课件182张PPT。QG-理科数学数学数学数学? 决胜高考专案突破名师诊断对点集训【考情报告】名师诊断专案突破对点集训决胜高考名师诊断专案突破对点集训决胜高考【考向预测】纵观近三年高考全国课标卷,不等式与函数导数知识的考查主要是 简单不等式的求解;线性规划应用;函数的单调性和奇偶性;函数图象 的应用;定积分应用;利用导数求切线方程、求函数解析式、确定函 数单调区间、求参数范围、求函数最值.其题型既有选择题、填空 题,也有解答题.预测2013年关于不等式、函数与导数的命题趋势,仍 然是难易结合,有4~5个小题,1个大题.小题以概念、图象性质及运算 为主,重点考查简单不等式求解;线性规划求最值;函数的单调性与奇 偶性;函数图象的应用;导数的几何意义;定积分应用等知识方法.大 题的函数背景是以e为底的对数函数与分式函数乘积、再与一次或名师诊断专案突破对点集训决胜高考二次函数代数和的形式的综合型题,考查利用导数研究函数的单调 性、逆求参数取值范围或证明不等式.涉及的主要思想方法是函数 方程思想,数形结合思想和分类讨论思想.名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.(2012年广东佛山市质检试题)下列函数中既是奇函数,又在区间(- 1,1)上是减函数的为?( )(A)y=|x|. ????(B)y=?.(C)y=-x3. ????(D)y=ex+e-x.【解析】由于y=|x|,y=ex+e-x是偶函数,排除A、D;又y=?在x=0处无定
义,故选C.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考【知能诊断】2.(2012年武昌区高三调研试题)函数y=f(x)的图象如图所示,给出以 下说法:①函数y=f(x)的定义域是[-1,5];②函数y=f(x)的值域是(-∞,0] ∪[2,4];③函数在定义域内是增函数;④函数y=f(x)在定义域内的导 数f'(x)>0.其中正确的是?( )(A)①②. (B)①③. (C)②③. (D)②④.【解析】函数y=f(x)的定义域中含有x=3,∴①②正确;函数y=f(x)在定 义域内不是增函数,∴③④错误.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.(2012年·全国新课标)已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点 C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是?(???????)(A） ???? (B)(0,2).(C) ????(D)【解析】由题意得,正三角形ABC的边长为2,所以顶点C的坐标为C ?.当取三角形ABC的顶点B ?时,目标函数取得最大值,最大值为zmax=2;当取点C ?时,目标函数有最小值,此时最小值为zmin= ?.所以目标函数的取值范围为 ?,故选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.(2012年·全国新课标)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为???? ????.【解析】由题意得,y=x(3ln x+1)=3xln x+x?y'=3ln x+4,所以y'|x=1=4,由点斜式方程得y-1=4(x-1),整理得y=4x-3.【答案】y=4x-3名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.(2012年·浙江)设a∈R,若x>0时均有[(a-1)x-1]·(x2-ax-1)≥0,则a=???? ????.【解析】此题为三次函数恒成立问题,直接化解难度大,可通过取两 个值求交集法进行求解,也可考虑x1=? 有重根进行处理,即x1满足
方程x2-ax-1=0有a=?或a=0(舍去),因此a=?.【答案】? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求f(x)的解析式及单调区间;(2)若f(x)≥?x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.【解析】(1)由已知得f'(x)=f'(1)ex-1-f(0)+x.所以f'(1)=f'(1)-f(0)+1,即f(0)=1.又f(0)=f'(1)e-1,所以f'(1)=e.从而f(x)=ex-x+?x2.由于f'(x)=ex-1+x,故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.从而,f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.6.(2012年·全国新课标)已知函数f(x)满足f(x)=f'(1)ex-1-f(0)x+?x2.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由已知条件得ex-(a+1)x≥b. ①(ⅰ)若a+1<0,则对任意常数b,当x<0,且x①式不成立;(ⅱ)若a+1=0,则(a+1)b=0;(ⅲ)若a+1>0,设g(x)=ex-(a+1)x,则g'(x)=ex-(a+1).当x∈(-∞,ln(a+1))时,g'(x)<0;当x∈(ln(a+1),+∞)时,g'(x)>0.从而g(x)在(-∞,ln(a+1))单调递减,在(ln(a+1),+∞)单调递增.故g(x)有名师诊断专案突破对点集训决胜高考最小值g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1).所以f(x)≥?x2+ax+b等价于b≤a+1-(a+1)ln(a+1). ②因此(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则h'(a)=(a+1)(1-2ln(a+1)).所以h(a)在(-1,?-1)单调递增,在(?-1,+∞)单调递减,故h(a)在a=?-1处
取得最大值.从而h(a)≤?,即(a+1)b≤?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考当a=?-1,b=?时,②式成立,故f(x)≥?x2+ax+b.综合得,(a+1)b的最大值为?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=ln x+?,若对任意的x1∈[-1,1],总存在x2∈[1,e],使得g(x
2)≤f(x1)+?,求实数a的取值范围.【解析】(1)f'(x)=?=?.由题意,f'(1)=?=0,且f
(1)=?=2,解得m=4,n=1,经检验,f(x)在x=1处取得极大值2,故f(x)=
?.7.(南昌市2012高三模拟测试题)已知函数f(x)=?(m,n∈R)在x=1处
取到极值2.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由(1)得f'(x)=?=?.∵x∈(-1,1)时,f'(x)>0,∴f(x)在[-1,1]上单调递增,∴f(x)min=f(-1)=-2.∵对任意的x1∈[-1,1],总存在x2∈[1,e],使得g(x2)≤f(x1)+?,∴g(x)min≤f
(x)min+?,即g(x)min≤-2+?=?.∵g(x)=ln x+?,∴g'(x)=?-?=?(1≤x≤e).①当a≤1时,g'(x)>0,函数g(x)在[1,e]上单调递增,g(x)min=g(1)=a≤1符合题意;②当1
0,∴g(x)在(1,a)上单调名师诊断专案突破对点集训决胜高考递减,在(a,e)上单调递增,∴g(x)min=g(a)=ln a+1≤?,解得0a≤?;③当a≥e时,g'(x)<0,函数g(x)在[1,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=1+?≥2
>?,不合题意.综上,实数a的取值范围是a≤?.【诊断参考】分析和研究近三年高考全国课标卷,关于不等式、函数与导数知识 的考查,充分体现了试题的设计以支撑知识的重点内容为考点来挑 选合理背景,寻找创新点,应用知识间的内在联系,进行融合,构建试名师诊断专案突破对点集训决胜高考题的主体结构的特色,从多视角、多维度、多层次地考查不等式、 函数与导数的重点知识以及数学思维品质和思维能力.展示了不等 式、函数与导数知识的基础性、应用性和工具性作用.重点考查数 学通性通法,考查函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归 等重要数学思想方法.近三年的试题基本涵盖了不等式、函数与导 数的所要求考查的内容,选择、填空题涉及的内容:不等式的性质、 基本不等式的应用、解不等式、线性规划、函数的概念与性质(单 调性和奇偶性),分段函数、函数图象的交点与函数的零点、定积分 、导数的意义.解答题稳定在第21题,主要考查不等式与函数导数的 综合应用,如:通过导数确定原函数的单调区间、求原函数极值或最名师诊断专案突破对点集训决胜高考值;解不等式恒成立、存在性命题;求参数取值范围或最值;证明不等 式等,此类问题一般难度较大.针对上述分析,函数的定义域蕴含于函数问题的求解中,解题时切勿 忘记;在处理分段函数的单调性时,不仅要研究每一段函数的单调性, 而且还要研究整个函数的单调性;关于函数性质的综合问题,如单调 性、奇偶性、零点、两函数图象交点、变量的取值范围等,解题时 应养成画出大致图象的习惯,增强解题中的作图意识,适时借助图象 的形象、直观,可简化求解过程,快速获得解题结果;运用不等式性质 解题时,要注意不等式性质成立的条件,运用基本不等式?≥?求
最值时,则须满足“一正、二定、三相等”;线性规划的考题一般为名师诊断专案突破对点集训决胜高考基本题型、或以三角形、平行四边形为载体,都不含参数,属于容易 题,解题时不能只凭目测直觉判断,正确方法是准确画出可行域,找到 最优解,求出最值,但训练时应注意相应问题的变式与延伸;函数导数 的应用,一是利用导数的几何意义求切线方程时,要明确题给的已知 点是 “切点”还是“非切点”,避免错解;二是运用导数与函数的单 调性建立不等式求参数范围时,不等号中勿遗漏含等号情况,如f'(x) ≥0或f'(x)≤0,即“遇参数,含等号”;三是利用导数求参数范围,解证 不等式、求函数最值等较难问题,有时需构造函数,通过两次求导来 解决问题;有时解题中遇思路受阻时,要善于搜寻信息,发掘条件,灵 活变通.如2012年浙江高考题(即上述第5题):将条件不等式转化为①名师诊断专案突破对点集训决胜高考?或②?后,似乎无法解下去,其实注意到条件x>0,
将其分为两个区间,在各自区间内恒正或恒负,问题便迎刃而解;有一 类常见于各级各类考试中的函数导数题型:含参数的等式或不等式 恒成立、存在性问题,其常见形式与求解方法是:给出函数f(x)、g(x) (至少有一个函数含有参数).①对任意x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],有f(x1)≥g(x2)成立,等价于f(x)min≥g (x)min;②对任意x1∈[a,b]、x2∈[c,d],都有f(x1)≥g(x2)成立,等价于f(x)min≥g (x)max;名师诊断专案突破对点集训决胜高考③对任意x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],有f(x1)=g(x2)成立,等价于{f(x)的值 域}?{g(x)的值域};④对任意x1∈[a,b]、x2∈[c,d],都有f(x1)=g(x2)恒成立,等价于{f(x)的值 域}={g(x)的值域}.名师诊断专案突破对点集训决胜高考不等式有八个性质,考查频率较高,容易出错的有:1.a>b且c>0?????ac>bc????;a>b且c<0?????acb>0,c>d>0?????ac>bd????.二、不等式的解法1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解法:先求ax2+bx+c=0的根,再 由二次函数y=ax2+bx+c的图象写出解集.2.分式不等式:将右边化为零,左边通分,转化为整式不等式求解.? 【核心知识】一、不等式的性质名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.解答线性规划的应用问题的一般步骤:(1)设:设出所求的未知数; (2)列:列出约束条件及目标函数;(3)画:画出可行域;(4)移:将目标函 数转化为直线方程,平移直线,通过截距的最值找到目标函数最值; (5)解:将直线交点转化为方程组的解,找到最优解,求出最值.2.求解整点最优解有两种方法:(1)平移求解法:先打网格,描整点,平 移目标函数所在的直线l,最先经过的或最后经过的整点便是最优整 点解;(2)调整优值法:先求非整优解及最优值,再借助不定方程的知 识调整最优值,最后筛选出整点最优解.三、线性规划名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当????a=b????时,等号成立.2.a,b∈R+,?≥?,当且仅当????a=b????时,等号成立.使用基本不等式
时,要注意:“????a>0,b>0????”.五、不等式常用结论1.不等式恒成立问题的转化方向:(1)分离参数,向函数最值或值域转 化;(2)向函数图象或Δ转化.2.已知x>0,y>0,则有:(1)若乘积xy为定值p,则当x=y时,和x+y有最 小 ????值????2?????;(2)若和x+y为定值s,则当x=y时,乘积xy有最 大????值????四、基本不等式名师诊断专案突破对点集训决胜高考?????.六、函数的概念及其表示函数f: A→B是特殊的映射,A、B都是非空数集.函数的三要素:定义 域、值域和对应法则.当两个函数定义域和对应法则相同时,它们是 同一函数.函数表示方法常用:解析法、列表法、图象法.七、函数的性质1.函数解析式的常用求法:(1)待定系数法;(2)代换(配凑)法;(3)构造方 程(组)法.名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.函数定义域的常用求法:(1)依据解析式特点:偶次根式的被开方数 不小于零、分母不能为零、对数中的真数大于零、对数中的底数 大于零且不为1、零次幂的底数不为零等;(2)实际问题中要考虑变 量的实际含义.3.函数值域(最值)的常用求法:(1)配方法(常用于二次函数);(2)换元 法;(3)有界性法;(4)单调性法;(5)数形结合法;(6)判别式法;(7)不等式 法;(8)导数法.4.函数的单调性:(1)定义法;(2)导数法;(3)在客观题中还常用数形结 合法、特殊值法;(4)复合函数的单调性“同增异减”.名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.函数的奇偶性常利用定义(或其变形)或图象特征判断.6.函数的周期性:函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x)(a>0),则a是函数y=f(x)的 一个周期;函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a≠0)(或f(x+a)=?),则y=f(x)
是周期为2|a|的周期函数.八、指、对数函数的图象与性质名师诊断专案突破对点集训决胜高考名师诊断专案突破对点集训决胜高考 九、函数的应用1.求解数学应用题的一般步骤:(1)审题;(2)建模;(3)解模;(4)回归.2.常见的函数模型有一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、 对数函数以及y=x+?(a≠0)等.十、导数及其应用1.函数y=f(x)在点x0处导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处 的切线的斜率.2.设函数y=f(x)在某区间可导,如果f'(x)>0,则f(x)为增函数;如果f'(x)< 0,则f(x)为减函数.名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.可导函数在极值点处的导数值为零且左右导数值异号(左正右负 极大值,左负右正极小值).4.可导函数在闭区间内的最值:将开区间内的极值与端点处的函数 值相比较,较大的就是最大值,较小的就是最小值.十一、定积分与微分基本定理1.定积分的几何意义:函数y=f(x)(f(x)>0)在区间[a,b]内的定积分?f(x)
dx的几何意义是函数y=f(x)的图象、x轴、直线x=a与x=b所围成的曲 边梯形的面积(如图1);函数y=f(x)与y=g(x)的图象所围成的封闭图形 的面积(如图2)为?f(x)dx-? g(x)dx.名师诊断专案突破对点集训决胜高考图1 图22.微积分基本定理:对于被积函数f(x),如果F'(x)=f(x),则?f(x)dx=F(x)?
=F(b)-F(a).【考点突破】名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点一:基本不等式的应用此类试题常会与函数的最值、大小关系的比较等知识考查,主要以 选择题或填空题的形式出现,试题难度不大,试题考查不等式的基本 性质和应用为主,求解过程中注重对相关性质变形形式的理解和应 用,同时注意思维的严谨性.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)已知正整数a、b满足4a+b=30,则使得?+?取得最小值的有序数对
(a,b)是?( )(A)(5,10). ????(B)(6,6). ????(C)(7,2). ????(D)(10,5).【分析】第(1)题凑用基本不等式或“加零”变形可求最小值;第(2)题运用“乘1”技巧方法和基本不等式可求取得最小值时的有序整数对.【解析】(1)∵x>1,∴y=x+?=(x-1)+?+1≥3,当且仅当x=2时取等
号,即ymin=3.?????(1)已知x>1,则y=x+?的最小值为?( )(A)1. ????(B)2. ????(C)2?. ????(D)3.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)依题意?+?=?(4a+b)(?+?)=?(4+?+?+1)≥?,当且仅当?=?且
4a+b=30,即a=5,b=10时取最小值,故所求有序整数对为(5,10),选A.【答案】(1)D????(2)A【归纳拓展】本题应用变形中的“加零”、“乘1”技巧方法以及 活用基本不等式来解决求最值问题.此类问题常在“a、b(或x、y)” 的灵活拼凑、条件“一正、二定、三相等”的运用上精心设计思 考点,解题时要注意基本不等式应用中的等号成立条件.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练1????(1)设a>0,b>0.若3a·3b=3,则?+?的最小值为?( )(A)8. ????(B)4. ????(C)1. ????(D)?.(2)已知不等式(x+y)(?+?)≥9对任意正实数x、y恒成立,则正实数a
的最小值为 ????.【解析】(1)∵3a·3b=3,∴a+b=1,?+?=(a+b)(?+?)=2+?+?≥2+2?
=4,当且仅当?=?且a+b=1,即a=b=?时等号成立,故选B.(2)(x+y)(?+?)=1+a+(?+?)≥1+a+2?≥9,a+2?-8≥0,∴?≤-4(舍)
或?≥2,∴a≥4.【答案】(1)B????(2)4名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点二:不等式性质与解法解不等式试题形式多样,主要考查可转化为一元二次不等式解法的 题型,常与集合、简易逻辑、函数导数相结合,以选择题、填空题形 式出现,难度中等.?????(1)下列四个条件中,使a>b成立的必要而不充分的条件
是?( )(A)a>b-1. ????(B)a>b+1.(C)a2>b2. ????(D)a3>b3.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)已知函数f(x)=?,则不等式f(x)>0的解的区间是?( )(A)(-1,1).(B)(0,1).(C)(-1,0)∪(0,1).(D)(-∞,-1)∪(1,+∞).【分析】第(1)题运用不等式性质和充要条件的意义进行判断;第(2) 题将不等式等价化为两个不等式组求解.【解析】(1)易知a>b+1?a>b,而a>b时,a>b+1不一定成立,故选B.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)原不等式等价于?或?,解得0式f(x)>0的解的区间是(-1,0)∪(0,1).【答案】(1)B????(2)C【归纳拓展】(1)解不等式问题常以求函数定义域、考查集合间关 系、直接解不等式等形式出现.求解各类不等式的关键是等价转化, 即分式不等式化为整式不等式;高次不等式分解降次(常用“穿针引 线法”,但要注意“奇过偶不过”);绝对值不等式设法“脱去”绝 对值符号;指、对数不等式运用函数性质化为一次、二次不等式;含 根式不等式、三角不等式利用函数图象数形结合求解.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)解形如“ax2+bx+c>0”的不等式的一般步骤是“一看(看二次项 系数的符号)、二算(分解因式或计算方程的根)、三写(写出不等式 的解集)”,若二次项系数含参数时,应注意讨论二次项系数为零的情 况.(3)解含参数不等式时,应注意对参数进行分类讨论,讨论时要做到 “不重、不漏、最简”的三原则;也可与函数导数知识结合,将解不 等式问题转化为对函数图象的研究,运用数形结合的思想方法求解.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练2????(1)设函数f(x)=-x2+4x在[m,n]上的值域是[-5,4],则m+n的 取值组成的集合为?( )(A)[-1,1]. ????(B)[0,6].(C)[1,5]. ????(D)[1,7].名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)函数y=?+log2(x+2)的定义域为?( )(A)(-∞,-1)∪(3,+∞).(B)(-∞,-1]∪[3,+∞).(C)(-2,-1]∪[3,+∞).(D)(-2,-1].【解析】(1)由-x2+4x=4得x=2,由-x2+4x=-5得x=5或x=-1.结合二次函数的图象知-1≤m≤2,2≤n≤5,故-1+2≤m+n≤2+5,即1≤m+n≤7.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由?,得定义域为(-2,-1]∪[3,+∞).【答案】(1)D????(2)C名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点三:简单的线性规划应用线性规划判断平面区域,求目标函数的最值,常见于选择或填空 题,线性规划解决实际应用问题常见于解答题,都是以中档题为主,解 决这类问题的关键是灵活应用数形结合思想,准确确定可行域和最 优解.? 已知变量x、y满足的约束条件为?,则目标函
数z=3x+y的最大值为?( ????)(A)10. ????(B)12. ????(C)14. ????(D)15.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】先作出线性约束条件的可行域,然后确定最优解,求出目标 函数的最大值.【解析】作出线性约束条件的可行域,如图所示,得最优解为(3,1),故 z的最大值为zmax=3×3+1=10.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考将图形作准确,借助图形找出目标函数的最优解的位置极为重要,是 解题的关键.【归纳拓展】(1)本题主要考查线性规划问题.准确画出可行域,尽量(2)在选用线性规划知识求解最优解的实际应用问题时,应首先依据 实际数据利用已给的限制条件得到约束条件,将实际问题转化为数 学问题;其次注意变量的范围,变量范围既要满足数学问题的限制条 件,也要符合实际意义.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练3????(衡水中学2012届高三下学期第三次模拟题)若实数x,y 满足?则在平面直角坐标系中,此不等式组表示的平面
区域的面积是 ????.【解析】作出不等式组?表示的平面区域如图阴影部
分,其面积为S=(?)2-?π·(?)2=2-?.【答案】2-? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点四:函数的概念与性质函数的性质如单调性、奇偶性、周期性等是函数的核心所在,也是 高考必考内容.高考试题主要考查三类性质的判定及其应用.在具体 问题中要加强这三类性质的整合,充分挖掘有效信息,如图象的趋势 走向、对称性、过定点、最值、渐近线等,切实提高分析问题与灵 活处理问题的能力.?????(1)函数f(x)=ln(sin 2x)+?的定义域为?( )(A)[-?,0)∪(?,2]. ????(B)[-2,?).(C)[-2,-?)∪(0,?). ????(D)(-?,2].名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0)、B(?,5)、C(1,0),
则函数y=xf(x)(0≤x≤1)的最大值为 ????.(3)若y=loga(2-ax)在[0,3]上是x的增函数,则a的取值范围是 ????.(4)已知f(x)是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,如果f(ax+1)≤f(x-2) 在x∈[?,1]上恒成立,则实数a的取值范围是?( )(A)[-2,1]. ????(B)[-5,0].(C)[-5,1]. ????(D)[-2,0].【分析】第(1)题依据条件列出不等式组,解此不等式组即求函数的 定义域;第(2)题将函数分为两段,结合每段函数的单调性进行判断,名师诊断专案突破对点集训决胜高考直接求函数的最大值;第(3)题由对数函数的单调性及复合函数单调 性的综合应用,结合恒成立问题的解法可使本题获解;第(4)题可综合 应用函数的奇偶性、单调性、绝对值不等式解法,结合恒成立条件 求解.【解析】(1)由?得f(x)的定义域为[-2,-?)∪
(0,?).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)据题意得,f(x)=?∴y=xf(x)=? 当0≤x≤?时,函数y=xf(x)递增;当?y=xf(x)递减.∴x=?时,y=xf(x) 最大值为10×(?)2=?.(3)由y=loga(2-ax)在[0,3]上是x的增函数,得00在[0,3]上 恒成立,即a为?,∴a成立,∴1-?≤a≤?-1在x∈[?,1]上恒成立,∴a≥(1-?)max且a≤(?-1)min,
得-2≤a≤0,故实数a的取值范围是[-2,0].名师诊断专案突破对点集训决胜高考【答案】(1)C????(2)?????(3)(0,?)????(4)D【归纳拓展】(1)求函数定义域即解关于自变量的不等式(组),解题 关键是根据条件正确列出使函数有意义的不等式(组),如偶次方根 的被开方数不小于零、分式的分母不为零、对数的真数大于零等;名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)解分段函数问题时,首先要观察每段函数解析式的特点,再整体分 析,充分发掘已给信息,对问题作出正确的判断;(3)函数单调性的应用主要是对函数单调性的判断、利用单调性确 定参数的值(或取值范围)、借助单调性进行大小比较等,关于复合 函数的单调性判断,须遵循“同增异减”原则;(4)函数性质问题题型新颖多样,方法灵活多变,利用函数图象特征数 形结合、等价转化是解决此类问题的重要策略和方法,相关结论的 适时应用亦可简化计算.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)已知x=ln π,y=log52,z=?,则?( )(A)x[1,+∞)∪{0}.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)∵ln π>1,log52=?的取值范围是(1,?).(4)∵f(x)为R上的奇函数,且-2≤x≤0时,f(x)=2x+log3(1-x)+a,∴f(0)=20+log31+a=0,得a=-1,∴-2≤x≤0时,f(x)=2x+log3(1-x)-1.又f(x)是周期为5的奇函数,f(2012)=f(2)=-f(-2)=-[2-2+log3(1+2)-1]=-?,
选A.【答案】(1)[1,+∞)∪{0}????(2)D????(3)A????(4)A????名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点五:函数与方程、函数的图象与变换函数与方程知识综合性强、题型形式多样,方法灵活,是高中数学中 很重要的一部分知识.在小题中既有利用函数处理方程的问题,也有 通过方程研究函数的问题.函数的图象是函数的一种重要表示方法, 作图、识图、用图是函数图象的三大基本问题,也是高考的热点.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(A)在区间(0,1),(1,2)内均有零点.(B)在区间(0,1)内有零点,在区间(1,2)内无零点.(C)在区间(0,1),(1,2)内均无零点.(D)在区间(0,1)内无零点,在区间(1,2)内有零点.?????(1)设函数f(x)=ln x-?x2+1(x>0),则函数y=f(x)?( )名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)(山东省曲阜师大附中2012届高三考试题)如图是函数Q(x)的图象 的一部分,设函数f(x)=sin x,g(x)=?,则Q(x)=?( )(A)?.(B)f(x)g(x).(C)f(x)-g(x).(D)f(x)+g(x).名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】(1)函数y=f(x)的零点即使方程f(x)=0有解时x的值,利用函数 图象或依据连续函数在区间端点函数值异号(即零点存在性定理)可 作出判断.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)观察已给函数的解析式与图象,借助函数奇偶性的图象特征、零 点及函数值的变化特点进行判断或用排除法求解.【解析】(1)画出y1=ln x,y2=?x2-1(x>0)草图如右,明显两图象有两个
交点,其中一个交点横坐标x1∈(0,1),排除C,D.又∵f'(x)=?-x=?,∴x>1时,f'(x)<0,函数y=f(x)递减,且f(1)=?>0,f(2)=
ln 2-1<0,∴f(x)在(1,2)上必有零点,故选A. 名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由于函数f(x)、g(x)在各自的定义域上都是奇函数,又根据所给图 象知函数Q(x)也是奇函数,结合奇函数的性质结论“奇函数与奇函 数的和、差函数在公共定义域上仍是奇函数”可排除A、B;又x→0 +,Q(x)→+∞,∴选D.【答案】(1)A????(2)D【归纳拓展】(1)函数零点的判定方法:①解方程直接求解;②零点存 在性定理;③利用图象的交点.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)结合函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断方程根的 存在性及根的个数;根据具体函数的图象,正确得出相应方程根所在 的区间.(3)函数图象有两大题型,一是已给函数解析式,用描点法或图象变换 法,作出它的图象.对于复合函数,可分解为若干基本初等函数,利用 初等函数图象的变换规律作出图象,也可依据解析式探寻函数的性 质(如:奇偶性、单调性、周期性、特殊点)综合得出图象;二是给出 函数图象研究函数性质,主要考查识图、用图、数形结合与灵活变 通能力,巧妙运用函数图象解题,形象直观,简洁明快,能简化运算.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练5????(1)下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是?(?? )(A)y=x2-?. ????(B)y=-x3.(C)y=2x-1. ????(D)y=lo?x.(2)设函数y=x3与y=(?)x-2的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是?
( )(A)(0,1). ????(B)(1,2).(C)(2,3). ????(D)(3,4).【解析】(1)函数y=2x-1在R上单调递增,∴函数y=2x-1在(-1,1)内单调 递增.又当2x-1=0时,x=0∈(-1,1),故选C.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)如图所示,当x=1时,x3=1,(?)x-2=2,∴(?)x-2>x3;当x=2时,x3=8,(?)x-2=1,∴(?)x-2坐标x0满足1等于?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)(深圳中学2012届考试题)已知曲线y=x2-1在x=x0点处的切线与曲 线y=1-x3在x=x0点处的切线互相平行,则x0的值为?( )(A)-?. ????(B)-?.(C)0或-?. ????(D)0或-?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(3)(湖南省岳阳市一中2012届高三下学期第二次模拟考试题)已知点 P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln x上,则|PQ|的最小值是?( )(A)?. ????(B)?. ????(C)2. ????(D)1.【分析】第(1)题先利用导数条件求出函数解析式,再应用定积分公 式求值;第(2)题运用导数的几何意义和直线平行的条件可求解;第 (3)题是指数函数与对数函数的关系及导函数的应用,可借助指数函 数与对数函数互为反函数关系,利用点到直线的距离公式求解.【解析】(1)f'(x)=mxm-1+a=2x+1,∴m=2,a=1,∴f(x)=x2+x,∴?f(-x)dx=?(x2-x)dx=(?x3-?x2)?=(?×23-?×22)-(?×13-?×12)=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由y=x2-1,得y'=2x;由y=1-x3,得y'=-3x2.依题意2x0=-3?,解得x0=0或x0=-?.(3)∵曲线y=ex与y=ln x关于直线y=x对称,∴所求|PQ|的最小值为曲线y=ex上的点到直线y=x最小距离的两倍. 设P(x,y)为y=ex上任意一点,则P到直线y=x的距离d(x)=?=?,∵d'(x)=?>0?x>0,d'(x)<0?x<0,∴d(x)min=d(0)=?,即|PQ|min=?,选B.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【答案】(1)A????(2)C????(3)B【归纳拓展】(1)定积分的概念与基本公式、微积分基本定理以及 定积分的性质(如?f(x)dx=?f(x)dx+?f(x)dx)是求定积分的基础,定积
分的主要应用是计算曲边梯形的面积,因此,要熟记有关公式.(2)利用导数公式求函数的导数,利用导数的几何意义计算切线的斜 率、进而求切线方程是导数应用的基本问题,也是高考的常考点.求 切线时,要注意区分切线是过某点(不一定是切点)的切线还是在某 点(一定是切点)处的切线.同时明确曲线在某点处的切线若有则只 有一条;曲线过某点的切线往往不只一条,曲线与切线的公共点也不 一定只有一个.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)曲线y=x2+bx+c在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,?],
则点P到该曲线对称轴距离的取值范围为?( )(A)[0,1]. ????(B)[0,?].(C)[0,?]. ????(D)[0,?].【解析】(1)?(2x-2)dx=(x2-2x+c)?=k2-2k=3,解得k=3或k=-1(舍去).变式训练6????(1)若?(2x-2)dx=3,则k= ????.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)∵y'=2x+b,∴0≤2x0+b≤1,得-?≤x0≤?.又y=x2+bx+c的对称轴为x=-?,∴点P到该曲线对称轴距离为|x0+?|.又-?≤x0≤?,∴-?+?≤x0+?≤?+?,即0≤|x0+?|≤?,选B.【答案】(1)3????(2)B名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点七:二次函数二次函数是中学数学重要的函数模型之一,与一元二次方程、一元 二次不等式具有密切的联系,同时也是研究包含二次曲线在内的许 多内容的工具,高考中有很多数学试题与三个“二次”有关,既有选 择题、填空题,也有解答题,常涉及函数与方程、数形结合、分类讨 论、化归与转化思想方法.? 已知x∈[-1,1]时,f(x)=x2-ax+?>0恒成立,则实数a的取值
范围是?( )(A)(0,2). ????(B)(2,+∞).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(C)(0,+∞). ????(D)(0,4).【分析】抓住问题中的区间两端点与对称轴的位置关系,进行分类 讨论,结合图象和函数的单调性及恒成立条件建立关于a的不等式求 解.【解析】二次函数图象开口向上,对称轴为x=?,又x∈[-1,1]时,f(x)=x2
-ax+?>0恒成立.①当?≤-1,即a≤-2时,则f(-1)=1+a+?>0,解得a>-?,与a≤-2矛盾;名师诊断专案突破对点集训决胜高考②当?≥1,即a≥2时,则f(1)=1-a+?>0,解得a<2,与a≥2矛盾;③当-1取值范围是(0,2),选A.【答案】A【归纳拓展】(1)二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中 学数学的重要内容,考题中常出现三者相结合问题,应熟悉它们之间 的联系及相互间的转化与应用.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)当给出二次函数在给定区间上的取值情况,求参数范围问题时,应 注意对抛物线的开口方向、对称轴、给定的区间端点位置以及相 应的判别式等诸条件进行分析,合理分类,建立含参数不等式(组),进 而求解.正确建立含参数不等式(组)是解决此类问题的关键.(3)二次函数在给定区间上的最值,取决于抛物线的开口方向、对称 轴与给定区间的位置关系,可能在顶点处或区间端点处取得.解题时, 抓住问题中的“三点一轴”(即区间两端点、中点和对称轴),对 “二次项系数”和“对称轴与给定区间的位置关系”进行“不重 不漏”的讨论,结合图象并利用函数的单调性,可使问题顺利获解.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练7????直线y=2与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是 ?( )(A)(?,1). ????(B)(1,?).(C)(?,2). ????(D)(2,?).【解析】如图,在同一直角坐标系内画出直线y=2与曲线y= ? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考观图可知,a的取值需满足?,解得2?),
当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,求a的值.(2)(山东省潍坊市2012年高三模拟训练题)已知函数f(x)=?+aln x-2(a
>0).①若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=x+2垂直,求函数y=f (x)的单调区间;②若对于?x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a-1)成立,试求a的取值范围.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】第(1)题利用函数的奇函数性质、函数导数的应用—确定 函数单调性找到最值,建立含a的等式解之;第(2)题中的第①问应用 导数知识可求函数单调区间;第②问则运用处理恒成立问题的方法 建立含a的不等式来求解.【解析】(1)∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(0,2)上的最大值为-1,当x∈(0,2) 时,f'(x)=?-a,令f'(x)=0,得x=?.又a>?,∴00,得0(x)<0,得?(0,2)时,f(x)max=f(?)=ln ?-a·?=-1,解得a=1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)①∵函数f(x)=?+aln x-2(a>0)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-?+?,直
线y=x+2的斜率为1,∴f'(1)=-?+?=-1,得a=1.∴f(x)=?+ln x-2,f'(x)=-?+
?=?.由f'(x)>0,得x>2;由f'(x)<0,得0是(2,+∞),单调减区间是(0,2).②f'(x)=-?+?=?,由f'(x)>0,得x>?;由f'(x)<0,得0∞)上单调递增,在(0,?)上单调递减,∴当x=?时,函数f(x)取得最小值f
(x)min=f(?)=a+aln?-2.∵对于?x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a-1)成立,∴2(a-
1)直线y=e上方,求实数a的取值范围(其中e为自然对数的底数,e=2.718 28… ).名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)任取x∈[0,1],则-x∈[-1,0],f(-x)=?-?=e2x-aex,又f(x)是偶
函数,故x∈[0,1]时, f(x)=f(-x)=e2x-aex.由f(x)是定义域为[-1,1]的偶函数可知,f(x)在x∈[0,1]的最大值即为f (x)在[-1,1]上的最大值.当x∈[0,1]时,令t=ex∈[1,e],f(x)=h(t)=(t-?)2-?=e2x-aex,当?≤?,即a≤e+1时,f(x)max=
h(e)=f(1)=e2-ae;当?>?,即a>e+1时,f(x)max=h(1)=f(0)=1-a.综上可知,a≤e+1时,f(x)max=e2-ae;a>e+1时,f(x)max=1-a.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)g(x)=(?+x-2-?)[e2x-f(x)]=(?+x-2-?)(e2x-e2x+aex)=(x2+ax-2a-3)ex.要x∈[0,1]时,函数g(x)的图象恒在直线y=e上方,即x∈[0,1]时,g(x)min> e成立.∵g'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax-2a-3)ex=(x+a+3)(x-1)ex,令g'(x)=0,得x=-a-3或x=1.①当-a-3≤0,即a≥-3时,得x∈[0,1]时,g'(x)≤0,故g(x)在区间[0,1]上单 调递减.此时g(x)min=g(1)=(-2-a)e>e,得a<-3,与a≥-3矛盾;②当0<-a-3<1,即-4e?g(0)>e且g(1)>e.又g(0)=-2a-3>e,得ae,得
a<-3,综合得-4e,得a+x2(p≤2).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若在区间[1,e]上至少存在一点x0,使f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围. 名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】第(1)问利用函数导数知识,方法确定函数的单调区间;第 (2)问综合运用导数、方程与不等式等知识与合理分类,列出关于含 参数p的不等式,通过解不等式求出p的取值范围.【解析】(1)∵f'(x)=?+2x-8=?=?,∴x∈(1,3)时,f'(x)<
0,x∈(0,1)或x∈(3,+∞)时, f'(x)>0,∴f(x)在[1,3]上单调递减,在(0,1]和 [3,+∞)上单调递增.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)令h(x)=f(x)-g(x)=6ln x-8x-?,则h'(x)=?-8+?=?,令-8x2+6x+
p=0,知Δ=36+32p.(i)当36+32p≤0,即p≤-?时,Δ≤0,此时h'(x)≤0,∴h(x)在[1,e]上单调递
减,∴h(x)max=h(1)=-8-p>0,得p<-8.(ii)当-?0,方程-8x2+6x+p=0有两根x1=?<1,x2=
?≤?=1.∴x∈[1,e],h'(x)<0,∴h(x)在[1,e]上单调递减,h(x)max=h(1)=-8-p>0,得p<- 8,与-?g(x0).名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】(1)近几年高考中,对导数的考查,常把导数与函数、方 程、不等式综合考查,多以压轴题形式出现,具有一定的难度,因此注 重基础知识的落实是根本.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)在不等式与函数导数综合试题中,若遇求参数范围问题:①不等式 恒成立(或解集为R)命题常转化为求最值,用分离参数法:a>f(x)恒成 立?a>f(x)max;af(x)有解?a>f(x)min;af(x)无解?a≤f(x)min;a1),∴f'(x)=?,设g(x)=1-?-ln x,(x≥1),∴g'(x)=?-?=?≤0,∴y=g(x)
在[1,+∞)上为减函数,∴g(x)=1-?-ln x≤g(1)=0,变式训练9????设f(x)=?(x>1).∴f'(x)=?<0,∴函数f(x)=?在(1,+∞)上为减函数.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)ln x+∞)上为减函数,∴ln x-a(x-1)(x-1)在[1,?)上为增函数,当x∈[1,?)时,h(x)=ln x-a(x-1)>0,不能使ln x<
a(x-1)在(1,+∞)上恒成立.综上,当a∈[1,+∞)时,不等式ln x材料费每件50元;②职工工资支出7500+20x元;③电力与机器保养等 费用为x2-30x+600元.其中x是该厂生产这种产品的总件数.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)把每件产品的成本费P(x)(元)表示成产品件数x的函数,并求每件 产品的最低成本费;(2)如果该厂生产的这种产品的数量x不超过170件且能全部销售,根 据市场调查,每件产品的销售价为Q(x)(元),且Q(x)=1240-?x2,试问生
产多少件产品,总利润最高?并求出最高总利润.(总利润=总销售额- 总的成本)【分析】本题为实际应用问题,通过分析问题的实际意义与已知数 据的关系,可得第(1)问每件产品的成本费P(x)的函数关系式,再用基 本不等式求每件产品的最低成本费;第(2)问依据已知等量关系建立 总利润f(x)与产品件数x的函数表达式,再运用导数知识判断函数的单调性与最值,求出最高总利润.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)P(x)=50+?+?=?+x+40(x∈N*),由基本
不等式得:P(x)≥2?+40=220,当且仅当?=x,即x=90时等号成
立,∴P(x)=?+x+40(x∈N*),每件产品的最低成本费为220元.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)设总利润y=f(x)元,则f(x)=x[Q(x)-P(x)]=1240x-?x3-8100-x2-40x=-?x3-x2+1200x-8100(x∈N*,
x≤170),∴f'(x)=-?x2-2x+1200=-?(x2+20x-12000)=-?(x-100)(x+120).当x<100时,f'(x)>0;当x>100时,f'(x)<0,∴f(x)在[1,100)上是增函数,在(1 00,170]上是减函数,∴当x=100时,函数f(x)取得最大值?,故生产1
00件产品时,总利润最高,且最高利润为?元.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】解决实际应用问题的关键有两点:一是认真审题,明确 问题的实际背景,然后进行抽象、概括,将实际问题转化为数学问题; 二是正确建立相应的数学模型,进而求解数学问题,最后检验所求结 果是否符合应用问题的实际意义.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练10????某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如 图所示的矩形综合性休闲广场,其总面积为3000平方米,其中场地四 周(阴影部分)为通道,通道宽度均为2米,中间的三个矩形区域将铺设 塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地 占地面积为S平方米.(1)分别写出用x表示y和用x表示S的函数关系式(写出函数定义域);(2)怎样设计能使S取得最大值,最大值为多少?名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)由已知xy=3000,2a+6=y,则y=?(6≤x≤500),S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a=(2x-10)?=(x-5)(y-6)=3030-6x-?(6≤x≤500).(2)S=3030-6x-?≤3030-2?=3030-2×300=2430,当且仅当6x
=?,即x=50时,等号成立,此时x=50,y=60,Smax=2430.即设计x=50米,y
=60米时,运动场地面积最大,最大值为2430平方米.名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 限时训练卷(一)一、选择题1.(浙江省诸暨中学2012届高三考试题)已知集合M={x|ex等式x+x·f(x)≤2的解集是?( )(A)(-∞,-1). ????(B)[-1,0)∪[1,+∞).(C)(-∞,1]. ????(D)(-∞,-1]∪[0,1].【解析】原不等式化为?或?解得x≤1,选C.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.设变量x、y满足约束条件?则目标函数z=2x+y的最小值为
?( )(A)1. ????(B)2. ????(C)3. ????(D)8.【解析】作出约束条件?的可行域,知(1,1)为所求最优解,∴
zmin=2×1+1=3.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.若?2. ????(D)?+?<-2.【解析】取a=-2,b=-3代入可得选D.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.已知a>0,b>0,则?+?+2?的最小值是?( )(A)2. ????(B)2?. ????(C)4. ????(D)5.【解析】∵?+?+2?≥2?+2?≥4,当且仅当a=b,?=1时,等号
成立,即a=b=1时,不等式取最小值4.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.(东北四校高三联考试题)不等式?<1的解集记为p,关于x的不等
式x2+(a-1)x-a>0的解集记为q,已知p是q的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是?( )(A)(-2,-1]. ????(B)[-2,-1].(C)?. ????(D)[-2,+∞).【解析】由?<1,得(x-1)(x-2)>0,∴p:x<1或x>2;由不等式x2+(a-1)x-a
>0,得(x+a)(x-1)>0,当-a≥1,即a≤-1时,得q:x<1或x>-a;∵p是q的充分 不必要条件,∴1≤-a<2,即-2 1;∵p是q的充分不必要条件,∴-a=1,即a=-1,综上可得-20得x>-a;由ax>-1,当a>0时,x>-?,a<0时,x<-?.∴当a>0
时, ?的解集恒不为空集;当a<0时,若?的解集不是空集,
则-a<-?,解得-1数a的取值范围是(-1,+∞).【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.若函数f(x)=? g(x)=2|x+1|,则不等式f(x)>g(x)的解集是?
( )(A)(-1,1). ????(B)(-∞,1).(C)(1,3). ????(D)(-1,3).【解析】当x<0时,2|x+1|<1,得x∈?;当x≥0时,2|x+1|1;②a+b=2;③a+b>2;④a2 +b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a、b中至少有一个大于1”的条件是( )(A)②③. ????(B)①②③. ????(C)③. ????(D)③④⑤.【解析】若a=?,b=?,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+
b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则 ab>1,故⑤推不出;对于③,即a+b>2,则a、b中至少有一个大于1.反证 法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2,与a+b>2矛盾,因此假设不成立,即a、 b中至少有一个大于1.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.关于x的不等式(mx-1)(x-2)>0,若此不等式的解集为{x|?m的取值范围是 ????.【解析】由不等式的解集形式知对应函数图象开口向下,得m<0.【答案】m<0二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.(呼伦贝尔市林业一中2012届高三模拟试题)已知函数f(x)= ?若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是 ????.【解析】易知f(x)是R上的奇函数且是增函数,由f(2-a2)>f(a),得2-a2 >a,解得-2为12,则k= ????.【解析】作出约束条件的可行域,知直线z=x+3y过点A(3,3)时,z=x+3y取得最大值12,将点A(3,3)代入2x+y+k=0,得k=-9.【答案】-9名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.(山东省济宁一中2012届高三第三次测试题)已知二次函数f(x)的 二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).三、解答题(1)若方程f(x)=0的两根一个大于-3,另一个小于-3,求a的取值范围;(2)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式.【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(x)>-2x得,ax2+(b+2)x+c>0的解集 为(1,3),∴?即?,∴f(x)=ax2-(4a+2)x+3a(a<0).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)∵f(x)=0的两根一个大于-3,另一个小于-3,∴f(-3)=9a+3(4a+2)+3a >0,解得-?00.(C)a<-1. ????(D)a>1.【解析】若二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有异号根,则?<0,∴a<0,∴结
合条件知只有a<-1符合题意,故选C.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.若x∈(e-1,1),a=ln x,b=(?)ln x,c=eln x,则?( ????)(A)c>b>a. ????(B)b>a>c.(C)a>b>c. ????(D)b>c>a.【解析】x∈(e-1,1)时,-11,0c>a,
选D.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函 数中与f(x)的单调性不同的是?( )(A)y=x2+1.(B)y=|x|+1.(C)y=?.(D)y=?.【解析】观察图象知偶函数f(x)在(0,2)上单调递增,∴f(x)在(-2,0)上 单调递减,∴该问题即判断选项中的函数在(-2,0)上单调递增,逐一考察函数,选C.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.函数y=f(x)(x∈R)的图象如下图所示,下列说法正确的是?( ????)①函数y=f(x)满足f(-x)=-f(x);②函数y=f(x)满足f(x+2)=f(-x);③函数y=f(x)满足f(-x)=f(x);④函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x).(A)①④. ????(B)②③. ????(C)①②. ????(D)③④.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】观察图象知函数y=f(x)(x∈R)是奇函数且是周期为4的周期 函数.故①②正确,选C.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.(安徽省六校联考试题)已知函数y=f(x)的图象与函数y=ln x的图象 关于直线y=x对称,则f(x+1)等于?( )(A)ex. ????(B)ex+1.(C)ex-1. ????(D)ln (x+1).【解析】∵函数y=f(x)的图象与函数y=ln x的图象关于直线y=x对称, ∴函数y=f(x)与y=ln x互为反函数,∴f(x)=ex,f(x+1)=ex+1,选B.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.(陕西五校2012届第三次模拟考试题)已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x -3,若存在f(a)=g(b),则实数b的取值范围为?( ????)(A)[1,3]. ????(B)(1,3).(C)[2-?,2+?]. ????(D)(2-?,2+?) .【解析】由已知f(a)=ea-1>-1,若存在f(a)=g(b),则g(b)=-b2+4b-3>-1,即b 2-4b+2<0,解得2-?=?,即x1+x2=3.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.已知f(x)=ln (x2+1),g(x)=(?)x-m,若?x1∈[0,3],?x2∈[1,2],使得f(x1)≥
g(x2),则实数m的取值范围是?( )(A)[?,+∞). ????(B)(-∞,?].(C)[?,+∞). ????(D)(-∞,-?].【解析】问题等价于f(x)min≥g(x)min.∵当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=ln 1= 0,∴?x∈[1,2],使g(x)=(?)x-m≤0,即m≥(?)x成立.又(?)x在[1,2]上单调
递减,∴[(?)x]min=?,∴m≥?,选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+ 1,则f(?)= ????.【解析】∵函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,∴f(x+2)=f(x), 且f(-x)=f(x),又x∈[0,1]时,f(x)=x+1,∴f(?)=f(-?)=f(?)=?+1=?.【答案】? 二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.(北京九中2012年高三模拟考试题)已知定义在R上的奇函数f(x) 和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x,若不等式f(x)+2 g(x)≥a对?x∈(0,1] 恒成立,则实数a的取值范围是 ????.【解析】∵f(x)+g(x)=2x,∴f(-x)+g(-x)=2-x,又f(x)为R上的奇函数, g(x) 为R上的偶函数, 所以-f(x)+g(x)=2-x,联立解得g(x)=?(2x+2-x).由不等式f
(x)+2g(x)≥a对?x∈(0,1]恒成立,得f(x)+2g(x)=2x+?(2x+2-x)=?(3·2x+2
-x)≥a对?x∈(0,1]恒成立,∴a≤[?(3·2x+2-x)]min.∵在区间(0,1]上,函数
h(x)=?(3·2x+2-x)单调递增,∴x=0时,[?(3·2x+2-x)]min=2,故a≤2.【答案】a≤2名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.已知函数f(x)=?若f(x)在(0,+∞)上单调递减,则实数a
的取值范围为 ????.【解析】∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴?解得0?.故实数a的取值范围为(0,?].【答案】(0,?]名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.(上海市新中高级中学2012届高三考试题)如图1,OA、OB是某地 一个湖泊的两条互相垂直的湖堤,线段CD和曲线段EF分别是湖泊 中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要,拟过栈桥CD上某 点M分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK,且以MG、MK为边建 一个跨越水面的三角形观光平台MGK.建立如图2所示的直角坐标 系,测得线段CD的方程是x+2y=20(0≤x≤20),曲线段EF的方程是xy= 200(5≤x≤40),设点M的坐标为(s,t),记z=s·t.(题中所涉及的长度单位 均为米,栈桥和防波堤都不计宽度)三、解答题名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求z的取值范围;(2)试写出三角形观光平台MGK的面积S△MGK关于z的函数解析式,并 求出该面积的最小值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)由题意,得M(s,t)在线段CD:x+2y=20(0≤x≤20)上,即s+2 t=20,∵过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK,∴5≤s≤10,z=s·t=s(10-?s)=-?(s-10)2+50,5≤s≤10,∴z的取值范围是
?≤z≤50.(2)由题意,得K(s,?),G(?,t),∴S△MGK=?·MG·MK=?(?-s)(?-t)=?
(st+?-400),则S△MGK=?(z+?-400),z∈[?,50].∵函数S△MGK=?(z+?-400)在z∈[?,50]单调递减,∴当z=50时,三角
形观光平台的面积取最小值为225平方米.名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.曲线y=xex+1在点A(0,1)处的切线方程是?( )(A)x-y+1=0. ????(B)2x-y+1=0.(C)x-y-1=0. ????(D)x-2y+2=0.【解析】由已知,y'=ex+xex,当x=0时,导数值为1,故所求的切线方程是 y=x+1,即x-y+1=0.【答案】A限时训练卷(三)一、选择题名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.(浙江省诸暨中学2012届高三考试题)曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切 线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为?( )(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)1.【解析】由y=e-2x+1,得y'=-2e-2x,∴点(0,2)处的切线的斜率k=-2,∴在点 (0,2)处的切线方程为y=-2x+2,与直线y=x联立,得交点A(?,?).又切线y
=-2x+2与直线y=0的交点B(0,1),∴所求三角形的面积是?×1×?=?,选
A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.(福建三中2012届高三测试题)已知函数f(x)=?x3+ax2+(a+3)x+1有极
大值和极小值,则实数a的取值范围是?( )(A)-?3.(C)-??.【解析】f'(x)=?x2+2ax+a+3,∵函数f(x)=?x3+ax2+(a+3)x+1有极大值
和极小值,∴方程f'(x)=0有两不等实根,∴Δ=(2a)2-4×?×(a+3)>0,即(2a
+3)(a-3)>0,∴a<-?或a>3.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.若y=?(sin t+cos tsin t)dt,则y的最大值是?( )(A)1. ????(B)2. ????(C)-?. ????(D)0.【解析】y=?(sin t+cos tsin t)dt=?(sin t+?sin 2 t)dt=(-cos t-?cos 2 t)?
=-cos x-?cos 2x+?=-cos x-?(2cos2x-1)+?=-?cos2x-cos x+?=-?(cos x+1)2
+2≤2,选B.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.设三次函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)的图象的一部分如图 所示,则?( )(A)f(x)的极大值为f(?),极小值为f(-?).(B)f(x)的极大值为f(-?),极小值为f(?).(C)f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3).(D)f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3).【解析】由图象知x<-3时,f'(x)<0,-30,∴函数f(x)极小值 为f(-3);同理知f(x)的极大值为f(3),选D.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.在曲线y=x3+x-2的切线中,与直线4x-y=1平行的切线方程是?( )(A)4x-y=0.(B)4x-y-4=0.(C)2x-y-2=0.(D)4x-y=0或4x-y-4=0.【解析】y'=3x2+1,又直线4x-y=1的斜率为4,则3x2+1=4,解得x=±1,∴ 切点为(1,0),(-1,-4),∴切线方程为y=4(x-1)或y+4=4(x+1),即4x-y-4=0或 4x-y=0,选D. 【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.若f(x)=x2-2x-4ln x,则f'(x)>0的解集为?( )(A)(0,+∞). ????(B)(-1,0)∪(2,+∞).(C)(2,+∞). ????(D)(-1,0).【解析】依题意f'(x)=2x-2-?>0,∴?>0,即(x+1)(x-2)>0,∴解集为(-1,0)∪(2,+∞),又x>0,∴x>2,选
C.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.已知R上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)f'(x)>0的 解集为?( ????) (A)(-∞,-2)∪(1,+∞).(B)(-∞,-2)∪(1,2).(C)(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞).(D)(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞).【解析】结合函数图象可得不等式的解集为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞).【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.由曲线y=?,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为?( )(A)?. ????(B)4. ????(C)?. ????(D)6.【解析】如右图,由?解得x=1(舍)或x=4,∴B(4,2).又在y=x-2中,令x=0,得A(0,-2),故所求阴影部分的面积S=?(?-x+2)dx
=(??-?x2+2x)?=?.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.已知函数f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是2x-3y+1=0,则f (1)+f'(1)= ????.【解析】∵f(1)=1,f'(1)=?,∴f(1)+f'(1)=1+?=?.【答案】? 二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则实数a的取值 范围是 ????.【解析】由y'=ex+a=0,得x=ln (-a),且当xln (- a)时,y'=ex+a>0,∴x=ln (-a)是函数y=ex+ax的极值点,∴x=ln (-a)>0,得a <-1.【答案】a<-1名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,在定义域x∈[-2,2]上表示的曲线过原 点,且在x=±1处的切线斜率均为-1.有以下命题:①f(x)是奇函数;②若f (x)在[s,t]内递减,则|t-s|的最大值为4;③f(x)的最大值为M,最小值为m, 则M+m=0;④若对?x∈[-2,2],k≤f'(x)恒成立,则k的最大值为2.其中正 确命题的序号是 ????.(填上所有正确命题的序号)【解析】由曲线过原点,得f(0)=c=0,又f'(x)=3x2+2ax+b,f'(±1)=-1,∴2a +b+4=0,且2a-b-4=0,解得a=0,b=-4.∴f(x)=x3-4x,经推理运算知①③正 确.【答案】①③名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.已知函数f(x)=ln x-ax+?-1(a∈R).三、解答题(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程;(2)当0≤a≤?时,试讨论f(x)的单调性.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=ln x+x+?-1,f'(x)=?+1-?,∴f'(2)=1,又f(2)=
ln 2+2,∴所求切线方程为y-(ln 2+2)=x-2,即x-y+ln 2=0.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)∵f'(x)=?-a+?=?,令g(x)=-ax2+x+a-1,∵x>0,∴f'(x)与g
(x)符号一致.①当a=0时,g(x)=x-1,当x≥1时,g(x)≥0,即f'(x)≥0,∴f(x)在[1,+∞)上单 调递增;当0减.名师诊断专案突破对点集训决胜高考当01.列表如下: 由上表知,f(x)在(0,1),(?-1,+∞)上单调递减,在(1,?-1)上单调递
增.综上所述,当a=0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增;当a =?时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当0调递减,在(1,?-1)上单调递增.名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.(江西省高安中学2012届高三第三次模拟考试题)已知全集U=R,集 合A={x|y=?},集合B={y|y=2x,x∈R},则(?UA)∩B等于?( )(A){x|x<0}. ????(B){x|02}.【解析】由2x-x2≥0,得A={x|0≤x≤2},∴?UA={x|x<0或x>2}.由x∈R,得y=2x>0,B={y|y>0}.∴(?UA)∩B={x|x>2
},选D.【答案】D? 一、选择题名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.由直线x=0、x=?、y=0与曲线y=sin x所围成的封闭图形的面积为
?( )(A)?. ????(B)1. ????(C)?. ????(D)?.【解析】由定积分的几何意义和微积分基本定理可知S=?sin xdx=-
cos x?=-(cos?-cos 0)=?.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.(天河区2012届普通高中毕业班综合测试题)实数x,y满足?,
若目标函数z=x+y取得最大值4,则实数a的值为?( )(A)2. ????(B)3. ????(C)4. ????(D)?.【解析】作出不等式组?的可行域如图,当直线y=-x+z经过
点A(a,a)时,目标函数z=x+y取得最大值4,∴a+a=4,∴a=2,选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.曲线y=?在点(-1,-a)处的切线方程为2x-y+b=0,则?( )(A)a=1,b=-1. ????(B)a=1,b=1.(C)a=-1,b=-3. ????(D)a=-1,b=-2.【解析】y'=?=?,∴y'|x=-1=?=2,∴a=1,将切点(-1,-1)
代入切线方程,得b=1.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.定义在R上的偶函数f(x),在[1,2]上是减函数,且具有性质:f(1+x)=f(1 -x),则该函数?( )(A)在[-1,0]上是减函数.(B)在[-1,-?]上是减函数,在[-?,0]上为增函数.(C)在[-1,0]上是增函数.(D)在[-1,-?]上是增函数,在[-?,0]上为减函数.【解析】由f(1+x)=f(1-x)知f(x)图象关于直线x=1对称.∵f(x)在[1,2]上 为减函数,∴f(x)在[0,1]上为增函数.又f(x)为R上的偶函数;∴在[-1,0] 上为减函数,选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.(安徽省合肥八中2012届高考适应性考试题)函数f(x)=?x4+?ax3+2x2
+b(a,b∈R),若f(x)仅在x=0处有极值,则a的取值范围是?( )(A)[-2?,2?).(B)(-∞,-2?]∪[2?,+∞).(C)[-2?,2?].(D)(-∞,-2?)∪[2?,+∞).【解析】f'(x)=3x3+2ax2+4x=(3x2+2ax+4)x.∵f(x)仅在x=0处有极值,∴f '(x)=0有一解x=0,且方程3x2+2ax+4=0没有两个不等实数根,∴Δ=(2a)2 -4×3×4≤0,解得-2?≤a≤2?.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.已知函数f(x)=xex-ax-1,则关于f(x)的零点叙述正确的是?( )(A)函数f(x)必有一个零点是正数.(B)当a=0时,函数f(x)有两个零点.(C)当a<0时,函数f(x)有两个零点.(D)当a>0时,函数f(x)只有一个零点.【解析】若函数f(x)=xex-ax-1有零点,则f(x)=xex-ax-1=0有解,即ex=a+?
有解,∴函数y=ex与y=a+?的图象有公共点,考察取不同a值的函数图
象,知叙述正确的是选项A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.如下图,已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),记Δ=4(b2-3ac),则当Δ>0且a>0 时,函数f(x)的大致图象为?( )【解析】f'(x)=3ax2+2bx+c,由Δ>0且a>0可知y=f'(x)的图象开口向上 且与x轴有两个交点,∴从左到右f'(x)先正后负再正,∴函数f(x)的图 象从左到右是先上升再下降然后上升,选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.已知函数f(x+1)是偶函数,当10恒成立,则 不等式f(2x-1)0恒成立,∴f(x)在(1,+∞)上 单调递增,即偶函数f(x+1)在(0,+∞)上单调递增,f(2x-1)4,则函数f(x)=x3-3ax+3在 区间(0,2)上零点的个数为?( )(A)0. ????(B)1. ????(C)2. ????(D)3.【解析】∵a>4,∴f(2)=23-6a+3=11-6a<0,又f(0)=3>0,∴f(x)在区间(0, 2)上存在零点.又由f'(x)=3x2-3a=3(x+?)(x-?),知f(x)在区间(-?,?)
上单调递减,∴f(x)在区间(0,2)上存在唯一零点,故选B.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.已知函数f(x)=2x-4,x∈[0,1]与g(x)=x2-2x+a,x∈[0,1].若对于任意x1 ∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得成立f(x0)=g(x1),则实数a的取值范围是?
( )(A)[-1,0]. ????(B)[-2,0].(C)[-2,-1]. ????(D)[-3,-2].【解析】依题意有{y|y=f(x),0≤x≤1}?{y|y=g(x),0≤x≤1}.∵当x∈ [0,1]时,f(x)∈[-4,-2],∴-4≤g(x)≤-2,即x∈[0,1]时,?恒成立,解得-3≤a≤-2,故选D.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.设函数f(x)=|x|x+bx+c,给出下列命题:①当b>0时,函数f(x)在R上是 单调增函数;②当b<0时,函数f(x)在R上有最小值;③函数f(x)的图象关 于点(0,c)对称; ④方程f(x)=0可能有三个实数根.其中正确命题的序 号有?( )(A)①③④. ????(B)①③. ????(C)①④. ????(D)①②④.【解析】f(x)=|x|x+bx+c=? 当b>0时,函数f(x)在(-∞,0]及[0,+∞)上都是单调增函数,∴在R上是单 调增函数,①正确;大致画出函数图象可知③正确;如函数f(x)=|x|x-2x- 3没有最小值,②错误;如f(x)=|x|x-4x-2时,方程f(x)=0有三个实数根,④正确.所以正确的是①③④.选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.由直线x=-?,x=?,y=0与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为
????.【解析】?cos xdx=sin x?=sin?-sin(-?)=?.【答案】? 二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考14.(辽宁省锦州中学2012届高三第四次模拟题)不等式2x-?-a>0在[1,
2]内有实数解,则实数a的取值范围是 ????.【解析】依题意,得a<(2x-?)max.∵y=2x-?在[1,2]上单调递增,∴a<(2x-?)
max=22-1=3.【答案】a<3名师诊断专案突破对点集训决胜高考15.(2012届西安八校高三年级联考题)设函数y=f(x)在其图象上任意 一点(x0,y0)处的切线的方程为y-y0=(3?-6x0)(x-x0),则函数y=f(x)的单调
减区间为 ????.【解析】由切线的斜率k=3?-6x0,知f(x)的导函数为f'(x)=3x2-6x=3x(x-
2).∵f'(x)<0时,00.三、解答题(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求f(x)的单调区间;(2)若函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数,求k的取值范围.【解析】(1)定义域为(0,+∞),f'(x)=1-?,因为x=1是函数f(x)的一个极
值点,f'(1)=0?k=1,经检验k=1为所求,∴f'(x)=1-?.令f'(x)>0?x∈(1,+
∞),再令f'(x)<0?x∈(0,1),∴函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调 递减区间是(0,1).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)∵函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数,∴g'(x)=2x-k(1+ln x)≥0 对x∈(1,2)恒成立,即k≤?对x∈(1,2)恒成立.令h(x)=?,则知h'
(x)=?>0对x∈(1,2)恒成立,∴h(x)=?在x∈(1,2)单调递增,h
(x)>h(1)=2,故k≤2.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)当a=2时,求f(x)的最小值;(2)若f(x)在(1,e]上为单调函数,求实数a的取值范围.18.(河南省许昌四校2012届高三联考题)已知函数f(x)=ax+?-3ln x.【解析】(1)当a=2时,f(x)=2x+?-3ln x(x>0),f'(x)=2-?-?=?,令f'
(x)=0,得x=2或x=-?(舍去).列表如下: 由上表知,当a=2时,函数f(x)的最小值为5-3ln 2.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)∵f'(x)=?,令h(x)=ax2-3x-a,要使f(x)在(1,e]上为单调函数,只
需f'(x)在(1,e]内满足f'(x)≥0或f'(x)≤0恒成立,只需h(x)≥0或h(x)≤0 恒成立,也就是ax2-3x-a≥0或ax2-3x-a≤0恒成立.∵x∈(1,e],∴a≥?
或a≤?恒成立.令t=?,则a≥t的最大值或a≤t的最小值.由单调性可求得当x∈(1,e
]时,t≥?,∴t只有最小值,∴a≤?,故f(x)在(1,e]上为单调函数时,
实数a的取值范围为(-∞,?].名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当x≥1时,若关于x的不等式f(x)≥?x2+(a-3)x+1恒成立,试求实数a
的取值范围.【解析】(1)f'(x)=ex+4x-3,则f'(1)=e+1,又f(1)=e-1,∴曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为y-e+1=(e+1)(x-1),即(e+1)x-y-2=0.19.(河南省洛阳市高三年级统一考试题)已知函数f(x)=ex+2x2-3x.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由f(x)≥?x2+(a-3)x+1,得ex+2x2-3x≥?x2+(a-3)x+1,即ax≤ex-?x2-1.∵x≥1,∴a≤?.令g(x)=?,则g'(x)=?.令φ(x)=ex(x-1)-?x2+1,则φ'(x)=ex(x-1)+ex-x=x(ex-1).∵x≥1,∴φ'(x)>0,φ(x)在[1,+∞)上单调递增,名师诊断专案突破对点集训决胜高考∴φ(x)≥φ(1)=-?+1=?>0,因此g'(x)>0,∴g(x)在[1,+∞)上单调递增,∴g(x)≥g(1)=e-?.又a≤g(x)恒成立,∴a≤g(x)min,∴a≤e-?,故实数a的取值范围为(-∞,e-?].名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)曲线C:y=f(x)经过点P(1,2),且曲线C在点P处的切线平行于直线y= 2x+1,求a,b的值;(2)在(1)的条件下试求函数g(x)=m[f(x)-?x](m∈R,m≠0)的极小值;(3)若f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点,求证:00时,g(x)在(-∞,0),(?,+∞)上递增,在(0,?)上递减,∴g(x)的极小值
为g(?)=-?m;当m<0时,g(x)在(-∞,0)上,(?,+∞)递减,在(0,?)上递增,∴g(x)的极小值
为g(0)=0.(3)∵f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点,∴f'(x)=x2+2ax+b=0在(1,2)内 有两个不等的实根.名师诊断专案突破对点集训决胜高考∴?,由①+③得,a+b>0,由④得,a+b<-1,所以a2+a=(a+?)2-?<2,∴a+b<2,故a+b的取值范围是(0,2).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)如果存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的 最大整数M;(2)如果对于任意的s、t∈[?,2],都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,等价于[g(x1)-g (x2)]max≥M.∵g(x)=x3-x2-3,∴g'(x)=x(3x-2),∴g(x)在(0,?)上单调递减,在
(?,2)上单调递增,∴g(x)min=g(?)=-?,g(x)max=g(2)=1,∴[g(x1)-g(x2)]max=g
(x)max-g(x)min=?,故满足条件的最大整数M=4.21.设函数f(x)=?+xln x,g(x)=x3-x2-3.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)对于任意的s、t∈[?,2],都有f(s)≥g(t)成立,等价于在区间[?,2]上
函数f(x)min≥g(x)max.由(1)知,在区间[?,2]上,g(x)max=g(2)=1,∴在区间[?,
2]上,f(x)=?+xln x≥1恒成立,等价于a≥x-x2ln x恒成立.记h(x)=x-x2ln x,
则h'(x)=1-2xln x-x,h'(1)=0.当?0;当1数在(?,1)上递增,在(1,2)上递减,∴h(x)max=h(1)=1,故实数a的取值范
围[1,+∞).名师诊断专案突破对点集训决胜高考22.(江西省师大附中2012届高三考前精讲题)已知函数f(x)=ln ax-?
(a≠0).(1)求函数f(x)的单调区间及最值;(2)求证:对于任意正整数n,均有1+?+?+…+?≥ln ?(e为自然对数的
底数);(3)当a=1时,是否存在过点(1,-1)的直线与函数y=f(x)的图象相切?若 存在,有多少条?若不存在,说明理由.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)由题意f'(x)=?.当a>0时,函数f(x)的定义域为(0,+∞),此
时函数在(0,a)上是减函数,在(a,+∞)上是增函数,f(x)min=f(a)=ln a2,无 最大值;当a<0时,函数f(x)的定义域为(-∞,0),此时函数在(-∞,a)上是 减函数,在(a,0)上是增函数,f(x)min=f(a)=ln a2,无最大值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)取a=1,由(1)知f(x)=ln x-?≥f(1)=0,故?≥1-ln x=ln ?,取x=1,2,3,
…,n,则1+?+?+…+?≥ln ?.(3)假设存在这样的切线,设其中一个切点T(x0,ln x0-?),∴切线方程
为y+1=?(x-1),将点T坐标代入得,ln x0-?+1=?(x0-1)2,即ln x0+?-
?-1=0, ①设g(x)=ln x+?-?-1,则g'(x)=?.∵x>0,∴g(x)在区间(0,1),(2,+
∞)上是增函数,在区间(1,2)上是减函数,故g(x)极大值=g(1)=1>0,g(x)极小值 =g(2)=ln 2+?>0.又g(?)=ln ?+12-16-1=-ln 4-5<0.名师诊断专案突破对点集训决胜高考注意到g(x)在其定义域上的单调性,知g(x)=0仅在(?,1)内有且仅有一
根,∴方程①有且仅有一解,故符合条件的切线有且仅有一条.名师诊断专案突破对点集训决胜高考课件171张PPT。QG-理科数学数学数学数学 高考数学学科考试大纲明确指出:数学学科的考试,按照“考查 基础知识的同时,注重考查能力”.“以能力立意命题”,这是近几年 来高考数学题遵循的原则与命题指导思想,将知识、能力和素质融 为一体,全面检测考生的数学素养和考生进入高等学校继续学习的 潜能,考查考生的数学基本能力应用意识和创新意识,考查考生对数学本质的理解,体现《课程标准》中对知识与技能、过程与方法、 情感态度与价值观等目标的要求.能力主要指空间想象能力、抽象 概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应 用意识和创新意识.【高考中的空间想象能力】空间想象能力指的是:能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出 直观形象;能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系;能对图形 进行分解、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 近几年来,立体几何高考命题形式比较稳定,一般有“1大2小”,题目难易适中,解答题常常立足柱体、锥体、台体等几何体中位置关系 的证明和夹角、距离的求解,而选择题、填空题又经常研究空间几 何体的几何特征和几何体积、表面积的求解.热点一:图形处理立体几何是研究空间图形中的点、线、面之间的位置关系与数量 关系的学科,因此解答立体几何问题时,正确理解空间图形中点、线 、面的位置关系和数量关系,充分借助图形的直观性所提供的信息, 常常有助于探寻问题的求解思路,优化问题的解答过程.对空间图形 的处理能力是空间想象能力深化的标志,是高考从深层次上考查空 间想象能力的主要方面.【解析】由正视图和侧视图可知该几何体是一个上面为正四棱锥 下面是一个圆柱的组合体,故其俯视图为B.【答案】B? ????(2012年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试)一个几
何体的正视图与侧视图相同,均为右图所示,则其俯视图可能是?(??? )【归纳拓展】以空间三视图为背景,考查常见组合体的体积、表面 积和空间想象能力,是近年来热点题型.解决此类问题的关键是抓住 三视图之间的关系,平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什 么几何形体构成的,以及它们的三视图的画法. 热点二:概念与推理的结合立体几何就是通过概念、公理、定理等来演绎的,对概念的理解是 解决立体几何的基础.因此,理解概念的本质,能够根据概念,画出图 形,通过图形直观来思考,分解出解题的元素,从而进行推理与运算, 提高空间想象能力.①若a∥α,则a⊥b;②若a⊥b,则a∥α;③若b⊥β,则α∥β;④若α⊥β,则b∥β.(A)①③. ????(B)②④.(C)①④. ????(D)②③.?????(山东省潍坊市2012年高三第二次模拟考试)已知两条
直线a、b,与两个平面α、β,b⊥α,则下列命题中正确的是?( )【解析】由b⊥α且a∥α,可得a⊥b,①正确;又由b⊥α且a⊥b,得a∥α 或a?α,故②不正确;由b⊥α且b⊥β,可得α∥β,③正确;由b⊥α且α⊥β, 得b∥β或b?β,故④不正确.【答案】A【归纳拓展】线面平行、垂直问题是高考备考的重点.从解决“平 行与垂直”的有关基本问题着手,熟悉公理、定理的内容和功能,掌 握解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直) 、面面平行(垂直)相互转化的思想,以提高推理论证、空间想象能力.(1)证明:BD⊥PC;(2)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P- ABCD的体积.? ????(2012年·湖南)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面
ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.又AC⊥BD,PA,AC是平面PAC内的两条相交直线,所以BD⊥平面 PAC,而PC?平面PAC,所以BD⊥PC.(2)如图,设AC和BD相交于点O,连结PO,由(1)知,BD⊥平面PAC,所以∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角,从而∠DPO=30°.由BD⊥平面PAC,PO?平面PAC,知BD⊥PO.在Rt△POD中,由∠DPO=30°,得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形,AC⊥BD,所以△AOD,△BOC均为等 腰直角三角形,从而梯形ABCD的高为?AD+?BC=?×(4+2)=3,于是梯形ABCD的面
积为S=?×(4+2)×3=9.在等腰三角形AOD中,OD=?AD=2?,所以PD=2OD=4?,PA=?=4.故四棱锥P-ABCD的体积为V=?×S×PA=?×9×4=12.【归纳拓展】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应 用,及几何体体积的计算.热点三:折展问题对于空间想象力的考查虽然已从几何思想方法向代数计算方法转 化,但不可否认立体几何对于空间想象能力的训练是向量这一工具 所无法取代的.因此,折展与剪拼题就承担起了这一重要使命,它能很 好地考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所 学知识解决现实问题的能力.(1)若Q为A1B中点,求证:PQ∥平面A1EF;(2)求证:A1E⊥EP.?????(2012年北京市东城区高三一模)如图1,在边长为3的正
三角形ABC中,E,F,P分别为AB,AC,BC上的点,且满足AE=FC=CP=1. 将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使平面A1EF⊥平面EFB,连结A1B,A1P(如图2).【解析】(1)取A1E中点M,连结QM,MF. 在△A1BE中,Q,M分别为A1B,A1E的中点,所以 QM∥BE,且QM=?BE. 因为?=?=?,所以PF∥BE,且PF=?BE,所以QM∥PF,且QM=PF.所以四边形PQMF为平行四边形.所以PQ∥FM.又因为FM?平面A1EF,且PQ?平面A1EF,所以PQ∥平面A1EF.(2)取BE中点D,连结DF.因为AE=CF=1,DE=1,所以AF=AD=2,而∠A=60°,即△ADF是正三角形. 又因为AE=ED=1, 所以EF⊥AD.所以在图2中有A1E⊥EF.因为平面A1EF⊥平面EFB,平面A1EF∩平面EFB=EF,所以A1E⊥平面BEF,又EP?平面BEF,所以A1E⊥EP.【归纳拓展】把一个平面图形折叠成一个几何体,再研究其性质,是 考查空间想象能力的常用方法,所以几何体的展开与折叠是高考的 一个热点.此类问题,通过动手操作,把几何体折叠或展开,由平面问 题向立体问题转化,通过折叠前后的边角的“不变”与“变”,判断 所给问题的答案.?????(2012年·福建)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD
=1,AA1=2,M为棱DD1上的一点.(1)求三棱锥A-MCC1的体积;(2)当A1M+MC取得最小值时,求证:B1M⊥平面MAC.【解析】(1)由长方体ABCD-A1B1C1D1知,AD⊥平面CDD1C1,∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD=1,又?=?CC1×CD=?×2×1=1,∴?=?AD·?=?.(2)将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开,与侧面ADD1A1共面,如图,当A1,M,C'共线时,A1M+MC取得最小值.由AD=CD=1,AA1=2,得M为DD1中点.连结C1M,在△C1MC中,MC1=?,MC=?,CC1=2,∴C?=M?+MC2,得∠CMC1=90°,即CM⊥MC1,又由长方体ABCD-A1B1C1D1知,B1C1⊥平面CDD1C1,∴B1C1⊥CM.又B1C1∩C1M=C1,∴CM⊥平面B1C1M,得CM⊥B1M;同理可证:B1M⊥AM,又AM∩MC=M,∴B1M⊥平面MAC.【归纳拓展】沿着几何体表面形成的折线的最短问题,一般考虑几 何体的平面展开图.热点四:探究性问题由于立体几何中的探究性问题, 描述的是动态的过程,结果具有隐藏 性或不唯一性,需要尝试及等价转化,能够很好地考查学生的空间想 象能力、探究能力,因此它是命题的热点.解决在立体几何中的探究 性问题主要有探究条件型、探求结论型、探究存在型,解决此类问 题的关键是合理利用空间概念进行适当转化.?????(海南省琼海市2012届高考一模)已知在四棱锥P-ABCD
中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线 段AB,BC的中点.(1)证明:PF⊥FD;(2)判断并说明PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD.【解析】(1)(法一)设PA=x,因为PA⊥平面ABCD,且AD,AF?平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥AF.所以PD2=AD2+PA2=4+x2,FD2=CF2+CD2=12+12=2,PF2=PA2+AF2=x2+AB2+BF2=x2+12+12=x2+2,所以FD2+PF2=2+2+x2=4+x2=PD2,所以PF⊥FD.(法二)连结AF,则AF=?,DF=?,又AD=2,∴ DF2+AF2=AD2,∴DF⊥AF,又PA⊥平面ABCD,∴ DF⊥PA,又PA∩AF=A,∴??PF⊥
FD.(2)线段PA上存在点G,且AG=?AP,使得EG∥平面PFD.(法一)如图,取AD的中点Q,连结BQ,则可证得BQ∥FD,再取AQ的中 点H,则因为E是AB的中点,所以EH∥BQ,所以EH∥FD,且有AH=?
AD,再过点H作HG∥DP交PA于点G,则HG∥PD,且AG=?AP,∴平面EHG∥平面PFD,∴EG∥平面PFD.从而满足AG=?AP的点G
即为所求.(法二)如图,延长AB、DF交于点H,连结PH;再过E在平面APB中作 EG∥PH交PA于G,则EG∥平面PFD.因为F是BC的中点,所以BF=?AD.又因为BF∥AD,所以HB=BA,而E是AB的中点,所以AE=?AH,所以AG
=?AP.【归纳拓展】立体几何中的存在性问题,常是先假设“假设”,若经 推理无矛盾,则假设成立;若推出矛盾,则结论为“不存在”.其中分 析法或反证法是解这类题常用的方法.总结:高考中的空间想象能力考查的主要题型有:(1)以空间几何体为载体设置有关线线、线面、面面关系的证明题, 有关空间角或空间距离的计算题.此类问题需要有较强的逻辑推理 能力与运算能力,在高考中为必考题,且属于中档题.(2)以空间几何体为载体设置有关轨迹、排列组合、函数图象等与 代数方面综合的试题,此类试题属于创新题,一般以选择题或填空题 为主.解答此类题主要依靠空间想象能力及知识迁移能力和逻辑推 理能力,是一种“多想少写”的试题,应该在平时加强这方面的训练.【高考中的抽象概括能力】抽象概括能力离不开思维,是一种数学思维能力,是人脑和数学思维对象、空间形式、数量关系等相互作用并按一般思维规律认识数 学内容的内在理性活动的能力,是高层次的数学思维能力.抽象是指 舍弃事物非本质的属性,揭示其本质属性;概括是指把仅仅属于某一 类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的, 没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观 点或某个结论.高考中对抽象概括能力的考查要求是:对具体的、生动的实例,在抽 象概括的过程中,发现研究对象的本质;从给定的大量信息材料中,概 括出一些结论,并能应用于解决问题或作出新的判断.高考主要从数 学语言、数学模式与数学模型等方面对抽象概括能力进行考查,可以涉及高考中的每个试题.热点一:从数学语言方面对抽象概括能力的考查数学语言包括文字语言、符号语言、图形语言,在高考中主要集中 用文字语言和符号语言,并辅以图形语言,呈现试题内容,其考查的重 点是文字语言,并要求考生能够根据实际情况进行三种形式语言的 理解与转换.? 设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式
?<0的解集为?( )(A)(-1,0)∪(1,+∞).(B)(-∞,-1)∪(0,1).(C)(-∞,-1)∪(1,+∞).(D)(-1,0)∪(0,1).【解析】∵f(x)为奇函数,∴f(x)-f(-x)=2f(x),∴?<0等价于?
<0.又f(x)在(0,+∞)上为增函数,且过点(1,0),画出f(x)在(0,+∞)的大致 图象;再由奇函数关于原点对称,画出y=f(x)在(-∞,0)的图象,如图所示.由图可知f(x)与x异号的区间如图阴影所示,
∴所求解集为(-1,0)∪(0,1),故选D.【答案】D【归纳拓展】本题将抽象函数转化为图形语言,直观,容易获得结果. ?????(北京市2012届西城区高三下学期二模)已知集合A={a1,
a2,…,a20},其中ak>0 (k=1,2,…,20),集合B={(a,b)|a∈A,b∈A,且a>b},则 集合B中的元素至多有?( )(A)210个. ????(B)200个.(C)190个. ????(D)180个.【解析】不妨设a1>a2>…>a20,则当a=a1时,b=a2,a3,…,a20,有19个;当a=a2时,b=a3,a4,…,a20,有18个;依次类推, 当a=a19时,b=a20,有1个.故集合B中的元素至多有19+18+…+1=?=190.【答案】C【归纳拓展】内容的高度抽象是数学的主要特征之一,本题的解决 就是在正确理解抽象的集合语言和符号语言的前提下,将问题具体 化、熟悉化.热点二:从数学模式、数学模型、数学方法方面对抽象概括能力进 行考查不论是把实际问题转化为数学问题,还是单纯解数学题,都离不开把 问题和解决问题的方法进行比较分类,抽象概括出一种数学结构形 式,然后利用这种结构形式来熟练地解决同类型的实际问题与数学 问题.? 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=BC=?,BB1=2,∠
ABC=90°,E、F分别为AA1、C1B1的中点,沿棱柱的表面从E到F的最 短路径的长度为 ????.【解析】把平面A1ABB1与平面B1BCC1展开到同一平面内,如图:A1E=?AA1=1,A1F=A1B1+B1F=?,所以EF=?=?=?;把△A1B1C1与侧面A1B1BA展开如图所示:连结EF,过E作EM⊥BB1于M,则EM=AB=?,FM=1+?,所以EF=
?;若把△A1B1C1与侧面A1ACC1展开如图:连结EF,过E作EM⊥CC1于M,作FD⊥EM于D点,则ED=?,FD=?,所以
EF=?=?.比较可得,最小值为??.【答案】?? 【归纳拓展】沿着几何体表面形成的折线的最短问题,解决此类问 题的数学模式与方法往往是将几何体展开成平面图,利用平面内两 点间的线段最短.(1)当a=1时,判断f(x)的单调性;(2)若g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取值范围;(3)设函数h(x)=x2-mx+4,当a=2时,若?x1∈(0,1),?x2∈[1,2],总有g(x1) ≥h(x2)成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=?,f(x)在(0,+∞)上单调
递增.?????(湖南省衡阳市2012届高三六校联考)已知函数f(x)=ln x-
?,g(x)=f(x)+ax-6ln x,其中a∈R.(2)g(x)=ax-?-5ln x,g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=a+?-?=?,因为g(x)在其定义域内为增函数,所以?x∈
(0,+∞),g'(x)≥0?ax2-5x+a≥0?a(x2+1)≥5x?a≥??a≥[?]max,而?=?≤?,当且仅当x=1时取等号,所以a≥?.(3)当a=2时,g(x)=2x-?-5ln x,g'(x)=?,由g'(x)=0得x=?或x=2,当x∈(0,?)时,g'(x)≥0;当x∈(?,1)时,g'(x)<0.所以在(0,1)上,g(x)max=g(?)=-3+5ln 2,而“?x1∈(0,1),?x2∈[1,2],总
有g(x1)≥h(x2)成立”等价于“g(x)在(0,1)上的最大值不小于h(x)在 [1,2]上的最大值”,而h(x)在[1,2]上的最大值为max{h(1),h(2)},所以 有??? ???m≥8-5ln 2.所以实数m的取值范围是[8-5ln 2,+∞).【归纳拓展】本题深入考查对函数单调性和导数关系的理解,通过 问题的设置从数学模式与数学方法上考查抽象概括能力.总结:对数学语言、数学模式、数学模型的抽象概括.抽象与概括是形成 概念的思维过程和科学方法,只有经过抽象与概括才能使人们对事 物的认识由感性转化为理性.【高考中的推理论证能力】推理是思维的基本形式之一,也是学习和生活中经常使用的思维方 式,它由前提和结论两部分组成.论证是由已有的正确的前提到被论证的结论正确的一连串的推理过程.推理既包括演绎推理,也包括合 情推理.论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法,也包括按思 考方法划分的直接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想,再 运用演绎推理进行证明.高考对推理能力的考查历来以演绎推理为 重点,新课标下的高考,更关注以归纳和类比推理为主的合情推理,考 查观察、比较、分析、综合、抽象和概括能力;注意数学语言、普 通语言的理解和运用;注意思维品质的考查.(1)求证:数列{?}是等差数列;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求证:对任意的n∈N+,Sn+1-4an都为定值.【解析】(1)∵an+1=2an+2n,∴?-?=?=?=?.∴数列{?}是以?=?为首项,?为公差的等差数列.?????(陕西师大附中2012届高考模拟)在数列{an}中,a1=1,且
对任意的n∈N+,都有an+1=2an+2n.(2)由(1)知?=?+?(n-1)=?,∴an=n·2n-1.∴Sn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1. ①∴2Sn=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n. ②∴由②-①可得Sn=n·2n-(1+2+22+…+2n-1)=(n-1)·2n+1.∴Sn+1-4an=n·2n+1+1-4n·2n-1=1,故结论成立.【归纳拓展】本题直接从已知条件出发,根据等差数列的定义、通 项公式,利用错位相减法求和,进行一系列的化简,达到解决问题的目 的.(1)求实数a的取值范围;(2)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上是否存在一点P,使得点P到x轴 的距离不小于?.试证明你的结论.【解析】(1)f'(x)=3x2-3a∈[-3a,+∞),∵对任意m∈R,直线x+y+m=0都不与y=f(x)相切,∴-1?[-3a,+∞),∴-1<-3a,实数a的取值范围是aax(a∈R)相切.(2)存在.(法一)问题等价于当x∈[-1,1]时,|f(x)|max≥?,设g(x)=|f(x)|,则g(x)在x∈[-1,1]上是偶函数,故只要证明当x∈[0,1]时,|f(x)|max≥?,①当a≤0时,f'(x)≥0,f(x)在[0,1]上单调递增,且f(0)=0,g(x)=f(x),g(x)max=f(1)=1-3a>1>?;②当0(?)},由f(1)=1-3a≥?及0∈[-1,1],|f(x)|?与a≤0矛盾;②当0?,对任意的直线l,a+b是否为定值?若是,求出a+b的值;否则,说明理由.【解析】(1)由?解得O(0,0),N(2p,2p),所以|ON|=?=2?
p,由2?p=4?,解得p=2,即抛物线C的方程为x2=4y.?????(2012·河南省洛阳市高三年级第一学期期中考试)已知
抛物线C的方程为x2=2py(p>0),O为坐标原点,F为抛物线焦点,直线y= x截抛物线C所得弦|ON|=4?.(2)显然直线l的斜率一定存在,设其方程为y=kx+1,l与x轴交于M(-?,
0),设直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),由?得x2-4kx-4=0,∴Δ=(4k)2-(-16)=16(k2+1)>0,∴x1+x2=4k,x1·x2=-4.又由?=a?,得(x1+?,y1)=a(-x1,1-y1),即a=?=-?,同理有b=-?,∴a+b=-(?+?)=-(2+?)=-1,∴对任意的直线l,a+b为定值-1.【归纳拓展】本题主要考查直线与抛物线等基础知识,考查运算求 解能力、推理论证能力及探究能力,考查函数与方程思想、化归与 转化思想.总结:高考中思维能力型问题的常见考查类型有:(1)运用演绎推理求解型.演绎推理是从一般规律出发,运用逻辑证明 或数学运算,得出特殊事实应遵循的规律,即从一般到特殊.它是由普 遍性的前提推出特殊性结论的一种推理.(2)运用归纳推理求解型.根据一类事实对象具有的性质,推出这类事 物的所有对象都具有这种性质,它是从特殊到一般的过程,属于合情 推理的一种.(3)运用联想类比求解型.根据两类不同事物之间具有的某些类似(或 一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质 的推理,也是合情推理的一种.(4)运用直觉思维求解型.直觉思维就是具有意识的人脑由于思维的 高度活动,对于数学对象、结构及规律的直接领悟和整体把握.【高考中的运算求解能力】数学中的运算能力,是指根据运算定义及其性质从已知数据及算法 式推导出结果的一种综合能力.运算能力具体表现在三个方面:会根 据概念、公式和法则对数、式和方程进行正确的运算和变形;能分 析条件,寻求与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行 估计,并能进行近似计算.中学数学的运算包括数的计算,式的恒等变形,方程和不等式同解变形,初等函数的运算和求值,各种几何量的测量与计算,求数列和函数 、积分、概率、统计的初步计算等.《高中数学课程标准》对高中 阶段运算求解能力作了明确要求,而高考命题对运算求解能力的考 查主要是针对算法、推理及以代数运算的.无论是选择题、填空题,还是解答题,均要考查运算求解能力的准确 性、敏捷性、灵活性和合理性.当然,高考试题大多考查的是运算的 通性、通法,且控制在一定的运算难度范围之内.(1)求A的大小;(2)求sin B+sin C的最大值.【解析】(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2 +bc,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,故cos A=-?,A=120°.? 在△ABC中,a,b,c分别为内角A, B, C的对边,且2asin A=
(2a+c)sin B+(2c+b)sin C.(2)由(1)得:sin B+sin C=sin B+sin(60°-B)=?cos B+?sin B=sin(60°+B),故当B=30°时,sin B+sin C取得最大值1. 【归纳拓展】本题需要把正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函 数值及两角和与差的正弦等知识点结合起来进行运算.?? ???(广东省韶关市二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a
1=1,且S1,2S2,3S3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=an+n,求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】设等比数列{an}的公比为q,(法一)若q=1,则S1=a1=1,2S2=4a1=4,3S3=9a1=9,故S1+3S3=10≠2×2S2,与已知矛盾,故q≠1,从而得Sn=?=?,由S1,2S2,3S3成等差数列,得S1+3S3=2×2S2,即1+3×?=4×?,解得q=?.所以an=a1·qn-1=(?)n-1.(法二)由S1,2S2,3S3成等差数列,得S1+3S3=2×2S2,则a1+3(a1+a2+a3)=4(a1 +a2),整理得3a3=a2,所以?=?,即q=?.所以an=a1·qn-1=(?)n-1.(2)由(1)得,bn=an+n=(?)n-1+n,所以Tn=(a1+1)+(a2+2)+…+(an+n)=Sn+(1+2+…+n)=?+? =?+?=?.【归纳拓展】本小题主要考查等差、等比数列的通项、求和等知 识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解 能力.在求公比时,法二避免了运用等比数列前n项和公式的分类讨 论,计算过程简捷.? ????(安徽省宣城市2012届高三第三次调研测试)如图,正方
形ABCD所成平面与圆O所在平面相交于CD,线段CD为圆O的弦,AE 垂直于圆O所成平面,垂足E是圆O上异于C、D的点,AE=3,圆O的直 径为9.(1)求证:平面ABCD⊥平面ADE;(2)求二面角D-BC-E的平面角的正切值.【解析】(1)∵AE⊥圆O所在的平面,CD在圆O所在的平面上,∴AE ⊥CD,在正方形ABCD中,CD⊥AD,∵AD∩AE=A,∴CD⊥平面ADE,∵CD在平面ABCD内,∴平面ABCD⊥平面ADE.(2)(法一)∵CD⊥平面ADE,DE在平面ADE内,∴CD⊥DE,∴CE为圆O的直径,即CE=9,设正方形ABCD边长为a,在直角三角形CDE中DE2=CE2-CD2=81-a2,而DE2=AD2-AE2=a2-9或a=3?,∴DE=6,过点E作EF⊥DA交DA于点F,作FG∥CD交BC于点G,连结GE,由于CD⊥平面ADE,EF在平面ADE内,∴EF⊥CD,∵AD∩CD=D,∴EF⊥平面ABCD,∴EF⊥BC,∵BC⊥FG,∴BC⊥平面EFG,∴BC⊥EG,∴∠FGE是二面角D-BC-E的平面角,在直角三角形ADE中,AD=3?,AE=3,DE=6,∵AD·EF=AE·EF,∴EF=?,在直角三角形EFG中,FG=AB=3?,∴tan∠EGF=?=?,故二面角D-BC-E的平面角的正切值是?.(法二)∵CD⊥平面ADE,DE在平面ADE内,∴CD⊥DE,∴CE为圆O的直径,即CE=9,设正方形ABCD边长为a,在直角三角形CDE中DE2=CE2-CD2=81-a2,而DE2=AD2-AE2=a2-9,故a=3?,∴DE=6,过点E作EF⊥DE于点F,作FG∥CD交BC于点G,连结GE,由于CD⊥平面ADE,EF在平面ADE内,∴EF⊥CD,∵AD∩CD=D,∴EF⊥平面ABCD,∴EF⊥BC,∵BC⊥FG,∴BC⊥平面EFG,∴BC⊥EG,∴∠FGE是二面角D-BC-F的平面角,在直角三角形ADE中,AD=3?,AE=3,DE=6,以D为原点,分别以ED,CD所在的直线为x轴,y轴建立如图所示的空 间直角坐标系.则D(0,0,0),E(-6,0,0),C(0,-3?,0),A(-6,0,3),B(-6,-3?,3),设平面ABCD的法向量为n1=(x1,y1,z1),可求n1=(1,0,2),设平面BCE的法 向量为n2=(x2,y2,z2),可求n2=(?,2,2?),∵cos=?=?,∴tan=?.【归纳拓展】本小题主要考查空间线面、面面关系等基础知识,考 查数形结合思想、化归转化思想,以及空间想象能力、推理论证能 力、运算求解能力.在计算二面角的平面角的三角函数值时,可以根 据自己的情况选择自己熟悉的方法,给考生以发挥的空间.(1)若x1=-?,x2=1,求函数f(x)的解析式;(2)若|x1|+|x2|=2?,求b的最大值.【解析】(1)因为f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0),所以f'(x)=3ax2+2bx-a2,依题意,-?和1是方程3ax2+2bx-a2=0的两根,所以?且a>0,解得a=1,b=-1.所以经检验f(x)=x3-x2-x. ?????(江西省南昌市2011—2012学年度高三第三次模拟测
试)若x1、x2(x1≠x2)是函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)的两个极值点.(2)∵f'(x)=3ax2+2bx-a2(a>0),依题意:x1,x2是方程f'(x)=0的两个根;∵x1x2=-?<0,且|x1|+|x2|=2?,∴(x1-x2)2=12,∴(-?)2+?=12.∴b2=3a2(9-a),∵b2≥0,∴00得06,即函数p(a)在区间(0,6]上是增函数,在区间[6,9]上是减函数,∴当a=6 时,p(a)有极大值为324,∴p(a)在(0,9]上的最大值是324,∴b的最大值为18.【归纳拓展】本题考查函数、导数知识及应用,考查运算求解能力 及抽象概括能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想方法.求 解时,利用根与系数之间的关系,可使求解简便.总结:针对高考的“运算能力”考查,我们必须有意识地进行运算能力训 练,以提高自身的运算能力.一般地,在二轮复习时应注意:(1)加强双基练习,提高运算的准确性.基础知识是运算的依据,对运 算具有指导意义,基础知识混淆、模糊,往往引起运算错误,所以加强 和落实双基教学是提高运算能力的首要问题.具体地说,就是要熟记 公式和法则,正确的记忆公式和法则是运算准确的前提.正确理解概 念,并能掌握公式的推导,只有理解某些概念与公式的推导,才能做到 公式的正用、反用和活用,从而提高运算能力.(2)优化解题途径,提高运算速度.运算速度是运算能力的重要标志, 在运算准确的前提下,首先加强通性、通法的训练,优化解题途径,努 力做到准确合理、快速.合理利用概念、性质、法则、原理去简化 运算,以提高速度.除公式、法则外,善于记住一些常用的结论,便可大大提高运算速度.如常用的勾股数、奇函数y=f(x)在x=0时有定义, 则f(0)=0等.(3)注意培养自己的运算灵活性.抓好心理和思维灵活性训练可以促 进运算的灵活性.心理和思维灵活性训练的核心是识别文字语言、 图形语言、符号语言等各种表达形式的本质,迅速抓住运算的实质, 以迅速联想、形成策略、提高自己的洞察能力.(4)善于分析题目条件,寻求合理简捷的算法.要做一个运算问题,首 先要善于分析题目条件,做到审视性读题、多角度观察、综合性思 考,以确定运算方向及方法.(5)有意识地进行比较复杂的运算.每年高考都说要控制运算量,但结 果是每年都控制不了.理由很简单:有数学就有运算.不厌其烦的运算 (或加大运算量,或一题多设问,或参数要多次讨论等),可以培养我们 的耐性和坚忍不拔的性格.当然,在进行这方面的训练时,要根据自身 的实际情况而精心设计,切不可盲目加大难度.【高考中的数据处理能力】高考中的数据处理能力,是指会收集、整理、分析数据,能从大量数 据中抽取对研究问题有用的信息,并作出判断.数据处理能力主要依 据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析,并解决给定的 实际问题.统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的科学,它可以为人们制定决策提供依据,它逐渐成为未来公民的一个必备常识, 统计的教学具有重要的地位,新课标高考题对统计的知识的考查力 度得到加强.高考中的数据处理能力在高考考查中主要表现在:(1)在概率统计中命制试题,它是把有关数据处理与概率统计题综合 在一起,试题侧重点在于概率统计的有关知识.具体表现在抽样方法 、统计图表、用样本估计总体等.(2)在线性回归分析中命制试题,具体表现在求回归方程并由此解决 其他有关问题,其侧重在于最小二乘估计,此类试题有较复杂的运算 过程,同时考查运算能力.(3)在独立性检验方面命制试题,具体体现在2×2列联表(关联表)与相 关系数的理解与应用.?????(江苏省南通市2012届高三上学期第一次调研测试)某
农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间 的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼 夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下资料: 该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩 下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率;(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12 月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程y=bx+a;(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差 均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得 的线性回归方程是否可靠?2组数据共有10种情况,每种情况都是等可能出现的,其中抽到相邻 两组数据的情况有4种, 所以P(A)=1-?=?. 【解析】(1)设抽到不相邻两组数据为事件A,因为从5组数据中选取(2)由数据,求得?=12,?=27.由公式,求得b=?,a=?-b?=-3.所以y关于x的线性回归方程为y=?x-3. (3)当x=10时,y=?×10-3=22,|22-23|<2; 同样,当x=8时,y=?×8-3=17,|17-16|<2. 所以,该研究所得到的线性回归方程是可靠的.【归纳拓展】本题主要考查线性回归分析和独立性检验的统计分 析方法,考查数据处理能力、分析解决问题的能力以及实践能力.进 行线性回归分析时,要先画出散点图确定两变量具有线性相关关系, 然后利用公式求回归系数a,b,得到回归直线方程,最后再进行有关的 线性分析. ?? ???(2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试)2
012年2月份,从银行房贷部门得到好消息,首套住房贷款利率将回归 基准利率. 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示:(1)求本周该银行所发放贷款的贷款年限的标准差;(2)求在本周内一位购房者贷款年限不超过20年的概率;(3)求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限(取过剩近似整数 值).【解析】(1)贷款年限依次为10,15,20,25,30,其平均值?=20.s2=? =50,所以标准差s=5? .(2)所求概率P=P1+P2+P3=?+?+?=?.(3)平均年限n=? ≈22(年).【归纳拓展】本题考查统计图的简单应用,考查平均数、方差、概 率等知识,考查数据的分析、处理能力和运算能力.? 为了比较注射A, B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,
选200只家兔做试验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其 中一组注射药物A,另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.(疱疹面积单位: mm2)表1:注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表表2:注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表(1)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中 位数大小;(2)完成下面2×2列联表,并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.表3: 附:χ2=? 【解析】(1) 可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间,而注射 药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间,所以注射药物A后疱疹 面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数.(2)表3:χ2=?≈24.56.【归纳拓展】本题综合考查频数分布表、频率分布直方图、列联 表的简单应用以及古典概型的计算,考查统计活动中的数据处理能 力、分析问题、解决问题的能力.总结:高考中考查数据处理能力主要表现在以下几个方面:由于χ2>10.828,所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积 与注射药物B后的疱疹面积有差异”. (1)在概率统计中命制试题,它是把有关数据处理与概率统计题综合 在一起,试题侧重点在于要概率统计的有关知识考查之中.具体表现 为概率分布列、频率分布直方图、正态分布曲线等方面的试题.(2)在线性回归分析中命制试题,具体表现为求回归方程并由此解决 其他有关问题,其重点在于最小二乘法,此类试题有较复杂的运算过 程,因此也考查了运算能力.(3)在独立性检验方面命制试题,具体表现为2×2列联表与相关系数 的理解与应用.【高考中的应用意识】应用意识就是指能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题, 包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题,能理解对问 题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实 际问题抽象为数学问题,建立数学模型,应用相关的数学知识和方法 解决问题并加以验证,并用数学语言正确地表述和说明.应用的主要 过程是依据现实生活背景,提炼相关的数量关系,将现实问题转化为 数学问题,构造数学模型,并加以解决.纵观近几年高考试题,高考命题在“用”中必考,问题的设计多与函 数、方程、数列、不等式、三角函数、解析几何、立体几何等高 中数学知识联系,考查贴近生活、有社会意义和时代意义的应用题,立意考查“大众”数学应用题是高考命题的一个趋势,也是高考的 一个热点问题.在应用题中主要考查阅读能力、应用能力和探究能 力,关注当前国内外的政治、经济、文化,紧扣时代的主旋律,凸现了 学科综合的特色,是历年高考命题的一道亮丽风景线,其解题的关键 在于构建适当的数学模型.试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值.?????(江苏省南通市2012届高三第一次调研考试)经市场调
查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数,且 日销售量近似地满足g(t)=-?t+?(1≤t≤100,t∈N).前40天价格为f(t) =?t+22(1≤t≤40,t∈N),后60天价格为f(t)=-?t+52(41≤t≤100,t∈N),【解析】当1≤t≤40,t∈N时,S(t)=g(t)f(t)=(-?t+?)(?t+22)=-?t2+2t+
? =-?(t-12)2+?,所以768=S(40)≤S(t)≤S(12)=?.当41≤t≤100,t∈N时,S(t)=g(t)f(t)=(-?t+?)(-?t+52)=?t2-36t+?=?(t-108)2-?,所以8=S(100)≤S(t)≤S(41)=?.所以S(t)的最大值为?,最小值为8.【归纳拓展】本题是一道函数应用题,在解题思维中蕴含着分类讨 论思想,主要考查运用函数知识分析问题、解决实际问题的能力. ????? (湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试)某同学
利用暑假时间到一家商场勤工俭学,该商场向他提供了三种付酬方 案:第一种,每天支付38元;第二种,第一天付4元,第二天付8元,第三天 付12元,依此类推;第三种,第一天付0.4元,以后每天支付的薪酬是前 一天薪酬的2倍,工作时间为n天.(1)工作n天,记三种付费方式薪酬总金额依次为An,Bn,Cn,写出An,Bn,Cn 关于n的表达式; (2)如果n=10,你会选择哪种方式领取报酬?【解析】(1)三种付酬方式每天金额依次为数列{an},{bn},{cn},它们 的前n项和依次为An,Bn,Cn.依题意,第一种付酬方式每天金额组成数列{an}为常数数列,An=38n.第二种付酬方式每天金额组成数列{bn}为首项为4,公差为4的等差 数列,则Bn=4n+?×4=2n2+2n.第三种付酬方式每天金额组成数列{cn}为首项是0.4,公比为2的等比 数列,则Cn=?=0.4(2n-1).(2)由(1)得,当n=10时, An=38n=380, Bn=2n2+2n=220, Cn=0.4(210-1)=409.2.所以B100,ω>0,|φ|的图象,图象的最高点为B(5,??),DF⊥OC,垂足为F. ?????如图所示,某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC;另一侧修建一条观光大道,它的前一段OD是以O为顶点,x轴为对称轴,开口向右的抛物线的(1)求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式;(2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE,问点P落在曲线 OD上何处时,水上乐园的面积最大?【解析】(1)对于函数y=Asin(ωx+φ),由图象知,A=?,ω=?=?=?,将B(5,?)代入到y=?sin(?x+φ)中,得?+φ=2kπ+?(k∈Z),∴φ=2kπ-?.又|φ|0,S递增;当t∈(?,
4)时,S'<0,S递减,所以当t=?时,S最大,此时点P的坐标为(?,?).【归纳拓展】本题是一道三角函数与抛物线综合的应用问题,考查 学生提炼相关的数量关系,将现实问题转化为数学问题,构造数学模 型,并加以解决.总结:数学学习的目的全在于应用,所以我们必须“在用中学”,高考命题 也必“在用中考”.考查贴近生活、有社会意义和时代意义的应用 题,适当降低难度,立意考查大众数学是高考命题的一个趋势.在应用 题中主要考查阅读能力、应用能力和探究能力.高考中的实际应用 问题,已逐渐成为高考的一个热点题型,而热门话题是增减比率型和 方案优化型, 另外,估测计算型和信息迁移型也时有出现.当然,数学 高考应用性问题关注当前国内外的政治、经济、文化,紧扣时代的 主旋律,凸显了学科综合的特色,是历年高考命题的一道亮丽的风景 线,其解题的关键在于构建适当的数学模型.【高考中的创新意识】对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查,主要要求考生不仅 能理解一些概念、定义,掌握一些定理、公式,更重要的是能够应用 这些知识和方法解决数学和现实生活中的比较新颖的问题.回顾近年来的高考数学试题,不难发现:关注探究创新意识,考查数学 理性思维,已成为高考命题的一种趋势.在高考试题中常常通过创设 一些比较新颖的问题情境,构造一些具有一定深度和广度、能体现 数学素养的问题,着重考查数学主体内容. 正项数列{?}为“调和数列”,且b1+b2+…+b9=90,则b4·b6的最大值是
?( )?????(1)(江西师大附中2012年高三数学模拟试卷)若数列{an }满足?-?=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为“调和数列”.已知(A)10. ????(B)100. ????(C)200. ????(D)400.(2)(山东省日照一中2012届高三第七次考试)对?a、b∈R,定义运算 “?”、“⊕”为:a?b=?a⊕b=?给出下列各式:①(sin x?cos x)+(sin x⊕cos x)=sin x+cos x;②(2x?x2)-(2x⊕x2)=2x-x2, ③(sin x?cos x)·(sin x⊕cos x)=sin x·cos x,④(2x?x2)÷(2x⊕x2)=2x÷x2.其中等式恒成立的是 ????.(将所有恒成立的等式的序号都填 上)【解析】(1)由“调和数列”的定义可得bn+1-bn=d,从而正项数列{bn} 是等差数列,所以?=90,所以b1+b9=20,则由等差数列的性质得b4+b6=20,所以b4·b6≤(?)2=(?)2=100.(2)由题意可得sin x?cos x=? sin x⊕cos x=? 所以当sin x≥cos x时, sin x?cos x=sin x,sin x⊕cos x=cos x,则sin x?cos x+sin x⊕cos x=sin x+cos x,(sin x?cos x)·(sin x⊕cos x)=sin x·cos x;当sin x的顶点是椭圆?+?=1的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合.【解析】 (1)由题意,可设抛物线方程为y2=2px(p>0).由a2-b2=4-3=1,得c=1.∴抛物线的焦点为(1,0),∴p=2,∴抛物线D的方程为y2=4x. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2).(ⅰ)直线l的方程为:y=x-4, 联立?整理得:x2-12x+16=0 ∴AB=?=4?.(ii)设存在直线m:x=a满足题意,则圆心M(?,?),过M作直线x=a的
垂线,垂足为E,设直线m与圆M的一个交点为G,可得:|EG|2=|MG|2-|ME|2,即|EG|2=|MA|2-|ME|2=?-(?-a)2=??+?+a(x1+4)-
a2=x1-4x1+a(x1+4)-a2=(a-3)x1+4a-a2,当a=3时,|EG|2=3,此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为 定值2?.因此存在直线m:x=3满足题意.【归纳拓展】本题主要考查直线、圆、椭圆、抛物线等基础知识, 考查运算求解能力、推理论证、探究创新能力与创新意识.(1)求f(x)在x=1处的切线方程;(2)若不等式f(x)≤0恒成立,求a的取值范围;(3)数列{an}中,a1=2,2an+1=an+1,数列{bn}满足bn=nln an,记{bn}的前n项 和为Tn,求证:Tn<4-?.【解析】(1)∵x>0,f'(x)=?+a,∴f'(1)=a+1,切点是(1,a+1),所以切线方程为y-(a+1)=(a+1)(x-1),即y=(a+1)x. ? 已知函数f(x)=ln x+ax+1,a∈R.(2)(法一)∵x>0,f'(x)=?,①当a≥0时,x∈(0,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增,显然当x>1时,f(x)>0,f(x)≤0不恒成立.②当a<0时,x∈(0,-?),f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(-?,+∞),f'(x)<0,f(x)单调
递减,∴f(x)max=f(x)极大值=f(-?)=ln(-?)≤0,∴a≤-1,所以不等式f(x)≤0恒成立时,a的取值范围是(-∞,-1].(法二)∵x>0,所以不等式f(x)≤0恒成立,等价于ax≤-ln x-1,即a≤ ?,令h(x)=?,则h'(x)=-?+?=?,当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调 递增. ∴h(x)min=h(x)极小值=h(1)=-1,∴a≤-1.所以不等式f(x)≤0恒成立时,a的取值范围是(-∞,-1].(3)∵2an+1=an+1,∴an+1-1=?(an-1),∵a1=2,∴an-1=(?)n-1,∴an=(?)n-1+1,∴bn=n·ln[(?)n-1+1],由(2)知,当a=-1时,ln x-x+1≤0恒成立,即ln x≤x-1,当且仅当x=1时取等号.∴b1=1×ln[(?)1-1+1]<1×[(?)1-1+1-1],b2=2×ln[(?)2-1+1]<2×[(?)2-1+1-1],?bn=n×ln[(?)n-1+1]检测)某工厂欲加工一件艺术品,需要用到三棱锥形状的坯材,工人将 如图所示的长方体ABCD-EFPH材料切割成三棱锥H-ACF. (1)若点M,N,K分别是棱HA,HC,HF的中点,点G是NK上的任意一点, 求证:MG∥平面ACF;(2)已知原长方体材料中,AB=2 m,AD=3 m,DH=1 m,根据艺术品加工 需要,工程师必须求出该三棱锥的高.(i)甲工程师先求出AH所在直线与平面ACF所成的角θ,再根据公式h =AH·sin θ求出三棱锥H-ACF的高.请你根据甲工程师的思路,求该三 棱锥的高.(ii)乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序,其框图如图所示,则 运行该程序时乙工程师应输入的t的值是多少?(请直接写出t的值,不要求写出演算或推证的过程).【解析】(1)(法一)∵HM=MA,HN=NC,HK=KF,∴MK∥AF,MN∥AC.∵MK?平面ACF,AF?平面ACF,∴MK∥平面ACF,同理可证MN∥平面ACF,∵MN,MK?平面MNK,且MK∩MN=M,∴平面MNK∥平面ACF, 又MG?平面MNK,故MG∥平面ACF.(法二)连HG并延长交FC于T,连结AT.∵HN=NC,HK=KF,∴KN∥FC,则HG=GT,又∵HM=MA,∴MG∥AT, ∵MG?平面ACF,AT?平面ACF,∴MG∥平面ACF.(2)(i)如图,分别以DA,DC,DH所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐 标系O-xyz.则有A(3,0,0),C(0,2,0),F(3,2,1),H(0,0,1). ?=(-3,2,0),?=(0,
2,1),?=(-3,0,1). 设平面ACF的一个法向量n=(x,y,z),则有?解得? 令y=3,则n=(2,3,-6),∴sin θ=|?|=?=?,∴三棱锥H-ACF的高为AH·sin θ=?×?=?.(ii)t=2. 【归纳拓展】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与 平面的位置关系和算法初步等基础知识,考查空间想象能力、推理 论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、 函数与方程思想及应用创新意识. 总结:高考中有关创新型的题型主要有:(1)条件探究型:这类题目的特点是给出了题目的结论,但没有给出满 足结论的条件,并且这类条件常常是不唯一的,需要解题者从结论出 发,通过逆向思维去判断能够追溯出产生结论的条件,并通过推理予 以确认.这种条件探究性问题实质上是寻找使命题为真的充分条件 和充要条件.(2)结论开放型:这类题目的特点是给出一定的条件,要求从条件出发 去探索结论,而结论往往是不唯一的,甚至是不确定的,需要解答者从 已知条件出发,运用所学过的知识进行推理、探究或实验得出结论.(3)条件和结论都发散型:有些题目的条件和结论都是不确定的,但是 给出了一定量的信息和情景,要求解题者在题目给出的情景中,自行设定条件,自己寻找结论,自己构建命题并进行演绎推理.(4)信息迁移型:这类题目的特点是命题者通过文字或图表等给出了 中学数学内容中没有遇到过的新知识,这些新知识可以是新概念、 新定义、新定理和新规则、新情境,并且这些解题的信息有可能不 是直接给出的,要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移, 即读懂新概念,理解新情境,获取有用的新信息,然后运用这些有用的 信息进一步演算和推理,从而考查在新的信息、新的情境下,独立获 取和运用新信息的能力,综合运用数学知识解决问题的能力和探索 能力.信息迁移题,由于信息呈现的方式不同,又可分为定义信息型、 图表信息型、图象图形信息型等.(5)存在型:这种题型是题目给出一定的条件,让解题者去证明在给定 条件下,一些给定的结论一定存在或一定不存在,或者要求解题者去 判断在给定的条件下的结论是否存在.(6)解题策略开放型:一般的题目,题型与方法相对是固定的,所以解 题者可以根据题目的条件和结论,根据固有的解题模式确定解题策 略,但有些题目,并不是按照“题型加方法”的思维定势编拟的,题目 的背景比较新颖,解题的要求比较开放,有时需要实际操作和巧妙设 计,这就要求解题者具有灵活的思维和应变能力,能根据题目的条件 和结论进行观察、分析、探索、决策,这是一种解题策略开放与发 散的题型.1.已知集合A={x|log2x<1},B={x|00}.若A∪B=B,则c的取 值范围是?( )(A)(0,1]. ????(B)[1,+∞).(C)(0,2]. ????(D)[2,+∞).【解析】因为 A={x|log2x<1}={x|00},得c≥2,故选D.【答案】D? 一、选择题2.已知函数f(x)=?则f[f(1)]+f(log3?)的值是?( )(A)5. ????(B)3. ????(C)-1. ????(D)?.【解析】f(1)=log21=0,f(0)=30+1=2,所以f[f(1)]=2.又f(log3?)=?+1=?+1=2+1=3,所以f[f(1)]+f(log3?)=2+3=5.【答案】A3.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为?( ????)(A)2π+2?. ????(B)4π+2?.(C)2π+?. ????(D)4π+?.【解析】该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成,圆柱的底面半径 为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面边长为?,高为?,所以体积为?×
(?)2×?=?.所以该几何体的体积为2π+?.【答案】C4.函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内零点的个数是?( )(A)0. ????(B)1. ????(C)2. ????(D)3.【解析】由题意知,所求零点的个数即函数y=|x-2|的图象与函数y=ln x的图象交点的个数,如图所示:由图中可以看出有两个交点,故答案选C.【答案】C5.某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系,随机统计了某4 天的用电量与当天气温,并制作了对照表:由表中数据得线性回归方程?=-2x+a,预测当气温为-4℃时,用电量的
度数约为?( ????)(A)63. ????(B)64. ????(C)66. ????(D)68.【解析】?=10,?=40,回归直线过(?,?),故a=60.于是当x=-4时,?=-2×(-
4)+60=68.【答案】D6.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若?+?=2?,且|?|=|?|,则
向量?在向量?方向上的射影为?( )(A)?. ????(B)?. ????(C)3. ????(D)-?.【解析】∵?+?=2?,∴?+?=0,∴O是BC的中点.又O是△ABC
的外心,故△ABC是直角三角形,且A=90°,又|?|=|?|,△OAC是正三
角形,C=60°,B=30°,又可求得AB=?,∴?在向量?方向上的射影为|
?|cos B=?.【答案】A7.函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如 图所示,点A,B分别为该部分图象的最高点与最低点,且这两点间的 距离为4?,则函数f(x)的图象的一条对称轴方程为?( ????)(A)x=?. ????(B)x=?. ????(C)x=4. ????(D)x=2.【解析】由A、B两点间的距离为4?可得?=2,得T=8,ω=?=?,因为f
(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函数,图象过原点,所以φ=?,因此f(x)
=-2sin?x,函数f(x)图象的一条对称轴的方程为x=2.【答案】D8.设等差数列?的前n项和为Sn,已知(a2-1)3+2012(a2-1)=1,(a2011-1)3+2
012(a2011-1)=-1,则下列结论中正确的是?( )(A)S2012=2012,a2011a2.(C)S2012=-2012,a2011≤a2.(D)S2012=-2012,a2011≥a2.【解析】设函数f(x)=x3+2012x,则函数f(x)是R上单调递增的奇函数. 根据已知f(a2-1)>f(a2011-1),故a2-1>a2011-1,即a20110恒成立,∴方程①恒有实数解,∴应 选A.【答案】A10.执行下面的程序框图,则输出的结果是 ????.二、填空题【解析】i=1≤3是,s=1,i=1+1=2,p=1+2=3;同理i=2≤3是,s=4,p=6;i=3 ≤3是,s=10,p=10,i=4≤3否,输出 10 .【答案】1011.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在[0,3]上是增函数,在[3,+ ∞)上是减函数.若函数g(x)=f(ax)在[-6,6]上是增函数,则实数a的取值 范围是 ????.【解析】由题设知,f(x)在[-3,3]是增函数,在(-∞,-3],[3,+∞)上是减函 数,若函数g(x)=f(ax)在[-6,6]上是增函数,则a>0且对任意x∈[-6,6],-3 ≤ax≤3恒成立,由此得00,则ax2+2x-1>0有大于0的解.①当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0总有大于0的解;②当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,若ax2+2x-1>0总有大于0 的解,则需Δ=4+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根.此时,-10,则ln x2-ln x1=[?a(x2+x1)+b](x2-x1).f'(x0)=?-ax0-b=?-?(x2+x1)-b=?-? =?[?-(ln x2-ln x1)]=?[?-ln?].设t=?,则y=?-ln?=?-ln t,t>1.令r(t)=?-ln t,t>1,则r'(t)=?-?=-?.因为t>1时,r'(t)<0,所以r(t)在[1,+∞)上单调递减.故r(t)0,故f'(x0)<0.课件157张PPT。QG-理科数学数学数学数学? ? 决胜高考专案突破名师诊断对点集训【考情报告】名师诊断专案突破对点集训决胜高考【考向预测】数列一直是高考的重点与热点.由于它既具有函数特征,又能构成独 特的递推关系,使得它既与中学数学其他部分知识,如:函数、方程、 不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系,又有自己鲜明 的特征,因此在高考中占有极其重要的地位.以考查数列的通项公式, 前n项和及数列的基本性质为主要内容,在试卷中约占10分或12分, 一个选择题和一个填空题,或一道解答题;小题一般为概念性问题,常 用等差数列、等比数列的概念和性质来解决,属于中低档题;而大题 的综合性较强,常从数列的递推关系入手,再转化为等差数列和等比 数列中的求通项或求和.考查学生数学思维能力和分析、建模、解名师诊断专案突破对点集训决胜高考决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类 讨论的思想.复习时仍应当以基础知识为主,不要片面追求难度.数列 可视为一种特殊的函数,因此可以用函数的观点来解决数列问题.【知能诊断】名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,2an+1=2an+3(n≥2,n∈N*),判断{an}是否为 等差数列.【解析】a2-a1=1,a3-a2=?,∴{an}不是等差数列.名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.(黑龙江省哈六中2012届高三第三次模拟)已知数列{an}的前n项和 为Sn,且an+1=5Sn-3,a1=1,则{an}的通项公式是 ????.【解析】由an+1=5Sn-3,得an=5Sn-1-3(n≥2),两式相减得an+1-an=5an,即?
=6(n≥2),由a1=1,得a2=2,?≠6,故an=? 【答案】an=? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.(2012年3月北京市丰台区高三一模)设Sn为等比数列{an}的前n项 和,若a1=1,且2a2,S3,a4+2成等差数列,则数列{?}的前5项和为?( ????)(A)341. ????(B)?. ????(C)1023. ????(D)1024.【解析】由2S3=2a2+a4+2,得q=2,则{?}的公比为4,S5=?=341.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.在公差不为0的等差数列{an}中,a1,a3,a7成等比数列,S7=35,求数列通 项an.【解析】由S7=35,得?=35,即2a1+6d=10,a4=5;又?=a1a7,即(a4-d)2=(a4-3d)(a4+3d),得d=1,故an=a4+(n-4)d=n+1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求数列{an}的公差;(2)设Sn为数列{an}的前n项和,求Sn的最小值,并求出此时n的值.【解析】(1)由a8,a9,a11成等比数列知(a1+8d)2=(a1+7d)(a1+10d),即16a1d+64d2=17a1d+70d2,整理得a1d+6d2=0.因为d≠0,所以a1=-6d.从而d=2,即数列{an}的公差为2.5.(陕西省西安市八校2012届高三年级数学试题)在公差不为0的等 差数列{an}中,a1=-12,且a8,a9,a11成等比数列.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)(法一)由(1)可知Sn=-12n+n(n-1)=n2-13n.因为n2-13n=(n-?)2-?,且n∈N+,所以当n=6或7时,n2-13n有最小值-42,因此,Sn的最小值为-42,此时的n为6或7.(法二)由(1)可知数列{an}的通项公式为an=2n-14,令an≤0,得n≤7.据数列{an}单调递增可知,其前6项均为负项,第7项为0,从第8项开始 均为正项,所以S6=S7,且均为Sn的最小值,最小值为-42,此时的n为6或7.名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.已知数列{an}是首项a1=?的等比数列,其前n项和Sn中S3=?,求数列
{an}的通项公式.【解析】若q=1,则S3=?≠?不符合题意,∴q≠1.当q≠1时,由?得? ∴an=?·(-?)n-1=(-?)n+1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.(东北四校2012届高三第一次高考模拟)已知{an}为等比数列,a1=1, a6=243,Sn为等差数列{bn}的前n项和,b1=3,S5=35.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)设Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,求Tn.【解析】(1)a6=a1q5=243,得q=3,an=3n-1;S5=?=35,b5=11,又b1=3,得
bn=2n+1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)Tn=3×1+5×3+…+(2n-1)×3n-2+(2n+1)×3n-1, ①3Tn=3×3+5×32+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n, ②①-②得:-2Tn=3+2×(3+32+…+3n-1)-(2n+1)×3n,整理得:Tn=n·3n.【诊断参考】1.应用an与Sn的关系解题时,一般要分n=1和n≥2来讨论,要注意验证 能否统一到一个式子中,当a1不符合an=Sn-Sn-1(n≥2)的表达式时,通项 公式必须分段表示.注意隐含条件n≥2,n∈N*,要验证是不是从第一 项开始.2.等差数列求Sn最值的结论为:名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)当a1>0,d<0时,若Sr最大,则应有? (2)当a1<0,d>0时,若Sr最小,则应有? 仅解不等式an<0是不正确的,仅解an+1≥0也是不正确的.3.等差、等比数列综合时,要分清谁是等差,谁是等比.灵活运用公式: 等差an=am+(n-m)d;等比an=amqn-m,使运算简便.尤其是求通项公式时,不 一定求a1,可以利用已知求得am;等比数列不一定求q,求出q3或q2有时 可以直接利用,减少运算量.在求等比数列前n项和时,注意分q≠1,q= 1两种情况讨论.名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.用错位相减求和时注意:(1)写出qSn的倒数第二项,以便相减;(2)Sn- qSn的第一项不要丢掉;(3)Sn-qSn的最后一项是减号;(4)用公式求和时 要注意项数. 名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 【核心知识】一、等差、等比数列的概念、判定、公式与性质名师诊断专案突破对点集训决胜高考名师诊断专案突破对点集训决胜高考 二、判断或证明数列是等差(或等比)的方法1.定义法:验证an+1-an=d(常数)或?=q(常数);2.中项公式法:验证2an=an-m+an+m或?=an-m·an+m;3.通项公式法:(1)数列{an}为等差数列?an=An+B(A,B为常数,n∈N*);(2)数列{an}为等比数列?an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*).三、求通项公式的常用方法1.观察法:找到项与项数的关系,然后猜想检验,即得通项公式an;名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.利用前n项和与通项的关系:an=? 3.公式法:利用等差(比)数列的通项公式;4.累加法:如an+1-an=f(n),累乘法:如?=f(n);5.转化法:(1)an+1=Aan+B(A≠0,A≠1),可以通过待定系数法an+1+λ=A(an+λ),求出 λ,化为等比数列后,再求通项;(2)an+1=can+rn(c≠0,r≠0),可以通过两边除以rn+1,转化为类型(1)求解.四、数列的常用求和方法名师诊断专案突破对点集训决胜高考数列求和要先研究数列的通项,根据通项选择方法,化归为基本数列 求和.1.公式法:用等差(比)数列的求和公式;2.分组求和法:若cn=an+bn,则用分组求和法;3.错位相减法:若cn=an·bn,{an}是等差数列,{bn}是等比数列,则用错位 相减法;4.裂项相消法:形如cn=?(其中{an}为等差数列);5.倒序相加法:若cn=?·an,m∈[0,n],即数列{cn}的通项公式是由一个
组合数和等差数列通项公式组成,则一般采用“倒序相加法”.名师诊断专案突破对点集训决胜高考五、常用的结论1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn:(1)若a1>0,d<0,则当且仅当?时,Sn取最大值;(2)若a1<0,d>0,则当且仅当?时,Sn取最小值;2.常用拆项公式(k,n∈N*)(1)?=?-?;名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)?=?(?-?);(3)若{an}是等差数列,公差为d(d≠0),则?=?(?-?);(4)?=?(?-?);(5)n·n!=(n+1)!-n!.【考点突破】名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点一:数列的概念与性质数列的概念、性质及其基本量的关系是高考中经常考查的内容,一 般出现在选择题、填空题或解答题的第一问,属于容易题或中档题, 主要考查数列性质的灵活应用及对概念的理解.?????(1)(广东省六校2012年2月高三第三次联考)等差数列
{an}中,已知a3=5,a2+a5=12,an=29,则n为?( ????)(A)13. ????(B)14. ????(C)15. ????(D)16.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)(2012年·新课标全国)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a1 0=?( ????)(A)7. ????(B)5. ????(C)-5. ????(D)-7.【分析】(1)a2+a5不能用等差中项,故用基本量,又已知a3,所以a2+a5= (a3-d)+(a3+2d)=12,求得公差,结合an=29可解.(2)要看清{an}为等比数 列,所以a5a6=a4a7,然后用基本量表示,根据韦达定理构造方程,解方程 得出a4,a7的值,或是解方程组;然后求出q3即可,后面直接用q3,减少计 算量.【解析】(1)a2+a5=(a3-d)+(a3+2d)=12,得d=2,an=a3+(n-3)d=29,得n=15.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由题意并根据等比数列的性质得a5a6=a4a7=-8,又a4+a7=2,设a4,a7是方程x2-2x-8=0的两根,则解得?或?故q3=-2或-?.当
q3=-2时,a1+a10=?+a7q3=-7;同理可知当q3=-?时,a1+a10=-7.故a1+a10=-7,故选D.【答案】(1)C????(2)D名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】关于等差、等比数列的问题,首先应抓住a1、d、q,通 过列方程组来解.此方法具有极大的普遍性,需用心掌握,但有时运算 量较大,熟练运用性质或公式特征量可大幅度简化运算.运用an=am+ (n-m)d和an=amqn-m可减少运算量.方程思想、分类讨论思想是解决数 列的常用思想方法.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练1????(1)等差数列{an}中,a4=10且a3,a6,a10成等比数列,则数列 {an}前20项的和S20= ????.(2)(山东省实验中学2012届高三第四次诊断考试)等差数列{an}中,a4 +a10+a16=30,则a18-2a14的值为 ????.【解析】(1)由a4=10和a3,a6,a10成等比数列得:?即? 解得?或? 故S20=200或330.(2)由a4+a10+a16=30得a10=10,a18-2a14=(a10+8d)-2(a10+4d)=-a10=-10.【答案】(1)200或330????(2)-10名师诊断专案突破对点集训决胜高考?????(1)(山东省济宁市重点中学2012届高三上学期期中)已
知数列{an}的通项为an=(?)n-1·[(?)n-1-1],下列表述正确的是?( ????)(A)最大项为0,最小项为-?.(B)最大项为0,最小项不存在.(C)最大项不存在,最小项为-?.(D)最大项为0,最小项为a4.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为 ????.【分析】(1)先求出数列的前四项,然后计算an+1-an的符号,从而确定 数列的单调性,即可求出数列的最大项和最小项.(2)根据S4≥10,S5≤ 15转化为基本量,减少参数,用一个参数的范围来求a4的范围.【解析】(1)a1=0,∵当n>1时,0<(?)n-1<1,(?)n-1-1<0,∴an最大项为a1=0;a2=(?)2-1[(?)2-1-1]=-?;a3=(?)3-1·[(?)3-1-1]=-?;a4=(?)4-1[(?)4-1-1]=-?,名师诊断专案突破对点集训决胜高考an+1-an=(?)n[(?)n-1]-(?)n-1[(?)n-1-1]=(?)n-1×?.当n≥3时,an+1-an>0;n<3时,an+1-an<0,最小项为a3=-?.故选A. (2)∵等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4≥10,S5≤15.∴?即? ∴?≤a1≤3-2d,?≤3-2d,d≤1.∴a4=(a1+2d)+d≤3+d≤3+1=4.故a4的最大值为4.【答案】(1)A????(2)4名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】(1)本题主要考查了数列的函数特性,同时考查了计算 能力,属于中档题.求数列的最大、最小项,一般可以先研究数列的单 调性,可以用?或?也可以转化为函数最值问题或利用数
形结合.(2)由已知得出不等式,利用消元思想确定d或a1的范围是解 题的关键;若题干中没有给出不等式,求d的范围,先要列出a1,d的等量 关系,然后应用判别式法或配方法产生不等式.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练2????(1)(山东省烟台市2012届高三期末检测)已知数列{an} 满足a1=a,an=an+1+2,定义数列{bn},使得bn=?(n∈N*).若4{bn}的最大项为?( ????)(A)b2. ????(B)b3. ????(C)b4. ????(D)b5.(2)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满 足S5S6+15=0.①若S5=5,求S6及a1;②求d的取值范围.【解析】(1)an=a+(n-1)(-2)=-2n+a+2,bn=?=?,解得a=?+2n-2,
∵4值范围为d≤-2?或d≥2?.【答案】(1)B????(2)①S6=-3,a1=7 ②d≤-2?或d≥2? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考数列的通项与求和是高考的热点,主要运用转化思想转化为等差、 等比数列问题.其中求数列通项公式是核心,而求通项公式的常用方 法有:定义法、公式法、累加法、累乘法、转化法等.主要考查性质 的灵活运用及对概念的理解,考查基本技巧与基本思想方法.在求和 问题中,既要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律,又 要注意项数.热点二:数列的通项与求和名师诊断专案突破对点集训决胜高考(A)32. ????(B)64. ????(C)-32. ????(D)-64.?????(1)(湖北省荆门、天门等八市2012年3月高三联考)如果
数列a1,?,?,…,?,…是首项为1,公比为-?的等比数列,则a5等于( ????)(2)(2012年·新课标全国)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60 项和为 ????.【分析】(1)先分析通项?,?=(-?)n-1,用累乘法;(2)列出前几项,观
察规律.【解析】(1)a5=a1×?×?×?×?=a1q1+2+3+4=(-?)10=32.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由an+1+(-1)nan=2n-1得an+2=(-1)nan+1+2n+1=(-1)n[(-1)n-1an+2n-1]+2n+1=- an+(-1)n(2n-1)+2n+1,即an+2+an=(-1)n(2n-1)+2n+1,也有an+3+an+1=-(-1)n(2n+1)+2n+3,两式相加得an+an+1+an+2+an+3=-2(-1)n+4n+4,设k为整数,则a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4 =-2(-1)4k+1+4(4k+1)+4=16k+10,于是S60=?(a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4)=?(16k+10)=1830.【答案】(1)A????(2)1830名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】形如an+1-an=f(n),?=f(n),an+1=Aan+B(A≠0,A≠1)等,可
通过累加法,累乘法,待定系数法转化为等差或等比数列求通项.由递 推公式求通项公式,关键是数学式的变形,结合待定系数法进行适当 的构造,或组合转化为等差数列或等比数列解决问题.通项公式是数 列的灵魂,只有抓住它的特征,再去联想常用数列的求和方法,才能快 速解题.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练3 求满足下列条件的数列的通项公式:(1)a1=1,an=?+an-1(n≥2,n∈N*);(2)a1=1,an+1=3an+2.【解析】(1)由已知得an-an-1=?,用累加法得an-a1=?+?+…+?=1-
(?)n-1,得an=2-(?)n-1.(2)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1),∴?=3,∴{an+1}为等比数列,公比为3,∴an+1=(a1+1)×3n-1,∴an=2·3n-1-1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考?????(2012烟台一模)已知数列{an}是公差为2的等差数列,且
a1+1,a3+1,a7+1成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)令bn=? (n∈N*),记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn列{cn}的通项公式是一个分式结构,一般采用“裂项相消法”,通项 拆成两项之差求和,正负项相消剩下首尾若干项(注意:一般情况下 剩下正负项的个数相同).名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练4????(北京市东城区2012年1月高三考试)在等差数列{an}中, a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b 2+S2=12, q=?.(1)求an与bn;(2)数列{cn}满足cn=?,求{cn}的前n项和Tn.【解析】(1)设{an}的公差为d,∵?∴ ? 解得q=3或q=-4(舍),d=3.故an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)∵Sn=?,∴cn=?=?=?(?-?),∴Tn=?[(1-?)+(?-?)+…+(?-?)]=?(1-?)=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考?????(广东省惠州市2012届高三一模)已知数列{an}满足:a1=
1,a2=?,且[3+(-1)n]an+2-2an+2[(-1)n-1]=0 , n∈N*.(1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式;(2)设bn=a2n-1·a2n,求数列{bn}的前n项和Sn.【分析】(1)由于有(-1)n,可按奇数,偶数进行分类;(2)由bn=a2n-1·a2n的形式,可以看出用错位相减,通项bn的求法是关键.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)经计算a3=3,a4=?,a5=5,a6=?. 当n为奇数时,an+2=an+2,即数列{an}的奇数项成等差数列,∴a2n-1=a1+(n-1)·2=2n-1;当n为偶数时,an+2=?an,即数列{an}的偶数项成等比数列,∴a2n=a2·(?)n-1=(?)n.因此,数列{an}的通项公式为an=? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)∵bn=(2n-1)·(?)n,∴Sn=1·?+3·(?)2+5·(?)3+…+(2n-3)·(?)n-1+(2n-1)·(?)n, ①?Sn=1·(?)2+3·(?)3+5·(?)4+…+(2n-3)·(?)n+(2n-1)·(?)n+1. ②①-②得:?Sn=1·?+2[(?)2+(?)3+…+(?)n]-(2n-1)·(?)n+1 =?+?-(2n-1)·(?)n+1=?-(2n+3)·(?)n+1.∴Sn=3-(2n+3)·(?)n.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】数列是一种特殊的函数,像分段函数一样数列通项可 以分段表示,主要考查等差数列、等比数列的概念.用转化思想把递 推关系式转化为等差、等比数列问题是解题的常用方法;若cn=an·bn, ?是等差数列,?是等比数列,则主要用错位相减法求和.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求a3,a4,并求数列{an}的通项公式;(2)设bn=?,求数列{bn}的前n项和Sn.【解析】(1)因为a1=1,a2=2,所以a3=(1+cos2?)a1+sin2?=a1+1=2,a4=(1+
cos2π)a2+sin2π=2a2=4.一般地,当n=2k-1(k∈N*)时,a2k+1=[1+cos2?]a2k-1+sin2?π=a2k-1+1,
即a2k+1-a2k-1=1.所以数列{a2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列,因此a2k-1=k.变式训练5 数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2?)an+sin2?,n=1,2,
3,….名师诊断专案突破对点集训决胜高考当n=2k(k∈N*)时,a2k+2=(1+cos2?)a2k+sin2?=2a2k.所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列,因此a2k=2k.故数列{an}的通项公式为an=? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由(1)知,bn=?=?,Sn=?+?+?+…+?, ①?Sn=?+?+?+…+?. ②①-②得:?Sn=?+?+?+…+?-?=?-?=1-?-?.所以Sn=2-?-?=2-?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考?????(天津市六校2012届高三第三次联考)已知数列{an}、
{bn}满足a1=2,an-1=an(an+1-1),bn=an-1,数列{bn}的前n项和为Sn.(1)求证:数列{?}为等差数列;(2)设Tn=S2n-Sn,求证:Tn+1>Tn.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】(1)用定义证明等差数列是常用方法.此题不容易凑成bn=an- 1的形式,所以考虑把an=bn+1代入an-1=an(an+1-1),两边同时除以bnbn+1, 整理成?的形式可得等差数列.(2)先求Tn,数列与不等式综合,证明不
等式可以考虑作差法.【解析】(1)由bn=an-1得an=bn+1,代入an-1=an(an+1-1)得bn=(bn+1)bn+1,整理得bn-bn+1=bnbn+1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考∵bn≠0,否则an=1,与a1=2矛盾,从而得?-?=1,∵b1=a1-1=1 ∴数列{?}是首项为1,公差为1的等差数列.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)∵?=n,则bn=?,Sn=1+?+?+…+?.∴Tn=S2n-Sn=1+?+?+…+?+?+…+?-(1+?+?+…+?)=?+?+…+
?.(法一)∵Tn+1-Tn=?+?+…+?-(?+?+…+?)=?+?-?=?-?=?>0,∴Tn+1>Tn. (法二)∵2n+1<2n+2,∴?>?,名师诊断专案突破对点集训决胜高考∴Tn+1-Tn>?+?-?=0,∴Tn+1>Tn.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】在解数列问题时,除常用数学思想方法的运用外,还要 特别注意,在解题中一定要有“目标意识”.此题为了出现目标?,两
边同时除以bnbn+1是常用的方法.求证等差数列,可从两个方面出发,一 是等差数列的定义,即证 an+1-an=d;二是等差中项2an=an-m+an+m;数列与 不等式综合,主要应用不等式的证明方法:作差法,放缩法,或转化为 函数的最值问题.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练6????(2012届广东省中山市四校12月联考)设数列{an}的前n 项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*).(1)求证:数列{an+1}为等比数列;(2)若bn=?,数列{bn}的前n项和为Tn,n∈N*,证明:Tn<2.【解析】(1)∵Sn+1=2Sn+n+1,当n≥2时,Sn=2Sn-1+n,两式相减得:an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1),即?=2.又S2=2S1+2,a1=S1=1,∴a2=3,∴?=2;所以?+?是公比为2的等比数列.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由(1)知an=2n-1,∴bn=?=?=?.∴Tn=?+?+?+…+?,?Tn=?+?+…+?+?.∴Tn=2(?+?+?+…+?-?)=2-?-?<2.名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点三:数列的综合应用数列与其他分支知识的综合应用,一般是以数列与函数、方程、不 等式、三角、解析几何等知识的综合应用为主.解决此类综合问题, 首先要分析出在每个分支中各是什么问题;其次,要把整个大题分解 成若干个小题或“步骤”,使它们成为在各自分支中的基本问题;最 后,分别求解这些小题或步骤,从而得到整个问题的结论.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)写出a2、a3的值(只写结果),并求出数列{an}的通项公式;(2)设bn=?+?+?+…+?,若对任意的正整数n,当m∈[-1,1]时,不
等式t2-2mt+?>bn恒成立,求实数t的取值范围.【分析】(1)由递推关系式可知用累加法求通项;(2)对于bn的求法,由 于是分式形式,可以考虑用裂项相消;对于恒成立问题,可以转化为函 数的最值,先判断函数的单调性.【解析】(1)∵a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N*),∴a2=6,a3=12.当n≥2时,an-an-1=2n,an-1-an-2=2(n-1),…,a3-a2=2×3,a2-a1=2×2,? 已知数列{an}中,a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N*).名师诊断专案突破对点集训决胜高考∴an-a1=2[n+(n-1)+…+3+2],∴an=2[n+(n-1)+…+3+2+1]=?=n(n+1).当n=1时,a1=1×(1+1)=2也满足上式, ∴数列{an}的通项公式为an=n(n +1).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)bn=?+?+…+?=?+?+…+? =?-?+?-?+…+?-?=?-?=?=?.令f(x)=2x+?(x≥1),则f'(x)=2-?, 当x≥1时,f'(x)>0恒成立,∴f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,故当x=1时,f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,(bn)max=?.要使对任意的正整数n,
当m∈[-1,1]时,不等式t2-2mt+?>bn恒成立,则须使t2-2mt+?>(bn)max=?,即t2-2mt>0,对?m∈[-1,1]恒成立,名师诊断专案突破对点集训决胜高考∴?解得,t>2或t<-2,∴实数t的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).另解:bn+1-bn=?-?-?+? =?+?-(?+?)=?-?<0.∴数列{bn}是单调递减数列,∴(bn)max=b1=?.要使对任意的正整数n,当m∈[-1,1]时,不等式t2-2mt+?>bn恒成立,则
须使t2-2mt+?>(bn)max=?,即t2-2mt>0,对?m∈[-1,1]恒成立,∴?解得,t>2或t<-2,∴实数t的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】数列是一种特殊的函数,要注意其特殊性:(1)若用导数 研究数列的单调性、最值等,要构造辅助函数,因为导数是对连续函 数定义的;(2)辅助函数的单调性与数列的单调性的联系与区别.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练7????(2012·南昌期末)已知各项均为正数的数列{an}满足?
=2?+anan+1,且a2+a4=2a3+4,其中n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令cn=1+?,记数列{cn}的前n项积为Tn,其中n∈N*,试比较Tn与9的
大小,并加以证明.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)因为?=2?+anan+1,即(an+1+an)·(2an-an+1)=0.又an>0,所以有2an-an+1=0,所以2an=an+1.所以数列{an}是公比为2的等比数列.由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2,故数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)构造函数f(x)=ln(1+x)-x(x≥0),则f'(x)=?-1=-?, 当x>0时,f'(x)<0,即f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…,对一切正整数n,点Pn位于函数y=3x+?的
图象上,且Pn的横坐标构成以-?为首项,-1为公差的等差数列?.(1)求点Pn的坐标;(2)设抛物线列C1,C2,C3,…,Cn,…中的每一条的对称轴都垂直于x轴,第 n条抛物线Cn的顶点为Pn,且过点Dn(0,n2+1),记与抛物线Cn相切于Dn 的直线的斜率为kn,求?+?+…+?;名师诊断专案突破对点集训决胜高考(3)设S=?,T=?,等差数列?的任一项an∈S
∩T,其中a1是S∩T中的最大数,-265最大数a1=-17.设?的公差为d,则a10=-17+9d∈(-265,-125),由此得-?Sn,若a1=-11,a3+a7=-6,则当Sn取最小值时,n等于?( ????)(A)9. ????(B)8. ????(C)7. ????(D)6.【解析】a3+a7=-6,a5=-3,d=2,Sn=n2-12n,当Sn取最小值时,n等于6.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.数列?的首项为3,?为等差数列,且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b2=1
2,则a8等于?( ????)(A)0. ????(B)-109. ????(C)-181. ????(D)121.【解析】d=-14,an+1-an=bn,a8-a1=b1+b2+…+b7=?=??
=-112,则a8=-109.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.在等差数列{an}中,a3+a8+a13=m,其前n项和Sn=5m,则n等于?( ????)(A)7. ????(B)8. ????(C)15. ????(D)17.【解析】a3+a8+a13=m,得a8=?,S15=?=15a8=5m.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.(2012北京西城区期末)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若8a2+a5=0, 则下列式子中数值不能确定的是?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】?=q3=-8,q=-2,?=?;?=?,数值由n来决定.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.(北京市西城区2012年4月联考)设等比数列{an}的各项均为正数, 公比为q,前n项和为Sn.若对?n∈N*,有S2n<3Sn,则q的取值范围是( ????)(A)(0,1]. ????(B)(0,2). ????(C)[1,2). ????(D)(0,?).【解析】当q≠1时,∵S2n<3Sn,∴?<3×?,∴qn<2.当q>1时,nnmax不成立,∴舍去;当0logq2对?n∈N*恒成立,∴logq2足an+1=an+an+2,则a2012的值为?( ????)(A)b. ????(B)b—a. ????(C)—b. ????(D)—a.【解析】经验证得周期为6,a2012=a335×6+2=a2=b.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.已知{an}为等比数列,且a3+a6=36,a4+a7=18,若an=?,则n= ????.【解析】设an=a1qn-1,a3+a6=36,a4+a7=(a3+a6)q=18,解之得?进而an
=128·(?)n-1,由an=128·(?)n-1=?,解得n=9.【答案】9二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.已知Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}的前n项和,且?=?(n∈N+),
则?+?= ????.【解析】?+?=?=?=?=?.【答案】? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9则数列{an} 的通项公式为 ????.【解析】设等差数列{log2(an-1)}的公差为d,由a1=3,a3=9,得log2(a3-1)=log2(a1-1)+2d,解得d=1,所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+1.【答案】an=2n+1名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.已知数列?是首项a1=?的等比数列,其前n项和Sn中S3、S4、S2成
等差数列.三、解答题(1)求数列?的通项公式;(2)设bn=lo??,求和:Tn=?+?+…+?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)若q=1,则S3=?,S4=1,S2=?,显然S3、S4、S2不构成等差数
列.∴q≠1,由S3、S4、S2成等差数列得2·?=?+?,∴2q4=q3+q2 ?2q2-q-1=0?(2q+1)(q-1)=0,∵q≠1,∴q=-?,∴an=?·(-?)n-1=(-?)n+1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)∵bn=lo??=lo??=n+1,∴?=?=?-?.∴Tn=?+?+…+?=(?-?)+(?-?)+…+(?-?)=?-?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2Sn+1+?,a2=-1,则数列{an}的首项为?
( ????)(A)1或-2. ????(B)±1.(C)±2. ????(D)2或-1.【解析】由S1=2S2+?,得a1=1或-2.【答案】A限时训练卷(二)一、选择题名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.在数列{an}中,an=?,若它的前n项和Sn=?,则n等于?( ????)(A)3. ????(B)4. ????(C)5. ????(D)6.【解析】an=?=1-?,Sn=?=n-(1-?),代人验证得n=6.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+?),则an等于?( ????)(A)2+ln n. ????(B)3+ln n.(C)2-ln n. ????(D)3-ln n.【解析】a2=a1+ln(1+?),a3=a2+ln(1+?),…,an=an-1+ln(1+?)?an=a1+ln
(?·?·?·…·?)=2+ln n.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.在数列{an}中,a1=1,an+1=?(n∈N*),则?是这个数列的第( ????)项.(A)4. ????(B)5. ????(C)6. ????(D)7.【解析】由已知得?=?+?,∴{?}是以?=1为首项,公差d=?的等差
数列.∴?=1+(n-1)·?,∴an=?=?,∴n=6.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.已知数列{an}满足a1=0,an+1=?(n∈N*),则a20等于?( ????)(A)0. ????(B)-?. ????(C)?. ????(D)2.【解析】由a1=0,an+1=?(n∈N*),得a2=-?,a3=?,a4=0,…,由此可
知: 数列{an}是周期变化的,且周期为3,所以a20=a2=-?.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.数列{an}的通项公式为an=2n+1,令bn=?,则数列{bn}的前n项和为( ??)(A)?. ????(B)?.(C)?-?. ????(D)?-?.【解析】bn=?=? =?(?-?),故Tn=?(1+?-?-?)=?-?.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.设{an}是正项数列,其前n项和Sn满足:4Sn=(an-1)(an+3),则数列{an}的 通项公式an等于?( ????)(A)2n+1. ????(B)2n-1. ????(C)2n-1. ????(D)2n+1.【解析】由4Sn=(an-1)(an+3)得4Sn-1=(an-1-1)(an-1+3),两式相减得(an+an-1) (an-an-1-2)=0,又{an}是正项数列,∴an-an-1-2=0(n≥2),则数列{an}为等差 数列,a1=3,an=2n+1.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.(北京市东城区2010届高三联考)已知数列{an}的通项公式an=log3 ?(n∈N*),设其前n项和为Sn,则使Sn<-4成立的最小自然数n等于?
( ????)(A)83. ????(B)82. ????(C)81. ????(D)80.【解析】Sn=log3(?×?×…×?)=log3?,即log3?<-4,即?8
0,∴n=81.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.(山东省实验中学2012届高三第三次诊断)数列{an}满足a1=1,a2=2, ?=?(n≥2,n∈N),则a13等于?( ????)(A)26. ????(B)24.(C)212×12!. ????(D)212×13!.【解析】由?=?(n≥2,n∈N),整理得?-?=2,∴?为等
差数列,?=2n-2,累乘得an=2n-1×(n-1)!,a13=212×12!.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.数列{an}中,a1=?,an+1=?(n∈N+),则数列{an}的前2012项的
和为 ????.【解析】?-?=1,∴{?}是公差为1,首项为2的等差数列,∴
?=n+1,an=?,S2012=1-?=?.【答案】? 二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.已知数列{an}满足an+1=?an+?,且a1=?,则{an}的通项公式为 ????
????.【解析】an+1-?=?(an-?),an-?=(a1-?)·(?)n-1,an=?+3(?)n-1.【答案】an=?+3(?)n-1 名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.对于正项数列?,定义Hn=?,若Hn=?,则数列{an
}的通项公式为 ????.【解析】∵?=?,∴a1+2a2+3a3+…+nan=?,????
①a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=?, ②由①-②得nan=?,所以an=?.【答案】an=? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.(2012淄博市高三一模)已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2 且n∈N*).三、解答题(1)证明:数列?为等差数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.【解析】(1)设bn=?,b1=?=2,bn+1-bn=?-?=?[(an+1-2an)+1]=??=1,∴数列{?}为首项是2,公差是1的等差数列. 名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由(1)知,?=?+(n-1)×1=n+1,∴an=(n+1)·2n+1.∵Sn=(2·21+1)+(3·22+1)+…+(n·2n-1+1)+[(n+1)·2n+1],∴Sn=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n+n.设Tn=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n, ①2Tn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1. ②②-①,得Tn=-2·21-(22+23+…+2n)+(n+1)·2n+1=n·2n+1,∴Sn=n·2n+1+n=n·(2n+1+1).名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.(浙江省温州市2012年2月高三第一次适应性测试)已知数列{an}满 足a1=5,anan+1=2n,则?等于?( ????)(A)2. ????(B)4. ????(C)5. ????(D)?.【解析】a7=?,?=?=?=2.【答案】A限时训练卷(三)一、选择题名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.设数列{an}的前n项和为Sn,点(n,?)(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象
上,则数列{an}的通项公式为?( ????)(A)3n-2. ????(B)6n-2. ????(C)?n-2. ????(D)6n-5.【解析】(n,?)在y=3x-2的图象上,故?=3n-2,Sn=n(3n-2),从而求出an=
6n-5.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.(山东省济宁一中2012届高三第三次定时检测)已知函数y=loga(x-1) +3(a>0,a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项 与第三项,若bn=?,数列{bn}的前n项和为Tn,则T10等于?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)1. ????(D)?.【解析】定点为(2,3),则a2=2,a3=3,d=1,an=n,bn=?=?=?-?,T10=1-?=?.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.(广东省深圳高级中学2010届高三一模)数列{an}前n项和为Sn,已知 a1=?,且对任意正整数m,n,都有am+n=am·an,若Sn小值为?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)2.【解析】当m=1时,an+1=ana1=?an,则数列为等比数列,Sn=?=?[1-(?)n]≥?[1-(?)1]=?.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.(浙江省杭州十四中2012年2月高三月考)设Sn为数列?的前n项和,
若?(n∈N*)是非零常数,则称该数列?为“和等比数列”.若数列
?是首项为6,公差为d(d≠0)的等差数列,且数列?是“和等比数列
”,则d等于?( ????)(A)4. ????(B)5. ????(C)6. ????(D)12.【解析】S2n=?=n?,Sn=?=??,设?=k(k
≠0),则4dn+12-2d=kdn+6k-kd,即?解得d=6.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.数列{an}满足an+1=?若a1=?,则a2012的值为?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】a2=2a1-1=?,a3=2a2-1=?,a4=2a3=?,…,故周期为3,a2012=a2=?.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.已知{an}是首项为a,公差为1的等差数列,数列{bn}满足bn=?,若
对任意的n∈N*,都有bn≥b8成立,则实数a的取值范围是?( ????)(A)(-8,-7). ????(B)(-7,-6).(C)(-8,-6). ????(D)(-6,-5).【解析】恒有bn≥b8成立,即?≥?,∵{an}的公差d=1为递增数列,∴
?即a∈(-8,-7).【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.已知函数f(x)=3x2+bx+1是偶函数,g(x)=5x+c是奇函数,正数数列{an} 满足a1=1,f(an+an+1)-g(an+1an+?)=1,则数列{an}的通项公式为?( ????)(A)(?)n-1. ????(B)(?)n-1.(C)(?)n-1. ????(D)2n-1.【解析】f(x)是偶函数?b=0?f(x)=3x2+1,g(x)是奇函数?c=0?g(x)= 5x,f(an+an+1)-g(an+1·an+?)=1?3(an+an+1)2+1-5(an+1an+?)=1?(an+an+1)[3
(an+an+1)-5an]=0?3(an+an+1)=5an??=??{an}是等比数列?an=(?)n-1
(n∈N*).【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.(浙江省部分重点中学2012年3月高三第二学期联考)已知定义在R 上的函数f(x)是奇函数且满足f(?-x)=f(x),f(-2)=-3,数列?满足a1=-1,
且Sn=2an+n(其中Sn为?的前n项和),则f(a5)+f(a6)等于?( ????)(A)3. ????(B)-2. ????(C)-3. ????(D)2.【解析】Sn=2an+n,Sn-1=2an-1+n-1,两式相减得an=2an-1-1,即an-1=2(an-1-1) (n≥2),∴an=1-2n.由f(?-x)=f(x),得f(x-?)=-f(x),f(x-3)=f(x),∴f(-31)=f(-33
+2)=f(2)=3;f(-63)=f(0)=0.∴f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=3.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.已知{an}是递增数列,且对任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立,则实数 λ的取值范围是 ????.【解析】数列{an}是递增数列,且an=n2+λn,则-?≤?,故λ≥-3.【答案】[-3,+∞)二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.已知函数f(x)=cos?·cos(?-?)·cos(π-?),将函数f(x)在(0,+∞)的所有极值点从小到大排成一数列,记为{an},则数列{an}的通项公式为???? ????. 【解析】f(x)=cos?·sin?(-cos?)=-?sin?·cos?=-?sin x,f'(x)=-?cos x,由
cos x=0,得x=kπ+?.∴函数f(x)在(0,+∞)的所有极值点为:?,?,?,…,?,……∴数列{an}的通项公式为an=?.【答案】an=? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.已知数列{an}中,a1=3,a2=5,其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥ 3),则数列{an}的通项公式为 ????.【解析】由题意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1(n≥3),即an=an-1+2n-1(n≥3),∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2=2n-1+2n-2+…+22+5=2n-1+2n-2+…+22 +2+1+2=2n+1(n≥3).检验知n=1、2时,结论也成立,故an=2n+1.【答案】an=2n+1名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.(浙江省部分重点中学2012年3月高三第二学期联考)已知各项均 为正数的数列{an}前n项和为Sn,(p-1)Sn=p2-an,n∈N*,p>0且p≠1,数列 {bn}满足bn=2logpan.三、解答题(1)若p=?,设数列{?}的前n项和为Tn,求证:0M时,an>1恒成立?若存在,求出相应的 M;若不存在,请说明理由.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)由(p-1)Sn=p2-an (n∈N*), ①得(p-1)Sn-1=p2-an-1, ②①-②得?=?(n≥2).∵an > 0 (n∈N*),又(p-1)S1=p2-a1,∴a1=p,名师诊断专案突破对点集训决胜高考∴{an}是以p为首项,?为公比的等比数列,an=p(?)n-1=p2-n,bn=2logpan=2logpp2-n,∴bn=4-2n.由条件p=?得an=2n-2,?=?.∴Tn=?+?+?+?+?+…+?, ①?Tn=?+?+?+?+?+…+?, ②①-②得?Tn=4+?+?+?+?+…+?-?=4-2×(1+?+?+…+?)-? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考=4-2×?-?.∴Tn=?=?>0,Tn-Tn-1=?-?=?,当n>2时,Tn-Tn-1< 0,所以,当n>2时,01恒成立,则需分p>1和01时,2-n>0,n<2;当02.∴当0M时,an>1恒成立. 名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.(2012年4月北京市海淀区高三一模)在等比数列{an}中,a1=8,a4=a3a 5,则a7等于?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】a4=a3a5=?,得a4=1,q3=?,a7=a4q3=?.【答案】B? 一、选择题名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.在等差数列{an}中,a9=?a12+6,则数列{an}前11项的和S11等于?(???????)(A)24. ????(B)48. ????(C)66. ????(D)132.【解析】由a9=?a12+6,得a6+3d=?(a6+6d)+6,a6=12,则S11=?=132.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.(山东省济南外国语学校2012届高三9月质量检测)各项都为正项 的等比数列{an}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5等于?( ????)(A)33. ????(B)72. ????(C)84. ????(D)189.【解析】由已知得?解得q=2,a3+a4+a5=(a1+a2+a3)q2=84.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.(山东省青岛市2012届高三期末检测)等差数列?中,已知a1=-6,an=
0,公差d∈N*,则n(n≥3)的最大值为?( ????)(A)7. ????(B)6. ????(C)5. ????(D)8.【解析】an=a1+(n-1)d=0,n=1+?,当d=1时,n取最大值7.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.(黑龙江省哈尔滨市第六中学2012届高三第一次模拟)已知数列 ?,?满足a1=b1=1,an+1-an=?=2,n∈N*,则数列?的前10项和为?
( ????)(A)?(410-1). ????(B)?(410-1).(C)?(49-1). ????(D)?(49-1).【解析】an=2n-1,bn=2n-1,S10=b1+b3+b5+…+b19=?=?(410-1).【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.设(an+1)2=?(an)2,n∈N*,an>0,令bn=lg an,则数列{bn}为?( ????) (A)公差为正数的等差数列.(B)公差为负数的等差数列.(C)公比为正数的等比数列.(D)公比为负数的等比数列.【解析】由已知得?=?(?)n-1,bn=lg an=?lg ?=?lg ?(?)n-1,名师诊断专案突破对点集训决胜高考bn+1=lg an+1=?lg ?(?)n,bn+1-bn=?[lg ?-?]-?[lg ?-?]=-?.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.(山东省济宁一中2012届高三第三次定时检测)各项均为正数的等 比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于?( ????)(A)80. ????(B)30. ????(C)26. ????(D)16.【解析】Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…,仍成等比数列,(S2n-2)2=2×(14-S2n),得S 2n=6;(S3n-S2n)2=(S2n-Sn)(S4n-S3n),得S4n=30.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.已知{an}为等差数列,{bn}为等比数列,其公比q≠1,且bi>0(i=1,2,…, n),若a1=b1,a11=b11,则?( ????)(A)a6>b6. ????(B)a6=b6.(C)a6b6.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.(天津一中2012届高三第三次月考)已知函数f(x)是定义在R上不恒 为0的函数,且对于任意的实数a,b满足f(2)=2,f(ab)=af(b)+bf(a),an= ?,(n∈N*),bn=?,(n∈N*),考察下列结论:①f(0)=f(1);②f(x)为奇函数;③数列{an}为等差数列;④数列{bn}为等 比数列,其中正确的个数为?( ????)(A)1. ????(B)2. ????(C)3. ????(D)4.【解析】令a=b=0,和a=b=1,可知①正确;令a=b=-1,得f(-1)=0,令a=-1,b=x,得f(-x)=-f(x),故②正确;f(2n)=f(2n-1×2)=2n-1f(2)+2f(2n-1an=?=?f(2)+?名师诊断专案突破对点集训决胜高考f(2n)=f(2n-1×2)=2n-1f(2)+2f(2n-1),an=?=?f(2)+?,即an-an-1=?f(2)=1(n≥2),故③正确;由③正确可知an=?=?+(n-1)·1=n,∴f(2n)=n·2n,bn=?=2n,故④正确.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.已知an=log(n+1)(n+2),(n∈N*),我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的 数n叫做“劣数”,则在区间(1,2004)内的所有劣数的和为?( ????)(A)1024. ????(B)2003. ????(C)2026. ????(D)2048.【解析】an=log(n+1)(n+2)=?,则a1·a2·a3·…·an=?×?×…×?
=?=log2(n+2),若为整数,则n+2=2m,m∈Z,则n=2m-2,m=2,3,4,…,10,则所有n的和为:?-18=2026.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.(2012年·四川)设函数f(x)=2x-cos x,{an}是公差为?的等差数列,f(a
1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,则[f(a3)]2-a1a5等于?( ????)(A)0. ????(B)?π2. ????(C)?π2. ????(D)?π2.【解析】(法一)依题意,f'(x)=2+sin x>0,f(x)是在R上的增函数,且f(π-x)+f(x)=2π,f(x)的图象关于点(?,π)对称;又{an}是公差为?的等差数列,且f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,于是有a1+a5=π,2a1+4×?=π,a1=?,a3=?,a5=?,f(a3)=f(?)=π-cos ?=π,[f(a3)]2-a1a5=?π2,选D.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(法二)f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)=2(a1+a2+a3+a4+a5)-(cos a1+cos a2+ cos a3+cos a4+cos a5)=5π.猜想cos a1+cos a2+cos a3+cos a4+cos a5=0,①则a1+a2+a3+a4+a5=5a3=5a1+10×?=?,解得a1=?.现验证①式是否成立:cos a1+cos a2+cos a3+cos a4+cos a5 =cos?+cos?+cos?+cos?+cos? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考=?+cos?+0-cos?-?=0,故猜想成立.故a3=?+2×?=?,∴[f(a3)]2-a1a5=[f(?)]2-?×?=?.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.(山东省淄博一中2012届高三上学期期末检测)数列{an}满足a1=1, a2=?,并且an(an-1+an+1)=2an+1an-1(n≥2),则数列{an}的第2012项为?(???????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】an(an-1+an+1)=2an+1an-1(n≥2),展开整理得?+?=?,故{?}为
等差数列,公差为?-?=1,?=?+(n-1)×1=n,∴a2012=?.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=72,则a2+a4+a9= ????.【解析】S9=72,即a1+a9=16,a5=8, a2+a4+a9=(a5-3d)+(a5-d)+(a5+4d)=3a5=24.【答案】24二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考14.已知递增的等比数列{an}中,a2+a8=3,a3·a7=2,则?= ????.【解析】a3·a7=a2·a8=2,则a2,a8是方程x2-3x+2=0的两根,∴a2=1,a8=2,q3 =?,?=q3=?.【答案】? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考15.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为 xn,令an=lg xn,则a1+a2+…+a99的值为 ????.【解析】由导数的几何意义得切线的斜率为n+1,切线方程为:y=(n+ 1)x-n,xn=?,an=lg xn=lg?,a1+a2+…+a99=lg(?×?…×?)=lg?=-2.【答案】-2名师诊断专案突破对点集训决胜高考16.三个数a,b,c成等比数列,且a+b+c=m(m>0),则b的取值范围是 ???? ????.【解析】设a=?,c=bq,则有?+b+bq=m,∵b≠0,∴?+q+1=?.当q>0时,?=?+q+1≥3,而m>0,∴00,∴b<0,则-m≤b<0,故b∈[-m,0)∪(0,?].【答案】[-m,0)∪(0,?]名师诊断专案突破对点集训决胜高考17.(福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)在数列{an}中,a1= 2,点(an,an+1)(n∈N*)在直线y=2x上.三、解答题(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=log2an,求数列{?}的前n项和Tn.【解析】(1)由已知得an+1=2an,所以?=2,又a1=2,所以数列?是首项为2,公比为2的等比数列,所以an=a1·2n-1=2n(n∈N*).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由(1)知,an=2n,所以bn=log2an=n,所以?=?=?-?, 所以Tn=(?-?)+(?-?)+(?-?)+…+(?-?)=1-?=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=an+n,求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设数列{an}的公比为q,若q=1,则S1=a1=1,2S2=4a1=4,3S3=9a1=9,故S1+3S3=10≠2×2S2,与已知矛 盾,故q≠1, 从而得Sn=?=?, 由S1,2S2,3S3成等差数列,得S1+3S3=2×2S2,即1+3×?=4×?,解得q=?,所以an=a1·qn-1=(?)n-1.18.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且S1,2S2,3S3成等差数列.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由(1)得,bn=an+n=(?)n-1+n,所以Tn=(a1+1)+(a2+2)+…+(an+n)=Sn+(1+2+…+n)=?+?=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;(2)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.【解析】(1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,Sn+1-3n+1=2(Sn-3n).因此,所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*.①19.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由①知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,于是,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)×2n-1- 3n-1-(a-3)×2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2[12·(?)n-2+a-3],
当n≥2时,an+1≥an?12·(?)n-2+a-3≥0?a≥-9.又a2=a1+3>a1.综上,所求的a的取值范围是[-9,+∞).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{?}的前n项和.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知条件可得 ? 解得?故数列{an}的通项公式为an=2-n.20.(广东省佛山一中2012届高三上学期期中)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)设数列{?}的前n项和为Sn,即Sn=a1+?+…+?, ①?=?+?+…+?, ②当n≥2时,①-②得?=a1+?+…+?-?=1-(?+?+…+?)-? =1-(1-?)-? =?.所以Sn=?.由于S1=a1=1,满足上式.综上,数列{?}的前n项和为Sn=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)证明数列?是等比数列;(2)设Sn是数列?的前n项和,求使2Sn>Sn+1的最小n值.【解析】(1)由已知得a1-1=1≠0,由 an+1=2an-n+1,得an+1-(n+1)=2(an-n),∴?=2,∴{an-n}是等比数列.21.在数列?中,a1=2,an+1=2an-n+1,n∈N*.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由(1)知:an-n=2n-1,∴an=2n-1+n,Sn=2n-1+?,2Sn-Sn+1=?>0,使2Sn>Sn+1的最小n值为3.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求通项公式an;(2)设{an}的前n项和为Sn,问:是否存在正整数m,n使得S2n=mS2n-1?若存 在,请求出所有符合条件的正整数对(m,n),若不存在,请说明理由.【解析】(1)当n是奇数时,cos nπ=-1;当n是偶数时,cos nπ=1.所以,当n是奇数时,an+2=an+2;当n是偶数时,an+2=3an. 又a1=1,a2=2,所以a1,a3,a5,…,a2n-1,…是首项为1,公差为2的等差数列,a2n- 1=2n-1;a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为2,公比为3的等比数列,a2n=2×3n-1.22.已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,且an+2=(2+cos nπ)(an-1)+3,n∈N*.所以an=? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由(1)得S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=[1+3+…+(2n-1)]+(2+6+…+2×3n-1)=3n+n2-1,S2n-1=S2n-a2n=3n+n2-1-2×3n-1=3n-1+n2-1.所以,若存在正整数m、n,使得S2n=mS2n-1,则m=?=?=1+?≤1+?=3.显然,当m=1时,S2n=3n+n2-1≠1×(3n-1+n2-1)=S2n-1;当m=2时,由S2n=2S2n-1,整理得3n-1=n2-1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考显然,当n=1时,31-1=1≠0-12=-1;当n=2时,32-1=3=22-1,所以(2,2)是符合条件的一个解.当n≥3时,3n-1=(1+2)n-1=1+?×2+?×22+…≥1+2?+4?=2n2-4n+3=(n-2)2+n2-1>n2-1.当m=3时,由S2n=3S2n-1,整理得n=1,名师诊断专案突破对点集训决胜高考所以(3,1)是符合条件的另一个解.综上所述,所有的符合条件的正整数对(m,n)有且仅有(3,1)和(2,2)两 对. 名师诊断专案突破对点集训决胜高考课件189张PPT。QG-理科数学数学数学数学? 决胜高考专案突破名师诊断对点集训? 【考情报告】名师诊断专案突破对点集训决胜高考【考向预测】纵观近几年高考关于三角函数与平面向量部分的命题可以看出:三 角函数的试题一般是一小题一大题或三个小题;平面向量的试题一 般是一小题,多以选择题或填空题的形式出现.在解答题中对平面向 量的考查,都不是以独立的试题形式出现,而是把平面向量作为解题 的工具,渗透于解答题,如三角函数、圆锥曲线、数列等问题中.三角 函数的解答题一般都为基础题,而三角函数与平面向量的小题一般 都属于中低档题,不会太难.三角函数的图象和性质,如周期、最值、单调性、图象变换、特征 分析(对称轴、对称中心);三角函数式的恒等变形,如利用有关公式名师诊断专案突破对点集训决胜高考求值和简单的综合问题等都是考查的热点;平面向量主要考查共线 (垂直)向量的充要条件、向量的数量积与夹角.预测在2013年的高考试卷中,考查三角函数与平面向量部分的题为 两小题一大题,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形,主要是运 用正余弦定理来求解边长、角度、周长、面积等;二、三角函数的 图象与性质,主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒 等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.13年需 要注意第二种题型的考查.难度为中低档题.名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.(2012年·江西)若tan θ+?=4,则sin 2θ=?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】tan θ+?=?=4?4tan θ=1+tan2θ,∴sin 2θ=2sin θcos θ=
?=?=?=?.【答案】D【知能诊断】名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.若α,β∈(0,π),cos α=-?,tan β=-?,则α+2β= ????.【解析】∵α,β∈(0,π),cos α=-?,∴tan α=-?∈(-?,0),tan β=-?∈(-?,0),∴α,β∈(?,π),α+2β∈(?,3π),又tan 2β=?=-?,∴tan(α+2β)=?=-1,∴α+2β=?.【答案】? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=?bc,sin C=2?
sin B,则A等于?( ????)(A)30°. ????(B)60°. ????(C)120°. ????(D)150°.【解析】由sin C=2?sin B及正弦定理,得c=2?·b,代入a2-b2=?bc,得
a2-b2=?b·2?b=6b2,即a2=7b2,又c2=12b2,由余弦定理得cos A=?=?=?=?,所以A=30°.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.已知关于x的方程:?·x2+?·2x+?=0(x∈R),其中点C为直线AB上
一点,O是直线AB外一点,则下列结论正确的是?( ????)(A)点C在线段AB上.(B)点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点.(C)点C在线段AB的反向延长线上且点A为线段BC的中点.(D)以上情况均有可能.【解析】根据题意,由于A,B,C三点共线,故由?=-?·x2-?·2x,可得-x
2-2x=1,解之得x=-1,即?=-?+2?,化简整理可得:?-?=?-???=
?,故点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求证:B-C=?;(2)若a=?,求△ABC的面积.【解析】(1)由bsin(?+C)-csin(?+B)=a,应用正弦定理,得sin Bsin(?+C)-sin Csin(?+B)=sin A,即sin B(?sin C+?cos C)-sin C(?sin B+?cos B)=?,整理得sin
Bcos C-cos Bsin C=1,即sin(B-C)=1,5.(2012年·江西)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=?,
bsin(?+C)-csin(?+B)=a.由于0解方程繁琐,另一方面又要讨论函数值的符号,此法不可取,显然必须名师诊断专案突破对点集训决胜高考切化弦,因此需利用公式tan θ=?转化;sin2θ+cos2θ在转化过程中常
与“1”互相代换,从而达到化简的目的.2.第2题最困难的地方在于确定α+2β的范围,一般地,根据已知条件, 把角的范围限制得越精确,结果也越准确.否则角的范围容易被放大, 导致错误.3.第3题中,记错公式、忘记讨论角的范围或者代数运算不熟练是造 成这类解三角形问题的出错的主要原因.这里选用余弦定理求角是 正确的,如果选用正弦定理求角就不合理,一是出现两个角,二是要讨 论舍弃一个角,更容易出错.名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.第4题考查向量的线性运算及三点共线的充要条件及探究能力,此 题学生最大的思维障碍是向量的三点共线的条件的转化,即由A,B,C 三点共线,O为直线AB外一点,若?=λ?+μ?,则 λ+μ=1,从而可解决
本题.5.第5题是考试说明中“考查考生对数学本质的理解”的典范,很多 考生拿到三角题的定势思维就是看能不能利用条件整体化去凑角, 这样一来出现一些平时成绩好的学生走入死“胡同”,真是“弄巧 成拙”.其实本题的解法就是最简单地把角拆开,整理就可以了.名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 【核心知识】一、三角函数及解三角形1.y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象特点:(1)在对称轴处取得最大值或最小 值;(2)对称中心就是函数图象与x轴的交点;(3)两相邻的对称中心(或 对称轴)之间相差半个周期,相邻的一个对称中心和对称轴之间相差 四分之一个周期.名师诊断专案突破对点集训决胜高考由y=Asin(ωx+φ)的图象求其函数式:在给出图象要确定解析式y=Asin (ωx+φ)的题型中,有时从寻找“五点”中的第一零点(-? ,0)作为突
破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.2.三角函数的恒等变换:从函数名、角、运算三方面进行差异分析, 常用的技巧有:切割化弦,降幂,用三角公式转化出现特殊角,异角化 同角,异名化同名,高次化低次等.二倍角公式是实现降幂或升幂的主 要依据,注意其变形:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,cos2α=?,
sin2α=?.3.正弦定理名师诊断专案突破对点集训决胜高考已知在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,则?=?=
?=2R(R为三角形外接圆的半径).4.余弦定理已知在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,则a2=b2+c2-2 bccos A,cos A=?,另外两个同样.5.面积公式已知在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,则名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)三角形的面积等于底乘以高的?;(2)S=?absin C=?bcsin A=?acsin B=?(其中R为该三角形外接圆的
半径);(3)若三角形内切圆的半径是r,则三角形的面积S=?(a+b+c)r;(4)若p=?,则三角形的面积S=?.6.航海和测量中常涉及仰角、俯角、方位角等术语.二、平面向量1.平面向量的基本概念名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.共线向量定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使b=λ·a. 如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b 的充要条件是x1y2=x2y1或者x1y2-x2y1 =0,即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之 积相等.当其中一个向量的坐标都不是零时,这个充要条件也可以写 为?=?,即对应坐标的比值相等.3.平面向量基本定理对于任意向量a,若以不共线的向量e1,e2作为基底,则存在唯一的一组 实数对λ,μ,使a=λe1+μe2.名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.向量的坐标运算a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1).5.数量积(1)已知a,b的夹角为=θ(θ∈[0,π]),则它们的数量积为a·b=|a|·|b| cos θ,其中|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影,向量的数量积满足交 换律、数乘结合律和分配律,但不满足结合律,即a·(b·c)≠(a·b)·c;(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2;(3)两非零向量a,b的夹角公式为cos θ=?=?;名师诊断专案突破对点集训决胜高考(4)|a|2=a·a. (5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零.名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点一:三角函数定义及简单的三角恒等变换?????(1) 若0<α+?)等于?( ????)(A)?. ????(B)-?. ????(C)?. ????(D)-?.【考点突破】名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)(2011年·重庆) 已知sin α=?+cos α,且α∈(0,?),则?的值为????
????.【分析】(1)角的变换:α+?=(?+α)-(?-?);(2)先化简,再求解.【解析】 (1)∵cos(?+α)=?,0<αα=?.所以由α∈(0,?),且cos αcos 2α=-?=-?.于是?=?=-?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【答案】(1)C????(2)-? 【归纳拓展】在进行三角恒等变换时,一个重要的技巧是进行角的 变换,把求解的角用已知角表示出来,把求解的角的三角函数使用已 知的三角函数表示出来,常见的角的变换有:?+2α=2(?+α),α=(α+β)-β
=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α),α+β=2·?,?=(α-?)-(?-β)
等.在进行三角函数化简或者求值时,如果求解目标较为复杂,则首先 要变换这个求解目标,使之简化,以便看出如何使用已知条件.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练1????(1)已知?=?,则tan α+?的值为?( ????)(A)-8. ????(B)8. ????(C)-?. ????(D)?.(2)若sin α+2cos α=0,则?的值为?( ????)(A)-?. ????(B)?. (C)?. ????(D)-?.【解析】 (1)?=?,即cos α-sin α=?,即sin αcos α=-?,所以
tan α+?=?=-8.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由已知sin α+2cos α=0得tan α=-2,所以?=?=
?=?=-?.【答案】(1)A????(2)A名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 如图,在平面直角坐标系中,锐角α、β的终边分别与单
位圆交于A、B两点.(1)如果tan α=?,B点的横坐标为?,
求cos(α+β)的值;(2)若角α+β的终边与单位圆交于C点,
设角α、β、α+β的正弦线分别为MA、NB、PC,求证:线段MA、NB、PC能构成一个三角形.【分析】利用三角函数的定义和三角函数线的定义解题.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)已知α是锐角,根据三角函数的定义,得sin α=?,cos α=?,又cos β=?,且β是锐角,所以sin β=?.所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=?×?-?×?=-?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)依题意得MA=sin α,NB=sin β,PC=sin(α+β),因为α,β∈(0,?),所以cos α∈(0,1),cos β∈(0,1),于是有sin(α+β)=sin α
cos β+cos αsin β0,-?<φ所示,若点A是函数f(x)的图象与x轴的交点,点B、D分别是函数f(x)的 图象的最高点和最低点,点C(?,0)是点B在x轴上的射影,则?·?=????
????.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)函数f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为?( ????)(A)4. ????(B)5. ????(C)6. ????(D)7.(3)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,?]上单调递增,在区间[?,?]上单调递减,则ω等于?( ????)(A)3. ????(B) 2. ????(C) ?. ????(D) ?.【分析】(1)f(x)=2sin(ωx+φ)中的各个参数中,ω与T有关,φ与平移或 对称轴等有关.能够由图得出ω与φ,然后利用数量积公式.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)利用零点转化为解方程即可.(3)能够从已经给出的单调区间结合图象得出ω.【解析】(1)由图象易得f(x)=2sin(2x+?),则得A(-?,0),B(?,2),D(?,-2),∴?·?=(?,2)·(?,-4)=?-8.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)f(x)=0,则x=0或cos x2=0,x2=kπ+?,k∈Z,又x∈[0,4],k=0,1,2,3,4,所有
共有6个解,选C.(3)函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,?]上单调递增,在区间[?,?]上
单调递减,则?=?,即ω=?,答案应选C.(另解一)令ωx∈[2kπ-?,2kπ+?](k∈Z)得函数f(x)在x∈[?-?,?+
?](k∈Z)为增函数,同理可得函数f(x)在x∈[?+?,?+?](k∈Z)
为减函数,则当k=0,?=?时符合题意,即ω=?,答案应选C.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(另解二)由题意可知当x=?时,函数f(x)=sin ωx(ω>0)取得极大值,则f'
(?)=0,即ωcos?ω=0,即?ω=kπ+?(k∈Z),结合选择项即可得答案应选
C.(另解三)由题意可知当x=?时,函数f(x)=sin ωx(ω>0)取得最大值,则?
ω=2kπ+?(k∈Z),ω=6k+?(k∈Z),结合选择项即可得答案应选C.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【答案】(1)?-8????(2)C????(3)C【归纳拓展】三角函数图象的形状和位置特征,要准确掌握,如对称 中心是图象与x轴的交点,对称轴经过图象的最高点或最低点,图象 平移应注意整体代换.能够熟练画出简图,然后能够借助正弦函数的 图象结合三角函数的基本性质,充分利用数形结合去解决问题.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练3????(1)设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函 数”的?( ????)(A)充分而不必要条件.(B)必要而不充分条件.(C)充分必要条件.(D)既不充分也不必要条件.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|则f(?)= ????.【解析】(1)函数f(x)=cos(x+φ)若为偶函数,则有φ=kπ,k∈Z,所以“φ= 0”是“f(x)=cos(x+φ)为偶函数”的充分不必要条件,选A.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)(法一)由图象知A=2.f(x)的最小正周期T=4×(?-?)=π,故ω=?=2.
将点(?,2)代入f(x)的解析式得sin(?+φ)=1,又|φ|?与x=?相差半个周期),故f(?)=-2.【答案】(1)A????(2)-2名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,π<φ图所示.(1)求f(x)的表达式;(2)求函数f(x)在区间[?,2π]上的最大值和最小值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】先结合图象确定ω和φ,再求最值.【解析】(1)由题意可得?·?=?-(-?),ω=?,因此f(x)=2sin(?x+φ),又f
(?)=2,即sin(?·?+φ)=1,而π<φ[?,?],最大值为?,最小值为-2.【归纳拓展】(1)解决三角函数图象题要能够熟练画出简图,然后能 够借助三角函数的图象结合三角函数的基本性质,充分利用数形结 合去解决问题.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)要求正弦型函数f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式,一般通过以下几个步 骤实现:①根据振幅求出A;②根据图象的最高点、最低点或与x轴的 交点求周期,再求出ω;③根据特殊值求出初相φ,或者利用正弦函数 对称轴与对称中心之间的关系直接求解.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)需要把函数y=f(x)的图象经过怎样的变换才能得到函数g(x)=cos x 的图象?(3)在△ABC中,A、B、C分别为三边a、b、c所对的角,若a=?,f(A)=
1,求b+c的最大值.【解析】(1)f(x)=cos2x+2?sin xcos x-sin2x=?sin 2x+cos 2x=2sin(2x+
?),最小正周期为T=?=π,由-?+2kπ≤2x+?≤?+2kπ(k∈Z)可得-?+kπ≤x≤?+kπ(k∈Z).变式训练4 已知函数f(x)=cos2x+2?sin xcos x-sin2x.即函数的单调递增区间为?(k∈Z).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)要得到函数g(x)=cos x的图象只需把函数y=f(x)的图象经过以下变 换得到:①把函数y=f(x)横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变得到函 数y=2sin(x+?)的图象;②再把函数y=2sin(x+?)的图象纵坐标缩短为
原来的?,横坐标不变,得到函数y=sin(x+?)的图象;③再把函数y=sin
(x+?)的图象向左平移?个单位得到y=g(x)=sin(x+?+?)=cos x的图象.(3)由f(A)=1可得2sin(2A+?)=1,即sin(2A+?)=?,又0则|a+b|等于?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)2?. ????(D)10.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)(2011年·湖南)在边长为1的正三角形ABC中,设?=2?,?=3?,
则?·?= ????.(3)给出下列命题:①已知向量a,b,c均为单位向量,若a+b+c=0,则a·b=?;②△ABC中,必有?+?+?=0;③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是?=?;④已知P为△ABC的外心,若?+?+?=0,则△ABC为正三角形.其中正确的命题为 ????.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)把向量?与?用正三角形ABC的三条边所在的向量表示,再对数
量积?·?进行运算.(3)应该掌握向量的基本知识、基本概念.【解析】(1)因为a⊥c,b∥c,所以有2x-4=0且2y+4=0,解得x=2,y=-2,即 a=(2,1),b=(1,-2),所以a+b=(3,-1),|a+b|=?,选B.【分析】(1)能够利用向量平行与垂直进行转化,从而计算出模的大 小.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由题?=?-?=??-?,?=?-?=??-?,所以?·?=(??-?)·(??-?)=-?-?+??·?=-?.(3)命题①错误,a·b=-?;命题②③④都是正确的.【答案】(1)B????(2)-?????(3)②③④名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)能够利用向量垂直条件得到相应的三角函数间关系,借助正余弦 定理进行解题.【归纳拓展】(1)能够掌握向量的基本概念、平面向量线性运算,即 加法、减法运算以及数量积的运算.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练5????(1)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量 m=(a,b),n=(b-2,a-2),且m⊥n,c=2,C=?,则△ABC的周长的最小值是????
????.(2)在△ABC中,AB=2,AC=3,?·?=1,则BC等于?( ????)(A)?. (B)?. ????(C)2?. ????(D)?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(3)(2012年·广东)对任意两个非零的平面向量α和β,定义α?β=?.若
平面向量a,b满足|a|≥|b|>0,a与b的夹角θ∈(0,?),且a?b和b?a都在集合
{?|n∈Z}中,则a?b等于?( ????)(A)?. ????(B)1. ????(C)?. ????(D)?.【解析】(1)由题意可知m·n=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab,由余弦 定理可得到4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(a+b)2-3ab-4=0,即(ab)2-3ab-4=0, 解得ab=4(舍去ab=-1),故三角形周长a+b+c=a+b+2≥2?+2=6.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由右图知?·?=|?||?|·cos(π-B)=2×|?|×(-cos B)=1.∴cos B=?.又由余弦定理知cos B=?,解得BC=?.(3)由定义α?β=?可得b?a=?=?=?,由于|a|≥|b|>0及θ
∈(0,?)得0?=?=2cos2θ.由θ∈(0,?)??2cos2θ<2,故答案为C.【答案】(1)6????(2)A????(3)C名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点四:三角函数图象的应用考查y=Asin(ωx+φ)的图象和性质(值域、单调性、周期性),辅助角公 式asin θ+bcos θ=?sin(θ+φ)及三角函数的恒等变形,难度中等.? 已知向量a=(cos ωx-sin ωx,sin ωx),b=(-cos ωx-sin ωx,2?
cos ωx),设函数f(x)=a·b+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈(?,1).(1)求函数f(x)的最小正周期; 名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)若y=f(x)的图象经过点(?,0),求函数f(x)在区间[0,?]上的取值范
围.【分析】求周期问题同样应该把f(x)化为Asin(ωx+φ)的形式,然后再 进行解题.【解析】(1)f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2?sin ωx·cos ωx+λ=-cos 2ωx+?sin 2
ωx+λ=2sin(2ωx-?)+λ.由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,可得名师诊断专案突破对点集训决胜高考sin(2ωπ-?)=±1,所以2ωπ-?=kπ+?(k∈Z),即ω=?+?(k∈Z).又ω∈(?,1),k∈Z,所以k=1,故ω=?.所以f(x)的最小正周期是?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由y=f(x)的图象过点(?,0),得f(?)=0,即λ=-2sin(?×?-?)=-2sin?=-?,故f(x)=2sin(?x-?)-?.由0≤x≤?,有-?≤?x-?≤?,所以-?≤sin(?x-?)≤1,得-1-?≤2sin(?x-?)-?≤2-?,故函数f(x)在[0,?]上的取值范围为[-1-?,2-?].名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】解答三角函数的图象与性质类的试题,变换是其中的 核心,把三角函数的解析式通过变换,化为正弦型、余弦型、正切型 函数,然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练6????如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ与x轴的两个交点,D,C分别为它的最高点和最低点,点F(0,1)是线段 MD的中点,S△CDM=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求函数f(x)的解析式;(2)在△CDM中,记∠DMN=α,∠CMN=β,证明:sin C=2cos αsin β.【解析】 (1)由已知点F(0,1)是线段MD的中点,知A=2.S△DMN=?S△CDM=
?=?,T=?,ω=3.∴f(x)=2sin(3x+φ),由M(-?,0),∴sin(-?+φ)=0,又∵0<φ ????.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)(2012年·四川)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1, 连结EC、ED,则sin ∠CED=?( ????)(A)?. ????(B)?.(C)?. ????(D)?.【分析】(1)先通过解三角形把边的关系转化为三角函数关系,再求 其最值.(2)充分利用图形以及正、余弦定理进行解题.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)A+C=120°?C=120°-A,A∈(0,120°),?=?=2?BC=2
sin A,?=?=2?AB=2sin C=2sin(120°-A)=?cos A+sin A,∴AB+2BC=?cos A+5sin A=?sin(A+φ)=2?sin(A+φ),故最大值是2
?.(2)根据题意可知EC=?,DE=?,DC=1,在三角形CDE中由余弦定理
有cos∠CED=?=?,所以sin∠CED=?=?.【答案】(1)2?????(2)B名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】(1)求n条边的和的最值问题,一般是要用正弦定理,把 边的关系转化为三角函数的和,再用辅助角公式求出最值;(2)在一个三角形中,已知三条边可求任意角的正弦、余弦、正切值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练7????(1)已知等腰三角形的顶角的余弦值为?,则一个底角的
余弦值为 ????.(2)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=2,A=?,c
=?,则△ABC的面积为?( ????)(A)?. ????(B)?.(C)?. ????(D)?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)设顶角为A,底角分别为B、C,则B=C,由条件可知cos A= ?,cos 2B=cos(π-A)=-cos A=-?,即2cos2B-1=-?,由条件cos B>0,故cos B=
?.(2)由正弦定理可得?=?,故sin C=?=?,于是cos C=?=
?,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=?,△ABC的面积为
?acsin B=?.【答案】(1)?????(2)A名师诊断专案突破对点集训决胜高考?????(1)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知
sin C+cos C=1-sin?.①求sin C的值;②若a2+b2=2(a+b)=8,求边c的值.(2)(2012年·大纲全国)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求C.【分析】(1)由于有?,要先用二倍角公式化简求值.(2)本试题主要考查了解三角形的运用,给出两个公式,一个是边的关 系,一个是角的关系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)①由已知得2sin?cos?+1-2sin2?=1-sin?,即sin?(2cos?-
2sin?+1)=0,由sin?≠0得2cos?-2sin?+1=0,即sin?-cos?=?,两边平方得:sin C=?.②由sin?-cos?=?>0知sin?>cos?,则??c,由正弦定理得:?=?,而sin A=?=?,∴sin C=?.(也能根据
余弦定理得到cos C=?,0?,?=(1-λ)?,λ∈R,若?·?=-?,则λ等于?( ????)(A)?. ????(B)?.(C)?. ????(D)?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)若|a|=?,|b|=1,且(a-2b)⊥(2a+b),则a与b的夹角余弦是?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)-?. ????(D)-?.【分析】(1)向量的计算“基底”是相当重要的,如果随心所欲地计 算则是无济于事的,本题把?=?+?=-b+(1-λ)c,?=?+?=-c+λb用
b,c表示出来是关键.(2)利用向量的夹角公式cos=?即可.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)如图,设?=b,?=c,则|b|=|c|=2,b·c=2,又?=?+?=-b+(1
-λ)c,?=?+?=-c+λb,由?·?=-?得[-b+(1-λ)c]·(-c+λb)=(λ-1)|c|2-λ|b|2+
(λ-λ2+1)·b·c=-?,即4(λ-1)-4λ+2(λ-λ2+1)=-?,整理得4λ2-4λ+1=0,即(2λ-1)2
=0,解得λ=?,选A.(2)由(a-2b)⊥(2a+b)得(a-2b)·(2a+b)=0,∴3a·b=2a2-2b2=2,即a·b=?,∴cos=?=?.【答案】(1)A????(2)B名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】(1)本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减 法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合 运用.(2)考查向量垂直的充要条件与向量的夹角公式的应用.首先利用向 量垂直的充要条件,求出a·b,再利用向量的夹角公式计算夹角的余弦 值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练9????(1)在平行四边形ABCD中,∠A=?,边AB、AD的长分别
为2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足?=?,则?·
?的取值范围是 ????.(2)已知向量a,b,c满足|a|=1,|a-b|=|b|,(a-c)·(b-c)=0.若对每一个确定 的b,|c|的最大值和最小值分别为m,n,则对任意b,m-n的最小值是?(????????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)(法一)设?=?=λ(0≤λ≤1),则?=λ?=λ?,?=(1-λ)?=(1-λ)?,则?·?=(?+?)(?+?)=(?+λ?)[?+(1-λ)?]=?·?+(1-λ)?
+λ?+λ(1-λ)?·?,名师诊断专案突破对点集训决胜高考又∵?·?=2×1×cos?=1,?=4,?=1,∴?·?=-λ2-2λ+5=-(λ+1)2+6.∵0≤λ≤1,∴2≤?·?≤5,即?·?的取值范围是[2,5].(法二)以向量?所在直线为x轴,以与?垂直的直线为y轴建立平面
直角坐标系,如图所示,因为AB=2,AD=1,所以A(0,0),B(2,0),C(?,?),D
(?,?).设N(x,?)(?≤x≤?),则BM=?CN,CN=?-x,BM=?-?x,M(2+?-?,
(?-?x)sin?).名师诊断专案突破对点集训决胜高考根据题意,有?=(x,?),?=(?-?,?).所以?·?=x(?-?)+?·?(?≤x≤?),所以 2≤?·?≤5.(2)把三个向量的起点放在同一点O,如图所示,根据几何意义,由|a-b| =|b|,得△OAB是等腰三角形,当(a-c)·(b-c)=0时,(a-c)⊥(b-c),故点C在 以AB为直径的圆上,|c|的最大值m和最小值n的差就是这个圆的直径, 只有当B,E重合时这个直径最短,即m-n的最小值是?.【答案】(1)[2,5]????(2)B名师诊断专案突破对点集训决胜高考? △ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且有sin 2C+?
cos(A+B)=0.(1)a=4,c=?,求△ABC的面积;(2)若A=?,cos B>cos C,求?·?-2?·?-3?·?的值.【分析】因为cos(A+B)=-cos C,所以先统一角度,再求解.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)sin 2C+?cos(A+B)=0?2sin Ccos C-?cos C=0?cos C(2
sin C-?)=0,所以cos C=0或sin C=?,所以C=?或C=?或C=?π.名师诊断专案突破对点集训决胜高考因为a=4>c=?,所以C=?,由余弦定理得13=16+b2-4b,解得b=3或b=1,所以S=?×1×4×sin?=?或S=?×3×4×sin?=3?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)因为A=?,cos B>cos C,所以B=-?|?|·|?|+?|?|·|?|=(-?|?|+?|?|)|?|=0.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】对于向量数量积的运算,本题只要掌握基本概念就可 以迎刃而解,做题时,要切实注意条件的运用.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练10 已知向量a=(cos α,sin α), b=(cos β,sin β),|a-b|=?.(1)求cos(α-β)的值;(2)若0<α0,所以0<α-β造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难,救援队随时待命进 行救援.某天,信息中心在A处获悉:在其正东方向相距80海里的B处 有一艘客轮遇险,在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南 偏西30°、相距40海里的C处的救援船,救援船立即朝北偏东θ角的方 向沿直线CB前往B处救援.(1)若救援船的航行速度为60海里/小时,求救援船到达客轮遇险位置 的时间(?≈2.646,结果保留两位小数);(2)求tan θ的值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】把问题转化为三角形中的边角关系,因此本题的关键是找 出图中的角和边,利用余弦定理求出BC即可解决第(1)题;对于(2),利 用正弦定理求出sin∠ACB,再利用同角基本关系求出tan∠ACB,再利 用两角和的正切公式即可得出结果.【解析】(1)在图中的△ABC中,AB=80,AC=40,∠BAC=120°,由余弦 定理可知:BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°,即BC2=802+402-2·80·40·(-?)=11200,故BC=40?,故救援船到达客轮遇险位置所需时间为40?
÷60=?≈1.76小时.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)在△ABC中,由正弦定理可得?=??sin∠ACB=?sin
∠BAC=?,显然∠ACB为锐角,故cos∠ACB=?,tan∠ACB=?,而θ=∠ACB+30°,故tan θ=tan(∠ACB+30°)=?=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】本题以全新的背景引入,以实际应用问题考查正弦定 理与余弦定理的应用、三角公式的应用及分析问题、解决问题的 能力.把问题转化为三角形中的边角关系,因此本题的关键是找出图 中的角和边,利用余弦定理求出BC即可解决第(1)题;对于(2),利用正 弦定理求出sin∠ACB,再利用同角基本关系求出tan∠ACB,再利用两 角和的正切公式即可得出结果.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练11 如图,实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧 和圆Q上的一段劣弧围成,圆P和圆Q的半径都是2,点P在圆Q上,现要 在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地.(1)如图甲,要建的活动场地为△RST,求场地的最大面积;(2)如图乙,要建的活动场地为等腰梯形ABCD,求场地的最大面积.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)过S作SH⊥RT于H,S△RST=?SH·RT.由题意,△RST在月牙形公园里,RT与圆Q只能相切或相离;RT左边的 部分是一个大小不超过半圆的弓形,则有RT≤4,SH≤2,当且仅当RT 切圆Q于P时(如下左图),上面两个不等式中等号同时成立. 此时,场地面积的最大值为S△RST=?×4×2=4.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)同(1)的分析,要使得场地面积最大,且AD左边的部分是一个大小 不超过半圆的弓形,AD必须切圆Q于P,再设∠BPA=θ,则有S四边形ABCD=?×2×2×sin θ×2+?×2×2×sin(π-2θ)=4(sin θ+sin θcos θ)(0<θ<
?).令y=sin θ+sin θcos θ,则y'=cos θ+cos θcos θ+sin θ(-sin θ)=2cos2θ+cos θ -1.若y'=0,cos θ=?,θ=?,又θ∈(0,?)时,y'>0,θ∈(?,?)时,y'<0,函数y=sin θ+sin θcos θ在θ=?处取到极大值也是最大值,故θ=?时,场地面积取得最大值为3?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 限时训练卷(一)一、选择题1.在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=?,则sin∠ABD
等于?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】由余弦定理,得cos∠ABC=?=?,则∠ABC=60°,从而∠
ABD=30°,sin∠ABD=?,故选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.f(x)=cos(ωx+?)(ω>0)的图象与y=1的图象的两相邻交点间的距离
为π,要得到y=f(x) 的图象,只须把y=sin ωx的图象?( ????)(A)向左平移?π个单位.(B) 向右平移?π个单位.(C) 向左平移?π个单位.(D) 向右平移?π个单位.【解析】由已知可得ω=2,因此把y=sin 2x的图象向左平移?个单位,
可得到y=cos 2x的图象,再把y=cos 2x的图象向左平移?个单位,即可得到y=cos(2x+?)的图象,共向左平移?个单位.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考3. ?等于?( ????)(A)±?. ????(B)?. ????(C)-?. ????(D)?.【解析】?=|cos 120°|=|-?|=?.∴选D.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.设函数f(x)=cos(2x-π),x∈R,则f(x)是?( ????)(A)最小正周期为π的奇函数.(B)最小正周期为π的偶函数.(C)最小正周期为?的奇函数.(D)最小正周期为?的偶函数.【解析】f(x)=cos(2x-π)=-cos 2x,可知答案选B.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.已知sin(?+α)=?,则cos(π+2α)的值为?( ????)(A)-?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)-?.【解析】由sin(?+α)=?得cos α=?,cos(π+2α)=-cos 2α=-(2cos2α-1)=?,选B.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.设a,b是两个非零向量.则?( ????)(A)若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b.(B)若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|.(C)若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa.(D)若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|.【解析】利用排除法可得选项C是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线, 即存在实数λ,使得b=λa.如选项A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b可为异向的共线 向量;选项B:若a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项D:若存在实 数λ,使得b=λa,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸 边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ ACB=45°,∠CAB=105°后,就 可以计算出A、B两点的距离为?( ????)(A)50? m. ????(B)50? m.(C)25? m. ????(D)? m.【解析】由正弦定理得?=?,∴AB=?=?=50
?,选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.设ω>0,函数y=sin(ωx+φ)(-π<φ<π)的图象向左平移?个单位后,得到
右边的图象,则ω,φ的值为?( ????)(A)ω=1,φ=?. ????(B)ω=2,φ=?.(C)ω=1,φ=-?. ????(D)ω=2,φ=-?.【解析】由图象可得y=sin(2x-?+kπ),向右平移?个单位为y=sin(2x-
?+kπ),由-π<φ<π,知k=2,所以φ=?,与y=sin(ωx+φ)对照可得ω=2.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.已知平面内的向量?,?满足:|?|=2,P(x,y),且?=λ1?+λ2?,?⊥
?,(?+?)·(?-?)=0,0≤λ1≤1,1≤λ2≤2,则满足条件的点P所表示
的图形面积是?( ????)(A)8. ????(B)4. ????(C)2. ????(D)1.【解析】如图,以O为原点,?所在直线为x轴,?所在直线为y轴,建立名师诊断专案突破对点集训决胜高考平面直角坐标系,因为(?+?)·(?-?)=0,即?=?,也就是|?|=|?|
=2,则A(2,0),B(0,2),设P(x,y),则由?=λ1?+λ2?得(x,y)=λ1(2,0)+λ2(0,2)
=(2λ1,2λ2),∴?∵?∴?故点P的集合为{(x,y)|0≤x≤2,2≤y≤4
},表示正方形区域(如图中阴影部分所示),所以面积为2×2=4.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|表达式是f(x)= ????.【解析】由图知,周期T=2(?-?)=π,所以ω=2.又?=1,所以k=1.因为?-1=?,则A=?.由f(?)=?,得φ=?,故f(x)=?sin(2x+?)+1.【答案】?sin(2x+?)+1二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.设α为锐角,若cos(α+?)=?,则sin(2α+?)的值为 ????.【解析】∵α为锐角,即0<α关于tan θ的值,在以下四个答案中,可能正确的是?( ????)(A)-3. ????(B)3 或?.(C)-?. ????(D)-3或-?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】因为sin θ+cos θ=a,a∈(0,1),平方可得sin θcos θ=?<0,故-
?<θ<0且cos θ>-sin θ.∴|cos θ|>|sin θ|,借助三角函数线可知-?<θ<0,-1值为-?.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.(2012·泰安期末)已知tan α=2,则?等于?( ????)(A)?. ????(B)-?. ????(C) ?. ????(D) ?.【解析】∵tan α=2,∴?=?=?tan α+?=3+?=?.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.把函数y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移?个单位长度,再
把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到 的图象所表示的函数为?( ????)(A)y=sin(2x-?),x∈R.(B)y=sin(?x+?),x∈R.(C)y=sin(2x+?),x∈R.(D)y=sin(?x-?),x∈R.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】把函数y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移?个单位
长度得到y=sin(x+?),再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2倍(纵坐标不变)得到y=sin(?x+?),x∈R.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.函数f(x)=2cos2x-?sin 2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别为?
( ????)(A)2π,3. ????(B)2π,1.(C)π,3. ????(D)π,1.【解析】f(x)=2cos2x-?sin 2x=cos 2x-?sin 2x+1=2cos(2x+?)+1(x
∈R),所以最小正周期和最大值分别为π,3.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所 示,A、B分别为最高点与最低点,并且两点间的距离为2?,则该函数
的一条对称轴方程为?( ????)(A)x=?.(B)x=?.(C)x=1.(D)x=2.名师诊断专案突破对点集训决胜高考函数周期T=2?=4,所以ω=?,又因为函数为奇函数,所以cos φ
=0(0<φ<π)?φ=?,所以函数解析式为y=cos(?x+?)=-sin?x,所以直线x
=1为该函数的一条对称轴.【答案】C【解析】函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)最大值为1,最小值为-1,所以名师诊断专案突破对点集训决胜高考6. 在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若∠A∶∠B=1∶2, 且a∶b=1∶?,则cos 2B的值是?( ????)(A)-?. ????(B)?. ????(C)-?. ????(D)?.【解析】依题意,因为a∶b=1∶?,所以sin A∶sin B=1∶?,又∠A∶
∠B=1∶2,则cos A=?,所以A=30°,B=60°,cos 2B=-?,选择A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若 acos B+bcos A=csin C,S=?(b2+c2-a2),则∠B等于?( ????)(A)90°. ????(B)60°. ????(C)45°. ????(D)30°.【解析】由正弦定理和已知条件知sin Acos B+sin Bcos A=sin2C,即 sin(A+B)=sin2C,∴sin C=1,C=?,从而S=?ab=?(b2+c2-a2)=?(b2+b2),解得
a=b,因此∠B=45°.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.在△ABC中角A、B、C所对边长分别为a、b、c,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)-?.【解析】cos C=?≥?=?.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若?=a1?+a2013?,且满足条件
?=?,则{an}中前2013项的中间项是?( ????)(A)?. ????(B)1. ????(C)2012. ????(D)2013. 【解析】依题意,由条件?=?,知A,B,C三点共线,又?=a1?+a2013
?,借助共线充要条件知:a1+a2013=1,{an}中前2013项的中项为a1007,根
据等差中项公式2a1007=a1+a2013=1,故a1007=?.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ终 边上一点,且sin θ=-?,则y= ????.【解析】 r=?=?,∵sin θ=-?,∴sin θ=?=?=-?,解得y=-8.【答案】-8二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.已知α∈(π,?),tan α=2,则cos α= ????.【解析】 ∵tan α=2,∴sin α=2cos α,代入sin2α+cos2α=1得cos2α=?,又α
∈(π,?),∴cos α=-?.【答案】-? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.已知cos?=?,cos?cos?=?,cos?cos?cos?=?,….根据以上等式,可猜想出的一般结论是 ???? ????.【答案】cos?cos?…cos?=?,n∈N* 名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.已知向量a=(1+cos ωx,1),b=(1,a+?sin ωx)(ω为常数且ω>0),函数f
(x)=a·b在R上的最大值为2.三、解答题(1)求实数a的值;(2)把函数y=f(x)的图象向右平移?个单位,可得函数y=g(x)的图象,若
y=g(x)在[0,?]上为增函数,求ω的最大值.【解析】(1)f(x)=1+cos ωx+a+?sin ωx=2sin(ωx+?)+a+1,因为函数f(x)在R上的最大值为2,所以3+a=2,故a=-1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由(1)知f(x)=2sin(ωx+?),把函数f(x)=2sin(ωx+?)的图象向右平移?个单位,可得函数y=g(x)=2
sin ωx,又y=g(x)在[0,?]上为增函数,∴g(x)的周期T=?≥π,即ω≤2,所以ω的
最大值为2.名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.已知sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=?,且α在第二象限,则tan?等于( ????)(A)?或-3. ????(B)3.(C) ?. ????(D)3或-?.【解析】sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin α=?,且α在第二象限,所以
cos α=-?,则tan?=?=3.【答案】B限时训练卷(三)一、选择题名师诊断专案突破对点集训决胜高考2. 在△ABC中,若a cos A=b cos B,则这个三角形的形状是?( ????)(A)锐角三角形.(B)直角三角形.(C)等腰三角形.(D)等腰三角形或直角三角形.【解析】因为2Rsin Acos A=2Rsin Bcos B,则sin 2A=sin 2B,所以2A=2 B或2A=π-2B,可得A=B或A+B=?.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.函数f(x)=sin(ωx-?)(ω>0)的最小正周期为π,则y=f(x)的一个单调递
增区间为?( ????)(A)[-?,?]. ????(B)[?,?].(C)[-?,?]. ????(D)[-?,?].【解析】由条件可得π=?,故ω=2,f(x)=sin(2x-?),检验可知[-?,?]是它的一个单调递增区间.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.函数y=?(00,选B.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.在边长为1的等边△ABC中,若?=a,?=b,?=c,则a·b+b·c+c·a等于
?( ????)(A)?. ????(B)-?. ????(C)3. ????(D)0.【解析】依题意,得a·b+b·c+c·a=3|a|2·cos 120°=-?.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.使y=sin ωx(ω>0)在区间[0,1]至少出现2次最大值,则ω的最小值为 ?( ????)(A)?π. ????(B)?π.(C)π. ????(D)?π.【解析】要使y=sin ωx(ω>0)在区间[0,1]至少出现2次最大值,只需要 最小正周期?·?≤1,故ω≥?π.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.在平面直角坐标系中,菱形OABC的两个顶点为O(0,0),A(1,1),且?·
?=1,则?·?等于?( ????)(A)-1. ????(B)1. ????(C)?. ????(D) ?.【解析】依题意,|?|=|?|=|?|=?,?·?=?×?cos∠AOC=1,cos∠
AOC=?,∠AOC=?,则|?|=|?|=|?|=?,∠BAC=?,?·?=?×?cos
∠BAC=1.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.已知直线x=?是函数f(x)=asin x-bcos x图象的一条对称轴,则函数g
(x)=bsin x-acos x图象的一条对称轴方程是?( ????)(A) x=?. ????(B) x=?.(C) x=?. ????(D) x=π.【解析】 依题意,f(?)=asin?-bcos?=acos?-bsin?=-(bsin?-acos?)取最大值或最小值,即g(?)取最小值或最大值,故x=?是函数g(x)的一条对称轴.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.设M-N={x|x∈M,且x?N},若M={x| x=?(sin α+cos α)},N={x|x=sin α-
| sin α|},则M-N等于?( ????)(A){x|0≤x≤2}. ????(B){x|0 α≤1时,sin α-|sin α|=0,当-1≤sin α<0时,sin α-|sin α|=2sin α∈[-2,0),∴N={x|-2≤x≤0},∴M-N={x|01,故①错;②若y=cos x为减函数,则x∈[2kπ,π+2kπ],k∈Z,此时sin x>0,故②错;③错误,例如,x1=?,x2=?;④∵y=cos 2x+sin(?-x)=2cos2x+cos x-1,∴既有最大、最小值,又是偶函数,故④对;⑤y=|sin(2x+?)|最小正周期为?,故⑤错.【答案】①②③⑤名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.已知函数f(x)=sin(x+?)+sin(x-?)+acos x+b(a,b∈R,且均为常数).三、解答题(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间[-?,0]上单调递增,且恰好能够取到f(x)的最小值2,试
求a,b的值.【解析】(1) f(x)=sin(x+?)+sin(x-?)+acos x+b=2sin xcos?+acos x+b=?sin x+acos x+b=?sin(x+θ)+b(其中tan θ=?),所以,函数f(x)的最小正周期为2π.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2) 由(1)可知:f(x)的最小值为-?+b,所以,-?+b=2. ①另外,由f(x)在区间[-?,0]上单调递增,可知f(x)在区间[-?,0]上的最小
值为f(-?),所以,f(-?)=2,得a+2b=7, ②联立①②解得a=-1,b=4.名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 一、选择题1.已知-?<α0,故cos α=?=?,所以sin 2α=
2sin αcos α=-?.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.要得到函数y=cos x的图象,只需把函数y=sin 2x的图象?( ????)(A)沿x轴向左平移?个单位,再把横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不
变.(B)沿x轴向右平移?个单位,再把横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不
变.(C)横坐标缩短为原来的?,纵坐标不变,再沿x轴向右平移?个单位.(D)横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再沿x轴向左平移?个单位.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】y=cos x=sin(x+?),先把函数y=sin 2x的图象纵坐标不变,横
坐标伸长为原来的2倍可以得到函数y=sin x的图象,再把函数y=sin x 的图象沿x轴向左平移?个单位即可得到函数y=sin(x+?)=cos x的图
象.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是?( ????)(A)φ=-?,f(0)=1. ????(B)φ=-π,f(0)=0.(C)φ=-?,f'(0)=1. ????(D)f'(0)=0.【解析】φ=-?时,f(x)为偶函数,但f(0)=-1,A错;φ=-π时,f(0)=0,f(x)=-sin ωx不是偶函数,∴B错;又f'(x)=ωcos(ωx+φ),φ=-?时,f'(0)=ωcos(-?)=0≠1,∴C错;∴选D.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.(2011·河南省重点中学第二次联考)在△ABC中,sin2A+cos2B=1,则 cos A+cos B+cos C的最大值为?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)1. ????(D)?.【解析】由sin2A+cos2B=1,得cos2B=cos2A,又A、B为△ABC的内角,所 以A=B,则C=π-2A,cos A+cos B+cos C=2cos A+cos(π-2A)=2cos A-cos 2 A=-2cos2A+2cos A+1=-2(cos A-?)2+?,可知当cos A=?时,cos A+cos B+
cos C取得最大值?.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若?=?,(b+c+a)(b+c
-a)=3bc,则△ABC的形状为?( )(A)直角三角形. ????(B)等腰非等边三角形.(C)等边三角形. ????(D)钝角三角形.【解析】由?=?及正弦定理可得?=?,故b=c.由(b+c+a)(b+c-a)=3
bc可得b2+c2-a2=bc,故cos A=?=?,故A=?,所以△ABC是正三角
形.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(?,0)中心对称,那么|φ|的最
小值为?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D) ?.【解析】∵函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(?,0)中心对称,∴2·?π+φ=?+kπ,∴φ=kπ+?-?π(k∈Z),整理得φ=-?+kπ(k∈Z).由此易得|φ|min=?.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A<0,|φ|f(?-x)是?( ????)(A)偶函数且在x=0时取得最大值.(B)偶函数且在x=0时取得最小值.(C)奇函数且在x=0时取得最大值.(D)奇函数且在x=0时取得最小值.【解析】因为f(x)=Asin(x+φ)的图象关于直线x=?对称,所以sin(?+φ)
=±1,又?0)
图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y=2012相交于A、B两点,且| AB|=2,则f(?)等于?( ????)(A)2-?. ????(B)-2-?.(C)?. ????(D)?-?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考则f(?)=tan(?+?)=? =-2-?.【答案】B【解析】设f(x)=tan(ωx+?)与x轴的两个交点C、D,由“平行曲线”
的性质可知|CD|=2,所以函数的最小正周期为2,由?=2可得ω=?,名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.在△ABC中,若sin2A+sin2B0)的图象关于点M(?,0)对称,且在x
=?处函数有最小值,则a+ω的一个可能的取值是?( ????)(A)0. ????(B)3. ????(C)6. ????(D)9.【解析】由对称中心及对称轴知①当?T=?-?即ω=3时,f(x)=sin 3x+
acos 3x=?sin(3x+φ),3×?+φ=2kπ-??φ=2kπ-π,得a=0,因为y=sin 3x
在x=?处函数有最大值不合题意;②当?T=?-?,即ω=9时, f(x)=sin 9x+acos 9x=?sin(9x+φ),9×?+φ=2
kπ-??φ=2kπ-2π得a=0,因为y=sin 9x在x=?处有最小值符合题意,所名师诊断专案突破对点集训决胜高考以ω=9,a=0,即a+ω=9.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.如图,|?|=1,|?|=?,?与?的夹角为150°,点C是△ABO的外接圆
优弧AB上的一个动点,则?·?的最大值为?( ????)(A)?-?.(B)?+?.(C)?.(D)?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】?·?=|?|cos,则问题转化为向量?在向量?上
的射影的最大值,过C作CD⊥OA,垂足为D,当CD为圆的切线时,?·
?达到最大,由余弦定理得:|AB|=?,由正弦定理得外接圆直径2R=?=2?,设圆心为M,过圆心M作MN⊥OA,垂足为N,则四边形
MNDC为矩形,所以|OD|=?+?.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.已知a·x2+b·x+c=0是关于x的一元二次方程,其中a,b,c是非零向量, 且向量a和b不共线,则该方程?( ????)(A)至少有一根.(B)至多有一根.(C)有两个不等的根.(D)有无数个互不相同的根.【解析】设x1、x2为a·x2+b·x+c=0的两个根,则a·?+b·x1+c=0,a·?+b·x2+c=0,作差得:(x1-x2)[a(x1+x2)+b]=0,因为向量a和b不共线,a(x1+x2)+b≠0,所以x1=x2,所以a·x2+b·x+c=0至多有一根.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.过原点O向圆C:x2+(y-4)2=4引两条切线,切点是A、B,则△OAB的 面积为 ????.【解析】由题意知∠BOC=∠AOC,BC=2,OC=4.二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考∴sin∠BOC=?=?,∴∠BOC=?,∴∠BOA=?.又∵OA=OB=?=2?,∴S△OAB=?×(2?)2×?=3?.【答案】3? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考14.锐角△ABC的三内角为A,B,C,向量m=(sin A+?cos A,-1),n=(sin A,
?),且m⊥n,则角A的大小为 ????.【解析】因为m⊥n,则(sin A+?cos A)sin A-?=0,即sin2A+?sin Acos
A=?,所以?+?sin 2A=?,即?sin 2A-?cos 2A=1,即sin(2A-?)=1,又因为A是锐角,则2A-?=?,所以A=?.【答案】? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考15.函数f(x)=sin x+tan x,项数为27项的等差数列{an}满足an∈(-?,?),
且公差d≠0,若f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,f(ak)=0,则k= ????.【解析】函数f(x)=sin x+tan x在(-?,?)上是增函数又是奇函数,则由
题意可知a1+a27=a2+a26=…=2a14=0,∴f(a1)+f(a27)=f(a2)+f(a26)=…=2f(a14)=0,∴k=14.【答案】14名师诊断专案突破对点集训决胜高考16.设函数f(x)=x(?)x+?,A0为坐标原点,An为函数y=f(x)图象上横坐
标为n(n∈N*)的点,向量an=??,向量i=(1,0),设θn为向量an与向量i
的夹角,满足?tan θktan θn=(?)n+?,因此?tan θk=(?)+(?)2+…+(?)n+(?+?+…+
?)=?+(1-?+?-?+…+?-?)=1-?+1-?=2-?-?,据题意
令2-?-?0,ω>0,0<φ的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)=[f(x-?)]2,求函数g(x)在x∈[-?,?]上的最大值,并确定此时x
的值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)由图知A=2,?=?,则?=4×?,∴ω=?.又f(-?)=2sin[?×(-?)+φ]=2sin(-?+φ)=0,∴sin(φ-?)=0,∵0<φ0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为?.(1)求f(?)的值;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移?个单位后,再将得到的图象上各点
的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g (x)的单调递减区间;(3)g(x)-m=0在区间[0,3π)上有两个不同的解,求m的范围.【解析】(1)f(x)=?sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2[?sin(ωx+φ)-?cos(ωx+φ)]名师诊断专案突破对点集训决胜高考=2sin(ωx+φ-?).因为f(x)为偶函数,所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,因此sin(-ωx+φ-?)=sin(ωx+φ-?).即-sin ωxcos(φ-?)+cos ωxsin(φ-?)=sin ωxcos(φ-?)+cos ωxsin(φ-?),整理得sin ωxcos(φ-?)=0.因为ω>0,且x∈R,所以cos(φ-?)=0.名师诊断专案突破对点集训决胜高考又因为0<φ<π,故φ-?=?,所以f(x)=2sin(ωx+?)=2cos ωx.由题意得?=2×?,所以ω=2.故f(x)=2cos 2x.因此f(?)=2cos?=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)将f(x)的图象向右平移?个单位后,得到f(x-?)的图象,再将所得图
象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到f(?-?)的图象.所以g(x)=f(?-?)=2cos[2(?-?)]=2cos(?-?).当2kπ≤?-?≤2kπ+π(k∈Z),即4kπ+?≤x≤2kπ+?(k∈Z)时,g(x)单调递减,因此g(x)的单调递减区间为[4kπ+?,4kπ+?](k∈Z).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(3)因为x∈[0,3π),t=?-?∈[-?,?],作h(t)=2cos t图象得:m的范围为1≤m<2或-2图象不相切.22.已知a=(2cos x,sin φ),b=(sin(x+φ),-1)(-π<φ<0),定义f(x)=a·b(x∈R), 且f(x)=f(?-x)对任意实数x恒成立.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)f(x)=a·b=(2cos x,sin φ)·(sin(x+φ),-1)=2cos xsin(x+φ)-sin φ=2cos xsin xcos φ+2cos2xsin φ-sin φ=sin 2xcos φ+cos 2xsin φ=sin(2x+φ),因为f(x)=f(?-x)对任意实数x恒成立,所以y=f(x)关于x=?对称,所以方程2x+φ=kπ+?有一解为x=?,代入得φ=kπ+?,因为-π<φ<0,所以φ=-?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)f(x)=sin(2x-?)=-sin(2x+?),所以函数的增区间为2kπ+?≤2x+?≤2kπ+?,得kπ+?≤x≤kπ+?,当k=-1时得-?≤x≤-?,当k=0时得?≤x≤?,所以当x∈[-?,?]时函数y=f(x)的单调增区间为[-?,-?],[?,?].(3)由y=sin(2x-?)知名师诊断专案突破对点集训决胜高考? (4)f'(x)=-2cos(2x+?)≤2,而直线5x-2y+c=0的斜率为?>2,所以直线5x-
2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.名师诊断专案突破对点集训决胜高考课件172张PPT。QG-理科数学数学数学数学? 决胜高考专案突破名师诊断对点集训? 【考情报告】名师诊断专案突破对点集训决胜高考名师诊断专案突破对点集训决胜高考【考向预测】1.直线的方程命题重点是:直线的倾斜角与斜率,两条直线的位置关 系,对称及与其他知识结合考查距离等.2.圆的方程命题重点是:由所给条件求圆的方程、直线与圆的位置 关系、圆与圆的位置关系.3.圆锥曲线命题重点是:常通过客观题考查圆锥曲线的基本量(概念 、性质).通过大题考查直线与椭圆、抛物线的位置关系,求圆锥曲线 的方程等.4.在知识交汇处命题是解析几何的显著特征:与平面向量、三角函名师诊断专案突破对点集训决胜高考数、不等式、数列、导数等知识结合,考查综合分析与解决问题的 能力.如结合三角函数考查角、距离;结合二次函数考查最值;结合平 面向量考查平行、垂直、面积以及求参数的取值范围等.命题中常 涉及数形结合思想、方程思想、分类讨论思想、等价转化思想.名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.过点(5,2),且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是 ?( )(A)2x+y-12=0.(B)2x+y-12=0或2x-5y=0.(C)x-2y-1=0.(D)x-2y-1=0或2x-5y=0.【解析】当直线过原点时,方程为2x-5y=0;不过原点时,可设其截距 式方程为?+?=1,再由过点(5,2)即可解出a=6.【知能诊断】【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的?( ????)(A)充分必要条件.(B)充分不必要条件.(C)必要不充分条件.(D)既不充分也不必要条件.【解析】直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行的充要条件是-?=-?
且-?≠-1,即ab=4且a≠1,则“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2
y-2=0平行”的必要而不充分条件.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.(2012年·天津)设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)·y-2=0与圆(x-1)2+(y- 1)2=1相切,则m+n的取值范围是?( ????)(A)[1-?,1+?].(B)(-∞,1-?]∪[1+?,+∞).(C)[2-2?,2+2?].(D)(-∞,2-2?]∪[2+2?, +∞).【解析】圆心为(1,1),则圆心到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0的距离为d= ? =1,得4mn=4(m+n)+4≤(m+n)2,解得m+n≥2+2?或m+n
≤2-2?.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.(2012·兰州调研)“-3?( ????)(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充要条件.(D)既不充分也不必要条件.【解析】要使方程 ?+ ?=1表示椭圆,应满足?
解得-3件.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.(2012年淮南五校联考)椭圆?+ ?=1的离心率为?,则k的值为?
( )(A)-21. ????(B)21.(C)-?或21. ????(D)?或21.【解析】若a2=9,b2=4+k,则c= ?,由?=?,即? =?,得k=-?;若a2=4+k,b2=9,则c= ?,由?=?,即 ?=?,解得k=21.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.(2012唐山市高三模拟)已知双曲线的渐近线为y=±?x,焦点坐标为
(-4,0),(4,0),则双曲线方程为?( )(A) ??? ? (B)?(C) ????(D)?-?=1.【解析】双曲线的渐近线为y=±?x,焦点在x轴上,设双曲线方程为x2
-?=λ(λ>0),即?-?=1,a2=λ,b2=3λ,∵焦点坐标为(-4,0),(4,0),∴c=4.∵c2=a2+b2=4λ=16?λ=4,∴双曲线方程为?-?=1.【答案】 D名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.(南京市、盐城市2012届高三年级第三次模拟)在平面直角坐标系 xOy中,过点A(-2,-1)的椭圆C:?+?=1(a>b>0)的左焦点为F,短轴端点
为B1、B2,?·?=2b2.(1)求a、b的值;(2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q,与y轴的交点为R.过原点O 且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P.若|AQ|·|AR|=3 |OP|2,求直线l 的方程.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)因为F(-c,0),B1(0,-b),B2(0,b),所以?=(c,-b),?=(c,b).因为?·?=2b2,所以c2-b2=2b2. ①因为椭圆C过A(-2,-1),代入得?+?=1.②由①②解得a2=8,b2=2,即a=2?,b=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由题意,设直线l的方程为y+1=k(x+2),所以R(0,2k-1).由?得(x+2)[(4k2+1)(x+2)-(8k+4)]=0.因为x+2≠0,所以x+2=?,即xQ+2=?.由题意,直线OP的方程为y=kx.由?得(1+4k2)x2=8.则?=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考因为|AQ|·|AR|=3|OP|2,所以|xQ-(-2)|×|0-(-2)|=3?.即|?|×2=3×?.解得k=1,或k=-2.当k=1时,直线l的方程为x-y+1=0,当k=-2时,直线l的方程为2x+y+5=0.【诊断参考】1.直线方程的截距式只适用于截距存在且不为零的情况,本题容易名师诊断专案突破对点集训决胜高考漏掉截距为零时的情形.2.易忽略两直线重合时的情形.判断两直线是否平行时需要考虑直 线的斜率是否存在以及两直线是否会重合.3.(1)直线方程中含字母时不太会用点到直线的距离公式;(2)不会用 重要不等式进行转化求最值.4.易忽略“圆不是椭圆的特殊形式”.5.易默认椭圆是焦点在x轴上的椭圆,忽略对椭圆的焦点所在位置进 行分类讨论.6.易忽视焦点位置对双曲线方程的影响,双曲线的渐近线方程表示名师诊断专案突破对点集训决胜高考形式与焦点位置有关.7.(1)易将椭圆标准方程中参数a、b、c的关系与双曲线标准方程中 三者关系相混淆;(2)涉及用点斜式设过一点的直线方程时,一定要优先考虑斜率是否 存在,有时需要分类讨论;(3)列方程组求解直线与圆锥曲线关系问题时,不少学生一方面怕算, 另一方面不会用设而不求法或其他方式简化运算.名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 【核心知识】一、直线与圆1.直线的倾斜角:直线倾斜角的范围是[0,π).2.直线的斜率:(1)直线倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k=tan α(α≠90°);倾斜角为90°的直线斜率不存在;(2)经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的 直线的斜率为k=?(x1≠x2).名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.直线的方程:(1)点斜式:y-y0=k(x-x0)(不包括垂直于x轴的直线);(2)斜 截式: y=kx+b(不包括垂直于x轴的直线);(3)两点式: ?=?(不
包括垂直于坐标轴的直线);(4)截距式:?+?=1(不包括垂直于坐标轴
的直线和过原点的直线);(5)一般式:任何直线均可写成Ax+By+C=0 (A、B不同时为0)的形式;(6)设直线方程的一些常用技巧:①与直线l: Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+C1=0;②与直线l:Ax+By+C=0 垂直的直线可设为Bx-Ay+C1=0.4.两直线的位置关系直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的位置关系:名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)平行?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0;(2)相交?A1B2-A2B1≠0;(3)重合?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0.特殊地,直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0垂直?A1A2+B1B2 =0.5.距离公式:(1)点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=?;(2)两平行线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离为d=名师诊断专案突破对点集训决胜高考?.6.圆的方程:(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0).7.直线与圆的位置关系直线l:Ax+By+C=0和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系的判断:(1) 代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况):Δ>0?相 交,Δ<0?相离,Δ=0?相切;(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半 径的大小):设圆心到直线的距离为d,则dr?相离,d=r?名师诊断专案突破对点集训决胜高考相切.8.圆与圆的位置关系:设两圆圆心分别为O1、O2,半径分别为r1、r2,|O 1O2|=d. d>r1+r2?外离?4条公切线;d=r1+r2?外切?3条公切线;|r1-r2|< db>0);焦点在y轴上时?+?=1(a>
b>0).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)双曲线:焦点在x轴上时?-?=1(a>0,b>0);焦点在y轴上时?-?=1
(a>0,b>0).(3)抛物线:开口向右时y2=2px(p>0);开口向左时y2=-2px(p>0);开口向 上时x2=2py(p>0);开口向下时x2=-2py(p>0).3.圆锥曲线的几何性质:范围、顶点、对称中心与对称轴、离心率 、渐近线、准线等.4.直线与圆锥曲线的位置关系:利用直线方程与圆锥曲线方程联立 方程组,由方程组解的个数来确定直线与圆锥曲线的位置关系.5.弦长公式:若直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1、x2分别名师诊断专案突破对点集训决胜高考为A、B的横坐标,则|AB|=?|x1-x2|,若y1、y2分别为A、B的纵坐标,
则|AB|=?|y1-y2|.6.圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或 “点差法”求解.特别提醒:因为Δ>0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在 求解有关弦长、对称问题时,注意别忘了检验Δ>0!7.常用结论(1)双曲线?-?=1(a>0,b>0)的渐近线方程为?-?=0;名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)以y=±?x为渐近线的双曲线方程为?-?=λ(λ为参数,λ≠0);(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2+ny2 =1;(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为?,抛物
线的通径长为2p,焦准距为p; (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;(6)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则①|AB|=x1+x 2+p,②x1x2=?,y1y2=-p2;名师诊断专案突破对点集训决胜高考(7)若OA、OB是过抛物线y2=2px(p>0)顶点O的两条互相垂直的弦,则 直线AB恒经过定点(2p,0).8.动点轨迹(或方程)(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;(2)求轨迹方程的常用方法:①直接法,②待定系数法,③定义法,④代入转移法,⑤参数法.【考点突破】名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点一:直线方程及相关问题直线部分,主要考查直线的斜率与倾斜角、距离公式、直线方程、 两直线的位置关系等,试题多以选择、填空题的形式出现,属于基础 题型,难度一般不大.解析几何中的大题也常考查直线的基础知识.? 若a∈R,则“a=-4”是“直线l1∶ax+2y-1=0与直线l2:2x+
(a+3)y-2=0平行”的?( )(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(C)充分必要条件.(D)既不充分也不必要条件.【分析】先求出两直线平行时a的值,再来确定前者是后者的什么条 件.【解析】由a(a+3)-4=0得a=-4或a=1,当a=1时两直线重合;当a=-4时 两直线平行,所以两直线平行等价于a=-4,所以为充分必要条件.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考直时,需要考虑两条直线的斜率是否存在.在不重合的直线l1与l2的斜 率都存在的情况下才可以应用结论:l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1解决 两直线的平行与垂直问题.【归纳拓展】(1)命题的逻辑关系的判断可以通过判断两个命题的 真假,也可以看对应集合的关系来确定.(2)在判断两条直线平行或垂名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练1????(江苏省盐城市2012届高三年级第二次模拟)若直线y= kx+1与直线2x+k2y-4=0垂直, 则k= ????.【解析】直线y=kx+1化为kx-y+1=0,由2k+(-1)k2=0得k=0或k=2.【答案】0或2名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点二:直线与圆直线与圆主要考查直线与圆的方程的基本知识,如圆的标准方程、 圆的一般式方程、直线与圆的位置关系等,试题可以是选择、填空 题,也可蕴含在大题中考查,一般是基础题,难度不大,解题时应注意 挖掘圆的几何性质以及数形结合思想的应用.?????(江苏省南京市2012年3月高三第二次模拟)已知圆C经
过直线2x-y+2=0与坐标轴的两个交点,又经过抛物线y2=8x的焦点,则 圆C的方程为 ????.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】先求出圆所经过的三个点,然后利用待定系数法求圆的方 程.【解析】直线与坐标轴的两个交点为(0,2)、(-1,0),抛物线的焦点为 (2,0),设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点的坐标代入得圆的方程为x2+y2 -x-y-2=0.【答案】x2+y2-x-y-2=0????名师诊断专案突破对点集训决胜高考常可根据条件选择是先求圆心与半径写出标准方程,还是设出圆的 一般方程利用待定系数法求解.【归纳拓展】本题也可以利用圆经过两点,则圆心在两点连线段的 中垂线上,通过求出圆心坐标和半径,写出圆的标准方程.求圆的方程名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练2????在平面直角坐标系中,直线y=kx-2与圆C:x2+y2-8x+12=0 有公共点,则k的最大值是 ????.【解析】∵圆C的方程可化为:(x-4)2+y2=4,∴圆C的圆心为(4,0),半径为2.依题意?≤2,∴0≤k≤?.∴k的最大值是?.【答案】? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 已知动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上.(1)若动圆C过点
A(-5,0)、B(-2,1),求圆C的方程;(2)若圆C的半径为5,是否存在正实 数r,使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个?若 存在,请求出来,若不存在,请说明理由.【分析】(1)本题可以根据条件求出圆心与半径,写出圆的标准方程; (2)利用两圆的位置关系与圆心距之间的关系求解.【解析】 (1)因为圆C过点A、B,所以圆心在线段AB的中垂线上,即 圆心C在直线3x+y+10=0上,又圆心在直线x-y+10=0上,所以圆心C(-5, 5),半径为|CA|=5,所以圆C的方程为(x+5)2+(y-5)2=25.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=?=5?.当r满足r+5d时,r每取一个数值,动圆C中存在两个圆与圆O:x2+y2=r2 相外切;当r满足r+5=d,即r=5?-5时,动圆C中有且仅有1个圆与圆O:x2+y2=r2
相外切.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】(1)根据条件选择适当的圆的方程:当条件涉及圆心、 半径时常考虑用标准方程;知道圆上点的坐标时可以先设出一般式, 利用待定系数法求解;(2)直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关 系常考虑利用几何法,充分利用圆的几何特征求解,可以简化运算.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)当过点A的圆C的切线存在时,求实数a的取值范围;(2)设AM、AN为圆C的两条切线,M、N为切点,当MN=?时,求MN所
在直线的方程.【解析】(1)过点A的切线存在,即点A在圆外或圆上,∴1+a2≥4,∴a ≥?或a≤-?.变式训练3 已知圆C:x2+(y-a)2=4,点A(1,0).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)设MN与AC交于点D,O为坐标原点.∵MN=?,∴DM=?.又MC=2,∴CD=?=?,∴cos∠MCA=?=?, ∵AC=?=?,∴OC=2,AM=1,MN是以点A为圆心,半径AM=1的圆A与圆C的公共弦,圆A的方程为(x -1)2+y2=1,名师诊断专案突破对点集训决胜高考圆C的方程为x2+(y-2)2=4,或x2+(y+2)2=4,∴MN所在直线的方程为(x-1)2+y2-1-x2-(y-2)2+4=0,即x-2y=0,或(x-1)2+y2-1-x2-(y+2)2+4=0,即x+2y= 0,因此,MN所在直线的方程为x-2y=0或x+2y=0.名师诊断专案突破对点集训决胜高考圆锥曲线的定义、方程与几何性质是这部分内容的基石,是高考的 重点及热点.圆锥曲线的定义、标准方程、离心率等都是常考内容, 多以选择、填空题的形式出现,一般是中档题.?????(1)(2012年江苏省南通、泰州、扬州苏中三市高三第
二次调研)若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(2,m)到焦点的距离为6,则p= ????.(2)(江苏省南京市2012届高三3月第二次模拟)已知双曲线?-y2=1的
一条渐近线方程为x-2y=0,则该双曲线的离心率e= ????.热点三:圆锥曲线的定义、方程及几何性质名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】(1)利用抛物线的定义,将点A到焦点的距离用点A的横坐标 及参数p表示,进而求解.(2)由双曲线的渐近线方程可求得参数a的值,进而求得离心率.【解析】(1)由抛物线的定义知点A(2,m)到焦点的距离为2+?=6,解
得p=8.(2)依题意?=(?)2,所以|a|=2,离心率为?.【答案】(1)8????(2)? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】(1)考查抛物线的定义,简单题.焦点在x轴上的抛物线y2 =2ax(a≠0)上的点P(x0,y0)到焦点F的距离为|PF|=|?|+|x0|;焦点在y轴上
的抛物线x2=2ay(a≠0)上的点P(x0,y0)到焦点F的距离为|PF|=|?|+|y0|.(2)①焦点在x轴上的双曲线?-?=1的渐近线方程为y=±?x;焦点在y
轴上的双曲线?-?=1的渐近线方程为y=±?x.②求双曲线或椭圆的
离心率:可以直接求出a、c,然后计算?得离心率;也可以利用条件列
出a、c的方程转化为?的方程,进而求出离心率.需要注意的是椭圆
与双曲线的离心率都有范围限制.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练4????(1)(2012北京海淀区高三年级第一学期期末)抛物线x2= ay过点A(1,?),则点A到此抛物线的焦点的距离为 ????. (2)(苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试二)已知双曲线?-?=1
(m>0)的一条渐近线方程为y=?x,则m的值为 ????.【解析】(1)由已知可得:1=?a,∴a=4.∴x2=4y.由抛物线的定义可知A
点到焦点距离为A到准线的距离:yA+?=?+1=?.(2)依题意,双曲线的方程为y=±?x,所以?=?,所以m=4.【答案】(1)?????(2)4名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 如图,A为椭圆?+?=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、
AC分别过焦点F1、F2,当AC垂直于x轴时,恰好有|AF1|∶|AF2|=3∶1.(1)求椭圆的离心率;(2)设?=λ1?,?=λ2?,λ1、λ2∈R.当A点为该椭圆上的一个动点时,
试判断λ1+λ2是否为定值?若是,请证明,若不是,请说明理由.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】(1)利用椭圆的定义、性质以及勾股定理,可以找到a与c的 关系,进而容易求出离心率.(2)设出相关点的坐标,利用向量关系式得出λ1、λ2的等式,把λ1+λ2表 示成y1、y2的关系式,接下来自然是联立直线与椭圆的方程组成方程 组,利用韦达定理得到结果.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)当AC⊥x轴时,设|AF2|=m,则|AF1|=3m.由题设及椭圆定义得? 消去m得a2=2c2,所以离心率e=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)(法一)由(1)知,b2=c2,所以椭圆方程可化为x2+2y2=2c2.设A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),则?+2?=2c2.①若A为椭圆的长轴端点,则λ1=?,λ2=?或λ1=?,λ2=?,所以λ1+λ2=?=6.②若A为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则由?=λ1?,?=λ2?,
得λ1=-?,λ2=-?,名师诊断专案突破对点集训决胜高考所以λ1+λ2=-y0(?+?).又直线AF1的方程为x+c=?y,所以由?得[2?+(x0+c)2]y2-2cy0(x0+c)y-c2?=0.∵?+2?=2c2,∴(3c+2x0)y2-2y0(x0+c)y-c?=0.名师诊断专案突破对点集训决胜高考由韦达定理得y0y1=-?,∴y1=-?.同理y2=?.∴λ1+λ2=-y0(?+?)=-y0(-?+?)=6.综上证得,当A点为该椭圆上的一个动点时,λ1+λ2为定值6.(法二)设A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),名师诊断专案突破对点集训决胜高考则?=(-c-x0,-y0),?=(x1+c,y1),∵?=λ1?,∴x1=-?-c,y1=-?.又?+2?=2c2①,?+2?=2c2②,将x1、y1代入②得(?+c)2+2(?)2=2c2,即(c+x0+cλ1)2+2?=2?c2, ③③-①得:2x0=cλ1-3c.同理:由?=λ2?得2x0=-cλ2+3c,∴cλ1-3c=-cλ2+3c,∴λ1+λ2=6.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】关于是否为定值的问题,一般先考虑特殊位置探求结 论,这不失为一种非常好的做法.另外,本题第(2)问解题过程中的 “设而不求”,“同理可得”是一把犀利的武器,对于迅速破解本题 起到至关重要的作用.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练5????(江苏省南京市2012届高三3月第二次模拟)如图,在平 面直角坐标系xOy中,椭圆C:?+?=1(a>b>0)的离心率为?,以原点
为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点P(0,1),Q(0,2),设M、N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点, 直线PM与QN相交于点T,求证:点T在椭圆C上.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)由题意知b=?=?.因为离心率e=?=?,所以?=?=?.所以a=2?.所以椭圆C的方程为?+?=1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由题意可设M,N的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线PM的方程为y= ?x+1. ①直线QN的方程为y=?x+2. ②联立①②解得x=?,y=?,即T(?,?).由?+?=1可得?=8-4?.因为?(?)2+?(?)2=?=?=?
=?=1.所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.名师诊断专案突破对点集训决胜高考直线与圆锥曲线的位置关系是高考的一个重点与热点,综合性较高, 难度较大,通常与圆锥曲线的方程、几何性质等一起考查.热点四:直线与圆锥曲线的位置关系名师诊断专案突破对点集训决胜高考?????(盐城市2012届高三年级第二次模拟考试)已知椭圆?+
?=1(a>b>0)的离心率为?,且过点P(?,?), 记椭圆的左顶点为A.(1) 求椭圆的方程;(2) 设垂直于y轴的直线l交椭圆于B,C两点, 试求△ABC面积的最大值;(3) 过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭圆于D,E两点, 且k1k2=2, 求证: 直线DE恒过一个定点.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】(1)将点的坐标代入方程结合离心率以及a2=b2+c2可求出a 、b的值,写出方程;(2)设出B点坐标,写出面积关于点B坐标的表达式 并利用基本不等式求最值;(3)写出直线方程,将直线方程与椭圆方程 联立方程组求出D、E坐标,写出直线DE的方程,可证明直线过定点.【解析】 (1)由?解得?所以椭圆C的方程为x2+2y2=1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)设B(m,n),C(-m,n),则SΔABC=?×2|m|×|n|=|m|·|n|.又1=m2+2n2≥2?=2?|m|·|n|, 所以|m|·|n|≤?,当且仅当|m|=?|n|时取等号,从而SΔABC≤?, 即△ABC面积的最大值为?.(3)因为A(-1,0),所以AD:y=k1(x+1),AE:y=k2(x+1),由?消去y,得(1+2?)x2+4?x+2?-1=0,解得x=-1或x=?,名师诊断专案突破对点集训决胜高考∴点D(?,?).同理,有E(?,?),而k1k2=2,∴E(?,?),∴直线DE的方程为y-?=?·(x-?),即y-?=?·(x-?),即y=?x+?.所以2y?-(3x+5)k1+4y=0,则由?得直线DE恒过定点(-?,0).名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】(1)椭圆既是轴对称图形又是中心对称图形,充分利用 椭圆的对称性可以减少计算.(2)有关最值问题,可以利用基本不等式 求解,或转化为函数最值利用函数的有关性质求解.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练6????(2012·金华模拟)已知过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G: x2=2py(p>0)相交于B、C两点.当直线l的斜率是?时,?=4?.(1)求抛物线G的方程;(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】 (1)设B(x1,y1),C(x2,y2),当直线l的斜率是?时,l的方程为y=?(x
+4),即x=2y-4.由?得2y2-(8+p)y+8=0,∴? 又∵?=4?,∴y2=4y1,③由①②③及p>0得:y1=1,y2=4,p=2,即抛物线G的方程为x2=4y.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)设l:y=k(x+4),BC的中点坐标为(x0,y0),由?得x2-4kx-16k=0,④∴x0=?=2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.∴线段BC的中垂线方程为y-2k2-4k=-?(x-2k),∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为:b=2k2+4k+2=2(k+1)2.对于方程④,由Δ=16k2+64k>0得k>0或k<-4,∴b∈(2,+∞).名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点五:综合问题解析几何综合题除自身相关知识的综合外还常与平面向量、三角 函数、不等式、函数等相综合,一方面考查相关基础知识,另一方面 考查综合运用相关知识分析与解决问题的能力,同时也是对数学中 的函数与方程思想、数形结合思想、等价转化思想以及分类讨论 思想的考查.名师诊断专案突破对点集训决胜高考?????(广东省肇庆市中小学教学质量评估2012届高中毕业班
第一次模拟)已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1、x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆 心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程;(3)试探究轨迹Q上是否存在点B(x1,y1),使得过点B的切线与两坐标轴 围成的三角形的面积等于??若存在,请求出点B的坐标,若不存在,请
说明理由.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】(1)利用动圆与两已知圆相外切,可得动圆圆心C与两已知 圆的圆心的距离关系,从而得点C的轨迹方程;(2)可转化为到定点的 距离与到定直线距离相等的点的轨迹,由抛物线的定义可得轨迹方 程;(3)假设存在,写出三角形的面积关于点B坐标的表达式,利用条件列出方程求解,求出的坐标符合条件就存在,否则不存在.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)两圆半径都为1,两圆心分别为C1(0,-4)、C2(0,2),由题意 得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中 点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂 直平分线方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.(2)因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等, 故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物 线,?=1,即p=2,所以轨迹Q的方程是x2=4y.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(3)由(2)得y=?x2, y'=?x,所以过点B的切线的斜率为k=?x1,切线方程为
y-y1=?x1(x-x1),令x=0得y=-??+y1,令y=0得x=-?+x1,因为点B在x2=4y上,所以y1=??,故y=-??,x=?x1,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=?|x||y|=?|-??||?x1|=?
|?|,设S=?,即?|?|=?,得|x1|=2,所以x1=±2.当x1=2时,y1=1,当x1=-2时,y=1,所以点B的坐标为(2,1)或(-2,1).名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】(1)两圆相外切,则两圆的圆心距等于两圆的半径和.(2) 求轨迹或轨迹方程,可以用直接法、定义法、待定系数法、代入法 等,根据不同的条件选用不同的方法.(3)曲线的切线问题,可以利用 直线方程与圆锥曲线方程组成方程组,消去一个变量后转化为另一 变量的二次方程有唯一解来解决;如果曲线方程可写成y=f(x),则它 在x=x0处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练7????已知A(-2,0),B(2,0),动点P与A、B两点连线的斜率分别 为kPA和kPB,且满足kPA·kPB=t (t≠0且t≠-1).(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)当t<0时,曲线C的两焦点为F1、F2,若曲线C上存在点Q使得∠F1 QF2=120°,求t的取值范围.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1) 设点P坐标为(x,y),依题意得?·?=t?y2=t(x2-4)??+
?=1.轨迹C的方程为?+?=1(x≠±2). 名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2) 当-1+r2)2-r1r2≥(r1+r2)2-(?)2=-12t, ∴16(-1-t)≥-12t?t≤-4.所以当t≤-4时,
曲线上存在点Q使∠F1QF2=120°.综上知当t<0时,曲线上存在点Q使∠F1QF2=120°的t的取值范围是(- ∞,-4]∪[-?,0).名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 限时训练卷(一)一、选择题1.直线ax+2y-3=0与直线2x-3y+4=0垂直,则a的值为?( ????)(A)-3. ????(B)-?.(C)2. ????(D)3.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】由(-?)×?=-1,得a=3.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.已知两直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则a的值为?(????????)(A)3. ????(B)-1.(C)3或-1. ????(D)-3或1.【解析】由1×3=a(a-2),得a=3或a=-1,又a=3时两直线重合,所以a=-1 时,l1∥l2.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.若O(0,0),A(4,-1)两点到直线ax+ay+6=0的距离相等,则实数a等于?
( ????)(A)0或-4. ????(B)?.(C)-4. ????(D)-?.【解析】由题意,得?=?,即4a-a+6=±6,解之得a=0或-4,检验得a=0不合题意,所以a=-4.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(1,?)的直线,则?( )(A)l与C相交.(B)l与C相切.(C)l与C相离.(D)以上三个选项均有可能.【解析】圆方程化为(x-2)2+y2=4,因为(1-2)2+(?)2=3<4,所以点P(1,
?)在圆C的内部,故选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l斜率的取 值范围为?( )(A)[-?,?]. ????(B)(-?,?).(C)[-?,?]. ????(D)(-?,?).【解析】设直线l的方程为:y=k(x-4),即kx-y-4k=0.则?≤1,解得k2≤?,即-?≤k≤?.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.在圆x2+y2=4上,到直线4x+3y-12=0的距离最小的点的坐标是?(? )(A)(?,?). ????(B) (?,-?).(C) (-?,?). ????(D) (-?,-?).【解析】过圆心向直线作垂线段,垂线段与圆的交点就是所求的点. 或作出图形对照选项可知选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.已知直线x+y=a与圆x2+y2=16交于A,B两点,且|?+?|=|?-?|(其中
O为坐标原点),则实数a等于?( )(A)4. ????(B)-4.(C)4或-4. ????(D)2?或-2?.【解析】由条件知:OA⊥OB,所以O到直线的距离为?=2?,所以a
=±4.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.将直线2x-y+λ=0沿x轴向左平移1个单位,所得直线与圆x2+y2+2x-4y =0相切,则实数λ的值为?( ????)(A)-3或7. ????(B)-2或8.(C)0或10. ????(D)1或11.【解析】平移后的直线方程为2(x+1)-y+λ=0,即2x-y+λ+2=0,又圆心为(-1,2),半径为?,由?=?得λ=-3或7.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.(广东省六校2012年2月高三第三次联考)过圆x2+y2=1上一点P作切 线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点,则|AB|的最小值为?( )(A)?. ????(B)?.(C)2. ????(D)3.【解析】设切线在两坐标轴正半轴上的截距分别为a、b,则ab= ?·1,又ab≤?,所以?≥2,当a=b时取等号.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.(2012·长春模拟)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为 ????.【解析】设圆的方程为x2+y2=r2,则r=?=?.∴圆的方程为x2+y2=2.【答案】x2+y2=2二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为2?,则a=????
????.【解析】两圆的方程相减,得公共弦所在的直线方程为(x2+y2+2ay-6) -(x2+y2)=0-4,即y=?,又a>0,由?=?=1得a=1.【答案】1名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.(苏州市2012届高三调研)过点P(?,1)的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交
于A,B两点,当∠ACB最小时,直线l的方程为 ????.【解析】当∠ACB最小时,弦AB的长最小,对应的弦心距最大,所以 当CP⊥AB时满足题意,因为kCP=-2,所以kAB=?,直线l的方程为2x-4y+3
=0.【答案】2x-4y+3=0名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=64,圆O1与圆O相交,圆心 为O1(9,0),且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21.(1)求圆O1的标准方程;(2)过定点P(a,b)作动直线l与圆O,圆O1都相交,且直线l被圆O,圆O1截 得的弦长分别为d,d1.若d与d1的比值总等于同一常数λ,求点P的坐标 及λ的值.【解析】(1)设圆O1的半径为r,由题设,得9+8+r=21,所以r=4.所以O1的标准方程为(x-9)2+y2=16.三、解答题名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)当直线l的斜率存在时,设直线l为y-b=k(x-a),即y-kx+ka-b=0.则O,O1到直线l的距离分别为h=?,h1=?,从而d=2?,d1=2?.由?=λ,得64-?=λ2[16-?],整理得[64-a2-16λ2+λ2(a-9)2]k2+2b[a-λ2(a-9)]k+64-b2-λ2(16-b2)=0.由题意,上式对于任意实数k恒成立,名师诊断专案突破对点集训决胜高考所以? 由2b[a-λ2(a-9)]=0,得b=0或a-λ2(a-9)=0.①如果b=0,则64-16λ2=0,解得λ=2(舍去负值),从而a=6或18,所以λ=2,点P(6,0)或P(18,0).②如果a-λ2(a-9)=0,显然a=9不满足,从而λ2=?,所以3a2-43a+192=0.但Δ=432-4×3×192=-455<0,因此该方程无实数根,舍去.名师诊断专案突破对点集训决胜高考当点P的坐标为(6,0)时,若直线l的斜率不存在,此时d=4?,d1=2?,所以?=2,也满足.综上所述,满足题意的λ=2,点P有2个,坐标分别为(6,0)和(18,0).名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.抛物线y=-8x2的焦点坐标为?( )(A)(-?,0). ????(B)(?,0).(C)(0,-?). ????(D)(0,?).【解析】抛物线y=-8x2可化为x2=-?y,焦点在y轴上,开口向下,焦点为
(0,-?).【答案】C限时训练卷(二)一、选择题名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5, 设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积为?( ????)(A)5. ????(B)10.(C)20. ????(D)?.【解析】易知F(1,0),P(4,4),故△MPF的面积为10.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.(湛江市2012年普通高考测试题二)设F是双曲线?-?=1的左焦点,
A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为?( )(A)5. ????(B)5+4?.(C)7. ????(D)9.【解析】记右焦点为F1(4,0),|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|≥4+|AF1|=9.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.准线方程为x=-4的抛物线y2=2px(p≠0)上一点M(1,m)到其焦点的距 离?( )(A)2. ????(B)3.(C)4. ????(D)5.【解析】由准线方程为x=-4得p=8,所以距离为1+?=5.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.方程?+?=1表示双曲线,则k的取值范围为?( )(A)(10,+∞).(B)(-∞,-5).(C)(-5,10).(D)(-∞,-5)∪(10,+∞).【解析】由(10-k)(5+k)<0,即(k-10)(k+5)>0,所以k>10或k<-5.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.椭圆mx2+ny2=1的离心率为?,则?等于?( )(A)?. ????(B)?.(C)?或?. ????(D)?或?.【解析】若焦点在x轴上,则方程化为?+?=1,依题意有?=?,所
以?=?;若焦点在y轴上,则方程化为?+?=1,同理可得?=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考所以所求值为?或?.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.若双曲线?-?=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于
焦距的?,则该双曲线的渐近线方程是?( ????)(A)x±2y=0. ????(B)2x±y=0.(C)x±?y=0. ????(D)?x±y=0.【解析】∵双曲线?-?=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距
离为b,∴?=?,因此b=?c,a=?=?c,∴?=?,因此其渐近线方程为x±?y=0.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.已知点P(x,y)的坐标满足?+?=10,则点P所在曲
线的离心率为?( )(A)?. ????(B)?.(C)?. ????(D)?.【解析】设F1(0,0),F2(-4,-4),|F1F2|=4?,|PF1|+|PF2|=10>4?=|F1F2|,所以P点的轨迹是以F1、F2为焦点且长轴长为10的椭圆,e=?=?.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.(2012年长春市高中毕业班第一次调研)设e1、e2分别为具有公共焦 点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率,P是两曲线的一个公共点,且满足 |?+?|=|?|,则?的值为?( )(A)?. (B)2.(C)?. ????(D)1.【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,不妨设m>n.由|?+?|=|?|知,
∠F1PF2=90°,则m2+n2=4c2,∴e1=?,e2=?,∴?+?=?=2,∴
?=?.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.(苏州市2012届高三调研)与双曲线?-?=1有公共的渐近线,且经
过点A(-3,2?)的双曲线方程是 ????.【解析】设所求双曲线的方程为?-?=λ(λ≠0),又过点A(-3,2?),所
以?-?=λ,所以λ=?,所以所求双曲线方程为?-?=1.【答案】?-?=1二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为?的直线
与l相交于点A,与C的一个交点为B.若?=?,则p= ????.【解析】过B作BE垂直于准线l于E,∵?=?,∴M为AB的中点,∴|
BM|=?|AB|,又斜率为?,∴∠BAE=30°,∴|BE|=?|AB|,∴|BM|=|BE|,∴M
为抛物线的焦点,∴p=2.【答案】2名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.(河北省唐山市2012届高三上学期期末)椭圆?+?=1(a>b>0)的左
、右焦点分别为F1、F2,过F2作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P,若 ∠F1PF2=45°,则椭圆的离心率e= ????.【解析】根据题意可知,RtΔPF1F2中|PF2|=?, |F1F2|=2c,∠F1PF2=45°,
∴|F1F2|=|PF2|,∴?=2c,又b2=a2-c2,代入整理得:c2+2ac-a2=0,∴e2+2e-1=
0,∴e=-1±?,∵00,b为常数)的椭圆为D.三、解答题(1)求☉C和椭圆D的标准方程;(2)当b=1时,求证:椭圆D上任意一点都不在☉C的内部;(3)已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点,过点M且与x轴 不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点(点P在x轴上方),点P关于x轴的 对称点为N,设直线QN交x轴于点L,试判断?·?是否为定值?并证明
你的结论.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)圆心C(m,0)(-1?=?=b2+1.所以?·?=xM·xL=b2+1=定值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.抛物线y=ax2的准线方程是y=-2,则a的值为?( )(A)?. ????(B)-?.(C)8. ????(D)-8.【解析】由准线方程y=-2得?=2,p=4.又焦点在y轴正半轴上,且由原
方程化为标准方程x2=?y后可知a>0,从而2p=?,解得a=?,故选A.【答案】A限时训练卷(三)一、选择题名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.双曲线?-?=1的左焦点与抛物线y2=-12x的焦点重合,则该双曲线
的焦点到其渐近线的距离等于?( )(A)?. ????(B)4?.(C)3. ????(D)5.【解析】抛物线y2=-12x的焦点为(-3,0),双曲线?-?=1中,b2=9-4=5,双曲线渐近线方程为y=±?x.名师诊断专案突破对点集训决胜高考所以焦点到渐近线的距离d=?=?.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.(湖北省孝感市2011—2012学年度高中三年级第一次统一考试)已 知抛物线y2=8x的焦点与双曲线?-y2=1的一个焦点重合,则该双曲线
的离心率为?( )(A)?. ????(B)?.(C)?. ????(D)3.【解析】由题意可知抛物线的焦点为(2,0),双曲线的右焦点为 (?,0),因两点重合故有?=2,即a2=3且c=?=2.则双曲线的
离心率为e=?=?=?.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.抛物线x2=y上的点到直线2x-y=4的最短距离是?( )(A)?. ????(B)?.(C)?. ????(D)?.【解析】与2x-y=4平行且与x2=y相切的直线方程为2x-y-1=0,两直线 间的距离为?.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.已知方程?-?=1是焦点在y轴上的双曲线,则该双曲线的离心
率的取值范围是?( )(A)(1,2). ????(B)(1,?).(C)(?,+∞). ????(D)(2,+∞).【解析】先将方程化成焦点在y轴上的标准方程?-?=1,则
?解得m>2.由离心率的计算公式可得:e2=?=2+?.
再由m>2得e2>2,所以离心率的范围是e>?.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线,与抛物线分 别交于A、B两点,若?∈(0,1),则?的值为?( ????)(A)?. ????(B)?.(C)?. ????(D)?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】由题意可设AB所在的直线方程为y=?x+?.联立? 得?或? 由图可知A(-?p,?p),B(?p,?p).作AA'⊥x轴于A',BB'⊥x轴于B',?=?=?=?.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.若椭圆?+?=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛
物线y2=2bx的焦点F分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为?( )(A)?. ????(B)?.(C)?. ????(D)?.【解析】依题意有(c+?)∶(c-?)=5∶3,则c=2b,又a2=b2+c2,所以?=?,
所以e=?.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.已知椭圆?+?=1的一个焦点是(?,0),且截直线x=?所得弦长为?
?,则该椭圆的方程为?( )(A)?+?=1. ????(B)?+?=1.(C)?+?=1. ????(D)?+?=1.【解析】由已知c=?,直线x=?过椭圆焦点,且垂直于x轴,由?可得y=±?,∴过焦点的弦长为?,由? 得a2=6,b
2=4 .∴所求椭圆的方程为?+?=1.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.已知圆x2+y2-9x=0与顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线交于A、B 两点,△OAB的垂心恰为抛物线的焦点,则抛物线的方程为?( )(A)y2=-8x. ????(B)y2=-4x.(C)y2=4x. ????(D)y2=8x.【解析】依题意,设所求抛物线方程为y2=2px(p>0),焦点F(?,0),A(x0,y
0),B(x0,-y0),则?∴?+(2p-9)?=0. ①∵OA⊥BF,????名师诊断专案突破对点集训决胜高考∴?·?=-1 ,即?=-1,∴x0=?p. ②把②代入①得p=2, ∴所求抛物线的方程为y2=4x.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2,点P是C1与C2的一个 公共点,△PF1F2是一个以PF1为底的等腰三角形,|PF1|=4,C1的离心率 为?,则C2的离心率为 ????.【解析】因为△PF1F2是一个以PF1为底的等腰三角形,|PF1|=4,C1的 离心率为?,所以|PF2|=|F1F2|=3,所以C2中的2a=1,2c=3,所以C2的离心
率e=?=3.【答案】3二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.(山东实验中学2012届高三模拟考试)以抛物线y2=20x的焦点为圆 心,且与双曲线?-?=1的两条渐近线都相切的圆的方程为 ????.【解析】由已知可以知道,抛物线的焦点坐标为(5,0),双曲线的渐近 线方程为y=±?x,则所求的圆的圆心为(5,0),利用圆心到直线3x-4y=0
的距离为半径r,则有r=?=3,故圆的方程为(x-5)2+y2=9.【答案】(x-5)2+y2=9名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.(浙江省2012年高三调研)若点P在曲线C3:?-?=1上,点Q在曲线C
1:(x+5)2+y2=1上,点R在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,则| PQ |-| PR | 的最大值 是 ????.【解析】如图所示,点P应在右支上,名师诊断专案突破对点集训决胜高考∵|PQ|max=|PC1|+1,|PR|min=|PC2|-1,∴(|PQ|-|PR|)max=|PQ|max-|PR|min=|PC1|-|PC2|+2,∵P点在双曲线上,∴|PC1|-|PC2|=2a=8,∴|PQ |-| PR | 的最大值是10.【答案】10名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.(2012年长春市高中毕业班第一次调研测试)已知点A(-1, 0),B(1, 0),动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ,|?|·|?|cos2θ=3,过点B的直
线交曲线C于P、Q两点.三、解答题(1)求|?|+|?|的值,并写出曲线C的方程;(2)求△APQ面积的最大值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)设M(x, y),在△MAB中,|AB|=2,∠AMB=2θ,根据余弦定理 得|?|2+|?|2-2|?|·|?|cos 2θ=4.即(|?|+|?|)2-2|?|·|?|(1+cos 2θ)=4.即(|?|+|?|)2-4|?|·|?|cos2θ=4.而|?|·|?|cos2θ=3,所以(|?|+|?|)2-4×3=4.????所以|?|+|?|=4.名师诊断专案突破对点集训决胜高考又|?|+|?|=4>2=|AB|,因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意),a=2,c=1.所以曲线C的方程为?+?=1. 名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)设直线PQ的方程为x=my+1.由?消去x并整理得(3m2+4)y2+6my-9=0. ①显然方程①的Δ>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则SΔAPQ=?×2×|y1-y2|=|y1-y2|,由韦达定理得y1+y2=-?,y1y2=-?.所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=48×?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考令t=3m2+3,则t≥3,(y1-y2)2=?.由于函数φ(t)=t+?在[3,+∞)上是增函数,所以t+?≥?,当t=3m2+3=3,即m=0时取等号.所以(y1-y2)2≤?=9,即|y1-y2|的最大值为3.所以△APQ面积的最大值为3,此时直线PQ的方程为x=1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 一、选择题1.(广东省惠州市2012届高三第三次调研)“a=-2”是“直线ax+2y=0 垂直于直线x+y=1”的?( )(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充分必要条件.(D)既不充分也不必要条件.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】a=-2时两直线垂直;反之两直线垂直时a=-2,所以是充分必 要条件.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.(江西省泰和中学2012届高三模拟)已知抛物线y2=2px上一点M (1,m)到其焦点的距离为5,则该抛物线的准线方程为?( )(A)x=8. ????(B)x=-8.(C)x=4. ????(D)x=-4.【解析】由题意得1+?=5,故p=8,所以准线方程为x=-4【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1),则直线AB的方程是?(????
)(A)x-y-2=0. ????(B)x+y-4=0.(C)x-5y+2=0. ????(D)5x+y-16=0.【解析】圆x2+y2-4x-5=0的圆心为C(2,0),AB是过点P垂直于CP的直 线,所以方程为y-1=-(x-3),即x+y-4=0.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A、B两点,则 cos∠AFB=?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)-?. ????(D)-?.【解析】联立?消y得x2-5x+4=0得x=1或x=4,不妨设点A在x轴下方,所以A(1,-2),B(4,4),因为F(1,0),所以?=(0,-2)与?=(3,4),因此cos∠AFB=?=?=-?.故选D.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.(2012届黑龙江绥化市一模)若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+ by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是?( )(A)2. ????(B)3. ????(C)4. ????(D)6.【解析】直线2ax+by+6=0过圆心C(-1,2),所以a-b-3=0,当点M(a,b)到 圆心距离最小时,切线长最短;|MC|=?=?,得a=2
时最小,b=-1,此时切线长等于4.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.若双曲线?-?=1的渐近线与圆C:(x-2)2+y2=3相切,则此双曲线的离
心率为?( )(A)?. ????(B)?. ????(C)2. ????(D)4.【解析】双曲线?-?=1的渐近线方程为y=±?x,圆C的圆心为(2,0),
则?=?,即?=?,所以e=?=?.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.已知椭圆?+?=1的一个焦点与抛物线y=?x2的焦点重合,则该焦点
到双曲线?-?=1的渐近线的距离等于?( )(A)?. ????(B)?. ????(C)3. ????(D)?.【解析】∵抛物线方程化为x2=4y,焦点为F(0,1),∴椭圆方程中b2=4+1=5,∴双曲线方程为?-?=1,渐近线方程为y=±
?x,∴点F到渐近线的距离为?.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.已知对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线方程为y=±?x(a>0,b>
0),若双曲线上有一点M(x0,y0),使b|x0|b时,在x轴上.(D)当ax0|=2|PF2|,则cos∠F1F2P=?( )(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D) -?.【解析】由题意可知,a=4,b=3,∴c=5,设|PF1|=2x,|PF2|=x,则|PF1|-|PF2| =x=2a=8,故|PF1|=16,|PF2|=8,|F1F2|=10,利用余弦定理可得cos∠F1F2P =?=-?.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.已知直线l与椭圆?+?=1交于A、B两点,且弦AB的中点坐标为
(?,1),则直线l的斜率为?( ????)(A)?. ????(B)-?. ????(C)?. ????(D)-?.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则?+?=1,?+?=1,相减可得
?+?=0,而x1+x2=1,y1+y2=2,故直线l的斜率为k=?=-?.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.已知点A(-1,0),B(1,0)及抛物线y2=2x,若抛物线上点P满足?=m
?,则m的最大值为?( ????)(A)3. ????(B)2. ????(C)?. ????(D)?.【解析】设P(x0,y0),则|PA|=?=?,|PB|=?=
?.∴m=?=? =?≤?=?.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.直线x-y-2=0被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2?,则实数a的值为
????.【解析】由2?=2?,解得a=0或a=4.【答案】0或4二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考14.(南京市、盐城市2012届三模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2 =4x的焦点为F,点P在抛物线上,且位于x轴上方.若点P到坐标原点O 的距离为4?,则过F、O、P三点的圆的方程是 ????. 【解析】由|OP|=4?得P(4,4),又F(1,0),经过三点F、O、P的圆的圆
心是直线x=?与x+y-4=0的交点,即(?,?),又半径为??,所以圆的方程
为(x-?)2+(y-?)2=?.【答案】 (x-?)2+(y-?)2=? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考15.已知椭圆?+?=1(a>b>0)的左顶点为A,上顶点为B,右焦点为F.设
线段AB的中点为M,若2???+?≥0,则该椭圆离心率的取值范
围为 ????.【解析】因为A(-a,0),B(0,b),M(-?,?),F(c,0),又2???+?≥0,所以
2a2-2ac-c2≥0,即e2+2e-2≤0,结合0?·?=0,则动点P(x,y)到点M(-3,0)的距离的最小值为 ????.【解析】因为M(-3,0),N(3,0),所以?=(6,0),|?|=6,?=(x+3,y),?=(x-3,y),由|?|·|?|+?·?=0可得6?+6(x-3)=0,整理可得y2=-12x,所
以M是抛物线y2=-12x的焦点,所以点P到点M的距离的最小值就是原 点到点M(-3,0)的距离,为3.【答案】3名师诊断专案突破对点集训决胜高考17.已知椭圆?+?=1(a>b>0),点P为其上一点,F1、F2为椭圆的焦点,
∠F1PF2的外角平分线为l,点F2关于l的对称点为Q,F2Q交l于点R.三、解答题(1)当P点在椭圆上运动时,求R形成的轨迹方程;(2)设点R形成的曲线为C,直线m:y=k(x+?a)与曲线C相交于A、B两
点,当△AOB的面积取得最大值时,求k的值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)∵点F2关于l的对称点为Q,连结PQ,则|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a.连结OR,O为F1F2中点,R是F2Q中点,故|OR|=a,故R点的轨迹方程是x2+y2=a2(y≠0).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)如右图,∵ S△AOB=?|OA|·|OB|·sin∠AOB=?sin∠AOB.当∠AOB=90°时,S△AOB最大值为?a2.此时弦心距|OC|=?.在Rt△AOC中,∠AOC=45°,∴?=?=cos 45°=?,∴k=±?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考18.已知抛物线x2=2py(p>0)被直线y=x截得的弦长是4?.(1)求p的值;(2)设点M为抛物线上的动点,问:在y轴上是否存在一定点A(0,m),使 得以AM为直径的圆被直线y=3截得的弦长恒为定值?若存在,求出点 A的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】 (1)由? 解得?,或? .∴?=4?,∴p=2.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)假设存在符合题意的定点A(0,m),设M(x,y),以AM为直径的圆与直线y=3交于C、D两点,则圆心B(?,?),∴点B到直线y=3的距离d=?=??.∴圆的半径R=??=??,∴??=R2-d2 =?? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考=?(x2-4my+12y+12m-36)=?(4y-4my+12y+12m-36)=(4-m)y+3m-9.当m=4时,(4-m)y+3m-9恒为定值3,即弦长?恒为定值2?.∴存在这样的定点A(0,4)符合题意.名师诊断专案突破对点集训决胜高考19.已知圆C1:(x-2)2+(y-1)2=?,椭圆C2:?+?=1(a>b>0)的离心率为?,
如果C1、C2相交于A、B两点,且线段AB恰为圆C1的直径,求直线AB 与椭圆C2的方程.【解析】由e=?=?=?,得a2=2b2,于是椭圆C2的方程为x2+2y2=2b
2,设直线AB的方程为y-1=k(x-2)(直线AB的斜率存在).由?得(1+2k2)x2+4k(1-2k)x+2(2k-1)2-2b2=0,①设A(x1,y1),B(x2,y2),则?=2,即?=2,得k=-1,因此直线AB的方
程为:y=-x+3,此时,①式即为3x2-12x+18-2b2=0,名师诊断专案突破对点集训决胜高考那么|AB|=?|x1-x2|=??=2?,解得b2=8,椭圆方程为?+?=1,故所求的直线与椭圆方程分别为:y=-x+3与?+?=1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考20.(河北省唐山市2012届高三摸底)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为 F,过点F作直线l与抛物线交于A、B两点,抛物线的准线与x轴交于点 C.(1)证明:∠ACF=∠BCF;(2)求∠ACB的最大值,并求∠ACB取得最大值时线段AB的长.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)由题设知,F(?,0),C(-?,0),设A(x~1,y1),B(x2,y2),直线l方程为x=my+?,代入抛物线方程y2=2px,得y2-2pmy-p2=0.y1+y2=2pm,y1y2=-p2.不妨设y1>0,y2<0,则名师诊断专案突破对点集训决胜高考tan∠ACF=?=?=?=?=?,tan∠BCF=-?=-?=?,∴tan∠ACF=tan∠BCF,∴∠ACF=∠BCF.(2)如(1)所设y1>0,tan∠ACF=?≤?=1,当且仅当y1=p时取等号,此时∠ACF取最大值?,∠ACB=2∠ACF取最大值?,并且A(?,p),B(?,
-p),|AB|=2p.名师诊断专案突破对点集训决胜高考21.(2012年·上海)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐 近线及x轴围成的三角形的面积;(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点,若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP ⊥OQ;(3)设椭圆C2:4x2+y2=1.若M、N分别是C1、C2上的动点,且OM⊥ON,求 证:O到直线MN的距离是定值.【解析】(1)双曲线C1:?-y2=1,左顶点A(-?, 0),渐近线方程:y=±?x. 名师诊断专案突破对点集训决胜高考过点A与渐近线y=?x平行的直线方程为y=?(x+?),即y=?x+1. 解方程组?得? 所以所求三角形的面积为S=?|OA||y|=?.????名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)设直线PQ的方程是y=x+b.因直线与已知圆相切, 故?=1,即b2=2.????由?得x2-2bx-b2-1=0. 设P(x1, y1),Q(x2, y2),则? 又y1y2=(x1+b)(x2+b),所以 ?·?=x1x2+y1y2 =2x1x2+b(x1+x2)+b2 名师诊断专案突破对点集训决胜高考=2(-b2-1)+b·2b+b2=b2-2=0, 故OP⊥OQ.????(3)当直线ON垂直于x轴时, |ON|=1,|OM|=?,则O到直线MN的距离为?. 当直线ON不垂直于x轴时, 设直线ON的方程为y=kx(显然|k|>?),则直线OM的方程为y=-?x. 名师诊断专案突破对点集训决胜高考由?得?所以|ON|2=?. 同理|OM|2=?.设O到直线MN的距离为d,因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2, 所以?=?+?=?=3,即d=?. 综上,O到直线MN的距离是定值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考22.(2012北京海淀区高三第一学期期末)已知焦点在x轴上的椭圆C 过点(0,1),且离心率为?,Q为椭圆C的左顶点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知过点(-?,0)的直线l与椭圆C交于A、B两点.①若直线l垂直于x轴,求∠AQB的大小;②若直线l与x轴不垂直,是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形?如 果存在,求出直线l的方程;如果不存在,请说明理由.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)设椭圆C的标准方程为?+?=1(a>b>0),且a2=b2+c2.由题意可知:b=1,?=?. 所以a2=4. 所以,椭圆C的标准方程为?+y2=1. 名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由(1)得Q(-2,0).设A(x1,y1),B(x2,y2).①当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x=-?.由?解得?或? 即A(-?,?), B(-?,-?)(不妨设点A在x轴上方).则直线AQ的斜率kAQ=1,直线BQ的斜率kBQ=-1.因为 kAQ·kBQ=-1,所以 AQ⊥BQ.名师诊断专案突破对点集训决胜高考所以 ∠AQB=?.②当直线l与x轴不垂直时,由题意可设直线AB的方程为y=k(x+?)(k≠
0).由?消去y得(25+100k2)x2+240k2x+144k2-100=0.因为点(-?,0)在椭圆C的内部,显然Δ>0.名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 因为 ?=(x1+2,y1), ?=(x2+2,y2),y1=k(x1+?),y2=k(x2+?),所以 ?·?=(x1+2)(x2+2)+y1y2 =(x1+2)(x2+2)+k(x1+?)·k(x2+?)=(1+k2)x1x2+(2+?k2)(x1+x2)+4+?k2 名师诊断专案突破对点集训决胜高考=(1+k2)?+(2+?k2)(-?)+4+?k2=0.所以 ?⊥?.所以 △QAB为直角三角形.假设存在直线l使得△QAB为等腰三角形,则|QA|=|QB|.取AB的中点M,连接QM,则QM⊥AB.记点(-?,0)为N.名师诊断专案突破对点集训决胜高考另一方面,点M的横坐标xM=?=-?=-?,所以 点M的纵坐标yM=k(xM+?)=?. 所以 ?·?=(?,?)·(?,?)=?≠0.所以 ?与?不垂直,矛盾.所以 当直线l与x轴不垂直时,不存在直线l使得△QAB为等腰三角形.名师诊断专案突破对点集训决胜高考课件200张PPT。QG-理科数学数学数学数学? 决胜高考专案突破名师诊断对点集训【考情报告】名师诊断专案突破对点集训决胜高考【考向预测】立体几何是高考考查的重点内容之一,主要考查简单几何体的三视 图、柱、锥、台、球的表面积和体积,点、直线与平面位置关系的 判断及证明,空间直角坐标系、空间向量的运算、立体几何中的向 量方法;考查学生的空间想象能力,语言表达能力,推理论证能力,运 算求解能力.结合近三年的高考命题情况,预测2013年高考对立体几 何的考查主要有空间几何体的三视图与其表面积、体积结合,二面 角的求法,在复习时要引起足够的重视.此外,对于异面直线所成的角 、直线与平面所成的角在高考中也时有考查,在复习过程中也不应 遗漏.名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.(2012年烟台模拟)一个几何体的三视图如图所示,这个几何体的体 积是?( )【知能诊断】(A)?π. (B)?π.(C)3+?π. (D)12+?π.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】由三视图知该几何体为一个半球和一个四棱柱的组合体. 体积V=V半球+V四棱柱=?×?×πr3+Sh=?×?×π×23+2×2×3=?π+12.故选D.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.(2012年南昌模拟)如图为一个几何体的三视图,则该几何体的外接 球的表面积为?( ????)(A)4π.(B)8π.(C)12π.(D)16π.【解析】由几何体的三视图知该几何体为一个底面是正方形,有一 条侧棱与底面垂直的四棱锥,由已知数据可求得该几何体外接球的 半径R=?,所以S=4πR2=12π.故选C.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点.(1)求证:A1E⊥BD.(2)当E恰为棱CC1的中点时,求证:平面A1BD⊥平面EBD.(3)在棱CC1上是否存在一个点E,可以使二面角A1-BD-E的大小为45°? 如果存在,试确定点E在棱CC1上的位置;如果不存在,请说明理由.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】如图,连接AC,设AC∩DB=O,连接A1O、OE,名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)∵AA1⊥底面ABCD,∴BD⊥A1A,又BD⊥AC,A1A∩AC=A,∴BD⊥平面ACEA1,∵A1E?平面ACEA1,∴A1E⊥BD.(2)在等边三角形A1BD中,BD⊥A1O,∵BD⊥平面ACEA1,OE?平面ACEA1,∴BD⊥OE,∴∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设棱长为2a,∵E为棱CC1的中点,由平面几何知识,得EO=?a,A1O=?a,A1E=3a,满足A1E2=A1O2+EO2,∴∠A1OE=90°,即平面A1BD⊥平面EBD.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,假设棱CC1上存在点E,可以使二面角A1-BD-E的大小为45°,由(2)知, ∠A1OE=45°.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a,EC=x(a面角A1-BD-E的大小为45°.名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.(2012年山东淄博模拟)如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面 ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=?AD.(1)求证:BF⊥DM;(2)求二面角A-CD-E的余弦值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】如图所示,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,不妨设AB =1.依题意得A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(1,1,0)、D(0,2,0)、E(0,1,1)、F(0,0,1) 、M(?,1,?).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)?=(-1,0,1),?=(?,-1,?),∴cos=?=?=0.∴BF⊥DM.(2)设平面CDE的法向量为u=(x,y,z),则? 又?=(-1,0,1),?=(0,-1,1),名师诊断专案突破对点集训决胜高考∴? 令x=1,可得u=(1,1,1).又平面ACD的一个法向量为v=(0,0,1),∴cos=?=?=?.故二面角A-CD-E的余弦值为?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.(2012年·湖北)如图1,∠ACB=45°,BC=3,过动点A作AD⊥BC,垂足D 在线段BC上且异于点B,连接AB,沿AD将△ABD折起,使∠BDC=90° (如图2所示).(1)当BD的长为多少时,三棱锥A-BCD的体积最大;(2)当三棱锥A-BCD的体积最大时,设点E,M分别为棱BC,AC的中点, 试在棱CD上确定一点N,使得EN⊥BM,并求EN与平面BMN所成角的 大小.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)(法一)在如图1所示 △ABC中,设BD=x(0[?]3=?,当且仅当2x=3-x,即x=1时,等号成立.故当x=1,即BD=1时,三棱锥A-BCD的体积最大.(法二)同解法1,得VA-BCD=?AD·S△BCD=?(3-x)·?x(3-x)=?(x3-6x2+9x).令f(x)=?(x3-6x2+9x),由f'(x)=?(x-1)·(x-3)=0,且00;当x∈(1,3)时,f'(x)<0.所以当x=1时,f(x)取得最大值.故当BD=1时,三棱锥A-BCD的体积最大.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)(法一)以D为原点,建立如图a所示的空间直角坐标系D-xyz.由(1)知,当三棱锥A-BCD的体积最大时,BD=1,AD=CD=2.于是可知D (0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),E(?,1,0),且?=(-1,1,1).设N(0,λ,0),则?=(-?,λ-1,0).因为EN⊥BM等价于?·?=0,即(-?,λ-1,
0)·(-1,1,1)=?+λ-1=0,故λ=?,N(0,?,0).所以当DN=?(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)时,EN⊥BM.名师诊断专案突破对点集训决胜高考设平面BMN的一个法向量为n=(x,y,z),由?及?=(-1,?,0),得?可取n=(1,2,-1).设EN与平面BMN所成角的大小为θ,则由?=(-?,-?,0),n=(1,2,-1),可得
sin θ=cos(90°-θ)=|?|=?=?,即θ=60°.故EN与平面BMN所成角的大小为60°.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(法二)由(1)知,当三棱锥A-BCD的体积最大时,BD=1,AD=CD=2.如图b,取CD的中点F,连接MF、BF、EF,则MF∥AD.由(1)知AD⊥平面BCD,所以MF⊥平面BCD.如图c,延长FE至P点使得FP=DB,连接BP,DP,则四边形DBPF为正方 形,所以DP⊥BF.取DF的中点N,连接EN,又E为FP的中点,则EN∥DP, 所以EN⊥BF.因为MF⊥平面BCD,又EN?面BCD,所以MF⊥EN.又MF∩BF=F,所以EN⊥面BMF.又BM?面BMF,所以EN⊥BM.因为EN⊥BM当且仅当EN⊥BF,而点F是唯一的,所以点N是唯一的,名师诊断专案突破对点集训决胜高考即当DN=?(即N是CD的靠近点D的一个四等分点),EN⊥BM.连接MN,ME,由计算得NB=NM=EB=EM=?,所以△NMB与△EMB是两个共底边的全等的等腰三角形,如图d所示,取BM的中点G,连接EG,NG,则BM⊥平面EGN,在平面EGN中,过点E作EH⊥GN于点H,则EH⊥平面BMN,故∠ENH是EN与平面BMN所成的角.在△EGN中,易得EG=GN=NE=?,所以△EGN是正三角形,故∠ENH=60°,即EN与平面BMN所成角的大小为60°.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【诊断参考】1.空间几何体的表面积和体积与三视图的综合是每年高考的必考内 容,此类问题解答易错点有三:一是由多面体的三视图不能够想象出 空间几何体的形状,或不能够正确画出其直观图;二是不能根据三视 图的形状及相关数据推断出(或错误推断出)原几何图形中的点、线 、面间的位置关系及相关数据;三是不记得或不能熟练掌握、应用 常见空间几何体的表面积、体积公式.2.由考情报告知,对球的考查是每年高考的必考内容,特别是空间几 何体的外接、内切球问题,一直是高考的热点.此类问题的解题关键 是正确探求出几何体与其外接、内切球间的位置关系及数量关系,名师诊断专案突破对点集训决胜高考这也是此类问题解答的易错点.3.线面位置关系的判断或证明是立体几何的重要内容之一,也是高 考的必考点,试题难度不大,经常作为解答题的第一问出现,或以选择 题或填空题的形式出现.在推证线面位置关系时,一定要严格遵循其 判定定理或性质定理,注意其成立的条件,否则极易出错.如在判断线 面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则结论是不一定成立的.4.求空间几何体的体积除了利用公式法外,还常用到分割、补形、 转化法等,这也是解决一些非规则几何体体积计算问题的常用方法. 特别是利用转化法(或等积法)求三棱锥高的问题.但在利用“割” 、“补”法求几何体的体积时,一定要辨清“割”、“补”后几何名师诊断专案突破对点集训决胜高考体的结构特征,若辨析不清则易出现错解.5.空间向量法解立体几何问题,不仅可以判断线面间的位置关系,也 是求空间角及距离的常用方法,空间向量的引入是把立体几何问题 代数化,是利用“数”的方法来解决“形”的问题,从而使立体几何 问题的解答变得更加灵活,故空间向量法也是解决立体几何问题的 强大工具.空间向量法解答立体几何问题的关键是要建立恰当的空 间直角坐标系,注意这里的坐标系一定要建立右手系,同学们的易错 点是不分左、右手系,若坐标系建成了左手系,在高考改卷过程中,这 一问是至少要扣掉一半分的,大家一定要注意这一点!6.空间角,特别是二面角的求解,是每年高考的热点和必考点.求二面名师诊断专案突破对点集训决胜高考角最常用的方法是空间向量法,即分别求出二面角的两个面所在的 平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大 小,但要注意结合实际图形,能够正确判断出所求二面角和法向量夹 角间的关系,这是同学们的易混淆点,此外,运算错误也是常见的易错 点.7.探索型(或开放性)试题是近年高考试题命制的新宠,此类问题的命 制非常灵活,角度新颖,能够很好地考查学生对知识的灵活运用及知 识的迁移能力.解答开放性问题的基本策略是先猜想,后证明,因此大 胆假设,严格证明是解决开放性问题的基本策略.此类问题不知如何 作答是同学们常见的困惑.名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.翻折问题体现了平面问题和空间问题间的转化,能够很好地考查 学生的空间想象能力、图形变换能力及识图能力.在解题过程中,若 不能分清翻折前后基本量间的位置关系或数量关系则易造成错解.名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 【核心知识】一、空间几何体1.三视图(1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正 前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本 要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)三视图排列规则:俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视 图一样;侧(左)视图放在正(主)视图的右面,高度和正(主)视图一样,宽 度与俯视图一样.2.柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(1)表面积公式:①圆柱的表面积S=2πr(r+l);②圆锥的表面积S=πr(r +l);③圆台的表面积S=π(r'2+r2+r'l+rl);④球的表面积S=4πR2.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)体积公式:①柱体的体积V=Sh;②锥体的体积V=?Sh;③台体的体 积V=(S'+?+S)h;④球的体积V=?πR3.二、点、直线、平面之间的位置关系1.直线与平面的位置关系(1)直线与平面平行的判定方法①判定定理:不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行, 那么这条直线与这个平面平行.名师诊断专案突破对点集训决胜高考②转化为面面平行再推证线面平行.③一直线在两平行平面外,且与其中一平面平行,则这一直线与另一 平面也平行.(2)直线与平面的垂直问题①线面垂直判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直,则该直线与此平面垂直.注:在判定定理中,易忽视两直线为“相交直线”.②过一点有且只有一条直线与一个平面垂直;过一点有且只有一个 平面和一条直线垂直.名师诊断专案突破对点集训决胜高考③??a⊥α.2.平面与平面的位置关系(1)平面与平面的平行问题面面平行判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平 行,则这两个平面平行.面面平行性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么 它们的交线平行.注:①在面面平行的判定定理中,“两条相交直线”中的“相交”两 个字不能忽略,否则结论不一定成立.名师诊断专案突破对点集训决胜高考②空间中直线与直线平行,直线与平面平行,平面与平面平行三者之 间可以互相转化,其转化关系为:线线平行?线面平行?面面平行③若由两个平面平行来推证两直线平行时,则这两直线必须是第三 个平面与这两个平面的交线.④分别在两个平行平面内的两条直线,它们可能平行,也可能异面.⑤a、b为两异面直线,a?α,b?β,且a∥β,b∥α,则α∥β.⑥过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)平面与平面的垂直问题面面垂直判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂 直.面面垂直性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直.注:①判定的关键是结合图形并利用条件在一平面内找一条直线是 另一平面的垂线,由此可知,凡是包含此直线的平面都与另一平面垂 直.②空间中直线与直线垂直,直线与平面垂直、平面与平面垂直三者名师诊断专案突破对点集训决胜高考之间可以互相转化,其转化关系为:线线垂直?线面垂直?面面垂直③利用面面垂直的性质定理添加面的垂线时,一定要注意是在某一 平面内作交线的垂线,此线即为另一面的垂线,否则结论不一定成立.④几个常用结论:垂直于同一个平面的两条直线平行;垂直于同一条 直线的两个平面平行;垂直于同一个平面的两个平面平行或相交;垂 直于同一条直线的两条直线平行、相交或异面.三、空间向量与立体几何1.空间角的类型与范围名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)异面直线所成的角(θ):0<θ≤?;(2)直线与平面所成的角(θ):0≤θ≤
?;(3)二面角(θ):0≤θ≤π.2.求空间距离:直线到平面的距离、两平行平面的距离均可转化为 点到平面的距离.点P到平面α的距离:d=?(其中n为α的法向量,M为α内任一点).3.几何法求空间角与距离的步骤:一作、二证、三计算.【考点突破】热点一:空间几何体的三视图、表面积和体积名师诊断专案突破对点集训决胜高考空间几何体的表面积、体积问题一直是高考的热点内容,主要是考 查学生的空间想象能力和计算求解能力.此考点多结合三视图综合 考查,由三视图中的数据得到原几何体的数据是解题的关键.此热点 试题多出现在选择题、填空题,有时也以解答题的形式考查,属较容 易题.?????(2012年广东中山调研)一个几何体的三视图如图所示,
则这个几何体的体积为 ????.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】本例的解题关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体 的形状,然后再根据几何体的形状及相关数据计算其体积.【解析】由三视图可知,原几何体上面是 一个四棱锥,下面是一个四 棱柱,则V=?×2×2×1+1×1×2=?.【答案】? 【归纳拓展】(1)求规则几何体的体积,关键是确定底面和高,要注意 多角度、多方位地观察,选择恰当的底面和高,使计算简便;(2)求不 规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为 几个规则几何体,再进一步求解;(3)求锥体的体积,要选择适当的底面和高,然后应用公式V=?Sh进行计算即可,常用到等积变换法和割
补法.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练1????(2012年河南濮阳模拟)已知一个四棱锥的正(主)视图和 侧(左)视图为两个完全相同的等腰直角三角形(如图所示),腰长为1, 则该四棱锥的体积为?( ????)(A)?. ????(B)?.(C)?. ????(D)?.【解析】由于正(主)视图和侧(左)视图为两个全等的等腰直角三角 形,可知四棱锥底面为正方形,四个侧面为正三角形.其中底面正方形名师诊断专案突破对点集训决胜高考的边长为1,四棱锥的高为?,所以该四棱锥的体积为V=?Sh=?×12×
?=?.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点二:空间几何体与球的综合有关球的知识的考查也是高考中常出现的问题,特别是球与多面体 、旋转体等组合的接、切问题.问题多以客观题的形式呈现,属中档 题目.解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析, 弄清相关元素的关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能 多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系),达 到空间问题平面化的目的.名师诊断专案突破对点集训决胜高考SC=2,则此棱锥的体积为?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【分析】本题是考查三棱锥与球的组合体,由题设条件计算出三棱 锥的基本量,而后求出其体积.本题属于中档试题,需认真把握几何体 的线面关系和度量关系.?????(2012年·新课标全国)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都
在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】由题意得,△ABC的边长为1,所以CO1=?.在直角△COO1中,CO=1,所以OO1=?,所以三棱锥S-ABC的高h=?.所以几何体的体积为V=?Sh=?×?×12×?=?,故选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考=a,PB=b,PC=c,则4R2=a2+b2+c2,把有关元素“补形”成为一个球内 接长方体(或其他图形),从而显示出球的数量特征,这是一种常用的 好方法.【归纳拓展】(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,其直观图很 难画清,一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空间问题化 归为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.(2) 若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直,且PA名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练2????(2012年济南调研)如图是一个空间几何体的三视图,则 该几何体的外接球的表面积为 ????.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】设该几何体的外接球的半径为R.依题意知,该几何体是如 图所示的三棱锥A-BCD,其中AB⊥平面BCD,AB=2,BC=CD=?,BD=2,BC⊥DC,因此可将该三棱锥补形为一个长方体,于是有(2R)2=22+(?)2+(?)2=8,即4R2=8,则该
几何体的外接球的表面积为4πR2=8π.【答案】8π名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点三:直线、平面平行与垂直的判断、证明线与面、面与面平行或垂直关系的证明是立体几何初步考查的基 本内容,故备考中要加强训练,熟练运用.在运用中体会判定定理条件 的运用,包括思路分析、方法确认、书写表达规范,尤其是在表达规 范性上,一定要推理充分,论证有力,思路清晰,逻辑严密.名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 如图,在七面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,
AD⊥平面DEFG,AB⊥AC,ED⊥DG,EF∥DG,且AC=EF=1,AB=AD= DE=DG=2.(1)求证:平面BEF⊥平面DEFG;(2)求证:BF∥平面ACGD;(3)求三棱锥A-BCF的体积.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】(1)要证平面BEF⊥平面DEFG,由题设条件可以看出,只要 能够证明平面BEF内的BE⊥平面DEFG即可;(2)要证直线BF∥平面 ACGD成立,只需证BF平行平面ACGD内的一条直线即可,由题设条 件知EF??CA,这也为下一步的解题打开了想象的空间.【解析】(1)∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平 面DEFG∩平面ADEB=DE,∴AB∥DE.名师诊断专案突破对点集训决胜高考∵AB=DE,∴四边形ADEB为平行四边形,∴BE∥AD.∵AD⊥平面DEFG,∴BE⊥平面DEFG,∵BE?平面BEF,∴平面BEF ⊥平面DEFG.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)取DG的中点M,连接AM、FM,则有DM=?DG=1,又EF=1,EF∥DG,∴四边形DEFM是平行四边形,∴DE??FM,又∵AB??DE,∴AB??FM,∴四边形ABFM是平行四边形, ∴BF∥AM.又BF?平面ACGD,故BF∥平面ACGD.(3)∵平面ABC∥平面DEFG,∴F到平面ABC的距离为AD.∴VA-BCF=VF-ABC=?·S△ABC·AD=?×(?×1×2)×2=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】(1)线面平行可依据判定定理,只要找到平面内的一条 直线与这条直线平行即可.(2)证明面面垂直的方法:证明一个面过另 一个面的垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有 直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中点、高线或添加辅 助线来解决.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练3????(2012江苏镇江调研试题)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA =PB,底面ABCD是菱形,且∠ABC=60°,点M是AB的中点,点E在棱PD 上,满足DE=2PE.求证:(1)平面PAB⊥平面PMC;(2)直线PB∥平面EMC.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)∵PA=PB,M是AB的中点,∴PM⊥AB.∵底面ABCD是菱形,∴BA=BC.∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴CM⊥AB.∵PM∩CM=M,∴AB⊥平面PMC.∵AB?平面PAB,∴平面PAB⊥平面PMC.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)连接BD交MC于F,连接EF.由CD=2BM,CD∥BM,易得△CDF∽△MBF.∴DF=2BF.又∵DE=2PE,∴EF∥PB.∵EF?平面EMC,PB?平面EMC,∴PB∥平面EMC.名师诊断专案突破对点集训决胜高考利用空间向量解决立体几何问题是高考的热点,是每年高考的必考 内容.主要涉及直线、平面位置关系的判定,空间角的求法和空间几 何体体积的计算.题目多以解答题的形式出现,属中档题.其一般解题 步骤为:(1)建立恰当的空间直角坐标系;(2)求出相关点的坐标;(3)写 出向量坐标;(4)结合公式进行论证、计算;(5)转化为几何结论.热点四:空间向量在立体几何中的应用名师诊断专案突破对点集训决胜高考?????如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∠ACB=9
0°,2AC=AA1=BC=2,D为侧棱AA1上一点.(1)若D为AA1的中点,求证:平面B1CD⊥平面B1C1D;(2)若二面角B1-DC-C1的大小为60°,求AD的长.【分析】本题是以三棱柱为载体考查空间中的面面垂直的判定及 二面角的问题.第(1)问面面垂直问题,可转化为线面垂直问题;第(2) 问可由二面角这一条件,建立关于AD边长的方程式,解方程即可.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)如图,以C为坐标原点,CA、CB、CC1所在直线分别为x 、y、z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2), D(1,0,1).得?=(0,2,0),?=(-1,0,1),?=(1,0,1).由?·?=(1,0,1)·(0,2,0)=0,得CD⊥C1B1.由?·?=(1,0,1)·(-1,0,1)=0,
得CD⊥DC1.又DC1∩C1B1=C1,∴CD⊥平面B1C1D.又CD?平面B1CD,∴平面B1CD⊥平面B1C1D.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)设AD=a,则D点坐标为(1,0,a),?=(1,0,a),?=(0,2,2).设平面B1CD的一个法向量为m=(x,y,z),则??? 令z=-1,得m=(a,1,-1),又平面C1DC的一个法向量为n=(0,1,0),则由cos 60°=?,得?=?,即a=?,故AD=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个 面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面 角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练4 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知BC=1,BB1=2,BB1⊥平 面ABC,AB⊥平面BB1C1C.(1)求直线C1B与底面ABC所成角的正切值;(2)在棱CC1(不包括端点)上确定一点E的位置,使EA⊥EB1(要求说明 理由);(3)在(2)的条件下,若AB=?,求二面角A-EB1-A1的大小.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】以B为坐标原点,BC、BB1、AB所在的直线分别为x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),C1(1,2,0),B1(0,2,0).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC的一个法向量为?=(0,2,0),又
?=(1,2,0),设BC1与平面ABC所成的角为θ,则sin θ=|cos|=
?,∴tan θ=2,即直线C1B与底面ABC所成角的正切值为2.(2)设E(1,y,0),A(0,0,z),则?=(-1,2-y,0),?=(-1,-y,z),∵EA⊥EB1,∴?·?=1-y(2-y)=0,∴y=1,即E(1,1,0),∴E为CC1的中点.(3)由题知A(0,0,?),则?=(1,1,-?),?=(1,-1,0),名师诊断专案突破对点集训决胜高考设平面AEB1的一个法向量为n=(x1,y1,z1),则?∴? 令x1=1,则n=(1,1,?),∵?=(1,1,0),∴?·?=1-1=0.∴BE⊥B1E.又BE⊥A1B1,∴BE⊥平面A1
B1E.∴平面A1B1E的一个法向量为?=(1,1,0),∴|cos|=?=?.∴二面角A-EB1-A1的大小为45°.名师诊断专案突破对点集训决胜高考立体几何中已知结论寻求结论成立的条件(或是否存在问题),能较 好地考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力,能很好地体现新课 标高考的特点,故在近年的高考命题中备受青睐,成为高考命题的热 点,常见有条件探索型问题、结论探索型问题、信息迁移型问题等. 解决探索型问题的基本策略是弄清题意,抓住命题所考查的知识点, 将所学知识进行合理整合、提升与迁移.? 三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,所有棱的长都是
2,M是BC边的中点,试问在侧棱CC1上是否存在点N,使得异面直线AB 1和MN所成的角等于45°?若存在,求出点N的位置;若不存在,请说明理由.
热点五:立体几何中的探索性(或开放性)问题名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】本例是“条件探索型”问题,解答此类问题时,常先假设点 存在,若推证无矛盾,则点存在;若推证出矛盾,则点不存在.【解析】如图,以A为原点,建立空间直角坐标系A-xyz,由题意有:A(0,0,0),B1(?,1,2),M(?,?,0),假设在侧棱CC1上存在点N,名师诊断专案突破对点集训决胜高考使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°,可设N(0,2,m)(0≤m≤2),则?=(?,1,2),?=(-?,?,m),∴|?|=2?,|?|=?,?·?=2m-1.∵异面直线AB1和MN所成的角等于45°,∴?和?的夹角是45°或13
5°,又∵cos=?=?,∴?=±?,解得m=-?,但-??[0,2],名师诊断专案突破对点集训决胜高考∴点N不在侧棱CC1上,即在侧棱CC1上不存在点N,使得异面直线AB1 和MN所成的角等于45°.【归纳拓展】利用向量法解答立体几何中的“探索型”问题时,常 把“是否存在”问题,转化为“方程是否有解”或“是否有规定范 围内的解”等问题,这也体现了转化思想与方程思想的应用.如本例 探究点N是否存在的问题,转化为与点N坐标相关的方程是否有解的 问题.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练5????(2012年·福建)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1= AD=1,E为CD中点.(1)求证:B1E⊥AD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的 长,若不存在,说明理由;(3)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)以A为原点,?,?,?的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方
向建立空间直角坐标系(如图),设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1), E(?,1,0),B1(a,0,1),故?=(0,1,1),?=(-?,1,-1),?=(a,0,1),?=(?,1,0).∵?·?=-?×0+1×1+(-1)×1=0,∴B1E⊥AD1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此时?=(0,-1,z0).又设平面B1AE的法向量n=(x,y,z).∵n⊥平面B1AE,∴n⊥?,n⊥?,得?取x=1,得平面B1AE的一
个法向量n=(1,-?,-a).要使DP∥平面B1AE,只要n⊥?,有?-az0=0,解得z0=?.又DP?平面B1AE,∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(3)连接A1D,B1C,由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.又由(1)知B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1,∴AD1⊥平面DCB1A1,∴?是平面A1B1E的一个法向量,此时?=(0,1,
1).设?与n所成的角为θ,则cos θ=?=?.∵二面角A-B1E-A1的大小为30°,名师诊断专案突破对点集训决胜高考∴|cos θ|=cos 30°,即?=?,解得a=2,即AB的长为2.名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点六:翻折问题空间图形的翻折问题是高考命题的亮点之一,它能够较好地考查学 生的空间想象能力、图形变换能力及识图能力.选择题、填空题、 解答题均可出现,尤其解答题为多,属中档难度试题.?????(2012年·北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=
6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到 △A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求证:A1C⊥平面BCDE;(2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】第(1)问判断线面位置关系的问题,易证,且可以充分地利用 垂直条件,建立空间直角坐标系,也为第(2)、(3)问的解答建立了基 础,第(3)问是探索性问题,常转化为方程是否有解的问题.【解析】(1)因为AC⊥BC,DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE ⊥CD.所以DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.又因为A1C⊥CD,所以A1C⊥平面BCDE.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)如图,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系C-xyz,则A1(0,0,2?),D(0,2,0),M(0,1,?),B(3,0,0),E(2,2,0).设平面A1BE的法向量为n=(x,y,z),则n·?=0,n·?=0.又?=(3,0,-2?),?=(-1,2,0),所以? 令y=1,则x=2,z=?.所以n=(2,1,?),名师诊断专案突破对点集训决胜高考设CM与平面A1BE所成的角为θ,因为?=(0,1,?),所以sin θ=|cos??n,???|=|?|=?=?.所以CM与平面A1BE所成角的大小为?.(3)线段BC上不存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直,理由如下:假设这样的点P存在,设其坐标为(p,0,0),其中p∈[0,3].设平面A1DP的法向量为m=(x,y,z),则m·?=0,m·?=0,名师诊断专案突破对点集训决胜高考又?=(0,2,-2?),?=(p,-2,0),所以? 令x=2,则y=p,z=?.所以m=(2,p,?).平面A1DP⊥平面A1BE,当且仅当m·n=0,即4+p+p=0.解得p=-2,与p∈[0,3]矛盾.所以线段BC上不存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清折叠前后的 变化量和不变量,一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往 会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时,要 综合考虑折叠前后的图形.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练6????(2012年河南许昌质检)已知四边形ABCD是等腰梯形, AB=3,DC=1,∠BAD=45°,DE⊥AB(如图1).现将△ADE沿DE折起,使 得AE⊥EB(如图2),连结AC,AB,设M是AB的中点.(1)求证:BC⊥平面AEC;(2)判断直线EM是否平行于平面ACD,并说明理由.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)在图1中,过C作CF⊥EB,垂足为F.∵DE⊥EB,∴四边形CDEF是矩形,∵CD=1,∴EF=1.∵四边形ABCD是等腰梯形,AB=3,∴AE=BF=1.∵∠BAD=45°,∴DE=CF=1.则CE=CB=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考∵EB=2,∴∠BCE=90°,则BC⊥CE.在图2中,∵AE⊥EB,AE⊥ED,EB∩ED=E,∴AE⊥平面BCDE.∵BC?平面BCDE,∴AE⊥BC.∵AE∩CE=E,∴BC⊥平面AEC.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)假设EM∥平面ACD.∵EB∥CD,CD?平面ACD,EB?平面ACD,∴EB∥平面ACD,∵EB∩EM=E,∴平面AEB∥平面ACD.而A∈平面AEB,A∈平面ACD,与平面AEB∥平面ACD矛盾.∴假设不成立,∴EM与平面ACD不平行.名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.一个简单几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图所示,则其俯视图 不可能为:①长方形;②正方形;③圆;④椭圆.其中正确的是?( ????)(A)①②. ????(B)②③.(C)③④. ????(D)①④.? 限时训练卷(一)一、选择题名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】根据画三视图的规则“长对正,高平齐,宽相等”可知,该几 何体的三视图不可能是圆和正方形.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.一长方体木料,沿图1所示平面EFGH截长方体,若AB⊥CD,那么图2 四个图形中是截面的是?( ????)【解析】∵AB、MN两条交线所在平面(侧面)互相平行,故AB、MN 无公共点,又AB、MN在平面EFGH内,故AB∥MN,同理易知AN∥BM, 又AB⊥CD,∴截面必为矩形.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:cm),则该几何体的表 面积为?( ????)(A)12π cm2.(B)15π cm2.(C)24π cm2.(D)36π cm2.【解析】该几何体是底面半径等于3,母线长等于5的圆锥,其表面积 S表=π×3×5+π×32=24π cm2.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半圆,则该几何体的表 面积为?( ????)(A)?π.(B)π+?.(C)?π+?.(D)?π+?.【解析】由三视图可知该几何体为半个圆锥,底面半径为1,高为?,
∴表面积S=?×2×?+?×π×12+?×π×1×2=?+?π.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.用若干个棱长为1的正方体搭成一个几何体,其正(主)视图、侧(左) 视图都是如图的图形,对这个几何体,下列说法正确的是?( ????)(A)这个几何体的体积一定是7.(B)这个几何体的体积一定是10.(C)这个几何体的体积的最小值是6,最大值是10.(D)这个几何体的体积的最小值是5,最大值是11.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】易知其俯视图如图,由其正(主)视图与侧(左)视图知5必为3 块,若“1和9”或“3和7”各有1块,则最小体积为5.最大体积为5有3 块,其余各有1块,共11块,故选D.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体 (使截面平行于底面),所得几何体的表面积为?( ????)(A)7?. ????(B)6?. ????(C)3?. ????(D)9?.【解析】原正四面体的表面积为4×?=9?,每截去一个小正四面
体,表面减小三个小正三角形,增加一个小正三角形,故表面积减少4× 2×?=2?,故所得几何体的表面积为7?.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于?( ????)(A)4. ????(B)6. ????(C)8. ????(D)12.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】几何体底面是两底长为2和4,高为2的直角梯形,四棱锥的 高为2,故V=?×?×(2+4)×2×2=4.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面 的高度h随时间t变化的图象是?( ????)名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】由三视图知该容器是一倒放的圆锥形容器,因其下部体积 较小,匀速注水时,开始水面上升较快,后来水面上升较慢,图象B符合 题意.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ ADE、△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为?
( ????)(A)?.(B)?.(C)?.(D)?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】如图,分别过点A、B作EF的垂线,垂足分别为G、H,连结 DG、CH,容易求得EG=HF=?,AG=GD=BH=HC=?,∴S△AGD=S△BHC=?×?×1=?,∴V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=?×?×?+?×?×?+?×1=?.故选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.已知一几何体的三视图如图,正(主)视图和侧(左)视图都是矩形, 俯视图为正方形,在该几何体上任意选择4个顶点,它们可能是如下 各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是 ????(写出所有正确 结论的编号).二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体;④每个面都是等腰三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.【解析】由该几何体的三视图可知该几何体为底面边长为a,高为b 的长方体,这四个顶点的几何形体若是平行四边形,则一定是矩形.【答案】①③④⑤名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.已知一个圆锥的展开图如图所示,其中扇形的圆心角为120°,底面 圆的半径为1,则该圆锥的体积为 ????.【解析】因为扇形弧长为2π,所以圆锥母线长为3,高为2?,体积V=?
×π×12×2?=?.【答案】? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.半径为2的半球内内接一个底面为正六边形,侧棱长都相等的六 棱锥P-ABCDEF,当六棱锥的体积最大时,六棱锥的侧面积是 ???? ????.【解析】由题意可知,P在圆面上的射影是圆心O.易得PO=2,AO=2, AF=2,PA=2?.∴S△PAF=?AF·?=?,∴六棱锥的侧面积为6?.【答案】6? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.如图,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4.将△CBD沿 BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.三、解答题(1)求证:AB⊥DE;(2)求三棱锥E-ABD的侧面积.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)在△ABD中,∵AB=2,AD=4,∠DAB=60°,∴BD=?=2?.∴AB2+BD2=AD2,∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,AB?平面ABD,∴AB⊥平面EBD.∵DE?平面EBD,∴AB⊥DE.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由(1)知AB⊥BD.∵CD∥AB,∴CD⊥BD,从而DE⊥BD.在Rt△DBE中,∵DB=2?,DE=DC=AB=2,∴S△DBE=?DB·DE=2?.又∵AB⊥平面EBD,BE?平面EBD,∴AB⊥BE.∵BE=BC=AD=4,∴S△ABE=?AB·BE=4.∵DE⊥BD,平面EBD⊥平面ABD,∴ED⊥平面ABD.而AD?平面ABD,∴ED⊥AD,∴S△ADE=?AD·DE=4.综上,三棱锥E-ABD的侧面积S=8+2?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考限时训练卷(二)一、选择题1.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是?( ????)(A)l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3.(B)l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3.(C)l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面.(D)l1,l2,l3共点?l1,l2,l3共面.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】当l1⊥l2,l2⊥l3时,l1也可能与l3相交或异面,故A不正确;l1⊥l2,l2 ∥l3?l1⊥l3,故B正确;当l1∥l2∥l3时,l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三条 侧棱,故C不正确;l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3未必共面,如正方体中从同一顶 点出发的三条棱,故D不正确.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中, 错误的是?( ????)(A)AC⊥BD.(B)AC∥截面PQMN.(C)AC=BD.(D)异面直线PM与BD所成的角为45°.【解析】∵截面PQMN为正方形,∴PQ∥MN,∴PQ∥平面DAC.又∵ 面ABC∩面ADC=AC,PQ?面ABC,∴PQ∥AC,同理可证QM∥BD.故 选项A、B、D正确,C错误.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB中点,PM 垂直于△ABC所在平面,那么?( ????)(A)PA=PB>PC.(B)PA=PB( ????)(A)AC⊥β.(B)AC⊥EF.(C)AC与BD在β内的射影在同一条直线上.(D)AC与α,β所成的角相等.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】AC与α,β所成的角相等,不能推出AC⊥EF,则EF⊥平面 ABCD可能不成立,故选D.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该空间几何 体的体积是?( ????)(A)?.(B)?.(C)14.(D)7.名师诊断专案突破对点集训决胜高考正方形.故其体积V=?×(12+?+22)×2=?.【答案】A【解析】这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台,这 个四棱台的高是2,上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.已知α、β是两个不同的平面,m、n是两条不同的直线,给出下列命 题:①若m⊥α,m?β,则α⊥β.②若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β.③如果m?α,n?α,m、n是异面直线,那么n与α相交.④若α∩β=m,n∥m,且n?α,n?β,则n∥α且n∥β.其中正确命题的个数是?( ????)(A)1个. ????(B)2个. ????(C)3个. ????(D)4个名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】对于①,由定理“如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线,那么这两个平面垂直”得知①正确;对于②,注意到直线m,n可能 是两条平行直线,此时平面α,β可能是相交平面,因此②不正确;对于 ③,满足条件的直线n可能平行于平面α,因此③不正确;对于④,由定 理“如果平面外一条直线平行于平面内一条直线,那么这条直线平 行于这个平面”得知④正确.综上所述,其中正确的命题是①④,选B.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面ABC, PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为 ????.【解析】作CH⊥AB于H,连接PH,∵PC⊥面ABC,∴PH⊥AB,PH为 PM的最小值,且等于2?.【答案】2? 二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内,则这条线 段与这两个平面所成的角的和的范围是 ????.【解析】如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β.作AC⊥l,垂足为C,作BD⊥l,垂足为D,连结BC、AD,则∠BAD、∠ ABC分别为直线AB和平面α、β所成的角.由cos∠ABD=cos∠ABC· cos∠DBC≤cos∠ABC,即∠ABD≥∠ABC,∠ABC+∠BAD≤∠ABD +∠BAD=90°.【答案】(0°,90°]名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.如图,PA⊥☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点,E, F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥ PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正确命题的序号是 ????.名师诊断专案突破对点集训决胜高考PA,CB⊥平面PAC.又AF?平面PAC,∴CB⊥AF.又∵E,F分别是点A在PB,PC上的射影, ∴AF⊥PC,AE⊥PB,∴AF⊥平面PCB,∴AF⊥PB,故①③正确.∵PB ⊥AE,∴PB⊥平面AEF,故②正确.而AF⊥平面PCB,∴AE不可能垂直 于平面PBC,故④错.【答案】①②③【解析】∵PA⊥☉O所在的平面,AB是☉O的直径,∴CB⊥AC,CB⊥名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,E为线段 AD1的中点,F为线段BD1的中点.三、解答题(1)求证:EF∥平面ABCD;(2)设M为线段C1C的中点,当?的比值为多少时,DF⊥平面D1MB?并
说明理由.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)设?=λ(λ>0),AD=a,则DD1=λa,连接MF.若DF⊥平面D1MB,则有DF⊥D1B,DF⊥FM.在Rt△BDD1中,DF=?=?=?.【解析】(1)∵E、F分别是AD1和BD1的中点,∴EF∥AB,又EF?平面ABCD,AB?平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.名师诊断专案突破对点集训决胜高考又F、M分别是BD1,CC1的中点,易证FM=?a,又DM=?=?
a,∴在Rt△DFM中,DF2+FM2=DM2,即?+?a2=?a2,解得λ2=2,∴λ=
?,∴当?=?时,DF⊥平面D1MB.名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.若不同直线l1,l2的方向向量分别为μ,v,则下列直线l1,l2中既不平行也 不垂直的是?( ????)(A)μ=(1,2,-1),v=(0,2,4).(B)μ=(3,0,-1),v=(0,0,2).(C)μ=(0,2,-3),v=(0,-2,3).(D)μ=(1,6,0),v=(0,0,-4).【解析】A项中μ·v=0+4-4=0,∴l1⊥l2;C项中μ=-v,∴μ,v共线,故l1∥l2;D 项中,μ·v=0+0+0=0,∴l1⊥l2.【答案】B限时训练卷(三)一、选择题名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.设A、B、C、D是空间不共面的四个点,且满足?·?=0,?·?=0,
?·?=0,则△BCD的形状是?( ????)(A)钝角三角形. ????(B)直角三角形.(C)锐角三角形. ????(D)无法确定.【解析】?·?=(?-?)·(?-?)=?·?-?·?-?·?+?=?>0,
同理?·?>0,?·?>0,∴△BCD是锐角三角形.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos=-?,则l与α所成的角为?( ????)(A)30°. ????(B)60°. ????(C)120°. ????(D)150°.【解析】∵cos=-?,∴=120°.故线面角θ=120°-90°=30°.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.已知?=(1,5,-2),?=(3,1,z),若?⊥?,?=(x-1,y,-3),且BP⊥平面
ABC,则实数x,y,z分别为?( ????)(A)?,-?,4. ????(B)?,-?,4.(C)?,-2,4. ????(D)4,?,-15.【解析】∵?⊥?,∴?·?=0,即3+5-2z=0,得z=4.又BP⊥平面ABC,∴?⊥?,?⊥?,则?解得? 【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面 ABCD所成的锐二面角的余弦值为?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】如图,以A为原点建立空间直角坐标系,设棱长为1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考则A1(0,0,1),E(1,0,?),D(0,1,0),∴?=(0,1,-1),?=(1,0,-?).设平面A1ED的法向量为n1=(1,y,z),则?∴?∴n1=(1,2,2).∵平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),∴cos=?=?.即所成的锐二面角的余弦值为?.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AB=2,∠BCD=60°,现将其 沿对角线BD折成直二面角A-BD-C(如图),则异面直线AB与CD所成 角的余弦值为?( ????)(A)?. ????(B)?.(C)?. ????(D)?.【解析】?·?=(?+?)·(?+?)=0+0+0-1=-1,而|?|=|?|=2,∴cos=?=-?,故异面直线AB与CD所成角的余弦值为?.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ ABC=90°,点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF与BC1所成的 角是?( ????)(A)45°. ????(B)60°.(C)90°. ????(D)120°.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【答案】B【解析】以B点为坐标原点,以BC、BA、BB1分别为x、y、z轴建立 空间直角坐标系.设AB=BC=AA1=2,则B(0,0,0),C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0, 0,1),∴?=(0,-1,1),?=(2,0,2),∴cos=?=?=?.∴
EF与BC1所成角为60°.名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是 ?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】如图,建立空间直角坐标系,名师诊断专案突破对点集训决胜高考则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),∴?=(2,0,0),?=(2,0,2),?=(2,2,0),设平面A1BD的法向量n=(x,y,z),则? 令x=1,则n=(1,-1,-1),∴点D1到平面A1BD的距离d=?=?=?.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别在A1D、AC上,且A1E=?A1
D,AF=?AC,则?( ????)(A)EF至多与A1D,AC之一垂直.(B)EF⊥A1D,EF⊥AC.(C)EF与BD1相交.(D)EF与BD1异面.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】以D点为坐标原点,以DA、DC、DD1所在直线分别为x、y 、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A (1,0,0),C(0,1,0),E(?,0,?),F(?,?,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),?=(-1,0,-1),?=
(-1,1,0),?=(?,?,-?),?=(-1,-1,1),?=-??,?·?=?·?=0,从而EF
∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考二、填空题10.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC =6,BC=CC1=?,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是 ????.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】将△BCC1沿BC1翻折到面A1C1B上,如图.连结A1C即为CP+PA1的最小值,过点C作CD⊥A1C1于D点,△BCC1为 等腰直角三角形,∴CD=1,C1D=1,A1D=A1C1+C1D=7.名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,AA1⊥平面 ABC,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成的角θ的正弦值为 ????.【解析】不妨设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,建立如图所示空间直 角坐标系,x轴⊥AB,∴A1C=?=?=5?.【答案】5? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考则C(0,0,0),A(,?,-1,0),B1(?,1,2),D(?,-?,2),则?=(?,-?,2),?=(?,1,
2).设平面B1DC的法向量为n=(x,y,1),由?解得n=(-?,1,1).又∵?=(?,-?,-2),∴sin θ=|cos|=?.【答案】? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在线段BD1上,当∠ APC最大时,三棱锥P-ABC的体积为 ????.【解析】如图,以B为坐标原点,BA为x轴,BC为y轴,BB1为z轴建立空间 直角坐标系,名师诊断专案突破对点集训决胜高考设?=λ?(0≤λ≤1),可得P(λ,λ,λ),再由cos∠APC=?可求得当
λ=?时,∠APC最大,故VP-ABC=?×?×1×1×?=?.【答案】? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,其 中BC=2AB=2PA=6,M,N为侧棱PC上的两个三等分点,如图所示.三、解答题(1)求证:AN∥平面MBD;(2)求异面直线AN与PD所成角的余弦值;(3)求二面角M-BD-C的余弦值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)连结AC交BD于点O,连结OM,∵底面ABCD为矩形,∴O为AC的中点.∵M、N为侧棱PC的三等分点,∴CM=MN,∴OM∥AN.∵OM?平面MBD,AN?平面MBD,∴AN∥平面MBD.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)如图所示,以A点为原点,建立空间直角坐标系A—xyz,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,6,0),D(0,6,0),P(0,0,3),M(2,4,1),N(1,2,2),∵?
=(1,2,2),?=(0,6,-3),∴cos=?=?=?,∴异面直线AN与PD所成角的余弦值为?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(3)∵侧棱PA⊥底面ABCD,∴平面BCD的一个法向量为?=(0,0,3),设平面MBD的法向量为m=(x,y,z),∵?=(-3,6,0),?=(-1,4,1),并且m⊥?,m⊥?,∴?令y=1得x=2,z=-2,∴平面MBD的一个法向量为m=(2,1,-2).∴cos=?=-?.由图可知二面角M-BD-C是锐角,∴二面角M-BD-C的余弦值为?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 一、选择题1.若a、b表示互不重合的直线,α、β表示不重合的平面,则a∥α的一 个充分条件是?( ????)(A)α∥β,a∥β. ????(B)α⊥β,a⊥β.(C)a∥b,b∥α. ????(D)α∩β=b,a?α,a∥b.【解析】A,B,C选项中,直线a都有可能在平面α内,不能满足充分性.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.在△ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°(如图所示),若将△ABC绕 BC边所在直线旋转一周,则所形成的旋转体的体积是?( ????)(A)?π. ????(B)?π.(C)?π. ????(D)?π.【解析】如图所示,该旋转体的体积为圆锥CD与圆锥BD的体积之 差,由已知求得BD=1.所以V=V圆锥CD-V圆锥BD=?×π×3×?-?×π×3×1=?π.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.一个体积为12?的三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的侧
(左)视图的面积为?( ????)(A)6?. ????(B)8. ????(C)8?. ????(D)12.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】侧视图的边长2?为俯视图的高,故俯视图边长为4,面积为
4?.∴三棱柱的高为3,故侧(左)视图的面积为2?×3=6?.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若 ?=a,?=b,?=c,则下列向量中与?相等的向量是?( ????)(A)-?a+?b+c. ????(B)?a+?b+c.(C)?a-?b+c. ????(D)-?a-?b+c.【解析】?=?+?=?+??=?+??=?+?(?+?)=?+?
?+??=-?a+?b+c.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图所示, ∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这个平面图形的面积为?( ????)(A)?. ????(B)?.(C)?. ????(D)?.【解析】在原图形中,AB⊥BC,AB=2,BC=1+?,S原四边形ABCD=?×(1+1+
?)×2=2+?.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.已知三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两互相垂直,OC=1,OA=x,OB=y, 若x+y=4,则三棱锥O-ABC体积的最大值是?( ????)(A)1. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】体积为?xy≤?(?)2=?.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,点E、F、H、K分别为AC'、CB'、A'B 、B'C'的中点,G为△ABC的重心.从K、H、G、B'中取一点作为P,使 得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行,则P为?( ????)(A)K.(B)H.(C)G.(D)B'.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】假如平面PEF与侧棱BB'平行,则和三条侧棱都平行,不满足 题意,而FK∥BB',排除A;假如P为B'点,则平面PEF即平面A'B'C,此平 面只与一条棱AB平行,排除D.若P为H点,则HF为△BA'C'的中位线, ∴HF∥A'C';EF为△ABC'的中位线,∴EF∥AB,HE为△AB'C'的中位 线,∴HE∥B'C',显然不合题意,排除B.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.如图,三棱锥S-ABC的侧棱都相等,底面边长也都相等,M、N分别是 棱SC、BC的中点,且MN⊥AM,若侧棱SA=2?,则三棱锥S-ABC外接
球的表面积是?( ????)(A)12π.(B)32π.(C)36π.(D)48π.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】由题意知底面ABC为等边三角形,由于MN⊥AM,MN∥BS, 则BS⊥AM,又根据三棱锥的性质易知BS⊥AC,则BS⊥平面SAC,于是 有∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,SA、SB、SC为三棱锥S-ABC外接球的 内接正方体的三条棱,设球半径为R,则4R2=3SA2=36,球表面积为4πR2 =36π.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.如图所示,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为 点H,则在以下命题中,错误的命题是?( ????)(A)点H是△A1BD的垂心.(B)AH垂直于平面CB1D1.(C)AH的延长线经过点C1.(D)直线AH和BB1所成角为45°.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】A中,△A1BD为等边三角形,所以三心合一.∵AB=AA1=AD, ∴H到△A1BD各顶点的距离相等,即H为垂心,∴A正确.∵CD1∥BA1, CB1∥DA1,CD1∩CB1=C,∴平面CD1B1∥平面A1BD.∴AH⊥平面CB1D 1,∴B正确.连结AC1,则AC1⊥B1D1,∵B1D1∥BD,∴AC1⊥BD,同理AC1 ⊥BA1.∴AC1⊥平面A1BD.∴A、H、C1三点共线,∴C正确.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.已知四棱锥S-ABCD的所有棱长都相等,E是SB的中点,则AE、SD 所成的角的正弦值为?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】建立如图所示空间直角坐标系,名师诊断专案突破对点集训决胜高考令四棱锥的棱长为2,则A(1,-1,0),D(-1,-1,0),S(0,0,?),E(?,?,?),∴?=(-?,?,?),?=(-1,-1,-?),∴cos=?=-?,∴AE、
SD所成的角的正弦值为?.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.如图,啤酒瓶的高为h,瓶内酒面高度为a,若将瓶盖盖好倒置,酒面 高度为a'(a'+b=h),则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为?( ????)(A)1+?且a+b>h. ????(B)1+?且a+bh. ????(D)1+?且a+bSa,即a'>a,∴h=a'+b>a+b,∴?=1+?且a+b(0,3).故图象是(0,3)上的一段抛物线.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1 、C1D1、D1D、DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其 内部运动,则M满足条件 ????时,有MN∥平面B1BDD1.【解析】由题意,HN∥面B1BDD1,FH∥面B1BDD1,∴面NHF∥面B1 BDD1,∴当M在线段HF上运动时,有MN∥面B1BDD1.二、填空题【答案】M∈线段HF名师诊断专案突破对点集训决胜高考14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别是底面A1B1C1D1和侧 面CDD1C1的中心,若?+λ?=0,则λ= ????.【解析】连接A1D、C1D,A1C1,则EF???A1D,故?=??,即λ=-?.【答案】-? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考15.如图,是棱长为1的正方体的表面展开图,在原正方体中,给出下列 三个命题:①点M到AB的距离为?;②三棱锥C—DNE的体积是?;③
AB与EF所成的角是?.其中正确命题的序号是 ????.名师诊断专案突破对点集训决胜高考②正确;AB与EF所成角为AB与MC所成的角,即为?.【答案】①②③【解析】依题意可作出正方体的直观图,显然M到AB的距离为?MC=?,∴①正确;而VC-DNE=?×?×1×1×1=?,∴名师诊断专案突破对点集训决胜高考16.四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱长都相等,O为顶点在 底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC 所成的角的大小是 ????.【解析】如图,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P(0,-?,?),名师诊断专案突破对点集训决胜高考则?=(2a,0,0),?=(-a,-?,?),?=(a,a,0),设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos=?=?=?,∴=60°,∴直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.【答案】30°名师诊断专案突破对点集训决胜高考17.如图1所示,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠ DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=2AB=4.三、解答题(1)根据给出的此四棱锥的正(主)视图(如图2),画出其俯视图和侧 (左)视图;(2)证明:平面PAD⊥平面PCD.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)如图所示,为几何体的侧(左)视图和俯视图.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)∵PA⊥平面ABCD,PA?平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD.又平面PAD∩平面ABCD=AD,CD?平面ABCD,CD⊥AD,∴CD⊥平 面PAD.又CD?平面PCD,∴平面PAD⊥平面PCD.名师诊断专案突破对点集训决胜高考18.一个多面体的直观图,正(主)视图(正前方观察),侧(左)视图(左侧 正前方观察),俯视图(正上方观察),如下图所示.(1)探求AD与平面A1BCC1的位置关系并说明理由;(2)求此多面体的表面积和体积.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】从三视图可得,底面四边形ABCD和侧面四边形A1C1CB是 矩形,可得BC⊥AB,BC⊥BA1,且AB∩BA1=B,BC⊥面ABA1,△A1AB是 正三角形,∴三棱柱是底面为正三角形,侧棱垂直于底面,且各棱长均为a的三 棱柱.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)∵底面四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.又∵BC?面A1BCC1,∴AD∥面A1BCC1.(2)依题意可得,AB=BC=a,∵S底=?×sin 60°×a×a=?a2,∴V=S底×h=?a2×a=?a3,S侧=C×h=3a×a=3a2,S表=S侧+2S底=3a2+2×?a2=(3+?)a2,所以此多面体的表面积和体积分别为(3+?)a2,?a3.名师诊断专案突破对点集训决胜高考19.如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于 点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.(1)证明:EM⊥BF;(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】因为AC是圆O的直径,所以∠ABC=90°.又∠BAC=30°,AC= 4,所以AB=2?,而BM⊥AC,易得AM=3,BM=?.如图,以A为坐标原点,垂直于AC的直线、AC、AE所在的直线为x、 y、z轴建立空间直角坐标系.名师诊断专案突破对点集训决胜高考 由已知条件得A(0,0,0),M(0,3,0),E(0,0,3),B(?,3,0),F(0,4,1),∴?=(0,-3,3),?=(-?,1,1).由?·?=(0,-3,3)·(-?,1,1)=0,得?⊥?,∴EM⊥BF.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由(1)知?=(-?,-3,3),?=(-?,1,1).设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),由n·?=0,n·?=0,得? 令x=?得y=1,z=2,∴n=(?,1,2).由已知EA⊥平面ABC,∴平面ABC的一个法向量为?=(0,0,3).设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为θ,则cos θ=|cos|=?=?,故平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考20.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AB=PA= ?BC(a>0).(1)当a=1时,求证:BD⊥PC;(2)若BC边上有且只有一个点Q,使得PQ⊥QD,求此时二面角A-PD-Q 的余弦值.【解析】(1)当a=1时,底面ABCD为正方形,∴BD⊥AC,又∵BD⊥PA, ∴BD⊥面PAC,又PC?面PAC,∴BD⊥PC.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)∵AB,AD,AP两两垂直,∴分别以它们所在直线为x轴、y轴、轴建 立空间直角坐标系,如图所示:令AB=1,可得BC=a,则B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),P(0,0,1)设BQ=m,则Q(1,m,0)(0≤m≤a),名师诊断专案突破对点集训决胜高考要使PQ⊥QD,只要?·?=-1+m(a-m)=0,即m2-am+1=0,由Δ=a2-4=0?a=2,此时m=1.∴BC边上有且只有一个点Q,使得PQ⊥QD时,Q为BC的中点,且a=2,设平面PQD的法向量p=(x,y,1),则?即? 解得p=(?,?,1),取平面PAD的法向量q=(1,0,0),∴cos=?=?,即二面角A-PD-Q的余弦值为?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值;(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.21.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】设正方体的棱长为1.如图所示,以?,?,?为单位正交基
底建立空间直角坐标系.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)依题意,得B(1,0,0),E(0,1,?),A(0,0,0),D(0,1,0),所以?=(-1,1,?),?=
(0,1,0).在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AD⊥平面ABB1A1,所以?是平面
ABB1A1的一个法向量.设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ,则sin θ=?=?=?.即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为?.(2)在棱C1D1上存在点F,使B1F∥平面A1BE.名师诊断专案突破对点集训决胜高考证明如下:依题意,得A1(0,0,1),?=(-1,0,1),?=(-1,1,?).设n=(x,y,z)是平面A1BE的一个法向量,则由n·?=0,n·?=0,得?所以?取z=2,得n=(2,1,2).设F是棱C1D1上的点,则F(t,1,1)(0≤t≤1),又B1(1,0,1),所以?=(t-1,1,0).令?·n=0,∴(t-1,1,0)·(2,1,2)=0,有2(t-1)+1=0,可解得t=?,∴F为棱C1D1的中点.名师诊断专案突破对点集训决胜高考而B1F?平面A1BE,这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点),使B1F∥ 平面A1BE.名师诊断专案突破对点集训决胜高考22.如图,在四面体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA= OB=OC=1,P为AC的中点.(1)证明:在AB上存在一点Q,使PQ⊥OA,并计算?的值;(2)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(法一)(1)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N,连结NC.又OA⊥OC,∴OA⊥平面ONC,∵NC?平面ONC,∴OA⊥NC.取Q为AN的中点,则PQ∥NC,∴PQ⊥OA.在等腰△AOB中,∠AOB=120°,∴∠OAB=∠OBA=30°.名师诊断专案突破对点集训决胜高考在Rt△AON中,∠OAN=30°,∴ON=?AN=AQ.在△ONB中,∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO,∴NB=ON=AQ,∴?=3.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)连结PN,PO.由OC⊥OA,OC⊥OB知OC⊥平面OAB,又ON?平面OAB,∴OC⊥ ON.又由ON⊥OA知ON⊥平面AOC,∴OP是NP在平面AOC内的射影.名师诊断专案突破对点集训决胜高考在等腰Rt△COA中,P为AC的中点,∴AC⊥OP,∴AC⊥NP.∴∠OPN为二面角O-AC-B的平面角.在等腰Rt△COA中,OC=OA=1,∴OP=?.在Rt△AON中,ON=OAtan 30°=?,∴在Rt△PON中,PN=?=?,名师诊断专案突破对点集训决胜高考∴cos ∠OPN=?=?=?.(法二)(1)取O为坐标原点,分别以OA,OC所在的直线为x轴,z轴,建立 空间直角坐标系O-xyz(如图所示).名师诊断专案突破对点集训决胜高考则A(1,0,0),C(0,0,1),B(-?,?,0).∵P为AC中点,∴P(?,0,?).设?=λ?(λ∈(0,1)),∵?=(-?,?,0),∴?=?+?=(1,0,0)+λ(-?,?,0)=(1-?λ,?λ,0),∴?=?-?=(?-?λ,?λ,-?).∵PQ⊥OA,∴?·?=0,即?-?λ=0,λ=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考所以存在点Q(?,?,0)使得PQ⊥OA且?=3.(2)记平面ABC的法向量为n=(n1,n2,n3),则由n⊥?,n⊥?,且?=(1,0,-
1),得?故可取n=(1,?,1).又平面OAC的法向量为e=(0,1,0).∴cos=?=?=?.二面角O-AC-B的平面角是锐角,记为θ,则cos θ=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考课件207张PPT。QG-理科数学数学数学数学? 决胜高考专案突破名师诊断对点集训? 【考情报告】名师诊断专案突破对点集训决胜高考【考向预测】本专题是高考的一个热点内容,从近三年的高考题来看,对计数原理 、排列组合与概率要求总体中等偏上,对分类加法计数原理、分步 乘法计数原理和排列组合的考查主要是和古典概型结合到一起的 一道小综合题;二项式定理的考查以基本题型为主,主要是课本题目 的变形;几何概型考了一次;互斥、相互独立与独立重复试验一般在 大题中出现,考查基本概念与基本算法;条件概率基本与考纲要求一 样,以了解为主,目前还没有考查.高考对这部分内容,一般考查2道小 题、1道大题,小题多为中、低档题;大题则多为中档题,考查的热点 是统计、概率、随机变量及其分布.特别是概率、随机变量及其分名师诊断专案突破对点集训决胜高考布列几乎是必考题,要引起充分重视.预测2013年会延续这种考情,考 题难度不会再加大,对计数原理(包括排列组合)、二项式定理、概 率及随机变量的分布还会重点考查.要重视对概率意义的理解,重视 概率的实际应用.【知能诊断】名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.(2012临沂二模)二项式(2?-?)6的展开式中的常数项为?( ????)(A)120. (B)-120.(C)160. (D)-160.【解析】展开式的通项为Tr+1=?(2?)6-r(-?)r=(-1)r·26-r???=(-1)r·26
-r?x3-r.令3-r=0,得r=3,所以常数项为T4=(-1)3·23?=-160,选D.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.(2012徐州二质检)箱中有号码分别为1,2,3,4,5的五张卡片,从中一 次随机抽取两张,则两张号码之和为3的倍数的概率为 ????.【解析】抽取2张卡片共有?种取法(不考虑顺序),其中号码和为3的
倍数的有(1,2),(1,5),(2,4),(4,5),所以概率为?=?.【答案】? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.(2012南通、泰州、扬州苏中三市高三第二次调研测试)已知函数f (x)=log2x,在区间[?,2]上随机取一个数x0,则使得f(x0)≥0的概率为????
????.【解析】f(x0)≥0?x0≥1,则1≤x0≤2,所以概率p=?=?.【答案】? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.(2012南京二模)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取200件,对其等级系 数进行统计分析,得到频率f的分布如下:则在所抽取的200件日用品中,等级系数X=1的件数为 ????.【解析】由所有频率之和为1,可知道a=0.1,由频率公式可知所求件 数为20.【答案】20名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.(2012浙江慈溪模拟)现安排甲、乙等5名同学去参加3个运动项目, 要求每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求且 甲、乙两人不参加同一个项目的安排方法种数为?( ????)(A)114. ????(B)162.(C)108. ????(D)132.【解析】5个人分别参加三个项目有两种可能:1人+1人+3人;2人+2 人+1人.当按1人+1人+3人参加时,可按以下方式分类考虑:(ⅰ)甲、乙都参加只有一人的项目,则有?=6种情况;名师诊断专案突破对点集训决胜高考(ⅱ)甲、乙中参加项目有一个只有一人的,则有2·??=36种.当按2人+2人+1人参加时,可按以下方式分类考虑:(ⅰ)甲、乙中参加项目有一个只有一人的,则有2·??=36种;(ⅱ)甲、乙都是参加项目有两人的,则有???=36种.将上面所有情况相加即得答案.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.(2012济南5月模拟)将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中, 要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图 中的位置时,填写空格的方法数为?( ????)(A)6种. ????(B)12种.(C)18种. ????(D)24种.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】根据数的大小关系可知,1,2,9的位置是固定的,则剩余5,6,7, 8四个数字,选两个数字放C、B处即可,有?种排法,选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.(2012年·新课标全国)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若 干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫 瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需 求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分 布列、数学期望及方差;②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是1 7枝?请说明理由.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)当日需求量n≥16时,利润y=80,当日需求量n<16时,利润y=10n-80.所以y关于n的函数解析式为y=?(n∈N).(2)①X可能的取值为60,70,80,并且有P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.名师诊断专案突破对点集训决胜高考X的分布列为 ????X的数学期望为EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.X的方差为DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.②答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花,理由如下:名师诊断专案突破对点集训决胜高考若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分 布列为 ????Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.Y的方差为名师诊断专案突破对点集训决胜高考DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=1 12.04.由以上的计算结果可以看出,DX、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工 作,则选派方案共有?( ????)(A)280种. ????(B)240种.(C)180种. ????(D)96种.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2) 数学研究性学习小组共有13名同学,其中男同学8名,女同学5名. 从这13人里选出3人准备作报告.在选出的3人中,至少要有1名女同 学, 则不同选法种数为 ????种.(以数字作答)(3)12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口 4人,则不同的分配方案共有?( ????)(A)???种. ????(B)3???种. (C)???种. ????(D)?种.名师诊断专案突破对点集训决胜高考人从事翻译工作的情况数目,进而由事件间的关系,计算可得答案.【分析】(1)根据题意,使用排除法.首先计算从6名志愿者中选出4人 分别从事四项不同工作的情况数目,再分析计算其包含的甲、乙两(2)“至少要有1名女同学”可以理解为:选出的3人中有1名女同学 、2名男同学;2名女同学、1名男同学;3名全是女同学.这样就可直接 按分类加法计数原理解答题目.(3)首先把12个人平均分成3组,这是一个平均分组,从12个中选4个, 从8个中选4个,最后余下4个,这些数相乘再除以3个元素的全排列,再 把这三个小组作为三个元素分到三个路口,这样就有一个全排列,根 据分步计数原理得到结果.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)根据题意,由排列可得,从6名志愿者中选出4人分别从事 四项不同工作,有?=360种不同的情况,其中包含甲从事翻译工作有
?=60种,乙从事翻译工作的有?=60种.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,则选派方案共有360 -60-60=240种.故选B.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)解法1(直接法):选1名女同学,2名男同学,有??种选法;选2名女同
学,1名男同学,有??种选法;选3名女同学,男同学不选,有?种选法.
综上,根据分类计数原理知,选法共有: ??+??+?=230(种).解法2(间接法):如果没有限制条件,则有?种选法,而不符合条件,即
选出的全是男同学的选法是?种.因此,至少要有1名女同学的不同选
法有: ?-?=230(种).(3) 首先把12个人平均分成3组,共有?个结果,再把这三个小
组作为三个元素分到三个路口,这样就有一个全排列,共有?种结果,
根据分步乘法计数原理知共有?·?=?·?·?,故选A.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【答案】(1)B????(2)230????(3)A【归纳拓展】对于排列、组合的综合题目,一般是将符合要求的元 素取出或进行分组,再对取出的元素或分好的组进行排列,即一般策 略为先组合后排列.分组时,要注意“平均分组”与“不平均分组” 的差异及分类的标准.排列组合的综合问题从解法看,大致有以下几 种:(1)有附加条件的排列组合问题,大多需要用分类讨论的方法,注 意分类时应不重不漏;(2)排列与组合的混合型问题,用分类加法或分 步乘法计数原理解决;(3)元素相邻,可以看做是一个整体的方法;(4) 元素不相邻,可以利用插空法;(5)间接法,把不符合条件的排列与组 合剔除掉;(6)穷举法,把不符合条件的所有排列或组合一一写出来.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)“16字方针”是解排列组合题的基本规律,即:有序排列、无序组 合;分类为加、分步为乘.(2)“12个技巧”是速解排列组合题的捷径.即:①相邻问题捆绑法; ②不相邻问题插空法;③多排问题单排法; ④定序问题倍缩法;⑤定位问题优先法; ⑥有序分配问题分步法;⑦多元问题分类法; ⑧交叉问题集合法;⑨至少(至多)问题间接法; ⑩选排问题先取后排法;【附注】解排列组合题的“16字方针,12个技巧”:?局部与整体问题排除法;?????复杂问题转化法.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练1????(1) 计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画 、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水 彩画不放在两端,那么不同的陈列方式有?( ????)(A)??种. ????(B)???种.(C)???种. ????(D)???种.(2)一条长椅上有9个座位,3个人坐,若相邻2人之间至少有2个空椅 子,共有 ????种不同的坐法.(3)一条长椅上有7个座位,4个人坐,要求3个空位中,恰有2个空位相 邻,共有 ????种不同的坐法.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)先各看成整体,但水彩画不在两端,则为?,然后水彩画
与国画各全排列,所以共有???种陈列方式.(2)先将3人(用×表示)与4张空椅子(用□表示)排列如图(×□□×□□ ×),这时共占据了7张椅子,还有2张空椅子,一是分开插入,如图中箭 头所示(↓×□↓□×□↓□×↓),从4个空当中选2个插入,有?种插
法;二是2张同时插入,有?种插法,再考虑3人可交换,有?种方法,所
以,共有?(?+?)=60(种).(3)可先让4人坐在4个位置上,有?种排法,再让2个“元素”(一个是
两个作为一个整体的空位,另一个是单独的空位)插入4个人形成的5 个“空当”之间,有?种插法,所以所求的坐法数为?·?=480.【答案】(1)D????(2)60????(3)480名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点二:求二项展开式的通项、指定项二项式定理是一个恒等式.求二项展开式中某指定项的系数、二项 式系数或指定项问题,是二项式定理的常考问题,通常用通项公式来 解决.在应用通项公式时,要注意以下几点:(1)它表示二项展开式的任意项,只要n与r确定,该项就随之确定;(2)Tr+1是展开式中的第r+1项,而不是第r项;(3)公式中a,b的指数和为n且a,b不能随便颠倒位置;(4)要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题;(5)对二项式(a-b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 设f(x)=(1+x)m+(1+x)n展开式中x的系数是19(m,n∈N*).(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值;(2)当f(x)展开式中x2的系数取最小值时,求f(x)展开式中x7的系数.【分析】求二项展开式中指定项,关键是研究通项公式,结合通项,找 出指数的组成规律,确定项的组成规律.【解析】f(x)=(1+x)m+(1+x)n展开式中x的系数是19.即?+?=19,∴m+n=19.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)f(x)展开式中x2的系数为:?+?=?+?=?+? =n2-19n+171=(n-?)2+?.又∵n∈N*,∴当n=9或n=10时,?+?的最小值为(?)2+?=?=81,∴x2
的系数的最小值为81.(2)由(1)知当n=9,m=10或n=10,m=9时,x2的系数最小,此时x7的系数为 ?+?=?+?=156.名师诊断专案突破对点集训决胜高考开式中项的系数与其二项式系数.【归纳拓展】对二项展开式的通项公式要灵活应用,以及能区分展名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练2????(1+x+x2)(x-?)6的展开式中的常数项为 ????.【解析】(1+x+x2)(x-?)6 =(1+x+x2)[?x6(-?)0+?x5(-?)1+?x4·(-?)2+?x3(-?)3+?x2(-?)4+?x(-?)5+?
x0(-?)6]=(1+x+x2)(x6-6x4+15x2-20+?-?+?),所以常数项为1×(-20)+x2·?=-5.【答案】-5名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点三:二项式定理中的“赋值”问题二项式中项的系数和、差可以通过对二项展开式两端字母的赋值 进行解决,如(1+x)n展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各 项系数的和,只要令x=1即得,而(1-x)n的展开式中各项系数的绝对值 的和,只要把x前面的系数-1变为+1,令x=1得到,也可以不改变系数-1, 直接令x=-1得到,这样就不难类比得到(1+ax)n展开式中各项系数绝 对值的和为(1+|a|)n.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)展开式中二项式系数之和;(2)展开式中各项系数之和;(3) |a0|+|a1|+|a2|+…+|a200|;(4)展开式中所有偶数项系数之和;(5)展开式中所有奇数项系数之和.【分析】展开式的二项式系数和为2n;求展开式的系数和:奇数项(或 偶数项)系数和一般用赋值法;系数的绝对值之和只要将二项式中的 所有系数改写成正数之后再用赋值法即可解决.? 设(4x-1)200=a0+a1x+a2x2+…+a200x200,求:名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)展开式中二项式系数之和为?+?+?+…+?=2200.(2)展开式中各项系数之和为f(1)=3200.(3) |a0|+|a1|+|a2|+…+|a200|=f(-1)=5200.(4) a1+a3+…+a199=?=?.(5) a0+a2+…+a200=?=?.【归纳拓展】在二项式定理的应用中,“赋值法”是一种重要方法, 是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法.赋值法的模式 是:对任意的x∈A,某式子恒成立,那么对A中的特殊值,该式子一定成 立.特殊值x如何选取视具体问题而定,没有一成不变的规律,它的灵【解析】令f(x)=(4x-1)200,则活性较强,一般取x=0,1,-1较多.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练3????(1)(x+?)(2x-?)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开
式中常数项为 ????.(2)若(1-2x)2011=a0+a1x+…+a2011x2011(x∈R),则?+ ?+…+?的值为????
????.【解析】(1)令x=1得(1+a)(2-1)5=1+a=2,所以a=1.因此(x+?)(2x-?)5展开式中的常数项即为(2x-?)5展开式中?的系数与x的系数的和.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2x-?)5展开式的通项为Tr+1=?(2x)5-r·(-1)r·x-r=?25-rx5-2r·(-1)r.令5-2r=1,得2r=4,即r=2,因此(2x-?)5展开式中x的系数为?25-2(-1)2=80.
令5-2r=-1,得2r=6,即r=3,因此(2x-?)5展开式中?的系数为?25-3·(-1)3=-40.∴(x+?)(2x-?)5展开式中的常数项为80-40=40.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)∵(1-2x)2011=a0+a1x+…+a2011x2011(x∈R),∴令x=0,则a0=1,令x=?,则?=a0+?+?+…+?=0,其中a0=1,∴?+?+…+?=-1.【答案】(1)40????(2)-1名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应的频率,各小长 方形的面积的和为1.(2)众数、中位数及平均数的异同:众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是 最重要的量.(3)当总体的个体数较少时,可直接分析总体取值的频率分布规律而 得到总体分布;当总体容量很大时,通常从总体中抽取一个样本,分析 它的频率分布,以此估计总体分布.热点四:频率分布直方图或频率分布表问题名师诊断专案突破对点集训决胜高考①总体期望的估计,计算样本平均值?=??xi.②总体方差(标准差)的估计:方差=??(xi-?)2,标准差=?,方差(标准差)较小者较稳定.名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 为普及校园安全知识,某校举行了由全部学生参加的校
园安全知识考试,从中抽出60名学生,将其成绩分成六段[40,50),[50,6 0),…,[90,100)后,画出如图所示的频率分布直方图.观察图形的信息, 回答下列问题:估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)为 ???? ????;平均分为 ????.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】用样本中及格的频率估计总体的及格率,以样本的平均数 估计总体的平均数,即以各组的中点值乘以各组的频率之和估计总 体的平均数.【解析】及格的各组的频率是(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75, 即及格率约为75%;样本的均值为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+ 85×0.25+95×0.05=71,以这个分数估计总体的分数即得总体的平均 分数约为71.【答案】75%????71名师诊断专案突破对点集训决胜高考用样本在各个小组的频率估计总体在相应区间内的频率,用样本的 均值估计总体的均值,根据频率分布表估计样本均值的方法是取各 个小组的中点值乘以各个小组的频率之和进行的.【归纳拓展】用样本估计总体时,如果已知频率分布直方图,那么就名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练4 某工厂对一批产品进行了抽样检测,右图是根据抽样检 测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净 重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102, 104),[104,106].已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本 中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 ????.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)×2=0.300,已知 样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n,则?=0.300,
所以n=120,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0. 100+0.150+0.125)×2=0.750,所以样本中净重大于或等于98克并且小 于104克的产品的个数是120×0.750=90.【答案】90名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点五:茎叶图及数字特征? 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身
高(单位: cm),获得身高数据的茎叶图如图所示.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差;(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学, 求身高176 cm的同学被抽中的概率.【分析】根据茎叶图读出各数据,然后根据公式计算平均值和方差.【解析】(1)由茎叶图可知:甲班身高集中于160~179之间,而乙班身 高集中于170~180之间,因此乙班平均身高高于甲班.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)?=?=170.甲班的样本方差s2=?[(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+(168-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57.2.(3)设身高为176 cm的同学被抽中的事件为A,从乙班10名同学中抽 中两名身高不低于173 cm的同学有?个基本事件,而事件A含有?个
基本事件,∴P(A)=?=?.【归纳拓展】(1)本题考查了茎叶图的识图问题和平均数的计算,其 中从茎叶图中读出数据是关键,为此,首先要弄清“茎”和“叶”分别代表什么.(2)要熟练掌握众数、中位数、平均数、方差、标准差的计算方法.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练5 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培 训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:甲:82????81????79????78????95????88????93????84乙:92????95????80????75????83????80????90????85(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩的中位数;(2)现要从中选派出成绩最稳定的一人参加数学竞赛,从平均成绩和 方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加合适?请说明理由.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)茎叶图如下:学生乙成绩的中位数为?=84.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)派甲参加比较合适,理由如下:?=?(70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3)=85;?=?(70×1+80×4+90×3+5+3+5+2+5)=85;?=?[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2+
(95-85)2]=35.5;?=?[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+
(95-85)2]=41.∴?=?,?人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采 用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区 间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的 人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为?( ????)(A)7. ????(B)9. ????(C)10. ????(D)15.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)某地有居民100000户,其中普通家庭99000户,高收入家庭1000户. 从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户,从高收入家庭中以简 单随机抽样方式抽取100户进行调查,发现共有120户家庭拥有3套或 3套以上住房,其中普通家庭50户,高收入家庭70户.依据这些数据并 结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭 所占比例的合理估计是 ????.【分析】(1)由系统抽样的特点可得抽到的号码构成以9为首项、以 30为公差的等差数列,求得此等差数列的通项公式为an=9+30(n-1)=3 0n-21,由451≤30n-21≤750 求得正整数n的个数,即为所求;名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)为分层抽样问题,首先根据拥有3套或3套以上住房的家庭所占的 比例,得出100000户居民中拥有3套或3套以上住房的户数,它除以10 0000得到的值为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合 理估计.【解析】(1)由题意可知抽到的编号为9,39,69,…,构成了首项为9,公 差为30的等差数列,其通项公式为an=9+(n-1)×30=30n-21;故做问卷B 的编号满足451≤30n-21≤750,可知16≤n≤25,故人数为10.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2) 该地拥有3套或3套以上住房的家庭估计有:99000×?+1000×?
=5700户,所以所占比例的合理估计是5700÷100000=5.7%.【答案】(1)C????(2) 5.7%名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)各种抽样都是等概率抽样,往往是解题的突破口.【归纳拓展】(1)解决此类题目要深刻理解各种抽样方法的特点和 适用范围.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练6????(1)(2012温州模拟)某工厂生产A、B、C三种不同型号 的产品,产品数量之比为3∶4∶7.现在用分层抽样的方法抽出容量 为n的样本,样本中A型号产品有15件,那么样本容量n为?( ????)(A)50. ????(B)60.(C)70. ????(D)80.(2)(2012济南模拟)为规范学校办学,省教育厅督察组对某所高中进 行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号, 用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号 同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是?( ????)(A)13. ????(B)19.(C)20. ????(D)51.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)由分层抽样的方法得?×n=15,解得n=70.(2)由系统抽样的原理知抽样的间隔为?=13,故抽取的样本的编号
分别为7、7+13、7+13×2、7+13×3,从而可知选C.【答案】(1)C????(2)C名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点七:相互独立事件和独立重复试验在概率中,事件之间有两种最基本的关系,一种是事件之间的互斥(含 两个事件之间的对立),一种是事件之间的相互独立.互斥事件至少有 一个发生的概率等于各个事件发生的概率之和,相互独立事件同时 发生的概率等于各个事件各自发生的概率之积,在概率计算中正确 地把随机事件进行分拆是正确解决问题的根本所在.把随机事件分拆成若干个互斥事件的和、把随机事件分拆成若干 个相互独立事件的乘积是比较单纯的,在概率计算中一个极为重要 的技巧就是把一个随机事件首先分拆成若干个互斥事件的和,再把 其中的每个小事件分拆成若干个相互独立事件的乘积,在这个过程中还可以根据对立事件的关系进行转化,这是概率计算的关键技巧.名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是?和?.
假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;每人各次射击是否 击中目标,相互之间也没有影响. (1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率;(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的 概率;(3)假设某人连续2次未击中目标,则终止其射击,求乙恰好射击5次后 被终止射击的概率是多少.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】 第(1)问先求其对立事件的概率;第(2)问利用相互独立事件和独立重复试验的概率公式;第(3)问中,乙恰好射击5次被终止,可分为前3次击中后两次未击中和 前2次有一次未击中,第3次击中,后两次未击中两种情况.【解析】(1)甲至少一次未击中目标的概率是P1=P4(1)+P4(2)+P4(3)+ P4(4)=1-P4(0)=1-(?)4=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)甲射击4次恰好击中2次的概率为P2=?(?)2(?)2=?,乙射击4次恰好击中3次的概率为P3=?(?)3×?=?.由乘法公式,所求概率P=P2P3=?×?=?.(3)乙恰好5次停止射击,则最后两次未击中,前三次或都击中或第一 与第二次恰有一次击中,第三次必击中,故所求概率为P=??+?
??=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】(1)注意区分互斥事件和相互独立事件.互斥事件是在 同一试验中不可能同时发生的情况;相互独立事件是指几个事件的 发生与否互不影响,当然可以同时发生.在解含有相互独立事件的概 率题时,首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和,其次将 分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积,这两个事情 做好了,问题的思路就清晰了,接下来就是按照相关的概率值进行计 算的问题了.如果某些相互独立事件符合独立重复试验,就把这部分 归结为用独立重复试验,用独立重复试验的概率计算公式解答.(2)一个事件若正面情况比较多,反面情况较少,则一般利用对立事件 进行求解.对于“至少”,“至多”等问题往往用这种方法求解.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练7 某厂生产的A产品按每盒10件进行包装,每盒产品均需 检验合格后方可出厂.质检办法规定:从每盒10件A产品中任抽4件进 行检验,若次品数不超过1件,就认为该盒产品合格;否则,就认为该盒 产品不合格.已知某盒A产品中有2件次品.求:(1)该盒产品被检验合格的概率;(2)若对该盒产品分别进行两次检验,则两次检验得出的结果不一致 的概率.【解析】(1)从该盒10件产品中任抽4件,有等可能的结果数为?种,
其中次品数不超过1件的有?+??种,被检验认为是合格的概率为
?=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)两次检验是相互独立的,可视为独立重复试验.因两次检验得出该 盒产品合格的概率均为?,故“两次检验得出的结果不一致”即两
次检验中恰有一次是合格的概率为?·??=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点八:随机变量的概率分布、均值和方差1.处理有关离散型随机变量的应用问题,关键在于根据实际问题确 定恰当的随机变量,并明确随机变量所有可能的取值.2.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各 个值的概率之和.3.注意应用“概率之和为1”这一性质检验解答是否正确.名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 甲、乙两名教师进行乒乓球比赛,采用七局四胜制(先
胜四局者获胜).若每一局比赛甲获胜的概率为?,乙获胜的概率为?,
现已赛完两局,乙暂时以2∶0领先.(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;(2)设比赛结束时比赛的局数为随机变量X,求随机变量X的概率分布 和数学期望E(X).【分析】 (1)甲获得这次比赛胜利情况有二:一是比赛六局结束,甲 连续赢了四局;一是比赛了七局,甲在后五局中赢了四局,且最后一局 是甲赢,分别计算出这两个事件的概率,求其和.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)设比赛结束时比赛的局数为X,则X的可能取值为4,5,6,7,当X=4时, 乙获得比赛胜利;当X=5时,乙也获得比赛胜利,甲只在第3,4局胜一 局;当X=6时,甲和乙都有可能胜利,包括甲第3、4、5、6局都胜,或是 乙在第3、4、5局胜一局,第6局一定胜;当X=7时,甲、乙都可能胜利, 乙在第3、4、5、6局胜一局,第7局有输赢两种可能.【解析】(1)设甲获胜为事件A,则甲获胜包括甲以4∶2获胜和甲以4 ∶3获胜两种情况.设甲以4∶2获胜为事件A1,则P(A1)=?=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考设甲以4∶3获胜为事件A2,则P(A2)=?×?×?×?=?,P(A)=P(A1)+P(A2)=?+?=?.(2)随机变量X可能的取值为4,5,6,7,P(X=4)=?=?.P(X=5)=?×?×?×?=?.P(X=6)=?×?×?×?+?=?+?=?.P(X=7)=?×?×?=?.X的概率分布为:名师诊断专案突破对点集训决胜高考 ????E(X)=4×?+5×?+6×?+7×?=?.【归纳拓展】(1)求离散型随机变量的概率分布的关键是正确理解 随机变量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应用各类求概率 的公式,求出概率.(2)求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变量的概率分 布,若随机变量服从二项分布,则可直接使用公式求解.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练8 某校组织的一次篮球定点投篮比赛中,两人一对一比赛 规则如下:若某人某次投篮命中,则由他继续投篮,否则由对方接替投 篮.现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛,甲和乙每次投篮命中的概 率分别是?,?.两人共投篮3次,且第一次由甲开始投篮,假设每人每次
投篮命中与否均互不影响.(1)求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率;(2)若投篮命中一次得1分,否则得0分,用X表示甲的总得分,求X的概 率分布和数学期望.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件A,由题意,得P(A)=?×?=?.∴3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由题意X的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=?×?+?×?×?=?,P(X=1)=?×?×?+?×?=?,P(X=2)=?×?×?=?,P(X=3)=?×?×?=?.所以X的概率分布为名师诊断专案突破对点集训决胜高考 ????E(X)=0×?+1×?+2×?+3×?=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点九:统计案例本部分主要包括回归方程的求法和独立性检验,同学们在平时学习 中对这部分往往不够重视,事实上,特别是近几年这两个考点在各地 高考中常以大题的形式出现,因此同学们应根据新课标的要求对它 们很好地掌握.对于回归直线,要会根据最小二乘法求其方程,这里关 键是考查同学们的数据处理能力和计算能力.独立性检验问题,要理 解其基本思想,根据给定的数据能够得到其2×2列联表,然后利用K2 进行独立性检验.名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到
如下丢失数据的列联表:药物效果试验列联表 设从没服用药的动物中任取两只,未患病数为X;从服用药物的动物中任取两只,未患病数为Y,工作人员曾计算过P(X=0)=?P(Y=0).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求出列联表中数据x,y,M,N的值;(2)求X与Y的均值(期望)并比较大小,请解释所得结论的实际含义;(3)能够以99%的把握认为药物有效吗?公式参考数据:K2=? ①当K2>3.841时有95%的把握认为X、Y有关联;②当K2>6.635时有99%的把握认为X、Y有关联.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】 (1)从已知P(X=0)=?P(Y=0)出发,结合2×2列联表可求.(2)
求出X、Y的分布列,再求得E(X)和E(Y)即可.(3)利用公式算出K2,结 合参考数据可以判断.【解析】(1)∵P(X=0)=?,P(Y=0)=?,∴?=?×?, ∴x=10,∴y=40,∴M=30,N=70.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)X取值为0,1,2, P(X=0)=?=?, P(X=1)=?=?, P(X=2)=?=?, ∴E(X)=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考 P(Y=0)=?=?, P(Y=1)=?=?,P(Y=2)=?=?, ∴E(Y)=? .∵E(X)3.841时有95%的把握认为X、Y有关联;②当K2>6.635时有99%的把握认为X、Y有关联.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)依题意用分层抽样法计算得甲校应抽取110人,乙校应 抽取90人,故x=10,y=15,估计甲校平均分为?≈75,乙校平均分为?≈71,名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)列联表如下: ????K2=?≈4.714.又因为4.714<6.635,故不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认 为 “两个学校的数学成绩有差异”.名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 限时训练卷(一)一、选择题1.5名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报 名方法的种数是?( ????)(A)35. ????(B)53. ????(C)?. ????(D)?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】第n名应届毕业生报考的方法有3种(n=1,2,3,4,5),根据分步 计数原理不同的报名方法共有3×3×3×3×3=35(种).【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.(2012山东实验中学一模)二项式(x2+?)10的展开式中的常数项是
?( ????)(A)第10项. ????(B)第9项.(C)第8项. ????(D)第7项.【解析】展开式的通项公式Tr+1=2r??,令20-?r=0,得r=8,展开式中
常数项是第9项,故选B.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.(2012浙江镇海中学)若(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|+|a1|+ |a2|+|a3|+|a4|+|a5|等于?( ????)(A)1024. ????(B)243. ????(C)32. ????(D)24.【解析】分析式子易得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5.故令x=-1即可得答案.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.(2012台州一模)用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数中,相邻 两位数字的奇偶性都不同的有?( ????)(A)24个. ????(B)36个. ????(C)60个. ????(D)72个.【解析】个位数为偶数,则有?·?=36个;个位数为奇数,则有?·?·?=24个.共有60个.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.(2012惠州二模)若(ax-1)5的展开式中x3的系数是80,则实数a的值为 ?( ????)(A)-2. ????(B)2?. ????(C)?. ????(D)2.【解析】(ax-1)5的展开式中含x3的项为?(ax)3·(-1)2=10a3x3,由题意得1
0a3=80,所以a=2.选D.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.(2012嘉兴二模)有6个人站成前后两排,每排3人,若甲、乙两人左 右、前后均不相邻,则不同的站法种数为?( ????)(A)240. ????(B)384. ????(C)480. ????(D)768.【解析】以甲为特殊元素分类考虑:甲在1位置时,乙可在3、5、6位置,则有3?=72种;甲在2位置时,乙可在4、6位置,则有2?=48种;名师诊断专案突破对点集训决胜高考甲在3位置时,乙可在1、4、5位置,则有3?=72种;甲在4、5、6位置时,与以上三种相似,则有3?+2?+3?=192种.故共有2×(3?+2?+3?)=384种.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.(2012威海二模)设(x-?)6的展开式中x3的系数为A,二项式系数为B,
则A∶B等于?( ????)(A)4. ????(B) -4. ????(C)26. ????(D)-26.【解析】Tk+1=?x6-k(-?)k=??(-2)k,令6-?=3,即k=2,所以T3=?x3(-2)2
=60x3,所以x3的系数为A=60,二项式系数为B=?=15,所以A∶B=60∶1
5=4,选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.(2x-?)5的展开式中不含x-3的项的系数和为?( ????)(A)1. ????(B)10. ????(C)9. ????(D)-9.【解析】令x=1,则(2-?)5=1,∴各项系数和为1.展开式通项为Tr+1=?(2x)5-r(-?)r=(-1)r·25-r·?x5-2r,当r=4时,T5=10·x-3.∴不
含x-3的项的系数和为1-10=-9.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.现有高三(1)班参加校文艺演出的3男3女共6位同学,从左至右站成 一排合影留念,要求3位女生有且只有两个相邻,则不同的排法有?
( ????)(A)280种. ????(B)360种.(C)432种. ????(D)480种.【解析】先将3位女生分成2组,再将3个男生排成一排,用插空法将2 组女生排入男生当中去,共有????=432种排法.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.在?的二项展开式中,x2的系数为 ????.【解析】该二项展开式的通项为Tr+1=??·?=(-1)r?·?·x3
-r.令3-r=2,得r=1,∴x2的系数为-6×?=-?.【答案】-? 二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.为了应对金融危机,某公司决定从10名办公室工作人员中裁去4 人,要求甲、乙两人不能全部裁去,则不同的裁员方案的种数为 ???? ????.【解析】甲、乙中裁一人的方案有??种,甲、乙都不裁的方案有?
种,故不同的裁员方案共有??+?=182种.【答案】182名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.(2012北京西城区一模)有限集合P中元素的个数记作card(P).已知 card(M)=10,A?M,B?M,A∩B=?,且card(A)=2,card(B)=3.若集合X满 足A?X?M,则集合X的个数是 ????;若集合Y满足Y?M,且A ?Y,B?Y,则集合Y的个数是 ????.(用数字作答)【解析】显然card(M)=10表示集合M中有10个元素,card(A)=2表示 集合A中有2个元素,而A?X?M,故集合X中可以只含A中的2个元素, 也可以除了A中的2个元素外,在剩下的8个元素中任取1个,2个,3个, …,8个,共有?+?+…+?+?=256种情况,即符合要求所求的集合X有
256个.满足条件Y?M的集合Y的个数为210,其中不满足条件A?Y的 集合Y的个数为28,不满足条件B?Y的集合Y的个数为27,同时满足A名师诊断专案突破对点集训决胜高考?Y,B?Y的集合Y的个数为25,故满足条件的集合Y的个数是210-28-27 +25=672.【答案】256????672名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.(2012南京、盐城三模)已知数列{an}的首项为1,p(x)=a1?(1-x)n+a2
?x(1-x)n-1+a3?x2(1-x)n-2+…+an?xn-1(1-x)+an+1?xn.三、解答题(1)若数列?是公比为2的等比数列,求p(-1)的值;(2)若数列?是公差为2的等差数列,求证:p(x)是关于x的一次多项
式.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)方法一:由题设知,an=2n-1.p(-1)=1·?(-1)0·2n+2·?(-1)1·2n-1+22·?(-1)2·2n-2+…+2n·?(-1)n·20 =?(-2)0·2n+?(-2)1·2n-1+?(-2)2·2n-2+…+?(-2)n·20 =(-2+2)n =0.名师诊断专案突破对点集训决胜高考方法二:若数列{an}是公比为2的等比数列,则an=2n-1,故p(x)=?(1-x)n+
?(2x)(1-x)n-1+?(2x)2·(1-x)n-2+…+?(2x)n-1(1-x)+?(2x)n =[(1-x)+2x]n=(1+x)n.所以p(-1)=0.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)若数列{an}是公差为2的等差数列,则an=2n-1.p(x)=a1?(1-x)n+a2?x(1-x)n-1+…+an?xn-1(1-x)+an+1?xn =?(1-x)n+(1+2)?x(1-x)n-1+…+(1+2n)?xn =[?(1-x)n+?x(1-x)n-1+?x2(1-x)n-2+…+?xn]+2[?x(1-x)n-1+2?x2(1-x)n-2+…
+n?xn].由二项式定理知,?(1-x)n+?x(1-x)n-1+?x2·(1-x)n-2+…+?xn=[(1-x)+x]n=
1.因为k?=k·?=n·?=n?,名师诊断专案突破对点集训决胜高考所以?x(1-x)n-1+2?x2(1-x)n-2+…+n?xn =nx[?(1-x)n-1+?x(1-x)n-2+…+?xn-1]=nx[(1-x)+x]n-1=nx,所以p(x)=1+2nx.即p(x)是关于x的一次多项式.名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.为了了解某地区10000名高三男生的身体发育情况,抽查了该地区 100名年龄为17~18岁的高三男生体重(kg),得到频率分布直方图如 图.根据图示,请你估计该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生 人数是?( ????)限时训练卷(二)一、选择题(A)40. ????(B)400. ????(C)4000. ????(D)4400.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】依题意得,该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生人数 是10000×(0.03+2×0.05+0.07)×2=4000.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度,其茎叶图如图.根 据茎叶图,下列描述正确的是?( ????)(A)甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,且甲种树苗比乙 种树苗长得整齐.(B)甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,但乙种树苗比甲 种树苗长得整齐.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(C)乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,且乙种树苗比甲 种树苗长得整齐.(D)乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,但甲种树苗比乙 种树苗长得整齐.【解析】根据茎叶图计算得甲种树苗的平均高度为27,而乙种树苗 的平均高度为30,但乙种树苗的高度分布不如甲种树苗的高度分布 集中.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.某学校为调查高三年级的240名学生完成课后作业所需时间,采取 了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机抽取24名同学 进行调查;第二种由教务处对高三年级的学生进行编号,从001到240, 抽取学号最后一位为3的同学进行调查,则这两种抽样方法依次为?
( ????)(A)分层抽样,简单随机抽样.(B)简单随机抽样,分层抽样.(C)分层抽样,系统抽样.(D)简单随机抽样,系统抽样.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】结合简单随机抽样、系统抽样与分层抽样的定义可知D项 正确.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次,两人的测试成 绩画成频率分布条形图如下:若?、?分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的平均环数,s1、s
2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差,则有?( ????)(A)?=? ,s1>s2. ????(B)?>? ,s1? ,s1=s2. ????(D)?3?=0.08.选D.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.(2012武威模拟)在100个零件中,有一级品20个、二级品30个、三 级品50个,从中抽取20个作为样本:①采用随机抽样法,将零件编号为00,01,02,…,99,抽出20个;②采用系统抽样法,将所有零件分成20组,每组5个,然后每组中随机 抽取1个;③采用分层抽样法,随机从一级品中抽取4个,二级品中抽取6个,三级 品中抽取10个.则?( ????)(A)不论采取哪种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是 ?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(B)①②两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是?,③
并非如此.(C)①③两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是?,②
并非如此.(D)采用不同的抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率各不相 同.【解析】抽样方法的性质知,抽样过程中每个个体被抽到的概率都 相等,这个比例只与样本容量和总体有关.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.已知一个样本为x、1、y、5,其中点(x,y)是直线x+y=2和圆x2+y2=10 的交点,则这个样本的标准差是?( ????)(A)2. ????(B)?. ????(C)5. ????(D)?.【解析】样本平均数为?=2,标准差为
?=?,选D.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.(2012北京海淀期末)甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气 温(单位:℃)用茎叶图记录如下,根据茎叶图可知,两城市中平均温度 较高的城市是 ????,气温波动较大的城市是 ????.二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考市比乙城市温度波动较小,乙城市温度波动较大.【答案】乙 乙【解析】根据茎叶图可知,甲城市的平均温度为?=
?,乙城市的平均温度为?=?,故乙城市的平均温
度高.由茎叶图观察可知,甲城市的温度更加集中在峰值附近,故甲城名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.(2012临沂二模)为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体 重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图).已知图 中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为1 2,则抽取的学生人数是 ????.名师诊断专案突破对点集训决胜高考前3个小组的频率为0.75.又前3个小组的频率比为1∶2∶3,所以第二 小组的频率为?×0.75=0.25,所以抽取的总人数为?=48.【答案】48【解析】后两个小组的频率为(0.0375+0.0125)×5=0.05×5=0.25,所以名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.随机抽取某校甲、乙两个班各10名同学,测量他们的身高(单位: cm)后获得身高数据的茎叶图如图所示,在这20人中,记身高在[150,1 60),[160,170),[170,180),[180,190]的人数依次为A1,A2,A3,A4,则框图中 输出的数据为 ????.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】由框图知输出S表示这20人中身高在160 cm以上的人数,通 过茎叶图可得S=(4+4+1)+(3+5+1)=18.【答案】18名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中, 随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:三、解答题名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40 岁的观众应该抽取几名?(2)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至4 0岁的概率.【解析】(1)从题中所给条件可以看出收看新闻节目的共45人,随机 抽取5人,则抽样比为?=?,故大于40岁的观众应抽取27×?=3(人).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)抽取的5名观众中大于40岁的有3人,在20至40岁的有2人,记大于4 0岁的人为a1,a2,a3,20至40岁的人为b1,b2,则从5人中抽取2人的基本事 件有(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(b1,b2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2), 共10个,其中恰有1人为20至40岁的有6个,故所求概率为?=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160 cm的概 率为0.2,该同学的身高在[160,175]的概率为0.5,那么该同学的身高 超过175 cm的概率为( ????)(A)0.2. ????(B)0.3. ????(C)0.7. ????(D)0.8.【解析】因为必然事件发生的概率是1,所以该同学的身高超过175 cm的概率为1-0.2-0.5=0.3.【答案】B限时训练卷(三)一、选择题名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.据传俄罗斯布拉瓦导弹发射的事故率为0.01,若发射10次,其出事 故的次数为X,则下列结论正确的是?( ????)(A)EX=0.1.(B)DX=0.1.(C)P(X=k)=0.01k·0.9910-k.(D)P(X=k)=?0.99k×0.0110-k.【解析】∵X~B(10,0.01),∴EX=10×0.01=0.1.∴选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表: 根据上表可得回归方程?=bx+a中的b为9.4,据此模型预报广告
费用为6万元时销售额为?( ????)(A)63.6万元. ????(B)65.5万元.(C)67.7万元. (D)72.0万元.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】由给定的数据可知?=?=?,?=?=42,因回
归方程过样本中心点(?,42),故42=9.4×?+a,∴a=9.1,故回归直线方程
为?=9.4x+9.1,当x=6时,?=9.4×6+9.1=65.5.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.一个质地均匀的骰子,现将这个骰子向桌面上先后投掷两次,记和 桌面接触的面上的数字分别为a、b,则曲线?+?=1所围成区域的面
积大于50的概率是?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】基本事件的总数是36,曲线?+?=1所围成区域的面积是2
ab,即求ab>25的概率,基本事件只能是(5,6),(6,5),(6,6),故所求的概率 是?=?,选D.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.如图,Rt△ABC中有一内接矩形MNPQ,两直角边分别为AB=3,AC= 4.向三角形内随机撒一些豆子,若豆子落在矩形内的概率最大,则MQ 的长为?( ????)(A)?. ????(B)2. ????(C)?. ????(D)?.【解析】设MQ=x,MN=h,由三角形相似可知h=?-?x,矩形MNPQ的
面积S=-?(x-?)2+3,当x=?时,S有最大值.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P,则点P到点A的 距离小于等于a的概率为?( ????)(A)?. ????(B)?π. ????(C)?. ????(D)?π.【解析】P=?=?.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.设两个正态分布N(μ1,?)(σ1>0)和N(μ2,?)(σ2>0)的密度函数图像如
图所示,则有?( ????)(A)μ1<μ2,σ1<σ2. ????(B)μ1<μ2,σ1>σ2.(C)μ1>μ2,σ1<σ2. ????(D)μ1>μ2,σ1>σ2.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】根据正态分布N(μ,σ2)函数的性质:正态分布曲线是一条关 于x=μ对称,在x=μ处取得最大值的连续钟形曲线.σ越大,曲线的最高 点越低且弯曲较平缓;反过来,σ越小,曲线的最高点越高且弯曲较陡 峭,选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.安排包括甲在内的4人到A、B、C三个单位去实习,每个单位至少 1人,则甲在A单位且C单位只安排1人的概率是?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】安排4人到3个单位实习,每个单位至少1人,共有???=36
种方法,其中甲在A单位且C单位只安排1人有??+?=9种方法,其概
率P=?=?.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.已知过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,则任选两条为异面直 线的概率是?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】全部情况有?=105种,记“15条直线中任选两条为异面直
线”为事件A,而要使两直线异面,只需四点不共面,且不共面的四点 可连成3组异面直线,则事件A的可能情况有3(?-3)=36种,故P(A)=?
=?,选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.(2012南京二模)某单位从4名应聘者A、B、C、D中招聘2人,如果 这4名应聘者被录用的机会均等,则A,B两人中至少有1人被录用的概 率是 ????.【解析】从题目来看,所有的可能性共有6种,但A,B都没被录取的情 况只有一种,即满足条件的有5种,所以结果为?.【答案】? 二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且函数f(x)=x2+4x+X没有零点 的概率为?,则μ的值为 ????.【解析】函数f(x)=x2+4x+X没有零点,即二次方程x2+4x+X=0无实根 得X>4,∴P?=?,由正态曲线的对称性知μ=4.【答案】4名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.(2012嘉兴二模)甲、乙两人进行“石头、剪子、布”游戏.开始 时每人拥有3张卡片,每一次“出手”(双方同时):若分出胜负,则负 者给对方一张卡片;若不分胜负,则不动卡片.规定:当一人拥有6张卡 片或“出手”次数达到6次时游戏结束.设游戏结束时“出手”次数 为X,则EX= ????.【解析】P(X=3)=2·(?)3=?,P(X=4)=2·?·(?)4=?, P(X=5)=2·[?·(?)5+?·(?)5]=?,名师诊断专案突破对点集训决胜高考P(X=6)=1-P(X≤5)=?,EX=3×?+4×?+5×?+6×?=?.【答案】? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.甲、乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分(无平 局),比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中 获胜的概率为p(p>?),且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时
比赛停止的概率为?.三、解答题(1)若如右图为统计这次比赛的局数n
和甲、乙的总得分S、T的程序 框图.其中如果甲获胜,输入a=1,b=0;
如果乙获胜,则输入a=0,b=1.请 问①、②两个判断框中应分别填写什么条件?名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)求p的值.(3)设X表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量X的分布列和数学 期望EX.【解析】(1)程序框图中的条件框①应填M=2,②应填n=6.注意:答案不唯一.如:条件框①填M>1,条件框②填n>5,或者①、②条件互换.都可以.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)依题意,当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停 止.∴有p2+(1-p)2=?.解得p=?或p=?.∵p>?,∴p=?.(3)依题意知,X的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为?.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮比赛中必是各得一分, 此时,该轮比赛结果对下轮是否停止没有影响.名师诊断专案突破对点集训决胜高考从而有P(X=2)=?,P(X=4)=(1-?)×?=?,P(X=6)=(1-?)×(1-?)×1=?.∴随机变量X的分布列为: 故EX=2×?+4×?+6×?=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 一、选择题1.2011年上海春季高考有8所高校招生,如果某3位同学恰好被其中2 所高校录取,那么录取方法的种数为?( ????)(A)84. ????(B)168. ????(C)192. ????(D)224.【解析】分步考虑:从8所高校中选2所,有?种选法.依题意必有2位
同学被同一所学校录取,则有??种录取方法;另一位同学被剩余的
一所学校录取.所以共有???=168.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.(2x+?)4的展开式中x3的系数是?( ????)(A)6. ????(B)12. ????(C)24. ????(D)48.【解析】Tr+1=?(2x)4-r(?)r=24-r??=24-r??,令4-?r=3?r=2,x3的系数为24-2?=24.故选C.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.若(2x+?)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为?(????
????)(A)1. ????(B)-1. ????(C)0. ????(D)2.【解析】(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4),分别令x =1,x=-1即得答案.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),P(X≤4)=0.84,则P(X≤0)等 于?( ????)(A)0.84. ????(B)0.32. ????(C)0.16. ????(D)0.08.【解析】由正态分布曲线关于x=2对称知P(X>0)=P(X≤4)=0.84.故P(X≤0)=0.16.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.(2012南昌模拟)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,则 其回归方程可能是?( ????)(A)?=-10x+200.(B)?=10x+200.(C)?=-10x-200.(D)?=10x-200.【解析】因为销量与价格负相关,由函数关系考虑为减函数,又因为 x,y不能为负数,再排除C,故选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.已知某运动员每次投篮命中的概率都相同.现采用随机模拟的方 法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出0到 9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命 中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生 了20组随机数:907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为?( ????)(A)0.35. ????(B)0.25. ????(C)0.20. ????(D)0.15.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】由随机数可估算出三次投篮命中两次概率P=?=0.25,故选
B.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.(2012浙江镇海中学)甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C 、D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲和乙不 在同一岗位服务的概率为?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】P=?=?.第一个??表示甲与除乙外的某一
位志愿者一起去同一个岗位服务,第二个??表示乙与除甲外的某
一位志愿者一起去同一个岗位服务,??表示甲与乙都一个人去某
一岗位服务.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.(浙江省2012届重点中学协作体高三4月联考)在三次独立重复试 验中,事件A在每次试验中发生的概率相同.若事件A至少发生一次的 概率为?,则事件A恰好发生一次的概率为?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】设事件A发生的概率为P,事件A不发生的概率为P',则有1-(P')3=??P'=?.故P=?,则事件A恰好发生一次的概率为?(?)2·?=?.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.(2012台州一模)把2对孪生兄弟共4人随机排成一排,记随机变量X 为这一排中孪生兄弟相邻的对数,则随机变量X的期望EX等于?(????
????)(A)?. ????(B)?. ????(C)1. ????(D)?.【解析】设2对孪生兄弟分别为A1、A2、B1、B2,X的可能取值有0,1, 2.P(X=0)=?=?,P(X=2)=?=?,P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=?,名师诊断专案突破对点集训决胜高考EX=0×?+1×?+2×?=1.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.在2012年伦敦奥运会期间,奥运村某餐厅供应盒饭,每位顾客可以 在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了 5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅 至少还需准备不同的素菜品种为?( ????)(A)9种. ????(B)8种. ????(C)7种. ????(D)6种.【解析】在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有?=?=10
(种),若选择方式至少为200种,设素菜为x种,则??≥200,?≥20,
x(x-1)≥40,x≥7,∴至少应为7种素菜,选C.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.(2012临沂二模)已知Ω={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},A是由直线y=0,x =a(0向区域Ω上随机投一点,点落在区域内的概率?a4=?,所以a4=?,所以
a=?,选D.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.有红、黄、蓝三种颜色的球各7个,每种颜色的球都标有数字1,2, 3,4,5,6,7.从中任意取3个球,则取到的3个球颜色互不相同且所标数 字互不相邻的概率是?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】从21个球中任取3个球,共有取法?种,3个球颜色互不相同
且所标数字互不相邻的取法先考虑数字互不相邻,后考虑颜色.若取 1,7,则第3个数可为3,4,5中一个,有取法?种;若取1,6,则第3个数可为
3,4中一个,有取法?种;其余取法列举为(1,3,5);(2,4,7);(2,5,7);(3,5,7);
(2,4,6).共有取法10种.而对于每种取法考虑颜色都有方法?种,故满名师诊断专案突破对点集训决胜高考足条件的取法有60种,则P=?=?.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考13.高三(2)班在一次数学考试中,对甲、乙两组各12名同学的成绩进 行统计分析,两组成绩的茎叶图如图所示,成绩不少于90分为及格,现 从两组成绩中按分层抽样抽取一个容量为6的样本,则不及格分数应 抽 ????个.【解析】从茎叶图可知及格分数与不及格分数各占一半,所以不及 格分数应抽3个.【答案】3二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考14.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知 这组数据的平均数为10,若要使这组数据的方差最小,则|x-y|= ???? ????.【解析】由已知得x+y=20,s2=?[(x-10)2+(y-10)2+2],要使方差最小,则(x
-10)2+(y-10)2取最小值,(x-10)2+(y-10)2=x2+y2-200≥?-200=0,当且仅当x=y时,等号成立,故
|x-y|=0.【答案】0名师诊断专案突破对点集训决胜高考15.某市高三数学抽样考试中,对90分以上(含90分)的成绩进行统计, 其频率分布图如下图所示.已知130~140分数段的人数为90人,90~10 0分数段的人数为a人,则程序框图的运算结果为 ????.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】由题意可知:a=810,S=?+1=406.【答案】406名师诊断专案突破对点集训决胜高考16.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个 白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A 3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机 取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则P(B)= ????.【解析】显然A1,A2和A3是两两互斥的事件,故P(B)=P(B|A1)+P(B|A2)+ P(B|A3)=?×?+?×?+?×?=?.【答案】? 名师诊断专案突破对点集训决胜高考17.在对人们休闲方式的一次调查中,共调查120人,其中女性70人,男 性50人.女性中有40人主要的休闲方式是看电视,另外30人主要的休 闲方式是运动;男性中有20人主要的休闲方式是看电视,另外30人主 要的休闲方式是运动.三、解答题名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表:(2)有多大的把握认为休闲方式与性别有关?参考公式及数据:名师诊断专案突破对点集训决胜高考K2=? ①当K2>2.706时,有90%的把握认为A、B有关联.②当K2>3.841时,有95%的把握认为A、B有关联.③当K2>6.635时,有99%的把握认为A、B有关联.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)2×2的列联表为名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)假设H0:休闲方式与性别无关.计算K2的值为K2=?=?≈3.428,而2.706<3.428<3.84
1,所以,在犯错误的概率不超过0.10的前提下,认为H0不成立,即在犯错 误的概率不超过0.10的前提下,认为休闲方式与性别有关.所以我们有90%以上的把握,认为H0不成立,即我们有90%以上的把 握,认为休闲方式与性别有关.名师诊断专案突破对点集训决胜高考18.某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每 个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%、 中年人占47.5%、老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的 ?,且该组中,青年人占50%、中年人占40%、老年人占10%.为了了
解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样 方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定:(1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例;(2)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)设登山组人数为x,游泳组中青年人、中年人、老年人 各占比例分别为a、b、c,则有:?=47.5%, ?=10%,解得b=50%,c=10%,则a=40%,即游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.(2)游泳组中,抽取的青年人人数为200×?×40%=60(人);抽取的中年人人数为200×?×50%=75(人);抽取的老年人人数为200×?×10%=15(人).名师诊断专案突破对点集训决胜高考19.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)统计数 据如下:若根据上述数据的散点图可知y对x呈线性相关关系,解答下列问题:名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)填写下表并求出线性回归方程?=bx+a的回归系数?,?;(2)使用10年时,估计所支出的维修费用是多少.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)填表: ∴?=4,?=5,将其代入公式得:名师诊断专案突破对点集训决胜高考?=?=?=1.23,?=?-??=5-1.23×4=0.08.(2)由(1)可知:线性回归方程为?=1.23x+0.08,当x=10时,?=1.23×10+0.08=12.38(万元),即使用10年维修费用是12.38万元.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)设所选3人中女生人数为X,求X的分布列及EX;(2)求男生甲或女生乙被选中的概率;(3)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.【解析】(1)X的所有可能取值为0,1,2,依题意得:P(X=0)=?=?;P(X=1)=?=?;P(X=2)=?=?.20.(惠州市2013届高三第一次调研考试)某班从6名干部(其中男生4 人、女生2人)中选3人参加学校的义务劳动.名师诊断专案突破对点集训决胜高考∴X的分布列为 ∴EX=0×?+1×?+2×?=1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C,则P(C)=?=?=?.∴所求概率为P(?)=1-P(C)=1-?=?.(3)记“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,P(A)=?=?=?,P(AB)=?=?,P(B|A)=?=?(或直接得P(B|A)=?=?=?).名师诊断专案突破对点集训决胜高考21.(2013届浙江省重点中学协作体高三摸底测试)浙江省某示范性 高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年 级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学 、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以 在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何 一门科目的辅导讲座.(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座, 否则称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各天的满座概率如下 表:名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率;(2)设周三各辅导讲座满座的科目数为X,求随机变量X的分布列和数 学期望.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事 件A,则P(A)=(1-?)×(1-?)×(1-?)=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)X可能取值为0,1,2,3,4,5,P(X=0)=(1-?)4·(1-?)=?,P(X=1)=?·?(1-?)3·(1-?)+(1-?)4·?=?,P(X=2)=?·(?)2(1-?)2·(1-?)+?·?·(1-?)3·?=?,P(X=3)=?·(?)3(1-?)·(1-?)+?·(?)2·(1-?)2·?=?,P(X=4)=(?)4·(1-?)+?·(?)3·(1-?)·?=?,P(X=5)=(?)4·?=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考所以,随机变量X的分布列如下 ????EX=0×?+1×?+2×?+3×?+4×?+5×?=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考22.为鼓励企业科学发展,真正实现“低消耗,高产出”,市环保部门 实施奖罚制度.通过制定评分标准,对本市50%的企业抽查评估,评出 优秀、良好、合格和不合格四个等次,并根据等级给予相应的奖惩 (如下表).某企业投入100万元改造,由于自身技术原因,能达到以上 四个等次的概率分别为?,?,?,?,且由此增加的产值分别为60万元、
40万元、20万元,-5万元.设该企业当年因改造增加的利润为X.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)在抽查评估中,该企业能被抽到且被评为合格及以上等次的概率 是多少?(2)求X的数学期望.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)设该企业能被抽中的概率且评为合格以上等次的概率 为P,则P=(?+?+?)×?=?.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)依题意,X的可能取值为-185,-105,-80,-60,-50,-40,0,60,则P(X=60)=?×?=?,P(X=0)=?×?=?,P(X=-50)=?×?=?,P(X=-185)=?×?=?,P(X=-40)=?×?=?,P(X=-60)=?×?=?,名师诊断专案突破对点集训决胜高考P(X=-80)=?×?=?,P(X=-105)=?×?=?.则其分布列为 ∴EX=(60-40)×?+(-60)×?+(-50-80)×?+(-185-105)×?=-?(万
元).名师诊断专案突破对点集训决胜高考课件67张PPT。QG-理科数学数学数学数学? 对点集训题型示例引言总结? 数学选择题在高考试卷中,不但题目数量多,而且占总分值的比例高.高考数学试题中,选择题基础性强,知识覆盖面宽,小巧灵活,有一定的综合性和深度,渗透各种数学思想和方法,主要考查基础知识的理 解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑 问题的严谨、解题速度的快捷等方面.引言题型示例总结对点集训考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题成为得分的关键, 对高考数学成绩影响很大.高考中的数学选择题一般是容易题或中 档题,个别题属于较难题,当中的大多数题的解答可用特殊的方法快 速选择.解答选择题的基本策略是:要充分利用题设和选项两方面提 供的信息作出判断.一般说来,能定性判断的,就不再使用复杂的定量 计算;能使用特殊值判断的,就不必采用常规解法;能使用间接法解 的,就不必采用直接法解;对于明显可以否定的选项应及早排除,以缩引言题型示例总结对点集训小选择的范围;对于具有多种解题思路的,宜选最简解法等.解题时应 仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏;初选后认真检验,确保 准确.解数学选择题的常用方法,主要分直接法和间接法两大类.直接法是 解答选择题最基本、最常用的方法;但高考的题量较大,如果所有选 择题都用直接法解答,不但时间不允许,甚至有些题目根本无法解答. 因此,我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法,如筛选法(也叫排 除法、淘汰法)、特例法、图解法(数形结合)等.引言题型示例总结对点集训? 方法一:直接法所谓直接法,就是直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理 、法则和公式等知识,通过严密的推理和准确的运算,从而得出正确 的结论,然后对照题目所给出的选项“对号入座”作出相应的选择. 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.引言题型示例总结对点集训? 设i是虚数单位,复数?为纯虚数,则实数a为?( ????)(A)-?. ????(B)-2. ????(C)?. ????(D)2.【解析】?=?=?,因为复数?为纯虚数,所以
有a=2.【答案】D引言题型示例总结对点集训? 若α∈(0,?),且sin2α+cos 2α=?,则tan α的值等于?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】由sin2α+cos 2α=?可得sin2α+1-2sin2α=?,即sin2α=?,因为α∈ (0,?),所以sin α=?,则tan α=?.【答案】D引言题型示例总结对点集训? 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积
是?( ????)(A)?. ????(B)1.(C)?. ????(D)2.【解析】如图所示,根据三视图可得该几何体的实物图,它是一个四 棱锥.根据条件可得该几何体的体积为?×1×?×(1+2)×1=?.【答案】A引言题型示例总结对点集训? 椭圆?+?=1与双曲线?-?=1有公共的焦点F1、F2,P是
两曲线的一个交点,则cos∠F1PF2等于?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】由椭圆?+?=1与双曲线?-?=1有公共的焦点F1、F2,可解
得b2=1.不妨设P在第一象限,则根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2?.根据双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2?,则可解得|PF1|=?+?,|PF2|=
?-?,|F1F2|=4.根据余弦定理可解得cos∠F1PF2=?.【答案】C引言题型示例总结对点集训? 已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R都有f(x+4)=f
(x)+2f(2).若y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且f(1)=2,则f(2013)等于 ?( )(A)5. ????(B)4. ????(C)3. ????(D)2.【解析】y=f(x-1)的对称轴为x=1,则y=f(x)的对称轴为y轴,所以函数f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x).因为对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)+2f(2),所以f (-2+4)=f(-2)+2f(2).因为f(-2)=f(2),所以可解得f(2)=0,所以有f(x+4)=f (x),所以f(2013)=f(1)=2.【答案】D引言题型示例总结对点集训【点评】直接法是解答选择题最常用的基本方法,直接法适用的范 围很广,只要运算正确必能得出正确的答案.提高直接法解选择题的 能力,准确地把握题目的“个性”,用简便方法巧解选择题,是建立在 扎实掌握“三基”的基础上,否则一味求快则会快中出错.方法二:特例法用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件,得出特殊结论, 对各个选项进行检验,从而做出正确的判断.常用的特例有特殊数值 、特殊角、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊位置等.这种方 法实际上是一种“小题小做”的解题策略,对解答某些选择题有时 十分奏效.引言题型示例总结对点集训(1)特殊值? 设函数f(x)=?,对于任意不相等的实数a,b,代数式?+
?·f(a-b)的值等于?( ????)(A)a. ????(B)b.(C)a、b中较小的数. (D)a、b中较大的数.【解析】不妨取a=1,b=2代入?+?·f(a-b)=?-?f(-1)=2,可以排除A
、C.再令a=2,b=1代入?+?·f(a-b)=?+?f(1)=2,可排除B.所以选D.【答案】D引言题型示例总结对点集训(A)3. ????(B)2. ????(C)?. ????(D)?.【解析】不妨设a=(1,0),b=(-?,?),c=(cos θ,sin θ),则(a-b)·c=?cos θ-?sin θ=?(?cos θ-?sin θ)=?sin(?-θ)≤?.【答案】C? 已知向量a,b,c均为单位向量,a与b的夹角为120°,则(a-b)
·c的最大值是?( ????)引言题型示例总结对点集训(2)特殊函数? 已知函数f(x)满足:f(m+n)=f(m)f(n),f(1)=3,则?+
?+?+?的值等于?( ????)(A)36. ????(B)24. ????(C)18. ????(D)12.【解析】根据条件可设f(x)=3x,则有?=?=6,所以
?+?+?+?=6×4=24.【答案】B引言题型示例总结对点集训(3)特殊数列? 如果a1,a2,…,an为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,
则正确的关系为?( ????)(A)a1a8>a4a5. ????(B)a1a8a4+a5. ????(D)a1a8=a4a5.【解析】不妨设an=n,则a1=1,a4=4,a5=5,a8=8,则符合条件的只有B.【答案】B引言题型示例总结对点集训(4)特殊位置? 四面体ABCD的棱长均为1,E是△ABC内一点,点E到
边AB、BC、CA的距离之和为x,点E到平面DAB、DBC、DCA的距 离之和为y,则x2+y2的值为?( ????)(A)1. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.引言题型示例总结对点集训【解析】由题意可知四面体ABCD为正四面体,则△ABC为正三角 形.不妨设E是△ABC的中心,则E到边AB、BC、CA的距离相等且为?,
则x=?;E到平面DAB、DBC、DCA的距离也相等且为?,则y=?.所以x2+y2
=?.【答案】D引言题型示例总结对点集训(5)特殊方程? 若双曲线?-?=1与椭圆?+?=1(a>0,m>b>0)的离心
率之积大于1,则以a,b,m为边长的三角形一定是?( ????)(A)等腰三角形. ????(B)锐角三角形.(C)直角三角形. ????(D)钝角三角形.【解析】不妨设双曲线为?-?=1,则其离心率为2,设椭圆?+?=1
的离心率为?,则可求得m2=24,因为m2>a2+b2,所以选D.【答案】D引言题型示例总结对点集训(6)特殊图形? 若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5?=?+3
?,则△ABM与△ABC的面积比为?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.引言题型示例总结对点集训【解析】以A为原点,设C(1,0),M(0,1),则B(-3,5),如图所示,则可求得S △ABM=?×|AM|×3=?,S△ABC=?×|AC|×5=?,所以△ABM与△ABC的面积比
为?.【答案】C引言题型示例总结对点集训【点评】用特殊值(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地 得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,是解答 本类选择题的最佳策略.方法三:图解法(数形结合)图解法就是利用函数图象或数学结果的几何意义,将数的问题(如解 方程、解不等式、求最值、求取值范围等)与某些图形结合起来,利 用几何直观性,再辅以简单计算,确定正确答案的方法.这种解法贯穿 数形结合思想,每年高考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都 可以用数形结合思想解决,既简捷又迅速.引言题型示例总结对点集训? 若直线?+?=1通过点M(cos α,sin α),则?( ????)(A)a2+b2≤1. ????(B)a2+b2≥1.(C)?+?≤1. ????(D)?+?≥1.【解析】点M(cos α,sin α)可以看成是满足圆x2+y2=1上的点,而直线?
+?=1通过点M(cos α,sin α)可看成直线?+?=1与圆x2+y2=1有交点,所
以有?≤1,整理可得?+?≥1.【答案】D引言题型示例总结对点集训???? ??的值为?( ????) (A)?-?. ????(B)?+?.(C)?-?. ????(D)?+?.【解析】??dx的值可以看成是图中阴影部分的面积,则根据圆
的性质可计算出阴影部分的面积为?-?,所以??dx=?-?.【答案】A引言题型示例总结对点集训? 若方程|x2+4x|=m有实数根,则所有根的和可能为?(???????)(A)-2,-4,-6. ????(B)-4,-5,-6.(C)-3,-4,-5. ????(D)-4,-6,-8.【解析】画出y=|x2+4x|的图象可以看出,当m>4或m=0时,方程有两个根,因为图象关于x=-2对称,所以根的和为-4;当m=4时,方程有三个根, 此时根的和为-6;当0个单位后图象的一个对称中心是(?,0),则φ的值为?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】函数f(x)=sin 2x的图象沿x轴向左平移φ个单位后的解析式 为y=sin(2x+2φ),然后把各个选项代入可知C适合.【答案】C引言题型示例总结对点集训? 数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n2-17n,则当Sn取得最小
值时n的值为?( ????)(A)4或5. ????(B)5或6.(C)4. ????(D)5.【解析】分别计算出S4=-36,S5=-35,S6=-30,可知S4最小,所以选C.【答案】C引言题型示例总结对点集训? 以双曲线?-?=1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近
线相切的圆的方程是?( ????)(A)(x-?)2+y2=1. ????(B)(x-?)2+y2=3.(C)(x-3)2+y2=3. ????(D)(x-3)2+y2=9.【解析】双曲线?-?=1的右焦点为(3,0),从选项中可以发现C,D适
合,双曲线的渐近线方程为y=±?x,把C,D代入检验可知C适合.【答案】C引言题型示例总结对点集训【点评】代入法适应于题设复杂,结论简单的选择题.若能根据题意 确定代入顺序,则能较大提高解题速度.方法五:筛选法(也叫排除法、淘汰法)筛选法就是充分运用选择题中单选题的特征,即有且只有一个正确 选项这一信息,从选项入手,根据题设条件与各选项的关系,通过分析 、推理、计算、判断,对选项进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰 项逐一排除,从而获得正确结论的方法.使用筛选法的前提是“答案 唯一”,即四个选项中有且只有一个答案正确.引言题型示例总结对点集训? 已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可
能为?( ????)(A)f(x)=2sin(?-?).(B)f(x)=?cos(?+?).(C)f(x)=2sin(?-?).(D)f(x)=2sin(?+?).引言题型示例总结对点集训【解析】由图象可知f(0)>0,所以比较选项可排除A,C;由图象可以看 出f(x)的最大值为2,所以排除B.【答案】D引言题型示例总结对点集训? 设a,b,c,d∈R,若a,1,b成等比数列,且c,1,d 成等差数列,
则下列不等式恒成立的是 ?( ????)(A)a+b≤2cd. ????(B)a+b≥2cd.(C)|a+b|≤2cd. ????(D)|a+b|≥2cd.【解析】取a=2,b=?,c=0,d=2,可排除A,C;取a=-2,b=-?,c=0,d=2可排除
B.所以选D.【答案】D引言题型示例总结对点集训? 已知函数g(x)是R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=-ln(1
-x),函数f(x)=?若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是?( ????)(A)(-2,1).(B)(-∞,-2)∪(1,?)∪(?,+∞).(C)(-1,2).(D)(-2,-?)∪(-?,0)∪(0,1).【解析】因为f(x)在原点没有定义,所以x≠0,2-x2≠0,解得x≠0,x≠± ?,所以排除A、C;把x=2代入不等式 f(2-x2)>f(x),判断f(-2)>f(2)是否成立,因为f(-2)=-8,f(2)=g(2)=-g(-2)=ln 3,不满足f(-2)>f(2),因此B不对. 所以选D.引言题型示例总结对点集训【答案】D【点评】筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中 的条件多于一个时,先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的, 予以否定,再根据另一些条件在缩小的选项的范围内找出矛盾,这样 逐步筛选,直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是 解选择题的常用方法.引言题型示例总结对点集训推理分析法就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有 关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法.方法六:推理分析法(1)特征分析法——根据题目所提供的信息,如数值特征、结构特征 、位置特征等,进行快速推理,迅速作出判断的方法,称为特征分析 法.引言题型示例总结对点集训? 已知双曲线?-?=1(b>0)两焦点分别为F1,F2,点M(4
?,2?)满足|MF1|=8+|MF2|,则b等于?( ????)(A)2?. ????(B)4. ????(C)4?. ????(D)8.【解析】由|MF1|-|MF2|=8=2a,知点M在双曲线上,则?-?=1,则
b=2?.【答案】A引言题型示例总结对点集训(2)逻辑分析法——通过对四个选项之间的逻辑关系的分析,达到否 定谬误项,选出正确项的方法,称为逻辑分析法.? 当x∈[-4,0]时,a+?≤?x+1恒成立,则a的一个可
能取值为?( ????)(A)5. ????(B)?. ????(C)-?. ????(D)-5.【解析】若A正确,则B、 C、D正确;若B正确,则C、D正确;若C正 确,则D也正确.所以选D.【答案】D引言题型示例总结对点集训方法七:估算法估算法就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或 把有关数值扩大或缩小,从而对运算结果确定出一个范围或作出一 个估计,进而作出判断的方法.引言题型示例总结对点集训? 如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的
正方形,EF∥AB,EF=?,EF与平面ABCD的距离为2,则该多面体的体 积为?( ????)(A)?. ????(B)5. ????(C)6. ????(D)?.【解析】由已知条件可知,EF∥平面ABCD,则F到平面ABCD的距离 为2,所以VF-ABCD=?×2×3×3=6,则该多面体的体积必大于6,所以选D.【答案】D引言题型示例总结对点集训? 过双曲线?-?=1(a>0)的右焦点F作一条直线,当直
线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率 为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值 范围为?( ????)(A)(?,5). ????(B)(?,?).(C)(5,5?). ????(D)(1,?).【解析】设b=?,根据条件可知当直线斜率为2时,直线与双曲线
左、右两支各有一个交点,所以有?>2,所以离心率e=?>?,所以
可以排除A、C、D.【答案】B引言题型示例总结对点集训? 如右图,直线l和圆C,当l从l0开始在平面上绕点O按逆
时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时,它扫过的圆内阴影部分 的面积S是时间t的函数,这个函数的图象大致是 ?( ????)引言题型示例总结对点集训【解析】因为直线l在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动,根据圆 的图象特点可以估计,面积S随时间t变化的图象应该是一个对称图 形,所以排除A、B,且变化的速度是先快后慢,所以排除C.【答案】D【点评】估算法省去了很多推导过程和比较复杂的计算,节省了时 间,从而显得快捷.它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种 重要方法.引言题型示例总结对点集训方法八:极限法从有限到无限、从近似到精确、从量变到质变,应用极限思想解决 某些问题,可以避开抽象、复杂的运算,降低解题难度,优化解题过 程.在一些选择题中,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元 素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算,以此来判断选择的结果.这种通过动态变化,或对极端取值来解 选择题的方法称为极限法.引言题型示例总结对点集训 ? 函数y=?+sin x的图象大致是?( )【解析】因为|sin x|≤1,所以当x→+∞时,y=?+sin x→+∞,可排除D,
因为函数为奇函数可排除B,求导可以得到函数的极值点有无数个, 所以排除A,答案选C.【答案】C引言题型示例总结对点集训? 设抛物线y2=x的焦点为F,点M在抛物线上,若线段MF
的延长线与直线x=-?交于点N,则?+?的值为?( ????)(A)?. ????(B)?. (C)2. ????(D)4.【解析】若MF与x轴逐渐趋近于垂直时,|MF|→?,而|NF|→+∞,则
?+?→2,所以排除A、B、D,答案选C.【答案】C【点评】用极限法是解选择题的一种有效方法.它根据题干及选项 的特征,考虑极端情形,有助于缩小选择面,迅速找到答案.引言题型示例总结对点集训? 从考试的角度来看,解选择题只要选对就行,至于用什么“策略”, “手段”都是无关紧要的.所以解题可以“不择手段”.但平时做题 时要尽量弄清每一个选项正确的理由与错误的原因,另外,在解答一 道选择题时,往往需要同时采用几种方法进行分析、推理,只有这样, 才会在高考时充分利用题目自身提供的信息,化常规为特殊,避免小引言题型示例总结对点集训题大做,真正做到准确和快速.总之,解答选择题既要用各类常规题的解题思想原则来指导选择题 的解答,但更应该充分挖掘题目的“个性”,寻求简便解法,充分利用 选项的暗示作用,迅速地做出正确的选择.这样不但可以迅速、准确 地获取正确答案,还可以提高解题速度,为后续解题节省时间.? 引言题型示例总结对点集训1.已知M={x||x-1|>x-1},N={x|y=?},则M∩N等于?( ????) (A){x|18或3符合条件,排除A、D.所以选C.(法二)直接法:当m>4时,离心率e=?=?当r=3时,对应项为常数项,即常数项为-10.【答案】B引言题型示例总结对点集训4.若方程ln x+x-4=0在区间(a,b)(a,b∈Z,且b-a=1)上有一根,则a的值为 ?( ????)(A) 1. ????(B)2. ????(C)3. (D)4.【解析】筛选法:设f(x)=ln x+x-4,然后把选项一个一个地代入检验, 可以发现B适合.【答案】B引言题型示例总结对点集训5.设G为△ABC的重心,且(sin A)?+(sin B)?+(sin C)?=0,则B的大
小为?( ????)(A) 45°. ????(B) 60°. ????(C)30°. ????(D) 15°.【解析】特征分析法:因为?+?+?=0,所以可得sin A=sin B=sin C,
即△ABC为等边三角形,所以B的大小为60°.【答案】B引言题型示例总结对点集训6.某几何体的三视图如图所示(单位: cm),则该几何体的体积为?(?????)(A)(16+π) cm3.(B)(16+3π) cm3.(C)(20+4π) cm3.(D)(18+π) cm3.【解析】直接法:由三视图知,该几何体的上部分是正四棱柱,下部分 是圆柱.正四棱柱的底面边长为4 cm,高为1 cm,其体积为16 cm3;圆柱 的底面半径为1 cm,高为3 cm,其体积为3π cm3.所以该几何体的体积为(16+3π) cm3.【答案】B引言题型示例总结对点集训7.函数f(x)=log2|x|,g(x)=-x2+2,则f(x)·g(x)的图象只可能是?( ????)【解析】极限法:由函数f(x)·g(x)的解析式可以看出函数为偶函数, 所以可以排除A、D;当x→+∞时,f(x)>0,g(x)<0,所以f(x)·g(x)<0,可排 除B,所以选C.【答案】C引言题型示例总结对点集训8.连续抛掷两枚正方体骰子(它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5, 6),记所得朝上的面的点数分别为x,y,过坐标原点和点P(x,y)的直线 的倾斜角为θ,则θ>60°的概率为?( ????)(A)?. ????(B) ?. ????(C) ?. ????(D)?.【解析】直接法:由题意可知数对(x,y)共有36个结果,因为tan θ=?,θ>
60°,即y>?x,则有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,6),共9
个结果符合条件,所以所求事件的概率为?=?.【答案】A引言题型示例总结对点集训9.执行如图所示的程序框图,输出的S值为?( ????)(A)1. ????(B)-1. ????(C)-2. ????(D)0.引言题型示例总结对点集训【解析】直接法:由题意可知,T=0→T=1→S=0→T=1→S=-1→T=0→S=-1→T=-1→S=0,所以选D.【答案】D引言题型示例总结对点集训10.已知F1、F2分别是双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以F1
F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P.若双曲线的离心率 为5,则cos∠PF2F1等于?( ????)(A)?. ????(B)?. ????(C)?. ????(D)?.【解析】特例法:不妨设双曲线C的方程为x2-?=1,则|PF2|-|PF1|=2,|
PF2|2+|PF1|2=100,则|PF2|=8,|PF1|=6.因为∠F1PF2=90°,所以cos∠PF2F1=?=?.【答案】C引言题型示例总结对点集训11.设{an}是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别 为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是?( ????)(A)X+Z=2Y.(B)Y(Y-X)=Z(Z-X).(C)Y2=XZ.(D)Y(Y-X)=X(Z-X).引言题型示例总结对点集训可得Y(Y-X)=X(Z-X),所以选D.【答案】D【解析】(法一)特例法:取等比数列1,2,4,令n=1得X=1,Y=3,Z=7,代入 验算,只有选项D满足.(法二)直接法:因X, Y-X,Z-Y成等比数列,则有(Y-X)2=X(Z-Y),展开整理引言题型示例总结对点集训12.设A、B、C是圆x2+y2=1上不同的三个点,且?·?=0,存在实数λ,μ
使得?=λ?+μ?,则实数λ,μ的关系为?( ????)(A)λ2+μ2=1. (B)?+?=1.(C)λ·μ=1. (D)λ+μ=1.【解析】特例法:设?=(1,0),?=(0,1),则根据?=λ?+μ?,可得C(λ,
μ),因为C是圆上的点,所以可得λ2+μ2=1.【答案】A引言题型示例总结对点集训13.已知实数x、y满足?所表示的平面区域为M.若函数y=k
(x+1)+1的图象经过区域M,则实数k的取值范围是?( ????)(A)[3,5]. ????(B)[-1,1].(C)[-1,3]. ????(D)[-?,1].【解析】图解法:因为y=k(x+1)+1经过定点(-1,1),所以k可以看成是定 点(-1,1)与平面区域M上点连线的斜率,画出不等式表示的平面区域 M,从图象中可以看出定点(-1,1)与点(0,2),(1,0)构成直线的斜率分别 为1、-?为k的最大值和最小值,所以选D.【答案】D引言题型示例总结对点集训14.点P在直径为?的球面上,过P作两两垂直的3条弦,若其中一条弦
长是另一条弦长的2倍,则这3条弦长之和的最大值是?( ????)(A)?. ????(B)6.(C)?. ????(D)?.【解析】(法一)估算法:设3条弦长分别为a,b,c,且a=2b,则根据条件 可知6=a2+b2+c2=5b2+c2,且a+b+c=3b+c,取b=c=1时,a+b+c=4,说明最大 值不小于4,可排除A、C;若a+b+c=6,与6=5b2+c2联立方程组无解,所 以排除B,答案选D.(法二)直接法:设3条弦长分别为a,b,c,且a=2b,则根据条件可知6=a2+b引言题型示例总结对点集训2+c2=5b2+c2,设b=?cos θ,c=?sin θ(0<θ?sin(θ+φ)(其中tan φ=?),所以当θ+φ=?时,取最大值为?.【答案】D引言题型示例总结对点集训15.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点, 则下列图象不可能为y=f(x)的图象的是?( ????)? 【解析】推理分析法:设F(x)=f(x)ex,∴F'(x)=exf'(x)+exf(x)=ex(2ax+b+ax 2+bx+c).又∵x=-1为f(x)ex的一个极值点, 引言题型示例总结对点集训∴F'(-1)=e-1(-a+c)=0,即a=c, 则方程ax2+bx+c=0变为ax2+bx+a=0,则Δ=b2-4a2, 当Δ=0时,b=±2a,即对称轴所在直线方程为x=±1,∴A、B正确.当Δ>0时, f(x)=ax2+bx+c=ax2+bx+a(a,b,c∈R),则方程ax2+bx+c=ax2+bx +a=0的两根之积为1,对照C、D可以发现D不符合,所以选D.【答案】D引言题型示例总结对点集训课件74张PPT。QG-理科数学数学数学数学? 对点集训题型示例引言总结? 填空题是将一个数学真命题,写成其中缺少一些语句的不完整形式, 要求学生在指定的空位上,将缺少的语句填写清楚、准确.它是一个 不完整的陈述句形式,填写的可以是一个词语、数字、符号、数学引言题型示例总结对点集训语句等.数学填空题的特点填空题缺少选择的信息,故解答题的求解思路可以原封不动地移植 到填空题上.但填空题既不用说明理由,又无需书写过程,因而解选择 题的有关策略、方法有时也适合于填空题.填空题大多能在课本中找到原型和背景,故可以化归为我们熟知的 题目或基本题型.填空题不需过程,不设中间分值,更易失分,因而在 解答过程中应力求准确无误.填空题虽题小,但跨度大,覆盖面广,形式灵活,可以有目的、和谐地引言题型示例总结对点集训结合一些问题,突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识 的能力和基本运算能力,突出以图助算、列表分析、精算与估算相 结合等计算能力.要想又快又准地答好填空题,除直接推理计算外,还 要讲究一些解题策略,尽量避开常规解法.数学填空题的类型根据填空时所填写的内容形式,可以将填空题分成两种类型:一是定量型,要求考生填写数值、数集或数量关系,如:方程的解、不 等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度 、角度大小等等.由于填空题和选择题相比,缺少选择的信息,所以高引言题型示例总结对点集训考题中多数是以定量型问题出现.二是定性型,要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数 学对象的某种性质,如:给定二次曲线的焦点坐标、离心率等等.近几 年出现了定性型的具有多重选择性的填空题.解数学填空题的原则解答填空题时,由于不反映过程,只要求结果,故对正确性的要求比解 答题更高、更严格.《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求 是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到:快——运算要 快,力戒小题大做;稳——变形要稳,不可操之过急;全——答案要全,力避残缺不齐;活——解题要活,不要生搬硬套;细——审题要细,不 能粗心大意.引言题型示例总结对点集训? 方法一:直接求解法所谓直接法,就是直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理 、法则和公式等知识,通过严密的推理和准确的运算,从而得出正确 的结论.直接法是填空题最基本的解法,是解决大多数填空题的解法.引言题型示例总结对点集训?????AB是半径为1的圆的直径,M为直径AB上任意一点,过点
M作垂直于直径AB的弦,则弦长大于?的概率是 ????.【解析】过点M作垂直于直径AB的弦对的圆心角大于?π,此时点M
离圆心的距离要小于?=?,则弦长大于?,故所求的概率为?=?.【答案】? 引言题型示例总结对点集训? 执行如下图所示的程序框图,那么输出S的值是 ????
????.引言题型示例总结对点集训【解析】S=-1,k=1;S=?,k=2;S=2,k=3;S=-1,k=4; S=?,k=5;S=2,k=6; ……观察出规律得:S=?,k=2012.此时跳出程序.【答案】? 引言题型示例总结对点集训? 对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的
纵坐标为an,则数列{?}的前n项和的公式是 ????.【解析】y'=nxn-1-(n+1)xn,得y'|x=2=n·2n-1-(n+1)·2n=-(n+2)·2n-1.切点为(2,-2n),所以切线方程为y+2n=-(n+2)·2n-1·(x-2),令x=0,得an=(n+1)·2n,即?=2n.利用等比数列的求和公式得:Tn=?=2n+1-2.【答案】2n+1-2引言题型示例总结对点集训【点评】直接法是解答填空题最常用的方法,直接法适用的范围很 广,只要运算正确必能得出正确的答案.提高直接法解填空题的能力, 对数学的能力提高大有裨益,否则一味寻求其他方法则会适得其反.方法二:特殊化求解法当答案是定值且用的特殊值是题意的某种情况时,那么我们用特例 求解就能起到很好的效果.特殊化求解就是用特殊值(特殊图形、特 殊位置)代替题设普遍条件,得出一般的结论.常用的特例有特殊数值 、特殊角、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊位置等.这种方法实际上是一种“小题小做”的解题策略,对解答某些填空题有时 往往十分奏效.引言题型示例总结对点集训? 已知公差不为0的等差数列{an}满足a1,a3,a4成等比数列,
Sn为{an}的前n项和,则?的值为 .【解析】不妨设a3=1,a1=1-2d,a4=1+d,且d≠0,∵a1,a3,a4成等比数列,∴a1a4=?,∴(1-2d)(1+d)=1,∴d=-?,∴?=?=?=?.【答案】? 引言题型示例总结对点集训? △ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,
?=m(?+?+?),则实数m= ????.【解析】当角B=90°时,三角形ABC为直角三角形,O为AC的中点,AB, BC边上的高的交点H与B点重合.?+?+?=?=?,∴m=1.【答案】1引言题型示例总结对点集训? 已知G为锐角三角形ABC的外心,AB=6,AC=10,?=x?
+y?,且2x+10y=5,则cos∠BAC= ????.【解析】把三角形ABC特殊化到直角坐标系中,建立如图所示的平 面坐标系.引言题型示例总结对点集训设∠BAC=α,则A(0,0),C(10,0),B(6cos α,6sin α),G为锐角三角形ABC的外心,所以G在线段AC的垂直平分线上,可知 G点的横坐标为5,?=x?+y?=x(6cos α,6sin α)+y(10,0)=(6xcos α+10y,6xsin α),∴6xcos α+10y=5,∵2x+10y=5,∴6cos α=2,∴cos α=?,∴cos∠BAC=?.【答案】? 引言题型示例总结对点集训得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,对提高速度和准确度有很大的帮助.方法三:数形结合法数形结合法就是利用图象或数学结果的几何意义,将数的问题(如解 方程、解不等式、求最值、求取值范围等)与某些图形结合起来,利 用几何直观性,再辅以计算,求出正确答案的方法.这种解法贯穿数形 结合思想,每年高考均有很多填空题(也有选择题、解答题)都可以 用数形结合思想解决,既简捷又迅速.数形结合法最主要的是利用数 和形的结合,找到解决问题的思路,能使思路清晰,能较快较准地解决【点评】正确地选择对象,在题设条件都成立的情况下,用特殊值(取问题.引言题型示例总结对点集训? 已知点P(x,y)的坐标满足条件?那么点P到直
线3x-4y-9=0的距离的最小值为 ????.【解析】画出P点的可行域,再画出直线3x-4y-9=0,结合可行域可知 当P点为x=1与y=x的交点(1,1)时,点P到直线3x-4y-9=0的距离最小,此 时d=?=2.【答案】2引言题型示例总结对点集训? 不等式x2+|2x-4|≥m对所有x都成立,则实数m的最大值
为 ????.【解析】构造函数f(x)=x2+|2x-4|=? 作出函数y=f(x)的图象如图.由图象知f(x)的最小值为3,∴m≤3,即m的最大值为3.【答案】3引言题型示例总结对点集训【点评】数形结合法在解题时一定要对有关函数图象、方程曲线 、几何图形较熟悉.最重要的是通过数形结合找到问题的突破点.方法四:等价转化法 通过“化复杂为简单,化抽象为具体”将问题等价转化成便于解决的问题或转化为自己熟悉的类型,从而迅速准确地得到结果.引言题型示例总结对点集训 ? 某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取80名学生
进行家庭情况调查,经过一段时间后再从这个年级随机抽取100名学 生进行学情调查,发现有20名同学上次被抽到过,估计这个学校高一 年级的学生人数为 ????.【解析】设高一年级的学生人数为n,由于每位学生每次被抽到的概 率相等.“经过一段时间后再从这个年级随机抽取100名学生进行学 情调查,发现有20名同学上次被抽到过”与 “从高一年级的学生中 随机抽取80名学生进行家庭情况调查”所占的比例相同, ∴?≈?,∴n≈400.【答案】400引言题型示例总结对点集训 ? 若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)恰有一个极值点,则
实数a的取值范围为 ????.【解析】f'(x)=3x2+2x-a,开口向上,对称轴为x=-?,∴f'(x)在(-1,-?)上递减;在(-?,1)上递增.“函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)恰有一个极值点”等价于?
即? ∴1≤a<5.【答案】[1,5)引言题型示例总结对点集训? 在正四棱锥O-ABCD中,OA=?,BC=2,以O为球心,半径
为1作一个球,则该球和正四棱锥相交部分的体积为 ????.【解析】容易解得正四棱锥O-ABCD的高为1,及球是以正四棱锥O- ABCD的顶点O为球心,与底面ABCD相切的球.直接求该球和正四棱锥相交部分的体积是不好解的.结合正方体的内切球,本题就等价转 化为“所求的相交部分的体积为棱长为2的正方体的内切球体积的 ?”,∴V=?·?=?.【答案】? 引言题型示例总结对点集训【点评】等价转化法要求对知识点比较熟练,根据题意转化为其他 的知识点,要求在转化过程中不能遗漏某种情况也不能多了某种情 况,要完全等价.方法五:整体分析法在处理某个问题时,常常需要把某一部分作为一个整体来处理,这样常能把问题化繁为简.引言题型示例总结对点集训? 已知函数f(x)=sin xcos x+?+3,若f(lg a)=4,则f(lg?)的
值等于 ????.【解析】f(x)=sin xcos x+?+3=?sin 2x+tan x+3,把f(x)-3作为一个整体,则f(x)-3=?sin 2x+tan x.可知函数f(x)-3=?sin 2x+tan x为奇函数,∴f(x)-3+f(-x)-3=0,∴f(x)+f(-x)=6,∴f(lg a)+f(lg?)=6,∴f(lg?)=6-f(lg a)=6-4=2.【答案】2引言题型示例总结对点集训 ? 若将函数f(x)=(x-1)5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…
+a5(1+x)5.其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3= ????.【解析】把(1+x)作为一个整体,本问题就相当简单.f(x)=(x-1)5=[-2+(1 +x)]5,f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,∴a3=?(-2)2=40.【答案】40引言题型示例总结对点集训? 已知椭圆?+?=1(a>b>0),直线l与椭圆交于A、B两
点,M是线段AB的中点,直线AB与直线OM的斜率分别为k、m,且km=- ?.则b的值为 ????.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则?两式相减,得:?+?=0,引言题型示例总结对点集训又x0=?,y0=?,∴k=?=-?=-?=-?.又∵m=?,km=-?,∴-?=-?,∴b=1.【答案】1【点评】整体化处理问题是数学的一种基本方法,能把问题简单化, 有利于准确迅速地得出结论.方法六:构造法根据题设条件与结论的特殊性,构造出一些熟悉的数学模型,并借助 于它认识和解决问题.引言题型示例总结对点集训? 若实数a、b、m满足2a=5b=m,且?+?=2,则m的值为????
????.【解析】本题需要构造出?+?的形式,在2a=5b=m取对数得:?=logm2,?=logm5,m>0,又?+?=2,∴logm20=2,∴m2=20,∴m=2?.【答案】2? 引言题型示例总结对点集训 ? 已知△ABC中,∠A、∠B、∠C对应边分别为a、b
、c,O为BC中点,若a=8,b+c=10,则OA的最小值为 ????.【解析】以O为坐标原点,BC所在直线为x轴建立如图的平面直角坐 标系.易知点A在椭圆?+?=1上,由图形知当点A与短轴端点M重合时,OA
最小,则OA的最小值为3.【答案】3引言题型示例总结对点集训 ? 已知函数f(x)=ax+?+1-2a (a>0),若f(x)≥ln x在[1,+
∞)上恒成立,则a的取值范围为 ????.【解析】构造函数g(x)=f(x)-ln x=ax+?+1-2a-ln x,则g'(x)=a-?-?=?.①当a≥?时,?≤1,那么x≥1时g'(x)≥0,那么g(x)在x≥1时为增函数,则g(x)min=g(1)=0,那么g(x)≥0恒成立,则f(x)≥ln x在[1,+∞)上恒成立时.引言题型示例总结对点集训②当01.若1∞).【答案】[?,+∞)引言题型示例总结对点集训【点评】构造法在数列、三角与导数等问题中常用到,起到承上启 下的作用.方法七:归纳推理法归纳推理:由某类事物的部分对象具有某类特征,推出该类事物的全 部对象都具有这些特征的推理,或有个别事实概括出一般结论的推 理.简言之,就是由部分到整体、由个别到一般的推理.引言题型示例总结对点集训 ? 观察下列等式:?=1-? ?+?=1-? 【解析】观察可知第n个等式的左边有n个数,第一个数为?,右边是1
减左边的最后一个数,则第n个等式为?+?+…+(?)n=1-(?)n.【答案】?+?+…+(?)n=1-(?)n 引言题型示例总结对点集训3+5=85+7+9=217+9+11+13=409+11+13+15+17=65 ????……按此规律,第12个等式的右边等于 ????.? 观察下列等式1=1引言题型示例总结对点集训【解析】第n行左边有n个数,且第n行的第一个数为2n-1,公差为2.故第12行的第一个数为23,共12个数,公差为2.则第12个等式的右边等于12×23+?×12×11×2=408.【答案】408引言题型示例总结对点集训 ? 如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是
由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为?,每个数是它
下一行左右相邻两数的和,如:?=?+?,?=?+?,?=?+?,…,则第n(n≥3)
行第3个数字是 ????. ????? 引言题型示例总结对点集训【解析】当n=3时,a33=a32×2=a32×?,当n=4时,a43=a42×?=a42×?,当n=5时,a53=a52×?=a52×?,……第n行,an3=an2×?,∴an3=an2×?=?.【答案】? 引言题型示例总结对点集训【点评】要会从已给出的几个结论归纳出一般性的结论,要大胆猜 想. 方法八:分类讨论法当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个 标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类问题的结论,最后综合 各类结果得到整个问题的解答.作为填空题,有时是不可避免地要分 类讨论.引言题型示例总结对点集训? 已知函数f(x)=?若f(1)+f(a)=2,则a的所有可
能值为 ????.【解析】因为f(1)=e1-1=1,所以f(a)=1.当a≥0时,显然a=1满足;当a<0时,令lg(-a)=1,得-a=10,即a=-10满足.【答案】1或-10引言题型示例总结对点集训? 在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的5个小球,这些
小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出小 球标注的数字之差的绝对值为2或3的概率是 ????.【解析】从5个球中随机取出2个小球有10种取法;数字之差的绝对值为2的情况有:(1,3),(2,4),(3,5)三种;数字之差的绝对值为3的情况有:(1,4),(2,5)两种.故所求概率为P=?=?.【答案】? 引言题型示例总结对点集训? 在数列{an}中,a1=1,anan+1=2n(n∈N*),则数列{an}的通项
an= ????.【解析】因为anan+1=2n,所以an+1=?.当n为偶数时,an=?=?·an-2=?·?=…=?·?·…·?=?.(n为偶数)当n为偶数时,n+1为奇数,故有an+1=?=?,所以an=?.(n为奇数)【答案】an=? 引言题型示例总结对点集训① 涉及的数学概念是分类的,如对数函数,指数函数的底数;② 数学问题中含有参变量时.方法九:多选型填空题多选型填空题是指给出若干个命题或结论,要求从中选出所有满足 题意的命题或结论.试题具有结论不唯一,且某些答案有迷惑性、以 偏概全、考查概念及考查某种特殊情况等.在解决不成立的问题时 常采用举反例的方法.【点评】分类讨论要求分类明确,不重复、不遗漏.常见的分类讨论有:引言题型示例总结对点集训①已知命题p:?x∈R,tan x=2,命题q:?x∈R,x2-x+1≥0,则命题p∧q是 真命题;②过点(-1,2)且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+y-1=0;③函数f(x)=ln x+2x-1在定义域内有且只有一个零点;④先将函数y=sin(2x-?)的图象向左平移?个单位,再将新函数的周期
扩大为原来的两倍,则所得图象的函数解析式为y=sin x.其中正确命题的序号为 ????.(把你认为正确的命题序号都填上) ? 给出以下四个命题:引言题型示例总结对点集训图象的变换等基础知识.①中两个命题都是真命题的,所以p∧q是真 命题;②是假命题,因直线在两坐标轴上截距相等包括直线经过原点; ③是真命题,只需在同一坐标系中画出函数y=ln x和y=1-2x的图象,两 函数图象只有一个交点,即函数f(x)=ln x+2x-1在定义域内有且只有 一个零点;④是真命题,将函数y=sin(2x-?)的图象向左平移?个单位,
得y=sin[2(x+?)-?]=sin 2x,再将新函数的周期扩大为原来的两倍,则
所得图象的函数解析式为y=sin 2(?)=sin x.【答案】①③④【解析】本题综合考查命题、直线方程、函数的零点及三角函数引言题型示例总结对点集训 ? 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格
点,如果函数f(x)的图象恰好通过k(k∈N*)个格点,则称函数f(x)为k阶 格点函数,下列函数:①f(x)=log0.5x;②f(x)=(?)x;③f(x)=3πx2-6πx+3π+2;④f(x)=sin4x+cos2x.其
中是一阶格点函数的有 ????.【解析】分析①,可以找到(1,0),(2,-1)等格点,故错误.分析②,可以找到(0,1),(-1,5)等格点,故错误.分析③,f(x)=3πx2-6πx+3π+2=3π(x-1)2+2,只有一个格点(1,2).引言题型示例总结对点集训分析④,f(x)=sin4x+cos2x=sin4x-sin2x+1=(sin2x-?)2+?≥?.∵0≤sin2x≤1,∴?≤f(x)≤1,当且仅当sin2x=0或sin2x=1时,f(x)=1.故f(x)=sin4x+cos2x只有一个格点(0,1).【答案】③④【点评】多选型填空题相当于多项选择题,这样的题目不论多选还 是少选都不能得分,因此对每一项都要认真判断.方法十:新定义型填空题新定义型填空题是指定义新情景,给出一定容量的新信息,要求考生引言题型示例总结对点集训依据新信息进行解题,此类问题多涉及给出新定义的运算、新的背 景知识、新的理论体系,要求考生有较强的分析转化能力.引言题型示例总结对点集训? 在实数的原有运算法则中,定义新运算a?b=3a-b,则
[x?(4-x)]?(2-3x)>8的解集为 ????.【解析】新运算a?b=3a-b,∴x?(4-x)=3x-(4-x)=4x-4,∴[x?(4-x)]?(2-3x)=(4x-4)?(2-3x)=12x-12-(2-3x)=15x-14,∴[x?(4-x)]?(2-3x)>8等价于15x-14>8,∴x>?.【答案】(?,+∞)引言题型示例总结对点集训 ?对于一个非空集合M,将M的所有元素相乘,所得之积
定义为集合M的“积”,现已知集合A={30,31,32,33,34,35},则A的所有非 空子集的“积”之积为 ????.【解析】A集合有六个元素,每个元素用了32次,则A的所有非空子集 的“积”之积为(30×31×32×33×34×35)32=3480.【答案】3480 引言题型示例总结对点集训【点评】新定义型填空题要求的能力水平较高,要求考生有较强的 分析转化能力,要求考生的知识具有系统性.能迁移已有的知识去解 决相关的问题.? 引言题型示例总结对点集训从考试的角度来看,解填空题只要做对就行,不需要中间过程,正因为 不需要中间过程,出错的几率大大增加.我们要避免在做题的过程中 产生笔误,这种笔误很难纠错,故在做题时最好在草稿上写出简要的 数据运算过程. 引言题型示例总结对点集训在平时训练时要注意以下几点:① 注意一般方法的训练,强化三基;② 注意对一些特殊题型结构与解法的总结,并分析出一些规律性的 东西;③ 注意对知识的联想、迁移、类比、归纳的应用,提高分析解决问 题的能力;④ 注意从不同的角度分析问题,从而比较用不同的方法解决题目的 速度与准确度.引言题型示例总结对点集训1.log2sin ?+log2cos ?的值为 ????.【解析】直接法:log2sin ?+log2cos ?=log2(sin ?·cos ?)=log2(?sin
?)=log2?=-2.【答案】-2引言题型示例总结对点集训2.已知|a|=|b|=|a-b|=2,则|2a-b|的值为 ????. 【解析】数形结合法:由|a|=|b|=|a-b|=2,不妨使a,b的起点相同,结合等 边三角形,可知a,b的夹角为?,|2a-b|=?=? =?=2?.【答案】2? 引言题型示例总结对点集训3.如图,一个空间几何体的正(主)视图、侧(左)视图都是面积为?,且
一个内角为60°的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积 为 ????.【解析】数形结合法:该几何体为两个相同的正四棱锥的组合,正四 棱锥的侧面的高为1,底面棱长为1.所以这个几何体的表面积为8×(?
×1×1)=4.【答案】4引言题型示例总结对点集训4.在数列{an}中,若a1=-1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an= ???? ????.【解析】构造法:构造数列{bn},使bn=an+3,bn+1=2bn,b1=a1+3=2,∴数列{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,∴bn=2n,∴an+3=2n,∴an=2n-3.【答案】2n-3引言题型示例总结对点集训5.已知函数f(x)=?则f[f(-10)]的值为 ???? .【解析】直接法:f(-10)=lg 10=1,f[f(-10)]=f(1)=21-2=?.【答案】? 引言题型示例总结对点集训6.学校要安排4名学生在周六、周日参加社会实践活动,每天至少1 人,则学生甲被安排在周六的不同排法的种数为 ????(用数字作 答).【解析】等价转化法:“学校要安排4名学生在周六、周日参加社会 实践活动,每天至少1人,则学生甲被安排在周六”等价于“除甲以 外的其他三人至少有一人被安排在周日”,故有23-1=7种排法.【答案】7引言题型示例总结对点集训7.执行下面某算法的程序框图,则输出的S是 ????.【解析】直接法:第一次:S=12,i=11;第二次:S=12×11=132,i=10;引言题型示例总结对点集训第三次:S=132×10=1320,i=9;故输出S=1320.【答案】1320引言题型示例总结对点集训8.设a>0,b>0,称?为a,b的调和平均数.如图,C为线段AB上的点,且
AC=a,CB=b,O为AB中点,以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半 圆于D,连结OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.则图中线段OD 的长度是a,b的算术平均数,线段 ????的长度是a,b的几何平均 数,线段 ????的长度是a,b的调和平均数.【解析】新定义型填空题:易知AD⊥BD,又CD⊥AB,则CD2=AC·CB= ab,那么CD的长度是a,b的几何平均数;又CE⊥OD,那么CD2=DE·DO, 则ab=DE·?,则DE=?,所以DE的长度是a,b的调和平均数.【答案】CD????DE引言题型示例总结对点集训9.已知函数f(x)=?(x∈R),给出下列命题:①对?x∈R,等式f(-x)+f(x)=0恒成立;②函数f(x)的值域为(-1,1);③若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);④函数g(x)=f(x)-x在R上有三个零点. 其中正确命题的序号为 .(把所有正确命题的序号都填上)【解析】多选型填空题:易知f(x)为奇函数,故①正确;|f(x)|=?<1,∴
-1④错.【答案】①②③引言题型示例总结对点集训10.f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(?)=f(x)-f(y).若f(6)=1,f(a)=2,
则a= ????.【解析】特殊化求解法:令x=36,y=6,得f(6)=f(36)-f(6),∴f(36)=2f(6)= 2.∵ f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,f(a)=2,∴a=36.【答案】36引言题型示例总结对点集训11.若x,y∈R且x2+y2=2x,则x2-2y2的取值范围是 ????.【解析】直接法:∵x2+y2=2x,∴y2=-x2+2x≥0,∴0≤x≤2.x2-2y2=x2-2(-x2+2x)=3x2-4x,∵0≤x≤2,∴3×(?)2-4×?≤3x2-4x≤3×22-4×2,∴-?≤3x2-4x≤4.即x2-2y2的取值范围为[-?,4].【答案】[-?,4]引言题型示例总结对点集训12.若实数x,y满足?如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m
= ????.【解析】数形结合法:画出可行域,∵x-y=0的斜率为1,y=2x-1的斜率 为2,∴在直线y=2x-1与直线x+y=m的交点处目标函数取到最小值,交点为(?,?),∴?-?=?=-1,∴m=5.【答案】5引言题型示例总结对点集训13.设函数f(x)=?若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于函数g(x)=f(x)
-x的零点有 ????个. 【解析】讨论法:∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2,∴?即? ∴f(x)=? 当x≤0时,f(x)=x,则x2+4x+2=x,即x2+3x+2=0,∴x=-1或x=-2,引言题型示例总结对点集训当x>0时,x=2,∴x=-1或x=-2或x=2. ∴函数g(x)有3个零点.【答案】3引言题型示例总结对点集训14.把正整数排列成如图甲的三角形数阵,然后擦去偶数行中的奇数 和奇数行的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小 到大的顺序排成一列,得到一个数列.若an=2013,则n= ????.12????3????45????6????7????8????910????11????12????13????14????15????1617????18????19????20????21????22????23????24????2526????27????28????29????30????31????32????33????34????35????36引言题型示例总结对点集训 ……图甲12????45????7????910????12????14????1617????19????21????23????2526????28????30????32????34????36引言题型示例总结对点集训 ????……图乙【解析】推理法:图甲中第n行有2n-1个数,∴前n行共有1+3+5+…+ (2n-1)=n2个数(也可以通过观察发现前n行共有n2个数).∵442=1936,4 52=2025,∴2013在第45行第2013-1936=77位,∴在图乙中,2013在第4 5行第39位,观察图乙第n行的个数为n,(1+2+3+…+44)+39=1029,∴a10 29=2013.【答案】1029引言题型示例总结对点集训15.过点M(2,-2p)作抛物线x2=2py(p>0)的两条切线,切点分别为A、B, 若线段AB中点的纵坐标为6,则抛物线的方程为 ????.【解析】整体法:设A(x1,y1),B(x2,y2),∵x2=2py,∴y=?,∴y'=?,故在A点处的切线的斜率为?,切点为A(x1,?),切线方程为y-?=?(x-x1),切线过M(2,-2p),∴-2p-?=?(2-x1),∴?-4x1-4p2=0.同理有?-4x2-4p2=0,因此x1、x2是方程x2-4x-4p2=0的两
个根,∴把x1+x2与x1·x2作为整体进行运算,引言题型示例总结对点集训∴? 线段AB中点的纵坐标为6,y1+y2=?+?=?=?=12,∴p2-3p+2=0(p>0),∴p=1或p=2,∴抛物线的方程为x2=2y或x2=4y.【答案】x2=2y或x2=4y引言题型示例总结对点集训课件103张PPT。QG-理科数学数学数学数学 数学思想方法是对数学知识最高层次的提炼与概括,数学思想 方法较之数学知识具有更高的层次,具有理性的地位,它是一种数学 意识,属于思维和能力的范畴,它是数学知识的精髓,是知识转化为能 力的桥梁.纵观近几年的高考试题,都加大了对数学思想方法的考查,把数学思想方法的考查寓于各部分知识的考查之中,以知识为载体,着重考查 能力与方法题目很常见.预测2013年高考中,还会有较多的题目以数 学知识为背景,考查数学思想方法,对数学思想方法的考查不会削弱, 会更加鲜明,更加重视.【函数与方程的思想】函数思想,就是运用运动和变化的观点,集合与对应的思想,去分析和 研究数学问题中的等量关系,建立或构造函数关系,再运用函数的图 象和性质去分析问题,达到转化问题的目的,从而使问题获得解决的 思想.方程思想,就是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中 的条件转化为数学模型——方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想.运用函数思想解决问题主要从下面四个方面着手:一是根据方程与 函数的密切关系,可将二元方程转化为函数来解决;二是根据不等式 与函数的密切关系,常将不等式问题转化为函数问题,利用函数的图 象和性质进行处理;三是在解决实际问题时,常涉及最值问题,通常是 通过建立目标函数,利用求函数最值的方法加以解决;四是中学数学 中的某些数学模型(如数列的通项或前n项和)可转化为函数问题,利 用函数相关知识或借助处理函数问题的方法进行解决.运用方程思想解决问题主要从以下四个方面着手:一是把问题中对 应的已知量与未知量建立相等关系,统一在方程中,通过解方程解决;二是从分析问题的结构入手,找出主要矛盾,抓住某一个关键变量,将 等式看成关于这个主变元(常称为主元)的方程,利用方程的特征解 决;三是根据几个变量间的关系,符合某些方程的性质和特征(如利 用根与系数的关系构造方程等),通过研究方程所具有的性质和特征 解决;四是中学数学中常见的数学模型(如函数、曲线等),经常转化 为方程问题去解决.热点一:构造函数性质解题在解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等 问题时,常通过构造函数,借助有关初等函数的性质求解.【解析】(法一)如图,由已知AB=2,AD=1,∠A=?可得AD⊥BD,又因
为?=?可得|CN|=2|BM|,若设|BM|=x(0≤x≤1),则|CN|=2x,?=(1-
x)?,?=x?,?·?=1,可知?·?=(?+?)·(?+?)=(?+x?)·
[?+(1-x)?]=1+x(1-x)+4(1-x)+x=-x2-2x+5=-(x+1)2+6,在0≤x≤1时,为 ?????????(2012年·上海)在平行四边形ABCD中,∠A=?,边AB
、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足 ?=?,则?·?的取值范围是 ????.减函数,所以2≤?·?≤5,答案为[2,5].(法二)由法一,可知如图建立平面直角坐标系xDy,设|BM|=a(0≤a≤1),则|CN|=2a,|DN|=2(1-a),故A(0,1),C(?,-1),M(?,-a),?=(?,-a-1),?=?+(1-a)?=(0,-1)+(1-a)·(?,-1)=(?-?a,a-2),可
得?·?=-a2-2a+5=-(a+1)2+6,可得2≤?·?≤5.【答案】[2,5]【归纳拓展】本题将向量数量积转化为以x或a为变量的函数,然后 通过函数的值域求出取值范围.利用函数求最值时要注意自变量的 取值范围,如本题中如果忽视0≤x或a≤1,将得出错误的范围.热点二:构造函数模型解题在解决应用问题时,将变量间的等量关系转化为函数关系,通过建立 函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数问题, 达到化难为易,化繁为简的目的.(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要 的时间;(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订 单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.?????(2012年·湖南)某企业接到生产3000台某产品的A,B,C
三种部件的订单,每台产品需要三种部件的数量分别为2,2,1(单位: 件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该 企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件 的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).【解析】(1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天) 分别为T1(x),T2(x),T3(x),由题设有T1(x)=?=?,T2(x)=?,T3(x)=?,其中x,kx,200-(1+k)x均为1到200之间的正整数.(2)完成订单任务的时间为f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定义域为{x| 0且最短时间为f(44)=?.②当k>2时,T1(x)>T2(x),由于k为正整数,故k≥3,此时?≥?=?.记T(x)=?,φ(x)=max{T1(x),T(x)},易知T(x)是增函数,则f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}=φ(x)=max{?,?}.由函数T1(x),T(x)的单调性知,当?=?时,φ(x)取最小值,解得x=?.由于36?,φ(37)=T(37)=?>?.此时完成订单任务的最短时间大于?.③当k<2时,T1(x)?.综上所述,当k=2时,完成订单任务的时间最短,此时,生产A,B,C三种 部件的人数分别为44,88,68.【归纳拓展】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、 最值等,考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力. 其中根据题目变量关系,建立函数模型是解决本题的关键.热点三:函数、方程、不等式的转化在解决函数、方程、不等式问题时,我们经常利用三者的联系进行 转化.若将变量间的等量关系看成函数关系,则可以将等量关系式转 化成函数,这时妙用函数的有关性质(值域、与坐标轴交点情形等) 就可解决问题;若将等量关系式看成关于某个未知量的方程,则利用 解方程或考虑根的情形可求得变量;若可将变量间的不等量关系式 看成关于某个未知量的不等式,则解这个不等式可求得这个变量的 取值范围.? 已知f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3,若对一切的x∈(0,+∞),2f(x)
≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围为 ???? .【解析】2xln x≥-x2+ax-3,则a≤2ln x+x+?,设h(x)=2ln x+x+?(x>0),则h'(x)=?,当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.∴h(x)min=h(1)=4.∵对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,∴a≤h(x)min=4.【答案】? 后通过导数判断单调性,求出最值.在多个字母变量的问题中,选准 “主元”往往是解题的关键.一般地,在一个含有多个变量的数学问 题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化. 或者含有参数的函数中,将函数自变量作为参数,而参数作为函数,更 具有灵活性,从而巧妙地解决有关问题.【归纳拓展】本题将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题,然热点四:方程在解析几何中的应用在解析几何中,我们经常将直线与圆、圆锥曲线的位置关系,转化为 对应的方程,从方程的角度来研究、分析问题.?????(2012年·广东)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:?
+?=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.【解析】(1)由题意得??? 故所求的椭圆方程为?+y2=1.(2)由题意可知切线的斜率一定存在,设直线l的方程为y=mx+n,由??y2=4·??my2-4y+4n=0,由题意得(-4)2-4m·4n=0?mn=1, ①又由??x2+2(mx+n)2=2?(1+2m2)x2+4mnx+2(n2-1)=0.又由题意得(4mn)2-4(1+2m2)·2(n2-1)=0?n2=2m2+1, ②由①、②得?或? 故直线l的方程为y=?x+?或y=-?x-?.【归纳拓展】本题利用方程的曲线将曲线有切点的几何问题转化 为方程有实解的代数问题.一般地,当给出方程的解的情况求参数的 范围时可以考虑应用“判别式法”,其中特别要注意解的范围.总结:(1)函数和方程是密切相关的,对于函数y=f(x),当y=0时,就转化为方程 f(x)=0,也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0;(2)函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x),当y>0时,就转化为 不等式f(x)>0,借助于函数图象与性质解决有关问题,而研究函数的 性质,也离不开解不等式;(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点 处理数列问题十分重要;(4)函数f(x)=(1+x)n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的,利用这个函 数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;(5)解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需 要通过解二元方程组才能解决,涉及二次方程与二次函数的有关理 论;(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列 方程或建立函数表达式的方法解决.【化归与转化的思想】转化与化归的思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借 助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转 化,进而达到解决问题的思想.等价转化有一些模式可以遵循,总是将抽象转化为具体,化复杂为简单(高维向低维的转化,多元向一元的转 化,高次向低次的转化等)、化未知为已知.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的数学问题 外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个 意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程,是一步步转 化的过程.历年高考,等价转化思想无处不见,我们要不断培养和训练 自觉的转化意识,这将有利于强化解决数学问题的应变能力,提高思 维能力和技能.热点一:一般问题与特殊问题的化归“特殊”问题往往比“一般”问题显得简单、直观和具体,容易解 决,并且在特殊问题的解决过程中,常常孕育着一般问题的解决方法. 有些数学问题,由于其特殊数量或位置关系,孤立地考察问题本身,造 成我们只见“树木”不见“森林”,难以解决.因此解题时,我们常常 将一般问题与特殊问题进行转化.(C)(?)n-1. ????(D)?.(A)2n-1. ????(B)(?)n-1.(2)(2012年·山东)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为 线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为 ????.?????(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于
?( ????)【解析】(1)由Sn=2an+1可得Sn=2(Sn+1-Sn),即Sn+1=?Sn,S1=a1=1,故{Sn}是首
项为1,公比为?的等比数列,故Sn=(?)n-1.(2)?=?=?×?×1×1×1=?.【答案】(1)B????(2)? 【归纳拓展】(1)选取数列的特殊项,(2)选取了特殊的E,F位置,显然, 当一般成立时,利用一般到特殊的转化更简单.热点二:正向思维与逆向思维的化归在数学解题中,通常的思维方式是从已知到结论,然而有些数学题按 照这种思维方式解则比较困难,而且常常伴随着较大的运算量,有时 甚至无法解决.在这种情况下,我们要多注意定理、公式、规律性例 题的逆用,正难则反往往可以使问题更简单.【解析】假设抛物线上两点(x1,?),(x2,?)关于直线y=m(x-3)对称,显然
m≠0,于是有?(?+?)=m·[?(x1+x2)-3],?=-?,? 试求常数m的范围,使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y
=m(x-3)垂直平分.则2?+?x1+?+6m+1=0,因为存在x1∈R使上式恒成立,Δ=(?)2-8(?+6m+1)>0,即(2m+1)(6m2-2m+1)<0因为6m2-2m+1>0恒成立,所以2m+1<0,所以m<-?,即当m<-?时,抛物线上存在两点关于直线y=m(x-3)对称,所以当m≥-?时,曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分.【归纳拓展】在解答问题时,正难则反是转换的一种有效手段,通常 适用于正面情况比较多或者不容易求解时,如本题中问题的反面是 存在一条弦能被直线y=m(x-3)垂直平分,解出问题反面m的范围,则原 问题就出来了 .热点三:命题与等价命题的化归 由命题A(或问题A)可推出命题B(或问题B),反之,命题B(或问题B)亦 可推出命题A(或问题A).即A与B互为充要条件时,称为A与B等价.利 用这种等价性将原命题(或原问题)转化成易于处理的新命题(或新 问题)的方法可以把不熟悉的问题向熟悉的问题转化.?????(2012年·江苏)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2
+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为 半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值为 ????.【解析】直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点等价于直线y=kx-2与圆(x-4)2+y2=4相切于T,以切点 T为圆心,1为半径的圆T与圆C相外切,即有公共点,如图,tan A=tan∠ BCA=?,所以k的最大值tan∠TBC=tan 2A=?.【答案】? 【归纳拓展】本题通过等价转化,将两圆的位置关系转化为圆心距 关系,然后转化为点到直线的距离,最终求出最值.总结:常见的化归方法:(1)换元法:例如利用“换元”将无理式化为有理式,高次问题化为低 次问题;(2)数形结合法:把形(数)转化为数(形),数形互补、互换获得问题的 解题思路;(3)向量法(复数法):把问题转化为向量(复数)问题;(4)参数法:通过引入参数,转化问题的形式,易于解决;(5)建模法:构造数学模型,把实际问题转化为数学问题或把一类数学 问题转化为另一类数学问题;(6)坐标法:以坐标为工具,实现“数”、“形”的对应、转化;(8)特殊化法:将一般问题特殊化,从特殊问题的解题思路中,寻找一 般问题的解题策略;(9)一般化方法:有时问题的本质特征可能被具体问题所掩盖,这时应 把特殊问题一般化,寻找解题思路;(10)加强命题法:即把命题结论加强为原命题的充分条件;(11)正与反的转化;(12)函数与方程、不等式之间的转化;(13)空间与平面之间的转化;(14)整体与局部的转化等等.【分类讨论的思想】在研究和解决数学问题时,当问题所给对象不能进行统一研究,我们 就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将对象区分为 不同种类,然后逐类进行研究和解决,从而达到解决整个问题的目的, 这一思想方法,我们称它为“分类讨论的思想”.解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对 象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理 分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐 步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得 出结论.热点一:根据数学概念、公式、定理、性质的条件分类讨论当问题中涉及的数学概念、定理、公式和运算性质、法则有范围 或条件限制,或者是分类给出的,在不同的条件下有不同的结论,或在 一定的限制条件下才成立,需要分类讨论.(A)(0,?). ????(B)(?,1).(C)(1,?). ????(D)(?,2).(2)(2012年·江西)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为???? ????.?????(1)(2012年·全国新课标)当0值范围是?( ????)【解析】(1)由题意得,当0≤?时,函数y=4x在函数y=logax图象的下方, 又当x=?时,?=2,即函数y=4x过点(?,2), 把点(?,2)代入函数y=logax得a=?,即?1时,不符合题意,舍去,所以实数a的取值范围是?0},B={x∈R|2x2-3
(1+a)x+6a>0},D=A∩B.【解析】(1)设g(x)=2x2-3(1+a)x+6a,Δ=9a2-30a+9=3(a-3)(3a-1),①当?∴D=(0,+∞).②当a=?时,Δ=0,此时B={x|x≠1},∴D=(0,1)∪(1,+∞).③当a0,方程g(x)=2x2-3(1+a)x+6a=0,有解为x1=?,x2=?,且x1<00,g(0)=6a>0,Δ>0,方程g(x)=2x2-3(1+a)x+
6a=0,有解为x1=?,x2=?,且00,g(0)=6a<0,Δ>0,方程g(x)=2x2-3(1+a)x+6a
=0,有解为x1=?,x2=?,且x1<0不成立,若a?,解得a(a-3)<0?a∈(0,?),∴f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在D内有一个极大值点a;④当a≤0时,只须考虑?<1,解得a>?矛盾;∴f(x)=2x3-
3(1+a)x2+6ax无极值点.综上,当a≤0时,f(x)在D内无极值点;当00)
连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的 曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.【解析】(1)设动点为M,其坐标为(x,y),当x≠±a时,由条件可得?·?=?·?=?=m,即mx2-y2=ma2(x≠±a),又A1(-a,0)、A2(a,0)的坐标满足mx2-y2=ma2,故依题意,曲线C的方程为mx2-y2=ma2.当m<-1时,曲线C的方程为?+?=1,C是焦点在y轴上的椭圆;当m=-1时,曲线C的方程为x2+y2=a2,C是圆心在原点的圆;当-10时,曲线C的方程为?-?=1,C是焦点在x轴上的双曲线.(2)由(1)知,当m=-1时,C1的方程为x2+y2=a2;当m∈(-1,0)∪(0,+∞)时,C2的两个焦点分别为F1(-a?,0),F2(a?,0).对于给定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),C1上存在点N(x0,y0)(y0≠0)使得S=|m|a2 的充要条件是? 由①得0<|y0|≤a,由②得|y0|=?.当0a,即-1?时,不存在满足条件的点N.当m∈[?,0)∪(0,?]时,由?=(-a?-x0,-y0),?=(a?-x0,-y0),可得?·?=?-(1+m)a2+?=-ma2.令|?|=r1,|?|=r2,∠F1NF2=θ,则由?·?=r1r2cos θ=-ma2,可得r1r2=-?,从而S=?r1r2sin θ=-?=-?ma2tan θ,于是由S=|m|a2,可得-?ma2tan θ=|m|a2,即tan θ=-?.综上可得:当m∈[?,0)时,在C1上,存在点N,使得S=|m|·a2,且tan∠F1NF2=2;当m∈(0,?]时,在C1上,存在点N,使得S=|m|·a2,且tan∠F1NF2=-2;当m∈(-1,?)∪(?,+∞)时,在C1上,不存在满足条件的点N.【归纳拓展】在求解直线与圆锥曲线问题时,首先要判断圆锥曲线 的类型,当不能作出判断的,要进行分类讨论.总结:常见的分类讨论问题有:(1)由数学概念引起的分类讨论:如绝对值的定义、不等式的定义、 二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条直 线所成的角等;(2)由数学运算要求引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零、偶 次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以 一个正数、负数对不等号方向的影响等;(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性引起的分类讨论;(5)由参数的变化引起的分类讨论,某些含参数的问题,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或者由于不同的参数值要运用不同的 求解或证明方法;(6)其他根据实际问题具体分析进行分类讨论,如排列、组合问题,应 用问题等.【数形结合的思想】数形结合思想,就是把问题的数量关系和图形结合起来考查的思想 方法,即根据解决问题的需要,可以把数量关系的问题转化为图形的 性质和特征去研究,或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题 去研究.数形结合思想,不仅是一种重要的解题方法,而且也是一种重要的思想方法,在高考中经常考查.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题 中,在求函数的值域、最值问题中,在求三角函数问题中,运用数形结 合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大 大简化了解题过程.热点一:代数问题几何化——以形助数以形助数就是根据数学问题中“数”的结构,构造出与之相应的几 何图形,并利用几何图形的特征,规律来研究解决问题,这样可以化抽 象为直观,易于显露出问题的内在联系,同时借助几何直观审题,还可 以避免一些复杂的数字讨论.“以形助数” 中的“形”,或有形或无 形.若有形,则可为图表与模型,若无形,则可另行构造或联想.因此 “以形助数”的途径大体有三种:一是运用图形;二是构造图形;三是 借助于代数式的几何意义.(2)(2012年·江苏)已知正数a,b,c满足:5c-3a≤b≤4c-a,cln b≥a+cln c, 则?的取值范围是 ????.?????(1)(2012年·天津)已知函数y=?的图象与函数y=kx
-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是 ????.【解析】(1)(法一)数形结合图象法,要使函数y=?=?与直线y
=kx-2恰好有两个交点,如图,因为y=kx-2过定点B(0,-2).所以0函数两段每段各有一个交点,所以①当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,方程x+1=k1x-2得k1=1+?,在(-∞,-1)与(1,+
∞)单调递减,故k1∈(-2,1)∪(1,4);②当x∈[-1,1),由-x-1=k2x-2(k2≠-1),有x=?,∴-1≤?<1,解得,k2>0或k2≤-2,所以k1∈(-∞,-2]∪(0,+∞),则直线y=kx与y=?=?在每一段函数有且只有一个
交点,那么k同时满足①②,故k∈(0,1)∪(1,4).(2)由题中条件可转化为:? 令?=x,?=y,题目转化为:已知x,y满足?求?的取值范围.作出如图所示的
可行域,其中C(0.5,3.5),可以求出过原点O与函数y=ex的相切的切线 是y=ex,且切点P在A,B之间,所以e≤?≤kOC=7,所以?的取值范围是[e,
7].【答案】(1)(0,1)∪(1,4)????(2)[e,7]【归纳拓展】(1)利用图象判断两函数的交点,或构造两函数判断方 程解的问题时,要注意图象的准确性和全面性.(2)本题中参数比较 多,如果采用代数法很难求解.如果利用?的几何意义,视为直线的斜
率,就可以利用线性规划知识求解.热点二:几何问题代数化——以数辅形以数辅形就是根据几何图形的特征,建立直角坐标系(或空间直角坐 标),构造出与之相应的代数方程或函数解析式,并利用代数方程的运 算来求解几何问题,运用代数方法研究几何问题.“以数辅形” 中的 “数”,一般是坐标的运算.因此“以数辅形”的途径大体有三种:一 是解析几何,二是向量法,三是函数.?????(1)(2012年·四川)函数y=ax-?(a>0,且a≠1)的图象可能
是?( ????)(2)(2012年·江苏)如图,在矩形ABCD中,AB=?,BC=2,点E为BC的中
点,点F在边CD上,若?·?=?,则?·?的值是 ????.【解析】(1)(法一)当a>1时,函数单调递增,由于0该向下平移不超过1个单位,根据选项排除A、B;当01,
此时函数图象向下平移超过1个单位,也即是与y轴交点应该在x轴下 方,所以选择D.(法二)由解析式知函数图象过点(-1,0),所以选D.(2)以AB作x 轴,AD作y 轴建立坐标系xOy,则A(0,0),B(?,0),C(?,2),E
(?,1),设F(x,2),?=(x,2),?=(?,0),因为?·?=?,所以?x=?,x=1,
?=(?,1),?=(1-?,2),所以?·?=(1-?)·?+2=?.【答案】(1)D????(2)? 【归纳拓展】(1)根据函数图象,判断函数解析式时,要从函数的单调 性、对称性、正负性、变换趋势、特殊点等性质入手.(2)本题如果 采用基向量法很麻烦,但是利用向量的坐标运算,将各向量用坐标表 示出来,转化为代数运算,问题变很简单了.总结:应用数形结合的思想,应注意以下数与形的转化(1)集合的运算及韦恩图;(2)函数及其图象;(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线以形助数常用的有借助数轴; 借助函数图象;借助单位圆;借助数式的结构特征;借助于解析几何方 法以数助形常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系;借助于运 算结果与几何定理的结合.? 一、选择题1.已知i为虚数单位,复数z1=a+i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为?(??? )(A)2. ????(B)-2. ????(C)2或-2. (D)±2或0.【解析】由|z1|=|z2|得?=?,解得a=±2.【答案】C2.已知?=1,(a、b、c∈R),则有?( ????)(A)b2>4ac. (B)b2≥4ac.(C)b2<4ac. ????(D)b2≤4ac.【解析】依题设有5a-?b+c=0,∴?是实系数一元二次方程ax2-bx+c
=0的一个实根,∴Δ=b2-4ac≥0,∴b2≥4ac,故选B.【答案】B3.(2012年·大纲全国)已知α为第二象限角,sin α=?,则sin 2α=?( ????)(A)-?. ????(B)-?.(C)?. ????(D)?.【解析】由sin α=?及α在第二象限可知cos α=-?,故sin 2α=2sin αcos α=2×?×(-?)=-?.【答案】A4.函数f(x)=x2-2x在区间? 上的值域是?,则点(a,b) 的轨迹是图中
的?( ????)(A)线段AB和线段AD.(B)线段AB和线段CD.(C)线段AD和线段BC.(D)线段AC和线段BD.【解析】作出函数f(x)=x2-2x的图象,易知f(1)=-1, f(-1)=f(3)=3,若a=-1, 则b∈?;若b=3,则a∈?,∴轨迹为线段AB和线段AD.【答案】A5.设a>1,则双曲线?-?=1的离心率e的取值范围是?( ????)(A)(?,2). ????(B)(?,?).(C)(2,5). ????(D)(2,?).【解析】e2=(?)2=?=1+(1+?)2,所以当a>1时,05,即?b>0),再设P(x0,y0),则△PF1F2的面
积为?|F1F2||y0|=?×8|y0|=4|y0|≤4b.所以,此时4b=12,解得b=3,又c=4,所
以a2=b2+c2=25,故椭圆的标准方程为?+?=1.【答案】A8.若f(x)=-?x2+bln (x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是?
( ????)(A)[-1,+∞). ????(B)(-1,+∞).(C)(-∞,-1]. ????(D)(-∞,-1).【解析】由题意知:f'(x)=-x+?≤0在x∈(-1,+∞)上恒成立, 所以b≤
x2+2x.因为y=x2+2x在(-1,+∞)上是增函数,所以x2+2x>-1,故b≤-1,选C.【答案】C9.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)+f(x)=0,且在区间[0,2]上是 增函数,则?( )(A)f(-25)f(0)=0,所以-f(1)<0,即f(-25)因此该两点间的距离为?的概率是?.【答案】? 二、填空题11.函数y=(lo?x)2+lo?x的单调递减区间是 ????.【解析】设lo?x=t,则y=t2+t=(t+?)2-?,所以,当t≥-?,即lo?x≥-?时,原
函数为减函数,解得x∈(0,?].【答案】(0,?]12.若不等式?≤k(x+1)的解集为区间[a,b],且b-a=1,则k= ????
????.【解析】令y1=?, y2=k(x+1),其示意图如图.若k>0,要满足y1≤y2,则b=2,此时a=1,从而k=?=?.若k<0,要满足y1≤y2,则a=-2,则b=a+1=-1,从而k不存在.【答案】? 13.(2012皖南八校)已知椭圆C:?+y2=1,直线l与椭圆C相交于A、B两
点,?·?=0(其中O为坐标原点).三、解答题(1)试探究:点O到直线AB的距离是否为定值?若是,求出该定值,若不 是,请说明理由;(2)求|OA|·|OB|的最小值.【解析】(1)点O到直线AB的距离是定值.设A(x1,y1),B(x2,y2),①当直线AB的斜率不存在时,则由椭圆的对称性可知,x1=x2,y1=-y2.∵?·?=0,∴x1x2+y1y2=0,也就是?-?=0,代入椭圆方程解得:|x1|=|y1|=
?.此时点O到直线AB的距离d=|x1|=?. ②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,与椭圆C:?+
y2=1联立,消去y得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,x1+x2=-?,x1x2=?,因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,所以(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,代入得:(1+k2)?-?+m2=0,整理得5m2=4(k2+1),O到直线AB的距离d=?=?.综上所述,点O到直线AB的距离为定值?.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线OA的斜率为k(k≠0),则OA的方程为y=kx, OB的方程为y=-?x,解方程组?得? 同理可求得? 故|OA|·|OB|=?|x1|?|x2|=4?.令1+k2=t(t>1),则|OA|·|OB|=4?=4?,令g(t)=-?+?+4=-9(?-?)2+?(t>1),所以4