广东省东莞市2013届高三上学期期末教学质量检测数学文试题（WORD版）

东莞市2012-2013学年度第—学期高三调研测试
文科数学
考生注意：本卷共三大题，满分150分，时间120分钟．不准使用计算器，
参考公式：锥体的体积公式V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，每小题各有四个选择支，仅有一
个选择支正确，请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）
1．设全集，集合，，则为
A． B． 　 C． D．
2．设函数，则函数存在零点的区间是
A． B．
C． D．
3．已知平面向量，，则
A．-10 B．10 　 C．-20 D．20
4．若—个算法的程序框图如右图，则输出的结果S为
A． B． C． 　 D．
5．已知函数的图象的两相
邻对称轴之间的距离为，要得到的图象，
只须把的图象
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
6．已知数列满足：点都在曲线的图象上，则
A．9 B10 C20 D30
7．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：，
则不正确的说法是
A若求得的回归方程为=0.9x-0.3，则变量y和x之间具有正的线性相关关系
B.若这组样本擞据分别是(1,1)，(2,1.5)，(4,3)，(5，4.5)则其回归方程=bx+a必过点(3,2.5),
C若同学甲根据这组数据得到的回归模型l的残差平方和为=0.8．同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为=2.1，则模型1的拟合效果更好。
D．若用相关指数来刻画回归效果，回归模型3的相关指数，回归模型4的相关指数，则模型3的拟合效果更好。
8．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．点M、N分别是正方体的棱、中点，
用过A、M、N和D、N、的两个截面截去正方体的两个角后
得到的几何体如右图，则该几何体的正视图、侧视图(左视图）、
俯视图依次为
A．①、②、③ B．②、③、④ C．①、③、④ D．②、④、③
10．若对任意，都有，则称集合A为“完美集合”．在集合的所有非空子集中任取—个集合，这个集合是“完美集合”的概率为
A．- 　　B． C． 　　 D．
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）
㈠必做题(第11-13题)
11．若复数满足，则 ．
12．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则常数p的值等 于 ．
13·已知关于变量x,y的线性约束条件为，则目标函数的最小值为 ．
(二)选做题（第14、15题，考生只能从中选做—题．）
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，圆以C的参数方程是(为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 则 圆心C的极坐标是 ．
15．(几何证明选讲选做题)如图，四边形ABCD内接于
，AB为的直径，直线MN切于D，
，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（本小题满分12分）
在中a、b、c分别内角A、B、C的对边，已知向量，，且。
(l)求角B的度数；
(2)若△ABC的面积为，求b的最小值．
17．（本小题满分12分）
某校为了解学生对食堂伙食的满意程度，组织学生给食堂打分（分数为整数，满分为 100分），从中随机抽取—个容量为120的样本，发现所有数据均在内．现将这些分数分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），［70，80），[80，90），［90，100]，并画出了样本的频率分布直方图，部分图形如图所示．观察图形，回答下列问题：
(l)算出第三组[60,70）的频数，并补全
频率分布直方图；
(2)请根据频率分布直方图，估计样本的
众数和平均数，
18.（本小题满分14分）
已知数列的前项n和为，，与的等差中项是．
(1)证明数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的最大值．
19．（本小题满分14分）
在等腰梯形PDCB(见图a）中，DC//PB，PB=3DC=3,PD=，，垂足为A，将沿AD折起，使得，得到四棱锥P-ABCD（见图b）．
在图b中完成下面问题：
(I)证明：平面平面PCD;
(2)点M在棱PB上，平面AMC把四棱锥P-ABCD分成两个几何体(如图b），当这两
个几何体的体积之比时，求的值；
(3)在(2)的条件下，证明：PD‖平面AMC.
20.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知三点，，，曲线C上任意—点满足：．
(l)求曲线C的方程；
(2)设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线L与曲线相交于M,N两点，若直线
PM，PN的斜率都存在，并记为，．试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论；
(3)设曲线C与y轴交于D、E两点，点M (0,m)在线段DE上，点P在曲线C上运动．
若当点P的坐标为(0,2)时，取得最小值，求实数m的取值范围．
21．(本小题满分14分）
已知函数，是常数）在x=e处的切线方程为，既是函数的零点，又是它的极值点．
(1)求常数a,b,c的值；
(2)若函数在区间(1，3)内不是单调函数，求实数m的取值范围；
(3)求函数的单调递减区间，并证明：
2012-2013学年度第一学期高三调研测试
文科数学参考答案
一、选择题（每小题5分，满分50分.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
C
D
B
D
B
B
C
二、填空题（每小题5分，满分20分．）
11. ；12.4； 13.-5 ； 14. ； 15. .
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．）
16.（本小题满分12分）
解:（1）由,得=, ……………2分
由正弦定理得, ……………4分
因为，，
所以，，从而有，，
故. ……………6分
（2）由=，得. ……………8分
又由余弦定理，得
， ………10分
当且仅当时等号成立, ……………11分
所以, 的最小值为. ……………12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）因为各组的频率之和等于1, 所以分数在内的频率为：
， ……………3分
所以第三组的频数为（人）. ……………4分
完整的频率分布直方图如图. ……6分
（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计
值为分. ……………8分
又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为:

（分）. ………11分
所以，样本的众数为75分，平均数为73.5分. ………12分
18.（本小题满分14分）
解:（1）因为和的等差中项是，
所以（），即， ……………2分
由此得（）， …………3分
即（）， ……………4分
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列. ……………5分
（2）由（1）得，即（），……………6分
所以，当时，，…8分
又时，也适合上式，
所以. ……………9分
（3）要使不等式对任意正整数恒成立，即小于或等于的所有值.
又因为是单调递增数列, ……………10分
且当时，取得最小值, ……………11分
要使小于或等于的所有值，即, ……………13分
所以实数的最大值为. ……………14分
（本小题满分14分）
证明：(1)因为在图a的等腰梯形中，，
所以在四棱锥中,, . …………1分
又，且，所以，， …………2分
而平面，平面，，
所以平面. …………3分
因为平面，
所以平面平面. …………4分
解：(2)因为，且
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
如图，过作,垂足为,
则平面. ……5分
在等腰梯形中，，
,，
所以，，. …………6分
设，则
. …………7分
.
. …………8分
因为，所以，解得.………9分
在中， , 所以,.
所以. …………10分
(3)在梯形中，连结、交于点，连结.
易知∽，所以. …………11分
又, 所以， …………12分
所以在平面中，有. …………13分
又因为平面，平面，
所以平面. …………14分
（本小题满分14分）
解：（1）由题意可得，
， …………1分
所以， …………2分
又， …………3分
所以，即. …………4分
（2）因为过原点的直线与椭圆相交的两点关于坐标原点对称，
所以可设. …………5分
因为在椭圆上，所以有
， ………①
， ………② …6分
①-②得
.
又,， …………7分
所以， …………8分
故的值与点的位置无关，与直线也无关. …………9分
（3）由于在椭圆上运动，椭圆方程为，故，且
. …………10分
因为，所以

． …………12分
由题意，点的坐标为时，取得最小值，即当时，取得最
小值，而，故有，解得． …………13分
又椭圆与轴交于两点的坐标为、，而点在线段上， 即，亦即，所以实数的取值范围是．…………14分
21.（本小题满分14分）
解：（1）由知，的定义域为,, …1分
又在处的切线方程为，所以有
,① …………2分
由是函数的零点，得,② …………3分
由是函数的极值点，得，③ …………4分
由①②③，得，，. …………5分
（2）由(1)知，
因此，，所以
. …………6分
要使函数在内不是单调函数，则函数在内一定有极值，而
，所以函数最多有两个极值. …………7分
令.
（ⅰ）当函数在内有一个极值时，在内有且仅有一个根，即
在内有且仅有一个根，又因为，当 ，即时，在内有且仅有一个根
，当时，应有，即，解得，所
以有. ………8分
.（ⅱ）当函数在内有两个极值时，在内有两个根，即二次函
数在内有两个不等根，所以

解得. …………9分
综上，实数的取值范围是. …10分
（3）由，得，
令，得，即的单调递减区间为.
由函数在上单调递减可知，
当时, ，即， …………11分
亦即对一切都成立，
亦即对一切都成立， …………12分
所以，
，
，
…
， …………13分
所以有
，
所以. …………14