2021-2022学年安徽省铜陵市铜官区八年级（上）期末数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年安徽省铜陵市铜官区八年级（上）期末数学试卷
副标题
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
科学防控知识的图片上有图案和文字说明，图案是轴对称图形的是
A. 有症状早就医 B. 防控疫情我们在一起
C. 打喷嚏捂口鼻 D. 勤洗手勤通风
已知，，是三角形的三边，那么代数式的值
A. 大于零 B. 等于零 C. 小于零 D. 不能确定
已知，，，那么、、之间满足的等量关系是
A. B.
C. ：：：： D.
把分式中的，都扩大到原来的倍，则分式的值
A. 扩大到原来的倍 B. 扩大到原来的倍
C. 扩大到原来的倍 D. 不变
如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分面积为
A. B. C. D.
如图，在五边形中，，，，分别是，，的外角，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，等边中，是边上不与两端点重合的点，线段的垂直平分线分别交，于点，，连接，，则下列选项中不一定正确的是
A.
B.
C.
D.
已知：，则等于
A. B. C. D. 无法确定
铜陵江豚保护中心的李老师每天往返于市区、大通两地，去时先步行公里再乘公交车公里；回来时骑小蓝车，来去所用时间恰好一样，已知公交车每小时比步行多走公里，公交车比骑小蓝车每小时多走公里，若步行速度为公里小时，则可列出方程
A. B.
C. D.
如图，等腰直角中，，，为边上一动点不与、重合，过点作垂直于点，延长交的延长线于点，连接，则为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
计算：______结果可用幂的形式表示．
如图，中，，，是边上的中线且，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为______ ．
如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第个；在边上任取一点，延长到，使，得到第个，按此做法继续下去，则第个三角形中以为顶点的内角度数是______ ．
如图，已知的周长是，，分别平分和，于，且，的面积是______．
若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为______．
在等腰中，，，垂足为，且，则等腰顶角的度数为______．
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分）
因式分解：
；
．
解方程：．
先化简后求值：，其中．
如图，和的顶点都在边长为的正方形网格的格点上，且和关于直线成轴对称．
直接写出的面积；
请在如图所示的网格中作出对称轴直线；
请在直线上作一点，使得最小．保留必要的作图痕迹
如图，是边长为的等边三角形，是延长线上一点，以为边作等边三角形，连接．
求的度数．
求的值．
吾悦广场开业期间，男装部预测一种应季衬衫能畅销市场，就用元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的倍，但单价贵了元．
该商家购进的第一批衬衫是多少件？
若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于不考虑其它因素，那么每件衬衫的标价至少是多少元？
如图，点、分别在等边的边、上，且，，交于点．
求的度数；
如图，若，，，分别是各边上的三等分点，，交于若的面积为，则四边形的面积为______；只写出答案即可，不要求写解题过程
如图，延长到点，使，设，，请用含，的式子表示的长，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
2.【答案】
【解析】解：．
，，是三角形的三边．
，．
．
故选：．
根据三角形中任意两边之和大于第三边．把代数式分解因式就可以进行判断．
本题考查了三角形中三边之间的关系．是一个正数与负数的积，所以小于．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据，得到，根据同底数幂的乘法法则得到，从而．
本题考查了同底数幂的乘法，掌握是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：
，
故分式的值扩大到原来的倍，
故选：．
根据分式的基本性质化简即可得出答案．
本题考查了分式的基本性质，掌握分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由平移的性质可知，≌，
，，，
，
阴影部分的面积，
故选：．
根据平移的性质得到≌，根据全等三角形的性质求出，根据梯形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：反向延长，，
，
，
根据多边形的外角和定理可得，
．
故选：．
根据两直线平行，同旁内角互补得到以点、点为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：是的垂直平分线，
，，选项A正确；
是等边三角形，
，
，，
，，
，选项B正确；
，
又，
，
，选项D正确；
不一定正确的是选项C；
故选：．
由线段垂直平分线的性质得出，，选项A正确；
由等边三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，，得出，选项B正确；
由三角形的外角性质得出，再由，得出，选项D正确；即可得出结论．
本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角性质；熟记等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
根据完全平方公式把原式变形，根据平方根的概念计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：步行所用时间为：小时，乘汽车所用时间为：小时，骑自行车所用时间为：小时，
所列方程为：．
故选：．
本题未知量是速度，有路程，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“来去所用时间恰好一样”；等量关系为：步行时间乘车时间骑自行车时间．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：作于，于，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
平分，
，
故选：．
作于，于，利用证明≌，从而有，从而得出平分．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，作辅助线证明是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
．
先添加因式，然后连续多次运用平方差公式进行计算即可．
本题主要考查平方差公式的利用，添加因式，构造出平方差公式的结构是利用公式的关键，也是解本题的难点．
12.【答案】
【解析】解：作于，交于，
，，是边上的中线，
，，平分，
、关于对称，
，
根据垂线段最短得出：，
即，
，
，
即的最小值是，
故答案为：．
作于，交于，根据三线合一定理求出的长和，根据三角形面积公式求出，根据对称性质求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案．
本题考查了轴对称最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
13.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
，是的外角，
；
同理可得，，
第个三角形中以为顶点的内角度数是．
故答案为：．
先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的内角度数．
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力。
过作于，于，连接，根据角平分线性质求出，根据的面积等于的面积、的面积以及的面积之和，即可求出答案。
【解答】
解：如图，过作于，于，连接，
，分别平分和，，
，，
即，
的面积是：
故答案为。
15.【答案】且
【解析】解：去分母得：，
解得：，
由方程的解为正数，得到，且，
则的范围为且，
故答案为：且
分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出的范围即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】或
【解析】解：，
，
有两种情况：
高在的内部，如图，
，，
，
，
，
即的顶角的度数是；
高在的外部，如图，
，，
，
，
，
，
即的顶角的度数是；
即的顶角的度数是或，
故答案为：或．
根据题意画出两个图形，再根据在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于求出的度数，再得出答案即可．
本题考查了含角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理和等腰三角形的性质等知识点，能熟记在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于是解此题的关键．
17.【答案】解：
．
．
【解析】先提公因式，再逆用平方差公式．
先提公因式，再逆用完全平方公式．
本题主要考查综合运用提公因式法、公式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法是解决本题的关键．
18.【答案】解：方程两边都乘以得：，
解得：，
检验：当时，，
所以不是原方程的解，
即原方程无解．
【解析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．
方程两边都乘以得出，求出方程的解，再进行检验即可．
19.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】直接利用乘法公式以及多项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确运用乘法公式计算得出答案．
20.【答案】解：的面积；
如图，直线为所作；
如图，点为所作．
．
【解析】用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
利用网格特点作、的垂直平分线得到对称轴；
根据轴对称的性质即可得到结论．
本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
21.【答案】解：和是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
；
≌，
，
．
【解析】由证明≌，得出，即可得出的度数；
由全等三角形的性质得出，即可得出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
22.【答案】解：设该商家购进的第一批衬衫是件，则第二批衬衫是件．
由题意可得：，
解得，
经检验是原方程的根．
答：该商家购进的第一批衬衫是件；
设每件衬衫的标价是元．
由得第一批的进价为：元件，
第二批的进价为：元件．
由题意可得：．
解得，
所以，，
即每件衬衫的标价至少是元．
答：每件衬衫的标价至少是元．
【解析】设该商家购进的第一批衬衫是件，则该商家购进的第二批衬衫是件，利用单价总价数量，结合第二次购进的单价比第一次贵了元，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出该商家购进的第一批衬衫的数量；
设每件衬衫的标价是元．利用利润销售总价进货总价，结合两批衬衫全部售完利润不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出每件衬衫的标价至少是元．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
，，，分别是各边上的三等分点，
，
是等边三角形，
，，
≌≌，
，，
，
≌，
，
，
，
，是，上三等分点，
，
四边形的面积
，
故答案为：；
．
理由如下：如图，在上截取，即，
，，．
≌≌，
，
且，
，且，，
≌，
，，
，
，且，
，且，
，
．
利用证明≌，得，再利用三角形外角的性质可得答案；
首先利用证明≌≌，得，，再利用证明≌，得，则，由，从而解决问题；
在上截取，即，由同理得≌，得，，再说明，利用含角的直角三角形的性质可得答案．
本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，运用前面探索的结论，构造出已知图形解决新问题是解题的关键．
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