课件42张PPT。1．了解平行截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理；
2．会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理；
3．会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理及判定定理、切割线定理，并会应用相交弦定理；
4．平行投影的性质与圆锥曲线的统一定义．几何证明选讲是选考内容，也是新课标新增的内容，从各地高考试题看，几年来，这部分的考查题型，大题、小题都有，但难度不大，从能力要求上来看，主要考查学生的读图、识图能力，分析问题和解决问题的能力．
预计2012年的高考中，题型、难度保持不变，以填空题解答题考查的可能性较大，不可能增加难度．1．相似三角形的判定及有关性质
(1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等．
(2)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例．
(3)经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必经过三角形第三边的中点．
(4)经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必经过梯形另一腰的中点．
(5)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(6)相似三角形的性质定理：相似三角形的对应角相等．相似三角形的对应边成比例．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于相似比；相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于相似比的平方． (7)相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两角对应相等，两三角形相似)；如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)；如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)．(8)直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两条直角边的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．
2．直线与圆的位置关系
(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．
(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹弧的度数的一半．(4)圆内接四边形的性质定理与判定定理：
圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内对角的度数．
如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上；
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上．
(5)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(6)相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成两段的积相等．
(7)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的比例中项．
(8)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，两切线长相等；圆心和这点的连线平分两切线的夹角．
(9)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．(10)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
(11)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
(12)从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的两个交点的两条线段长的积相等．[分析] (1)利用两角对应相等，两三角形相似．
(2)利用△ABE∽△ADC及面积公式来求解．
[证明] (1)由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.
故△ABE∽△ADC.[评析] 三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考程序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．如图，E是⊙O内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于点F，FC与圆交于点G.求证：
(1)△DFE∽△EFA；
(2)△EFG∽△EFC.[解析] 证明：(1)∵EF∥CB，
∴∠DEF＝∠DCB.
∵∠DCB和∠DAB都是弧DB上的圆周角，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠DEF.
∵∠DFE＝∠EFA，
∴△DFE∽△EFA.[例2] 如图，已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于P点，两腰BA、CD的延长线相交于O点，EF∥BC且EF过P点．求证：(1)EP＝PF；(2)OP平分AD和BC.(2011·广东文，15)如右图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．
[答案] 7∶5
[评析] 本小题考查解直角三角形知识及相交弦定理的应用．[例4] 如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.
(1)证明：B、D、H、E四点共圆；
(2)证明：CE平分∠DEF.[分析] 证明四点共圆，可求四边形内角关系及外角与内角关系．
[解析] (1)在△ABC中，因为∠ABC＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.
因为AD、CE是角平分线，
所以∠HAC＋∠HCA＝60°，
故∠AHC＝120°，
于是∠EHD＝∠AHC＝120°.
因为∠EBD＋∠EHD＝180°，
所以B、D、H、E四点共圆．(2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.由(1)知B、D、H、E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD.可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.
[评析] 熟记圆的切线性质、圆周角定理、切割线定理、相交弦定理，这些知识点是解决有关圆的问题的关键，要好好理解．课件30张PPT。1．理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．
2．了解参数方程；了解参数的意义；了解平摆线、渐近线的生成过程，并能推导出它们的参数方程；了解其它摆线的生成过程；了解摆线在实际中的应用．本讲是新课标新增内容，也是选考内容．这部分在高考中以考查基础为主，题型主要是填空题和解答题，难度较小．从近几年高考看，主要考查数形结合思想、读图识图能力和转化能力．预计2012年的高考对这部分的内容，题量、难度不会发生变化．(3)与极轴垂直且经过点(a,0)(其中a>0)的直线：ρcosθ＝a；
与极轴平行且在极轴上方，与极轴距离为a的直线：ρsinθ＝a；
与极点距离为p，且与过极点与极轴成α角的直线OH垂直的直线：ρcos(θ－α)＝p.(2)参数方程和普通方程是曲线方程的两种不同的形式，但它们都是表示曲线上任意一点的坐标x，y之间关系的，这两种形式的方程可以相互转化，从而实现它们之间的转化，有利于发挥它们各自的长处．[分析] 参数方程化为普通方程，再研究关系
[评析] 在将参数方程化为普通方程时，为消去参数，常用的方法是加、减消元、代入消元、平方相加等，要注意观察参数方程特点，选择恰当的消元法．[例2] (2011·江西理，15)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
[答案] x2＋y2－4x－2y＝0
[解析] 因为ρ＝2sinθ＋4cosθ，
所以ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，
即x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0.圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过圆O1，圆O2交点的直线的直角坐标方程．
[解析] (1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得
ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x.
即x2＋y2－4x＝0为圆O1的直角坐标方程．
同理x2＋y2＋4y＝0为圆O2的直角坐标方程．[答案] 2
[解析] C1化为普通方程为圆x2＋(y－1)2＝1.C2化为直角坐标方程为直线x－y＋1＝0，圆心为(0,1)，在直线上，∴直线与圆相交．课件37张PPT。
1．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明不等式；
2．会利用绝对值的几何意义求解不等式；
3．了解柯西不等式的不同形式，理解它们的几何意义．从内容上看，本讲为新课标选修部分新增内容，也是选考内容，命题时，主要题型有：含绝对值不等式的解法；利用含有绝对值的重要不等式证明不等式问题；用比较法、综合法、分析法及放缩技巧证明简单的不等式，难度通常为中等．
从能力要求上看，主要考查学生的运算能力和分析能力．
预计2012年高考中，本讲仍为选考内容，重点是含绝对值的不等式的解法和证明，难度中档．1．不等式的基本性质
(1)对于任意两个实数a，b有且只有以下三种情况之一成立：a>b?a－b>0，a
(2)不等式的基本性质
对称性：a>b?b传递性：a>b，b>c?a>c.
加(减)：a>b?a＋c>b＋c.
乘(除)：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac乘方：a>b>0?an>bn>0(n∈N*，n≥2)．2．绝对值不等式
(1)设a，b为实数，则加法性质：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
(2)设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.
(3)若a>0，且|x|>a，则x>a或x<－a；若a>0，且|x|设a1，a2，b1，b2均为实数，则(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2(等号当且仅当a1b2＝a2b1时成立)．[例1] (2011·辽宁理，24)已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．[评析] (1)分区间讨论去绝对值符号，是解决这类题目的基本方法．
(2)分区间时要注意区间端点值的取舍．(2010·陕西理，15)不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________．
[答案] {x|x≥1}
[解析] 解法一：|x＋3|－|x－2|≥3的几何意义表示数轴上到－3点的距离比到2点的距离大于或等于3的点，可知x≥1.[分析] 根据基本不等式或均值不等式证明．
[评析] 本题考查基本不等式、均值不等式等基本知识，同时考查了等号成立的条件及论证推理能力．[例3] 设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
[分析] (1)为解绝对值不等式．(2)为恒成立问题只需f(x)min≥2.
[评析] a≤f(x)，当x∈R时恒成立，只需a≤f(x)min；a＞f(x)，当x∈R时恒成立，只需a＞f(x)max.[例4] (2011·福州二检)已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．
[分析] 利用柯西不等式求解．
[评析] 用柯西不等式证明或求值时要注意两点，一是所给不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致，若不一致，需要将所给式子变形；二要注意等号成立的条件．课件39张PPT。1．了解集合的含义，元素与集合的“属于”关系；理解子集、补集、交集、并集的含义及集合之间的包含、相等关系；了解空集和全集的含义；会求两个集合的交集、并集及给定子集的补集；能用韦恩图表达集合的关系与运算．
2．了解命题、逻辑联结词“或”“且”“非”及四种命题；理解充分、必要、充要条件的意义及全称量词、存在量词的含义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．本部分内容在高考中所占分数约占5%～10%.
2．本部分考查的主要内容是：集合的关系判定及集合间的运算，充要关系的判定，命题的真假关系判定等．
3．命题规律：集合知识一般以一个选择题的形式出现，其中以集合知识为载体，集合与不等式、解析几何知识相结合是考查的重点，难度中档偏下，对常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式、立体几何中的线面关系为载体，考查充要关系或命题的真假判断等，难度一般不大．1．集合的概念、运算和性质
(1)集合的表示法：列举法，描述法，图示法．
(2)集合的运算：交集，并集，补集．
(3)求解若干个数式具有某种共同性质的问题，就是求交集问题；而将一个问题分成若干类解决，最后要求各类结果的是求并集．
(4)许多计数问题(即计算种数、个数、方法数等)都要用到集合的交、并、补以及元素个数等知识．2．四种命题
用p、q表示一个命题的条件和结论，綈p和綈q分别表示条件和结论的否定，那么原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若綈p则綈q；逆否命题：若綈q则綈p.
3．四种命题的真假关系
(1)两命题互为逆否命题，它们同真或同假(如原命题和逆否命题，逆命题和否命题)．因此，在四种命题中，真命题或假命题的个数都是偶数个．
(2)两命题互为逆命题或否命题，它们的真假性是否一致不确定．4．充要条件
(1)若p?q成立，则p是q成立的充分条件，q是p成立的必要条件．
(2)若p?q且q?/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(3)若p?q，则p是q的充分必要条件．5．简单的逻辑联结词
(1)逻辑联结词“且”，“或”，“非”
用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∧q”；
用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”；
对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“綈p”．6．全称量词与存在量词
(1)全称命题p：?x∈M，p(x)．
它的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0)．
(2)特称命题(存在性命题)p：?x0∈M，p(x0)．
它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．7．和“非”相关的几个注意方面
(1)非命题和否命题的区别：非命题是对一个简单命题的否定，只否定命题的结论；否命题则是既否定条件，又否定结论．
(2)p或q的否定：綈p且綈q；p且q的否定：綈p或綈q.[例1] (1)(2011·安徽文，2)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则S∩(?UT)等于( )
A．{1,4,5,6} B．{1,5}
C．{4} D．{1,2,3,4,5}
[分析] 利用集合的交集、补集运算求解．
[答案] B
[解析] ?UT＝{1,5,6}，∴S∩(?UT)＝{1,5}．(2)(2011·广东理，2)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[分析] 本题考查集合的概念、集合交集的基本运算．可采用数形结合方法直接求解．[答案] C
[解析] 集合A中点的集合是单位圆，B中点的集合是直线y＝x，A∩B中元素个数，即判断直线y＝x与单位圆有几个公共点，显然有2个公共点，故A∩B中有2个元素．选C.[评析] 1.把已知集合用几何图形表示出来，可化抽象为直观，集合间的关系一般借助Venn图解决，集合的运算往往借助数轴考虑．
2．解答集合间的包含与运算关系问题的思路：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：
(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；
(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；
(3)若给定的集合是抽象集合，用Venn图求解．[答案] A (2)(2011·江西文，2)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )
A．M∪N B．M∩N
C．(?UM)∪(?UN) D．(?UM)∩(?UN)
[答案] D
[解析] (?UM)∩(?UN)＝{1,4,5,6}∩{2,3,5,6}＝{5,6}.[例2] 已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A．(綈p)∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)
[答案] D
[解析] 不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为真命题．[评析] 命题真假的判定方法：
(1)一般命题p的真假由涉及到的相关交汇知识辨别真假．
(2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律．
(3)形如p∨q、p∧q、綈p命题真假根据真值表判定．
(4)全称命题与特称命题(存在性命题)的真假根据教材中给定方法判断．(2011·安徽理，7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的数都是偶数
B．所有能被2整除的数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的数都是偶数
D．存在一个不能被2整除的数都不是偶数
[答案] D
[解析] 本题主要考查全称命题的否定，把全称量词改为存在性量词，并把结果否定，故选D.其中正确的是( )
A．②③ B．②④
C．③④ D．①②③[答案] B [评析] 命题的否定形式有：要严格区分命题的否定与否命题之间的差别．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
[答案] C
[解析] 本题的难点在于理解为什么“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0”，对这个难点需要正确理解“命题的否定”的含义，命题的否定是指“否定这个命题所得出的结论”，那么命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”是指对所有的实数不等式x3－x2＋1≤0都成立，要否定这个结论，只要找到一个实数x使不等式x3－x2＋1≤0不成立即可，即存在x使x3－x2＋1>0.[例4] (2010·天津理，3)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
[分析] 根据四种命题的关系判定．[答案] B
[解析] “若p则q”的否命题为“若?p则?q”，故选B.
[评析] 注意四种命题中的等价关系，同时理解否命题与命题的否定之间的区别与联系．
(2011·陕西理，1)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
[答案] D
[解析] 本小题考查逆命题的写法．条件与结论互换.
[解析] 解q得 2∵綈p是綈q的充分条件，
∴綈p?綈q即q?p.
设函数f(x)＝2x2－9x＋a，则命题p为“f(x)<0”．
∴q?p，利用数形结合，[评析] 1.先判断p?q与q?p是否成立，然后再确定p是q的什么条件．
2．充分、必要条件的判断或探求要注意以下几点：
(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A；(2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明；
(3)要注意转化：如果p是q的充分不必要条件，那么綈p是綈q的必要不充分条件；同理，如果p是q的必要不充分条件，那么綈p是綈q的充分不必要条件；如果p是q的充要条件，那么綈p是綈q的充要条件．(2011·杭州质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S12>0是S9≥S3的( )
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A课件64张PPT。1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
4．理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义．
5．会运用函数图像理解和研究函数的性质．
函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题．在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新．以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势．高考热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性和函数的图像．以二次函数、分段函数、对数函数等为载体的题目在近几年中时有出现．②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考查的热点．③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想．④以导数为工具研究函数的单调性，进而研究最值、极值，使可研究的函数大大增加．近几年导数的工具性体现得越来越明显．②函数的值域
(Ⅰ)求函数值域的方法：无论用什么方法求值域，都要优先考虑定义域，常用的方法有基本函数法、配方法、换元法、不等式法、函数的单调法、函数的有界法、导数法．
③函数图像在x轴上的横投影是定义域；函数图像在y轴上的纵投影是值域．2．函数的性质
(1)函数的奇偶性
如果对于函数y＝f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(偶函数)．在此定义中可以看出，只有当函数定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称，这个函数才可能具有奇偶性，然后再作判断．(2)函数的单调性
函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1、x2∈D，当x1f(x2))，则称f(x)在区间D上为单调增(减)函数．反映在图像上，若函数f(x)是区间D上的增(减)函数，则图像在D上的部分从左到右是上升(下降)的．如果函数f(x)在给定区间(a，b)上恒有f ′(x)>0(f ′(x)<0)，则称f(x)在区间(a，b)上是增(减)函数，(a，b)为f(x)的单调增(减)区间．
判定单调性往往要借助定义域和奇偶性，方法主要有定义法、图像法、导数法等．(3)函数的周期性
设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为y＝f(x)的一个周期．
周期性往往和单调性、奇偶性、函数的图像及其解析式相关联出现．注意从代数变换角度分析．(4)最值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；
②存在x0∈I，使f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大值(最小值)．求函数的最值的方法与求函数值域的方法类似，这是函数的一个重点，它是基础中的基础，熟练掌握常见函数的值域与最值的求法：
①图像法：画图→截取→观察．对基本初等函数或可由其变换得到的函数，以及其它可导函数，只要能画出其示意图，皆可用此法．②均值不等式法．其使用条件为“一正二定三相等”，必须同时满足．
③导数法．
④换元法，包括三角换元和代数换元．3．函数图像
(1)函数图像部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图像的掌握有三方面的要求：
①会画各种简单函数的图像；
②能以函数的图像识别相应函数的性质；
③能用数形结合的思想以图辅助解题．(2)利用基本函数图像的变换作图
①平移变换：
4．对函数性质的考查主要依托基本初等函数及其基本变换来进行，对于某些抽象函数来说，一般通过恰当赋值，结合基本定义来研究．[分析] 由求函数定义域的基本步骤求解．
[答案] C[评析] 求解函数的定义域一般应遵循以下原则：
①f(x)是整式时，定义域是全体实数；②f(x)是分式时，定义域是使分母不为零的一切实数；③f(x)为偶次根式时，定义域是使被开方数为非负值时的实数的集合；④对数函数的真数大于零，且当对数函数或指数函数的底数中含变量时，底数需大于0且不等于1； ⑤零指数幂的底数不能为零；⑥若f(x)是由有限个基本初等函数运算合成的函数，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集；⑦对于求复合函数定义域的问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出；⑧对于含字母参数的函数求其定义域，根据具体情况需对字母参数进行分类讨论；⑨由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．[答案] C [答案] A
[分析] 按定义对x与集合A，B关系进行讨论，并求出其函数值．
[答案] D[评析] 求函数的值域应注意的三个问题：①在熟练掌握求值域的常用方法的基础上要对具体的题目作具体的分析，选择最优方法去解决；②求函数值域时不但要重视对应法则的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用；③遇到含字母或参数区间的一类问题时，应对字母进行讨论．(2011·福建武夷山)已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)，当x∈(－3,2)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域；
(2)c为何值时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．(1)如图，由图像知，函数在[0,1]内单调递减，
∴当x＝0时，y＝18，当x＝1时，y＝12，
∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．
解法二：不等式－3x2＋5x＋c≤0在[1,4]上恒成立，
即c≤3x2－5x，在[1,4]上恒成立．
令g(x)＝3x2－5x，∵x∈[1,4]，
∴g(x)在[1,4]上单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝3×12－5×1＝－2，
∴c≤－2.[评析] (1)确定函数f(x)在[a，b]上的值域必须首先探求函数f(x)在其定义域内的单调情况，若f(x)是基本初等函数，则可直接利用它的图像和性质求解，若f(x)为其他函数，可利用单调性定义或导数法确定其性质，再求值域．
(2)不等式恒成立问题的常见解法：
①数形结合法，如本例第(2)问方法一，令g(x)＝－3x2＋5x＋c，结合函数g(x)的图像和性质，建立参数c的关系式进行求解．
②分离参数与主元，如本例第(2)问方法二，即将主元x与参数c进行分离化为c≤3x2－5x，故c≤(3x2－5x)min，为所求.[例3] (2011·西安检测)设函数f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R，a为实数)．
(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；
(2)设a>2，求函数f(x)的最小值．
[分析] (1)f(x)为偶函数?f(－x)＝f(x)?a＝0.
(2)含绝对值的函数的实质是分段函数，可以通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，得到分段函数．[评析] 1.与奇偶性有关的问题都是围绕着f(－x)＝f(x)或者f(－x)＝－f(x)来展开．对于偶函数可得f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；对于奇函数，如果在x＝0时有意义，总有f(0)＝0.
2．含绝对值的函数一般都要去掉绝对值符号，化成分段函数．
3．分段函数的单调性和最值问题，一般是在各段上分别说明，再合并说明．[答案] C [例4] 设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图像是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的草图；
(3)写出函数f(x)的值域．[分析] 第(1)问可依据二次函数的图像和性质求出当x∈(2，＋∞)上的解析式，然后利用偶函数的性质，确定f(x)在(－∞，－2)上的解析式．
[解析] (1)设顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，∴y＝－2(x－3)2＋4，即y＝－2x2＋12x－14.
设x<－2，则－x>2.
又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，
即f(x)＝－2x2－12x－14.
∴函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为
f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图像如图所示．
(3)函数f(x)的值域为(－∞，4]．
[评析] (1)本例画函数的图像，是先画出x≥0部分的图像，然后利用f(x)是R上的偶函数，图像关于y轴对称，画出另一部分的图像．
(2)第(3)问求函数的值域是利用图像法解决的，直观而简捷．[答案] A [例5] 设函数f(x)的定义域为R，当x＞0时，f(x)＞1，且对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．
(1)证明：f(0)＝1；
(2)证明：f(x)在R上是增函数；
(3)设集合A＝{(x，y)|f(x2)f(y2)＜f(1)}，B＝{(x，y)|f(x＋y＋c)＝1，c∈R}，若A∩B＝?，求c的取值范围．[解析] (1)证明：为使f(x＋y)＝f(x)f(y)中出现f(0)，借助x＞0时，f(x)＞1.
设x＝0，y＝1，则f(0＋1)＝f(0)f(1), 即f(1)＝f(0)×f(1)．
∵f(1)＞0，∴f(0)＝1.
(2)证明：设?x1，x2∈R，且x1＜x2，
f(x2)＝f(x1＋x2－x1)＝f(x1)f(x2－x1)，∵f(x2－x1)＞1，故要证明f(x2)＞f(x1)，只要证明f(x1)＞0即可．
事实上，∵x1＞0，f(x1)＞1＞0；当x1＝0时f(x1)＝1＞0；
当x1＜0时，f(x1)·f(－x1)＝f(x1－x1)＝f(0)＝1.
∵f(－x1)＞1，∴0＜f(x1)＜1，故一切x1∈R，
有f(x1)＞0，
∴f(x2)＝f(x1)f(x2－x1)＞f(x1)，
∴f(x)是R上的增函数．[评析] 1.在抽象函数问题中一般会出现形如“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”，“f(x·y)＝f(x)＋f(y)”等形式的式子，对这类式子的应用主要体现在两个方面，一是合理的赋值，解决求值问题．二是通过合理的变形，解决有关的证明问题或研究函数的有关性质．2．解决该类问题应注意以下几点：
抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”．课件49张PPT。1．指数函数
(1)了解指数函数模型的实际背景．
(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
(3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点．
(4)知道指数函数是一类重要的函数模型．2．对数函数
(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
(2)理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点．
(3)知道对数函数是一类重要的函数模型．
(4)了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0且a≠1)．4．二次函数
(1)二次函数的三种表示方式：一般式、顶点式、零点式；
(2)要能够数形结合地分析二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系．在历届高考数学试题中，考查指数函数和对数函数方面的有关内容居多数，这些试题同时考查了指数和对数方面的运算及性质，然而更多地将考查重点放在了指、对数函数的相关性质及其它知识点的交汇地方，这一类试题出现在选择、填空中，难度属于较易题，而出现在解答题中一般属中档题．
对于幂函数，高考中往往以考查基础知识为主，考查幂函数的图像和性质，属容易题，掌握好教材中五种常用的幂函数即可．
二次函数主要考查其性质及应用，尤其是二次函数、二次方程、二次不等式的综合应用．重点考查数形结合与等价转换的两种数学思想．1．指数函数与对数函数的图像与性质2.幂函数的性质3.二次函数
(1)二次函数的表示形式
①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
②顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
③零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中(x1,0)，(x2,0)为其图像为x轴的两交点．(3)二次函数在区间上的最值
讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②注意系数a的符号对抛物线开口方向的影响．
(4)二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系①Δ<0?f(x)＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无交点?ax2＋bx＋c＝0无实根?ax2＋bx＋c>0(<0)的解集为?或R；
②Δ＝0?f(x)＝ax2＋bx＋c的图像与x轴相切?ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实根；
③Δ>0?f(x)＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有两个不同的交点?ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根．[例1] 设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.
(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；
(2)求f(x)的最小值．
[分析] (1)令x＝0，求a；(2)先去掉绝对值符号，后求解．[解析] (1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，
所以－a>0，即a<0.
由a2≥1知，a≤－1.
因此，a的取值范围为(－∞，－1]．[评析] 对于给定区间上的二次函数问题，要分析对称轴与给定区间的相对位置，利用二次函数的图像求解．[例2] (2011·湖南长沙)已知二次函数的二项式系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实数根，求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝xf(x)无极值，求实数a的取值范围．
[分析] 根据一元二次方程根与系数的关系求a，b，c；由导数将三次函数化为二次函数，利用解二次不等式解决三次函数的极值问题．
[评析] 1.二次不等式ax2＋(b＋2)x＋c>0解集为(1,3)，可推出a<0，这是解题过程中特别容易被忽略的．
2．画出二次函数的图像，数形结合，可以直观地解决二次函数、二次方程和二次不等式问题，另外解题时注意“三个二次”之间的相互转化.[例3] 函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一直角坐标系下的图像大致是( )[答案] C [答案] (－∞，－1]∪[2，＋∞)．[分析] (1)问易求，(2)问转化为二次函数求最值．[评析] 二次函数求最值应从以下几方面考虑：
①开口方向；
②对称轴位置：是在区间左侧、右侧，还是穿过区间．是否存在实数a使函数f(x)＝loga(ax2－x)在[2,4]上是增函数？若存在求出a的值，若不存在，说明理由．
[分析] 因函数f(x)是以a为底数的对数形成的复合函数，故应分a>1和0[评析] 研究与对数函数有关的复合函数的单调性时，一种方法是利用导数，这时应注意正确地进行导数运算，另一种方法是根据复合函数单调性的判断规则“同增异减”进行判断，对于含有参数的函数，必须进行分类讨论.[分析] 利用幂函数的定义及性质先确定m的值，然后再解关于a的不等式．
[评析] 解决幂函数综合题，是一类比较常见的综合问题，解决这类问题通常利用幂函数的奇偶性和单调性，并借助幂函数的图像，同时要注意分类讨论思想．[答案] B 课件40张PPT。1．结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系．
2．根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．
3．(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．对函数应用问题的考查以及联系生活实际和生产实际的应用问题，将会是高考的热点之一．
2．函数的零点，二分法是新增内容，在高考中以选择题，填空题的形式考查可能性较大．
3．利用转化思想解决方程问题，利用函数与方程思想解决函数应用问题，利用数形结合的思想方法研究方程根的分布问题是高考的趋势．1．方程的根与函数的零点：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．3．解决函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础：
(1)阅读理解，审清题意：读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．(2)根据所给模型，列出函数关系式：根据问题中的已知条件和数量关系建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为函数问题．
(3)利用数学方法将得到的常规函数(即数学模型)予以解答，求得结果．
(4)将所得结果转译成具体问题的解答．4．对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，近而得到零点的方法叫二分法．[例1] (2011·辽宁文，16改编)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，求a的取值范围．
[分析] 本题考查了用函数与方程的思想方法来对题目进行转化变形的能力．[解析] 函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程f(x)＝0有实根，也就是a＝－ex＋2x有解
令g(x)＝－ex＋2x
g(x)的值域就是a的取值范围
∵g′(x)＝－ex＋2＝0的根为x＝ln2
且当x∈(－∞，ln2)时，g′(x)>0，g(x)是增函数
当x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)是减函数
∴g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2
∴a的取值范围是(－∞，2ln2－2)．[分析] 由零点概念直接求出．
[答案] C
[解析] 令x2＋2x－3＝0，∴x＝－3或1
∵x≤0，∴x＝－3；令－2＋lnx＝0，∴lnx＝2
∴x＝e2>0，故函数f(x)有两个零点．
[评析] 掌握零点的定义和求法，解决此类问题不是很难.[分析] (1)利用导数法证明函数的单调性．
(2)利用函数在某一区间内存在零点的条件证明其存在性，利用函数的单调性说明其唯一性．
(3)运用“二分法”求其区间．[评析] 1.本例第(2)问需证明存在性和唯一性，不可漏掉唯一性的证明．
2．应用二分法确定零点所在区间长度不超过q，可有如下思考过程：
(1)f(a)·f(b)<0，区间长|a－b|≤q，则零点x0∈(a，b)，区间(a，b)为所求；(文)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且只有一个零点，求实数m的取值范围，并求出零点．
[证明] (1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0，
又∵a>b>c，∴a>0，c<0，即ac<0，
又∵Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，
所以函数f(x)有两个零点．[分析] 根据题意建立y与x的函数关系利用函数性质求解．
[解析] (1)利润y是指生产数量为x的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差，由题意，当x≤5时，产品能全部售出当x>5时，只能销售500台，所以[评析] ①分段函数的最大值：分段函数的最值应分段求出y的最值(或范围)进行比较，取较大者，如本题第(2)问；
②问题的转化：转化过程应注意等价性、全面性．如
1°利润＝销售总收入－(固定成本＋直接消耗成本)．
2°因市场对此产品年需求量为500台，所以当产品超过500台时，也只能销售500台．
3°求x为何值时利润最大，转化为求分段函数，使y最大时对应的自变量x的值．
4°企业不亏本，转化为满足y≥0来解决．
(2)当0≤t<10时，y的取值范围是[1200,1225]，
当t＝5时，y取得最大值为1225；
当10≤t≤20时，y的取值范围是[600,1200]，
在t＝20时，y取得最小值为600.
答：总之，第5天日销售额y取得最大值为1225元；第20天日销售额y取得最小值为600元．(理)(山东模拟)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系用如图的两条直线段表示：
该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如下表所示：(1)根据提供的图像，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式．
(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)
(2)描出实数对(t，Q)的对应点如图所示．
从图像发现：点(5,35)，(15,25)，(20,20)，(30,10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l：Q＝kl＋b.
由点(5,35)，(30,10)确定出l的解析式为：Q＝－t＋40.
通过检验可知，点(15,25)，(20,20)也在直线l上．
∴日销售量Q与时间t的一个函数关系式为：
Q＝－t＋40(0(1)了解导数概念的实际背景．
(2)理解导数的几何意义．3．导数在研究函数中的应用
(1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．
(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，会求在闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值．4．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题．
5．定积分与微积分基本定理(理)
(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．
(2)了解微积分基本定理的含义．本部分内容在高考中所占分数大约在10%左右．导数及其应用在高考中的题型分布大致是一个选择或填空，一个解答题，分值约17～19分，属于高考重点考查内容．具体考查体现在：
(1)简单函数求导，它是解决导数问题的第一步，应熟记导数基本公式，导数四则运算法则和复合函数求导法则．(2)求曲线的切线方程，切线斜率的一类问题，包括曲线的切点问题．这类问题是导数几何意义的运用，拓宽了解析几何的解题思路，凸显了数形结合的数学思想方法．
(3)应用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题．这类问题往往通过对函数求导转化为解不等式问题．此处大多以考查含参二次不等式(组)为主.
(4)应用导数求函数的极值、最值和值域问题．这类问题与函数单调性有着必然联系，解决这类问题可借助单调性列表(或画函数示意图)求解．(5)不等式恒成立问题．这类问题是近几年高考的热点．一类是求参数取值范围，它是函数、导数与不等式的综合问题．另一类是证明不等式．它对综合分析和运用的能力要求较高．
(6)(理)对定积分部分的考查以利用微积分基本定理求定积分和曲边平面图形面积为主，高考出题较少，一般是一个小题，只对理科学生有要求．2．导数的几何意义
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f ′(x0)．
(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
4．函数的性质与导数
在区间(a，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．
在区间(a，b)内，如果f ′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．5．导数的应用
(1)求可导函数f(x)极值的步骤
①求导数f ′(x)；
②求方程f ′(x)＝0的根；
③检验f ′(x)在方程f ′(x)＝0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值．
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
①求f ′(x)；
②求方程f ′(x)＝0的根(注意取舍)；
③求出各极值各区间端点处的函数值；
④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)．(3)利用导数解决优化问题的步骤
①审题设未知数；②结合题意列出函数关系式；③确定函数的定义域；④在定义域内求极值、最值；⑤下结论．
(4)定积分在几何中的应用(理)
被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(a(2)先求出过任一点P(x0，y0)的切线方程，然后求解．
[评析] (1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”．
(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．
[评析] (1)在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上．
(2)过点Q的切线即切线过点Q，Q不一定是切点，所以本题的易错点是把点Q作为切点．求过点P的切线方程时，首先是检验点P是否在已知曲线上．[答案] D [例2] (文)(2011·北京文，18)已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
[分析] 依据导数的符号来判断函数的单调性，再由单调性求最值．[解析] (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
f(x)与f′(x)随x的变化情况如下：
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；
单调递增区间是(k－1，＋∞)，(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
[评析] 本题主要考查导数的应用以及综合运用有关知识解决问题的能力． [分析] 本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性．
(1)问，利用导函数大于(小于)零，解不等式求得函数的单调区间(注意参数k的取值对单调区间的影响)．(2)问把不等式恒成立求参数的范围问题，转化为求函数f(x)的区间(0，＋∞)上的最值，注意对k分k>0，k<0两种情况进行分类讨论．所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．
当k<0时，f(x)与f′(x)的情况如下：
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．[评析] 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况，大多数情况下是归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．(2011·南京二模)已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)证明f(x)＝x3－ax－1的图像不可能总在直线y＝a的上方．
[解析] (1)由已知f ′(x)＝3x2－a，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
∴f ′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2时，对x∈R恒成立．
∵3x2≥0，∴只需a≤0，
又a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.(2)由f ′(x)＝3x2－a≤0，在(－1,1)上恒成立，
得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立．
∵－1当a＝3时，f ′(x)＝3(x2－1)．
在x∈(－1,1)上，f ′(x)<0，
即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3.
故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．
(3)∵f(－1)＝a－2∴f(x)的图像不可能总在直线y＝a上方．(2010·重庆文，19)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f ′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式：
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．[解析] (1)由题意得f ′(x)＝3ax2＋2x＋b，
因此g(x)＝f(x)＋f ′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b](1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.[评析] 解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”转化为数学语言，抽象为数学问题，选择合适的求解．而最值问题的应用题，写出目标函数利用导数求最值是首选的方法，若在函数的定义域内函数只有一个极值点，该极值点即为函数的最值点．(文)烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．如图所示，已知A、B两座烟囱相距20 km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比(比例系数为k)．若C是AB连线上的点，设AC＝x km，C点的烟尘浓度记为y.(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)是否存在这样的点C，若该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由．
[解析] (1)不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，由AC＝x(0依题意，点C处的烟尘浓度y的函数表达式为：
(理)(江苏启东质检)水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2＋50＝108.32(亿立方米)
故知一年内该水库最大蓄水量是108.32亿立方米.[例5] 求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．
[分析] 画出函数图像，求出交点坐标，用积分求解．[解析] 作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图像，所求面积为图中阴影部分的面积．
[评析] 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③确定积分的上、下限，并求出交点坐标；④运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．(2011·山东青岛)由直线x－y－2＝0与抛物线y2＝x围成的图形的面积为________．课件45张PPT。
1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图像，了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数的性质．
3．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，了解参数A、ω、φ对函数的影响．
三角函数的图像是三角函数重要的组成部分，也是高考命题常考知识点，通常以两种模式出现：一类是对图像的认识，另一类是图像的变换，题型通常为客观性试题，属中低档题，但图像变换出错的可能性较大，在复习时应慎重对待，在三角函数的性质中周期性是高考频繁涉及的考点．1．任意角和弧度制
(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
(2)弧度制：用度作为单位来度量角的单位制．把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角．3．诱导公式5．正弦、余弦、正切函数的性质(2)图像变换[分析] (1)利用平方关系和已知条件求sinθ、cosθ的值，进而求tanθ的值，其中注意sinθ与cosθ的大小关系．(2)结合同角三角函数基本关系式解后面两问．
(3)sinθ＋cosθ，sinθcosθ，sinθ－cosθ三者知一求二，有以下关系：
①(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ；
②(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ；
③(sinθ＋cosθ)2－(sinθ－cosθ)2＝4sinθcosθ；
④(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2.[分析] 先由函数图像求出解析式，再由平移变换判断选项．
[答案] A[评析] ①在由图像求解析式时，需确定A，ω，φ，A由图像可求，ω由T求，φ由“五点法”求．
②由y＝sinx得到y＝Asin(ωx＋φ)时，注意先平移后伸缩和先伸缩后平移，平移的距离不同．[答案] D[分析] (1)求ω的值，应先把f(x)的解析式化简为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式结合周期求ω.
(2)求f(x)的值域，应先求ωx＋φ的取值范围，结合性质，最后求值域．[答案] D [评析] “五点法”作图中，由图像可求函数解析式f(x)＝Asin(ωx＋φ)中的A、ω、φ.已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图像如图所示，则φ＝____________.课件45张PPT。1．理解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．
2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．
3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
4．能正确运用三角函数公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
5．掌握正弦定理、余弦定理，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的三角形度量问题．本部分内容在高考中所占分数大约占12%，主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变形及解三角形等基本知识．近几年高考题目中每年有1～2个小题，一个大题，解答题以中低档题为主，很多情况下与平面向量综合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，今后有关三角函数的问题仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，控制在中等偏易程度；如果有解答题出现，一般放在前两题位置．
解三角形的考题有客观题也有解答题，通过三角形中的边长与角度之间的数量关系，来解决一些与测量和几何计算等有关的实际问题，考查考生对数学与现实世界和实际生活的联系的认识，培养和发展考生的数学应用意识．
7．解三角形
(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解；
(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一；
(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；
(4)已知三边，利用余弦定理求解．
[分析] 先化切为弦，再将所求式化简，化简时注意所求角与已知角之间的关系．
[评析] 利用两角和与差的三角函数及倍半公式进行恒等变式时，要合理地应用公式，注意角的变化，函数名的变化和函数结构的变化．[例3] 在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．
[分析] 利用正、余弦定理进行边角互化．[解析] 解法一：由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
代入已知条件得sinAcosA＋sinBcosB＝sinCcosC，
∴sin2A＋sin2B＝sin2C.
∴sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝2sinCcosC，
∴2sin(A＋B)cos(A－B)＋2sin(A＋B)cos(A＋B)＝0，
∵sin(A＋B)≠0，∴cos(A－B)＋cos(A＋B)＝0.
∵2cosAcosB＝0.
∴cosA＝0，或cosB＝0，即A＝90°，或B＝90°.
∴△ABC是直角三角形．去分母得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
整理得(a2－b2)2＝c4，
∴a2－b2＝±c2，∴a2＝b2＋c2，或b2＝a2＋c2.
由勾股定理知△ABC是直角三角形．[评析] (1)判断三角形的形状，主要有两条思路：
一是化角为边，二是化边为角．
(2)若等式两边是关于三角形的边或内角正弦函数齐次式，则可以根据正弦定理进行相互转化．
如asinA＋bsinB＝csinC?a2＋b2＝c2?sin2A＋sin2B＝sin2C.在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．[分析] 本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力，一般思路，利用余弦定理、正弦定理，将边角统一．
[评析] 正、余弦定理是把边角关系进行转化的重要依据，所以，解三角形问题一般都可以利用角或边两种方法解决；另外，三角形面积有多种表达方式，在解决问题中要根据题目特点是灵活选择．课件55张PPT。
1．平面向量的基本定理及其意义
(1)了解平面向量的基本定理及其意义．
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
(3)会用坐标表示平面向量的加法，减法与数乘运算．
(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．平面向量的数量积
(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
3．向量的应用
(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
(2)会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题．1．平面向量的运算是高考考查的重中之重，常以选择题、填空题形式出现，其内容包括向量运算的几何意义，这是几何问题向量化的桥梁；也包括向量的坐标运算，这是向量问题代数化的依据．
2．向量与三角函数、函数、数列、解析几何等的综合．其中对向量的考查仍然是基本运算，通过向量运算，把题目从向量中“脱”出来，转化为其他知识的考查．3．向量的工具性．
平面上的距离可以看成某向量的模，平面上的角可以看成两向量的夹角，这样平面中的平行垂直，夹角距离等位置或度量关系可以通过向量实现几何问题代数化．平面向量的数量积是高考命题的重点，主要考查数量积的运算、化简证明、两向量夹角以及平面向量的平行垂直的充要条件，用向量证平面几何问题．预测今后高考仍将对数量积重点考查．1．向量的基本概念
(1)既有大小又有方向的量叫向量，向量可用有向线段来表示．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0.我们规定：零向量和任一向量平行．2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
3．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.7．平面向量的数量积
(1)定义：a·b＝|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角)．
(2)投影：|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．
8．数量积的性质
(1)a⊥b?a·b＝0；[分析] 将条件变形，代入cosθ中化简求值．
[评析] 两个向量的数量积是向量运算中的重要内容，两向量夹角的余弦公式是数量积运算的一个变形．求两向量夹角的余弦的实质就是计算两个向量的模以及两个向量的数量积．[分析] (1)中，利用a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0求解．
(2)中，假设存在，由a∥b?x1y2－x2y1＝0展开，再求．
[评析] 在平面向量中，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0；a⊥b?x1x2＋y1y2＝0，以及向量夹角、长度等公式是最常用、最重要的公式．[分析] 由m·n入手，对m·n化简，然后代入(1)，(2)求解．
[评析] 高考新课程卷中，解三角形这部分的考题，主要有两类，一类是解决与测量、几何运算有关的实际问题，这类题难度不大，易于解决，另一类则是与三角变换或平面向量相结合，综合性较强，复习过程中要重点加强．[解析] (1)解法一：b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则
|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．
∵－1≤cosβ≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.
当cosβ＝－1时，有|b＋c|＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2.
解法二：∵|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2，
当cosβ＝－1时，有b＋c＝(－2,0)，即|b＋c|＝2.
所以向量b＋c的长度的最大值为2.
分析] 本题主要考查了轨迹方程的求法，以及曲线的切线的求法，点到直线距离公式，均值不等式等．
对于(1)问，利用向量的坐标运算，得动点坐标的关系式，即为轨迹方程．对于(2)问，利用导数可得切线的斜率，求得切线方程，利用点得直线距离公式，均值不等式求得最小值．[评析] 向量与解析几何结合的综合题是高考命题的热点，解题的关键是正确把握向量与坐标之间的转化和条件的运用．常见技巧有两个；一是以向量的运算为切入口；二是结合向量的几何意义及曲线的有关定义作转化．
[评析] 向量与解析几何结合的综合题是高考命题的热点，解题的关键是正确把握向量与坐标之间的转化和条件的运用．常见技巧有两个；一是以向量的运算为切入口；二是结合向量的几何意义及曲线的有关定义作转化．课件46张PPT。1．数列的概念和简单表示法
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．
(2)了解数列是一种特殊函数．
2．等差数列、等比数列
(1)理解等差数列、等比数列的概念．
(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．
3．了解数列求和的基本方法
本部分考查的内容主要是：(1)等差数列、等比数列的基本知识(定义、通项公式、前n项和公式)．(2)能转化成等差数列、等比数列的递推数列的通项公式，本部分的考题一般是一个选择，一个填空题，以中、低档题为主．[例1] (2011·福建文，17)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d，则
a1＝1，a3＝1＋2d＝－3，∴d＝－2
∴an＝3－2n.
[评析] (1)在等差、等比数列的通项公式和前n项公式中，有五个量“知三求二”，是基本的思想方法，解决等差、等比数列的有关问题时，先求“基本量”是常用方法．
(2)对于数列求和应掌握经常使用的方法，如：裂项、叠加、累积．本题应用了裂项求和．(2011·大纲全国卷理，4)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝( )
A．8 B．7
C．6 D．5
[答案] D[评析] 在已知前n项和Sn求数列通项an时，要注意对n＝1时情形的讨论．当n＝1时的情形符合n≥2时的表达式时，二者可合为一个统一的表达式．否则应以分段函数的形式呈现．在考查求和时，除了错位相减法之外，累加法、拆项转化法、裂项相消法也是考查热点.[例4] (2011·福建厦门质检)将数列{an}中的所有项按每一行比上行多一项的规则排成如下数表：
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
……[评析] 数列项的变化呈规律性，这是等差、等比数列的特征，在高考中，这种变化的规律性经常用数表或图形给出，也可以是给出信息根据新信息解题，对考查学生的创新能力提出了较高的要求．新课标教材的学习，十分重视创新、立意鲜明、背景鲜明、设问灵活．解这类问题要先读懂题意，从题目中获取有用信息，然后根据相关知识作进一步的演算和推理，综合运用新的信息和数学知识分析，解决新情境问题．课件56张PPT。能在具体问题情景中识别数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应问题．
该部分易出解答题，相对较难，通常与函数、不等式等知识相结合，综合性较强、难度较大，且往往为压轴题．近几年的模拟试题、高考题中常出现以高等数学中的矩阵为背景的“矩阵数列”；与解析几何相结合的“点列”问题，成为考题一大靓点，备受命题者的青睐，望同学们在二轮复习中多加留意，发现其解题规律以提高解题能力．
1．数列是高数学的重要内容，也是高考的热点．纵观近几年高考，关于数列的考查有以下三方面内容：一是数列本身的知识，主要是等差数列、等比数列的概念、公式、性质等；二是数列与其它知识的交汇，如：与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的结合；三是数列的应用问题，主要是增长率，分期付款等数列的模型．
2．解数列型应用题的关键是建立有关等差数列、等比数列或递推数列的模型，再综合运用数列的有关知识去解决问题．凡涉及到利息、产量、降(升)价、繁殖与增长率或降低率有关的问题，以及经济活动中的分期付款、期货贸易等与月(年)份有关的实际问题，可考虑转化为相应的数列问题解决．[例1] (2011·海南三模)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0f(x2)成立，设数列{an}的前n项和Sn＝f(n)．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)求数列{an}的通项公式；[分析] (1)由①②两个条件可以确定函数f(x)的解析式；(2)根据数列中an与Sn的关系即可求出{an}的通项公式；(3)(文)准确理解变号数的概念；(理)具体求出Tn后，问题等价于m<(Tn－n)min.[解析] (1)∵f(x)≤0的解集有且只有一个元素，
∴Δ＝a2－4a＝0?a＝0或a＝4.
当a＝4时，函数f(x)＝x2－4x＋4在(0,2)上单调递减，故存在0f(x2)成立；
当a＝0时，函数f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，故不存在0f(x2)成立．
综上，a＝4，故f(x)＝x2－4x＋4.
[评析] (1)由于数列是特殊的函数，因此当以函数形式给出数列时，应转化为an与n的关系．
(2)数列与函数的综合性试题通常用到函数与方程、化归与转化、分类与整合等思想．注意数列是特殊的函数、等差、等比数列更是如此，因此求解数列与函数的综合性题目时，注意数列与函数的内在联系．
[评析] 先做第(2)问，求出数列{an}的通项公式，然后根据数列{an}的通项公式再证第(1)问an0，n≥2)，且a1＝0，n≥2时，an>0.其中Sn是数列{an}的前n项和．
(1)求数列{an}的通项公式；[评析] 数列与解析几何存在着密切联系，当然数列综合题还可与方程、不等式、复数、三角函数、立体几何等相结合．(3)由题意得S＝{x|x＝－2n－1，n为正整数}，T＝{y|y＝－12n＋9，n为正整数}，
所以S∩T中的元素组成以－3为首项，－12为公差的等差数列，
所以a1＝－3，则数列{an}的公差为－12k(k∈N*)，
若k＝1，则an＝－12n＋9，a10＝－111?(－225，－115)；若k＝2，则an＝－24n＋21，a10＝－219∈(－225，－115)；
若k≥3，则a10≤－327，即a10?(－225，－115)．
综上所述，数列{an}的通项公式为an＝－24n＋21(n为正整数).[例4] 某城市2011年末汽车拥有量为30万辆，预计此后每年将上一年末汽车拥有量的6%报废，并且每年新增汽车数量相同．为保护城市环境，要求该城市汽车拥有量不超过60万辆．从2011年末起，n年后年末汽车拥有量为bn＋1万辆，若每年末的拥有量不同．
(1)求证：{bn＋1－bn}为等比数列；
(2)每年新增汽车数量不应超过多少辆？
[分析] 解答应用题的关键是将自然语言转化为数学语言，联系所学数学知识点建立正确的数学模型．[解析] (1)设2011年末汽车拥有量为b1万辆，每年新增汽车数量为x万辆，则b1＝30，b2＝b1×0.94＋x，
可得bn＋1＝0.94bn＋x，
又bn＝0.94×bn－1＋x两式相减得，
bn＋1－bn＝0.94×(bn－bn－1)，
∵每年末的拥有量不同，
∴{bn＋1－bn}是以b2－b1＝x－1.8为首项且公比为0.94的等比数列．课件50张PPT。1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
4．了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．1．常以选择、填空题的形式全面考查线线、线面、面面等空间位置关系，且以符号语言叙述题目，难度适中．一方面要从文字语言、符号语言、图形语言三个角度熟练地掌握各种判定定理、性质定理．另一方面可以把条件放置在一个熟悉的几何体中考查．有时候，局部满足条件，让其余条件动起来，在运动中考查等．
2．空间中的度量关系包括侧面积、表面积、体积等，常以熟悉的几何体为背景加以考查，难度不大．求体积有时候方法比较灵活．注意三棱锥的等体积转化，不规则几何体则通过割补化归为规则几何体求解．3．对空间想象能力的考查始终是立体几何试题的一个重要任务．每年都会有一个大题，主要是考查平行垂直的证明及面积体积的计算等，难度中等．
4．近几年，以立体几何为载体，考查函数、解析几何等的知识交汇点上的题目时有出现，应引起足够的重视．1．柱体、锥体、台体、球的几何特征2.柱体、锥体、台体的侧面展开图3.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积4.空间几何体的三视图和直观图
(1)空间几何体的三视图
三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，反映了一个几何体各个侧面的特点．任意一个物体的长、宽、高一般指的是物体占有空间的左右、前后、上下的最大距离．
(2)空间几何体的直观图
空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．对斜二测画法的规则可以记忆为：“平行要保持，横长不变，纵长减半”．[分析] 对给出的每一个命题都对照相关的空间几何体及其性质，进行分析、判断、计算．
[答案] B
[解析] 命题①不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体；命题②不是真命题，直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周形成的几何体叫做圆锥，如果绕着它的斜边旋转一周，形成的几何体则是两个具有共同底面的圆锥；
[评析] 平行六面体、圆锥、棱锥以及球都是常见的几何体，应熟练掌握它们的结构特征和相关性质．(2011·哈尔滨质检)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④[答案] D
[解析] 根据圆柱、圆锥、圆台的母线的定义和性质可知，只有②④两个命题是正确的是，所以选D.
[分析] 本题考查了三视图及简单几何体表面积的计算，题目难度适中，考查了空间想象能力和逻辑思维能力及简单的计算能力．
[答案] C[评析] (1)解答此类问题，首先由三视图想象出几何体的形状，并由相关数据得出几何体中的量，进而求得表面积或体积．
(2)掌握三视图是正确解决这类问题的关键，同时也体现了知识间的内在联系，是高考的新动向．已知一个空间几何体的三视图如图所示(其中“綈”与“┘”等均为直角符号)，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________cm3.[答案] 4[例3] 如图所示是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．[分析] 由三视图知该几何体是一个简单的组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥．
[解析] (1)画轴．如图所示，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．利用斜二测画法在平面xOy内画出底面的ABCD，在z轴上截取O′，使OO′等于三视图中相应的高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，在平面x′O′y′内画出上底面A′B′C′D′.(3)画正四棱锥顶点．在Oz上取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．
(4)成图．连结PA′，PB′、PC′、PD′，A′A，B′B，C′C，D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图(2)所示．[评析] (1)本例首先考虑由三视图还原几何体，然后按几何体画直观图步骤画出直观图．
(2)由三视图想象几何体时，要充分结合正视图、侧视图和俯视图想象几何体的结构特征．熟知一些基本几何体的三视图对想象组合体的结构是非常有用的．(2011·临沂模拟)一几何体的三视图如下：
(1)画出它的直观图(不必写步骤)，并求其体积；
(2)你能发现该几何体的哪些面互相垂直？试一一列出．(2)互相垂直的面分别为：面PAC⊥面ABC，面PBC⊥面ABC，面PBC⊥面PAB.[例4] (2011·江苏无锡调研)如图所示，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC、BC、A1C1、B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？(直三棱柱是指侧棱与底面垂直的三棱柱)[分析] 侧面AA1B1B水平放置时，水的形状可视为侧棱与底面垂直的四棱柱，利用两种放置水的体积不变求得高．
[解析] 当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面ABFE为梯形．[评析] 本题解答的关键是利用两种放置方法中水的体积不变建立关于所求高的等式求解．解答中计算侧面AA1B1B水平放置时液体的体积是直接利用柱体的体积公式，其体积的计算也可利用间接法：V液体＝V柱A1B1C1－ABC－V柱C1GH－CEF.(2011·安徽合肥)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是( )[答案] D[分析] 外接球球心到各顶点的距离相等，内切球球心到各面的距离相等，两球心都在正四棱锥的高线上．
[解析] (1)如图所示，连结AC、BD交于点O1，连结SO1，则SO1⊥平面ABCD.(2)设内切球的半径为r，球心为M，显然该正四棱锥由以M为顶点的四个三棱锥(三棱锥M－SAB，三棱锥M－SBC，三棱锥M－SDC，三棱锥M－SAD)和一个四棱锥M－ABCD组成，这四个三棱锥和一个四棱锥的体积之和等于该正四棱锥的体积，在△SBC中，作SE⊥BC，垂足为E，[评析] 多面体、旋转体与球的外接、内切问题是高考考查的重点，此类问题多借助轴截面将立体几何问题转化为平面几何问题，然后通过解三角形求解．对于多面体内切球的问题，如本题常通过间接法进行求解．在本题中，外接球、内切球的球心都应在高SO1上，那么它们是同一个点吗？半径为R的球有一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径为何值时，它的侧面积最大？最大值是多少？
[解析] 取圆柱的一个轴截面ABCD(如图所示)，则⊙O为球的一个大圆．设圆柱的底面半径为r，高为h，侧面积为S，连结OB，作OH⊥AB，交AB于H.课件50张PPT。1．理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解公理1、2、3、4.
2．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．
3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．本部分考查的内容是：线面关系的判断与证明、空间几何体的识图等．以客观题考查空间中的点、线、面的位置关系．考查学生用数学语言表达有关平行、垂直的性质与判定并对一些性质能够进行论证．解答题则主要考查空间几何体的点、线、面的位置关系的证明及距离问题的求解．1．点、线、面的位置关系
(1)平面的基本性质(2)平行公理、等角定理
公理4：若a∥c，b∥c，则a∥b.
等角定理：若OA∥O1A1，OB∥O1B1，则∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.(3)直线、平面的位置关系2.直线、平面的平行与垂直[例1] (2011·潍坊模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F、H分别为A1D、A1C的中点．
(1)证明：A1B∥平面AFC；
(2)证明：B1H⊥平面AFC.
[分析] 分别利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理证明．[解析] (1)连BD交AC于点E，则E为BD的中点，连EF，又F为A1D的中点，所以EF∥A1B.
又EF?平面AFC，A1B?平面AFC，
∴A1B∥平面AFC.(2)连结B1C，在正方体中四边形A1B1CD为长方形，
∵H为A1C的中点，
∴H也是B1D的中点，
∴只要证B1D⊥平面ACF即可．
由正方体性质得AC⊥BD，AC⊥B1B，
∴AC⊥平面B1BD，∴AC⊥B1D.又F为A1D的中点，∴AF⊥A1D，
又AF⊥A1B1，∴AF⊥平面A1B1D.
∴AF⊥B1D，又AF、AC为平面ACF内的相交直线．
∴B1D⊥平面ACF.即B1H⊥平面ACF.
[评析] (1)证明线面平行问题的常用方法
①利用定义证明，即若a∩α＝?，则a∥α；
②利用线面平行的判定定理证明，即a∥b，a?α，b?α?a∥α，由线线平行?线面平行；
③利用面面平行的重要结论证明，即α∥β，a?α?a∥β，由面面平行?线面平行．(2)证明线线平行的常用方法：①利用定义，证两线共面且无公共点；②利用公理4，证两线同时平行于第三条直线；③利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行．
(3)证明线面垂直的方法有：
①定义；②判定定理；
③a∥b，a⊥α，则b⊥α；④α∥β，a⊥α，则a⊥β；
⑤α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，则a⊥β.
[证明] (1)连结A1B，设A1B交AB1于E，连结DE，
∵点D是BC的中点，点E是A1B的中点，
∴DE∥A1C，∵A1C?平面AB1D，DE?平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D.(2)∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∵平面ABC⊥平面B1BCC1.
平面ABC∩平面B1BCC1＝BC，AD?平面ABC，
∴AD⊥平面B1BCC1.
∴∠BDB1＝∠BC1C.
∴∠FBD＋∠BDF＝∠C1BC＋∠BC1C＝90°.
∴BC1⊥B1D，∵B1D∩AD＝D，
∴BC1⊥平面AB1D.[例2] (2011·苏北4月检测)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝a，F、F1分别是AC、A1C1的中点．
(1)求证：平面AB1F1∥平面C1BF；
(2)求证：平面AB1F1⊥平面ACC1A1.[分析] (1)要证平面AB1F1∥平面C1BF，可证明平面AB1F1与平面C1BF中有两条相交直线分别平行．
(2)要证两平面垂直，只要证B1F1⊥平面ACC1A1，而平面AB1F1经过B1F1，因此可知结论成立．[解析] (1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，
∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F，
又∵B1F1与AF1是两相交直线，
∴平面AB1F1∥平面C1BF.
(2)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
∴B1F1⊥AA1，又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1，而平面AB1F1经过B1F1，
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.(2011·江苏，16)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.[证明] (1)在△PAD中，因为E、F分别为AP、AD的中点，所以EF∥PD.
又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD.
所以直线EF∥平面PCD.(2)连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，
BF?平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.
又因为BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.[分析] 对于(1)、(2)折叠前后都有DE⊥AE，据此结合其它条件利用线面垂直、平行的判定定理即可证明；对于(3)，可结合有关的计算加以证明．[解析] (1)由已知得DE⊥AE，DE⊥EC.
∵AE∩EC＝E，AE、EC?平面ABCE.
∴DE⊥平面ABCE，
∴DE⊥BC.
又BC⊥CE，CE∩DE＝E.
∴BC⊥平面CDE.(2)取AB中点H，连接GH、FH，
∴GH∥BD，FH∥BC，
∴GH∥平面BCD，FH∥平面BCD，
又GH∩FH＝H，
∴平面FHG∥平面BCD，
∴GF∥平面BCD.
∴在△CRQ中，CQ2＋RQ2＝CR2，
∴CQ⊥RQ.
又在△CBD中，CD＝CB，Q为BD中点，
∴CQ⊥BD，∴CQ⊥平面BDR，
又CQ?平面BDC，∴平面BDC⊥平面BDR.[评析] (1)翻折与展开是一个问题的两个方面，不论是翻折还是展开，均要注意平面图形与立体图形中各个对应元素的相对变化，元素间大小与位置关系，哪些不变，哪些变化，这是至关重要的．
(2)解决这一问题注意折线同一侧的点、线的数量关系和位置关系不发生变化，分析原图形与折叠后图形间关系．[例4] (2011·福建福州一中模拟)已知某个几何体的三视图和直观图如下图所示，E为AC的中点．(1)求该几何体的体积；
(2)在边SD上是否存在点F使得EF⊥BC？如果存在，求F点的位置并给出证明；如果不存在，请说明理由．
[分析] 1.由三视图结合直观图，确定几何体线与面的位置关系及数量关系，以进一步进行有关计算．
2．对于点的存在性的探究性问题，一般要考察特殊点(中点、三等分点等)试验并证明．(2)存在点F为SD的中点，使得EF⊥BC，证明如下：
连结BD，则点E为BD的中点，∴EF∥SB.
∵SO⊥面ABCD，∴SO⊥BC.
又∵OB⊥BC，∴BC⊥面SAB.
∴BC⊥SB.∵EF⊥SB，∴EF⊥BC.
[评析] 解决探究某些点或线的存在性问题，一般的方法是先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直)，再证明其符合要求．(2011·湖南长沙)如图所示在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，PA＝AB＝2.(1)证明：BC⊥平面AMN；
(2)在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．
[分析] (1)利用线面垂直的判定定理证明；
(2)考查PD的中点并加以证明．[解析] (1)证明：因为ABCD为菱形，所以AB＝BC，
又∠ABC＝60°，所以AB＝BC＝AC，
又M为BC中点，所以BC⊥AM.
而PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，
又PA∩AM＝A，所以BC⊥平面AMN. 课件89张PPT。1．了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其表示；掌握空间向量的数量积及坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
2．理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；能用向量方法证明有关线面关系的一些定理；能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．1．本部分内容在高考中所占分数大约在5%－10%.
2．从命题形式上看，试题以多面体为载体，在直线、平面、多面体的交汇处命题．分步设问：分设3小题左右，诸小题之间有一定的梯度．第一小问重点考查运用空间向量讨论线线、线面、面面的位置关系，后面几问重点考查运用空间向量来求异面直线所成的角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等立体几何基本问题，其解题思路都是“作——证——求”，强调作图、证明和计算相结合．3．在新课标的试题中，为了突出对向量工具作用的考查，试题所考查的多面体一般都是直棱柱、正棱锥，或有一条棱与底面垂直的多面体或者是有一个面与底面垂直的多面体，尤其是侧重对含有正方体一角的多面体考查．1．共线向量与共面向量
(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量．
(2)平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(4)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.2．两个向量的数量积
向量a，b的数量积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
向量的数量积的性质：
①若e是单位向量，则a·e＝|a|cos〈a，e〉；
②a⊥b?a·b＝0；
③|a|2＝a·a＝a2.向量的数量积满足如下运算律：
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②a·b＝b·a(交换律)；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．3．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使p＝xa＋yb＋zc.4．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
λa＝(λa1，λa2，λa3)；
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；
a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b?a·b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(3)平面的法向量
如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α.
如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．[分析] 根据空间向量的运算法则化简即可判定．
[答案] A
[评析] 用已知向量表示未知向量，以及进行向量表达式的化简时，一定要注意结合实际图形，以图形为指导是解题的关键，同时注意首尾相接的向量和向量的化简方法，以及从同一个点出发的两个向量的差向量的运算法则，避免出现方向错误．(2010·广东理，10)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______.
[答案] 2
[解析] c－a＝(1,1,1)－(1,1，x)＝(0,0,1－x)．
∴(c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2－2x＝－2.∴x＝2.[例2] 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.
(1)求证：BC1⊥AB1；
(2)求证：BC1∥平面CA1D.[分析] 本题可以根据三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，且AC⊥BC，以C1点为坐标原点，C1A1、C1B1、C1C所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，然后利用向量解决．[解析] 如图所示，以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．[评析] 利用向量证明平行关系
①线线平行
a，b分别是a，b的方向向量
ⅰ.存在非零实数λ满足a＝λb?a与b共线；
ⅱ.a·b＝±|a|·|b|?a，b共线．
②线面平行
ⅰ.若存在非零实数x，y满足a＝xb＋yc，则a与b，c共面．其中b，c不共线且在面α内，a?α，则a∥α，a所在直线平行于α.ⅱ.直线l在面α外，a为l的方向向量，n为α的法向量，则a·n＝0?a⊥n?l∥α.
③面面平行
m，n分别为α，β的法向量，则m＝λn(λ是非零实数)?m与n共线?α∥β.[例3] 如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.
(1)求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；
(2)求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.[分析] 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
[证明] 以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz如图，则有
A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,2)，B1(1,1,2)，C1(0,1,2)，D1(0,0,2)，D(0,0,0)．[评析] 利用向量证明垂直关系
①线线垂直
a，b分别为直线a，b的方向向量，则
a·b＝0?a⊥b?a⊥b.
②线面垂直
ⅰ.a为直线l的方向向量，n为平面α的法向量，则a＝λn(λ为非零实数)?a与n共线?l⊥α.
③面面垂直
ⅰ.m，n分别为面α，β的法向量，则
m·n＝0?m⊥n?α⊥β.
ⅱ.m是面α的法向量，a，b是面β内不共线的两向量，则m⊥a，m⊥b?α⊥β.[分析] 证线面平行可在平面EBD内找一直线所在的向量，证明与直线的方向向量平行．而证明线面垂直，可证明直线的方向向量与平面内的两不共线向量垂直．
[评析] 综合法更注重推理，方法巧妙，计算量不大，对空间想象能力以及逻辑推理能力要求较高，而向量法更多的是计算而且方法统一，具有格式化，易于掌握．从近几年高考尤其新课标地区的高考题来看主要以向量法的考查为主，较少使用综合法.[分析] 以A为原点建系，正确写出点的坐标，求出直线的方向向量以及平面的法向量．
[解析] (1)以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，A－xyz，设B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，(2011·大纲全国卷理，19)如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.
(1)证明：SD⊥平面SAB；
(2)求AB与平面SBC所成的角的大小．[解析] 以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0,2,0)．
又设S(x，y，z)，则x>0，y>0，z>0.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(2)证明平面AMD⊥平面CDE；
(3)求二面角A－CD－E的余弦值．
[分析] 以A为原点，AB，AD，AF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，平面的法向量就是该平面垂直的方向向量，注意已有结论的应用．[评析] (1)二面角的求法
①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所求二面角的平面角．②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．如图所示，二面角α－l－β，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α－l－β的大小为θ或π－θ.
(2)判断θ与〈n1，n2〉关系的方法．
把n1，n2平移到二面角的内部，根据法向量在三个坐标轴的分量，若n1，n2的箭头都各自指向自己的平面，或都各自背离自己的平面，则〈n1，n2〉＝π－θ；如果n1，n2一个箭头指向自己的平面，另一个箭头背离自己的平面，则〈n1，n2〉＝θ.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；
(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．[例6] (2011·山东东营模拟)如图，四棱锥P－ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且侧面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点．
(1)求异面直线PA与DE所成角的余弦值；
(2)求点D到平面PAB的距离．[分析] 建立空间直角坐标系，用向量法求解．
[解析] 如图，取DC的中点O，连接PO，
∵△PDC为正三角形，∴PO⊥DC.
又∵侧面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD.
如图建立空间直角坐标系O－xyz.
[评析] 用空间向量求点到平面的距离的方法步骤是：(1)求出平面的单位法向量n0；(2)任取一条过该点的该平面的一条斜线段，求出其向量坐标n1；(3)求出点到平面的距离d＝|n0·n1|，其中单位向量由法向量除以它的长度得出，斜线段可以任取，但必须经过该点．(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)设AB＝AP.
(ⅰ)若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；
(ⅱ)在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．[解析] (1)因为PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
所以PA⊥AB.
又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD.
又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz(如图．)在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD.
在Rt△CDE中，DE＝CD·cos45°＝1，
CE＝CDsin45°＝1.
设AB＝AP＝t，则B(t,0,0)，P(0,0，t)．
由AB＋AD＝4得AD＝4－t，
所以E(0,3－t,0)，C(1,3－t,0)，D(0,4－t,0)，课件53张PPT。1．直线与方程
(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．(4)掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
(5)能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．2．圆与方程
(1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
(2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系．
(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
1．平面直角坐标系内的两条直线的平行与垂直关系，每年必考，常考常新，一般以选择题或填空题重点考查平行，垂直关系的判断以及平行垂直条件的应用．
2．点到直线的距离是基础中的基础，求直线的斜率，倾斜角，两点间距离等知识是解析几何中的基础，对称思想及其求解方法等往往渗透到解析几何的各个部分，体现工具作用．
3．直线与圆的位置关系的应用与讨论，直线与向量的综合为高考的热点，有强化趋势．
4．数形结合思想是解析几何的灵魂，在直线与圆的问题中，显得尤为显明，是每年高考必考内容 1．直线方程
(1)概念
①直线倾斜角的定义．
②倾斜角α的范围：0°≤α<180°.
③倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．(2)直线方程(3)两直线的位置关系
(2)点与圆的位置关系
①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：d>r?点在圆外，d＝r?点在圆上；d②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r2(或0)作比较，大于r2(或0)时，点在圆外；等于r2(或0)时，点在圆上；小于r2(或0)时，点在圆内．(3)直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.(4)圆与圆的位置关系[例1] 过点P(3,2)作直线l，交直线y＝2x于点Q，交x轴正半轴于点R，当△QOR面积最小时，求直线l的方程．
[分析] 要求直线l的方程，需选择一个参数表示直线方程，利用待定系数法，通过建立△QOR的面积函数，确定取得最小值时的参数值，进而求得直线方程．因为S≠9，所以判别式Δ≥0，
即(12－2S)2＋16(S－9)≥0，
化简，得S2－8S≥0，
当且仅当k＝－2时，S取得最小值8，
此时直线l的方程为y－2＝－2(x－3)，
即2x＋y－8＝0.
综上，当△QOR的面积最小时，直线l的方程为2x＋y－8＝0.[评析] (1)求最值的问题，可先适当选取自变量，其次建立目标函数，再次是求最值，最后讨论何时取得最值．
(2)求直线方程问题，可依据条件恰当地选取方程的形式，利用待定系数法，建立待定参数的方程来解决．(2011·安徽理，15)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点
④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
[答案] ①③④⑤[例2] 过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为________________．
[分析] 因题中涉及圆心及切线，故可设标准形式较简单(只需求出圆心和半径)．
[答案] (x－3)2＋y2＝2
[评析] 求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程．(2011·辽宁文，13)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________________．
[答案] (x－2)2＋y2＝10[例3] (2011·山东菏泽二模)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．
[分析] 通过圆的方程求出圆心坐标及圆的半径，再利用圆心到切线的距离等于半径求解第(1)问，对于第(2)问要注意|PM|2＝|PC|2－r2的应用．(2)∵切线PM与半径CM垂直，设P(x，y)，
又∵|PM2|＝|PC|2－|CM|2，|PM|＝|PO|，
∴(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，
∴2x－4y＋3＝0.
所以所求点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0.
[评析] 在解决直线与圆相切的问题时，要注意圆心与切点的连线与切线垂直这一结论；当直线与圆相交时，要注意圆心与弦的中点的连线垂直于弦这一结论．[答案] B[例4] (2011·吉林市质量检测)已知圆x2＋y2－4x＋2y－3＝0和圆外一点M(4，－8)．
(1)过M作圆的割线交圆于A、B两点，若|AB|＝4，求直线AB的方程；
(2)过M作圆的切线，切点为C、D，求切线长及CD所在直线的方程．
[分析] 代入弦长公式可求k，求CD所在直线方程，可利用两圆公共弦方程求．
②若割线斜率不存在，AB：x＝4，代入圆方程得y2＋2y－3＝0，y1＝1，y2＝－3符合题意，综上，直线AB的方程为45x＋28y＋44＝0或x＝4.
[评析] (1)在研究直线方程或直线与圆及圆锥曲线关系时，特别注意直线中斜率k是否存在，有时可设直线方程为x＝my＋b.
(2)直线与圆相交时，两交点及圆心构成的三角形对解题很有帮助．
(3)直线与圆相切时，一般用几何法体现，即使用d＝r，而不使用Δ＝0.(2)解：①当直线l与x轴垂直时，
易知x＝－1符合题意．
②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，课件59张PPT。1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．
3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
4．了解圆锥曲线的简单应用．
5．理解数形结合的思想．1．本部分考查的内容主要是：圆锥曲线的标准方程及几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线中的定点、定值及最值问题，轨迹方程的探求，参数的范围问题等．
2. (文)对圆锥曲线的考查一直是高考的一个热点，文科多考查圆锥曲线的定义、方程和性质．高考文科试题对圆锥曲线的考查，在客观题中会以求椭圆离心率、双曲线的渐近线方程和定义的应用为主，主观题多以求圆锥曲线方程、圆锥曲线与平面向量相结合组成综合性大题，考查他们的思维能力，实现试题的区分度．(理)理科对本部分的考题类型大部分是二个选择、一个填空、一个解答题．客观题的难度为中等，解答题相对较难，且往往为压轴题．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大靓点，备受命题者的青睐，本专题还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识进行综合考查．预计在今年高考中：
1．圆锥曲线仍是高考的热点之一主要考查两大类问题：一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，其热点有：(1)以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；(2)求平面曲线的方程和轨迹；(3)圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；(4)涉及与圆锥曲线对称变换、最值或位置关系有关的问题．
2．从题型上看，以解答题为主，难度较大．椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质
[分析] 直线l2实质是抛物线的准线，而动点P在抛物线上，故可利用抛物线的定义将P到l2的距离转化为P到焦点的距离再结合图形求解．
[答案] A
[评析] 这类求距离之和的最小值问题，通常的办法是利用圆锥曲线的定义，将其中的一个距离转化(转化为到另一焦点或到准线的距离)，然后结合图形进行分析判断，求得最值，这时往往是在三点共线的情况下取得最值．[分析] 圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||<|F1F2|.[分析] (1)将已知点的坐标分别代入椭圆的方程，得a，b.(2)假设满足题意的圆存在，依据直线与圆相切的条件及OA⊥OB的坐标关系，来求假设中的圆的半径R，若求出R，则存在，进而求|AB|的取值范围，否则不存在．(2)证明：假设满足题意的圆存在，其方程为x2＋y2＝R2，其中0将其代入椭圆E的方程并整理，得
(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0.
由韦达定理得[评析] (1)在题解中，结合韦达定理转化条件OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0，进而得到关于参数m，k的关系式是解决直线与圆锥曲线相交问题的常用技巧，应熟练掌握．
(2)在求|AB|的取值范围时，两种方法均是建立了关于某一变量的函数模型，不过选用的自变量有所不同．在此过程应认真体会自变量选取的方法及其定义域的确定[分析] (1)利用直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则对应方程组有唯一解得到a、b的关系，进而求出离心率．
(2)结合导数知识，以数助形，应用灵活．
[答案] D[评析] (1)在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重要内容，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．
(2)导数与解析几何中斜率问题的有机联系常能出奇制胜．
(3)由a、b、c三者中任何两者的等式关系皆可求出e.[答案] C[分析] 求椭圆C的方程，由条件只需求a，c；而动点M的轨迹，用直接法可求．[评析] (1)求曲线的轨迹方程，常用的方法主要是直接法、定义法、代入法和待定系数法．(2)在求曲线轨迹方程的过程中，要注意：
①全面理解题意，弄清题目中的已知和结论，发现已知和未知的关系，进行知识的重新组合；
②合理进行数学语言间的转换，通过审题画出必要的图形或示意图，把不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式，把不便于进行数学处理的语言化为便于数学处理的语言；
③注意挖掘题目中的隐含的条件；
④要注意反馈和检验．[解析] (1)因为a⊥b，
所以a·b＝0，即(mx，y＋1)·(x，y－1)＝0，
故mx2＋y2－1＝0，即mx2＋y2＝1.
当m＝0时，该方程表示两条直线；
当m＝1时，该方程表示圆；
当m>0且m≠1时，该方程表示椭圆；
当m<0时，该方程表示双曲线．[评析] (1)直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究由它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题．对于消元后的一元方程ax2＋bx＋c＝0，必须讨论二次项系数和判别式Δ，当二次项系数a≠0时，Δ>0?直线与圆锥曲线相交；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切；Δ<0?直线与圆锥曲线相离．值得注意的是，直线与圆锥曲线相切，它们有一个交点，但直线与圆锥曲线有一个交点并不一定是直线与圆锥曲线相切．课件45张PPT。1．不等关系
了解现实世界和日常生活中存在大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
2．一元二次不等式
(1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型．
(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的联系．
(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．3．二元一次不等式组与简单线性规划问题
(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
(3)会以实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
1．本部分内容在高考中所占分数约占7%～12%.
2．本部分考查的主要内容是：不等式的性质，不等式的求解，不等式的证明，利用均值不等式比较大小、求最值或取值范围，简单的线性规划问题等．3．命题规律：不等式的性质和解不等式的问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数等知识相结合，难度低．均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只有一个选择或是填空，难度较低；在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高．不等式的证明在近几年高考中考查较少，且多以解答题的一个分支出现，但题目往往非常灵活，难度高．线性规划问题是近几年高考的一个新热点，几乎所有高考试题都有一个选择或填空，但难度较低．(3)加法法则：a>b?a＋c>b＋c；
(4)乘法法则：a>b，c>0?ac>bc；
a>b，c<0?ac(5)同向不等式可加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d；
(6)同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd；
(7)乘方法则：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)；5．一元二次不等式及其解集
解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，可利用一元二次方程、一元二次不等式和二次函数间的关系．一元二次不等式的解集如下表所示：6.简单的线性规划
(1)二元一次不等式表示平面区域
在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)分成三类：
①在直线Ax＋By＋C＝0上的点；
②在直线Ax＋By＋C＝0一侧区域内的点；
③在直线Ax＋By＋C＝0另一侧区域内的点．
如果在直线Ax＋By＋C＝0一侧区域内的点的坐标满足Ax＋By＋C>0，那么在直线Ax＋By＋C＝0另一侧区域内的点的坐标一定满足Ax＋By＋C<0.(2)简单的线性规划问题
求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题，即为线性规划问题．解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．
A．1 B．2
C．3 D．4
[分析] 根据不等式性质，逐个判断．
[答案] C[解析] 对于(1)，当a＝0时，a2x＝a2y，故命题错；
对于(2)，当0当x<0当x－y>0?(－x)2n＋1>(－y)2n＋1?x2n＋1(2)要否定一个命题，只要举一个反例即可，即用一组满足条件的特殊值进行验证即可；而要肯定一个命题，则需要进行严密的逻辑论证．[答案] C[例2] (2011·平顶山)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a≠0)．
[分析] 化二次不等式为一次不等式，并注意对a讨论．[评析] 对含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类，分类时要不重不漏，对于上述类型一般思路是先看x2项的系数，分大于、等于和小于0讨论，其次，看对应方程两根的大小讨论．[分析] 该题考查线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，画图时要注意精确．
[答案] B
[解析] 画出可行域为图中阴影部分．作直线l：x＋2y＝0，在可行域内平移l
当移至A(0,1)z取最大值是x＋2y＝2
当移至B(0，－1)z取最小值x＋2y＝－2.
[评析] (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．[答案] B
[解析] 可行域如图所示．课件56张PPT。
1．能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．
3．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法．了解间接证明的一种基本方法：反证法．推理证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方法，从内容编排上看，推理和证明是新课标的新增内容，但从知识结构上看，这些内容渗透于其它数学知识中，几乎涉及数学的方方面面．
在历年的高考中，推理与证明有举足轻重的地位、选择题、填空题，解答题均有体现，考查方式主要是(1)给定命题的证明问题，证明方法高考中不单独命题，而是将其融合在诸如立体几何，解析几何、函数、数列、不等式等内容中加以考查．(2)类比型问题．(3)归纳、猜想、证明问题(文科学生对数学归纳法不作要求)．
1．合情推理
当前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理．归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．
(1)归纳推理
根据一类事物的部分对象具有的某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳是由特殊到一般的推理．
(2)类比推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2．演绎推理
(1)演绎推理的定义
根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理．简言之，演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理．
(2)演绎推理的特点
当前提为真时，结论必然为真．(3)演绎推理的一般模式——“三段论”
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
3．直接证明
(1)直接证明
从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(2)综合法
从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
(3)分析法
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．
用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为： 4．间接证明
(1)反证法的定义
一般地，由证明p?q转向证明：綈q?r?…?t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判断綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．
(2)反证法的特点
先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾．
5．数学归纳法(理)
一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时题命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．[例1] (2009·湖北)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1024
C．1225 D．1378[答案] C[评析] (1)归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一．
(2)在本例中，由①归纳出三角形数所具有的特点，由②归纳出正方形数具有的规律，只需代入验证即可．……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.[分析] “观察、类比”是解决本题的基本思路，由于直线OE、OF在图形上的“对称性”在其方程上也必然有某种“对称性”，观察直线OE的方程和题目中给出的直线OF的部分信息，它们的共性是y的系数一样，那就只有x的系数具备“对称性”，这样就可大胆、合理地进行解答了．[例3] 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．
(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．[分析] 解答本题第(1)问可根据bn＝an＋1－an(n∈N*)将已知等式变形构造出bn与bn－1的关系式．第(2)问可用叠加法求an，第(3)问先由a3是a6与a9的等差中项求出q，并利用{an}的通项公式和q的值，推证an－an＋3＝an＋6－an(n∈N*)．
[解析] (1)证明：由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得
an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1(n≥2)．
又b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以数列{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．
[评析] 综合法与分析法是直接证明中的姊妹证明方法，通过情况下，运用分析法，由果寻因，找到一个正确的结论或已知条件，然后运用综合法正确推理书写，不管是何种方法，都要以事实为基本推理依据. (2011·北京理，20)若数列An：a1，a2，…，an(n≥2)满足|ak＋1－ak|＝1(k＝1,2，…，n－1)，则称An为E数列．记S(An)＝a1＋a2＋…＋an.
(1)写出一个满足a1＝a5＝0，且S(A5)>0的E数列A5；
(2)若a1＝12，n＝2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an＝2011.[解析] (1)0,1,2,1,0是一个满足条件的E数列A5.
(答案不唯一.0,1,0,1,0也是一个满足条件的E数列A5)
(2)必要性：因为E数列An是递增数列，
所以ak＋1－ak＝1(k＝1,2，…，1999)．
所以An是首项为12，公差为1的等差数列．
所以a2000＝12＋(2000－1)×1＝2011.
充分性：由于a2000－a1999≤1，
a1999－a1998≤1，
……a2－a1≤1，
所以a2000－a1≤1999，即a2000≤a1＋1999.
又因为a1＝12，a2000＝2011，
所以a2000＝a1＋1999.
故ak＋1－ak＝1>0(k＝1,2，…，1999)，即An是递增数列．
综上，结论得证.[分析] (1)先求公差d，再求an与Sn.
(2)用反证法证明．[评析] 有些命题和不等式，从正面证如果不好证，可以考虑反证法．凡是含有“至少”“唯一”或含有其它否定词的命题，适宜用反证法．即“正难则反”．
反证法属于间接证法，其步骤是“三步曲”：
(1)假设：作出与命题结论相反的假设；
(2)归谬：在假设的基础上，经过合理的推理，导出矛盾的结果；
(3)结论：肯定原命题的正确性．[分析] 根据反证法的步骤作出证明．[例5] (2010·江苏，23)已知△ABC的三边长都为有理数
(1)求证：cosA是有理数；
(2)对任意正整数n，求证cosnA是有理数．②假设当n＝k(k≥1)时，coskA和cosA·sinkA都是有理数．
当n＝k＋1时，由
cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，
sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA，
由①和归纳假设，知cos(k＋1)A与sinA·sin(k＋1)A都是有理数．
即当n＝k＋1时，结论成立．
综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数．[评析] 数学归纳法为那些变形、转化较为困难的问题提供了一种可供推理解决的方法．用数学归纳法证明不等式时，在把n＝k的不等式经为n＝k＋1的不等式成立的命题时，比较法、综合法、分析法、放缩法等不等式证明的方法仍然是常用的；用数学归纳法证明整除性问题和几何问题时，要注意寻找当元素n增加1时，代数式或几何元素是如何增加的，做到有目标地变形．[解析] 易知fn′(x)＝x2－(3an＋n2)x＋3n2an＝(x－3an)(x－n2)．
令fn′(x)＝0，得x＝3an，x＝n2.
①若3an当x<3an时，fn′(x)>0，fn(x)单调递增；
当3an当x0，fn(x)单调递增．
故fn(x)在x＝n2取得极小值．②若3an>n2，仿①可得，fn(x)在x＝3an取得极小值．
③若3an＝n2，则fn′(x)≥0，fn(x)无极值．
当a＝0时，a1＝0，则3a1<12.由①知，a2＝12＝1.
因3a2＝3<22，由①知，a3＝22＝4.
因3a3＝12>32，由②知，a4＝3a3＝3×4.
因3a4＝36>42，由②知，a5＝3a4＝32×4.
由此猜想：当n≥3时，an＝4×3n－3.
下面先用数学归纳法证明：当n≥3时，3an>n2.
事实上，当n＝3时，由前面得讨论知结论成立． 假设当n＝k(k≥3)时，3ak>k2成立，则由②知，ak＋1＝3ak>k2，
从而3ak＋1－(k＋1)2>3k2－(k＋1)2＝2k(k－2)＋2k－1>0，
所以3ak＋1>(k＋1)2.
故当n≥3时，an＝4×3n－3.
于是由②知，当n≥3时，an＋1＝3×an，而a3＝4，因此an＝4×3n－3.
综上所述，当a＝0时，a1＝0，a2＝1，an＝4×3n－3(n≥3)．课件35张PPT。1．算法的含义、程序框图
(1)了解算法的含义，了解算法的思想．
(2)理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．
2．基本算法语句
理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．3．流程图
(1)了解程序框图．
(2)了解工序流程图(即统筹图)．
4．理解复数的概念，理解复数相等的充要条件．
5．了解复数代数形式，加减运算的几何意义；会进行复数代数形式的四则运算．1．算法是高考新增内容，是新课标省份高考的命题热点，主要以选择填空的形式考查，难度不大．
2．算法的思想、算法的程序框图及基本逻辑结构，基本算法语句的理解，是算法命题的趋势，与数列、方程、不等式等其它知识的简单综合，是算法初步考查的方向．
在2011年的高考中，新课标地区有浙江、福建、宁夏海南、山东、广东、上海、天津、辽宁、江苏、安徽对算法初步进行了考查，主要围绕着算法的三种逻辑结构和算法流程图命制试题．
3．复数内容重点考查复数运算及其几何意义，多年来一般以一个小题形式出现，难度较小．1．算法
(1)算法可以理解为可以用计算机来解决某一类问题的程序或步骤，并且这些程序或步骤必须是明确的和有效的，能在有限步内完成．描述算法可以有不同的方式，通常有自然语言、数学语言、框图语言、程序语言等．算法的程序和步骤应具有概括性、逻辑性和有穷性三个主要特点．
(2)程序框图是由一些图框和带箭头的流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序．图框有输入输出框、处理框、判断框、起止框四种．
(3)三种基本的算法结构
①依次进行多个处理的结构称为顺序结构．
②先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构．
③需要重复执行同一操作的结构称为循环结构．
2．框图
(1)框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系．框图有流程图和结构图之分．(2)流程图是由一些图形符号和文字说明构成的图示．流程图常常用来表示一些动态过程，通常会有一个起点，一个或多个终点．流程图一般要按照从左到右、从上到下的顺序来画，流程图的基本单元之间通过流程线产生联系．
3．复数
(1)复数的相关概念及分类
①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a为实部，b为虚部；i是虚数单位，且满足i2＝－1.②分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(2)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0?a＝0且b＝0(a，b∈R)．
(3)运算法则
①加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
②乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(5)复数的运算所满足的运算律
对任何的z1，z2，z3∈C，
①z1＋z2＝z2＋z1；
②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)；
③z1·z2＝z2·z1；
④(z1·z2)·z3＝(z1·z3)·z2＝z1·(z2·z3)；
⑤z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.[例1] (2011·安徽理，11)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是________．[答案] 15[评析] 算法程序框图的循环结构解决的是许多有规律的重要计算，因此许多算法都用循环结构设计表达(如累加求和，累乘求积)．解决这类问题的关键是弄清循环体．即循环体部分的计数变量或累加(累积)变量，有时由于两个变量的选取不同，得到的程序框图也不同，但本质是一样的，因此循环体内就这两个变量的设计也成为考查程序框图的命题热点．(2010·新课标理，7)如图所示，如果执行下面的框图，输入N＝5，则输出的数等于( )[答案] D[例2] (2010·天津理，4)如图所示，阅读下边的程序框图，若输出S的值为－7，则判断框内可填写( )
A．i<3?
B．i<4?
C．i<5?
D．i<6?[分析] 依次执行循环体，直至S＝－7，根据此时的i值确定判断框内应填写的条件．
[答案] D
[解析] 第一次循环：S＝2－1＝1，i＝1＋2＝3；
第二次循环：S＝1－3＝－2，i＝3＋2＝5；
第三次循环：S＝－2－5＝－7，i＝5＋2＝7；
故应填i<6?
[评析] 1.本题是执果索因，列出每一次循环的结果，直至S＝－7，根据此时i的值确定判断框内应填写的结果．
2．循环结构常常用在一些有规律的科学计算中，如累加求和，累乘求积，多次输入等．利用循环结构表示算法：第一要选择准确的表示累计的变量，第二要注意在哪一步结束循环．解答循环结构的程序(算法)框图，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误．(2011·深圳模拟)2011年深圳世界大学生运动会某场馆每天9?00开馆，20?00停止入馆，在下边的框图中，S表示深圳大运会官方网站在每个整点报道的入馆总人数，a表示整点报道前1个小时内入馆人数，则空白的执行框内应填入________．
[答案] S＝S＋a
[解析] 每个整点入馆的总人数S等于前一个整点入馆的总人数S加上前1个小时内入馆的人数a，
∴S＝S＋a.[例3] (2011·浙江理，2)把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位．若z＝1＋i，则(1＋z)·＝( )
A．3－i B. 3＋i
C．1＋3i D．3
[答案] A[评析] 1.与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式．然后再根据条件，列方程或方程组．
2．与复数z的模|z|和共轭复数有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入条件，用待定系数法解决．
3．对于复数的运算可按复数运算的法则进行，在有关复数z的等式中，可设出z＝a＋bi(a，b∈R)，用待定系数法求解，也可把z看作自变量直接求解．[答案] A[例4] (2011·湖南理，1)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1
[分析] 根据复数相等的概念求解．
[答案] D
[解析] (a＋i)i＝ai－1＝b＋i，∴a＝1，b＝－1.
[评析] 复数a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c且b＝d.[答案] D课件67张PPT。1．随机抽样
(1)理解随机抽样的必要性和重要性．
(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样的方法．
2．总体估计
(1)了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.
(2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．
(4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．
(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题．3．变量的相关性
(1)会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．
(2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
4．了解独立检验的基本思想，认识统计方法在决策中的作用．
5．了解回归的基本思想、方法及其简单应用．1．本部分内容在高考中所占分数大约在5%左右．
2．本部分考查的主要内容是抽样方法，用样本估计总体等，一般在每份试卷中有1～2题，多为容易题和中档题．在抽样方法的试题中主要考查各种抽样方法的定义和特点，以及有关数据的计算，在用样本估计总体中考查频率分布直方图等的识别和计算．1．抽样方法
三种抽样方法的比较2．统计图表
(1)频率分布直方图
①绘制频率分布直方图的步骤
a．求极差；b.决定组距与组数；c.将数据分组；
d．列频率分布表；e.画频率分布直方图．
②频率分布直方图的特征：a.从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势；b.从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．(2)茎叶图
①茎叶图：当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．
②用茎叶图表示数据有两个优点：一是统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．3．样本的数字特征
(1)众数
在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)．
(2)中位数
样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数．注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．来估计总体的平均数与标准差、方差．
(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
②样本相关系数r的性质
a．相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度；
b．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越高，且|r|越接近于0，相关程度越低．(2)相关性检验的步骤
①作统计假设．假设x与y不具有线性相关关系．
②根据小概率0.05与n－2在附表中查出r的一个临界值r0.05；
③根据样本相关系数计算公式算出r的值；
④作统计推断．如果|r|>r0.05，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；如果|r|≤r0.05，则没有理由拒绝原来的假设．假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为[例1] (2011·福建文，4)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
[答案] B
[评析] (1)解决此类题目首先要深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围，如分层抽样，适用于数目较多且各部分之间具有明显差异的总体．
(2)系统抽样中编号的抽取和分层抽样中各层人数的确定是高考重点考查的内容．(2010·安徽文，14)某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户，高收入家庭1 000户．从普遍家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是____________．
[答案] 5.7%[例2] 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率．
[解析] (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180之间，因此乙班平均身高高于甲班．(3)设身高为176cm的同学被抽中的事件为A，从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，[评析] (1)本题考查了茎叶图的识图问题和平均数的计算，其中从茎叶图中读出数据是关键，为此，首先要弄清“茎”和“叶”分别代表什么．
(2)要熟练掌握众数、中位数、平均数、方差、标准差的计算方法．[例3] 在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将高一两个班参赛学生的成绩(得分的整数)进行整理后分成五组，绘制出如下的频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第五小组的频率分别为0.30，0.15,0.10,0.05第二小组的频数为40.
(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)求这两个班参赛的学生人数．[分析] 根据频率分布直方图及有关性质、概念求解．[评析] (1)在频率分布直方图中，组距是一个固定值，各矩形面积和为1；(2)通过频率分布直方图传递信息，识图获取信息是解决这一问题的关键．(2011·湖北文，5)有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )
A．18 B．36
C．54 D．72
[答案] B
[解析] 由0.02＋0.05＋0.15＋0.19＝0.41，
∴落在区间[2,10]内的频率为0.41×2＝0.82.
∴落在区间[10,12)内的频率为1－0.82＝0.18.
∴样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.18×200＝36.[例4] 某市2010年4月1日－4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
(1)完成频率分布表；
(2)作出频率分布直方图；(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．
[分析] 由画频率分布表的步骤：计算极差、分组、列表、画图．(2)绘频率分布直方图[评析] (1)绘制频率分布直方图的一般步骤是：
①计算极差；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤绘制频率分布直方图．
(2)用样本估计总体的方法主要有：
①用样本的频率分布估计总体分布；
②用样本的数字特征估计总体的数字特征：用众数、中位数和平均数描述样本数据的集中趋势，用方差和标准差描述样本数据的集中和分散程度的大小；
③用正态分布对总体进行估计；
④用回归直线方程对总体进行估计．为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．(1)在答题卡上的表格中填写相应的频率；
(2)估计数据落在[1.15，1.30)中的概率为多少；
(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．[例5] 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．[分析] 由2×2列联表直接求(1)(2)，并做出判断．(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．
[评析] 本题综合考查了统计的知识，主要涉及抽样方法、独立性检验等内容，知识覆盖面广，难度不大，主要体现了新课标下数学知识的结合点，题目定位属于中档题，在解题时要抓住样本特征，适当选择．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中抽出500件，量其内径尺寸的结果如下表：
甲厂乙厂(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
(2)由于以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.(2)课件50张PPT。1．事件与概率
(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．
(2)了解两个互斥事件的概率加法公式．
2．古典概型
(1)理解古典概型及其概率计算公式．
(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
3．随机数与几何概型
(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
(2)了解几何概型的意义．1．本部分内容在高考中所占分数大约在5%左右．
2．本部分考查的内容主要是
(1)互斥事件的概率加法公式；
(2)古典概型与几何概型．
通过随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率、两个互斥事件的概率加法公式的考查，对实际问题进行分析，并进行理性思考和探索，透过事物的表象把握本质的思维方法，考查考生理性思维能力和辩证思维能力、创新意识与探究能力等．3．一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．
4．对立事件：A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生．(2)许多概率问题可以归结为几何概型问题．对于几何概型，随机事件A的概率P(A)与表示它的区域(长度、面积或体积)成正比，而与区域的位置和形状无关，因此只要表示两个事件的区域有相同的长度、面积或体积，不管它们的位置和形状如何，这两个事件的概率一定相等．[例1] 有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．
(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
(2)从一等品零件中，随机抽取2个．
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2个零件直径相等的概率．
[分析] 由列举法计算随机事件所含的基本事件总数，根据等可能事件概率公式求出．(2)①一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有15种，(2011·陕西文，20)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
[解析] (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44人，
∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人．
故由调查结果得频率为：(3)A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，
∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8.
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9.
P(B1)(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
[分析] 本题旨在考查互斥事件及对立事件概率的求解．设事件“电话响第k声被接”为Ak(k∈N*或N＋)，那么事件Ak彼此互斥，可根据互斥事件概率加法公式解决问题(1)；根据对立事件的概率解决问题(2)．[解析] (1)设事件“电话响第k声被接”为Ak(k∈N*或N＋)，那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得
P(A)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)
＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)
0．1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95；[评析] 求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率．(1)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．
[解析] (1)令事件A1＝“甲不超过两小时还车”，
B1＝“甲两小时以上不超过三小时还车”
C1＝“甲在三小时以上不超过四小时还车”．
A2＝“乙不超过两小时还车”
B2＝“乙两小时以上不超过三小时还车”
C2＝“乙在三小时以上不超过四小时还车”．(2)令E＝“甲、乙两人所付费用之和小于6元”
则E＝(A1∩A2)∪(A2∩B2)∪(B1∩A2)∪(B1∩B2)∪ (A1∩C2)∪(A2∩C1)．
∵A1与A2，A1与B2，B1与A2，B1与B2独立，由独立事件概率乘法公式[分析] 利用条件概率公式求解．(2011·湖南理，15)如右图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则
(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.[例4] (2011·杭州质检)从装有编号分别为a，b的2个黄球和编号分别为c，d的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：
(1)第1次摸到黄球的概率；
(2)第2次摸到黄球的概率．
[分析] 由古典概型的概率公式，需研究基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(文)(2011·北京文，16)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(2)记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11：乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：
(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)
(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)
(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)
(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)(理)(2011·广东文，17)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．[例5] 在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为________．[评析] (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．(2011·东北四市二次联考)向区域|x|＋|y|≤内任投一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为________．课件58张PPT。1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．
2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．
3．了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．4．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．
5．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．1．离散型随机变量的分布列是高考经常考查的内容之一，出现的题目大都是解答题，难度适中，常与概率结合考查．
2．离散型随机变量的均值、方差这部分内容综合性较强，涉及排列、组合、概率及分布列的相关知识，是近几年高考的热点，命题都是以应用题为背景，其中有选择题，也有填空题，但更多的是解答题，难度中档．1．随机事件
如果随机试验的结果可以用一个变量X表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫做随机变量，它常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
2．离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则这样的随机变量X叫做离散型随机变量．3．离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量X的取值规律为
(1)X所有可能取的不同值为x1，x2，…，xn；
(2)X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率p(x＝xi)＝pi，则下表称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列，简称X的分布列.根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.
4．二点分布
如果随机变量X的分布列为 其中0(1)定义
对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“P(B|A)”表示．
(2)交事件
由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝A∩B(或D＝AB)．7．事件的独立性
(1)设A，B为两个事件，如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)，这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
(2)相互独立事件同时发生的概率的计算公式是
P(AB)＝P(A)P(B)．
(3)推广：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．8．独立重复试验
一般地，在相同条件下，重复地做n次试验，各项试验的结果相互独立，那么一般称它为n次独立重复试验．
一般地，如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．9．随机变量的数字特征
(1)期望
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差、标准差
离散型随机变量X的分布列为⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②所示．(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
正态变量在区间(－μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为68.3%；
正态变量在区间(－μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率为95.4%；
正态变量在区间(－μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率为99.7%.
[例1] (2011·武汉调研)甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7,0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
(3)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
[分析] 用字母设出事件，根据互相独立事件概率公式求解．(2)“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.
P(C)＝1－P(1)P(1)＝1－0.3×0.4＝0.88.
∴甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.
(3)设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi(i＝0,1,2)，“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i＝0,1,2)．
∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0∪M2N1，且M1N0，M2N1为互斥事件，
∴所求的概率为[评析] ①求复杂事件的概率的一般步骤：
1°列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
2°理清各事件之间的关系，列出关系式；
3°根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．
②直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．(2011·山东理，18)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.
由对立事件的概率公式得
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.
所以ξ的分布列为：
因此Eξ＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．
[分析] 该射手每次射击击中目标的概率一定，各次射击的结果互不影响，符合独立重复试验的条件击中次数服从二项分布．
[评析] 二项分布是概率中一个重要的概率模型，它是研究独立重复试验的数学模型，其要点是：(1)每次试验是独立重复的；(2)每次试验是一个两点分布．(2011·海口检测)从一批含13只正品，2只次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数X的分布列．[例3] (2011·天津理，16)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在1次游戏中，
①摸出3个白球的概率；
②获奖的概率．
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．所以X的分布列是某食品企业一个月内被消费者投拆的次数用X表示．据统计，随机变量X的概率分布如下：
(1)求a的值和X的数学期望；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．[解析] (1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a＋a＝1，解得a＝0.2.
∴X的概率分布为
∴EX＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.[例4] 某考生在解答数学模拟题时有两种方案，方案一：按题号顺序由易到难依次解答；方案二：先做解答题，后做选择题，且分别按题号依次解答．根据以往经验，若能顺利地解答某题，就增强了解答的信心，提高后面答题正确率的10%；若解答受挫，就增加了心理负担，降低了后面答题正确率的30%.为了科学的决策，他采用了一个特例模型：在某次考试中有6道题(1～4为选择题、填空题，5,6为解答题)，他答对每道题的概率情况和题目的分值如下表：(1)在方案一中，求他答对第2题的概率；
(2)请你帮助他作出科学的决策．
[分析] (1)此考生答对第2题的情况下，第1题可能答对，也可能答错，故所求概率是这两种情况下的概率之和．
(2)分别计算方案一和方案二的数学期望，进一步选择更科学的方案．[解析] (1)若第1题答对，则他答对第2题的概率为
0．95×0.9×(1＋10%)＝0.9405.
若第1题受挫，则他答对第2题的概率为
(1－0.95)×0.9×(1－30%)＝0.0315.
∴他答对第2题的概率为0.9405＋0.0315＝0.972.(2)同理可得到他在方案一中答对各题的概率分布如下：
∴他得分X的数学期望是
EX＝5×0.95＋5×0.972＋5×0.92548＋5×0.856154＋12×0.521231＋14×0.181698≈27.3167.若按方案二答题，则答题顺序为“5,6,1,2,3,4”，他在方案二中答对各题的概率情况如下：
∴他得分Y的数学期望是
EY＝12×0.5＋14×0.18＋5×0.7334＋5×0.894024＋5×0.898968＋5×0.84767≈25.3903.
∵EX>EY，∴选择方案一解答数学模拟题更科学．(2011·北京理，17)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望．课件34张PPT。1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．
2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．
3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．
4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．1．本部分内容在高考中所占分数大约在3%—6%之间．
2．本部分考查的内容主要是：分类与分步计数原理，排列与组合及二项式定理的有关内容．
3．命题规律：此部分在命题时，题目类型一般为选择或填空题，高考对本部分内容的考查特点是侧重基础，多数高考试题的难度与课本中习题难度相当，但在高考试卷中分值所占比例超过占总课时的比例．在解答题时，将可能出现与其它知识点(函数、不等式、几何等)相结合的综合题，有一定的难度．1．两个计数原理
分类计数原理与分步计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题．
“分类”与“分步”的区别：关键是看事情完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步．分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理将种数相乘．(3)应用题
①解排列组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先选后排，先分类后分步．
②常用策略：(a)相邻问题捆绑法；(b)不相邻问题插空法；(c)多排问题单排法；(d)定序问题倍缩法；(e)多元问题分类法；(f)有序分配问题分步法；(g)交叉问题集合法；(h)至少或至多问题间接法；(i)选排问题先取后排法；(j)局部与整体问题排除法；(k)复杂问题转化法．3．二项式定理
(1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1·b＋…＋Can－rbr＋…＋Cabn－1＋Cbn(n∈N*)．
通项(展开式的第r＋1项)：Tr＋1＝Can－rbr.其中C(r＝0,1，…，n)叫做二项式系数．
(2)二项式系数的性质
①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即[例1] (2011·浙江金华十校)有一项活动，需在3名老师、8名男生和5名女生中选人参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？
(2)若需老师、男生、女生各一人参加，有多少种不同选法？
(3)若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同选法？
[分析] 根据“分类互斥”、“分步互依”合理地选用计数原理．[解析] (1)有三类选人的办法：3名老师中选一人，有3种方法；8名男生中选一人，有8种方法；5名女生中选一人，有5种方法．
由分类计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法．
(2)分三步选人，第一步选老师，有3种方法；第二步选男生，有8种方法；第三步选女生，有5种方法．
由分步计数原理，共有3×8×5＝120种选法．(3)可分两类，第一类又分两步：第一类，选一名老师再选一名男生，有3×8＝24种选法；第二类，选一名老师再选一名女生，有3×5＝15种选法．
再由分类计数原理，共有24＋15＝39种选法．[评析] 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的 在开始计算之前要进行仔细分析，确定需分类还是分步．
(1)分类时要做到不重不漏，分类后再对每类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤恰好完成任务，当然步骤之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(2011·东北四市联考)计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有( )
A．24种 B．36种
C．42种 D．60种
[答案] D
[解析] 每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行，共有43＝64种安排方案；三个项目都在同一个体育馆比赛，共有4种安排方案；所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有60种，故选D.[例2] (2011·大连二模)由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的不重复的六位数中，不出现“135”与“24”的六位数的个数为( )
A．582 B．504
C．490 D．486
[答案] C
[解析] 先求出现“135”或“24”的六位数的个数：A·A＋A·A－A·A＝18＋96－4＝110，而组成的不重复的六位数的个数为：A·A＝600，因此不出现“135”与“24”的六位数的个数为：600－110＝490.
[评析] 区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序有关．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种
[答案] B
[解析] 分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位；中间4个节目无限制条件，有A种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第1位时有C种排法，其他3个节目有A种排法，故有CA种排法．依分类加法计数原理，知共有A＋CA＝42(种)编排方案.[例3] 用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有____________个(用数字作答)．
[分析] 排列组合问题，一般先选后排，要注意特殊元素或特殊位置优先的策略．
[答案] 324
[评析] ①排列组合问题常用方法有两类：即特殊元素优先考虑与特殊位置优先考虑两种．②遵循基本原则：先选后排，即先组合后排列．③注意做到不重复不遗漏．有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．
[答案] 264[解析] 由条件上午不测“握力”，则4名同学测四个项目，则A；下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复，如
下午甲测“握力”乙丙丁所测不与上午重复有2种，甲测“身高”“立定”、“肺活量”中一种，则3×3＝9，故A(2＋9)＝264种.
[例4] 如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )
A．96 B．84
C．60 D．48[分析] 可按花坛种花种数进行分类，最多用4种，最少用2种．
[答案] B
[评析] 本例可看成是一类应用问题——涂色问题，它也是排列组合的一类综合应用问题．如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有( )
A．288种 B．264种
C．240种 D．168种[答案] B[例5] (2011·重庆理，4)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝( )
A．6 B．7
C．8 D．9
[答案] B课件42张PPT。函数是中学数学的一个重要概念，它描述了自然界中量与量之间的依存关系，从量的方面刻画了宏观世界的运动变化、相互联系的规律，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画．变量是函数的基础，对应(映射)是函数的本质．函数一直是高考的热点、重点内容．它渗透在数学的各部分内容中．函数与方程思想是高中数学的基本思想方法之一，在解题中有着广泛的应用，是历来高考的重点，高考中有关方程的试题单独命题较少．最近几年函数与方程思想的命题主要体现在三个方面：①是建立函数关系式，构造函数模型或通过方程、方程组解决实际问题；②是运用函数、方程、不等式相互转化的观点处理函数、方程、不等式问题；③是利用函数与方程思想研究数列、解析几何、立体几何等问题．在构建函数模型时仍然十分注重“三个二次”的考查．1．函数与方程的关系
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究．
2．和函数与方程思想密切关联的知识点
(1)函数与不等式的相互转化．对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．
(3)函数f(x)＝(a＋bx)n(n∈N*)与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题及求和问题．
(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．
(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的加法加以解决，建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切．[例1] (2011·泰安市模拟题)若关于x的方程cos2x－2cosx＋m＝0有实数根，则实数m的取值范围是________．
[分析] 将方程变形为m＝－cos2x＋2cosx，则当方程有实数根时，－cos2x＋2cosx的取值范围就是m的取值范围．
[评析] 本题若令cosx＝t，则可通过换元法将原方程化为关于t的一元二次方程，但求解过程将非常繁琐，而通过分离参数，引进函数，便可通过函数的值域较为简单地求得参数m的取值范围．[答案] A[分析] 本题可用参变分离或看作关于m的一次函数处理．[评析] 应用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题，是多元问题中的常见题型，常见的解题思路有以下两种：
(1)分离变量，构造函数，将不等式恒成立、方程求解等转化为求函数的最值(或值域)，然后求解．
(2)换元，将问题转化为一次不等式、二次不等式或二次方程，进而构造函数加以解决．(2011·东莞模拟)对于满足0≤p≤4的实数p，使x2＋px>4x＋p－3恒成立的x的取值范围是________．
[答案] (－∞，－1)∪(3，＋∞)[评析] 本题是构造函数解题的很好的例证．如果对数列求和，那就是误入歧途．本题构造函数f(n)，通过单调性求其最小值解决了不等式恒成立的问题．利用函数思想解题必须从不等式或等式中构造出函数关系并研究其性质，才能使解题思路灵活变通．(2011·广州模拟)已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，求a的取值范围．
[解析] (方程思想)：因为b＋c＝－a，bc＝1－a.
所以b，c是方程x2＋ax＋1－a＝0的两根，
所以Δ＝a2－4(1－a)≥0，
即Δ＝a2＋4a－4≥0，[分析] 由题意，列出方程组，解方程组求解．
[解析] (1)解法一：设等差数列{an}的公差为d，
则依题设d>0.
由a2＋a7＝16，得2a1＋7d＝16.①
由a3·a6＝55，得(a1＋2d)(a1＋5d)＝55.②
由①得2a1＝16－7d，将其代入②得
(16－3d)(16＋3d)＝220，即256－9d2＝220，
∴d2＝4.又d>0，∴d＝2，代入①得a1＝1.
∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
[评析] 数列可以看作是定义在正整数集(或它的子集)上的函数，所以用函数的观点处理数列问题就显得十分重要，在等差数列、等比数列中有关通项及前n项和的问题都可以看成n的函数，用函数的方法解决．课件44张PPT。
理解数形结合是高中数学的重要思想方法．会运用数形结合思想方法解决问题．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决数学问题，往往事半功倍．数形结合的重点是研究“以形助数”，其中主要有两种主要的应用方向：第一是直接将代数问题转化为几何问题，解决几何问题后将其还原为代数问题的答案；第二是在解题过程中，画出图形，并依据图形信息的直观启示，探索修正解题思路与解题过程．
数形结合作为一种重要的思想方法，已经渗透至数学的每一分支中．在高考试题中，大部分问题都可以用到这种思想方法，无论是选择题、填空题还是解答题．它属于高考重点考查的内容，2012年的高考仍将会作为重要的数学思想方法加以考查．高考试题对数形结合的考查主要涉及：
(1)考查集合及其运算问题——韦恩图与数轴；
(2)考查用函数图象解决有关问题(如方程、不等式问题)；
(3)考查运用向量解决有关问题；
(4)考查三角函数图象及应用；
(5)数轴及直角坐标系的广泛应用；
(6)数学概念及数学表达式几何意义的应用；
(7)解析几何中的数形结合．1．数形结合思想的含义
(1)所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．
这种思想方法体现在解题中，就是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐统一，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．(2)数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．数形结合的途径
(1)通过坐标系“形”“题”“数”解
借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化．这一方法在解析几何中体现的相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．
实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4.(2)通过转化构造数题形解
许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化．例如，将a>0与距离互化，将a2与面积互化，将a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2|a||b|cosθ(θ＝60°或θ＝120°)与余弦定理沟通，将a≥b≥c>0且b＋c>a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对(或复数)和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)．另外，函数的图象也是实现数形化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相伴而充分地发挥作用．[例1] (1)已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lgx解的个数是( )
A．5 B．7 C．9 D．10[答案] (1)C (2)D
[解析] (1)由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数．
又f(x)＝lgx，则x∈(0,10]，画出两函数图象，
则交点个数即为解的个数．又∵lg10＝1，故当x>10时，无交点．∴由图象可知共9个交点．(2)∵f(x)为奇函数，
∴f(x)－f(－x)＝2f(x)
画出y＝2f(x)的大致图象．
如图，则f(x)与x异号的区间
如图阴影所示，
∴解集为(－1,0)∪(0,1)，故选D.
[评析] (1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．
(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．
(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0由两函数的对称性可知：交点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8的横坐标满足x1＋x8＝2，x2＋x7＝2，x3＋x6＝2，x4＋x5＝2，即x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝8，故选D.∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足约束条件的点(a，b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界)．
(3)∵(a－1)2＋(b－2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1,2)之间距离的平方，
∴(a－1)2＋(b－2)2∈(8,17)．
[评析] 此题所用思想方法是典型的数形结合法，理解所求式子的几何意义，将代数问题成功地转化为几何问题是关键．
设P是抛物线y＝x2上的点，若P点到直线2x－y－4＝0的距离最小，求P点的坐标．解法二：如图平移2x－y－4＝0这条直线至过点P与抛物线相切，则P点到直线的距离最短．
设P(x0，y0)，∵y′＝2x，
∴过P点的切线斜率
k＝y′|x＝x0＝2x0＝2.
∴x0＝1，y0＝x＝1.
故P点坐标为(1,1)．课件44张PPT。
能根据所给研究对象按某个标准分类来解决不定问题，掌握常见的分类讨论的方法与思想并应用．分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点．每年在中档题或高档题中甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力．
2012年的高考中仍会继续考查，其重点为含参数的函数性质问题，与等比数列的前n项和有关的计算推证问题．直线与圆锥曲线的位置关系问题．1．分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础性问题，通过对基础性问题的解答，解决原问题的思维策略．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类讨论可以优化解题思路，降低问题难度．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论．回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有：绝对值概念的定义；根式的性质；一元二次方程根的判别式与根的情况；二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向；反比例函数y＝k/x(x≠0)的反比例系数k，正比例函数y＝kx的比例系数k，一次函数y＝kx＋b的斜率k与图象位置及函数单调性的关系；幂函数y＝xa的幂指数a的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；指数函数y＝ax及其反函数y＝logax中底数a>1及a<1对函数单调性的影响；等比数列前n项和公式中q＝1或q≠1的区别； 复数概念的分类；复数概念的分类；不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥曲线中离心率e的取值与椭圆、抛物线、双曲线的对应关系；直线与圆锥曲线位置关系的讨论；运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k是否存在；曲线系方程中的参数与曲线类型；角终边所在的象限与三角函数的符号等．2．分类讨论包含下列几类：
(1)涉及的数学概念是分类定义的；
(2)由数学公式或数学法则的限制条件等运算的需要引发的；
(3)数学问题中参数的不同取值会导致不同结果的；
(4)涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的．[例1] 已知函数f(x)＝log(m＋2)[mx2＋(m＋2)x＋m＋2]存在最小值，试求实数m的取值范围．
[分析] 由于函数f(x)是由函数y＝log(m＋2)g(x)和函数g(x)＝mx2＋(m＋2)x＋m＋2复合而成的，所以应对底数m＋2的取值以及g(x)的最值情况分别进行讨论．(2011·安徽合肥质检)已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C：x2＋y2＝1.动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？[解析] 如图，设MN切圆C于N，
则动点M满足集合P＝{M||MN|＝λ|MQ|，λ>0}，
∵ON⊥MN，|ON|＝1，
∴|MN|2＝|MO|2－|ON|2＝|MO|2－1，
设动点M的坐标为(x，y)，已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为8，求直线l的方程．
[解析] 圆的方程可化为：x2＋(y＋2)2＝25，
(1)若直线l方程为x＝－3，可求得弦长为8，[例3] 已知m∈R，求函数f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在区间[0,1]上的最大值．
[分析] ①当4－3m＝0时，按一次函数在给定区间上的最值问题求解．
②当4－3m>0时，二次函数f(x)的图象开口向上，只需讨论二次函数图象的对称轴与区间中点的相对位置求最大值．
③当4－3m<0时，二次函数f(x)的图象开口向下，需讨论二次函数图象的对称轴与区间中点的相对位置求最大值．
(注意总结，归纳②③两种思维方式的出发点．)(2011·临沂模拟)在△ABC中，设＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．[分析] (1)找出an与an＋1关系；
(2)用错位相减法求和．[评析] 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理、等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论．已知在等比数列{an}中，a1＝1，Sn是其前n项和，且ak＋1，ak＋3，ak＋2(k∈N)成等差数列．
(1)求数列{an}的公比；
(2)试判断Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2(k∈N)是否也构成等差数列，并说明理由．课件39张PPT。
理解转化与化归是高中数学的重要思想方法，会运用转化与化归思想解决问题．数学问题的解答离不开转化与化归．它既是一种数学思想又是一种数学能力．高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点．诸如常量与变量的转化、数与形的转化、实际问题向数学模型的转化、以及数学各分支之间的转化都是高考的热点问题．特别是实施新课标之后，高考考题不再向数学知识的纵深发展，而是以基础知识为出发点，转化与化归思想在解决问题中起到了更大的作用．化归是转化与归结的简称，其基本内涵是：人们在解决数学问题时，常常将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一问题B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决模式的问题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的解．用框图可直观地表示为：
其中问题B称为化归目标或方向，转化的手段称为化归策略．化归思想有着坚实的客观基础，它着眼于揭示联系，实现转化，通过矛盾转化解决问题．2．化归的原则
(1)目标简单化原则，即复杂的问题向简单的问题转化；(2)和谐统一性原则，即化归应朝着待解决的问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当；(3)具体化原则，即化归方向应由抽象到具体；(4)低层次原则，即将高维空间问题化归成低维空间问题．基于上述原则，化归就有一定的策略．我们在应用化归方法时，应“有章可循，有法可依”通常可以从以下几个方面去考虑：(1)抽象问题与具体问题化归；
(2)一般问题与特殊问题化归；
(3)正向思维与逆向思维化归；
(4)命题与等价命题化归．
3．转化与化归的常见方法
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．
(2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．
(4)参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化．
(5)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．
(6)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．
(7)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．(8)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．
(9)一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化．
(10)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．(11)加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强为原命题的充分条件，从而能将原命题转化为一个较易证明的命题．加强命题法是非等价转化方法．
(12)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集?UA获得原问题的解决．
以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割．[例2] 已知a∈R，求函数y＝(a－sinx)(a－cosx)的最小值．
[分析] y＝(a－sinx)(a－cosx)＝a2－a(sinx＋cosx)＋sinxcosx.而sinx＋cosx与sinxcosx有联系，可设t＝sinx＋cosx，则原来的问题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题．[例3] 试求常数m的范围，使曲线y＝x2的所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分．
[分析] 正面解决较难，考虑到“不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，于是问题转化为“抛物线y＝x2上存在两点关于直线y＝m·(x－3)对称，求m的取值范围”，再求出m的取值集合的补集即为原问题的解．[评析] 1.在运用补集的思想解题时，一定要搞清结论的反面是什么，“所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分”的反面是“至少存在一条弦能被直线y＝m(x－3)垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直线y＝m(x－3)垂直平分”．
2．在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探索．(2011·江苏启东5月)已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)>0}，B＝{y|y2－6y＋8≤0}，若A∩B≠?，则实数a的取值范围为________．[解析] 由题意得A＝{y|y>a2＋1或y(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.[分析] 证明线面平行，常用方法是转化为证线线平行或面面平行；证明面面垂直，常常转化为线面垂直
[解析] (1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EF∥AD.又AD?平面ACD，EF?平面ACD，所以直线EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.
在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，所以CF⊥BD.
因为EF?平面EFC，CF?平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD⊥平面EFC.
又因为BD?平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.[评析] 在立体几何证明中，两类转化关系相当重要：
线线平行?线面平行?面面平行
线线垂直?线面垂直?面面垂直