山东省淄博市沂源县2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）

山东省淄博市沂源县2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一．选择题（本题共12小题，共60分）
下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
分解因式时，应提取的公因式是
A. B. C. D.
下列现象不属于平移的是
A. 足球在操场上沿直线滚动 B. 小华乘电梯从一楼到三楼
C. 一个铁球从高处自由落下 D. 小朋友坐滑梯下滑
如果一组数据，，，的方差是，那么一组新数据，，，的方差是
A. B. C. D.
下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是
A. B. C. D.
如果一组数据，，，，的极差是，那么的值
A. B. C. D. 或
如图，是一个装饰物品连续旋转所成的三个图形，照此规律旋转，下一个呈现出来的图形是
A. B. C. D.
如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都是网格线的交点，已知，两点的坐标分别为，，将绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为
A.
B.
C.
D.
如图，平行四边形中，，是对角线上的两点，如果添加一个条件使≌，则添加的条件不能是
A. B. C. D.
已知满足方程，且关于的不等式组只有个整数解，那么的取值范围是
A. B. C. D.
如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为、将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为
B.
C.
D.
二．填空题（本题共4小题，共16分）
填空：．
如图，将绕斜边的中点旋转到的位置，是的，则旋转角等于______．
若关于的方程有增根，则的值为______．
如图，点是 的对角线交点，为中点，交于点，若，则的值为______．
三．解答题（本题共8小题，共74分）
如图，在 中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论中一定成立的是______把所有正确结论的序号都填在横线上
；；；．
解分式方程：．
如图，是向右平移个单位长度后得到的，且三个顶点的坐标分别为，，．
请画出，并写出点，，的坐标；
求出的面积．
为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到年底，全市已有公租自行车辆，租赁点个．预计到年底，全市将有公租自行车辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是年底平均每个租赁点的公租自行车数量的倍．预计到年底，全市将有租赁点多少个？
甲、乙、丙三个家电厂在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：单位：年
甲厂：，，，，，，，，，
乙厂：，，，，，，，，，
丙厂：，，，，，，，，，
请回答下列问题：
分别求出以上三组数据的平均数，众数，中位数，方差；
如果你是顾客，宜选购哪家工厂的产品？为什么？
如图，在中，，以为一边向外作等边三角形，点为的中点，连结．
证明：；
探索与满足怎样的数量关系时，四边形是平行四边形，并说明理由．
如图，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，．
操作发现
如图，固定，使绕点顺时针旋转．当点恰好落在边上时，填空：
线段与的位置关系是______ ；
设的面积为，的面积为，则与的数量关系是______ ，证明你的结论；
猜想论证
当绕点旋转到图所示的位置时，小明猜想中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中，边上的高，请你证明小明的猜想．
如图，在 中，点，分别在，上，且，．
求证：≌；
若，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
因此的公因式是．
故选D．
分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母；相同字母的指数取次数最低的．
3.【答案】
【解析】解：足球在操场上沿直线滚动，属于旋转，故A符合题意；
B.小华乘电梯从一楼到三楼，属于平移，故B不符合题意；
C.一个铁球从高处自由落下，属于平移，故C不符合题意；
D.小朋友坐滑梯下滑，属于平移，故D不符合题意；
故选：．
根据平移的定义判断即可．
本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：设一组数据，，，的平均数为，方差是，则另一组数据，，，的平均数为，方差是，
，
．
故选C．
设一组数据，，，的平均数为，方差是，则另一组数据，，，的平均数为，方差是，代入方差的公式，计算即可．
本题考查了方差的性质：当一组数据的每一个数都乘以同一个数时，方差变成这个数的平方倍．即如果一组数据，，，的方差是，那么另一组数据，，，的方差是．
5.【答案】
【解析】解：、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；
B、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；
C、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；
D、，故D正确．
故选：．
根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了极差的概念，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差根据极差的概念求解．
【解答】
解：当为最大值时，，
解得：，
当为最小值时，，
解得：．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：再次旋转得图形，故选B．
通过观察所给三个图案可找出规律，即后一个图形是前一个图形旋转得出的，所以下一个呈现出来的图形是．
此类规律题涉及到图形的旋转变换，注意通过特殊例子发现规律，再选择即可．
8.【答案】
【解析】解：、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
9.【答案】
【解析】解：如图，点坐标为，
将绕点顺时针旋转，则点的对应点的的坐标为．
故选D．
先利用，两点的坐标画出直角坐标系得到点坐标，再画出绕点顺时针旋转后点的对应点的，然后写出点的坐标即可．
本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．
10.【答案】
【解析】解：、当无法得出≌，故此选项符合题意；
B、当，
平行四边形中，
，，
在和中
，
≌，故此选项错误；
C、当，
，
平行四边形中，
，，
在和中
，
≌，故此选项错误；
D、当，
平行四边形中，
，，
在和中
，
≌，故此选项错误；
故选：．
利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：．
．
．
或．
经检验：是增根，舍去．
．
有个整数解，，，，
．
故选：．
先解分式方程求，再根据不等式组的解求．
本题考查分式方程和不等式组的解，正确求解分式方程是求解本题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段扫过的面积应为一平行四边形的面积．根据题意，线段扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是的长，底是点平移的路程．求当点落在直线上时的横坐标即可．
【解答】
解：如图所示．
点、的坐标分别为、，
．
，，
．
．
点在直线上，
，解得．
即．
．
．
即线段扫过的面积为．
故选：．
13.【答案】解：，
分式的分子、分母同时除以，得，
故答案为：．
【解析】根据分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变解答即可．
此题考查的是分式的基本性质，掌握其性质是解决此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，
绕斜边的中点旋转到的位置，
，等于旋转角，
，
，
而，
，
，
即旋转角等于．
故答案为：．
先根据旋转的性质得，等于旋转角，再利用平行线的性质得到，然后利用得到，则，于是得到旋转角的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
15.【答案】
【解析】解：方程两边都乘，
得
原方程有增根，
最简公分母，
解得或，
当时，不成立，
当时，，
解得，
故答案为：．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到或，然后代入化为整式方程的方程算出的值．
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16.【答案】
【解析】解：点是 的对角线交点，
是的中点，则，
又为中点，
是的中位线，
，
，
，
故的值为．
故答案为：．
直接利用平行四边形的性质得出是的中点，即可得出，再利用三角形中位线定理得出，则，进而求出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中线以及三角形中位线的性质，得出是解题关键．
17.【答案】
【解析】解：是的中点，
，
在 中，，
，
，
，
，
，
，故此选项正确；
延长，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
故错误；
设，则，
，
，
，
，
，故此选项正确．
故答案为：．
分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出≌，得出对应线段之间关系进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出≌是解题关键．
18.【答案】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19.【答案】解：画出如图所示，
由图可知：，，；
由图可知：，的边上的高为，
的面积．
【解析】本题考查的是作图平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
直接把是向左平移个单位，再写出点，，的坐标即可；
直接根据三角形的面积公式即可得出结论．
20.【答案】解：设到年底，全市将有租赁点个，根据题意可得：
，
解得：，
经检验得：是原方程的根，
答：到年底，全市将有租赁点个．
【解析】根据租赁点的公租自行车数量变化表示出年和年平均每个租赁点的公租自行车数量，进而得出等式求出即可．
此题主要考查了分式的方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
21.【答案】解：甲厂：平均数为，众数为，中位数为；
方差为：，
乙厂：平均数为，众数为，中位数为；
方差为：，
丙厂：平均数为，众数为，中位数为；
方差为：，
根据甲、乙、丙三个家电厂在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是年，
则甲厂用的是平均数，乙厂用的是众数，丙厂用的是中位数，
顾客在选购产品时，一般以平均数为依据，选平均数大的厂家的产品，
因此应选乙厂的产品．
【解析】平均数就是把这组数据加起来的和除以这组数据的总数，众数就是一堆数中出现次数最多的数，中位数，就是一组数按从小到大的顺序排列，中间位置的那个数，如果有偶数个数，那就是中间的两个数的平均数，再利用方差公式求出即可；
由的结果容易回答，甲厂、乙厂、丙厂，分别利用了平均数、众数、中位数进行广告推销，顾客在选购产品时，一般以平均数为依据，根据平均数大的进行选择．
本题考查了平均数、众数、中位数、方差在实际生活中的应用，选取以哪个数据为主要结合它们的定义来考虑．
22.【答案】证明：连接．
点为的斜边的中点，
．
是等边三角形，
．
．
在与中，
，
≌，
．
，
．
．
解：当时，四边形是平行四边形．
理由：，，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
【解析】首先连接，根据直角三角形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，然后证明≌，进而得到，再有，证明；
当时，证出，由平行四边形的判定可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的判定，平行四边形的判定，证明≌是解题的关键．
23.【答案】；
【解析】解：，
理由如下：
绕点旋转点恰好落在边上，
，
，
是等边三角形，
，
又，
，
；
，，
，
，
根据等边三角形的性质，的边、上的高相等，
的面积和的面积相等等底等高的三角形的面积相等，
即；
故答案为：；；
如图，是由绕点旋转得到，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
的面积和的面积相等等底等高的三角形的面积相等，
即．
根据旋转的性质可得，然后求出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据内错角相等，两直线平行解答；
根据等边三角形的性质可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，再根据等边三角形的性质求出点到的距离等于点到的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
根据旋转的性质可得，，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键．
24.【答案】证明：平行四边形，
，，，，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
作，垂足为，
在中，，
，
在中，，
，
，
，．
，，
四边形为平行四边形，
，
．
【解析】此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，等腰直角三角形以及含度直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
由四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用即可得证；
过作垂直于，在直角三角形中，利用度所对的直角边等于斜边的一半得到，在直角三角形中，利用等腰直角三角形的性质得到，易得四边形为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到，等量代换即可得证．
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