高三数学复习 第二轮专题训练
数列的综合运用
知能目标
1. 进一步理解等差数列和等比数列的概念和性质.
2. 能熟练应用等差数列与等比数列的通项公式, 中项公式,前n项和公式, 强化综合运用这些公式解题的能力.
3. 在解数列综合题的实际中加深对基础知识, 基本技能和基本数学思想方法的认识, 沟通各类知识的联系, 形成完整的知识网络, 提高分析问题和解决问题的能力.
综合脉络
1. 揭示数列本质
数列与函数的关系 数列是一类特殊的函数. 从函数的观点看, 对于一个定义域为正整
数集(或它的有限子集)的函数来说, 数列就是这个函数当自变量从小到
大依次取值时对应的一列函数值.
等差数列与函数的关系 公差时, 分别是n的一次函数和二次函数. 反过来,
如果是n的一次函数, 那么一定是公差不为0的等差数列; 如果是n的二次函数且
常数项为0, 那么一定是公差不为0的等差数列.
通项与前n项和之间的关系:
2. 分析高考趋势
数列是初等数学与高等数学衔接和联系最密切的内容之一, 是进一步学习高等数学的基础, 数列的题目形态多变, 蕴含丰富的数学思想和数学方法, 是高考的热点之一. 在近几年新教材的高考试题中, 对数列的考查多以解答题的形式出现, 数列与函数, 数列与不等式等的综合知识, 在知识的交汇点处设计题目, 成为高考对能力和素质考查的重要方面. 在数列方面的考查, 对能力方面的要求, 呈现越来越高的趋势, 对知识考查的同时, 伴随着对数学思想方法的考查. 在近几年新教材的高考试题中, 数列约占％左右, 考查的内容主要有: ①等差数列、等比数列的基本知识 (定义、通项公式、前n项和公式); ②等差数列、等比数列与其他知识点的综合运用, 及应用数列知识解决实际问题; ③ 函数和方程的思想, 化归思想, 分类讨论思想, 待定系数法等.
(一) 典型例题讲解:
例1. 已知, , 求的值.
例2. 已知数列，且 其中
(1) 求; (2) 求的通项公式.
例3. 在公差不为零的等差数列及等比数列中, 已知a1＝1, 且a1＝b1, a2＝b2, a8＝b3.
(1)求数列的公差d和的公比q ;
(2)是否存在常数a、b使得对于一切自然数n, 都有成立, 若存在, 求
出a、b的值, 若不存在, 说明理由.
(二) 专题测试与练习:
一. 选择题
1. 数列的通项公式为, 若前n项和为24, 则n为 ( )
A. 25 B. 576 C. 624 D. 625
2. 设数列是递增等差数列, 前三项的和为12, 前三项的积为48, 则它的首项是 ( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
3. 设, 那么等于 ( )
A. B.
C. D.
4. 若数列前8项的值各异, 且对任意都成立, 则下列数列中可取遍
前8项值的数列为 ( )
A. B. C. D.
5. 已知数列, 那么“对任意的, 点都在直线上”是“
为等差数列”的 ( )
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 根据市场调查结果, 预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量(万件)近似
地满足. 按此预测, 在本年度内, 需求量超过1.5
万件的月份是 ( )
A. 5月、6月 B. 6月、7月 C. 7月、8月 D. 8月、9月
二. 填空题
7. 数列前n项和为______ ____.
8. 设是首项为1的正项数列, 且, 则它的
通项公式是____ _____ .
9. 已知一个等比数列首项为1, 项数是偶数, 其奇数项之和为85, 偶数项之和为170, 求这个
数列的公比 , 项数为 .
10. 在各项均为正数的等比数列中, 若则
.
三. 解答题
11. 数列的前n项和为, 且, 求
(1) ,,的值及数列的通项公式; (2) 的值.
12. 有穷数列的前n项和S n＝2n2＋n, 现从中抽取某一项(不是首项和末项)后, 余下项的
平均值是79. (1)求数列的通项; (2)求数列的项数及抽取的项数.
13. 已知等比数列共有m项, 且各项均为正数, , ＋＋.
(1) 求数列的通项;
(2) 若数列是等差数列, 且, , 判断数列前m项的和与数列的前m项和的大小并加以证明.
数列的综合运用 参考答案
(一) 典型例题
例1. 解：故
例2. 解：(1) ,
所以,
(2) 所以
同理……,
所以
由此得 于是
的通项公式为:
当n为奇数时, 当n为偶数时,
例3. 解：(1) 或.
取.
(2)
假设存在, 则有
存在, 使成立.
(二) 专题测试与练习
一. 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
D
A
B
C
二. 填空题
7. ; 8. 9. 2 , 8 ; 10. 10 .
三. 解答题
11. 解: (1) 由得
由, 得
又, 所以
∴ 数列的通项公式为;
(2)由(1)可知是首项为, 公比为项数为n的等比数列,
∴
12. (1)
(2) 设抽去是第k项则有: ,
移项得:
,
所以抽去的是79,
13. 解: (1) 设等比数列的公比为q, 则∴或,
∵的各项均为正数, ∴. 所以.
(2) 由得. 数列是等差数列, ,
而
∵
∴当时, . ∴当时, .
专题3 不等式
江苏省震泽中学 王利平
填空题
例1 已知集合A＝，B＝，其中a∈R.定义A×B＝{x|x＝x1＋x2，
x1∈A，x2∈B}，若集合A×B中的最大元素为2a＋1，则a的取值范围是________．
解析 A×B＝{a2,2a，a2＋1,2a＋1}．由题意，得2a＋1＞a2＋1，解得0＜a＜2.
答案 (0,2)
例2 ．设则三者的大小关系
解析 a=2=, b=In2=,而,所以a
c==,而,所以c答案
例3 ．对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1,2)，
解关于x的不等式ax2－bx＋c＞0”．给出如下一种解法：
解 由ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c＞0的解集为(－2,1)，
即关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(－2,1)．
参考上述解法，若关于x的不等式＋＜0的解集为∪，则关于x的不等式＋＜0的解集为________．
解析 不等式＋＜0可化为＋＜0，所以有∈∪，
即x∈(－3，－1)∪(1,2)，从而不等式＋＜0的解集为(－3，－1)∪(1,2)．
答案 (－3，－1)∪(1,2)
例4 ．设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于
解析 由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，
可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为
。
答案 4
例5 ．若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．
①； ②； ③ ；
④； ⑤
解析 令，排除②④；由，命题①正确；
，命题③正确；，命题⑤正确。
答案 ①，③，⑤
例6 ．对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析 ∵≤a恒成立，∴a≥max，而＝≤
＝(x>0)，当且仅当x＝时，等号成立，∴a≥.
答案 a≥
例7 ．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
解析 由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即xy＝(x＋y)2－1≤，所以(x＋y)2≤1，
故－≤x＋y≤，当x＝y时“＝”成立，所以x＋y的最大值为.
答案
例8 ．已知且，则的取值范围是_______（答案用区间表示）
解析 画出不等式组表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y，当直线经过x-y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3-3×1=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A（1，-2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8.
答案 （3，8）
例9 ．当a>0且a≠1时，函数f(x)＝loga(x－1)＋1的图象恒过点A，若点A在直线mx－y＋n＝0上，则4m＋2n的最小值为________．
解析 易知f(x)恒过点(2,1)．由于(2,1)在mx－y＋n＝0上，则2m＋n＝1.又4m＋2n＝22m
＋2n≥2＝2，当且仅当m＝，n＝时等号成立．
答案 2
例10 ．已知点P在直线x＋2y－1＝0上，点Q在直线x＋2y＋3＝0上，PQ中
点M(x0，y0)满足y0＞x0＋2，则的取值范围是________．
解析 设＝k，则y0＝kx0.由题意，得
所以从而有＞2，即＜0，解得－＜k＜－.所以∈
.
答案
例11 ．若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）
∴△ABC=，设与的
交点为D，则由知，∴
∴。
答案 例12 ．若不等式(－1)n－1(2a－1)＜对一切正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 当n为奇数时，原不等式即为(2a－1)＜，又对一切正整数n恒成立，所以2a
－1＜?a＜，当n为偶数时，原不等式即为－(2a－1)＜，即2a－1＞－又对一切正整数n恒成立，所以2a－1＞－，从而a＞－，所以a的取值范围是.
答案
例13 ．已知x∈(0，π)，则函数f(x)＝的最小值为________．
解析 f(x)＝＝＝＋≥2
＝4，当且仅当＝，即tan ＝时取“＝”，因为0＜＜，所以存在x使tan ＝，这时f(x)min＝4.
答案 4
例14 ．已知实数x，t，满足8x＋9t＝s，且x＞－s，则的最小值为________．
解析 设x＋t＝m，则
＝＝
＝＝9m＋.因x＞－s，即x＞－(8x＋9t)，所以x＋t＞0，即m＞0，所以9m＋≥6，当且仅当m＝，即x＋t＝时等号成立．故所求最小值为6.
答案 6
例15．已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＜0，则关于x
的不等式f(mx2)－2f(x)＞f(m2x)－2f(m)(0＜m＜)的解集为________．
解析 由题意，得f(x)是奇函数且在R上为增函数，所以由f(mx2)＋f(2m)＞f(m2x)＋f(2x)，
得f(mx2＋2m)＞f(m2x＋2x)，即mx2＋2m＞m2x＋2x，也即(x－m)>0.
又0＜m＜，所以x＜m，或x＞.
答案
例16．若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，则c的最大值为________．
解析 ∵2a＋b＝2a＋2b≥2＝2(当且仅当a＝b时取等号)，
∴(2a＋b)2－4×2a＋b≥0，∴2a＋b≥4或2a＋b≤0(舍)．
又∵2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，∴2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，
∴2c＝(2a＋b≥4)．
又∵函数f(x)＝＝1＋(x≥4)单调递减，
∴2c≤＝，∴c≤log2＝2－log23.
答案 2－log23
二、解答题
例17．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热屋建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系式：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解 (1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用C1(x)＝6x.
故f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)由f(x)＝2≥2(2－5)＝70，当且仅当＝3x＋5，
即x＝5时等号成立，得f(x)min＝70.
当隔热层修建为5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
例18．设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；
(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1解 (1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3.
由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，
故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1，
由此得 解得
所以切线l的方程为x－y－2＝0.
(2)由(1)得f(x)＝x3－4x2＋5x－2，
所以f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x.
依题意，方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x1、x2，故x1、x2是方程
x2－3x＋2－m＝0的两相异的实根，所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－.
又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)特别地，取x＝x1时，f(x1)＋g(x1)－mx1<－m恒成立，得m<0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝3>0，x1x2＝2－m>0.故0对任意的x∈[x1，x2]，有x－x2≤0，x－x1≥0，x>0，
所以f (x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0.
又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0，
所以函数f(x)＋g(x)－mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0.
于是当m<0时，对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)综上所述，m的取值范围是.
例19．已知函数f(x)＝sin x＋cos x和g(x)＝2sin x·cos x.
(1)若a为实数，试求函数F(x)＝f(x)＋ag(x)，x∈[0，]的最小值h(a)；
(2)若对任意x∈[0，]，使|af(x)－g(x)－3|≥恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)F(x)＝f(x)＋ag(x)＝sin x＋cos x＋2asin xcos x.
设t＝sin x＋cos x，则2sin xcos x＝t2－1，所以φ(t)＝t＋a(t2－1)＝at2＋t－a，
由x∈[0，]，得t∈[1，]．
若a＝0，则h(a)＝φ(1)＝1；若a＞0，则φ(t)＝a2－a－，因为t＝－＜0，
所以φ(t)在[1，]上单调递增，所以h(a)＝φ(1)＝1；
若a＜0，则当－≤，即a≤1－时，h(a)＝φ()＝a＋；当－＞，
即1－＜a＜0时，h(a)＝φ(1)＝1.
综上所述，h(a)＝
(2)由|af(x)－g(x)－3|≥，得|a(sin x＋cos x)－2sin xcos x－3|≥.
设t＝sin x＋cos x，则2sin xcos x＝t2－1，且由x∈，得t∈[1，]．
所以|at－t2－2|≥恒成立，即t2－at＋2≤－或t2－at＋2≥恒成立．
由t2－at＋2≤－，得a≥t＋，因为t∈[1，]，且t＋在[1，]上递减，
所以t＋≤，所以a≥.由t2－at＋2≥，得a≤t＋.因为t∈ [1，]，
所以t＋≥2＝，当且仅当t＝，即t＝时等号成立，所以a≤.
综上所述a≤或a≥.
例20．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.
(1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，
请据此算出H的值．
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的
距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若
电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α—β最大？
解 (1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，得＋＝，
解得H＝＝＝124.
因此，算出的电视塔的高度H是124 m.
(2)由题设知d＝AB，得tan α＝.
由AB＝AD－BD＝－，得tan β＝，所以tan(α－β)
＝
＝≤.
当且仅当d＝，即d＝
＝＝55时，上式取等号，所以当d＝55时tan(α－β)最大．
因为0＜β＜α＜，则0＜α－β＜，所以当d＝55时，α－β最大．
故所求的d是55 m.
专题4 数列
江苏省常熟中学 王宇红
一、解答题
1、设等差数列的前n项和为__ __.
答案：18
解析：则解得：．
2、等比数列中，an>0，且an+2=an+an+1，则数列的公比q= ．
答案：
解析：，又有，解得．
3、设数列是公比为q的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则 ．
答案：
解析：的连续四项只能为．
4、已知数列满足，则当n＝________时，取得最小值．
答案：3
解析：迭加得，，n=3时取得最小值．
5、函数（x>0）的图像在点处的切线与x轴交点横坐标为其中.若则的值是_______________.
答案：21
解析：切线，解得，∴=．
6、数列满足．
则 .
答案：
解析：对n分奇偶讨论得．
7、数列中，，则数列的前2012项的和为 ．
答案：
解析：．
8、已知等差数列5，4，3，……，记第n项到第n+6项的和为Tn，则取得最小值时的n的值为 ．
答案：5
解析：，，∴n=5时，最小为0.
9、已知数列满足，，则_____．
答案：-6
解析：周期为4.
10、数列若对任意恒成立，则正整数m的最小值是 .
答案：10
解析：可得为等差，，又得递减，∴，∴正整数m的最小值为10.
11、已知等差数列的前n项和为Sn，若，
，下列为真命题的序号为 ．
①；②；③；④．
答案：②③
解析：∵为奇函数，∴，∴②正确；
又∵为增函数，∴，∴③正确．，∵，∴，∵，∴递减，∴．∴④错误．
12、设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和，记，设为数列的最大值，则 .
答案：4
解析：，当且仅当取最小值．
13、已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝x(x∈N*)，an＋2＝|an＋1－an|，若前2 010项中恰好有666项为0，则x＝____________．
答案：8或9
解析：将，依次取1、2、3、4、5、6、…，分别写出数列，可以看到数列均从某一项开始出现，而当x=8或9时，能满足题中要求．
14、已知函数记，，若则m的最大值为________．
答案：5
解析：，=-1，，，∴m的最大值为5.
二、解答题
15、设等比数列的前n项和为．已知
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为的等差数列．
①求证：；
②在数列中是否存在不同的三项（其中m、k、p成等差数列）成等比数列？若存在求出这样的三项；若不存在说明理由．
解析：（1）解：；（2）①解：，则，
，错位相减法得．
（3）设，．
∵，∴，则与题意矛盾，∴不存在．
16、已知数列的首项（a为常数，且），（），数列的首项．
（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设为数列的前n项和，且为等比数列，求实数a的值；
（3）当时，求数列的最小项．
解析：（1）
=，又∵，∴从第2项起是以2为公比的等比数列．
（2），
，．
∵为等比数列，∴得， 代入检验得，．
∴．
（3），符合．
∴．
，
得，，，
∵，∴时，∴最小项在中产生．
当时，最小项为；当时，最小项为；当时，最小项为；
当时，最小项为；当时，最小项为．
17、已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为－2的等差数列；am＋1，
am＋2，…，a2m是首项为，公比为的等比数列（其中 m≥3，m∈N*），并对任意的n∈N*，均有an＋2m＝an成立．
（1）当m＝12时，求a2010；
（2）若a52＝，试求m的值；
（3）判断是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m＋3≥2010成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．
解析：（1）m=12时，周期为24，∵，∴．
（2）∵，∴等比数列至少有7项，一个周期至少有14项，
∴可能是第一、二、三周期中的项．
若在第一个周期，则，∴；
若在第二个周期，则，∴；
若在第三个周期，则，∴；
∴m=9或15或45.
（3），
∵
∴，
当时，，时，
∴时，有最大值
∴有最大值为，∴无解．
18、对于给定数列，如果存在实常数命名得对于任意都成立，我们称数列是“M类数列”．
（1）若，数列是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；
（2）证明：若数列是“M类数列”，则数列也是“M类数列”；
（3）若数列满足为常数，求数列前2009项的和，并判断是否为“M类数列”，说明理由．
解析：（1）数列满足，存在，∴是“M类数列”；
数列满足，存在，∴是“M类数列”；
（2）证明：∵是“M类数列”，∴，
则有．
∴也是“M类数列”，对应的常数为p，2q．
（3）解：=．
若是“M类数列”， 设
则
对恒成立．∴．
当时，，此时是“M类数列”，t=1；
当时，，此时是“M类数列”．
∴或1.
专题5 分类讨论思想
太仓高级中学 钱 华
一、填空题：
1．设集合A＝{x||x|≤4}，B＝{x||x－3|≤a}，若，则实数a的取值范围是________．
解析：①当a＜0时，B＝，符合题意；
②当a≥0时，B≠，B＝{x|3－a≤x≤3＋a}，由得，解得0≤a≤1，
综上所述a≤1．
2．已知实数a≠0，函数，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为_______
解析：①a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1，则可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)＋2a，解得a＝－，与a＞0矛盾，舍去；
②a＜0时，1－a＞1，1＋a＜1，则－(1－a)＋2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－；
所以a＝－．
3．已知定义在闭区间[0,3]上的函数f(x)＝kx2－2kx的最大值为3，那么实数k的取值集合为________．
解析：f(x)＝kx2－2kx＝k(x－1)2－k，
①当k＞0时，二次函数开口向上，当x＝3时，f(x)有最大值，即f(3)＝3k＝3，解之得k＝1；
②当k＜0时，二次函数开口向下，当x＝1时，f(x)有最大值，即f(1)＝－k＝3，解之得k＝－3；
③当k＝0时，显然不成立．
∴{1，－3}
4．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为 ．
解析：当双曲线焦点，在x轴上时，＝，∴＝＝e2－1＝，∴e2＝，∴e＝；
当双曲线焦点在y轴上时，＝，∴＝＝e2－1＝，
∴e2＝，∴e＝．
5．若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a、b的取值范围是______．
解析：①当a＞0时，需x－b恒为非负数，即a＞0，b≤0，
②当a＜0时，需x－b恒为非正数．
又∵x∈[0，＋∞)，∴不成立．
综上所述，由①②得a＞0且b≤0．
6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝，S3＝，则a1的值为________．
解析 当q＝1时，S3＝3a1＝3a3＝3×＝，符合题意，所以a1＝；
当q≠1时，S3＝＝a1(1＋q＋q2)＝，又a3＝a1q2＝得a1＝，代入上式，
得(1＋q＋q2)＝，即＋－2＝0，解得＝－2或＝1(舍去)．
因为q＝－，所以a1＝＝6，
综上可得a1＝或6.
7．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是__________．
解析 分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，画出图象，
由图象知a应满足的条件是?0＜a＜．
8．已知圆x2＋y2＝4，则经过点P(2,4)，且与圆相切的直线方程为__________．
解析：①当斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0，若直线与圆相切，则，解得k＝，所以切线方程是3x－4y＋10＝0；
②当斜率不存在时，易得切线方程是x＝2．
9．若函数在其定义域内有极值点，则a的取值为 ．
解析 即f(x)＝(a－1)x2＋ax－＝0有解，
①当a－1＝0时，满足题意；
②当a－1≠0时，只需Δ＝a2－(a－1)＞0，解得；
综上所述，a的取值范围是或a＝1．
10．如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a＞0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是________．
解析：先考查拼成三棱柱(如图(1)所示)全面积：
S1＝2××4a×3a＋(3a＋4a＋5a)×＝12a2＋48；
再考查拼成四棱柱(如图(2)所示)全面积：
①若AC＝5a，AB＝4a，BC＝3a，则该四棱柱的全面积为S2＝2×4a×3a＋2(3a＋4a)×＝24a2＋28；
②若AC＝4a，AB＝3a，BC＝5a，则该四棱柱的全面积为S2＝2×4a×3a＋2(3a＋5a)×＝24a2＋32；
③若AC＝3a，AB＝5a，BC＝4a，则该四棱柱的全面积为S2＝2×4a×3a＋2(4a＋5a)×＝24a2＋36；
又在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，从而知24a2＋28＜12a2＋48?12a2＜20?0＜a＜．
即a的取值范围是．
11．若函数f(x)＝a＋bcosx＋csinx的图象经过点(0,1)和(,1)两点，且x∈[0,]时，|f(x)|≤2恒成立，则实数a的取值范围是_______．
解析：由f(0)＝a＋b＝1，f()＝a＋c＝1，得b＝c＝1－a，f(x)＝a＋(1－a)(sinx＋cosx)＝a＋(1－a)sin(x＋)，∵，
①当a≤1时，1≤f(x)≤a＋(1－a)，∵|f(x)|≤2，∴只要a＋(1－a)≤2解得a≥－，∴－ ≤a≤1；②当a＞1时，a＋(1－a)≤f(x)≤1，∴只要a＋(1－a)≥－2，解得a≤4＋3, ∴1＜a≤4＋3，综合①,②知实数a的取值范围为[－，4＋3]．
12．函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围是__________
解析：①当m＝0时，f(x)＝1－3x，其图象与x轴的交点为(,0)，满足题意；
②当m＞0时，由题意得，解得0＜m≤1；
③当m＜0时，由题意得，解得m＜0；
所以m的取值范围是m≤1
13．设0＜b＜1＋a，若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中的整数恰好有3个，则实数a的取值范围是________
解析：原不等式化为[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]＞0，①当a≤1时，易得不合题意；
②当a＞1时，－＜x＜，由题意0＜＜1，要使不等式解集中恰好有3个整数，则－3≤－＜－2，整理得2a－2＜b≤3a－3，结合题意b＜1＋a，有2a－2＜1＋a，
∴a＜3，从而有1＜a＜3．
14．数列的通项，其前n项和为Sn，则Sn＝_________．
解析：因为，所以{}是以3为周期的数列，因此，在数列求和时应分三类进行讨论：
①当，时，
；
②当时，；
③当时，
综上所述，()．
二、解答题：
15．设A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，且x∈A}，C＝{z|z＝x2，且x∈A}，若C?B，求实数a的取值范围．
解 ∵y＝2x＋3在[－2，a]上是增函数，∴－1≤y≤2a＋3，即B＝{y|－1≤y≤2a＋3}．
作出z＝x2的图象，该函数定义域右端点x＝a有三种不同的位置情况如下：
①当－2≤a＜0时，a2≤z≤4，即C＝{z|a2≤z≤4}，要使C?B，由图1可知，则必须2a＋3≥4，得a≥，这与－2≤a＜0矛盾．
②当0≤a≤2时，0≤z≤4，即C＝{z|0≤z≤4}，要使C?B，由图2可知，
必须解得≤a≤2；
③当a＞2时，0≤z≤a2，即C＝{z|0≤z≤a2}，要使C?B，由图3可知，
必须且只需解得2＜a≤3；
④当a＜－2时，A＝，此时B＝C＝，则C?B成立．
综上所述，a的取值范围是(－∞，－2)∪[，3]．
16．已知函数，a∈R．
（1）当a≤0时，求证函数在(－∞,＋∞)上是增函数；
（2）当a＝3时，求函数在区间[0,b](b＞0)上的最大值．
解：（1）∵a≤0，∴x2－a≥0，∴f(x)＝x(x2－a)＝x3－ax，f ((x)＝3x2－a，
∵f ((x)≥0对x∈R成立，
∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
（2）解：当a＝3时，f(x)＝x|x2－3|＝
（i）当x＜－，或x＞时，f ((x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)＞0．
（ii）当－＜x＜时，f ((x)＝3－3x2＝－3(x－1)(x＋1)．
当－1＜x＜1时，f((x)＞0；
当－＜x＜－1，或1＜x＜时，f((x)＜0．
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－]，[－1，1]，[，＋∞)；
f(x)的单调递减区间是[－，－1]，[1，]．
由区间的定义可知，b＞0．
①若0＜b≤1时，则[0，b]([－1，1]，因此函数f(x)在[0，b]上是增函数，
∴当x＝b时，f(x)有最大值f(b)＝3b－b3．
②若1＜b≤时，f(x)＝3x－x3在[0，1]上单调递增，在[1，b]上单调递减，因此，在x＝1时取到极大值f(1) ＝2，并且该极大值就是函数f(x)在区间[0，b]上的最大值．
∴当x＝1时，f(x)有最大值2．
③若b＞时，当x∈[0，]时，f(x)＝3x－x3在[0，1]上单调递增，在[1，]上单调递减，因此，在x＝1时取到极大值f(1)＝2，在x∈[，b]时，f(x)＝x3－3x在[，b]上单调递增，在x＝b时，f(x)有最大值f(b)＝b3－3b．
（i）当f(1)≥f(b)，即2≥b3－3b，b3－b－2b－2≤0，b(b2－1)－2(b＋1)≤0，(b＋1)2(b－2)≤0，b≤2．
∴当＜b≤2时，在x＝1时，f(x)取到最大值f(1)＝2．
（ii）当f(1)＜f(b)，解得b＞2，
∴当b＞2时，f(x)在x＝b时，取到最大值f(b)＝b3－3b．
综上所述，函数y＝f(x)在区间[0，b]上的最大值为ymax＝
17．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，，若数列{an+1＋λan}是等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：当k为奇数时，；
（3）求证：．
解：（1）∵数列{an+1＋λan}是等比数列，∴
为常数，∴，解得或．
当时，数列{an+1＋2an}是首项为15，公比为3的等比数列，则①，
当时，数列{an+1－3an}是首项为－10，公比为－2的等比数列，则②，∴①－②得：；
（2）当k为奇数时，,
∴；
（3）由（2）知k为奇数时，，
①当n为偶数时，；
②当n为奇数时，；
∴．
18．已知,且.
（1）当时,求在处的切线方程；
（2）当时,设所对应的自变量取值区间的长度为(闭区间的长度定义为)，试求的最大值；
（3）是否存在这样的，使得当时,?若存在,求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
解:（1）当时,.
因为当时,,,
且,
所以当时,,且
由于,所以,又,
故所求切线方程为,
即
（2）因为，所以，则
当时,因为,，
所以由，解得，
从而当时,．
当时,因为，，
所以由，解得，
从而当时,，
③当时，因为,
从而 一定不成立，
综上得,当且仅当时，，
故，
从而当时,取得最大值为．
（3）“当时,”等价于“对恒成立”,
即“(*)对恒成立” ，
当时，，则当时,，则(*)可化为
，即，而当时，，
所以，从而适合题意．
当时,.
⑴当时，(*)可化为，即,而，
所以，此时要求；
⑵当时，(*)可化为,
所以，此时只要求；
⑶当时，(*)可化为,即，而，
所以，此时要求；
由⑴⑵⑶，得符合题意要求.
综合①②知,满足题意的存在,且的取值范围是．
专题7 立体几何
江苏省黄埭中学 李其龙
一、填空题
例1.下列结论正确的是
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥
④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
答案：④，简单几何体基本概念与性质
例2．在正方体各个表面的12条对角线中，与
垂直的有____ _ 条．
答案：6，异面直线垂直判断
例3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是 ．
答案：24，正四棱锥的结构特征、侧面积的计算方法
例4．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝，则棱锥O—ABCD的体积为 ．
答案：，球与其它几何体的组合问题．
例5．如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为 .
答案：考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得.
例6． 若、为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是________.
①若、都平行于平面，则、一定不是相交直线；
②若、都垂直于平面，则、一定是平行直线；
③已知、互相垂直，、互相垂直，若，则；
④、在平面内的射影互相垂直，则、互相垂直．
答案：①为假命题，②为真命题，在③中n可以平行于β，也可以在β内，是假命题，④中，m、n也可以不互相垂直，为假命题；故答案为②.
例7．α、β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列四个条件中是a⊥b的充分条件的有 ．
①a//α，bβ；②a⊥α，b//β；③a⊥α，b⊥β；④a//α，b//β且a与α的距离等于b与β的距离．
答案：③，本题主要考查空间线面之间的位置关系，特别是判断平行与垂直的常用方法．
例8．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为18 cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________．
答案：
例9．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是_____．
答案：，将全面积表示成底面半径的函数，即可求出函数的最大值
设内接圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S，则有，
∴。
∴当时，S取的最大值。故选B。
例10．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC重点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为
答案：，倒置一个完全相同的圆柱在原圆柱上方，再展开如图，则可得最短路程为
例11．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 .
答案：，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果
∵正四面体的对角线互相垂直，且棱AB∥平面α，
∴当CD⊥平面α，这时的投影面等于正四面体的侧视图的面积，根据正四面体的性质，面积此时最大，是；
当面ABC⊥平面α面积最小时构成的三角形底边是1，高是正四面体的高，面积是。
∴正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是。
例12． 已知正四棱锥中，，当该棱锥的体积最大时，它的高为_____.
答案：本试题主要考察椎体的体积，考察函数的最值问题.设底面边长为a，则高所以体积，设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时.
例13．如图,在三棱锥中, 、、两两垂直,且．设是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积．若,且恒成立,则正实数的最小值为________．
答案：1 ，由题意可知，，又，得恒成立，再由基本不等式可知当是取最小值1
例14．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是 ▲ ．
答案：
此题的破解可采用二个极端位置法：
（1）当F点位于DC的中点时，过点D作DG⊥AF，连接BG。
∵，∴。
在△ABG中，∵，
∴。
∴在Rt△BDG中， .
∴△ABD是直角三角形。∴。
（2）当F点到C点时，过点D作DH⊥AF，连接BH。
∵，∴
∴。
在△ABH中，∵，
∴。
∴在Rt△BDH中， 。
∴在△ABD中，。∴。
∴的取值范围是。
二、解答题
例15．如图，已知直四棱柱的底面是直角梯形，，，，分别是棱，上的动点，且，，.
（Ⅰ）证明：无论点怎样运动，四边形都为矩形；
（Ⅱ）当时，求几何体的体积．
答案：（Ⅰ）在直四棱柱中，，
∵，∴，
又∵平面平面，平面平面，
平面平面，
∴，∴四边形为平行四边形，
∵侧棱底面，又平面内，
∴，∴四边形为矩形；
（Ⅱ）证明：连结，∵四棱柱为直四棱柱，
∴侧棱底面，又平面内，∴，
在中，，，则；
在中，，，则；
在直角梯形中，；
∴，即，又∵，∴平面；
由（Ⅰ）可知，四边形为矩形，且，，
∴矩形的面积为，
∴几何体的体积为．
例16．在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．
（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；
（2）求多面体E-AFMN的体积．
答案：（1）因翻折后B、C、D重合（如图），所以MN应是的一条中位线， 则．
（2）因为平面BEF， 且，∴，
又 ∴．
例17．如图，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=
（1）证明：EBFD
（2）求点B到平面FED的距离.
答案：（1）证明：点E为弧AC的中点
又
又
（2）解：
在
由于：
所以
由等体积法可知：
即，所以
即点B到平面FED的距离为
例18． 如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
(Ⅰ)求证：GF//底面ABC；
(Ⅱ)求证：AC⊥平面EBC；
(Ⅲ)求几何体ADEBC的体积V．
答案：（I）证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点∴HG//BC，HF//DE，
又∵ADEB为正方形 ∴DE//AB，从而HF//AB
∴HF//平面ABC，HG//平面ABC, HF∩HG=H,
∴平面HGF//平面ABC∴GF//平面ABC
证法二：取BC的中点M，AB的中点N连结GM、FN、MN（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点∴
又∵ADEB为正方形 ∴BE//AD，BE=AD
∴GM//NF且GM=NF∴MNFG为平行四边形
∴GF//MN，又，∴GF//平面ABC
证法三：连结AE，∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，
∴GF//AC，又AC平面ABC，∴GF//平面ABC
（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF//平面ABC
又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC
∴BE⊥AC 又∵CA2+CB2=AB2 ∴AC⊥BC, ∵BC∩BE=B,
∴AC⊥平面BCE
（Ⅲ）连结CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，
又平面ABED⊥平面ABC，CN平面ABC，∴CN⊥平面ABED.
∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，
∵C—ABED是四棱锥,∴VC—ABED=
