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1.2.2 直角三角形全等的判定 教案
课题 1.2.2 直角三角形全等的判定 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1 经历直角三角形全等的“HL”的判定定理探索过程，进一步理解证明的必要性，掌握并利用“HL”定理解决实际问题．2 能用尺规完成作图：已知一条直角边和斜边作直角三角形.
重点 直角三角形全等的判定方法
难点 直角三角形全等的判定的应用
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 下图是两个三角形花圃，花圃管理员想知道这两个三角形是否全等，但是每个三角形都有一条边被花盆遮住无法测量. 你能帮工作人员想个办法吗？两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等吗？由全等三角形的判定方法SSS，SAS，ASA，AAS知没有SSA，故三角形不一定全等.两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角呢？【做一做】已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.已知：如下图，线段 a，c（a讲授新课 提炼概念【总结归纳】定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”.三、典例精讲【例】如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F的大小有什么关系？解：根据题意，可知∠BAC=∠EDF=90 ° ，BC=EF，AC=DF，∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）.∴∠B=∠DEF（全等三角形的对应角相等）.∵ ∠DEF+∠F=90 ° （直角三角形的两锐角互余），∴ ∠ B + ∠ F = 90 °判断两个直角三角形全等的方法有几种？ 巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。 能运用该法则准确进行有理数的加法运算. 通过例题的讲解,让学生理解“斜边、直角边”定理,并且规范地书写证明格式.
课堂检测 四、巩固训练1.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一个锐角和一条直角边对应相等D．斜边和一条直角边对应相等B2．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则直接得到△PEA≌△PFA的理由是( ) A．HL B．ASA C．AAS D．SASAA3.已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E.F，且DE=DF，求证：△ABC是等腰三角形.证明：∵ D是△ABC的BC边的中点证明：∵ D是△ABC的BC边的中点∴BD=CD∵ DE⊥AC，DF⊥AB∴∠1=∠2=90°∵BD=CD,DE=DF∴Rt△BDF≌Rt△CDE (HL)∴∠B=∠C∴△ABC是等腰三角形.4.已知：如图，AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为EF，且DE=BF，求证：（1）AE=CF（2）AB∥CD证明：（1）∵ DE⊥AC，BF⊥AC∴∠1=∠2=90°∵AB=CD,DE=BF（1）∵ DE⊥AC，BF⊥AC∴∠1=∠2=90°∵AB=CD,DE=BF∴Rt△ABF≌Rt△CDE (HL) ∴AF=CE∴AF-EF=CE-EF即AE=CF(2) ∵Rt△ABF≌Rt△CDE (HL)∴∠A=∠C ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)5．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝3 0°，求∠ACF的度数． 解：(1)证明：∵∠ABC＝90 °，∴∠CBF＝∠ABE＝90 °.在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE＝CF，AB＝CB， ∴Rt△AB E≌Rt△CBF(HL)．(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90 °，∴∠CAB＝∠ACB＝45 °.∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝4 5 °－30 °＝15 °.由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15 °.∴∠ACF＝∠ BCF＋∠ACB＝15 °＋45 °＝60 °.
课堂小结 本节课你学到了什么？判定直角三角形全等的“四种思路”：(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，用“HL”判定．(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定．(3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，①直角边是锐角的对边，用“AAS”判定；②直角边是锐角的邻边，用“ASA”判定．(4)若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定．
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北师大版 八年级下
1.2.2 直角三角形全等的判定
情境引入
下图是两个三角形花圃，花圃管理员想知道这两个三角形是否全等，但是每个三角形都有一条边被花盆遮住无法测量.
你能帮工作人员想个办法吗？
合作学习
导入新课
两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等吗？
A
B
C
D
E
F
由全等三角形的判定方法SSS，SAS，ASA，AAS知没有SSA，故三角形不一定全等.
如果其中一组等边所对的角是直角呢？
两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等吗？
A
B
C
D
E
F
【做一做】
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
已知：如下图，线段 a，c（a求作：Rt△ABC，使 ∠C=∠α，BC=a，AB=c.
你能画出这个三角形吗？
画图思路
（1）先画∠M C′ N=90°
A
B
C
M
C′
N
画图思路
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
M
C′
A
B
C
N
B′
M
C′
画图思路
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
画图思路
（4）连接A′B′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
【思考】你能得到什么结论？
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
你能证明这个结论吗？
已知：如图，在△ABC与△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，
AC=A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在△ABC 中，∵ ∠C= 90 ° ，
∴ BC2=AB2-AC2（勾股定理）.
同理， B′C′2= A′B′2- A′C′2.
∵ AB=A′B′，AC=A′C′，
∴ BC=B′C′.
∴ △ABC≌△A′B′C′ （SSS）.
提炼概念
定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
【总结归纳】
这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”.
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中，
AB=A′B′,
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
典例精讲
【例】如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑
梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F的大小有什么关系？
解：根据题意，可知∠BAC=∠EDF=90 ° ，
BC=EF，AC=DF，
∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）.
∴∠B=∠DEF（全等三角形的对应角相等）.
∵ ∠DEF+∠F=90 ° （直角三角形的两锐角互余），
∴ ∠ B + ∠ F = 90 °
归纳概念
判断两个直角三角形全等的方法有几种？
直角三角形全等的判定
一般三角形全等的判定
“ HL ”
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
“SSS”
“ ASA ”
“ AAS ”
“ SAS ”
“SSS”
“ ASA ”
“ AAS ”
“ SAS ”
课堂练习
1.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一个锐角和一条直角边对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
B
2．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则直接得到△PEA≌△PFA的理由是( )
A．HL B．ASA C．AAS D．SAS
A
3.已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E.F，且DE=DF，
求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵ D是△ABC的BC边的中点
∴BD=CD
∵ DE⊥AC，DF⊥AB
∴∠1=∠2=90°
∵BD=CD,DE=DF
∴Rt△BDF≌Rt△CDE (HL)
∴∠B=∠C
∴△ABC是等腰三角形.
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4.已知：如图，AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为EF，且DE=BF，求证：（1）AE=CF（2）AB∥CD
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证明：（1）∵ DE⊥AC，BF⊥AC
∴∠1=∠2=90°
∵AB=CD,DE=BF
∴Rt△ABF≌Rt△CDE (HL)
∴AF=CE
∴AF-EF=CE-EF
即AE=CF
(2) ∵Rt△ABF≌Rt△CDE (HL)
∴∠A=∠C ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)
5．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝3 0°，求∠ACF的度数．
解：(1)证明：∵∠ABC＝90 °，∴∠CBF＝∠ABE＝90 °.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵AE＝CF，AB＝CB， ∴Rt△AB E≌Rt△CBF(HL)．
(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90 °，∴∠CAB＝∠ACB＝45 °.
∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝4 5 °－30 °＝15 °.
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15 °.
∴∠ACF＝∠ BCF＋∠ACB＝15 °＋45 °＝60 °.
课堂总结
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
“斜边、直角边”
在直角三角形中
内容
前提条件
在直角三角形中，只要有两边对应相等，则直角三角形全等
使用方法
作业布置
教材课后配套作业题。
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1.2.2 直角三角形全等的判定 学案
课题 1.2.2 直角三角形全等的判定 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1 经历直角三角形全等的“HL”的判定定理探索过程，进一步理解证明的必要性，掌握并利用“HL”定理解决实际问题．2 能用尺规完成作图：已知一条直角边和斜边作直角三角形.
重点 直角三角形全等的判定方法
难点 直角三角形全等的判定的应用
教学过程
导入新课 【引入思考】 下图是两个三角形花圃，花圃管理员想知道这两个三角形是否全等，但是每个三角形都有一条边被花盆遮住无法测量. 你能帮工作人员想个办法吗？两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等吗？两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角呢？【做一做】已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.已知：如下图，线段 a，c（a新知讲解 提炼概念【总结归纳】定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”.典例精讲 【例】如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F的大小有什么关系？判断两个直角三角形全等的方法有几种？
课堂练习 巩固训练1.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一个锐角和一条直角边对应相等D．斜边和一条直角边对应相等2．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则直接得到△PEA≌△PFA的理由是( ) A．HL B．ASA C．AAS D．SASA3.已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E.F，且DE=DF，求证：△ABC是等腰三角形.证明：∵ D是△ABC的B∴BD=CD∵ DE⊥AC，DF⊥AB∴∠1=∠2=90°4.已知：如图，AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为EF，且DE=BF，求证：（1）AE=CF（2）AB∥CD证明：（1）∵ DE⊥AC，BF⊥AC∴∠1=∠2=90°∵AB=CD,DE=BF5．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝3 0°，求∠ACF的度数． 答案引入思考【做一做】已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.已知：如下图，线段 a，c（a课堂小结 本节课你学到了什么？判定直角三角形全等的“四种思路”：(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，用“HL”判定．(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定．(3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，①直角边是锐角的对边，用“AAS”判定；②直角边是锐角的邻边，用“ASA”判定．(4)若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定．
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