北京市海淀区教师进修学校附属实验中学2012-2013学年高二上学期期末考试 理科数学

2012—2013学年度第一学期期末练习
高二理科数学
考生须 知 1、本试卷共 4页，包括 三个大题，22小题，满分为 100分。考试时间100分钟。2、答题前，考生应认真在密封线外填写班级、姓名和学号3、答案请作答在答案纸上。
一、选择题
1．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2．由=1，给出的数列的第34项为( )
A． B．100 C． D．
3．已知数列{ an }是正项等比数列，若a1=32，a3+ a 4=12，则数列{logan }的前n项和Sn的最大值为( )
A．15 B． 12 C． 9 D．6
4．抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的动点M在准线上的射影为，若△是等边三角形，则点M的横坐标是( )
A．p B．p C．3p D． p
5．数列{}前n项和是，如果，则这个数列是（ ）
A.等比数列 B.等差数列
C.除去第一项是等比 D.除去最后一项为等差
6．抛物线y2=4x的焦点为F，准线为，与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于( )
A．3 B．4 C．6 D．8
7．△ABC中，分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=（ ）
A. B. C. D.
8．在平面直角坐标系，已知平面区域且，则平面区域的面积为（ ）
A. B. C. D.
9．在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是 ( )
A.11 B.12 C.13 D.14
10．已知等差数列中，的值是（ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
11．设是等差数列的前n项之和，且，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.均为的最大项
12．已知二次函数=x2+2x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，则+的最小值为（ ）
A.4 B．4 C．8 D．8
二、填空题
13．在△ABC中,三边的长为连续自然数,且最大角是钝角,这个三角形三边的长分别为_________.
14．如图，长方体中，AB=b,=BC=a,则与所成的角的度数是 ；与所成角的余弦值是 。
15．若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项.
16．由命题“RtABC中，两直角边分别为a,b,斜边上的高为h,则得”由此可类比出命题“若三棱锥S-ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两垂直，长分别为a,b,c，底面ABC上的高为h,则得____________________.
三、解答题
17． 已知双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，右准线为，一条渐近线的方程是，过双曲线C的右焦点F2的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是PQ的中点。
（1）求双曲线C的方程；
（2）若A、B分别是双曲C的两条渐近线上的动点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；
（3）若在的左侧能作出直线，使点R在直线上的射影S满足，当点P在曲线C上运动时，求取值范围。
18．学校要建一个面积为640 m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为5m和8 m的小路（如图所示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值。
19．已知实数满足，求的取值范围。
20．△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边长，若a=4，b=5，S=5，求边c的长度.
21．在m（m≥2）个不同数的排列中，若1≤i＜j≤m时（即前面某数大于后面某数），则称与构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.
（Ⅰ）求，并写出的表达式；
（Ⅱ）令，证明，n=1,2,….
22．在数列中，=1，，其中实数。
(I)求的通项公式；
(II)若对一切有，求c的取值范围。
高二理科数学参考答案
一、选择题
1．A
解析：设该数列的公差为，则，解得，
所以，所以当时，取最小值。
2．C 3．A
解析：依题意，设数列的公比为q，因为=32，+=12，则32q2 +32q3 =12,即8q2 +8q3 —3=0，也即8(q3 一)+8(q2 一)=0，解得q=，因此=32×()n-1 =26-n ,log2 =6一n设数列{ log2 }的前m项和最大，则，∴5m6，故数列{ log2 }的前5项和或前6项和最大，而S5 =S6 =15．故选A．
4．B
解析：由抛物线的定义可知||=|MF|，故当△F是等边三角形时必有|F|=|MF|，则F在的垂直平分线上，故||=2p，得点M的横坐标是P，选B
5．A
解析：
6．C
解析：如图所示，作FMAB于M，则由AFM=30 o 知
AM=AF=AB，又BM=EF=2，
AB=AF=4， BE=MF=2，则直角梯形ABEF的面积S=×(4+2)×
2=6
7．B 8．B
解析：令作出区域是等腰直角三角形，可求出面积
9．A
解析：设这两个正数为x，y，由题意可得： .
10．A 11.C 12．A
解析：∵=ax2 +2x+c的值域为[0，+∞)，则由△=0，a0得c=，
∴()十()4(当且仅当a=即a=1时取等号)
二、填空题
13．2,3,4
14．;
15．,3
16．
三、解答题
17．解:(Ⅰ)设双曲线C的方程为
则它的右准线方程为,即
由已知得,所以所求双曲线C的方程是
(2)设
则
因为双曲线C的近线方程为
所以
故
又,所以
即
即
即
所以点M的轨迹是中心在原点,焦点在轴上,长轴为6,短轴长为2的椭圆 (3)因为点R在直线 射影S满足
所以,即是直角三角形
所以到R到直线的距离为
即……6①
又 所以…………②
将②代入①,得
又P、Q是过右焦点F2 的一条弦,且P、Q均在双曲线C的右支上,R是弦PQ的中点,
所以
故所求的取值范围是
18．解:设游泳池的长为x m,则游泳池的宽为m,
又设占地面积为y m2 ,依题意,
得=800+10(x+)≥800+=1440
当且仅当,即x=32米,宽为=20米时取“=”。
答:游泳池的长为32 m宽为20m时,占地面积最小为1440 m2 。
19．令则可看作圆上的动点到点的连线的斜率
而相切时的斜率为，
20．解：由题意知a=4，b=5，。
∴由absinC，可得sinC===.
∴C=或.
当C=时，由余弦定理16+25-2×4×5×=21.
∴c=.
当C=时，同理可得c=.
21．（Ⅰ）由已知得，
.
（Ⅱ）因为，
所以.
又因为，
所以
=.
综上，.
22．(Ⅰ)解法一:由
猜测
下用数学归纳法证明.
当n=1时,等式成立;
假设当n=k时,等式成立,即,则当n=k+1时,
=

综上,成立
由原式得
令,则,因此对有
=
=
因此
因此
(Ⅱ)解法一:由得
因,所以
解此不等式得:对一切,有,其中
易知
又由,知
因此由对一切成立得
又易知单调递增,故
对一切成立,因此由对一切成立得.
从而c的取值范围为.
由得
因所以对恒成立.
记下分三种情况讨论.
(i)当即或时,代入验证可知只有满足要求.
ii. 当时,抛物线开口向下,因此当正整数充分大时,,不符合题意,此时无解.
(iii)当即时,抛物线开口向上,其对称轴必在直线的左边.因此在上是增函数.
所以要使对恒成立,只需即可,
由解得或
结合或得或,
综合以上三种情况,c的取值范围为
班级 姓名 学号
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