1.4.1 角平分线 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
第一章 三角形的证明
4.1 角平分线
学习目标
1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点）
2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理及逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点）
3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
什么叫角平分线？
如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线.
你还记得角平分线上的点有什么性质吗？
情境导入
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥ OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
O
A
B
C
1
2
P
D
E
探究交流
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∵ ∠1 =∠2，OP = OP，
∴△PDO ≌△PEO（AAS）.
∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）.
探究交流
1.定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.书写格式：
如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E,
∴PD＝PE.
3 定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
探究交流
例1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D. 下列结论中错误的是（ ）
A. PC = PD
B. OC = OD
C. ∠CPO =∠DPO
D. OC = PO
D
典例解析
想一想
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
　　如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．
　　这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．
探究交流
定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
探究交流
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
归纳总结
例1.已知：如图，△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF，求DE的长。
A
B
C
D
E
F
典例解析
A
B
C
D
E
F
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，
∴AD 平分∠ABC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC =60°，∴∠BAD =30°.
∴在 Rt△ADE 中，∠AED=90°，AD=10，
∴ DE = AD = ×10 = 5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
1
2
1
2
典例解析
1.如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E、F，则下列四个结论：
①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到 AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE =∠CDF. 其中，正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
巩固练习
2.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE=DF， ∠EDB=60°，则 ∠EBF= 度，BE= .
E
B
D
F
A
C
G
巩固练习
3.如图，在△ABC中，与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是(　　)
A．AF平分BC
B．AF平分∠BAC
C．AF⊥BC
D．以上结论都正确
巩固练习
1.角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
2.角平分线的判定定理：
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
课堂小结