浙江省湖州市长兴县部分校2021-2022学年九年级下学期返校考试数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022九下·长兴开学考）二次函数y=（x-3）2+1的最小值是（ ）
A．3 B．-3 C．1 D．-1
2．（2022九下·长兴开学考）已知三个数1，2，4，若添一个数使得四个数成比例，这个数可以是（ ）
A．8 B．-8 C．3 D．-3
3．（2022九下·长兴开学考）如图，有4张形状大小质地均相同的卡片，正面印有速度滑雪．雪橇、冰壶、冬季两项等四种不同的图案，背面完全相同：
现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九下·长兴开学考）已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线a的距离为6cm，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
5．（2022九下·长兴开学考）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸村庄B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A=60°，∠C=90°，AC=2km．据此，可求得学校与村庄之间的距离AB等于（ ）
A．2km B．3km C．2 km D．4km
6．（2022九下·长兴开学考）如图，小丽将平放在桌面上的正五边形磁力片和正方形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的∠ABC的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．162°
7．（2022九下·长兴开学考）如图，在4X6的正方形网格中，点A，B都在格点上，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九下·长兴开学考）用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系 B．二次函数关系
C．反比例函数关系 D．正比例函数关系
9．（2022九下·长兴开学考）如图，在Rt△ABC中，∠A= 90° ，AB=AC=4．分别以点B，C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16-2π B．8-4π C．8-2π D．4-π
10．（2022九下·长兴开学考）如图，已知抛物线y=x2-2x与直线y=-x+2交于A，B两点．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标xM的取值范围是（ ）
A．-2≤xM≤2 B．-2≤xM≤2且xM≤-1
C．-1≤xM<2 D．-1≤xM<2或xM=3
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2022九下·长兴开学考）计算tan 45°的正确结果是 ．
12．（2022九下·长兴开学考）一个比例为1：1000的矩形草坪示意图的长为5cm，则草坪的实际长为 cm．
13．（2022九下·长兴开学考）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB=CD，∠AOB=42°，则∠CED的度数是 °．
14．（2022九下·长兴开学考）如图，转动右面三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为 ．
15．（2022九下·长兴开学考）在二次函数y=-x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表．
x -3 -2 -1 1 2 3 4 5
y -14 -7 -2 2 m n -7 -14
则m-n的值为 ．
16．（2022九下·长兴开学考）如图，已知AB为⊙O的直径，BC，CD是⊙O的切线，切点分别为点B，D，点E为AB上的一个动点，连结CE，DE．若AB=2 ，BC=2，则CE+DE的最小值是 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（2022九下·长兴开学考）如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（-2，0）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）结合图象，直接写出满足y>0的x的取值范围．
18．（2022九下·长兴开学考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）已知AB=12，sinA= ，求BC的长；
（2）已知BC= ，AC= ，求∠B的度数．
19．（2022九下·长兴开学考）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连结AC并延长到点D，使CD= AC，连结BC并延长到点E，使CE= BC，连结DE．量得DE的长为15米，求池塘两端A，B的距离．
20．（2022九下·长兴开学考）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定在0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）从该箱子里先摸出1个小球，不放回，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
21．（2022九下·长兴开学考）如图，D是⊙O直径AB的延长线上一点，CD与⊙O交于点C，分别连结AC，BC，∠BCD=∠DAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=4，CE=6，求⊙O的半径．
22．（2022九下·长兴开学考）某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
23．（2022九下·长兴开学考）如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连结CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连结DG，求证：DG=DC．
思路一：过点D作DH⊥CE于点H，证CH=GH，则DH是线段CG的垂直平分线……
思路二：延长GF，CD交于点M，证GD是Rt△CGM斜边上的中线……
请从以上思路中选择一种，完成证明过程；
（3）如图3，若AB=3，当BE=2AE时，求DG的长．
24．（2022九下·长兴开学考）已知二次函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（1，-2）．
（1）用含有b的代数式表示c；
（2）设该二次函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，顶点坐标也随之变化，求n关于m的函数解析式；
（3）若该二次函数的图象不经过第二象限，当-2≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=（x-3）2+1中 ，a=1＞0，
∴图象开口向上，对称轴为x=3，
∴当x=3时，ymin=1，
故答案为：C.
【分析】由二次函数的顶点式y=（x-3）2+1可知，二次项系数为1，对称轴为x=3，顶点坐标的纵坐标即为函数的最小值，据此求解即可.
2．【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵现在三个数为1、2、4，
∴2×4=8，
∴1×8=8，
∴若再添加一个数能组成比例，此数可以是8.
故答案为：A.
【分析】如果四条线段a、b、c、d成比例，则满足ad=bc，据此添加的线段可以是a、b、c、d中的任意一条，据此即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵有4张形状大小质地均相同的卡片，冰壶项目图案的有1张，
∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的概率为：P=.
故答案为：A.
【分析】一共有4张形状大小质地均相同的卡片，再找出冰壶项目图案的张数，根据概率公式，即冰壶项目图案的张数÷4计算即可.
4．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆心O到直线a的距离为d，则d=6 cm
∵⊙O的半径为6 cm，
即半径=d=6 cm，
∴直线a与⊙O的位置关系是相切.
故答案为：B.
【分析】由⊙O的半径为6cm，圆心O到直线a的距离d=6cm，根据直线与圆的位置关系判定方法：当d＞r时，直线与圆相离，当d＜r时，直线与圆相交，当d=r时，直线与圆相切，即可判断.
5．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°，
∴∠B=30°，
又∵AC=2 cm，
∴AB=4 cm.
故答案为：D.
【分析】在直角三角形ACB中，∠C=90°，∠A=60°得∠B=30°，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半，由AC=2 km即可求出学校与村庄之间的距离AB.
6．【答案】D
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形和正五边形的一个内角分别为90°和108°，
∴∠ABC+90°+108°=360°，
∴∠ABC=360°-90°-108°=162°.
故答案为：D.
【分析】利用正多边形每个角都相等，先分别求出正方形和正五边形的一个内角，由图可知，∠ABC与正方形和正五边形的一个内角的和为360°，即∠ABC+90°+108°=360°，计算可求出∠ABC的度数.
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：分别连接AE，BF，EF，
∵E，C，F在同一个网格线上，
∴E，C，F三点共线，
∵AE∥BF，
∴△CFB∽△CEB，
∴=
又∵AE=4，BF=2，
∴==.
故答案为：B.
【分析】如图，对图形进行标注，分别连接AE，BF，EF；由AE∥BF可得△CFB∽△CEB，结合AE=4，BF=2，根据相似三角形性质即可求出.
8．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵矩形周长为10 m，一边长为x m，
∴另一边长为：（10-2x）÷2=5-x （m），
∴S=x（5-x）=-x2+5x.
故答案为：B.
【分析】结合矩形对边相等，将另一边长表示出来，再根据面积=长×宽，建立出S与x的关系式，即可判断.
9．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠A= 90° ，AB=AC=4，
∴∠B=∠C=45°，BC=AB=4，
SRt△ABC=AB·AC=×4×4=8，
又∵分别以点B，C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，
∴BD=BE=CE=CF=2，
S扇形DBE=S扇形ECF==，
∴S阴影=SRt△ABC-S扇形DBE-S扇形ECF=8-2.
故答案为：C.
【分析】先利用等腰直角三角形性质求出∠B=∠C=45°，BC=AB=4，利用三角形面积公式求出SRt△ABC，易得S扇形DBE=S扇形ECF，再根据扇形面积公式S扇=，求出两个扇形的面积，最后由S阴影=SRt△ABC-S扇形DBE-S扇形ECF，代入计算即可求解.
10．【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x与y=-x+2交于A，B两点，B在x轴上，
∴，解得，或，
∴A（-1，3），B（2，0），
∵点M在直线AB上，将点M向左平移4个单位长度得到点N，
∴MN=4，
①∵y=x2-2x的顶点坐标为（1，-1），
把y=-1代入y=-x+2得x=3，
∴M点向左平移4个单位到N点，线段MN与抛物线只有一个交点，即（1，-1），
②当-1＜xM＜2时，即M点在线段AB之间时，M点向左平移4个单位到N点，
∴此时MN与线段AB下方的图象只有一个交点，
③当xM=-1时，yM=3，即M（-1，3），
∴M点向左平移4个单位到N点，此时MN与抛物线相交于点A，
④当xM=2时，yM=0，即M（2，0），
∴M点向左平移4个单位到N点，此时MN与抛物线交与B点，在线段AB下方的图象也有一个交点，
综上所述，M点向左平移4个单位到N点，线段MN与抛物线只有一个交点时，-1≤xM＜2或xM=3.
故答案为：D.
【分析】先联立两函数解析式组成方程组求出A（-1，3），B（2，0），由点M在直线AB上，将点M向左平移4个单位长度得到点N，求得MN=4，再根据平移过程MN与抛物线的交点情况分四种情况讨论：①当xM=3时，②当-1＜xM＜2时，③当xM=-1时，④当xM=2时，分别表示出MN与抛物线的交点个数即可解决问题.
11．【答案】1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：tan45°=1.
故答案为：1.
【分析】根据特殊角45°的对应正切值即可求解.
12．【答案】5000
【知识点】比例尺
【解析】【解答】解：设草坪实际长为m（cm），
由题意得：1：1000=5：x，
∴x=5000，
∴草坪的实际长为5000cm，
故答案为：5000.
【分析】根据比例尺意义：比例尺=图上距离：实际距离，代入数据列出比例关系，通过计算求解即可.
13．【答案】21
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC、OD，
∵AB=CD，∠AOB=42°，
∴∠COD=42°，
∴∠CED=∠COD=21°.
故答案为：21.
【分析】连接OC、OD，根据弧、弦、圆心角之间的关系得∠COD=42°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠CED=∠COD，即可解答.
14．【答案】②①③
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：∵三个转盘均被等分，
∴①转盘指针落在灰色区域内可能性为：，
②转盘指针落在灰色区域内可能性为：，
③转盘指针落在灰色区域内可能性为：，
∴指针落在灰色区域内可能性大小从大到小排列为：②①③.
故答案为：②①③.
【分析】转盘指针落在灰色区域内可能性=灰色面积∶总面积，结合转盘均被等分，即可求出它们的可能性，再进行比较即可.
15．【答案】3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由表可得，（-1，-2）和（1，2）在二次函数y=-x2+bx+c图象上，
∴，
整理，解得，
∴二次函数解析式为y=-x2+2x+1，
∴当x=2时，m=-4+4+1，解得m=1，
当x=3时，n=-9+6+1，解得n=-2，
∴m-n=1-（-2）=3.
故答案为：3.
【分析】由表可得，（-1，-2）和（1，2）在函数图象上，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将x=2和x=3分别代入即可计算出m和n的值，从而求出m-n的值.
16．【答案】
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：连接DA，延长CB，在CB延长线上截取BG=CB，连接DG交AB于点E；再分别连接DB、OC交于点F，过点D作DH⊥AB于点H，
∵BC，CD是⊙O的切线，
∴∠ODC=∠CBO=90°，CD=CB=BG=2，
∴C和G关于AB对称，
∴CE=EG，
∴CE+DE=EG+DE，
当D、E、G三点共线时，DG最短，即CE+DE有最小值，
在Rt△ODC和Rt△OBC中，
∵，
∴Rt△ODC≌Rt△OBC，
∴B和D关于OC对称，
∴OC垂直平分BD，
∴∠OFB=90°，BD=2BF，
∵AB=，
∴OB=，
在Rt△OBC中，OC==3，
∴SRt△OBC=·OC·BF=·BC·BO，即：3BF=2×，
∴BF=，
∴BD=，
∵OD2-OH2=DH2=BD2-BH2
即
∴BH=，
∴OH=OB-BH=-=，
∴在Rt△DHO中，DH==，
又∵DH⊥OB，BG⊥OB，
∴DH∥BG，
∴△DHE∽△GBE，
∴
∴BE=BH=，
∴在Rt△EBG中，GE==，
∴DG==.
∴CE+DE的最小值是：.
故答案为：.
【分析】如图：连接DA，延长CB，在CB延长线上截取BG=CB，连接DG交AB于点E；再分别连接DB、OC交与点F，过点D作DH⊥AB于点H；根据BC，CD是⊙O的切线可得∠ODC=∠CBO=90°，CD=CB=BG=2，即C和G关于AB对称，CE=EG，得出CE+DE=EG+DE，当D、E、G三点共线时，DG最短，即CE+DE又最小值；由CD=CB，∠ODC=∠CBO=90°易证Rt△ODC≌Rt△OBC，得B和D关于OC对称，进而得出OC垂直平分BD，可证明∠OFB=90°，BD=2BF；利用SRt△OBC=·OC·BF=·BC·BO，求出BF、BD；由勾股定理得OD2-OH2=DH2=BD2-BH2，可求出BH，进而求得OH，在Rt△DHO中，利用勾股定理求得DH；由DH∥BG，得△DHE∽△GBE，利用相似三角形性质得，计算求得BE长，再在Rt△EBG中，利用勾股定理求出GE，进而求出DG即可解决问题.
17．【答案】（1）解：把（0，0）和（-2，0）分别代入y=-x2+bx +c，
得 解得 ，
∴二次函数的解析式为y=-x2-2x．
（2）-2【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：（2）由图象可得：当-2＜x＜0时，二次函数的图象在x轴上方，
∴当-2＜x＜0时，y＞0.
【分析】（1）由图象可知，抛物线经过 0，0）和（-2，0），将其代入二次函数解析式中得出关于b、c的方程组，求解得出b、c的值，即可求出二次函数解析式；
（2）由图象可知：抛物线与x轴交点的横坐标为-2和0，当2＜x＜0时，二次函数图象在x轴上方，即可求解.
18．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，sinA= ，
∴ =
∵AB=12，
∴AB=4．
（2）解：在Rt△ABC中，BC= ，AC= ，
∴tan B= ，
∴∠B=60°．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数正弦定义：在Rt△ABC中， sinA=，结合 AB=12，sinA=，即可求出BC；
（2）根据根据锐角三角函数正切定义：在Rt△ABC中，tanB=，结合BC=，AC=，得出tanB=，再根据特殊角对应的正切值即可求出∠B的度数.
19．【答案】解：∵CD= AC，CE= BC，
∴ ，
∴ ，
∵∠DCE=∠ACB，
∴△DCE∽△ACB，
∴
∵DE=15，
∴AB=30（米）．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由CD=AC，CE=BC，可得，结合∠DCE=∠ACB，可证△DCE∽△ACB，再利用相似三角形的性质，结合DE=15，即可求得AB的长.
20．【答案】（1）解：∵通过大量重复实验发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有x个，依题意得； =0.75，解得x=1．
经检验：x=1是原方程的解，且符合题意，
∴箱子里可能有1个白球．
（2）解：画树状图如下．
∵一共有12种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有6种．
∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率： ．
【知识点】列表法与树状图法；利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据频率和概率的关系，当经过大量重复实验后，频率趋于稳定的值近似概率，得出摸到红色小球的概率为0.75，设白球有x个，再由概率=频数÷总数，可列方程，求解出x即可；
（2）先画出树状图，列出所有等可能结果，从中找到两次摸出的小球颜色恰好不同的结果，再根据概率=频数÷总数，求解即可.
21．【答案】（1）证明：连结OC，
∵OA= OC，
∴∠ACO=∠OAC．
∵∠BCD=∠DAC，
∴ ∠BCD=∠ACO ，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：∵BC∥OE，CD=4，CE=6，
∴ ．
设DB=2x，则OB= 3x，
在Rt△OCD中，由勾股定理得OC2+CD2=OD2．
即（3x）2+42=（5x）2，解得x=1，
∴⊙O的半径为3
【知识点】勾股定理；切线的判定；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1） 连结OC，由OA= OC，可得∠ACO=∠OAC，由∠BCD=∠DAC，进行等量代换可得∠BCD=∠ACO，根据圆周角定理得∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ，推出∠BCD+∠OCB=90°，即可求证；
（2）由BC∥OE，CD=4，CE=6，可推出，设DB=2x，则OB= 3x，在Rt△OCD中，由勾股定理建立方程，求解即可.
22．【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将（30，100），（35，50）代入y=kx+b，
得 ，解得 ．
∴y与x的函数关系式为y=-10x+ 400．
（2）解：设该款电动牙刷每天的销售利润为W元，
由题意得W=（x-20）y=（x- 20）（-10x+400）=-10（x- 30）2+1000．
∵-10<0，
∴当x=30时，W最大值=1000．
答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，为1000元；
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由销售量y与销售单价x得函数图象可知：（30，100），（35，50）是一次函数图象上的点，设y=kx+b，利用待定系数法求出k和b，即可求出y与x的函数关系式；
（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为W元，根据总利润=每支的利润×销售数量，可得函数关系式，再进行整理配方为二次函数的顶点式，利用二次函数的性质求解即可.
23．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，∠A=∠EBC=90°，AB=BC，
∴∠CEB+∠ECB=90°．
∵BF⊥CE，
∴∠CEB+∠GBE=90°，
∴∠ECB=∠GBE．
∴ △ABF≌△BCE （ASA）．
（2）解：思路一：如图1，过点D作DH⊥CE于点H，
则∠HDC+∠DCH=90°，
∵∠ECB+∠DCH=90°，
∴∠HDC=∠ECB，
∵点E为AB中点，
∴在Rt△CBE中，tan∠ECB=
∴sin∠ECB= ，cos∠ECB= ，
设BC=2a，则DC= 2a，
在Rt△CGB中，CG=CB·cos∠ECB= a，
在Rt△DHC中，CH=CD·sin∠HDC= a，
∴CG=2CH，即GH=CH，
∴DG=DC．
思路二：如图，延长GF，CD交于点M，
由（1）得△ABF≌△BCE，
∴AF=BE= AB= AD=DF，
∵∠MDF=∠BAF=90° ，
∠DFM=∠AFB，
∴△MDF≌△BAF（ASA）．
∴MD= BA，
∵BA= DC，
∴MD=DC．
∴在Rt△MGC中，DG= MC=DC．
（3）解：如图3，过点D作DQ⊥CE于点Q，则∠QDC+∠DCQ= 90°，
∵∠ECB+∠DCQ= 90°，
∴∠QDC=∠ECB，
∵AB=3，BE=2AE，
∴BE=2，BC=3，
在Rt△CEB中，由勾股定理得CE= ，
∴cos∠ECB= ，sin∠ECB=
在Rt△CGB中，CG=CB·cos∠ECB=
在Rt△CQD中，CQ=CD·sin∠CDQ= ，DQ=CD·cos∠CDQ= ．
∴GQ=CG- CQ= ，
在Rt△DQG中，由勾股定理得DG=
【知识点】解直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）由正方形性质得，AB=BC，∠A=∠EBC=90°，由同角的余角相等推出∠ECB=∠GBE，根据全等三角形判定定理ASA即可证明；
（2）思路一：如图1，过点D作DH⊥CE于点H，由同角的余角相等推出∠HDC=∠ECB；由点E为AB中点，在Rt△CBE中，可得tan∠ECB=，进而求得sin∠ECB、cos∠ECB，设BC=2a，则DC= 2a，在Rt△CGB中，利用cos∠ECB表示出CG，在Rt△DHC中，利用sin∠HDC表示出CH，进而推出GH和CH的数量关系，即可求证DG=DC；
思路二：如图2，延长GF，CD交于点M，由（1）中△ABF≌△BCE，结合E为AB中点，可得AF=BE=DF ，再由∠MDF=∠BAF=90° ，∠DFM=∠AFB可证明△MDF≌△BAF，由全等三角形性质得MD=BA， 进而求得MD=DC，再根据GD是Rt△CGM斜边上的中线性质，即可求证DG=DC；
（3）如图3，过点D作DQ⊥CE于点Q，易得∠QDC=∠ECB，在Rt△CEB中，由勾股定理求得CE，进而再表示出cos∠ECB、sin∠ECB；在Rt△CGB中，由CG=CB·cos∠ECB解得CG，在Rt△CQD中，由CQ=CD·sin∠CDQ求得CQ，由DQ=CD·cos∠CDQ求得DQ，根据GQ=CG-CQ解得GQ；最后在Rt△DQG中，由勾股定理得即可求出DG.
24．【答案】（1）解：把（1，-2）代入y=-x2+bx+c，
得-2=-1+b+c．
∴c=-b-1
（2）解：由（1）得抛物线y=-x2+bx-b-1，
∵顶点坐标是（m，n），
∴m= ，n= -b-1，
∴b=2m，
∴n=m2-2m-1
（3）解：∵二次函数的图象不经过第二象限，
又a=-1<0，
∴-b-1≤0，解得b≥-1，
∴m= ≥- ，
①当- ≤ ≤0，即-1≤b≤0时，
∵2≤x≤4，
∴当x= 时，ymax= -b-1，
当x=4时，ymin=-16+4b-b-1=3b-17，
由题意，得 -b-1-（3b-17）=16，解得b=0或b=16（舍去）．
②当0< ≤1，即0∵-2≤x≤4，
∴当x= 时，ymax = -b-1，
当x=4时，ymin= 3b-17，
由题意，得 -b-1-（3b-17）=16，解得b=0（舍去）或b=16（舍去）．
③当1< <4，即2∵-2≤x≤4，
∴当x= 时，ymin= -b-1，
当x=-2时，ymin=-4-2b-b-1=-3b- 5，
由题意，得 -b-1-（-3b-5）=16，解得b=4或b=-12（舍去）．
④当 ≥4，即b≥8时，
∵2≤x≤4，
∴当x=4时，ymax=3b-17，
当x=-2时，ymin=-3b-5，
由题意，得3b-17-（-3b-5）=16，解得b= （舍去）．
综上所述，b的值为0或4．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把点（1，-2）代入y=-x2+bx+c，得-2=-1+b+c，整理即可；
（2）由（1）中c=-b-1得抛物线解析式为y=-x2+bx-b-1， 由顶点坐标公式得m=
，n=
-b-1，整理求得b=2m，再将其代入n=
-b-1即可求解；
（3）因为二次函数的图象不经过第二象限， 由a=-1和（1）中结论c=-b-1可得-b-1≤0，即b≥-1，再由（2）中m=
，求得≥-，再分四种情况进行讨论：①-≤
≤0，即-1≤b≤0时，②0≤
≤1即01 / 1浙江省湖州市长兴县部分校2021-2022学年九年级下学期返校考试数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022九下·长兴开学考）二次函数y=（x-3）2+1的最小值是（ ）
A．3 B．-3 C．1 D．-1
【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=（x-3）2+1中 ，a=1＞0，
∴图象开口向上，对称轴为x=3，
∴当x=3时，ymin=1，
故答案为：C.
【分析】由二次函数的顶点式y=（x-3）2+1可知，二次项系数为1，对称轴为x=3，顶点坐标的纵坐标即为函数的最小值，据此求解即可.
2．（2022九下·长兴开学考）已知三个数1，2，4，若添一个数使得四个数成比例，这个数可以是（ ）
A．8 B．-8 C．3 D．-3
【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵现在三个数为1、2、4，
∴2×4=8，
∴1×8=8，
∴若再添加一个数能组成比例，此数可以是8.
故答案为：A.
【分析】如果四条线段a、b、c、d成比例，则满足ad=bc，据此添加的线段可以是a、b、c、d中的任意一条，据此即可得出答案.
3．（2022九下·长兴开学考）如图，有4张形状大小质地均相同的卡片，正面印有速度滑雪．雪橇、冰壶、冬季两项等四种不同的图案，背面完全相同：
现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵有4张形状大小质地均相同的卡片，冰壶项目图案的有1张，
∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的概率为：P=.
故答案为：A.
【分析】一共有4张形状大小质地均相同的卡片，再找出冰壶项目图案的张数，根据概率公式，即冰壶项目图案的张数÷4计算即可.
4．（2022九下·长兴开学考）已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线a的距离为6cm，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆心O到直线a的距离为d，则d=6 cm
∵⊙O的半径为6 cm，
即半径=d=6 cm，
∴直线a与⊙O的位置关系是相切.
故答案为：B.
【分析】由⊙O的半径为6cm，圆心O到直线a的距离d=6cm，根据直线与圆的位置关系判定方法：当d＞r时，直线与圆相离，当d＜r时，直线与圆相交，当d=r时，直线与圆相切，即可判断.
5．（2022九下·长兴开学考）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸村庄B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A=60°，∠C=90°，AC=2km．据此，可求得学校与村庄之间的距离AB等于（ ）
A．2km B．3km C．2 km D．4km
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°，
∴∠B=30°，
又∵AC=2 cm，
∴AB=4 cm.
故答案为：D.
【分析】在直角三角形ACB中，∠C=90°，∠A=60°得∠B=30°，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半，由AC=2 km即可求出学校与村庄之间的距离AB.
6．（2022九下·长兴开学考）如图，小丽将平放在桌面上的正五边形磁力片和正方形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的∠ABC的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．162°
【答案】D
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形和正五边形的一个内角分别为90°和108°，
∴∠ABC+90°+108°=360°，
∴∠ABC=360°-90°-108°=162°.
故答案为：D.
【分析】利用正多边形每个角都相等，先分别求出正方形和正五边形的一个内角，由图可知，∠ABC与正方形和正五边形的一个内角的和为360°，即∠ABC+90°+108°=360°，计算可求出∠ABC的度数.
7．（2022九下·长兴开学考）如图，在4X6的正方形网格中，点A，B都在格点上，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：分别连接AE，BF，EF，
∵E，C，F在同一个网格线上，
∴E，C，F三点共线，
∵AE∥BF，
∴△CFB∽△CEB，
∴=
又∵AE=4，BF=2，
∴==.
故答案为：B.
【分析】如图，对图形进行标注，分别连接AE，BF，EF；由AE∥BF可得△CFB∽△CEB，结合AE=4，BF=2，根据相似三角形性质即可求出.
8．（2022九下·长兴开学考）用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系 B．二次函数关系
C．反比例函数关系 D．正比例函数关系
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵矩形周长为10 m，一边长为x m，
∴另一边长为：（10-2x）÷2=5-x （m），
∴S=x（5-x）=-x2+5x.
故答案为：B.
【分析】结合矩形对边相等，将另一边长表示出来，再根据面积=长×宽，建立出S与x的关系式，即可判断.
9．（2022九下·长兴开学考）如图，在Rt△ABC中，∠A= 90° ，AB=AC=4．分别以点B，C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16-2π B．8-4π C．8-2π D．4-π
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠A= 90° ，AB=AC=4，
∴∠B=∠C=45°，BC=AB=4，
SRt△ABC=AB·AC=×4×4=8，
又∵分别以点B，C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，
∴BD=BE=CE=CF=2，
S扇形DBE=S扇形ECF==，
∴S阴影=SRt△ABC-S扇形DBE-S扇形ECF=8-2.
故答案为：C.
【分析】先利用等腰直角三角形性质求出∠B=∠C=45°，BC=AB=4，利用三角形面积公式求出SRt△ABC，易得S扇形DBE=S扇形ECF，再根据扇形面积公式S扇=，求出两个扇形的面积，最后由S阴影=SRt△ABC-S扇形DBE-S扇形ECF，代入计算即可求解.
10．（2022九下·长兴开学考）如图，已知抛物线y=x2-2x与直线y=-x+2交于A，B两点．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标xM的取值范围是（ ）
A．-2≤xM≤2 B．-2≤xM≤2且xM≤-1
C．-1≤xM<2 D．-1≤xM<2或xM=3
【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x与y=-x+2交于A，B两点，B在x轴上，
∴，解得，或，
∴A（-1，3），B（2，0），
∵点M在直线AB上，将点M向左平移4个单位长度得到点N，
∴MN=4，
①∵y=x2-2x的顶点坐标为（1，-1），
把y=-1代入y=-x+2得x=3，
∴M点向左平移4个单位到N点，线段MN与抛物线只有一个交点，即（1，-1），
②当-1＜xM＜2时，即M点在线段AB之间时，M点向左平移4个单位到N点，
∴此时MN与线段AB下方的图象只有一个交点，
③当xM=-1时，yM=3，即M（-1，3），
∴M点向左平移4个单位到N点，此时MN与抛物线相交于点A，
④当xM=2时，yM=0，即M（2，0），
∴M点向左平移4个单位到N点，此时MN与抛物线交与B点，在线段AB下方的图象也有一个交点，
综上所述，M点向左平移4个单位到N点，线段MN与抛物线只有一个交点时，-1≤xM＜2或xM=3.
故答案为：D.
【分析】先联立两函数解析式组成方程组求出A（-1，3），B（2，0），由点M在直线AB上，将点M向左平移4个单位长度得到点N，求得MN=4，再根据平移过程MN与抛物线的交点情况分四种情况讨论：①当xM=3时，②当-1＜xM＜2时，③当xM=-1时，④当xM=2时，分别表示出MN与抛物线的交点个数即可解决问题.
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2022九下·长兴开学考）计算tan 45°的正确结果是 ．
【答案】1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：tan45°=1.
故答案为：1.
【分析】根据特殊角45°的对应正切值即可求解.
12．（2022九下·长兴开学考）一个比例为1：1000的矩形草坪示意图的长为5cm，则草坪的实际长为 cm．
【答案】5000
【知识点】比例尺
【解析】【解答】解：设草坪实际长为m（cm），
由题意得：1：1000=5：x，
∴x=5000，
∴草坪的实际长为5000cm，
故答案为：5000.
【分析】根据比例尺意义：比例尺=图上距离：实际距离，代入数据列出比例关系，通过计算求解即可.
13．（2022九下·长兴开学考）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB=CD，∠AOB=42°，则∠CED的度数是 °．
【答案】21
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC、OD，
∵AB=CD，∠AOB=42°，
∴∠COD=42°，
∴∠CED=∠COD=21°.
故答案为：21.
【分析】连接OC、OD，根据弧、弦、圆心角之间的关系得∠COD=42°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠CED=∠COD，即可解答.
14．（2022九下·长兴开学考）如图，转动右面三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为 ．
【答案】②①③
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：∵三个转盘均被等分，
∴①转盘指针落在灰色区域内可能性为：，
②转盘指针落在灰色区域内可能性为：，
③转盘指针落在灰色区域内可能性为：，
∴指针落在灰色区域内可能性大小从大到小排列为：②①③.
故答案为：②①③.
【分析】转盘指针落在灰色区域内可能性=灰色面积∶总面积，结合转盘均被等分，即可求出它们的可能性，再进行比较即可.
15．（2022九下·长兴开学考）在二次函数y=-x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表．
x -3 -2 -1 1 2 3 4 5
y -14 -7 -2 2 m n -7 -14
则m-n的值为 ．
【答案】3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由表可得，（-1，-2）和（1，2）在二次函数y=-x2+bx+c图象上，
∴，
整理，解得，
∴二次函数解析式为y=-x2+2x+1，
∴当x=2时，m=-4+4+1，解得m=1，
当x=3时，n=-9+6+1，解得n=-2，
∴m-n=1-（-2）=3.
故答案为：3.
【分析】由表可得，（-1，-2）和（1，2）在函数图象上，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将x=2和x=3分别代入即可计算出m和n的值，从而求出m-n的值.
16．（2022九下·长兴开学考）如图，已知AB为⊙O的直径，BC，CD是⊙O的切线，切点分别为点B，D，点E为AB上的一个动点，连结CE，DE．若AB=2 ，BC=2，则CE+DE的最小值是 ．
【答案】
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：连接DA，延长CB，在CB延长线上截取BG=CB，连接DG交AB于点E；再分别连接DB、OC交于点F，过点D作DH⊥AB于点H，
∵BC，CD是⊙O的切线，
∴∠ODC=∠CBO=90°，CD=CB=BG=2，
∴C和G关于AB对称，
∴CE=EG，
∴CE+DE=EG+DE，
当D、E、G三点共线时，DG最短，即CE+DE有最小值，
在Rt△ODC和Rt△OBC中，
∵，
∴Rt△ODC≌Rt△OBC，
∴B和D关于OC对称，
∴OC垂直平分BD，
∴∠OFB=90°，BD=2BF，
∵AB=，
∴OB=，
在Rt△OBC中，OC==3，
∴SRt△OBC=·OC·BF=·BC·BO，即：3BF=2×，
∴BF=，
∴BD=，
∵OD2-OH2=DH2=BD2-BH2
即
∴BH=，
∴OH=OB-BH=-=，
∴在Rt△DHO中，DH==，
又∵DH⊥OB，BG⊥OB，
∴DH∥BG，
∴△DHE∽△GBE，
∴
∴BE=BH=，
∴在Rt△EBG中，GE==，
∴DG==.
∴CE+DE的最小值是：.
故答案为：.
【分析】如图：连接DA，延长CB，在CB延长线上截取BG=CB，连接DG交AB于点E；再分别连接DB、OC交与点F，过点D作DH⊥AB于点H；根据BC，CD是⊙O的切线可得∠ODC=∠CBO=90°，CD=CB=BG=2，即C和G关于AB对称，CE=EG，得出CE+DE=EG+DE，当D、E、G三点共线时，DG最短，即CE+DE又最小值；由CD=CB，∠ODC=∠CBO=90°易证Rt△ODC≌Rt△OBC，得B和D关于OC对称，进而得出OC垂直平分BD，可证明∠OFB=90°，BD=2BF；利用SRt△OBC=·OC·BF=·BC·BO，求出BF、BD；由勾股定理得OD2-OH2=DH2=BD2-BH2，可求出BH，进而求得OH，在Rt△DHO中，利用勾股定理求得DH；由DH∥BG，得△DHE∽△GBE，利用相似三角形性质得，计算求得BE长，再在Rt△EBG中，利用勾股定理求出GE，进而求出DG即可解决问题.
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（2022九下·长兴开学考）如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（-2，0）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）结合图象，直接写出满足y>0的x的取值范围．
【答案】（1）解：把（0，0）和（-2，0）分别代入y=-x2+bx +c，
得 解得 ，
∴二次函数的解析式为y=-x2-2x．
（2）-2【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：（2）由图象可得：当-2＜x＜0时，二次函数的图象在x轴上方，
∴当-2＜x＜0时，y＞0.
【分析】（1）由图象可知，抛物线经过 0，0）和（-2，0），将其代入二次函数解析式中得出关于b、c的方程组，求解得出b、c的值，即可求出二次函数解析式；
（2）由图象可知：抛物线与x轴交点的横坐标为-2和0，当2＜x＜0时，二次函数图象在x轴上方，即可求解.
18．（2022九下·长兴开学考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）已知AB=12，sinA= ，求BC的长；
（2）已知BC= ，AC= ，求∠B的度数．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，sinA= ，
∴ =
∵AB=12，
∴AB=4．
（2）解：在Rt△ABC中，BC= ，AC= ，
∴tan B= ，
∴∠B=60°．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数正弦定义：在Rt△ABC中， sinA=，结合 AB=12，sinA=，即可求出BC；
（2）根据根据锐角三角函数正切定义：在Rt△ABC中，tanB=，结合BC=，AC=，得出tanB=，再根据特殊角对应的正切值即可求出∠B的度数.
19．（2022九下·长兴开学考）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连结AC并延长到点D，使CD= AC，连结BC并延长到点E，使CE= BC，连结DE．量得DE的长为15米，求池塘两端A，B的距离．
【答案】解：∵CD= AC，CE= BC，
∴ ，
∴ ，
∵∠DCE=∠ACB，
∴△DCE∽△ACB，
∴
∵DE=15，
∴AB=30（米）．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由CD=AC，CE=BC，可得，结合∠DCE=∠ACB，可证△DCE∽△ACB，再利用相似三角形的性质，结合DE=15，即可求得AB的长.
20．（2022九下·长兴开学考）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定在0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）从该箱子里先摸出1个小球，不放回，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【答案】（1）解：∵通过大量重复实验发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有x个，依题意得； =0.75，解得x=1．
经检验：x=1是原方程的解，且符合题意，
∴箱子里可能有1个白球．
（2）解：画树状图如下．
∵一共有12种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有6种．
∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率： ．
【知识点】列表法与树状图法；利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据频率和概率的关系，当经过大量重复实验后，频率趋于稳定的值近似概率，得出摸到红色小球的概率为0.75，设白球有x个，再由概率=频数÷总数，可列方程，求解出x即可；
（2）先画出树状图，列出所有等可能结果，从中找到两次摸出的小球颜色恰好不同的结果，再根据概率=频数÷总数，求解即可.
21．（2022九下·长兴开学考）如图，D是⊙O直径AB的延长线上一点，CD与⊙O交于点C，分别连结AC，BC，∠BCD=∠DAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=4，CE=6，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连结OC，
∵OA= OC，
∴∠ACO=∠OAC．
∵∠BCD=∠DAC，
∴ ∠BCD=∠ACO ，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：∵BC∥OE，CD=4，CE=6，
∴ ．
设DB=2x，则OB= 3x，
在Rt△OCD中，由勾股定理得OC2+CD2=OD2．
即（3x）2+42=（5x）2，解得x=1，
∴⊙O的半径为3
【知识点】勾股定理；切线的判定；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1） 连结OC，由OA= OC，可得∠ACO=∠OAC，由∠BCD=∠DAC，进行等量代换可得∠BCD=∠ACO，根据圆周角定理得∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ，推出∠BCD+∠OCB=90°，即可求证；
（2）由BC∥OE，CD=4，CE=6，可推出，设DB=2x，则OB= 3x，在Rt△OCD中，由勾股定理建立方程，求解即可.
22．（2022九下·长兴开学考）某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将（30，100），（35，50）代入y=kx+b，
得 ，解得 ．
∴y与x的函数关系式为y=-10x+ 400．
（2）解：设该款电动牙刷每天的销售利润为W元，
由题意得W=（x-20）y=（x- 20）（-10x+400）=-10（x- 30）2+1000．
∵-10<0，
∴当x=30时，W最大值=1000．
答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，为1000元；
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由销售量y与销售单价x得函数图象可知：（30，100），（35，50）是一次函数图象上的点，设y=kx+b，利用待定系数法求出k和b，即可求出y与x的函数关系式；
（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为W元，根据总利润=每支的利润×销售数量，可得函数关系式，再进行整理配方为二次函数的顶点式，利用二次函数的性质求解即可.
23．（2022九下·长兴开学考）如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连结CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连结DG，求证：DG=DC．
思路一：过点D作DH⊥CE于点H，证CH=GH，则DH是线段CG的垂直平分线……
思路二：延长GF，CD交于点M，证GD是Rt△CGM斜边上的中线……
请从以上思路中选择一种，完成证明过程；
（3）如图3，若AB=3，当BE=2AE时，求DG的长．
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，∠A=∠EBC=90°，AB=BC，
∴∠CEB+∠ECB=90°．
∵BF⊥CE，
∴∠CEB+∠GBE=90°，
∴∠ECB=∠GBE．
∴ △ABF≌△BCE （ASA）．
（2）解：思路一：如图1，过点D作DH⊥CE于点H，
则∠HDC+∠DCH=90°，
∵∠ECB+∠DCH=90°，
∴∠HDC=∠ECB，
∵点E为AB中点，
∴在Rt△CBE中，tan∠ECB=
∴sin∠ECB= ，cos∠ECB= ，
设BC=2a，则DC= 2a，
在Rt△CGB中，CG=CB·cos∠ECB= a，
在Rt△DHC中，CH=CD·sin∠HDC= a，
∴CG=2CH，即GH=CH，
∴DG=DC．
思路二：如图，延长GF，CD交于点M，
由（1）得△ABF≌△BCE，
∴AF=BE= AB= AD=DF，
∵∠MDF=∠BAF=90° ，
∠DFM=∠AFB，
∴△MDF≌△BAF（ASA）．
∴MD= BA，
∵BA= DC，
∴MD=DC．
∴在Rt△MGC中，DG= MC=DC．
（3）解：如图3，过点D作DQ⊥CE于点Q，则∠QDC+∠DCQ= 90°，
∵∠ECB+∠DCQ= 90°，
∴∠QDC=∠ECB，
∵AB=3，BE=2AE，
∴BE=2，BC=3，
在Rt△CEB中，由勾股定理得CE= ，
∴cos∠ECB= ，sin∠ECB=
在Rt△CGB中，CG=CB·cos∠ECB=
在Rt△CQD中，CQ=CD·sin∠CDQ= ，DQ=CD·cos∠CDQ= ．
∴GQ=CG- CQ= ，
在Rt△DQG中，由勾股定理得DG=
【知识点】解直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）由正方形性质得，AB=BC，∠A=∠EBC=90°，由同角的余角相等推出∠ECB=∠GBE，根据全等三角形判定定理ASA即可证明；
（2）思路一：如图1，过点D作DH⊥CE于点H，由同角的余角相等推出∠HDC=∠ECB；由点E为AB中点，在Rt△CBE中，可得tan∠ECB=，进而求得sin∠ECB、cos∠ECB，设BC=2a，则DC= 2a，在Rt△CGB中，利用cos∠ECB表示出CG，在Rt△DHC中，利用sin∠HDC表示出CH，进而推出GH和CH的数量关系，即可求证DG=DC；
思路二：如图2，延长GF，CD交于点M，由（1）中△ABF≌△BCE，结合E为AB中点，可得AF=BE=DF ，再由∠MDF=∠BAF=90° ，∠DFM=∠AFB可证明△MDF≌△BAF，由全等三角形性质得MD=BA， 进而求得MD=DC，再根据GD是Rt△CGM斜边上的中线性质，即可求证DG=DC；
（3）如图3，过点D作DQ⊥CE于点Q，易得∠QDC=∠ECB，在Rt△CEB中，由勾股定理求得CE，进而再表示出cos∠ECB、sin∠ECB；在Rt△CGB中，由CG=CB·cos∠ECB解得CG，在Rt△CQD中，由CQ=CD·sin∠CDQ求得CQ，由DQ=CD·cos∠CDQ求得DQ，根据GQ=CG-CQ解得GQ；最后在Rt△DQG中，由勾股定理得即可求出DG.
24．（2022九下·长兴开学考）已知二次函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（1，-2）．
（1）用含有b的代数式表示c；
（2）设该二次函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，顶点坐标也随之变化，求n关于m的函数解析式；
（3）若该二次函数的图象不经过第二象限，当-2≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
【答案】（1）解：把（1，-2）代入y=-x2+bx+c，
得-2=-1+b+c．
∴c=-b-1
（2）解：由（1）得抛物线y=-x2+bx-b-1，
∵顶点坐标是（m，n），
∴m= ，n= -b-1，
∴b=2m，
∴n=m2-2m-1
（3）解：∵二次函数的图象不经过第二象限，
又a=-1<0，
∴-b-1≤0，解得b≥-1，
∴m= ≥- ，
①当- ≤ ≤0，即-1≤b≤0时，
∵2≤x≤4，
∴当x= 时，ymax= -b-1，
当x=4时，ymin=-16+4b-b-1=3b-17，
由题意，得 -b-1-（3b-17）=16，解得b=0或b=16（舍去）．
②当0< ≤1，即0∵-2≤x≤4，
∴当x= 时，ymax = -b-1，
当x=4时，ymin= 3b-17，
由题意，得 -b-1-（3b-17）=16，解得b=0（舍去）或b=16（舍去）．
③当1< <4，即2∵-2≤x≤4，
∴当x= 时，ymin= -b-1，
当x=-2时，ymin=-4-2b-b-1=-3b- 5，
由题意，得 -b-1-（-3b-5）=16，解得b=4或b=-12（舍去）．
④当 ≥4，即b≥8时，
∵2≤x≤4，
∴当x=4时，ymax=3b-17，
当x=-2时，ymin=-3b-5，
由题意，得3b-17-（-3b-5）=16，解得b= （舍去）．
综上所述，b的值为0或4．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把点（1，-2）代入y=-x2+bx+c，得-2=-1+b+c，整理即可；
（2）由（1）中c=-b-1得抛物线解析式为y=-x2+bx-b-1， 由顶点坐标公式得m=
，n=
-b-1，整理求得b=2m，再将其代入n=
-b-1即可求解；
（3）因为二次函数的图象不经过第二象限， 由a=-1和（1）中结论c=-b-1可得-b-1≤0，即b≥-1，再由（2）中m=
，求得≥-，再分四种情况进行讨论：①-≤
≤0，即-1≤b≤0时，②0≤
≤1即01 / 1
