黑龙江省哈尔滨市第四十九中学2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试题
一、单选题
1．（2022九下·哈尔滨开学考）下列实数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．2022
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．
，是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
B．
是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
C．
是无理数，故本选项符合题意；
D.2022是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义逐项判断即可。
2．（2022九下·哈尔滨开学考）下列运算中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、
，不符合题意；
B、
，不符合题意；
C、
，不符合题意；
D、
，符合题意；
故答案为：D
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法逐项判断即可。
3．（2022九下·哈尔滨开学考）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办．以下是历届的冬奥会会徽设计的部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不符合题意；
B. 是轴对称图形，不符合题意；
C. 不是轴对称图形，符合题意；
D. 是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
4．（2019·合肥模拟）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的主视图是两个长方形，其中一个在另一的上面的左侧，
故选：A．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
5．（2021九上·太原期末）下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）
A．（4，1） B．（2，﹣2） C．（﹣1，4） D．（2，3）
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、当时，，则在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；
B、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
C、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
D、当时，，则（2，3）不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】将各选项分别代入反比例函数解析式求解即可。
6．（2021九上·湖北月考）抛物线 向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 向右平移1个单位得到 ，再向下平移2个单位得到 ；
故答案为：C.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
7．（2022九下·哈尔滨开学考）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得，
解整式方程得，
当
时，最简公分母
，
是分式方程的解；
故答案为：B．
【分析】先去分母，再利用整式方程的解法求解，最后检验即可。
8．（2022九下·哈尔滨开学考）某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（ ）
A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝3.5米，∠BCA＝29°，
∴AB＝BC sin∠ACB＝3.5 sin29°.
故答案为：A．
【分析】利用解直角三角形的方法可得AB＝BC sin∠ACB＝3.5 sin29°。
9．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过点N作CD的垂线交
于点E
由折叠可知：
，
，
∵AN平分
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴在
中，由勾股定理可得：
故答案为：C
【分析】过点N作CD的垂线交
于点E，先求出
，
，再利用解直角三角形求出
，
，然后利用线段的和差求出
，最后利用勾股定理求出
即可。
10．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，
，
，
分别交
于点G，H，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴，
∴A选项不符合题意，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，
∴△CEG∽△CDH，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴B选项不符合题意，不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=DE，
∵AE∥DF，
∴，
∴；
∴C选项不符合题意，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴，
∵AB＞FA，
∴
∴D选项符合题意，符合题目要求．
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定和性质逐项判断或者直接利用平行线分线段成比例的性质求解即可。
二、填空题
11．（2022九下·哈尔滨开学考）将数361000000用科学记数法表示为 ．
【答案】3.61×108
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意知：361000000=3.61×108，
故答案为：3.61×108．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
12．（2021·松北模拟）在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≠3
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
解得x≠3，
故答案为x≠3．
【分析】先求出 ，再求出x≠3即可。
13．（2022九下·哈尔滨开学考）化简2-的结果为 ．
【答案】-
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=2×
-2
=-
．
故答案为：
【分析】先化简，再利用二次根式的减法计算即可。
14．（2022九下·哈尔滨开学考）把分解因式的结果是 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：
．
【分析】先提取公因式ax，再利用完全平方公式因式分解即可。
15．不等式组 的解集是 ．
【答案】 ≤x＜2
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
解①得：x＜2，
解②得：x≥ ，
则不等式组的解集是： ≤x＜2．
故答案是： ≤x＜2．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
16．（2022九下·哈尔滨开学考）一个袋中有3个白球和2个红球，它们除颜色不同外都相同．任意摸出一个球后放回，再任意摸出一球，则两次都摸到红球的概率为 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如图：
共有25个等可能的结果，两次都摸到红球的结果有4个，
∴两次都摸到红球的概率为
，
故答案为：
．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
17．（2021九下·哈尔滨开学考）一个扇形的面积为4πcm2，弧长为2πcm，则此扇形的圆心角为 度．
【答案】90
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形圆心角的度数为n，半径为r，
∵扇形的弧长为2π，面积为4π，
∴4π＝ ×2πr，解得r＝4．
∵ ＝2π，
∴n＝90°．
故答案为90．
【分析】设扇形圆心角的度数为n，半径为r，再由山西的面积公式求出r的值，根据弧长公式即可得出结论。
18．（2021九下·哈尔滨开学考）如图，直线AB与半径为4的⊙O相切于点C，点D在⊙O上，连接CD，DE，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长为 ．
【答案】4
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OE和OC，且OC与EF的交点为M．
∵∠EDC＝30°，
∴∠COE＝60°．
∵AB与⊙O相切，
∴OC⊥AB，
又∵EF∥AB，
∴OC⊥EF，即△EOM为直角三角形．
在Rt△EOM中，EM＝sin60°×OE＝ ×4＝2 ，
∵EF＝2EM，
∴EF＝4 ．
故答案为4 ．
【分析】连接OE和OC，且OC与EF的交点为M．根据一条弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，可知∠EOC的度数，再根据切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径可知OC⊥AB，因为EF∥AB，得出OC⊥EF，最后由勾股定理将EF的长求出即可。
19．（2020九上·哈尔滨月考）在矩形ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交射线BC于点E，若BE＝2CE，AB＝3，则AD的长为
【答案】 或
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，当点E在BC的延长线上时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图，当点E在线段BC上时，设直线OE与直线AB、CD交于点F、H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案是： 或 ．
【分析】分情况讨论，点E在BC的延长线上或点E在线段BC上，第一种情况证明 是等边三角形，再利用锐角三角函数求AD的长，第二种情况先证明 ，再证明 是等边三角形，最后用锐角三角函数求出AD的长．
20．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，在四边形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点E，，，若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过B点作BG⊥AC于G，如下图所示：
∵已知
，且∠DAE=∠CAD=90°，
∴△ADE∽△ACD，
∴，
设AE=x，EC=3，则AC=AE+EC=x+3，代入上式：
∴，即
，
∵已知
，
，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°，
∴，
∴，
∵∠AED=∠GEB，∠DAE=∠BGE=90°，
∴△AED∽△GEB，
∴，代入数据：
得到：
，
解得：
或
(舍去)，
经检验，
是原方程的解，
∴AE=1，AC=4，AD =x(x+3)=4，
在Rt△ADC中，由勾股定理可知： ，
故答案为：
．
【分析】过B点作BG⊥AC于G，先证明△ADE∽△ACD，可得
，设AE=x，EC=3，则AC=AE+EC=x+3，可得
，再利用等腰直角三角形的性质可得
，
，再证明△AED∽△GEB，可得
，将数据代入可得
，求出x的值，最后利用勾股定理求出CD的长即可。
三、解答题
21．（2022九下·哈尔滨开学考）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】解：原式
，
当时，代入：
∴原式
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再利用特殊角的三角函数值求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
22．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画出直角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且的面积为3；
(2)在方格纸中画出以CD为一边的锐角等腰三角形
，点F在小正方形的顶点上，且
的面积为10，连接EF，请直接写出线段EF的长．
【答案】解：⑴根据题意，画出图形，如图：
理由： ，
∴，
；
⑵根据题意，画出图形，如图；
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；作图-三角形
【解析】【解答】(2)根据题意，画出图形，如图；
理由：
，
，
∴，
∴
【分析】（1）根据要求作出三角形即可；
（2）根据要求作出三角形CDF，再利用勾股定理求出EF的长即可。
23．（2022九下·哈尔滨开学考）为了解某校学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中共调查了多少名学生？
（2）求户外活动时间为1.5小时的人数，并补全条形统计图．
（3）若该中学共有学生2000人，请你估计该中学参加户外活动时间为2小时的学生有多少名．
【答案】（1）解：由条形统计图可知：活动时间为0.5小时的人数是10人，
由扇形统计图可知：活动时间为0.5小时的人数所占的百分比为20%，
故总人数为10÷20%=50人．
（2）解：由扇形统计图可知：活动时间为1.5小时的人数所占的百分比为24%，
∴户外活动时间为1.5小时的人数为：50×24%=12(人)，
频数分布直方图如图所示：
（3）解：由条形统计图可知：活动时间为2小时的人数是8人，占抽样调查的百分比为8÷50=16%，
∴有学生2000人时，估计参加户外活动时间为2小时的学生有2000×16%=320人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）利用“0.5小时”的人数除以对应的百分比即可得到总人数；
（2）利用总人数乘以“1.5小时”对应的百分比即可得到答案，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“2小时”的百分比，再乘以2000即可得到答案。
24．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，AC为矩形ABCD的对角线，AC的垂直平分线交AD、BC于点F、E．
（1）如图1，求证：四边形AECF为菱形．
（2）如图2，若，，请直接写出图中所有正切值等于的角．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AF∥CE，
∴∠FAG＝∠ECG，
∵EF垂直平分AC，
∴AG＝CG，FE⊥AC，
在△AGF和△CGE中，
，
∴△AGE≌△CGF（ASA），
∴EG＝FG，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四边形AECF为菱形．
（2）解：正切值为的角为：∠AEB，∠EAF，∠CFD，∠FCE．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：(2)正切值为
的角为：∠AEB，∠EAF，∠CFD，∠FCE．
理由：设AE＝x，则CE＝x，BE＝5﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AB2+BE2＝AE2，
∴（5﹣x）2＝x2，
解得：x＝3，
∴BE＝2，
∴tan∠AEB
，
∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，∠FCE＝∠CFD，
∵∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEB，∠EAF，∠CFD，∠FCE的正切值都等于
．
【分析】（1）先利用矩形的性质和“ASA”证明△AGE≌△CGF可得EG=FG，因此四边形AECF为平行四边形，再根据FE⊥AC，即可证明平行四边形AECF为菱形；
（2）先求出AE、CE和BE的长，再根据正切值的定义求解即可。
25．（2022九下·哈尔滨开学考）某商店欲购进A、B两种化妆品，用160元购进的A种化妆品与用240元购进的B种化妆品的数量相同，每件B种化妆品的进价比A种化妆品的进价贵10元．
（1）求A、B两种化妆品每件的进价分别为多少元？
（2）若该商店A种化妆品每件售价24元，B种化妆品每件售价35元，准备购进A、B两种化妆品共100件，且这两种化妆品全部售出后总获利高于468元，则最多购进A种化妆品多少件？
【答案】（1）解：设A种化妆品每件的进价为x元，则B两种化妆品每件的进价为(x+10)元，
∴，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴A种化妆品每件的进价20元，B两种化妆品每件的进价为30元．
（2）解：设最多购进A种化妆品y件，则购进B种化妆品(100-y)件，
A种化妆品的利润为：(24-20)×y=4y元，
B种化妆品的利润为：(35-30)×(100-y)=(500-5y)元，
∵总利润高于468元，
∴4y+500-5y＞468，
解得：y＜32，又y为正整数，
∴y=31，
故最多购进A种化妆品31件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设A种化妆品每件的进价为x元，则B两种化妆品每件的进价为(x+10)元，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设最多购进A种化妆品y件，则购进B种化妆品(100-y)件，根据题意列出不等式4y+500-5y＞468求解即可。
26．（2022九下·哈尔滨开学考）已知，内接于，点D为BC中点，直径EF经过点D，连接AE．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接OB、AF，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，AE和BC交于点G，若，的面积为，求OB的长．
【答案】（1）证明：
∵EF是直径，D为BC中点
∴ ，
∴；
（2）证明：如图2，过O作OK⊥AF于点K，连接AO、OC，则AF＝2FK，
∵，，
∴，
∵EF是直径，D为BC中点，
∴，，
∴，
∵OK⊥AF，，
∴，
在△OBD和△FOK中
，
∴△OBD≌△FOK，
∴FK＝DO．
∴AF＝2OD；
（3）解：如图3，
过A作AH⊥BC于点H，则 ，
设DG=a，则AE=8DG=8a，由（2）可得，AE=2BD，
∴BD＝4a，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD=4a，
∴CG=CD-DG=3a，
∵由（1）得AG=BG=BD+DG=5a，
∴EG=AE-AG=3a，
∴在中， ，
∵，
∴即，
∴ ，
∵的面积为，
∴，
解得，
∵EF为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴即
∴，
∴OB＝6．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角的性质可得
；
（2）过O作OK⊥AF于点K，连接AO、OC，则AF＝2FK，利用“AAS”证明△OBD≌△FOK，可得FK=DO，因此AF＝2OD；
（3）过A作AH⊥BC于点H，则 ，设DG=a，则AE=8DG=8a，由（2）可得，AE=2BD，再利用可得
即， 即可得到
，再利用三角形的面积求出
，再证明
可得
即 ，求出
，即可得到OB=6。
27．（2022九下·哈尔滨开学考）已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，．
（1）如图1，求m的值；
（2）如图2，点P是第四象限抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，E为PD中点，连接BE，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，F为CE上一点，连接PF，M为抛物线的顶点，连接PM，将射线PM绕点P逆时针旋转，交y轴于点G，交抛物线于点N，若，，求点N的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C
∴点C（0，3）
∴OC=3
∵
∴OB=3
∴点B（3，0）
∵抛物线与x轴交于点B
∴0=-9+3m+3
即m=2
（2）解：∵m=2
∴抛物线为
∴点A（-1，0）
∴AB=4
∵点P的横坐标为t，且点P在抛物线上
∴点P为（t，）
设直线PA为
∴
解得
∴直线PA为
∴点D为（0，3 -t）
∵E为PD中点
∴
∵点P在第四象限
∴点E也在第四象限
∴
∴的面积为
（3）解：如图，
∵点M是抛物线的顶点
∴M（1，4）
设直线PM为
∴
解得
∴直线PM为
设直线CE为
∴
解得
∴直线CE为
∴CE∥PM
∴∠DCE=∠PHC
∵
∴
∴四边形PFCH是等腰梯形
∴PF=CH
∵C（0，3），H（0，3+t）
∴PF=CH=t
∵
∴
∴G（0， ）
设直线PN为
∴
解得
∴直线PN为
∵抛物线与直线PN交于点N
解得（舍去） ，
当，
所以，点N的坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，再利用OB=OC，求出点B的坐标，再将点B的坐标代入
求出m的值即可；
（2）由题可得点P为（t，），利用待定系数法求出直线PA的解析式，求出点D的坐标，即可得到，所以
，最后利用三角形的面积公式可得
；
（3）先求出直线PM为，直线CE为，再证明四边形PFCH是等腰梯形，求出点G（0， ），再利用待定系数法求出直线PN为，再根据题意列出等式
求出x的值，即可得到点N的坐标。
1 / 1黑龙江省哈尔滨市第四十九中学2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试题
一、单选题
1．（2022九下·哈尔滨开学考）下列实数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．2022
2．（2022九下·哈尔滨开学考）下列运算中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2022九下·哈尔滨开学考）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办．以下是历届的冬奥会会徽设计的部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019·合肥模拟）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021九上·太原期末）下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）
A．（4，1） B．（2，﹣2） C．（﹣1，4） D．（2，3）
6．（2021九上·湖北月考）抛物线 向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022九下·哈尔滨开学考）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九下·哈尔滨开学考）某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（ ）
A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．
9．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（ ）
A． B． C． D．3
10．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，
，
，
分别交
于点G，H，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．（2022九下·哈尔滨开学考）将数361000000用科学记数法表示为 ．
12．（2021·松北模拟）在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
13．（2022九下·哈尔滨开学考）化简2-的结果为 ．
14．（2022九下·哈尔滨开学考）把分解因式的结果是 ．
15．不等式组 的解集是 ．
16．（2022九下·哈尔滨开学考）一个袋中有3个白球和2个红球，它们除颜色不同外都相同．任意摸出一个球后放回，再任意摸出一球，则两次都摸到红球的概率为 ．
17．（2021九下·哈尔滨开学考）一个扇形的面积为4πcm2，弧长为2πcm，则此扇形的圆心角为 度．
18．（2021九下·哈尔滨开学考）如图，直线AB与半径为4的⊙O相切于点C，点D在⊙O上，连接CD，DE，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长为 ．
19．（2020九上·哈尔滨月考）在矩形ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交射线BC于点E，若BE＝2CE，AB＝3，则AD的长为
20．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，在四边形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点E，，，若，则的长为 ．
三、解答题
21．（2022九下·哈尔滨开学考）先化简，再求代数式的值，其中．
22．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画出直角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且的面积为3；
(2)在方格纸中画出以CD为一边的锐角等腰三角形
，点F在小正方形的顶点上，且
的面积为10，连接EF，请直接写出线段EF的长．
23．（2022九下·哈尔滨开学考）为了解某校学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中共调查了多少名学生？
（2）求户外活动时间为1.5小时的人数，并补全条形统计图．
（3）若该中学共有学生2000人，请你估计该中学参加户外活动时间为2小时的学生有多少名．
24．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，AC为矩形ABCD的对角线，AC的垂直平分线交AD、BC于点F、E．
（1）如图1，求证：四边形AECF为菱形．
（2）如图2，若，，请直接写出图中所有正切值等于的角．
25．（2022九下·哈尔滨开学考）某商店欲购进A、B两种化妆品，用160元购进的A种化妆品与用240元购进的B种化妆品的数量相同，每件B种化妆品的进价比A种化妆品的进价贵10元．
（1）求A、B两种化妆品每件的进价分别为多少元？
（2）若该商店A种化妆品每件售价24元，B种化妆品每件售价35元，准备购进A、B两种化妆品共100件，且这两种化妆品全部售出后总获利高于468元，则最多购进A种化妆品多少件？
26．（2022九下·哈尔滨开学考）已知，内接于，点D为BC中点，直径EF经过点D，连接AE．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接OB、AF，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，AE和BC交于点G，若，的面积为，求OB的长．
27．（2022九下·哈尔滨开学考）已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，．
（1）如图1，求m的值；
（2）如图2，点P是第四象限抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，E为PD中点，连接BE，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，F为CE上一点，连接PF，M为抛物线的顶点，连接PM，将射线PM绕点P逆时针旋转，交y轴于点G，交抛物线于点N，若，，求点N的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．
，是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
B．
是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
C．
是无理数，故本选项符合题意；
D.2022是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义逐项判断即可。
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、
，不符合题意；
B、
，不符合题意；
C、
，不符合题意；
D、
，符合题意；
故答案为：D
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法逐项判断即可。
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不符合题意；
B. 是轴对称图形，不符合题意；
C. 不是轴对称图形，符合题意；
D. 是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的主视图是两个长方形，其中一个在另一的上面的左侧，
故选：A．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
5．【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、当时，，则在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；
B、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
C、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
D、当时，，则（2，3）不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】将各选项分别代入反比例函数解析式求解即可。
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 向右平移1个单位得到 ，再向下平移2个单位得到 ；
故答案为：C.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
7．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得，
解整式方程得，
当
时，最简公分母
，
是分式方程的解；
故答案为：B．
【分析】先去分母，再利用整式方程的解法求解，最后检验即可。
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝3.5米，∠BCA＝29°，
∴AB＝BC sin∠ACB＝3.5 sin29°.
故答案为：A．
【分析】利用解直角三角形的方法可得AB＝BC sin∠ACB＝3.5 sin29°。
9．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过点N作CD的垂线交
于点E
由折叠可知：
，
，
∵AN平分
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴在
中，由勾股定理可得：
故答案为：C
【分析】过点N作CD的垂线交
于点E，先求出
，
，再利用解直角三角形求出
，
，然后利用线段的和差求出
，最后利用勾股定理求出
即可。
10．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴，
∴A选项不符合题意，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，
∴△CEG∽△CDH，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴B选项不符合题意，不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=DE，
∵AE∥DF，
∴，
∴；
∴C选项不符合题意，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴，
∵AB＞FA，
∴
∴D选项符合题意，符合题目要求．
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定和性质逐项判断或者直接利用平行线分线段成比例的性质求解即可。
11．【答案】3.61×108
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意知：361000000=3.61×108，
故答案为：3.61×108．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
12．【答案】x≠3
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
解得x≠3，
故答案为x≠3．
【分析】先求出 ，再求出x≠3即可。
13．【答案】-
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=2×
-2
=-
．
故答案为：
【分析】先化简，再利用二次根式的减法计算即可。
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：
．
【分析】先提取公因式ax，再利用完全平方公式因式分解即可。
15．【答案】 ≤x＜2
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
解①得：x＜2，
解②得：x≥ ，
则不等式组的解集是： ≤x＜2．
故答案是： ≤x＜2．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
16．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如图：
共有25个等可能的结果，两次都摸到红球的结果有4个，
∴两次都摸到红球的概率为
，
故答案为：
．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
17．【答案】90
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形圆心角的度数为n，半径为r，
∵扇形的弧长为2π，面积为4π，
∴4π＝ ×2πr，解得r＝4．
∵ ＝2π，
∴n＝90°．
故答案为90．
【分析】设扇形圆心角的度数为n，半径为r，再由山西的面积公式求出r的值，根据弧长公式即可得出结论。
18．【答案】4
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OE和OC，且OC与EF的交点为M．
∵∠EDC＝30°，
∴∠COE＝60°．
∵AB与⊙O相切，
∴OC⊥AB，
又∵EF∥AB，
∴OC⊥EF，即△EOM为直角三角形．
在Rt△EOM中，EM＝sin60°×OE＝ ×4＝2 ，
∵EF＝2EM，
∴EF＝4 ．
故答案为4 ．
【分析】连接OE和OC，且OC与EF的交点为M．根据一条弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，可知∠EOC的度数，再根据切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径可知OC⊥AB，因为EF∥AB，得出OC⊥EF，最后由勾股定理将EF的长求出即可。
19．【答案】 或
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，当点E在BC的延长线上时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图，当点E在线段BC上时，设直线OE与直线AB、CD交于点F、H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案是： 或 ．
【分析】分情况讨论，点E在BC的延长线上或点E在线段BC上，第一种情况证明 是等边三角形，再利用锐角三角函数求AD的长，第二种情况先证明 ，再证明 是等边三角形，最后用锐角三角函数求出AD的长．
20．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过B点作BG⊥AC于G，如下图所示：
∵已知
，且∠DAE=∠CAD=90°，
∴△ADE∽△ACD，
∴，
设AE=x，EC=3，则AC=AE+EC=x+3，代入上式：
∴，即
，
∵已知
，
，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°，
∴，
∴，
∵∠AED=∠GEB，∠DAE=∠BGE=90°，
∴△AED∽△GEB，
∴，代入数据：
得到：
，
解得：
或
(舍去)，
经检验，
是原方程的解，
∴AE=1，AC=4，AD =x(x+3)=4，
在Rt△ADC中，由勾股定理可知： ，
故答案为：
．
【分析】过B点作BG⊥AC于G，先证明△ADE∽△ACD，可得
，设AE=x，EC=3，则AC=AE+EC=x+3，可得
，再利用等腰直角三角形的性质可得
，
，再证明△AED∽△GEB，可得
，将数据代入可得
，求出x的值，最后利用勾股定理求出CD的长即可。
21．【答案】解：原式
，
当时，代入：
∴原式
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再利用特殊角的三角函数值求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
22．【答案】解：⑴根据题意，画出图形，如图：
理由： ，
∴，
；
⑵根据题意，画出图形，如图；
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；作图-三角形
【解析】【解答】(2)根据题意，画出图形，如图；
理由：
，
，
∴，
∴
【分析】（1）根据要求作出三角形即可；
（2）根据要求作出三角形CDF，再利用勾股定理求出EF的长即可。
23．【答案】（1）解：由条形统计图可知：活动时间为0.5小时的人数是10人，
由扇形统计图可知：活动时间为0.5小时的人数所占的百分比为20%，
故总人数为10÷20%=50人．
（2）解：由扇形统计图可知：活动时间为1.5小时的人数所占的百分比为24%，
∴户外活动时间为1.5小时的人数为：50×24%=12(人)，
频数分布直方图如图所示：
（3）解：由条形统计图可知：活动时间为2小时的人数是8人，占抽样调查的百分比为8÷50=16%，
∴有学生2000人时，估计参加户外活动时间为2小时的学生有2000×16%=320人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）利用“0.5小时”的人数除以对应的百分比即可得到总人数；
（2）利用总人数乘以“1.5小时”对应的百分比即可得到答案，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“2小时”的百分比，再乘以2000即可得到答案。
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AF∥CE，
∴∠FAG＝∠ECG，
∵EF垂直平分AC，
∴AG＝CG，FE⊥AC，
在△AGF和△CGE中，
，
∴△AGE≌△CGF（ASA），
∴EG＝FG，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四边形AECF为菱形．
（2）解：正切值为的角为：∠AEB，∠EAF，∠CFD，∠FCE．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：(2)正切值为
的角为：∠AEB，∠EAF，∠CFD，∠FCE．
理由：设AE＝x，则CE＝x，BE＝5﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AB2+BE2＝AE2，
∴（5﹣x）2＝x2，
解得：x＝3，
∴BE＝2，
∴tan∠AEB
，
∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，∠FCE＝∠CFD，
∵∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEB，∠EAF，∠CFD，∠FCE的正切值都等于
．
【分析】（1）先利用矩形的性质和“ASA”证明△AGE≌△CGF可得EG=FG，因此四边形AECF为平行四边形，再根据FE⊥AC，即可证明平行四边形AECF为菱形；
（2）先求出AE、CE和BE的长，再根据正切值的定义求解即可。
25．【答案】（1）解：设A种化妆品每件的进价为x元，则B两种化妆品每件的进价为(x+10)元，
∴，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴A种化妆品每件的进价20元，B两种化妆品每件的进价为30元．
（2）解：设最多购进A种化妆品y件，则购进B种化妆品(100-y)件，
A种化妆品的利润为：(24-20)×y=4y元，
B种化妆品的利润为：(35-30)×(100-y)=(500-5y)元，
∵总利润高于468元，
∴4y+500-5y＞468，
解得：y＜32，又y为正整数，
∴y=31，
故最多购进A种化妆品31件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设A种化妆品每件的进价为x元，则B两种化妆品每件的进价为(x+10)元，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设最多购进A种化妆品y件，则购进B种化妆品(100-y)件，根据题意列出不等式4y+500-5y＞468求解即可。
26．【答案】（1）证明：
∵EF是直径，D为BC中点
∴ ，
∴；
（2）证明：如图2，过O作OK⊥AF于点K，连接AO、OC，则AF＝2FK，
∵，，
∴，
∵EF是直径，D为BC中点，
∴，，
∴，
∵OK⊥AF，，
∴，
在△OBD和△FOK中
，
∴△OBD≌△FOK，
∴FK＝DO．
∴AF＝2OD；
（3）解：如图3，
过A作AH⊥BC于点H，则 ，
设DG=a，则AE=8DG=8a，由（2）可得，AE=2BD，
∴BD＝4a，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD=4a，
∴CG=CD-DG=3a，
∵由（1）得AG=BG=BD+DG=5a，
∴EG=AE-AG=3a，
∴在中， ，
∵，
∴即，
∴ ，
∵的面积为，
∴，
解得，
∵EF为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴即
∴，
∴OB＝6．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角的性质可得
；
（2）过O作OK⊥AF于点K，连接AO、OC，则AF＝2FK，利用“AAS”证明△OBD≌△FOK，可得FK=DO，因此AF＝2OD；
（3）过A作AH⊥BC于点H，则 ，设DG=a，则AE=8DG=8a，由（2）可得，AE=2BD，再利用可得
即， 即可得到
，再利用三角形的面积求出
，再证明
可得
即 ，求出
，即可得到OB=6。
27．【答案】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C
∴点C（0，3）
∴OC=3
∵
∴OB=3
∴点B（3，0）
∵抛物线与x轴交于点B
∴0=-9+3m+3
即m=2
（2）解：∵m=2
∴抛物线为
∴点A（-1，0）
∴AB=4
∵点P的横坐标为t，且点P在抛物线上
∴点P为（t，）
设直线PA为
∴
解得
∴直线PA为
∴点D为（0，3 -t）
∵E为PD中点
∴
∵点P在第四象限
∴点E也在第四象限
∴
∴的面积为
（3）解：如图，
∵点M是抛物线的顶点
∴M（1，4）
设直线PM为
∴
解得
∴直线PM为
设直线CE为
∴
解得
∴直线CE为
∴CE∥PM
∴∠DCE=∠PHC
∵
∴
∴四边形PFCH是等腰梯形
∴PF=CH
∵C（0，3），H（0，3+t）
∴PF=CH=t
∵
∴
∴G（0， ）
设直线PN为
∴
解得
∴直线PN为
∵抛物线与直线PN交于点N
解得（舍去） ，
当，
所以，点N的坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，再利用OB=OC，求出点B的坐标，再将点B的坐标代入
求出m的值即可；
（2）由题可得点P为（t，），利用待定系数法求出直线PA的解析式，求出点D的坐标，即可得到，所以
，最后利用三角形的面积公式可得
；
（3）先求出直线PM为，直线CE为，再证明四边形PFCH是等腰梯形，求出点G（0， ），再利用待定系数法求出直线PN为，再根据题意列出等式
求出x的值，即可得到点N的坐标。
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