九年级上册数学第二十六章二次函数单元测试五（附答案）

九年级上册数学第二十六章二次函数单元测试五（附答案）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．抛物线的顶点坐标是( )
A.（－2，3） B.（2，3） C.（－2，－3） D.（2，－3）
2． 如图为二次函数的图象，此图象与轴的交点坐标分别为（）、（3，0）.下列说法正确的个数是 （ ）
① ②
③方程的根为，
④当时，随着的增大而增大
A.1 B. 2 C.3 D.4
3．把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为，则的值为（ ）
A．9　　　B． 12 C．　　　D．10
4．如图,二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点(-1,2)，与y轴交于点（0，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中-2< x1<-1，0< x2<1，下列结论：①4a-2b+c<0，②2a-b0，
③a<-1 ，④b2+8a<4ac，其中正确的有（ ）.

A.①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ②③④
5．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从A开始向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q沿矩形ABCD的边按A—D—C—B顺序以2cm/s的速度移动，当P、Q到达B点时都停止移动。下列图象能大致反映△QAP面积y（cm2）与移动时间x（s）之间函数关系的是（ ）
6．对于的图象，下列叙述正确的是（ ）
A.顶点坐标是（-3,2） B.对称轴为x＝－3
C.当时，y随x的增大而增大 D.函数有最大值
7．关于函数，下列说法不正确的是 （ ）
A．图形是轴对称图形 B．图形经过点
C．图形有一个最低点 D．时，随的增大而减小
8．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）．
9．抛物线的对称轴是直线=1，且经过点P（3，0），则的值为（ ）．
A．0 B．－l C．1 D．2
10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中不正确的是（ ）
A． abc > 0 B．2a+b> 0 C．b2-4ac > 0 D．a-b+c=0
二、填空题
11．若二次函数的最小值是，则
12．将抛物线y＝2x2向上平移3单位，得到的抛物线的解析式是____________．
13．.将一条长为10cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,
则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．
14．抛物线y＝(x－2)2＋3的最小值是 ．
15．若某二次函数的图象经过点A（2,a）和点B（-4,a），则这个二次函数图象的对称轴是直线 ．
16． 把函数化为的形式为_______________，此函数图象的对称轴是_____________，顶点坐标是_____________.
三、计算题
17．抛物线经过A（，0）、C（0，）两点，与轴交于另一点B。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D（，）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点，的坐标。
（3）在（2）的条件下，连结BD，问在轴上是否存在点P，使，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由
18．已知：抛物线．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；
（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；
（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．
四、解答题
19．已知二次函数图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、
B（x2，0），x1﹤0﹤x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，．
（1）求证： ；
（2）求m、n的值；
（3）当p﹥0且二次函数图象与直线仅有一个交点时，求二次函数的最大值．
20．如图①所示，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，E是直线AB上一点，过E作直线//BC，交直线CD于点F．将直线向右平移，设平移距离BE为 (t0)，直角梯形ABCD被直线扫过的面积（图中阴影部份）为S，S关于的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．

信息读取
(1)梯形上底的长AB= ；
(2) 直角梯形ABCD的面积= ；
图象理解
(3)写出图②中射线NQ表示的实际意义；
(4) 当时，求S关于的函数关系式；
问题解决
(5)当t为何值时，直线l将直角梯形ABCD分成的两部分面积之比为1: 3．
21．如图，已知点A(?3，5)在抛物线y=x2+c的图象上，点P从抛物线的顶点Q出发，沿y轴以
每秒1个单位的速度向正方向运动，连结AP并延长，交抛物线于点B，分别过点A、B作x轴的垂线，垂
足为C、D，连结AQ、BQ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当A、Q、B三点构成以AQ为直角边的直角三角形时，求点P离开点Q多少时间？
(3)试探索当AP、AC、BP、BD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）时，点P离开点Q的时刻．

22．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H.
（1）直接填写：= ，b= ，顶点C的坐标为 ；
（2）在轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.

23．矩形在平面直角坐标系中位置如图所示，两点的坐标分别为，，直线与边相交于点．
（1）求点的坐标；
（2）若抛物线经过点，试确定此抛物线的表达式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线交于点，点为对称轴上一动点，以为顶点的三角形与相似，求符合条件的点的坐标．

24．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出方程的两个根；
（2）当为何值时，；y﹤0；
（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围。
25．综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．
参考答案
1. A
2. C
3．B
3. C
4. A
6．C
7．D
8．C
9．A
10．D
11. 4
12.y＝2x2＋3
13．
14．3
15．x=-1
16．y=；x= 1；（1，-1）
17．
（1）
（2）（0，-1）
（3）（1,0）（9,0）
18．解：（1）抛物线，
∵a= ＞0，
∴抛物线的开口向上，
对称轴为x=1；
（2）∵a=＞0，
∴函数y有最小值，最小值为－3；
（3）令x=0，则 ，
所以，点P的坐标为（0， ），
令y=0，则，
解得x1=-1，x2=3，
所以，点Q的坐标为（-1，0）或（3，0），
当点P（0， ），Q（-1，0）时，设直线PQ的解析式为y=kx+b，
则 ，解得 k=， b= ，
所以直线PQ的解析式为 ，
当P（0， ），Q（3，0）时，设直线PQ的解析式为y=mx+n，
则 ，解得 m= ， n=- ，
所以，直线PQ的解析式为，
综上所述，直线PQ的解析式为或．
19．（1）证明：∵二次函数图象的顶点横坐标是2，
∴抛物线的对称轴为x=2，即，化简得：n+4m=0。
（2）解：∵二次函数与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，
∴OA=－x1，OB=x2；。
令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|。
由三角函数定义得：。
∵tan∠CAO－tan∠CBO=1，即 ，化简得：。
将 代入得：，化简得：。
由（1）知n+4m=0，
∴当n=1时，；当n=－1时，。
∴m、n的值为： ，n=－1（此时抛物线开口向上）或 ，n=1（此时抛物线开口向下）。
（3）解：由（2）知，当p＞0时，n=1， ，
∴抛物线解析式为：。
联立抛物线与直线y=x+3解析式得到：，
化简得： 。
∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，
∴一元二次方程＊根的判别式等于0，即△=02+16（p－3）=0，解得p=3。
∴抛物线解析式为：。
当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4。
∴当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4。
20．（1）（2）S梯形ABCD=12（3）当平移距离BE大于等于4时，直角梯形ABCD被直线扫过的面积恒为12（4）S=-t2+8t-4(5) 或
21．（1）把A（?3，5）代入得：5=(9+c，
∴c=．
（2）①若AQ⊥BQ，过点Q作MN⊥y轴，

可证△AMQ∽△QNB．
∵AM=AC?MC=，MQ=3，
∴．
设B（3k，2k+），
代入抛物线解析式得：k=，即B（，）．
∴直线AB的解析式为：．
∴OP=，∴PQ=2．
②若AQ⊥AB，

∵AC∥PQ，可证△AMQ∽△QAP，
又由勾股定理得AQ=．
∴PQ=．
∴对应的时刻t为：2或．
（3）①若AC=BD，AP=BP，
此时点A与点B关于y轴对称，
∴OP=AC=5，
∴PQ=4．
②若AC=AP，
设P（0，y），则：9+(y?5)2=25，
解之得，y=1，即OP=1．
∴PQ=．
此时，直线AP解析式为：．
与抛物线的交点B为（，），
∴PB==BD．
∴满足条件的时刻为：和4．
22．（1），顶点C的坐标为（-1，4）
假设在y轴上存在满足条件的点D, 过点C作CE⊥y轴于点E.

由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°. 又∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1. 又∵∠CED=∠DOA =90°，
∴△CED ∽△DOA，∴.
设D（0，c），则.
变形得，解之得.
综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），
使△ACD是以AC为斜边的直角三角形.
（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH.
延长CP交x轴于M，∴AM=CM， ∴AM2=CM2.
设M（m，0），则( m+3)2=42+(m+1)2，∴m=2，即M（2，0）.
设直线CM的解析式为y=k1x+b1，
则， 解之得，.
∴直线CM的解析式.
联立，解之得或(舍去).∴.
②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH.
过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N.
由△CFA∽△CAH得，
由△FNA∽△AHC得.
∴, 点F坐标为（-5,1）. …………………………………10分
设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，解之得.
∴直线CF的解析式.
联立 ，解之得 或 (舍去). ∴.
∴满足条件的点P坐标为或

23．（1）点的坐标为．
（2）抛物线的表达式为．
（3）抛物线的对称轴与轴的交点符合条件．

∵，
∴．
∵，
∴．
∵抛物线的对称轴，
∴点的坐标为．
过点作的垂线交抛物线的对称轴于点．
∵对称轴平行于轴，
∴．
∵，
∴．
∴点也符合条件，．
∴，
∴．
∴．
∵点在第一象限，
∴点的坐标为，
∴符合条件的点有两个，分别是，．……9分
24．（1）根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=1，x2=3；
（2）根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（1，0）、（3，0），
而ax2+bx+c＞0，即y＞0，∴1＜x＜3；
（3）根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为x=2，∴当x＞2时，y随x的增大而减小．
25．解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3。
∵点A在点B的左侧，∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。
当x=0时，y=3。∴C点的坐标为（0，3）。
设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），则
，解得。
∴直线AC的解析式为y=3x+3。
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）。
（2）抛物线上有三个这样的点Q。如图，
①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；
②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；
③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）。
综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）。
（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求。
过点B′作B′E⊥x轴于点E。
∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2。
∴Rt△AOC∽Rt△AFB。∴。
由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，
∴AC=，AB=4。
∴，解得。∴BB′=2BF=，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，∴。
∴。∴B′E=，BE=。∴OE=BE﹣OB=﹣3=．
∴B′点的坐标为（﹣，）。
设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），则
，解得。
∴直线B'D的解析式为：。
联立B'D与AC的直线解析式可得：
，解得。
∴M点的坐标为（）。