1.1.1 等腰三角形 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
学习目标
1.回顾全等三角形的判定和性质;
2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用其解决基本的几何问题.(重点)
情境导入
4.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
5.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
6.三边对应相等的两个三角形全等。
1.两点确定一条直线。
2.两点之间线段最短。
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
本章将证明与等腰三角形和直角三角形的性质及判定有关的一些结论，证明线段垂直平分线和角平分线的有关性质，还将研究直角三角形全等的判定，进一步体会证明的必要性。
我们曾经探索过等腰三角形和直角三角形的一些性质，如等腰三角形“三线合一”的性质、勾股定理等。你还记得获得这些结论的过程吗？你能根据已有几本事实和定理证明这些结论吗？
情境导入
　想一想
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？
问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？
探究交流
已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF.
求证：△ABC≌△DEF.
A
B
C
D
E
F
探究交流
证明：
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
∠D +∠E +∠F = 180°（三角形内角和等于180°）.
∴∠C = 180°－（∠A +∠B），
∠F = 180°－（∠D +∠E），
∵∠A =∠D，∠B =∠E（已知） .
∴∠C =∠F（等量代换）.
∵BC = EF（已知）.
∴△ABC ≌ △DEF（ASA）.
A
B
C
D
E
F
探究交流
定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
根据全等三角形的定义，我们可以得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
总结归纳
全等三角形的判定方法
（1）三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或
“SSS”）.
（2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角
边角”或“ASA”）.
（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形
全等（简写成“角角边”或“AAS”）.
（4）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边
角边”或“SAS”）
总结归纳
A
B
C
顶角
底角
底角
腰
腰
底边
先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足.
探究交流
　议一议
（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
（2）请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与同伴交流.
推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线底边上的高互相重合(三线合一).
定理:等腰三角形的两个底角相等.
（等边对等角）
A
B
C
（B）
探究交流
典例解析
例1.在△ABC 中，AB = AC.
（1）若∠A = 40°，则∠C 等于多少度？
（2）若∠B = 72°，则∠A 等于多少度？
A
B
C
（1）70°
（2）36°
等腰三角形的两个底角相等.
A
B
C
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B= C.
思考：如何构造两个全等的三角形？
定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证
典例解析
探索&交流
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作底边的中线AD，则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
典例解析
　想一想
由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90°，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
A
B
C
D
典例解析
定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
总结归纳
例2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；
(2)求证：EF＝ED.
典例解析
解：（1）∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC
＝ (180°－∠BAC)
＝ (180°－50°)
＝65°.
典例解析
(2)求证：EF＝ED.
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴ED⊥BC.
又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED.
典例解析
1.已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，第三条边的长是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
练习巩固
练习巩固
2.如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　)
A．AB＝DE B．AC＝DF
C．∠A＝∠D D．BF＝EC
3.如图，在△ABC 中，AB=AC，点D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数.
A
B
C
D
练习巩固
等腰三角形的性质
等边对等角（注意是指同一个三角形中）
三线合一（注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质）
定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
课堂小结