8.6.3平面与平面垂直的性质（第二课时）同步练习-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

8.6.3 平面与平面垂直（第二课时）（同步练习）
1.下列命题错误的是(　　)
A．若α⊥β，则α内所有直线都垂直于β
B．如果α不垂直于β，那么α内不存在直线垂直于β
C．若α⊥β，则α内一定存在直线平行于β
D．若α⊥β，则经过α内一点与β垂直的直线在α内
2.如图所示，在长方体ABCD －A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，
则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　　)
A．平行 B．EF 平面A1B1C1D1
C．相交但不垂直 D．相交且垂直
3.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)
A．PD 平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
4.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥β，m⊥β，m α，则m∥α；
③若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
5.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在(　　)
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
6.下列命题中错误的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
7.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cos α∶cos β＝(　)
A.∶2　　　 B.∶1
C．3∶2 D．3∶1
8.平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________
9.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，
PA＝1，AB＝2，则PB＝________
10.如图，在三棱锥C－ABD内，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________
11.设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数为________　
12.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF
的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________
13.如图，在三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形， ∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
14.如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
15.如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．
(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD
参考答案：
1.A　 2.D　 3.B　 4.B 5.A　 6.D　7.A　
8.答案：平行
解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.
9.答案：
解析：∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
∴ PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝.
10.答案：6
解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，
∴CO⊥平面ABD.∵OD 平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．∴图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．
11.答案：1
解析：①②作为前提条件，③作为结论构成的命题正确，过l作一平面与β交于l′，则l∥l′，所以l′⊥α，故α⊥β；①③作为前提条件，②作为结论构成的命题错，这时可能有l β；②③作为前提条件，①作为结论构成的命题错，这时l与α的各种位置关系都可能存在．
12.答案：
解析：如图，取CD的中点G，连接MG，NG.
因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG 平面ABCD，
所以MG⊥平面DCEF，又NG 平面DCEF，所以MG⊥NG，所以MN＝＝.
13.证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.
又BC 平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB 平面PAB，PA 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.又BC 平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.
14.证明：(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC，
∵PA 平面PAC，∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥PA.
又∵DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.
(2)连接BE并延长交PC于H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.
又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.
∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.∵AB 平面ABE，∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC，AB 平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.又AC 平面PAC，∴AB⊥AC.即△ABC是直角三角形．
15.(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
又∵＝＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.
又∵EF 平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)解：由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，∴BE⊥平面ACD.
又∵AC 平面ACD，∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，
∴BD＝，∴AB＝tan 60°＝，∴AC＝＝.
由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝，∴λ＝＝.
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.