PBM·BC＝×3×3＝3.
4．(2011·北京文，17)如图，在四面体PABC中，PC⊥AB、PA⊥BC，点D、E、，F、G分别是棱AP、CC、BC、PB的中点．
(1)求证：DE∥平面BCP；
(2)求证：四边形DEFG为矩形；
(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．
[解析]　(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，
所以DE∥PC，
又因为DE?平面BCP，PC?平面BCP，
所以DE∥平面BCP.
(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形，
又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，
所以四边形DEFG为矩形．
(3)存在点Q满足条件，理由如下：
连接DF，EG，设Q为EG的中点，
由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG，
分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.
与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝EG，
所以Q为满足条件的点．
5．(2011·广东文，18)下图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A′，B，B′分别为，，，的中点，O1，O′1，O2，O′2分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点．
(1)证明：O′1，A′，O2，B四点共面；
(2)设G为AA′中点，延长A′O′1到H′，使得O′1H′＝A′O′1.证明：BO′2⊥平面H′B′C.
[解析]　(1)由题意知A′，O′1，B′，O′2四点共面．
∵O′1，O′2分别为C′D′，D′E′的中点，
A′，B′分别为，的中点，
∴O′1A′∥B′O′2.
又O2，B分别为DE，的中点，
∴BO2∥B′O′2，∴O′1A∥BO2，∴O′1，A′，O2，B四点共面．
(2)方法①：如图(1)所示，连接AO1，并延长至H，使得O1H＝AO1，连接H′H，HB，BO2，O2O′2，O1O′1，则得长方体HBO2O1－H′B′O′2O′1.
则HO′1∥BO′2，H′B′⊥BO′2.
取A′G的中点F，连接O′1F，HF，则O′1F綊H′G.
由题意，在Rt△H′A′G中，H′A′＝2，A′G＝1，
∴H′G＝＝＝，
∴O′1F＝.
在Rt△HAF中，HA＝2，AF＝，
∴HF＝HA2＋AF2＝＝.
在Rt△HH′O′1中，HH′＝2，H′O′1＝1，
∴HO′1＝HH′2＋H′O′＝＝.
∴O′1F2＋HO′＝HF2.∴HO′1⊥O′1F.
又O′1F∥H′G，∴HO′1⊥H′G.∴BO′2⊥H′G.
又H′B′⊥BO′2，H′B′∩H′G＝H′.
∴BO′2⊥平面H′B′G.
(理)方法2(向量法)建系O1－xyz如图(2)所示，直圆柱高为2，底面半径为1，则O1(0,0,0)，B(1,2,0)，O′2(0,2,2)，B′(1,2,2)，G(－1,0,1)，H′(1,0,2)，
∴＝(－1,0,2)，＝(2,2,1)，＝(0，－2,0)．
∴·＝－2＋0＋2＝0，·＝0＋0＋0＝0，
∴BO2⊥GB且BO2⊥H′B.又GB∩H′B＝B，
∴BO2⊥面H′B′G.
6．(文)已知四棱锥P－ABCD的直观图和三视图如图所示，E是PB的中点．
(1)求三棱锥C－PBD的体积；
(2)若F是BC上任一点，求证：AE⊥PF；
(3)边PC上是否存在一点M，使DM∥平面EAC，并说明理由．
[解析]　(1)由该四棱锥的三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为2和1的矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，且PA＝2，
∴VC－PBD＝VP－BCD＝××1×2×2＝.
(2)证明：∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA＝A.
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，
又在△PAB中，∵PA＝AB，E是PB的中点，
∴AE⊥PB.又∵BC∩PB＝B，
∴AE⊥平面PBC，且PF?平面PBC，∴AE⊥PF.
(3)存在点M，可以使DM∥平面EAC.
连结BD，设AC∩BD＝O，连结EO.
在△PBD中，EO是中位线．
∴PD∥EO，
又∵EO?平面EAC，PD?平面EAC，
∴PD∥平面EAC，
∴当点M与点P重合时，可以使DM∥平面EAC.
(理)(2011·山东理，19)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.
(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；
(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A－BF－C的大小．
[解析]　(1)证法一：
因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，
所以∠EGF＝90°，
△ABC∽△EFG.
由于AB＝2EF
因此BC＝2FG
连接AF，由于FG∥BC，FG＝BC，
在?ABCD中，M是线段AD的中点，
则AM∥BC，且AM＝BC.
因此FG∥AM且FG＝AM，
所以四边形AFGM为平行四边形．因此GM∥FA.
又FA?平面ABFE，GM?平面ABFE，
所以GM∥平面ABFE.
证法二：
因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，
所以∠EGF＝90°，
△ABC∽△EFG，
由于AB＝2EF，所以BC＝2FG.
取BC的中点N，连接GN，
因此，四边形BNGF为平行四边形，所以GN∥FB.
在?ABCD中，M是线段AD的中点，连接MN，则AM∥AB.
因为MN∩GN＝N，所以平面GMN∥平面ABFE.
又GM?平面GMN.所以GM∥平面ABFE.
(2)解法一：
因为∠ACB＝90°，所以∠CAD＝90°
又EA⊥平面ABCD，所以AC，AD，AE两两垂直
分别以AC，AD，AE所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设AC＝BC＝2AE＝2，则由题意得A(0,0,0)，B(2，－2,0)，C(2,0,0)，E(0,0,1)，所以＝(2，－2,0)，＝(0,2,0)．又EF＝AB，
所以F(1，－1,1)，＝(－1,1,1)．
设平面BFC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则m·＝0，m·＝0，所以
取z1＝1得x1＝1，所以m＝(1,0,1)．
设平面ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)．
则n·AB＝0，n·＝0，所以
取y2＝1，得x2＝1.则n＝(1,1,0)．
所以cos〈m，n〉＝＝.
因此二面角A－BF－C的大小为60°.
解法二：
由题意知，平面ABFE⊥平面ABCD，
取AB的中点H，连接CH，
因为AC＝BC，
所以CH⊥AB.
则CH⊥平面ABFE，
过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，则CR⊥BF，
所以∠HRC为二面角A－BF－C的平面角．
由题意，不妨设AC＝BC＝2AE＝2.
在直角梯形ABFE中，连接FH，则FH⊥AB，
又AB＝2.
所以HF＝AE＝1，BH＝，
因此在Rt△BHF中，HR＝.
由于CH＝AB＝，
所以在Rt△CHR中，tan∠HRC＝＝.
因此二面角A－BF－C的大小为60°.
专题6 第1讲 直线与圆
一、选择题
1．(2011·四川文，3)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)
A．(2,3)　　　　 　　　 B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
[答案]　D
[解析]　将一般式化为标准式(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
∴圆心坐标为(2，－3)．
2．(2011·安徽文，4)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．－3
[答案]　B
[解析]　圆的圆心为(－1,2)代入直线3x＋y＋a＝0，∴－3＋2＋a＝0，∴a＝1.
3．(2011·沈阳质量检测)直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为(　　)
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
[答案]　A
[解析]　设圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)的圆心为C，弦AB的中点为D，易知C(－1,2)，又D(－2,3)，
故直线CD的斜率kCD＝＝－1，
则由CD⊥l知直线l的斜率kl＝－＝1，
故直线l的方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.
4．(2011·柳州模拟)已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)
A．4x－4y＋1＝0 B．x－y＝0
C．x＋y＝0 D．x－y－2＝0
[答案]　D
[解析]　由于两圆的圆心分别为(0,0)与(2，－2)，则可知两圆圆心所在直线的中垂线方程为y＋1＝x－1?y＝x－2，即直线l的方程为x－y－2＝0.
5．(2011·重庆理，8)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
[答案]　B
[解析]　由圆的弦的性质可知，最长弦为过点E的直径，最短弦为过点E且与直径垂直的弦，
∴|AC|＝2，|BD|＝2＝2，
∴SABCD＝|AC|·|BD|＝10，∴选B.
6．(2010·湖北理，9)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是(　　)
A．[－1,1＋2] B．[1－2，1＋2]
C. [1－2，3] D．[1－，3]
[答案]　C
[解析]　由y＝3－可知其图像为圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的下半圆，当直线y＝x＋b过点(0,3)时b＝3，当直线与圆相切时＝2，解得b＝1－2或b＝1＋2(舍去)，故当1－2≤b≤3时直线和半圆有交点．
7．与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
[答案]　A
[解析]　如图当两圆圆心的连线与已知直线垂直时，所求圆的半径最小，易知所求圆C的圆心在直线y＝－x上，故设其坐标为C(c，－c)，又圆A的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，∴A(－1,1)，
则点A到直线x－y－4＝0的距离d＝＝3.
设圆C的半径为r，则2r＝3－＝2，
∴r＝.即点C(c，－c)到直线x－y－4＝0的距离等于.故有＝，∴c＝3或c＝1.
结合图形知当c＝3时，圆C在直线x－y－4＝0下方，不合题意，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
8．(文)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，a∈R，b∈R，且ab≠0，则＋的最小值为(　　)
A. B.
C．1 D．3
[答案]　C
[解析]　将圆的方程化为标准方程得(x＋a)2＋y2＝4和x2＋(y－2b)2＝1，两圆有三条公切线，即两圆相外切，所以圆心距等于半径之和，即a2＋4b2＝9，(a2＋4b2)＝1，所以＋＝(a2＋4b2)＝≥1，当且仅当a2＝2b2时等号成立，即＋的最小值为1.
(理)(2011·广州综合测试(二))高8m和4m的两根旗杆笔直地竖在水平地面上，且相距10m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案]　A
[解析]　本题是解析几何问题．假设长度为8米，4米的两旗杆的底部的点分别为A，B，地面上的观察点为P，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立坐标系，则
A，B，P的坐标分别为A(－5,0)，B(5,0)，P(x，y)，
设PA＝b，PB＝a，∵tanθ＝＝，∴b＝2a，
∴＝2，
化简得方程为圆的方程，所以轨迹为圆，故选A.
二、填空题
9．(文)(2011·重庆文，13)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为________．
[答案]　2x－y＝0
[解析]　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，
则R＝1，∵弦长为2，∴直线过圆心(1,2)，
又过原点．∴y＝2x.
(理)(2011·重庆理，15)设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________．
[答案]　－1
[解析]　由圆的对称性可知，当半径最大时，圆心在x轴上，设为(a,0)，(010．(2011·湖南文，15)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．
[答案]　(1)5　(2)
[解析]　(1)圆C的圆心为(0,0)，所以圆心到直线l的距离为d＝＝5.
(2)由题意可画出示意图：l1与l2平行，距离为2，则当点A位于上时满足条件，则在Rt△A2NC中，NC＝3，CA2＝2，则∠A2CN＝，所以∠A1CA2＝，所以所求概率为.
11．(2011·成都三诊)如果直线l1：3x－4y－3＝0与直线l2关于直线x＝1对称，则直线l2的方程为________．
[答案]　3x＋4y－3＝0
[解析]　设P(x，y)是l2上任意一点，则点P关于直线x＝1对称的点Q(2－x，y)在l1上，所以3(2－x)－4y－3＝0，整理得：3x＋4y－3＝0，此即直线l2的方程．
12．(2011·温州三模)直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A、B两点，若△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(2,2)之间距离的最小值为________．
[答案]　
[解析]　∵△AOB为直角三角形，∴原点O到直线ax＋by＝1的距离为，∴＝，即a2＋b2＝2，又∵≤a2＋b2，∴－2≤a＋b≤2，
∴于是点P(a，b)与点(2,2)之间的距离为
d＝＝≥.
三、解答题
13．已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
[解析]　(1)直线l的方程可化为y＝x－，直线l的斜率k＝，因为|m|≤(m2＋1)，
所以|k|＝≤，当且仅当|m|＝1时等号成立．
所以，斜率k的取值范围是[－，]．
(2)不能．由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤.
圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2.
圆心C到直线l的距离d＝.
由|k|≤，得d≥>1，即d>.
从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于，
所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧．
14．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．
[解析]　(1)令x＝0，得抛物线过点(0，b)．
令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0.
由题意应有b≠0且△＝4－4b＞0.
∴b＜1且b≠0.
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.
这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，∴D＝2，F＝b.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.此方程有一个根为b.
∴b2＋E·b＋F＝0.而F＝b，∴E＝－b－1.
∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－by－y＋b＝0.
(3)圆C过定点，证明如下：
假设圆C过定点(x0，y0)，(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程并变形为
x＋y＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.
为了使上述方程对所有满足b＜1(b≠0)的b都成立，必须有，解得或.
经验证：点(0,1)，(－2,1)均在圆C上，因此圆C过定点．
15．(2011·温州)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆相交于不同的两点A、B.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
[解析]　(1)圆(x－6)2＋y2＝4的圆心Q(6,0)，半径r＝2，设过P点的直线方程为y＝kx＋2，
根据题意得<2，∴4k2＋3k<0，∴－(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，
将y＝kx＋2代入x2＋y2－12x＋32＝0中消去y得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0，
∵x1，x2是此方程两根，∴则x1＋x2＝－，
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝－＋4，
P(0,2)，Q(6,0)，∴＝(6，－2)，
＋与共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，
∴＝－6k·＋24，∴k＝－，
由(1)知k∈(－，0)，故没有符合题意的常数k.
专题6第2讲 圆锥曲线
一、选择题
1．(2011·安徽理，2)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．2
C．4 D．4
[答案]　C
[解析]　由2x2－y2＝8可得－＝1，
则a2＝4，a＝2,2a＝4，故选C.
2．(2011·湖南理，5)设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案]　C
[解析]　双曲线的渐近线方程为y＝±x，
比较y＝±x，∴a＝2.
3．(2011·天津文，6)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
[答案]　B
[解析]　∵抛物线的准线与双曲线的一条渐近线的交点为(－2，－1)，
∴－＝－2，p＝4，抛物线方程为y2＝8x，
双曲线渐近线的斜率＝.
∴抛物线焦点坐标为(2,0)．
由题意2－(－a)＝4，得a＝2，
∴b＝1，c2＝a2＋b2＝4＋1＝5.
∴2c＝2.
4．(2011·山东菏泽)方程为＋＝1(a>b>0)的椭圆左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个顶点，若3＝＋2，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　∵3＝＋2，
∴2(－)＝－，
∴＝2，即a－c＝4c，
∴e＝＝.
5．(2011·海南五校联考)如图，正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是(　　)
A.＋1 B.－1
C. D.
[答案]　A
[解析]　设正六边形的边长为1，则AE＝，ED＝1，
AD＝2，∴2a＝AE－ED＝－1,2c＝AD＝2，
∴e＝＝＝＋1.
6．(2011·大连一模)设F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，当＋＋＝0，且||＋||＋||＝3时，此抛物线的方程为(　　)
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝6x D．y2＝8x
[答案]　A
[解析]　由题意知焦点F(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则由＋＋＝0，得(x1－)＋(x2－)＋(x3－)＝0，∴x1＋x2＋x3＝.又由抛物线定义，得||＋||＋||＝(x1＋)＋(x2＋)＋(x3＋)＝3p＝3，∴p＝1，因此所求抛物线的方程为y2＝2x.
7．(2011·大纲全国卷理，10)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
[答案]　D
[解析]　方法一：联立，不妨设A在x轴上方，∴A(4,4)，B(1，－2)，
∵F点坐标为(1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)，
cos∠AFB＝＝＝－.
方法二：|AB|＝3，|AF|＝5，|BF|＝2，
由余弦定理知，cos∠AFB＝＝－.
8．(文)(2011·辽宁文，7)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A. B．1
C. D.
[答案]　C
[解析]　如图所示：
∵|AF|＝|AK|，|BF|＝|BM|
∴|AK|＋|BM|＝|AF|＋|BF|＝3
∴AB的中点P到准线的距离
|PN|＝(|AK|＋|BM|)＝
∴点P到y轴的距离为－＝.
(理)(2011·浙江理，8)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1 有公共的焦点，C1的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1 恰好将线段AB三等分，则(　　)
A．a2＝ B．a2＝13
C. b2＝ D．b2＝ 2
[答案]　C
[解析]　由双曲线x2－＝1知焦点坐标为(－，0)，(，0)，渐近线方程为y＝±2x.
∴椭圆中：a2＝b2＋5，由条件知|AB|＝2a，
由得x2＝，
y2＝，又2＝|AB|，
∴＝
整理，得：a2＝11b2，结合a2＝b2＋5，得a2＝，b2＝，选C.
二、填空题
9．(2011·陕西质检二)已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
[答案]　y2＝4x
[解析]　设抛物线的标准方程为y2＝2px，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2，两式相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，则kAB＝＝，∴＝1，解得p＝2，即所求抛物线方程为y2＝4x.
10．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为__________．
[答案]　y＝x
[解析]　因为抛物线顶点在原点，焦点F(1,0)，故抛物线方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，
则y＝4x1，y＝4x2.
∴(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，
∴kAB＝＝1，
∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
11．(文)(2011·山东文，15)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________________．
[答案]　－＝1
[解析]　椭圆焦点为(±，0)，所以a2＋b2＝7，椭圆离心率为e＝，∴＝×2，∴a＝2，b＝，
∴双曲线方程为－＝1.
(理)(2011·江西理，14)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________________．
[答案]　＋＝1
[解析]　解法一：点在圆外过点(1，)与圆相切的一条直线方程为x＝1，一个切点为(1,0)，设另一条的方程为y＝x＋m，由1＝得m＝，故另一条切线的方程为y＝－x＋代入圆的方程联立解得切点为，则直线AB的方程为y＝－2x＋2，故椭圆的上顶点坐标为(0,2)．因此c＝1，b＝2，a＝，所求椭圆方程为＋＝1.
解法二：由题意可得切点A(1,0)．
切点B(m，n)满足解得B.
∴过切点A，B的直线方程为2x＋y－2＝0.
令y＝0得x＝1，即c＝1；
令x＝0得y＝2，即b＝2.
∴a2＝b2＋c2＝5，∴椭圆方程为＋＝1.
12．(文)(2011·江西文，12)若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________.
[答案]　48
[解析]　c2＝a2＋b2＝16＋m，又∵e＝，
∴e＝2＝，∴m＝48.
(理)(2011·海淀模拟)已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．则该椭圆的离心率的取值范围是________．
[答案]　(，)
[解析]　设椭圆的半焦距为c，长半轴长为a，由椭圆的定义及题意知，|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c＝10，得到a－c－5＝0，因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以1<<2，∴三、解答题
13．(2011·北京西城5月抽考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆C两个焦点的距离之和为6.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：y＝kx－2与椭圆C交于A，B两点，点P(0,1)，且|PA|＝|PB|，求直线l的方程．
[解析]　(1)由已知2a＝6，e＝＝，
解得a＝3，c＝，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得，(1＋3k2)x2－12kx＋3＝0，
因为直线l与椭圆C有两个不同的交点，
所以Δ＝144k2－12(1＋3k2)>0，解得k2>.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为E，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝k·－4＝－，
所以AB的中点坐标为E，
因为|PA|＝|PB|，所以PE⊥AB，kPE·kAB＝－1，
所以·k＝－1，
解得k＝1或k＝－1，经检验，符合题意．
所以直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y＋2＝0.
14．(文)(2011·天津文，18)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．
[解析]　(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
因为|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c，整理得22＋－1＝0，得＝－1(舍)或＝，
所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)，
A，B两点的坐标满足方程组，
消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x1＝0，x2＝c，
得方程组的解，
不妨设A，B，
所以|AB|＝＝c.
于是|MN|＝|AB|＝2c，
圆心到直线PF2的距离
d＝＝.
因为d2＋2＝42，所以(2＋c)2＋c2＝16.
整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或c＝2，
所以椭圆方程为＋＝1.
(理)(2011·天津理，18)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a>b>0)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
[解析]　(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c.整理得
22＋－1＝0.得＝－1(舍)或＝.
所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2方程为v＝(x－c)．
A，B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x1＝0，x2＝c.
得方程组的解
不妨设A，B.
设点M的坐标为(x，y)，则＝，＝(x，y＋c)．
由y＝(x－c)，得c＝x－y.
于是＝，＝(x，x)．
由·＝－2，即·x＋·x＝－2，化简得18x2－16xy－15＝0，
将y＝代入c＝x－y，得c＝>0.
所以x>0.
因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．
15．(2011·北京理，19)已知椭圆G：＋y2＝1，过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A、B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
[解析]　(1)由已知得a＝2，b＝1，
所以c＝＝.
所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，离心率为e＝＝.
(2)由题意知，|m|≥1，
当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为(1，)，(1，－)，此时|AB|＝.
当m＝－1时，同理可得|AB|＝.
当|m|>1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．
由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝.
又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，
即m2k2＝k2＋1.
所以|AB|＝
＝
＝
＝.
由于当m＝±1时，|AB|＝，
所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
因为|AB|＝＝≤2，且当m＝±时，|AB|＝2.
所以|AB|的最大值为2.
专题6
1．(2011·长沙5月模拟)已知三直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是?.若能，求点P坐标；若不能，说明理由．
[解析]　(1)∵l1：2x－y＋a＝0，l2：2x－y－＝0，
∴d＝＝，
解得a＝3或a＝－4(∵a>0，舍去)
(2)设存在点P(x0，y0)满足②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0，且＝·，
即c＝或c＝，
∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，有
＝·，
，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
∵P在第一象限，∴3x0＋2＝0(舍去)．
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－3y0＋4＝0，
解得(舍去)，
由得，
∴P即为同时满足条件的点．
2．(文)如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2,0)，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
(1)求BC边所在直线方程；
(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
(3)若动圆N过点P且与圆M相切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．
[解析]　(1)∵kAB＝－，AB⊥BC，∴kCB＝，
∴BC边所在直线方程为y＝x－2.
(2)在BC边所在直线方程中，令y＝0，得C(4,0)，
∴圆心M(1,0)．又∵|AM|＝3，
∴外接圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.
(3)∵P(－1,0)，M(1,0)，
圆N过点P(－1,0)，∴PN是该圆的半径．
又∵动圆N与圆M内切，
∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3，
∴点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆．
∴a＝，c＝1，b＝＝，
∴轨迹方程为＋＝1.
(理)(2011·吉林市质检)已知圆满足：
①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3?1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为.求该圆的方程．
[解析]　解法一：设圆P的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|.
由题意知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，
所以圆P被x轴所截得的弦长为r.
故2|b|＝r，得r2＝2b2.
又圆P被y轴所截得的弦长为2，
由勾股定理得r2＝a2＋1，得2b2－a2＝1.
又因P(a，b)到直线x－2y＝0的距离为，得
d＝＝，即有a－2b＝±1.
综上所述得，或，
解得或，于是r2＝2b2＝2.
故所求圆的方程是(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.
解法2：设圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
令x＝0，得y2－2by＋b2＋a2－r2＝0.
|y1－y2|＝＝2＝2，
得r2＝a2＋1.
再令y＝0，可得x2－2ax＋a2＋b2－r2＝0.
同理，可得|x1－x2|＝2，∴2＝r，
即r2＝2b2，从而有2b2－a2＝1.
以下同解法一．
3．(2011·江西文，19)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
[解析]　(1)直线AB的方程是y＝2(x－)，
与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，
所以：x1＋x2＝
由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4
y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)
＝(4λ＋1,4λ－2)
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.
4．(2011·湖南文，21)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1、l2，设l1与轨迹C相交于点A、B，l2与轨迹C相交于点D、E，求·的最小值．
[解析]　(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有
－|x|＝1.
化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；
当x<0时，y＝0.
所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．
(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得
x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝||·||＋||·||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1
＝1＋(2＋)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4(k2＋)≥8＋4×2＝16.
当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取最小值16.
5．(文)已知F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足＋＝0(O为坐标原点)，·＝0.若椭圆的离心率等于.
(1)求直线AB的方程；
(2)若△ABF2面积等于4，求椭圆的方程．
[解析]　(1)由＋＝0知，直线AB经过原点，
又由·＝0，知AF2⊥F1F2.
因为椭圆的离心率等于，所以＝，b2＝a2，
故椭圆方程可以写为x2＋2y2＝a2.
设点A的坐标为(c，y)，代入方程x2＋2y2＝a2，得y＝a，
所以点A的坐标为(a，a)，
故直线AB的斜率k＝，
因此直线AB的方程为y＝x.
(2)连结AF1、BF1，由椭圆的对称性可知
S△ABF2＝S△ABF1＝S△AF1F2，
所以·2c·a＝4，解得a2＝16，b2＝16－8＝8，
故椭圆方程为＋＝1.
(理)在直角坐标系xOy中，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.F2也是抛物线C2：y2＝4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|＝.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)平面上的点N满足＝＋，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若·＝0，求l的方程．
[解析]　(1)由C2：y2＝4x，知F2(1,0)．
设M(x1，y1)，M在C2上，
因为|MF2|＝，所以x1＋1＝，
得x1＝，y1＝.
M在C1上，且椭圆C1的半焦距c＝1，
于是
消去b2并整理得9a4－37a2＋4＝0.
解得a＝2.
故椭圆C1的方程为＋＝1.
(2)由＋＝，知四边形MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O，因为l∥MN，所以l与OM的斜率相同．
故l的斜率k＝＝.
设l的方程为y＝(x－m)．
由，消去y并化简得
9x2－16mx＋8m2－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为⊥，所以x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋y1y2＝x1x2＋6(x1－m)(x2－m)＝7x1x2－6m(x1＋x2)＋6m2
＝7·－6m·＋6m2＝(14m2－28)＝0.
所以m＝±.
此时Δ＝(16m)2－4×9(8m2－4)>0，
故所求直线l的方程为y＝x－2或y＝x＋2.
6．在平面直角坐标系xOy中，过点定C(2,0)作直线与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，如图，设动点A(x1，y1)、B(x2，y2)．
(1)求证：y1y2为定值；
(2)若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB面积的最小值．
(3)求证：直线l：x＝1被以AC为直径的圆锥得的弦长恒为定值．
[解析]　(1)当直线AB垂直于x轴时，y1＝2，y2＝－2，因此y1y2＝－8(定值)．
当直线AB不垂直于x轴时，
设直线AB的方程为y＝k(x－2)，
由，得ky2－4y－8k＝0，∴y1y2＝－8.
因此有y1y2＝－8为定值．
(2)∵C(2,0)，∴C点关于原点的对称点D(－2,0)，
∴DC＝4，S△ADB＝DC·|y1－y2|.
当直线AB垂直于x轴时，S△ADB＝×4×4＝8；
当直线AB不垂直于x轴时，
由(1)知y1＋y2＝，因此
|y1－y2|＝＝>4，
∴S△ADB>8.
综上，△ADB面积的最小值为8.
(3)AC中点E(，)，
AC＝，
因此以AC为直径的圆的半径
r＝AC＝＝，
AC中点E到直线x＝1的距离d＝|－1|，
∴所截弦长为2＝2
＝2(定值)．
专题7 第1讲 不等式
一、选择题
1．(文)(2011·天津文，2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为(　　)
A．－4　　　　　　　　　 B．0
C. D．4
[答案]　D
[解析]　由
作出可行域如图：
当直线z＝3x－y过点A(2,2)点时z有最大值．
z最大值＝3×2－2＝4.
(理)(2011·浙江理，5)设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x＋4y 的最小值为(　　)
A．14　　　　　　 　　　 B．16
C．17 D．19
[答案]　B
[解析]　如图，作出不等式组表示的平面区域 ，作直线l0：3x＋4y＝0平移l0 与平面区域有交点，由于x，y为整数，结合图形可知当x＝4，y＝1时，3x＋4y取最小值为16，选B.
2．(2011·重庆文，7)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　)
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
[答案]　C
[解析]　f(x)＝x＋(x>2)＝x－2＋＋2≥2＋2＝4.
当且仅当x－2＝
即(x－2)2＝1，∵x>2，∴x－2>0，
∴x－2＝1，即a＝3.
3．(文)(2011·江西理，4)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
[答案]　C
[解析]　因为f(x)＝x2－2x－4lnx，
∴f′(x)＝2x－2－＝>0，
即，解得2(理)(2011·安徽理，4)设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为(　　)
A．1，－1 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
[答案]　B
[解析]　不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域如图所示，当目标函数z＝x＋2y过点(0，－1)，(0,1)时，分别取最小和最大值，所以x＋2y的最大值和最小值分别为2，－2，故选B.
4．(2011·西城抽样)若bA.> B．|a|>|b|
C.＋>2 D．a＋b>ab
[答案]　C
[解析]　－＝<0，A选项错；b－a>0?|b|>|a|，B选项错；＋＝||＋||≥2，由于≠，所以等号不成立，C选项正确；a＋b<0且ab>0，D选项错．故选C.
5．(2011·深圳二模)设a>0，b>0，则以下不等式中，不恒成立的是(　　)
A．(a＋b)(＋)≥4 B.>
C.<＋ D．aabb≥abba
[答案]　B
[解析]　当0不成立，所以B不恒成立；由(a＋b)(＋)＝2＋＋≥4(当且仅当a＝b时取等号)可知，A恒成立；由＝＋<＋，可知C恒成立；
＝aa－b()a－b＝()a－b，无论a，b的大小关系如何，上式恒大于等于1，故D恒成立．
6．(2011·北京文，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
[答案]　B
[解析]　由题意知仓储x件需要的仓储费为，所以平均费用为y＝＋≥2＝20，当且仅当x＝80等号成立．
7．(文)(2011·福建文，10)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
[答案]　D
[解析]　f′(x)＝12x2－2ax－2b＝0的一根为x＝1，
即12－2a－2b＝0.∴a＋b＝6，
∴ab≤()2＝9，当且仅当a＝b＝3时“＝”号成立．
(理)(2010·重庆理，7)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)
A．3 B．4
C. D.
[答案]　B
[解析]　∵2xy＝8－(x＋2y)，
故8－(x＋2y)≤()2，
当且仅当即时等号成立．
∴(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0
解得x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍去)
∴x＋2y的最小值为4.
8．(2011·银川三模)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
[答案]　D
[解析]　设F(x)＝f(x)g(x)，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数．由F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，故可知当x<0时，F(x)为增函数，因为g(－3)＝0，所以F(－3)＝0，故由奇函数图像关于原点对称，可画出其模拟图形，如图所示．易于判断满足f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．
二、填空题
9．已知关于x的不等式<0的解集是(－∞，－1)∪(－＋∞)，则a＝________.
[答案]　－2
[解析]　由于不等式<0的解集是(－∞，－1)∪(－，＋∞)，故－应是ax－1＝0的根．∴a＝－2.
10．若不等式≤k(x＋2)－的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.
[答案]　
[解析]　令y1＝，y2＝k(x＋2)－，
在同一个坐标系中作出其图像．
因≤k(x＋2)－的解集为[a，b]且b－a＝2，
结合图像知b＝3，a＝1，即直线与圆的交点坐标为(1，2)．
∴k＝＝.
11．(2011·陕西文，12)如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．
[答案]　1
[解析]　设z＝2x－y，求z的最小值，即求直线z＝2x－y过可行域时截距的最大值．由于直线AB斜率kAB＝<2，所以当z＝2x－y过A点时2x－y最小，此时2x－y＝2×1－1＝1.
12．(文)(2011·天津文，12)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．
[答案]　18
[解析]　∵log2a＋log2b≥1
∴log2ab≥1，ab≥2.
∴a·2b≥4，∴a＋2b≥2≥4(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)
3a＋9b＝3a＋32b≥2＝2≥2＝18.
(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)
(理)(2011·浙江理，16)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
[答案]　
[解析]　令2x＋y＝t，则y＝t－2x，
代入4x2＋y2＋xy＝1，得：6x2－3tx＋t2－1＝0，
由Δ＝9t2－24(t2－1)≥0，得：
t2≤，∴－≤t≤.
∴t的最大值为.
三、解答题
13．(2011·宁夏三模)实数a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0对任意x∈R恒成立？
[解析]　(1)当a2－1＝0时，a＝±1，若a＝1，原不等式化为－1<0，显然恒成立；若a＝－1，原不等式化为2x－1<0，显然不恒成立，不合题意．
(2)当a2－1≠0时，函数y＝(a2－1)x2－(a－1)x－1是二次函数，图像为抛物线，结合图像可知要使不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0对任意x∈R恒成立，须
，解得－综上可知，当－14．(2009·湖北)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
[解析]　(1)如图，设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝，
所以y＝225x＋－360(x＞0)．
(2)∵x＞0，∴225x＋≥2＝10800.
∴y＝225x＋－360≥10440.
当且仅当225x＝时，等号成立．
即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440 元．
15．(2011·南京市调研)已知函数f(x)＝(x＞0)，
(1)指出f(x)的单调区间，并进行证明；
(2)若x＞0时，不等式f(x)≥x恒成立，求实数a的取值范围．
[分析]　(1)函数的单调性、单调区间的确定一般用导数或单调性定义；(2)用均值不等式求解．
[解析]　(1)解法一：∵f(x)＝x＋－a(x＞0)
∴f ′(x)＝1－＝(x＞0)．
令f ′(x)＞0则x2－2＞0(x＞0)∴x∈(，＋∞)．
令f ′(x)＜0则x2－2＜0(x＞0)∴x∈(0，)．
∴f(x)的增区间为(，＋∞)，减区间为(0，)．
解法二：f(x)＝＝x＋－a(x＞0)，
f(x)在(0，]上为减函数，在[，＋∞) 上为增函数．
设0＜x1＜x2≤，
则f(x1)－f(x2)＝(x1＋－a)－(x2＋－a)
＝(x1－x2)＋(－)＝.
因为0＜x1＜x2≤，所以x1－x2＜0,0＜x1x2＜2，
所以f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．
故f(x)在(0，]上为减函数，得证．
同理可证，f(x)在[，＋∞)上为增函数．
(2)由f(x)≥x，有x＋－a≥x，x＋－a≥0，
因为x＞0，所以x＋≥2＝2(当且仅当x＝2时取等号)．
要使不等式f(x)≥x对x＞0恒成立，
只需2－a≥0，所以a≤2即为所求．
专题7第2讲 推理与证明
一、选择题
1．下面哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适(　　)
A．三角形　　　　　　　 B．平行四边形
C．梯形 D．矩形
[答案]　B
[解析]　因为平行六面体的侧面和底面都是平行四边形，故选B.
2．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是(　　)
A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误 D．①的假设错误；②的假设正确
[答案]　D
[解析]　反证法的实质是命题的等价性，因为命题p与命题的否定?p真假相对，故直接证明困难时，可用反证法．故选D.
3．(2011·山东潍坊)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)则P、Q的大小关系是(　　)
A．P>Q B．P＝Q
C．P[答案]　C
[解析]　∵要证P即证：2a＋7＋2<2a＋7＋2，
即证：a2＋7a∵0<12成立，∴P4．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提．其中正确的命题是(　　)
A．①②　 　 B．②④　 　
C．①③　 　 D．②③
[答案]　C
[解析]　大前提是增函数的定义，小前提是函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义．
5．如图是今年元宵花灯展中的一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是(　　)
[答案]　A
[解析]　可以从单独的一个小三角形闪烁找规律，如图所示，其按顺时针方向旋转且间隔一个小三角形闪烁，且周期为5，因此第4次闪烁为A图，故应选A.
6．(文)(2011·浙江五校联考)观察下图：
1
2　3　4
3　4　5　6　7
4　5　6　7　8　9　10
…………
则第(　　)行的各数之和等于20112.(　　)
A．2010 B．2009
C．1006 D．1005
[答案]　C
[解析]　由题设图知，第一行各数和为1；第二行各数和为9＝32；第三行各数和为25＝52；第四行各数和为49＝72；…，∴第n行各数和为(2n－1)2，令2n－1＝2011，解得n＝1006.
(理)(2011·江西理，7)观察下列各式：55＝3125, 56＝15625, 57＝78125，…，则52011 的末四位数字为(　　)
A．3125 B．5625
C．0625 D．8125
[答案]　D
[解析]　因为58＝390625,59＝1953125.
2011＝502×4＋3，故52011的末四位数字为8125，故选D.
7．(2011·皖南八校联考)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈(0,1)(i＝0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是(　　)
A．11010 B．01100
C．10111 D．00011
[答案]　C
[解析]　对于选项C，传输信息是10111，对应的原来的信息是011，由题目里的约定计算h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，这时传输信息应是10110.
8．(2011·北京宣武二模)如图，一个质点在第一象限运动，在第一秒钟它由原点运动到点(0,1)，而后按图所示在与x轴、y轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么经过2000秒后，这个质点所处的位置的坐标是(　　)
A．(24,24) B．(24,44)
C．(44,24) D．(44,44)
[答案]　C
[解析]　第一、二、三、…个正方形边长分别是1,2,3，…，故走完第一、二、三、…个正方形分别用时3,5,7，…秒．
由3＋5＋7＋…＋(2n＋1)<2000，∴n<44.
走完前43个正方形共用时3＋5＋7＋…＋87＝1935(秒)，此时动点坐标为(0,43)．
再走65秒后，动点坐标为(44,24)．
二、填空题
9．(2011·菏泽市二模)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a3＝________，a1·a2·a3·…·a2012＝________.
[答案]　－　1
[解析]　法一：分别求出a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，
可以发现a5＝a1，且a1·a2·a3·a4＝1，
故a1·a2·a3·…·a2012＝(a1a2a3a4)503＝1.
法二：由an＋1＝联想到两角和的正切公式，
设a1＝2＝tanθ，
则有a2＝tan(＋θ)，
a3＝tan(＋θ)，
a4＝tan(π＋θ)，a5＝tan(π＋θ)＝a1，…
则a1·a2·a3·a4＝1，故a1·a2·a3·…·a2012＝(a1a2a3a4)503＝1.
10．若三角形内切圆的半径为r，三边长为a、b、c，则三角形的面积等于S＝r(a＋b＋c)，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R，四个面的面积分别是S1、S2、S3、S4，则四面体的体积V＝________.
[答案]　R(S1＋S2＋S3＋S4)
[解析]　找出它们的相似可比性和对应关系，即可得答案．
11．(文)(2011·陕西文，13)观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第五个等式应为______________________．
[答案]　5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
[解析]　依据前4个等式的规律，第n个等式左侧是从n开始的2n－1个自然数的和，右侧是(2n－1)2，所以第五个等式是5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.
(理)(2011·陕西理，13)观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第n个等式为________．
[答案]　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
12．(文)(2011·浙江五校联考)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)、(2)、(3)、(4)为她们的刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝________.
[答案]　61
[解析]　f(1)＝1，f(2)＝1＋3＋1＝5，f(3)＝1＋3＋5＋(1＋3)＝9＋4＝13，
f(4)＝1＋3＋5＋7＋(1＋3＋5)＝16＋9＝25，
f(5)＝1＋3＋5＋7＋9＋(1＋3＋5＋7)＝25＋16＝41，
f(6)＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋(1＋3＋5＋7＋9)＝36＋25＝61.
(理)(2011·汕头一检)在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于点E，则得到的类比的结论是________________．
[答案]　＝
[解析]　在△ABC中，作ED⊥AC于D，EF⊥BC于F，则ED＝EF，
∴＝＝.
类比：由题意知E到平面ADC与平面BCD的距离相等，则
＝，而－＝＝.
∴＝.
三、解答题
13．若x，y都是正实数，且x＋y>2，
求证：<2和<2中至少有一个成立．
[证明]　假设<2和<2都不成立，
则有≥2和≥2同时成立．
因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，
这与已知条件x＋y>2矛盾，
因此<2和<2中至少有一个成立．
14．(文)观察下列三角形数表
假设第n行的第二个数为an(n≥2，n∈N*)，
(1)依次写出第六行的所有6个数字；
(2)归纳出an＋1与an的关系式并求出an的通项公式．
[解析]　(1)第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,16,6.
(2)依题意an＋1＝an＋n(n≥2)，
a2＝2，
an＝a2＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝2＋2＋3＋…＋(n－1)
＝2＋，
所以an＝n2－n＋1(n≥2)．
(理)已知a>0，求证：－≥a＋－2.
[解析]　证明：要证－≥a＋－2，
只需证＋2≥a＋＋.
∵a>0，故只需证(＋2)2≥(a＋＋)2，
即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2(a＋)＋2，
从而只需证2≥(a＋)，
只需证4(a2＋)≥2(a2＋2＋)，即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
15．(文)已知a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝1，求证：
①a2＋b2＋c2≥；
②＋＋≤.
[解析]　证明：①∵a＋b＋c＝1，∴(a＋b＋c)2＝1.
∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.　　(*)
又2ab≤a2＋b2,2bc≤b2＋c2,2ca≤c2＋a2，
∴2ab＋2bc＋2ca≤2(a2＋b2＋c2)．
∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)．
所以由(*)可得a2＋b2＋c2≥.
②∵a、b、c∈R＋，
∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2.
∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)．
∴a＋b＋c＋2＋2＋2≤3(a＋b＋c)＝3.
∴(＋＋)2≤3，∴＋＋≤.
(理)已知数列{an}的各项都是正数，且满足a0＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N.
(1)证明an(2)求数列{an}的通项公式an.
[解析]　(1)用数学归纳法证明：
1°当n＝1时，a0＝1，a1＝a0(4－a0)＝，
∴a02°假设n＝k时，有ak－1则n＝k＋1时，ak－ak＋1
＝ak－1(4－ak－1)－ak(4－ak)
＝2(ak－1－ak)－(ak－1－ak)(ak－1＋ak)
＝(ak－1－ak)(4－ak－1－ak)．
而ak－1－ak<0,4－ak－1－ak>0，∴ak－ak＋1<0.
又ak＋1＝ak(4－ak)＝[4－(ak－2)2]<2，
∴n＝k＋1时命题正确．
由1 °、2°，知对一切n∈N时有an(2)解：下面来求数列的通项：an＋1＝an(4－an)＝[－(an－2)2＋4]，∴2(an＋1－2)＝－(an－2)2.
令bn＝an－2，则bn＝－b
＝－(－b)2＝－·()2bn－222
＝…＝－()1＋2＋…＋2n－1bn，
又b0＝－1，∴bn＝－()2n－1，
即an＝2＋bn＝2－()2n－1.
专题7第3讲 算法与复数
一、选择题
1．(2011·大纲全国卷理，1)复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1＝(　　)
A．－2i　　　　　　 　　 B．－i
C．i D．2i
[答案]　B
[解析]　＝1－i，∴z·－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.
2．(2011·福建文，5)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是(　　)
A．3 B．11
C．38 D．123
[答案]　B
[解析]　根据赋值语句“a＝a2＋2”及初值a＝1得输出的a为11，共循环2次．
3．(2011·江南十校联考)阅读如图所示的程序框图，则输出的S＝(　　)
A．45 B．35
C．21 D．15
[答案]　D
[解析]　当i＝1时，T＝1，S＝1；当i＝2时，T＝3，S＝3；当i＝3时，T＝5，S＝15；当i＝4时，输出S，故输出的S＝15，故选D.
4．(文)(2011·广东文，1)设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．－i B．i
C．－1 D．1
[答案]　A
[解析]　z＝＝＝－i.
(理)(2011·广东理，1)设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．2＋2i D．2－2i
[答案]　B
[解析]　∵(1＋i)z＝2，∴z＝＝＝1－i，选B.
5．(2011·辽宁理，6)执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是(　　)
A．8 B．5
C．3 D．2
[答案]　C
[解析]　k＝1时，p＝1，k＝2时，p＝2，k＝3时，p＝3.
6．(文)(2011·海南五校联考)复数z满足zi＝1＋3i，则z在复平面内所对应的点的坐标是(　　)
A．(1，－3) B．(－1,3)
C．(－3,1) D．(3，－1)
[答案]　D
[解析]　∵zi2＝(1＋3i)i＝－3＋i，即－z＝－3＋i，
∴z＝3－i，故复数z在复平面内对应的点为(3，－1)．
(理)(2011·济南三模)复数z＝(i是虚数单位)在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　B
[解析]　由z＝＝＝－＋i，得其在复平面上对应的点为(－，)，故应选B.
7．(文)(2011·新课标理，3)执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是(　　)
A．120 B．720
C．1440 D．5040
[答案]　B
[解析]　当输入的N是6时，由于k＝1，p＝1，因此p＝p·k＝1.此时k＝1，满足k<6，故k＝k＋1＝2.
当k＝2时，p＝1×2，此时满足k<6，故k＝k＋1＝3.
当k＝3时，p＝1×2×3，此时满足k<6，故k＝k＋1＝4.
当k＝4时，p＝1×2×3×4，此时满足k<6，故k＝k＋1＝5.
当k＝5时，p＝1×2×3×4×5，此时满足k<6，故k＝k＋1＝6.
当k＝6时，p＝1×2×3×4×5×6＝720.
此时k<6不再成立，因此输出p＝720.
[评析]　本小题考查对算法的循环结构程序框图的理解与应用，考查分析、解决问题的能力．本题的程序框图的功能是计算p＝1×2×3×…的值，难度较小．
(理)(2011·温州三模)已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是(　　)
A. B．－1
C．2 D．1
[答案]　A
[解析]　由于i＝1，a＝2；i＝2，a＝；i＝3，a＝－1；i＝4，a＝2；…，由此规律可知，i＝3k＋1，a＝2；i＝3k＋2，a＝；i＝3k＋3，a＝－1，其中，k∈N.从而可知当i＝20时，a＝.
8．(文)(2011·新课标文，2)复数＝(　　)
A．2－i B．1－2i
C．－2＋i D．－1＋2i
[答案]　C
[解析]　“去分母”的方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．
＝＝＝i－2，选C.
(理)(2011·陕西理，7)设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－|<，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为(　　)
A．(0,1) B．(0,1]
C．[0,1) D．[0,1]
[答案]　C
[解析]　y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x|，∴0≤y≤1.
|x－|＝|x＋i|＝<.
∴x2<1，∴－1二、填空题
9.(2011·福建理，11)运行如图所示的程序，输出的结果是________．
[答案]　3
[解析]　由于a＝1，b＝2，a＝a＋b＝1＋2＝3.
10．(2011·江苏，3)设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则z的实部是________．
[答案]　1
[解析]　∵z＋1＝＝2＋3i，∴z＝1＋3i.
复数z的实部为1.
11．(文)(2011·湖南文，11)若执行如下图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝4，x4＝8，则输出的数等于________．
[答案]　
[解析]　由循环结构知x＝x1＋x2＋x3＋x4＝15时循环结束，所以输出x＝.
(理)(2011·湖南理，13)若执行如下图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝3，＝2，则输出的数等于________．
[答案]　
[解析]　本题的功能为求x1，x2，x3的方差．
S＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝.
12．(2011·江西理，13)下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．
[答案]　10
[解析]　n＝1，S＝0＋(－1)1＋1＝0，
n＝2时，S＝0＋(－1)2＋2＝3，n＝3时，S＝3＋(－1)3＋3＝5，n＝4时，S＝5＋(－1)4＋4＝10>9，故运行输出结果为10.
三、解答题
13．设计算法求：＋＋＋…＋的值，要求画出程序框图．
[解析]　这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法；程序框图如下图所示．
14．甲、乙两人玩游戏，规则如流程框图所示，求甲胜的概率．
[解析]　由题意知“甲胜”意味着两次取出的都是红球，因为袋里有3红1白四个球，把3个红球记为a1，a2，a3,1个白球记为b，两次取球的不同结果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)，共12种情况，
其中“两次取出的都是红球”的不同结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a3，a1)，(a3，a2)，共6种情况，所以甲胜的概率是P＝＝.
15．(2011·山东淄博质检改编)已知z∈C，且z＝(t∈R)，求复数z对应的点的轨迹．
[解析]　设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，
∴x＋yi＝＝＝.
据复数相等，可得
①2＋②2得：x2＋y2＝1.③
由①②可知，x、y是③的解，但是否是曲线上的点呢？我们可通过求x或y的范围来考虑．
由①得：t2＝≥0，
即，
∴－1＜x≤1.
而由③得：y＝1－x2≥0，
∴－1≤x≤1.
综上所求轨迹应是单位圆，除去(－1,0)点．
专题7
1．求函数y＝的最小值．
[解析]　设t＝x2＋1，则t≥1，且x2＝t－1，
∴y＝＝
＝＝t＋＋1.
∵t≥1，∴t＋≥2＝2，
当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立．
∴当x＝0时，函数取得最小值3.
2．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
[解析]　设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，
由题意知目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．
解方程组得x＝4，y＝6.
此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
∴当x＝4，y＝6时z取得最大值．
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
3．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数．
(1)试给出f(4)、f(5)的值，并求f(n)的表达式；
(2)证明：＋＋＋…＋<.
[解析]　(1)f(4)＝37，f(5)＝61.
由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，
f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，
f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…
因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，
所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)
＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.
又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，
所以f(n)＝3n2－3n＋1.
(2)证明：当k≥2时，＝<
＝(－)．
当n＝1时，显然结论成立，
当n≥2时，＋＋＋…＋<1＋[(1－)＋(－)＋…＋(－)]
＝1＋(1－)<1＋＝.
综上，结论成立．
4．(理)在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：＋＋…＋<.
[解析]　(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.
由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由上面可得结论成立．
②假设当n＝k时，结论成立，
即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，
bk＋1＝＝(k＋2)2.
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．
(2)证明：＝<.
当n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)·(2n＋1)>2(n＋1)n.
故＋＋…＋
<＋(＋＋…＋)
＝＋(－＋－＋…＋－)
＝＋(－)<＋＝.
综上，原不等式成立．
专题8 第1讲 统计与统计案例
一、选择题
1．(2011·湛江测试)某学校进行问卷调查，将全校4200名同学分为100组，每组42人按1～42随机编号，每组的第34号同学参与调查，这种抽样方法是(　　)
A．简单随机抽样　　　　 B．分层抽样
C．系统抽样 D．分组抽样
[答案]　C
[解析]　一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．
2．(文)(2011·重庆文，4)从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)：
125　120　122　105　130　114　116　95　120　134
则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为(　　)
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
[答案]　C
[解析]　在[114.5,124.5]范围内的频数m＝4，样本容量n＝10，∴所求频率＝0.4.
(理)(2011·四川理，1)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5)　　2　　[15.5,19.5)　　4
[19.5,23.5)　　9　　[23.5,27.5)　　18
[27.5,31.5)　　11　 [31.5,35.5)　　12
[35.5,39.5)　　7　　[39.5,43.5)　　3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　因为[31.5,35.5)　12　[35.5,39.5)　7　[39.5,43.5)　3故[31.5,43.5)的概率为＝，故选B.
3．(2011·山东理，7)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额大约为(　　)
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
[答案]　B
[解析]　依题意：＝3.5，＝42，
又＝9.4，∴42＝9.4×3.5＋.
而＝9.1，∴＝9.4x＋9.1，
当x＝6时，＝65.5，故选B.
4．(2011·大连模拟)某养兔场引进了一批新品种，严格按照科学配方进行喂养，四个月后管理员称其体重(单位：kg)，将有关数据进行整理后分为五组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．根据标准，体重超过6kg属于超重，低于5kg的不够分量．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25,0.20,0.10,0.05，第二小组的频数为400，则该批兔子的总数和体重正常的频率分别为(　　)
A．1000,0.50 B．800,0.50
C．800,0.60 D．1000,0.60
[答案]　D
[解析]　第二组的频率为1－0.25－0.20－0.10－0.05＝0.40，所以兔子总数为＝1000只，体重正常的频率为0.40＋0.20＝0.60.故选D.
5．(文)(2011·江西文，7)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则(　　)
A．me＝m0＝ B．me＝m0<
C．me[答案]　D
[解析]　由图可以不难发现众数为5.中位数为＝5.5，平均值
＝＝.
(理)(2011·江西理，6)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8，3)，(12.5,2)，(13,1)，r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(　　)
A．r2C. r2<0[答案]　C
[解析]　对于第一组数据
＝＝11.75，
＝＝3.
(xi－)(yi－)＝(x1－)(y1－)＋(x2－)(y2－)…(x5－)(y5－)
＝1.75×(－2)＋(－0.45)×(－1)＋0.05×0＋0.75×1＋1.25×2＝0.2.
(xi－)2＝(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x5－)2
＝1.752＋(－0.45)2＋0.052＋0.752＋1.252＝5.3925.
(yi－)2＝(y1－)2＋(y2－)2＋…＋(y5－)2
＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10，
代入公式中有r1＝＝≈0.0282.
同理r2中(xi－)(yi－)＝－4.36<0，故r2<0，
∴r2<06．(2011·湖南理，4)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得，
K2＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
[答案]　C
[解析]　∵6.635∴我们有99%的把握认为二者有关，或者说在犯错的概率不超过1%的前提下二者有关．
7．(2011·合肥二检)甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示．
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；
③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；
④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．
上面说法正确的是(　　)
A．③④ B．①②④
C．②④ D．①③④
[答案]　A
[解析]　由茎叶图知甲同学的成绩为72,76,80,82,86,90；乙同学的成绩为69,78,87,88,92,96.故甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数，①错；计算得甲同学的平均分为81，乙同学的平均分为85，故甲同学的平均分比乙同学的平均分低，因此②错、③对；计算得甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，故④对．所以说法正确的是③④，选A.
8．(2011·东北四市联考)在2011年5月1日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：＝－3.2x＋a(参考公式：回归方程＝bx＋a，a＝－b)，则a＝(　　)
A．－24 B．35.6
C．40.5 D．40
[答案]　D
[解析]　价格的平均数是＝＝10，销售量的平均数是＝＝8，由＝－3.2x＋a知b＝－3.2，所以a＝－b＝8＋3.2×10＝40，故选D.
二、填空题
9．(2011·湖北文，11)某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市________家．
[答案]　20
[解析]　属简单题，关键是清楚每一层的抽取比例都一样是.
由于所有超市共计200＋400＋1400＝2000家，需抽取100家，则抽取比例为，
所以中型超市抽取400×＝20家．
10．(文)(2011·广东文，13)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．
[答案]　0.5　0.53
[解析]　小李这5天的平均投篮命中率＝＝0.5，可求得小李这5天的平均打篮球时间＝3.根据表中数据可求得＝0.01，＝0.47，故回归直线方程为＝0.47＋0.01x，将x＝6代入得6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53.
(理)(2011·广东理，13)某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.
[答案]　185
[解析]　设儿子身高y与父亲身高x有关系，列表如下：
父亲x
173
170
176
儿子y
170
176
182
∵＝(173＋170＋176)＝173，
＝(170＋176＋182)＝176，
iyi＝173×170＋170×176＋176×182＝91362，
＝1732＋1702＋1762＝89805，
∴＝＝1，
＝－＝176－173＝3
∴回归直线方程为＝x＋3，
∴x＝182时，＝182＋3＝185(cm)．
11．(文)(2011·西城抽样)某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取200名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有________名．
[答案]　40
[解析]　由题知，成绩大于等于80分且小于90分的学生所占的频率为1－(0.005×2＋0.025＋0.045)×10＝0.2，所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有200×0.2＝40名．
(理)(2011·福州二检)若样本a1，a2，a3，a4，a5的方差是3，则样本2a1＋3,2a2＋3,2a3＋3,2a4＋3,2a5＋3的方差是________．
[答案]　12
[解析]　若表示样本a1，a2，a3，a4，a5的均值，则样本2a1＋3,2a2＋3,2a3＋3,2a4＋3,2a5＋3的均值为2＋3.又(ai－)2＝3，
∴(2ai＋3)－(2＋3)]2＝(2ai－2)2＝12.
12．把容量为1000的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表．若前3组的频率依次构成公差为0.05的等差数列，且后7组的频率之和是0.79.则前3组中频率最小的一组的频数是________．
[答案]　20
[解析]　设前3组中频率最小的一组的频率是x.由题意得前3组的频率之和是1－0.79＝0.21，则x＋(x＋0.05)＋(x＋0.05×2)＝0.21，由此解得x＝0.02，即前3组中频率最小的一组的频率是0.02，相应的频数是0.02×1000＝20.
三、解答题
13．(2010·广东文，17)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？
(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．
[解析]　(1)由于大于40岁的42人中有27人收看新闻节目，而20至40岁的58人中，只有18人收看新闻节目，故收看新闻节目的观众与年龄有关．
(2)27×＝3，∴大于40岁的观众应抽取3名．
(3)由题意知，设抽取的5名观众中，年龄在20岁至40岁的为a1，a2，大于40岁的为b1，b2，b3，从中随机取2名，基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共十个，设恰有一名观众年龄在20至40岁为事件A，则A中含有基本事件6个：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，
∴P(A)＝＝.
14．(文)(2011·郑州二次质检)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：
60分以下
61～70分
71～80分
81～90分
91～100分
甲班(人数)
3
6
11
18
12
乙班(人数)
4
8
13
15
10
现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀．
(1)试分析估计两个班级的优秀率；
(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.
优秀人数
非优秀人数
合计
甲班
乙班
合计
参考公式及数据：K2＝，
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
[解析]　(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，
甲班优秀人数为30人，优秀率为＝60%，
乙班优秀人数为25人，优秀率为＝50%，
所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.
(2)
优秀人数
非优秀人数
合计
甲班
30
20
50
乙班
25
25
50
合计
55
45
100
因为K2＝＝≈1.010，
所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．
(理)(2011·广东广州)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图如图所示和频率分布直方图如图所示，都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此回答如下问题：
(1)求全班人数；
(2)求分数在[80,90)之间的人数；并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；
(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．
[解析]　(1)由茎叶图知，分数在[50,60)之间的频数为2，由频率分布直方图知，分数在[50,60)之间的频率为0.008×10＝0.08，
所以，全班人数为＝25(人)．
(2)分数在[80,90)之间的人数为25－2－7－10－2＝4人，分数在[80,90)之间的频率为＝0.16，
所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为＝0.016.
(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4；[90,100]之间的2个分数编号为5,6.
则在[80,100)之间的试卷中任取两份的基本事件为：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，其中至少有一个在[90,100]之间的基本事件有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是＝.
15．(2011·安徽文，20)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2002
2004
2006
2008
2010
需求量(万吨)
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝x＋；
(2)利用(1)中所求的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
[解析]　由所给数据分析，年需求量与年份之间近似直线上升，可对数据进行预处理如下表
年份－2006
－4
－2
0
2
4
需求量－257
－21
－11
0
19
29
对预处理后的数据，容易算出＝0，＝3.2
iyi＝－4×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29＝260
＝16＋4＋0＋4＋16＝40
∴＝＝＝6.5，∴＝－＝3.2
∴所求回归直线方程y－257＝6.5(x－2006)＋3.2
即y＝6.5(x－2006)＋260.2
(2)当x＝2012时，y＝6.5(2012－2006)＋260.2＝299.2万吨＝300万吨
故预测2012年粮食需求量约为300万吨．
专题8 第2讲 概率
一、选择题
1．从1,2,3,4,5,6这6个数中，不放回地任意取两个数，每次取1个数，则所取的两个数都是偶数的概率为(　　)
A.　　 　 B.　　 　
C.　　 　 D.
[答案]　D
[解析]　从1,2,3，…，6中不放回地任意取两个数：1,2；1,3；1,4；1,5；1,6；2,3；2,4；2,5；2,6；3,4；3,5；3,6；4,5；4,6；5,6，共有15种，两个数都是偶数的共有3种，故所求概率为＝.故选D.
2．(2010·北京文，3)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　该试验所有基本事件(a，b)可在平面直角坐标系中表示出来如下图．
易知所有基本事件有5×3＝15个，记“b>a”为事件A，则事件A所含基本事件有3个．
∴P(A)＝＝，故选D.
3．(文)(2011·海口调研)在一次体检中，测得4位同学的视力数据分别为4.6,4.7,4.8,4.9，若从中一次随机抽取2位同学，则他们的视力恰好相差0.2的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　利用古典概型的概率计算公式．随机抽取两位同学的等可能结果有6个，视力恰好相差0.2的结果有2个，所以视力恰好相差0.2的概率为P＝＝.
(理)(2011·广东深圳)甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x、y，则满足复数x＋yi的实部大于虚部的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　共有36种情况，当x＝6时，y有5种情况；当x＝5时，y有4种情况；当x＝4时，y有3种情况；当x＝3时，y有2种情况；当x＝2时，y有1种情况．
所以P＝＝.
4．(2011·温州测试)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　任取两球的取法有10种，取到同色球的取法有3＋1＝4种，故所求的概率是＝.
5．(2011·福建理，4)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　因为E为边CD的中点，则△AEB的面积为矩形面积的一半，故概率为P＝＝，故选C.
6．(2011·湖北理，7)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为(　　)
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
[答案]　B
[解析]　系统正常工作，则元件K正常．A1，A2至少有一个正常．
∴P＝P(K∩A1∩A2)＋P(K∩A1∩2)＋P(K∩1∩A2)
＝0.9×0.8×0.8＋0.9×0.8×0.2＋0.9×0.2×0.8
＝0.864.
7．(2011·广州综合测试)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　设任取两点所表示的数分别为x，y，则0所以所求概率为P＝＝.
8．(2010·安徽文，10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　解法1：设正方形的4个顶点为A、B、C、D，从中任选两个顶点连成直线，有AB、AC、AD、BC、BD、CD共6种不同选法，故甲、乙各从正方形四个顶点中任选两个顶点连成直线，共有基本事件6×6＝36个．
设甲、乙两人各取两个顶点连成直线，所得两条直线互相垂直的事件为M，则M所包含的基本事件如表：
甲
AB
BC
CD
AD
AC
BD
乙
BC
AD
AB
CD
AD
BC
AB
CD
BD
AC
共包含10个基本事件，∴P(M)＝＝，故选C.
解法2：(理)由条件知所有的基本事件共有C·C＝36个，设甲、乙两人各取两个顶点连成直线，所得两直线垂直为事件M，则M含有基本事件4×2＋2＝10个，
∴P(M)＝＝.
二、填空题
9．(2011·江西理，12)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
[答案]　
[解析]　＝.
10．(2011·江苏，5)从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．
[答案]　
[解析]　用枚举法可以得到基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种，其中一个为另一个两倍的有两种，所求概率大小为.
11．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为________．
[答案]　
[解析]　由题意得，先后出现的点数分别为b，c的基本事件共有36种，而满足方程x2＋bx＋c＝0有实根，即满足b2≥4c的b，c有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共19种，所以所求的概率为.
12．(文)(2010·上海理，9)从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)＝________(结果用最简分数表示)．
[答案]　
[解析]　由题意知，事件A与事件B为互斥事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(理)(2011·济南4月模拟)已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.其中实数a、b满足，则函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率是________．
[答案]　
[解析]　满足的实数在如图所示区域内
而y＝f(x)在[1，＋∞)上为增函数时，有
∴
a－2b＝0与a＋b－8＝0交于A(，)．
∴P＝＝.
三、解答题
13．(文)(2011·江西文，16)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否则测评为合格．假设此人对A和B饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
[解析]　将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)(235)，(245)，(345)
可见共有10种
令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则
(1)P(D)＝，
(2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝.
(理)(2011·重庆文，17)某市公租房的房源位于A、B、C三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．求该市的任4位申请人中：
(1)没有人申请A片区房源的概率；
(2)每个片区的房源都有人申请的概率．
[解析]　(1)四位申请人所有的申请方式有34种
令事件A＝“没有人申请A片区房源”，则A所含基本事件数为24，由古典概型
∴P(A)＝＝.
(2)设事件B＝“每个片区的房源都有人申请”，则B含基本事件数为C·A＝6×3×2＝36
∴P(B)＝＝.
14．(文)(2011·天津文，15)编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
得分
15
35
21
28
25
36
18
34
运动员编号
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
得分
17
26
25
33
22
12
31
38
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：
区间
[10,20)
[20,30)
[30,40]
人数
(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人．
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果．
②求这2人得分之和大于50的概率．
[解析]　(1)4,6,6.
(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所以可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．
②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种．
所以P(B)＝＝.
(理)(2011·大纲全国卷文，19)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
[解析]　设车主购买甲种保险为事件A，购买乙种保险但不购买甲种保险为事件B，则
P(A)＝0.5，P(B)＝0.3
(1)该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种为事件A∪B
∴A，B互斥
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8
即该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.
(2)两种保险都不买为事件
∴P()＝1－P(A∪B)＝1－0.8＝0.2
3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为P＝C×(0.2)×(0.8)2＝0.384.
15．(文)(2011·山东文，18)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
[解析]　记甲校的两名男教师为A1，A2,1名女教师为B1，记乙校的1名男教师为A3，两名女教师为B2，B3.
(1)从甲校、乙校各选1名教师的所有可能结果为(A1，A3)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，共9种，其中性别相同的选法为：(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，共4种，所求概率为P＝.
(2)从报名的6名教师中任选2名，所有结果为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，A3)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，A3)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B2，B3)，共15种，来自同一学校的情况有(A1，A2)，(A1，B1)，(A2，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B2，B3)，共6种，则所求概率为P＝＝.
(理)(2011·广州模拟)已知直线l1：x－2y－1＝0，直线l2：ax－by＋1＝0，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}．
(1)求直线l1∩l2＝?的概率；
(2)求直线l1与l2的交点位于第一象限的概率．
[解析]　(1)直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝.
设事件A为“直线l1∩l2＝?”．
a，b∈{1,2,3,4,5,6}的总事件数为(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，…，(5,6)，(6,6)共36种．
若l1∩l2＝?，则l1∥l2，即k1＝k2，即b＝2a.
满足条件的实数对(a，b)有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三种情况．
所以P(A)＝＝.
(2)设事件B为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，由于直线l1与l2有交点，则b≠2a.
联立方程组，解得.
∵l1与l2的交点位于第一象限，
∴，
∵a、b∈{1,2,3,4,5,6}，∴b>2a.
∴总事件数共36种，满足b>2a的事件有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种，
∴P(B)＝＝.
专题8 第3讲 随机变量及其分布列（理）
一、选择题
1．(2011·广东理，6)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)
A.　　 　 B.　　 　
C.　　 　 D.
[答案]　D
[解析]　甲获得冠军包括两种情况：在接下来的比赛中，第一局甲赢和第一局甲没赢，第二局甲赢．
∴P＝＋×(1－)＝，选D.
2．(2011·湖北理，5)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(　　)
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
[答案]　C
[解析]　∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝0.2，又μ＝2，∴P(0<ξ<2)＝P(2<ξ<4)＝0.5－P(ξ≥4)＝0.5－0.2＝0.3.
3．(2010·新课标全国理，6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)
A．100 B．200
C．300 D．400
[答案]　B
[解析]　本题以实际问题为背景，考查服从二项分布的事件的数学期望等．
记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000,0.1)，所以Eξ＝1 000×0.1＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2Eξ＝200，故选B.
4．(2010·辽宁理，3)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个是一等品的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　恰有一个一等品即一个是一等品，另一个不是，则情形为两种，即甲为一等品，乙不是或乙为一等品甲不是，
∴P＝×＋×＝，故选B.
5．已知随机变量的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2…，则P(2A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　P(2＝＋＝.
6．设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表所示，
X
－1
0
1
P
1－2q
q2
则q＝(　　)
A．1 B．1±
C．1＋ D．1－
[答案]　D
[解析]　由＋(1－2q)＋q2＝1，
得q2－2q＋＝0.解得q＝1±.
由于0≤1－2q≤1,0≤q2≤1，∴q＝1＋不合条件．故选D.
7．随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列．若EX＝，则DX的值是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　a＋b＋c＝1.
又∵2b＝a＋c，故b＝，a＋c＝.
由EX＝得＝－a＋c，故a＝，c＝.
DX＝(－1－)2×＋(0－)2×＋(1－)2×＝.
8．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率为(　　)
A．0.72 B.
C．0.36 D.
[答案]　A
[解析]　设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：
P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.
根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.故选A.
二、填空题
9．(2010·重庆理，13)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．
[答案]　
[解析]　设此队员每次罚球的命中率为P，则1－P2＝，∴P＝.
10．(2011·上海理，9)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：
x
1
2
3
P(ξ＝x)
？
！
？
请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝________.
[答案]　2
[解析]　∵Eξ＝1×？＋2×！＋3×？＝4×？＋2×！＝2(2×？＋！)
由性质知2×？＋！＝1，∴Eξ＝2.
11．(2011·浙江理，15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)________．
[答案]　
[解析]　设该毕业生得到丙公司面试的概率为q，则
P(X＝1)＝(1－p)(1－q)＋p(1－q)＋
(1－p)q＝－p－q
P(X＝2)＝p(1－q)＋(1－p)q＋pq
＝p＋q－pq
P(X＝3)＝pq
∵P(X＝0)＝，∴(1－p)(1－q)＝，
∴(1－p)(1－q)＝，∴p＋q－pq＝，取p＝q＝，
得：E(X)＝＋2×＋3×＝，应填.
12．(2010·安徽理，15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P(B)＝；
②P(B|A1)＝；
③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
[答案]　②④
[解析]　由条件概率知②正确．④显然正确．而且P(B)＝P(B∩(A1∪A2∪A3))
＝P(B∩A1)＋P(B∩A2)＋P(B∩A3)
＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝·＋·＋·＝.
故①③⑤不正确．
三、解答题
13．(2011·江西理，16)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定位3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求X的分布列；
(2)求此员工月工资的期望．
[解析]　(1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4
P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3,4)
即
X
0
1
2
3
4
P
(2)令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100,2800,3500
则P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝
P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝
P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝
EY＝3500×＋2800×＋2100×＝2280.
所以新录用员工月工资的期望为2280元．
14．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；
(2)设X表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求X的分布列及数学期望．
[解析]　设Ai表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5，
Bj表示事件：第j局乙获胜：j＝3,4.
(1)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．
因前2局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲胜2局，从而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5，
由于各局比赛结果相互独立，故
P(B)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A4)
＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.
(2)X的可能取值为2,3.
由于各局比赛结果相互独立，所以
P(X＝2)＝P(A3·A4＋B3·B4)
＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)
＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－0.52＝0.48.
X的分布列为
X
2
3
P
0.52
0.48
EX＝2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)
＝2×0.52＋3×0.48＝2.48.
15．(2011·四川理，18)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时部分每小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点则车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.
[解析]　(1)由题意得，甲、乙在三个小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.
设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则
P(A)＝×＋×＋×＝.
答：甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.
P(ξ＝0)＝×＝；
P(ξ＝2)＝×＋×＝；
P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝；
P(ξ＝6)＝×＋×＝；
P(ξ＝8)＝×＝.
甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为
ξ
0
2
4
6
8
P
所以Eξ＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.
专题8 第4讲排列、组合与二项式定理（理）
一、选择题
1．从10名大学毕业生中选3人，担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)
A．85　　　　 B．56　　　　
C．49　　　　 D．28
[答案]　C
[解析]　丙不入选的选法有C＝＝84(种)，
甲乙丙都不入选的选法有C＝＝35(种)．
所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84－35＝49种．
2．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有(　　)
A．504种 B．960种
C．1008种 D．1108种
[答案]　C
[解析]　甲、乙相邻的所有方案有AA＝1440种；其中丙排在10月1日的和丁排在10月7日的一样多，各有：AA＝240种，其中丙排在10月1日且丁排在10月7日的有4AA＝48种，故符合题设要求的不同安排方案有：1440－2×240＋48＝1008种，故选C.
3．(2011·陕西二检)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中含有1门相同的选法有(　　)
A．6种 B．12种
C．16种 D．24种
[答案]　D
[解析]　第一步，选出1门作为甲、乙两人相同的选修课程，不同的选择方法有C种；第二步，再从剩下的3门中任选2门分别给甲、乙两人，不同的选择方法有A种，由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有CA＝24种．故选D.
4．(2011·福建理，6)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　)
A．80 B．40
C．20 D．10
[答案]　B
[解析]　(1＋2x)5展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr，令r＝2得T3＝40x2，∴x2的系数为40，故选B.
5．(2011·陕西理，4)(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是(　　)
A．－20 B．－15
C．15 D．20
[答案]　C
[解析]　Tr＋1＝C(4x)6－r·(－2－x)r
＝C(－1)r2(12－3r)x
令12－3r＝0，∴r＝4，∴T5＝C＝15.
6．(2011·江南十校联考)若(x2－)9(a∈R)的展开式中x9的系数是－，则sinxdx等于(　　)
A．1－cos2 B．2－cos1
C．cos2－1 D．1＋cos2
[答案]　A
[解析]　由题意得Tr＋1＝C(x2)9－r(－1)r()r
＝(－1)rCx18－3r，令18－3r＝9得r＝3，
所以－C＝－，解得a＝2，
所以sinxdx＝(－cosx)|＝－cos2＋cos0＝1－cos2.
7．(2011·大纲全国卷文，9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(　　)
A．12种 B．24种
C．30种 D．36种
[答案]　B
[解析]　从4人中任选2个选修甲课程共有C＝6种选法．
其余2人各自从乙、丙课程中任选1门有C·C＝4种选法，根据分步计数原理共有6×4＝24种选法．
8．(2011·新课标卷理，8)(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　　)
A．－40 B．－20
C．20 D．40
[答案]　D
[解析]　依题意：(1＋a)(2－1)5＝2，得a＝1.
所以(x＋)(2x－)5＝x(2x－)5＋(2x－)5.
∴xC(2x)5－r(－)r＝(－1)r25－r·Cx6－2x，
∴r＝3时，得常数(－1)323C＝－40，
∴C(2x)5－r(－)5＝(－1)r·25－rCx4－2r，
∴r＝2时得常数(－1)2·22C＝80.
所以常数项为80－40＝40，故选D.
二、填空题
9．(2011·安徽理，12)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.
[答案]　0
[解析]　a10＝C(－1)11＝－C，a11＝C(－1)10＝C，所以a10＋a11＝C－C＝C－C＝0.
10．(2011·北京理，12)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
[答案]　14
[解析]　依题意：①一个2三个3的四位数有4个；②两个2两个3的四位数有C＝6个；③三个2一个3的四位数有4个，合计14个．
11．(2011·山东泰安)从集合{O，P，Q，R，S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是________(用数字作答)．
[答案]　8424
[解析]　问题分为两类：一类是字母O、Q和数字0出现一个，则有(C·C·C＋C·C)·A种；另一类是三者均不出现，则有C·C·A种．故共有(CCC＋C·C＋C·C)·A＝8424种．
12．(2011·山东理，14)若(x－)6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
[答案]　4
[解析]　依题意，通项Tr＋1＝Cx6－r·(－)r
＝(－1)r·Cx6－3r·a.
当r＝2时，为常数项，此时有：C·a＝60，∴a＝4.
三、解答题
13．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种选法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？
[解析]　(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有CCC×A＝144种．
(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．
(3)确定2个空盒有C种方法．
4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有CC12种方法；第二类有序均匀分组有·A种方法．
故共有C(CCA＋·A)＝84种．
14．在二项式(＋)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项．
[解析]　∵二项展开式的前三项的系数分别是1，，n(n－1)，
∴2·＝1＋n(n－1)，
解得n＝8或n＝1(不合题意，舍去)．
∴Tk＋1＝Cx()k＝C2－kx4－k.
当4－k∈Z时，Tk＋1为有理项，
∵0≤k≤8且k∈Z，∴k＝0,4,8符合要求．
故有理项有3项，分别是
T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.
∵n＝8，∴展开式中共9项，
中间一项即第5项的二项式系数最大．T5＝x.
15．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数．
(1)可组成多少个不同的四位数？
(2)可组成多少个不同的四位偶数？
(3)可组成多少个能被3整除的四位数？
[解析]　(1)直接法：A·A＝300；间接法：A－A＝300；
(2)由题意知四位数个位数上必须是偶数；同时暗含了首位不能是0，因此该四位数的个位和首位是“特殊位置”，应优先处理；另一方面，0既是偶数，又不能排在首位，属“特殊元素”应重点对待．
解法一(直接法)：0在个位的四位偶数有A个；0不在个位时，先从2,4中选一个放在个位，再从余下的四个数(不包括0)中选一个放在首位，应有A·A·A个．
综上所述，共有A＋A·A·A＝156个．
解法二(间接法)：从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法．有A·A，其中第一位是0的有A·A个，故适合题意的数有A·A－A·A＝156个．
(3)各位数字之和是3的倍数的数能被3整除，符合题意有：
①含0、3则需1,4和2,5各取1个，可组成C·C·C·A；
②含0或3中一个，均不适合题意；
③不含0、3，由1,2,4,5可组成A个，所以共有C·C·C·A＋A＝96个．
专题8
1．(2011·湖南文，18)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：
140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
[解析]　(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)
＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝＋＋＝.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或越过530(万千瓦时)的概率为.
2．(文)设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
[解析]　设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共12个：
(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为
P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率为＝＝.
(理)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；
(2)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．
[解析]　考虑甲、乙两个单位的排列．
甲、乙两单位可能排列在6个位置，所以共有A＝30种可能结果．
(1)设A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，
则A包含的结果为A＝6种，
故所求概率P(A)＝＝.
(2)设B表示“甲、乙两单位演出序号不相邻”，
则表示“甲乙两单位序号相邻”，包含的结果有C×A＝10种
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
答：甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率为.甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率为.
3．(文)(2011·福建文，19)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
b
c
(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
[解析]　(1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35
又由b＝＝0.15，c＝＝0.1得a＝0.1
即：a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，所有可能结果为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}共10种结果．
设A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取2件其等级系数相等”则A包含的基本事件为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}4个．
所以p(A)＝＝0.4.
(理)(2011·惠州一模)袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数．
(1)求随机变量ξ的分布列；
(2)求随机变量ξ的数学期望与方差．
[解析]　(1)随机变量ξ可能的值为2,3,4，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
2
3
4
P
(2)随机变量ξ的数学期望为：Eξ＝2×＋3×＋4×＝.
随机变量ξ的方差为：Dξ＝(2－)2×＋(3－)2×＋(4－)2×＝.
4．(2011·福建模拟)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下：
甲　82　82　79　95　87
乙　95　75　80　90　85
(1)用茎叶图表示这两组数据；
(2)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；
(3)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．
[解析]　(1)作出茎叶图如下：
(2)记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对(x，y)表示基本事件：
(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，
(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，
(79,95)(79,75)，(79,80)，(79,90)，(79,85)，
(95,95)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，
(87,95)，(87,75)，(87,80)，(87,90)，(87,85)．
基本事件总数n＝25.
记“甲的成绩比乙高”为事件A，事件A包含的基本事件：
(82,75)，(82,80)，(82,75)，(82,80)，
(79,75)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，
(95,85)，(87,75)，(87,80)，(87,85)．
事件A包含的基本事件数m＝12.
所以P(A)＝＝.
(3)派甲参赛比较合适．理由如下：
甲＝(70×1＋80×3＋90×1＋9＋2＋2＋7＋5)＝85，
乙＝(70×1＋80×2＋90×2＋5＋0＋5＋0＋5)＝85，
s＝[(79－85)2＋(82－85)2＋(82－85)2＋(87－85)2＋(95－85)2]＝31.6，
s＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(95－85)2]＝50.
∵甲＝乙，s∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
5．(2011·九江模拟)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x(℃)
10
11
13
12
8
发芽数y(颗)
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
[解析]　(1)设事件A表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．基本事件总数为10，事件包含的基本事件数为4.
∴P()＝＝，
∴P(A)＝1－P()＝.
(2)＝12，＝27，iyi＝977，＝434，
∴＝＝＝2.5，
＝－＝27－2.5×12＝－3，
∴＝2.5x－3.
(3)由(2)知：当x＝10时，y＝22，误差不超过2颗；
当x＝8时，y＝17，误差不超过2颗．
故所求得的线性回归方程是可靠的．
6．(文)某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命(单位：h)可以把这批电子元件分成第一组[100,200]，第二组(200,300]，第三组(300,400]，第四组(400,500]，第五组(500,600]，第六组(600,700]，由于工作不慎将部分数据丢失，现有如图所示的部分图表．
分组
[100，200]
(200， 300]
(300， 400]
(400， 500]
(500， 600]
(600， 700]
频数
B
30
E
F
20
H
频率
C
D
0.2
0.4
G
I
(1)求图乙中的A及表格中的B，C，D，E，F，G，H，I的值；
(2)求上图中阴影部分的面积；
(3)若电子元件的使用时间超过300h，则为合格产品，求这批电子元件合格的概率．
[解析]　(1)由题意可知0.1＝A·100，∴A＝0.001，
∵频率＝频数/总数，∴0.1＝，
∴B＝20，
∴C＝0.1，D＝0.15，E＝40，F＝80，G＝0.1，
∴H＝10，I＝0.05.
(2)阴影部分的面积0.4＋0.1＝0.5.
(3)电子元件的使用时间超过300h的共有150个，这批电子元件合格的概率P＝＝.
(理)(2011·辽宁理，19)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
(1)假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
(2)试验时每大块地分成8小块，即n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：
品种甲
403
397
390
404
388
400
412
406
品种乙
419
403
412
418
408
423
400
413
分别求出品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x1，x2，…，xn的样本方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为样本平均数．
[解析]　(1)X可能的取值为0,1,2,3,4，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
即X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
X的数学期望为
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
甲＝(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400，
s＝(32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62)＝57.25.
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
乙＝(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，
s＝(72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12)＝56.
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．
7．(理)有同样大小的9个白球和6个红球．
(1)从中选出5个球，使得红球比白球多的取法有多少种？
(2)若规定取到一个红球记1分，取到一个白球记2分，则从中取出5个球，使得总分不小于8分的取法有多少种？
[解析]　(1)5个全是红球有C种取法，4个红球、1个白球有CC种取法，3人红球、2个白球有CC种取法，所以取出的红球比白球多的取法共有C＋CC＋CC＝861(种)．
(2)要使总分不小于8分，至少需取3个白球，3白2红有CC种取法，4白1红有CC种取法，5个全是白球有C种取法，所以总数不小于8分的取法共有CC＋CC＋C＝2142(种)．
8．(理)若(＋)n展开式中前三项系数成等差数列，
求：(1)展开式中含x的一次幂的项；
(2)展开式中所有x的有理项；
(3)展开式中系数最大的项．
[解析]　由已知条件：C＋C·＝2C·，
解得n＝8.
(1)Tr＋1＝C()8－r()r＝C·2－r·x4－r，
令4－r＝1，得r＝4，
∴x的一次幂项为T4＋1＝C·2－4·x＝x.
(2)令4－r∈N(r≤8)，则只有当r＝0,4,8时，对应的项才是有理项，有理项分别为：
T1＝x4，T5＝x，T9＝.
(3)记第r项系数为tr，设第k项系数最大，
则有tk≥tk＋1且tk≥tk－1，
又t＝C·2－r＋1，于是有
即，
∴，解得3≤k≤4.
∴系数最大的项为第3项和第4项.
专题9 第1讲函数与方程思想
一、选择题
1．若函数f(x)＝x2＋(2a－2)x在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－3 B．a≤5
C．a≥3 D．a≥－3
[答案]　A
[解析]　函数对称轴为x＝1－a≥4时，f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴a≤－3.故选A.
2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是(　　)
A．k>0 B．k>－1
C．k>－2 D．k>－3
[答案]　D
[解析]　由an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋2，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.
3．设P(x，y)是椭圆x2＋4y2＝4上的一个动点，定点M(1,0)，则|PM|2的最大值是(　　)
A. B．1
C．3 D．9
[答案]　A
[解析]　|PM|2＝(x－1)2＋y2＝(x－1)2＋1－
＝x2－2x＋2＝(x－)2＋，
又∵－2≤x≤2，∴当x＝－2时，
|PM|＝3＋4＋2＝9.
4．(2011·阜阳模拟)已知对于任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是(　　)
A．13
C．12
[答案]　B
[解析]　将f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a看作是a的一次函数，记为g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4.
当a∈[－1,1]时恒有g(a)>0，只需满足条件
即
解之得x<1或x>3.
5．(2011·新课标文，10)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)
A．(－，0) B．(0，)
C．(，) D．(，)
[答案]　C
[解析]　y＝f(x)在(a，b)上单调且有零点时有f(a)f(b)<0.
依次验证选项．f＝－4<0，f(0)＝－2<0，A错，f＝e－2<0，B错．f＝e－1>0，选C.
6．(2011·南京三模)已知函数f(x)＝x，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，则an的最小值为(　　)
A．－1 B．1
C. D．－
[答案]　D
[解析]　a1＝f(1)－c＝－c，
a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，
a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－.
又数列{an}成等比数列，
所以a1＝＝＝－＝－c，所以c＝1；
又公比q＝＝，所以an＝－n－1＝－2n，n∈N*，因此，数列{an}是递增数列，n＝1时，an最小，为－，选D.
7．(2011·山东枣庄二模)方程m＋＝x有解，则m的最大值为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．－2
[答案]　A
[解析]　m＝x－，令t＝≥0，则x＝1－t2，∴m＝1－t2－t＝－(t＋)2＋≤1，故选A.
8．(2011·安徽江南十校5月质检)已知x，y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，那么(　　)
A．x＋y<0 B．x＋y>0
C．xy<0 D．xy>0
[答案]　B
[解析]　设f(x)＝2x－3－x，
因为2x，－3－x均为R上的增函数，
所以f(x)＝2x－3－x是R上的增函数．
又由2x－3－x>2－y－3y＝2－y－3－(－y)，
即f(x)>f(－y)，∴x>－y，即x＋y>0.
二、填空题
9．若关于x的方程(2－2－|x－2|)2＝2＋a有实根，则实数a的取值范围是________．
[答案]　[－1,2)
[解析]　令f(x)＝(2－2－|x－2|)2，
∵－|x－2|≤0，∴0<2－|x－2|≤1.
∵方程有实根，∴1≤2＋a<4，
解得－1≤a<2.
10．若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
[答案]　[－1,0]
[解析]　∵函数的定义域为R，即2x2－2ax－a－1≥0在R上恒成立，即x2－2ax－a≥0恒成立，
∴?＝(－2a)2－4(－a)≤0，∴－1≤a≤0.
11．(2011·江苏徐州)三棱锥P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝，M、N分别在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2CM，则当x为________时，三棱锥N－AMC的体积最大(x∈(0,3))．
[答案]　2
[解析]　AC＝3，CM＝x，∠ACM＝，
S△ACM＝·3x·sin＝x，
高ON＝OP－PN＝8－2x，
所以VN－AMC＝·S△ACM·ON
＝(4－x)x
＝－(x－2)2＋2.
即当x＝2时，三棱锥N－AMC的体积最大为2.
12．(2011·广东茂名4月质检)若数列{an}的通项公式为an＝×()n－3×()n＋()n(其中n∈N*)，且该数列中最大的项为am，则m＝________.
[答案]　2
[解析]　设()n＝t，则an＝t3－3t2＋t，且t∈(0，]，令f(t)＝t3－3t2＋t，则f′(t)＝8t2－6t＋1，令f′(t)＝0，得t1＝，t2＝，由导数知识可得t＝时，函数f(t)在区间(0，]上取得最大值，即an有最大值，再由()m＝，得m＝2.
三、解答题
13．(文)(2011·天津河西)已知函数f(x)＝2cosxcos2＋cos2x－，g(x)＝cos2x＋a(1＋cosx)－cosx－3.若y＝f(x)与y＝g(x)的图象在(0，π)内至少有一个公共点，试求a的取值范围．
[解析]　f(x)＝2cosxcos2＋cos2x－
＝cosx(cosx＋1)＋(2cos2x－1)－
＝2cos2x＋cosx－1.
y＝f(x)与y＝g(x)的图象在区间(0，π)内至少有一个公共点，即有解，令f(x)＝g(x)，
cos2x＋a(1＋cosx)－cosx－3＝2cos2x＋cosx－1，
a(1＋cosx)＝(cosx＋1)2＋1，
∵x∈(0，π)，∴0<1＋cosx<2.
∴a＝1＋cosx＋≥2.
当且仅当1＋cosx＝，即cosx＝0时“＝”成立．
∴当a≥2时，y＝f(x)与y＝g(x)所组成的方程组在(0，π)内有解，即y＝f(x)与y＝g(x)的图象至少有一个公共点．
(理)(2011·山东济宁质检改编)如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，求a的取值范围．
[解析]　解法一：把方程变为a＝－cos2x＋sinx.
设f(x)＝－cos2x＋sinx(x∈(0，])．
显然当且仅当a∈f(x)的值域时，a＝f(x)有解．
∵f(x)＝－(1－sin2x)＋sinx＝(sinx＋)2－，且由x∈(0，]知，sinx∈(0,1]．
∴f(x)的值域为(－1,1]，∴a的取值范围是(－1,1]．
解法二：令t＝sinx，由x∈(0，]可得t∈(0,1]．
把原方程变为t2＋t－1－a＝0，
依题意，该方程在(0,1]上有解，
设f(t)＝t2＋t－1－a.
其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－，在区间(0,1]的左侧，如下图所示．
因此f(t)＝0在(0,1]上有解．
当且仅当，即，
∴－114．若a、b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．
[解析]　方法一：(看成函数的值域 )∵ab＝a＋b＋3，
∴a≠1，∴b＝，而b>0，
∴>0，即a>1或a<－3，
又a>0，∴a>1，故a－1>0.
∴ab＝a·＝
＝(a－1)＋＋5≥9.
当且仅当a－1＝，即a＝3时取等号．
又a>3时，(a－1)＋＋5是关于a的单调增函数．
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
方法二：(看成不等式的解集)
∵a，b为正数，∴a＋b≥2，
又ab＝a＋b＋3，∴ab≥2＋3.
即()2－2－3≥0，
解得≥3或≤－1(舍去)，∴ab≥9.
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
方法三：若设ab＝t，则a＋b＝t－3，
∴a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根．
从而有，
即，解得t≥9，即ab≥9.
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
15．已知数列{an}中，a1＝1，且点P(an，－an＋1)(n∈N*)在直线x＋y＋1＝0上，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝n2＋2n.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若函数f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N*，n≥2)，求函数f(n)的最小值；
(3)若函数g(n)＝(k∈N*)，是否存在k∈N*，使得g(k＋9)＝g(k)，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)点P(an，－an＋1)(n∈N*)在直线x＋y＋1＝0上，所以an－an＋1＋1＝0，即an＋1－an＝1，
又a1＝1，所以数列{an}是以a1＝1为首项，1为公差的等差数列，
所以{an}的通项公式为an＝n(n∈N*)．
当n＝1时，b1＝S1＝3；
当n≥2时，
由，
可得bn＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
又2×1＋1＝3＝b1，也适合上式．
所以{bn}的通项公式为bn＝2n＋1(n∈N*)．
(2)由函数f(n)＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋，
得函数f(n＋1)＝＋＋＋…＋＋＋.
所以f(n＋1)－f(n)＝＋－
＝－>0，
所以函数f(n )单调递增，
所以f(n)的最小值为f(2)＝.
(3)存在．当k为奇数时，k＋9为偶数，
所以g(k)＝ak＝k，
g(k＋9)＝bk＋9＝2(k＋9)＋1＝2k＋19，
由g(k＋9)＝g(k)得2k＋19＝k，
即k＝－19，不合题意，舍去．
当k为偶数时，k＋9为奇数，
所以g(k)＝bk＝2k＋1，g(k＋9)＝ak＋9＝k＋9，
由g(k＋9)＝g(k)可得k＋9＝2k＋1，
可解得k＝8，符合题意．
故存在k＝8，使得g(k＋9)＝g(k)．
专题9 第2讲数形结合思想
一、选择题
1．若实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　设k＝，
即y＝kx，如图所示，
kOB＝tan∠O′OB＝＝，
kOA＝－tan∠O′OA＝－＝－，
且kOA≤k≤kOB，∴kmax＝.
2．函数y＝|sinx|的一个单调增区间是(　　)
A．(－，) B．(，)
C．(π，) D．(，2π)
[答案]　C
[解析]　y＝|sinx|的图象如图所示，
观察可得(π，)符合题意．
3．已知不等式A．{x|x>1} B．{x|x>－1}
C．{x|0[答案]　C
[解析]　y＝表示r＝1的上半圆，y＝x＋1表示斜率、截距均为1的直线．故选C.
4．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝(　　)
A. B.
C. D．4
[答案]　C
[解析]　构造如图所示的平行四边形，设O＝a，O＝3b，∠AOB＝60°，
则a＋3b＝O，显然∠OBC＝120°，由余弦定理得：
|O|2＝|a|2＋|3b|2－2|a||3b|cos120°
＝12＋32－2×1×3×(－)＝13.
则|a＋3b|＝.
5．(2011·天津理，8)对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝设函数f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]∪(－1，) B．(－∞，－2]∪(－1，－)
C．(－1，)∪(，＋∞) D．(－1，－)∪[，＋∞)
[答案]　B
[解析]　由已知得f(x)＝
如图，要使y＝f(x)－c与x轴恰有两个公共点，
则－1[点评]　本小题考查分段函数及函数图象与x轴的交点及平移等基础知识，考查理解和处理新信息的创新能力及数形结合思想的应用，难度较大．
6．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[答案]　D
[解析]　作出函数y＝f(x)的图象和直线y＝1，它们相交于(－1,1)和(1,1)，
由f(x0)>1得x0<－1或x0>1.
7．点M是椭圆＋＝1上一点，它到其中一个焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，O表示原点，则|ON|＝(　　)
A. B．2
C．4 D．8
[答案]　C
[解析]　设椭圆另一焦点为F2，如图．
则|MF1|＋|MF2|＝2a，
而a＝5，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8.
又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，
∴ON是△MF1F2的中位线，
∴|ON|＝|MF2|＝×8＝4.
8．(2011·北京丰台模拟)已知函数f(x)＝x3－x2－x，则f(－a2)与f(4)的大小关系为(　　)
A．f(－a2)≤f(4) B．f(－a2)C．f(－a2)≥f(4) D．f(－a2)与f(4)的大小关系不确定
[答案]　A
[解析]　∵f(x)＝x3－x2－x，
∴f′(x)＝x2－2x－.
由f′(x)＝(3x－7)(x＋1)＝0得x＝－1或x＝.
当x<－1时，f(x)为增函数；
当－1当x>时，f(x)为增函数，
计算可得f(－1)＝f(4)＝2，
又－a2≤0，由图象可知f(－a2)≤f(4)．
二、填空题
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，S15＝S37，a1>0，三点P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋3，an＋2)在一条直线上，则当n＝________时，Sn取得最大值．
[答案]　26
[解析]　由点P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋3，an＋2)在一条直线上，得＝，
即2an＋1＝an＋an＋2，
所以数列{an}是等差数列，Sn是关于n的二次函数，
又S15＝S37，a1>0，
由二次函数图象性质可知，S26最大．
10．已知|a|＝2，|b|＝3，|a－b|＝，则向量a与b的夹角为________．
[答案]　60°
[解析]　由向量减法运算的几何意义知，若＝a，＝b，则＝a－b(如图)，在三角形OAB中，设向量a与b的夹角为θ，由余弦定理得cosθ＝＝，所以θ＝60°，即向量a与b的夹角为60°.
11．过点A(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.
[答案]　
[解析]　由图形可知点A(1，)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，圆心为M(2,0)，要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥MA，所以kl＝－＝－＝.
12．已知实数x，y满足条件，复数z＝x＋yi(i为虚数单位)，则|z－1＋2i|的最大值和最小值分别是________．
[答案]　2，
[解析]　由于|z－1＋2i|＝|(x＋yi)－1＋2i|＝，所以它表示点P(x，y)与M(1，－2)之间的距离．画出可行域(如图)，求得A(3,8)，可知|MA|＝2是最大值，M到直线x＋y＝0的距离为最小值．
三、解答题
13．若在区间(0,1)内任取两个数，求事件A：两数之和小于的概率．
[解析]　设x，y表示在(0,1)内随机地取得的两个数．
则0≤x，y≤1，把(x，y)看作平面xOy内的点的坐标，则所有基本事件可用图中的正方形区域表示，其面积为1，而事件A：“两数之和小于”，则用图中的阴影部分来表示，其面积为.故所求事件的概率为P＝＝.
14．(文)已知有向线段PQ的起点P与终点Q的坐标分别为P(－1,1)，Q(2,2)．若直线l：x＋my＋m＝0与有向线段PQ延长线相交，求实数m的取值范围．
[解析]　直线l的方程x＋my＋m＝0可化为点斜式：y＋1＝－(x－0)，易知直线l过定点M(0，－1)，且斜率为－.
∵l与PQ的延长线相交，由数形结合，可得当过M且与PQ平行时，直线l的斜率趋近于最小；当过点M、Q时，直线l的斜率趋近于最大．
又kPQ＝＝，kMQ＝＝，
设l的斜率为k1，由kPQ得<－<，
∴－3(理)如图，在三棱锥V－ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ(0<θ<)．
(1)求证：平面VAB⊥平面VCD；
(2)当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．
[解析]　(1)以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，A(a,0,0)，
B(0，a,0)，D(，，0)，
V(0,0，atanθ)
于是V＝(，，－atanθ)，
C＝(，，0)，A＝(－a，a,0)．
从而A·C＝(－a，a,0)·(，，0)
　　　　＝－a2＋a2＋0＝0，
即AB⊥CD.
同理A·V＝(－a，a,0)·(，，－atanθ)
　　　　＝－a2＋a2＋0＝0，
即AB⊥VD.又CD∩VD＝D，∴AB⊥平面VCD.
又AB?平面VAB.
∴平面VAB⊥平面VCD.
(2)设直线BC与平面VAB所成的角为φ，平面VAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由，得.
可取n＝(1,1，cotθ)．
又B＝(0，－a,0)，
于是sinφ＝||＝＝sinθ.
∵0<θ<，∴0又0≤φ≤，∴0<φ<，
即直线BC与平面VAB所成的角的取值范围为(0，)．
15．(2011·抚顺质检)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(x∈R)，已知F(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数且F(1)＝t(t<1)．
(1)求b，c，d的值；
(2)求F(x)的单调区间与极值；
(3)当t＝－26时，方程F(x)＝m有三个不同的实数解，求m的取值范围．
[解析]　(1)因为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，
所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
从而F(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx＋d－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x＋(d－c)是一个奇函数，
所以F(－x)＝－x3＋(b－3)x2－(c－2b)x＋(d－c)
＝－x3－(b－3)x2－(c－2b)x－(d－c)
＝－F(x)．
由F(0)＝0得d－c＝0，
故d＝c，由b－3＝0，得b＝3.
由F(1)＝t可得
1＋(b－3)＋(c－2b)＋(d－c)＝t，
即d＝5＋t，所以d＝c＝5＋t.
(2)由(1)知F(x)＝x3＋(t－1)x，
从而F′(x)＝3x2＋(t－1)．
令3x2＋(t－1)＝0，得x＝±，
由F′(x)＝3x2＋(t－1)>0，
得x>或x<－.
由F′(x)＝3x2＋(t－1)<0，
得－故和是函数F(x)的单调递增区间；是函数F(x)的单调递减区间．
所以F(x)在x＝－时，取得极大值，极大值为；
F(x)在x＝时，取得极小值，极小值为－.
(3)当t＝－26时，F(x)＝x3－27x，
由F(x)＝m，得x3－27x＝m.
因为F′(x)＝3x2－27＝3(x＋3)(x－3)，
令F′(x)＝0，解得x1＝－3，x2＝3.
由(2)得F(x)＝x3－27x在x＝－3时，取得极大值，极大值为54；
F(x)在x＝3时，取得极小值，极小值为－54.
作出函数F(x)和y＝m的图象如图所示．
从图象中可以看出当－54专题9 第3讲 分类讨论思想
一、选择题
1．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x||x－3|A．0≤a≤1　　　　　　　 B．a≤1
C．a<1 D．0[答案]　B
[解析]　当a≤0时，B＝?，满足B?A；
当a>0时，欲使B?A，则?a≤1.故选B.
2．若方程－＝1表示双曲线，则它的焦点坐标为(　　)
A．(k,0)，(－k,0) B．(0，，)(0，－)
C．(，0)，(－，0) D．由k值确定
[答案]　D
[解析]　由(k－4)(k＋4)>0得k<－4或k>4，
当k<－4时，集点在y轴上；当k>4时，集点在x轴上．
故选D.
3．“直线l在y轴上的截距是它在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于－2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　若直线l的斜率等于－2，则直线l在y轴上的截距一定是它在x轴上的截距的2倍；但当直线l在y轴上的截距是它在x轴上的截距的2倍时，其斜率不一定等于－2，因为直线l可以经过原点，其斜率可以为任意值．所以“直线l在y轴上的截距是它在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于－2”的必要不充分条件．
4．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a等于(　　)
A．－3 B．－
C．3 D.或－3
[答案]　D
[解析]　当a<0时，在x∈[－3,2]上，
当x＝－1时取最大值，∴a＝－3；
当a>0时，在x∈[－3,2]上，
当x＝2时取得最大值，∴a＝.
∵a等于－3或，故选D.
5．在△ABC中，已知∠A＝30°，a＝8，b＝8，则S△ABC等于(　　)
A．32 B．16
C．32或16 D．32或16
[答案]　D
[解析]　由正弦定理得sinB＝，∴∠B＝60°或∠B＝120°.当∠B＝60°时，S△ABC＝×8×8＝32；
当∠B＝120°时，S△ABC＝16.
6．(2011·滨州模拟)已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围是(　　)
A．a> B．－12C．－12[答案]　C
[解析]　由已知ax2＋ax－3≠0恒成立，
当a＝0时，－3≠0成立；
当a≠0时，Δ<0，∴a2＋12a<0，
∴－12综上所述，a∈(－12,0]．
7．(2011·石家庄质检)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C.或 D.与
[答案]　D
[解析]　由双曲线的渐近线方程知，
当＝时，＝，∴e＝；
当＝时，解得e＝，故选D.
8．(2011·武汉二模)正三棱柱的侧面展开图是两边长分别为2和4的矩形，则它的体积为(　　)
A. B.
C. D.或
[答案]　D
[解析]　设正三棱柱底面边长为a，高为h，
当3a＝2，h＝4时，S底＝×2＝，
∴V＝×4＝，
当3a＝4，h＝2时，S底＝×2＝，
∴V＝×2＝.故选D.
二、填空题
9．(2011·潍坊模拟)若椭圆＋＝1的离心率等于，则m＝________.
[答案]　1或16
[解析]　解答本题要注意由于椭圆焦点位置不确定．
由条件当m<4时，由题意得：＝?m＝1，
当m>4时有＝?m＝16，
故m的取值为1或16.
10．已知定义在闭区间[0,3]上的函数f(x)＝kx2－2kx的最大值为3，那么实数k的取值集合为________．
[答案]　{1，－3}
[解析]　f(x)＝kx2－2kx＝k(x－1)2－k，
(1)当k>0时，二次函数开口向上，当x＝3时，f(x)有最大值，即f(3)＝3k＝3，解之得k＝1；
(2)当k<0时，二次函数开口向下，当x＝1时，f(x)有最大值，即f(1)＝－k＝3，解之得k＝－3；
(3)当k＝0时，显然不成立．
11．若a>0且a≠1，p＝loga(a3＋1)，q＝loga(a2＋1)，则p、q的大小关系是________．
[答案]　p>q
[解析]　当0又∵a3＋1∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即p>q.
当a>1时，y＝ax和y＝logax在其定义域上均为增函数．
∴a3＋1>a2＋1.
∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)．即p>q.
综上p>q.
12．(文)(2011·辽宁五校模拟)抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的P点的个数为________．
[答案]　4
[解析]　当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；
当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；
对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在．
事实上，F(p,0)，若设P(x，y)，
则|FO|＝p，|FP|＝，
若＝p，则有x2－2px＋y2＝0，
又y2＝4px，∴x2＋2px＝0，
解得x＝0或x＝－2p，
这与点P在抛物线上，△OPF为等腰三角形矛盾．
所以符合要求的P点一共有4个．
(理)若函数f(x)＝|－a|＋4a的最小值等于3，则实数a的值等于________．
[答案]　
[解析]　令＝t，则t∈[0,1)．
若a≥1，则f(x)＝|t－a|＋4a＝5a－t不存在最小值；
若0≤a<1，则f(x)＝|t－a|＋4a，当t＝a时取到最小值4a，于是4a＝3，得a＝，符合题意；
当a<0时，f(x)＝|t－a|＋4a＝t＋3a，当t＝0时取到最小值3a，于是3a＝3，得a＝1，不符合题意．综上所述，a＝.
三、解答题
13．解不等式>0(a为常数，a≠－)．
[解析]　当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，
解得x<－4a或x>6a；
当a＝0时，x2>0，解得x≠0；
当－0，
解得x<6a或x>－4a；
当a<－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得6a综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|x<－4a或x>6a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当－－4a}；当a<－时，原不等式的解集为{x|6a14．已知数列{an}的前n项和为Sn＝32n－n2，求数列{|an|}的前n项和Pn.
[解析]　由Sn＝32n－n2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－n2－32(n－1)＋(n－1)2＝33－2n；
当n＝1时，a1＝S1＝31，也适合上式．
∴an＝33－2n.
令an≥0，则33－2n≥0，n≤16.5.
∵n∈N*，
∴n≤16时，an>0；n≥17时，an<0.
∴本题Pn的求值问题应分两种情况讨论．
当n≤16时，Pn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝Sn＝32n－n2.
当n≥17时，Pn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a16|＋|a17|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a16－a17－a18－…－an
＝(－a1－a2－…－a16－a17－a18－…－an)＋2(a1＋a2＋…＋a16)
＝－Sn＋2(a1＋a2＋…＋a16)＝－Sn＋2S16.
∵S16＝32×16－162＝16×16＝256，Sn＝32n－n2，
∴Pn＝512－32n＋n2.
∴数列{|an|}的前n项和
Pn＝
15．已知函数f(x)＝sinxcosx－m(sinx＋cosx)．
(1)若m＝1，求函数f(x)的最值；
(2)若函数f(x)在区间[，]上的最小值等于2，求实数m的值．
[解析]　(1)当m＝1时，f(x)＝sinxcosx－(sinx＋cosx)，
设sinx＋cosx＝t，则sinxcosx＝，
所以f(x)＝g(t)＝t2－t－
＝(t－1)2－1.
由于t＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，
所以－≤t≤.
于是当t＝－时函数f(x)取得最大值＋；
当t＝1时函数f(x)取得最小值－1.
(2)设sinx＋cosx＝t，
则sinxcosx＝，
所以f(x)＝g(t)＝t2－mt－
＝(t－m)2－m2－，
又因为x∈[，]，
t＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，
所以1≤t≤.
当m<1时，g(t)在[1，]上单调递增，
当t＝1时g(t)取得最小值，得－m＝2，
所以m＝－2，符合题意；
当m>时，g(t)在[1，]上单调递减，
当t＝时，g(t)取得最小值，得－m＝2，
所以m＝－，与m>矛盾；
当1≤m≤时，g(t)在t＝m处取得最小值，得－m2－＝2，所以m2＝－5，无解．
综上，当函数f(x)在区间[，]上的最小值等于2时，实数m的值等于－2.
专题9 第4讲 转化与化归思想
一、选择题
1．在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是(　　)
A．等腰直角三角形　　　 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
[答案]　C
[解析]　∵2cosBsinA＝sinC，∴2··a＝c，∴a2＋c2－b2＝c2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．故选C.
2．(2011·山东济宁)方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则实数k的取值范围为(　　)
A．－1≤k≤ B．－≤k≤0
C．0≤k≤ D．－≤k≤1
[答案]　D
[解析]　∵sin2x＋cosx＋k＝0有解，
∴k＝－sin2x－cosx＝cos2x－cosx－1
＝2－，
∵cosx∈[－1,1]，
∴当cosx＝时，kmin＝－；当cosx＝－1时，kmax＝1，
∴k＝，故选D.
3．不等式x2＋mx＋1>2x＋m对一切|m|≤2恒成立，则x的取值范围是(　　)
A．－2C．x<1 D．x>3或x<－1
[答案]　D
[解析]　令f(m)＝x2＋mx＋1－2x－m＝(x－1)m＋x2－2x＋1，则f(m)是关于m的一次函数，当|m|≤2时，不等式恒成立，等价于
?，
∴x>3或x<－1，
故选D.
4．(2011·天津模拟)设a、b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值为(　　)
A．－2 B．－
C．－3 D．－
[答案]　C
[解析]　设a＋b＝k，与a2＋2b2＝6联立，得
，
消去b，得3a2－4ka＋2k2－6＝0.
由上述关于a的一元二次方程有解，
故Δ＝(－4k)2－4×3×(2k2－6)≥0.
解之，得－3≤k≤3.
∴a＋b的最小值为－3.故选C.
5．(2011·杭州市模拟)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
[答案]　B
[解析]　f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6，
依题意，f′(x)＝0有两个不相等实数根，
所以Δ＝(2m)2－12(m＋6)>0，
解得m<－3或m>6.故选B.
6．已知函数f(x)＝cosx，x∈(，3π)，若方程f(x)＝a有三个不同的根，且从小到大依次成等比数列，则a等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
[答案]　C
[解析]　设方程的3个根的坐标分别是x1、x2、x3，如图．
因为y＝cosx的图象是轴对称图形，
所以x1＋x2＝2π，x2＋x3＝4π，
又因为x1、x2、x3成等比数列，可解得x1＝，
故a＝cos＝－.
7．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，]成立，则a的最小值为(　　)
A．0 B．－2
C．－ D．－3
[答案]　C
[解析]　法一：原不等式可转化为ax≥－x2－1，
其中x∈(0，]，则又可化为a≥－(x＋)．
由函数的单调性可得(－x－)max＝－－2＝－，
因此a≥－.
法二：设f(x)＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝－.
若－≥，即a≤－1时，
可知f(x)在(0，)上是减函数，
应有f()≥0?－≤a≤－1；
若－≤0，即a≥0时，
可知f(x)在(0，)上是增函数，
应有f(0)＝1>0恒成立，故a≥0；
若0<－<，即－1则应有f(－)＝－＋1＝1－≥0恒成立，
故－1综上，有a≥－.
8．(2011·重庆理，10)设m，k为整数，方程mx2－kx＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的根，则m＋k的最小值为(　　)
A．－8 B．8
C．12 D．13
[答案]　D
[解析]　设f(x)＝mx2－kx＋2，则f(0)＝2>0，
∴方程mx2－kx＋2＝0在(0,1)内有两个不同的根的充要条件为，即
由①②可得k2>8m>4k，∴k>4，从而m>2，
又m，k为整数，∴m≥3，k≥5.
由③检验可知m最小值为6，k最小值为7，
∴m＋k的最小值为13，选D.
二、填空题
9．若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(－∞，0)
[解析]　∵f′(x)＝5ax4＋，x∈(0，＋∞)，
∴由题知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解．
即a＝－在(0，＋∞)上有解．
∵x∈(0，＋∞)，∴－∈(－∞，0)．
∴a∈(－∞，0)．
10．(2011·山东聊城)若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都有f(x＋3)≤f(x)＋3和f(x＋2)≥f(x)＋2，且f(1)＝1，则f(2012)＝________.
[答案]　2012
[解析]　∵f(x＋1)≤f(x＋3)－2≤f(x)＋3－2＝f(x)＋1，
f(x＋1)≥f(x＋4)－3≥f(x＋2)＋2－3
≥f(x)＋4－3＝f(x)＋1，
∴f(x)＋1≤f(x＋1)≤f(x)＋1.
∴f(x＋1)＝f(x)＋1.∴数列{f(n)}为等差数列．
∴f(2012)＝f(1)＋2011×1＝2012.
11．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则a的取值范围为________．
[答案]　(－4,0)
[解析]　由x3－3x2－a＝0，得a＝x3－3x2.
令y＝x3－3x2，y′＝3x2－6x＝3x(x－2)．
由y′＝0得x＝0或x＝2.
当x∈(－∞，0)时，y′>0；
x∈(0,2)时，y′<0；x∈(2，＋∞)时，
y′>0.∴y在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，∴当－412．已知f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝________.
[答案]　
[解析]　∵f(x)＋f()＝＋＝＋＝1.
∴原式＝f(1)＋[f(2)＋f()]＋[f(3)＋f()]＋[f(4)＋f()]＝＋1＋1＋1＝.
三、解答题
13．已知函数f(x)＝－sin2x＋sinx＋a，当f(x)＝0有实数解时，求a的取值范围．
[解析]　由f(x)＝0得－sin2x＋sinx＋a＝0，分离a得：a＝sin2x－sinx＝(sinx－)2－，
这样就将问题转化为求a的值域．
因为sinx∈[－1,1]，
所以[(sinx－)2－]∈[－，2]．
故当a∈[－，2]时，f(x)＝0有实数解．
14．(2011·唐山三模)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2－an(n≥1)．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设数列{2nan}的前n项和为Tn，An＝＋＋＋…＋.求证：An<2.
[解析]　(1)由a1＝S1＝2－3a1得a1＝，
当n≥2时，由Sn＝2－an得
Sn－1＝2－an－1，
于是an＝Sn－Sn－1
＝an－1－an，
整理得＝×(n≥2)，
所以数列是首项及公比均为的等比数列．
(2)由(1)得＝×n－1＝.
于是2nan＝n，Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝，
＝＝2.
An＝2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]
＝2<2.
15．(2011·广东珠海3月考)已知奇函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)在 [0，＋∞)上是增函数．当0≤θ≤时，是否存在这样的实数m，使f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有的θ∈[0，]均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，则说明理由．
[解析]　由f(x)是R上的奇函数可得f(0)＝0.
又在[0，＋∞)上是增函数，
故f(x)在R上为增函数．
由题设条件可得f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)>0.
又由f(x)为奇函数，可得
f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m)．
∵f(x)是R上的增函数，
∴cos2θ－3>2mcosθ－4m，
即cos2θ－mcosθ＋2m－2>0.
令cosθ＝t，∵0≤θ≤，∴0≤t≤1.
于是问题转化为对一切0≤t≤1，
不等式t2－mt＋2m－2>0恒成立．
∴t2－2>m(t－2)，即m>恒成立．
又∵＝(t－2)＋＋4≤4－2，(当且仅当t＝2－时取等号)
∴m>4－2.
∴存在实数m满足题设的条件，m>4－2