吉林省第二实验学校2021-2022学年九年级下学期开学质量监测数学试题
一、单选题
1．（2021·梁山模拟）已知a是 ，则a的倒数为（ ）
A．2 B． C． D．-2
2．（2021·天河模拟）人民网北京2021年1月7日电，截至1月3日6时，我国首次火星探测任务天问一号火星探测器已经在轨飞行约163天，飞行里程突破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里．数据830万公里用科学记数法表示为（ ）
A．8.3×106公里 B．8.3×105公里
C．8.3×104公里 D．0.83×106公里
3．（2022九下·吉林开学考）如图是由5个相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021九上·云阳月考）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022九下·吉林开学考）不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·南关模拟）如图，在 中， 平分 交边 于点 ，若 ， ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八上·台州期末）如图，在 中， 用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022九下·吉林开学考）已知点A是双曲线在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
二、填空题
9．（2022九下·吉林开学考）因式分解： ．
10．（2022九下·吉林开学考）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值 ．（写出一个即可）
11．（2022九下·吉林开学考）如图，正六边形ABCDEF是由正六边形A′B′C′D′E′F′经过位似变换得到的，已知AB=3，B′C′=1，则正六边形A′B′C′D′E′F′和正六边形ABCDEF的面积比是 ．
12．（2022九下·吉林开学考）如图，在中，∠ABC=90°，∠A=58°，AC=18，点D为边AC的中点．以点B为圆心，BD为半径画圆弧，交边BC于点E，则图中阴影部分图形的面积为 ．
a
13．（2022九下·吉林开学考）将一架长为3米的梯子斜靠在竖直的墙AB上，梯子与地面的夹角，则梯子底端C与墙根A点的距离为 米．（结果精确到米）[参考数据：，，]
14．（2022九下·吉林开学考）二次函数的对称轴为，若关于x的一元二次方程(t为实数)在-4三、解答题
15．（2021·朝阳模拟）先化简，再求值： ，其中 ．
16．（2022九下·吉林开学考）2022年冬奥会将在我国北京和张家口举行，如图所示为冬奥会和冬残奥会的会徽“冬梦”“飞跃”，吉样物“冰墩墩”“雪容融”，将四张正面分别印有以上个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”的概率是 ．
（2）若从中任意抽取两张，请用列表或画树状图法求两张卡片上的图案都是会徽的概率．
17．（2022九下·吉林开学考）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斜”大致意思是，有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，问：1大桶加1小桶共盛多少斛米？(注：斛是古代一种容量单位)
18．（2022九下·吉林开学考）如图，在中，∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线，过点C、D分别作，交于点E，连结BE．
（1）求证：四边形CDBE是菱形．
（2）若AB=10，，则菱形CDBE的面积为 ．
19．（2022九下·吉林开学考）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张家口市联合举行．为了解学生对冬奥会冰雪项目的认识程度，某校体育组老师从该校八年级学生中随机抽取了20名学生进行冰上项目和雪上项目的知识测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对数据（测试成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．测试成绩的频数分布表如下：
冰上项目 0 0 12 6 2
雪上项目 1 4 7 3 5
b．雪上项目测试成绩在这一组的是：
70，70，70，71，71，73，75
c．冰上项目和雪上项目测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
项目 平均数 中位数 众数
冰上项目 77.95 76 75
雪上项目 76.85 70
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值为 ；
（2）在此次测试中，某学生的冰上项目测试成绩为75分，雪上项目测试成绩为73分，这名学生测试成绩排名更靠前的是 ▲ （填“冰上”或“雪上”）项目，并说明理由；
（3）已知该校八年级共有200名学生，假设该年级学生都参加此次测试，估计冰上项目测试成绩不低于80分的人数．
20．（2021九上·瑞安月考）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上.请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上.
（1）在图1中以线段AB为边画一个△ABD，使其与△ABC相似，但不全等.
（2）在图2中画一个△EFG，使其与△ABC相似，且面积为8.
21．（2022九下·吉林开学考）近年，净月潭公园将环潭公路改造为东北三省最长的人车分离彩色环保公路，平坦宽敞的路面分橙、黑两色，拓宽了原有的人行步道，成为市民健身的好去处，小明和爸爸参加了此公园举办的“亲子健身赛”，两人的行程y(千米)随时间x(时)变化的图象(全程)如图所示．
（1）两人出发后 小时相遇，此次“亲子健身赛”的全程是 千米．
（2）求出AB所在直线的函数关系式．
（3）若小明想和爸爸一起到达终点，则需在两人出发1.5小时后，将速度调整为 千米/时．
22．（2022九下·吉林开学考）【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN=MN．
（1）【实践探究】在图①条件下，若CN=6，CM=8，则正方形ABCD的边长是 ．
（2）如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN=45°，若tan∠BAN=，求证：M是CD的中点．
（3）【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN=45°，BN=2，则DM的长是 ．
23．（2022九下·吉林开学考）如图，在中，∠C=90°，AC=8，BC=6，动点P从点A出发沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿折线BC-CA向终点A运动，点Q在BC上的速度是每秒3个单位长度，在CA上的速度是每秒4个单位长度，当Q不与A、B重合时，过点P作AB的垂线交AB于点D，连接PQ、DQ．设点P运动的时间为t(秒)(t>0)．
（1）用含t的代数式表示线段PD的长；
（2）当时，求t的值；
（3）当Q在BC边上运动时，面积S最大时，求AP的长；
（4）当∠PDQ=∠A时，直接写出t的值．
24．（2022九下·吉林开学考）在平面直角坐标系中，已知抛物线(m是常数)．
（1）当点A(1，0)在这个函数图象上时，
①求抛物线的函数表达式；
②抛物线上有一点B到x轴的距离为1，求点B的坐标．
（2）当抛物线在直线x=m-1与直线x=2m-1之间的部分(包括端点)的最小值是1时，求m的值．
（3）在平面直角坐标系中，已知点P(-4，1)，点M(3，-3)，以PM为对角线构造矩形PQMN，矩形各边与坐标轴垂直．当抛物线在矩形PQMN内部的部分的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵ ×(-2)=1，
∴a的倒数为-2，
故答案为：D．
【分析】根据倒数定义即可求解。
2．【答案】A
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：830万＝8300000＝8.3×106，
故答案为：A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面可看到第一行有三个正方形，
第二行最左边有1个正方形．
故答案为：A．
【分析】利用三视图的定义求解即可。
4．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；单项式乘单项式；二次根式的乘除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、 和 不是同类项，不能合并，故错误；
B、 ，故错误；
C、 ，故错误；
D、 ，故正确.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序及系数没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的不能合并，据此可判断A；根据单项式与单项式的乘法法则“单项式乘以单项式，把系数及相同的字母分别相乘，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”可判断B；根据积的乘方法则“积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”、幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可判断C；根据二次根式的乘法法则“二次根式的乘法，根指数不变，把被开方数相乘”可判断D.
5．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①得
，
解②得
，
所以不等式组的解集为：
．
故答案为：C．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-55°=80°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD= ∠BAC=40°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+45°=85°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和算出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义，由∠BAD= ∠BAC得出∠BAD的度数，最后根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，由∠ADC=∠B+∠BAD算出答案。
7．【答案】C
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解： 点P到点A、点B的距离相等，
点P在线段AB的垂直平分线上，
故答案为：C.
【分析】点P到点A、点B的距离相等知点P在线段AB的垂直平分线上，故分别以点A,B为圆心，大于AB一半的长度为半径画弧，两弧分别在AB的两侧相交，过两交点作直线，该线与BC的交点就是所求的点，据此可得答案.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数图象的对称性；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵双曲线 关于原点对称
∴A、B关于原点对称
∴OA=OB
连接OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CD⊥x轴于D，如图所示
∵△ABC是等边三角形
∴OC⊥AB，∠BAC=60゜，AB=AC，AC=2OA
∴由勾股定理得：
∵AE⊥OE，CD⊥OD
∴∠AEO=∠CDO=90゜
∵∠AOE+∠COD=∠COD+∠OCD=90゜
∴∠AOE=∠OCD
∴Rt△AOE∽Rt△OCD
∴
由反比例函数比例系数k的几何意义知：
∴
∵k>0
∴k=1
故答案为：A
【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CD⊥x轴于D，先证明Rt△AOE∽Rt△OCD，可得 ，再利用反比例函数比例系数k的几何意义知： ，求出k的值即可。
9．【答案】x（5x-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】
故答案为：x（5x-2）.
【分析】提取公因式x即可。
10．【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得Δ=（-1）2-4m＞0，
解得m＜
，
所以当m取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：0．
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得Δ=（-1）2-4m＞0，再求出m的取值范围即可得到答案。
11．【答案】1：9
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵正六边形ABCDEF是由正六边形A'B'C'D'E'F'经过位似变换得到的，∴正六边形ABCDEF∽正六边形A'B'C'D'E'F'，∴正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比=（1：3）2=1：9．
故答案为1：9．
【分析】根据位似图形的性质可得：正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比=（1：3）2=1：9。
12．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，点D为边AC的中点，
∴BD=CD=
AC=9，
∴∠DBC=∠C，
∵∠C=90°-∠A=90°-58°=32°，
∴∠DBE=32°，
∴图中阴影部分图形的面积=
．
故答案为：
π．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得BD=CD=
AC=9，再求出∠DBE=32°，最后利用扇形面积公式求解即可。
13．【答案】1.3
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】依题意在Rt△ABC中，
∴AC
1.3
故答案为：1.3．
【分析】根据解直角三角形的方法可得
，再求出AC的值即可。
14．【答案】-1≤t＜8
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：对称轴为直线x=-
=-1，
解得b=2，
所以二次函数解析式为y=x2+2x，
y=（x+1）2-1，
x=-1时，y=-1，
x=-4时，y=16-2×4=8，
∵x2+bx-t=0的解相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，
∴当-1≤t＜8时，在-1＜x＜4的范围内有解．
故答案为：-1≤t＜8．
【分析】先由对称轴为x=-1求出b的值，再结合函数与方程间的关系求得t的取值范围即可。
15．【答案】解：
．
当 时，原式 ．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
16．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
冬梦 飞跃 冰墩墩 雪容融
冬梦 冬梦，飞跃 冬梦，冰墩墩 冬梦，雪容融
飞跃 飞跃，冬梦 飞跃，冰墩墩 飞跃，雪容融
冰墩墩 冰墩墩，冬梦 冰墩墩，飞跃 冰墩墩，雪容融
雪容融 雪容融，冬梦 雪容融，飞跃 雪容融，冰墩墩
由表可知，从中任意抽取两张，一共有12种可能，抽得两张卡片上的图案都是会徽的有2种可能，所以抽得两张卡片上的图案都是会徽的概率=．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】(1)解：∵从中任意抽取1张有4种可能，抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”有1种可能
∴抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”的概率=
故答案为：
．
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
17．【答案】解：设1个大桶可以盛x斛米，一个小桶可以盛y斛米，
由题意可得，
解得：x+y=，
答：1大桶加1小桶共盛斛米．
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设1个大桶可以盛x斛米，一个小桶可以盛y斛米，根据题意列出方程组求解即可。
18．【答案】（1）证明：由∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线可知
∵
∴四边形是平行四边形
∴
∵
∴四边形是平行四边形
又∵
∴四边形是菱形．
（2）24
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：(2)∵ ，
设
，则
由勾股定理得
解得
或
（不符合题意，舍去）
∴，
∵，
∴
故答案为：24．
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用，即可证明四边形是菱形；
（2）设
，则
，再利用勾股定理求出x的值，再结合
，
可得
。
19．【答案】（1）72
（2）解：雪上；这名学生的冰上项目测试成绩是75分，小于中位数76分，所以该生冰上项目的成绩在10名以后；这名学生的雪上项目测试成绩是73分，大于中位数72分，所以该生冰上项目的成绩在10名以前，所以这名学生的雪上项目成绩排名更靠前；
（3）解：在样本中，冰上项目测试成绩在组，的人数分别为6，2，所以样本中冰上项目测试成绩不低于80分的人数为8人；假设该年级学生都参加此次测试，估计冰上项目测试成绩不低于80分的人数为：（人）．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】（1）由题可知，雪上项目的中位数为：
，
故m的值为72；
（2）这名学生的冰上项目测试成绩是75分，小于中位数76分，所以该生冰上项目的成绩在10名以后；这名学生的雪上项目测试成绩是73分，大于中位数72分，所以该生冰上项目的成绩在10名以前，所以这名学生的雪上项目成绩排名更靠前；
【分析】（1）根据频数分布表和70≤x＜80的这一组的具体成绩得出第10、11个数据分别为71、73。继而依据中位数的定义求解即可；
（2）根据中位数的意义求解即可；
（3）用总人数乘以样本中冰上项目测试成绩不低于80分的人数所占比例即可。
20．【答案】（1）解：如图
（2）解：
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用；作图-三角形
【解析】【分析】(1)根据相似三角形的判定定理，构造格点△ABD和△ABC相似即可；
(2)根据相似三角形的判定定理，构造格点△EFG和△ABC相似，并使其面积为8即可 .
21．【答案】（1）1；20
（2）解：设直线AB的解析式为
由图象知，直线AB过(0.5，8)及(1，10)两点，把这两点的坐标分别代入得：
解方程组得：
∴直线AB的解析式为
（3）16
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】(1)观察图象知，两人1小时后相遇，此时两人都行驶了10千米，则爸爸的速度为10÷1=10（千米/时），由图象知，爸爸全程行驶了2小时，则全程长为：10×2=20（千米）
故答案为：1，20
(3)当x=1.5时，
∴当小明1.5小时后行驶了12千米，此时离终点还有：20 12=8（千米）
由题意知，小明还要行驶2 1.5=0.5小时，才能和爸爸同时到达终点
∴小明的速度应为：8÷0.5=16（千米/时）
故答案为：16
【分析】（1）由图象可得，两人出发后1小时相遇，全程是（10÷1）×2=10×2=20千米；
（2）设AB所在直线的函数关系式是y=kx+b，由图象过点（1，10）和（0.5，8），即是AB所在直线的函数关系式是
；
（3）在
中，令x=1.5得到y=12，可得出发1.5小时，小明距终点还有20-12=8千米，即可得到答案。
22．【答案】（1）12
（2）证明：设BN=x，DM=y，
由（1）得：MN=BN+DM=x+y，
∵∠B=90°，tan∠BAN=，
∴tan∠BAN==，
∴AB=3BN=3x，
∴CN=BC-BN=2x，CM=CD-DM=3x-y，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：（2x）2+（3x-y）2=（x+y）2，
整理得：3x=2y，
∴CM=2y-y=y，
∴DM=CM，
即M是CD的中点；
（3）4
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】(1)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=AD，∠BAD=∠C=∠D=90°，
由旋转得：△ABE≌△ADM，
∴BE=DM，∠ABE=∠D=90°，AE=AM，∠BAE=∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM=∠BAD=90°，
即∠EAM=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=90°-45°=45°，
∴∠MAN=∠EAN，
在△AMN和△AEN中，
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN=EN．
∵EN=BE+BN=DM+BN，
∴MN=BN+DM．
在Rt△CMN中，MN= =10，
则BN+DM=10，
设正方形ABCD的边长为x，则BN=BC-CN=x-6，DM=CD-CM=x-8，
∴x-6+x-8=10，
解得：x=12，
即正方形ABCD的边长是12；
故答案为：12；
(3)解：延长AB至P，使BP=BN=2，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，如图③所示：
则四边形APQD是正方形，
∴PQ=DQ=AP=AB+BP=8，
设DM=x，则MQ=8-x，
∵PQ∥BC，
∴△ABN∽△APE，
∴，
∴PE=
BN=
，
∴EQ=PQ-PE=8-
=
，
由（1）得：EM=PE+DM=
+x，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：（ ）2+（8-x）2=（ +x）2，
解得：x=4，
即DM的长是4；
故答案为：4．
【分析】（1）由旋转得：△ABE≌△ADM，可得BE=DM，∠ABE=∠D=90°，AE=AM，∠BAE=∠DAM，再利用“SAS”证明△AMN≌△AEN，所以MN=EN，再利用勾股定理求出BN+DM=10，设正方形ABCD的边长为x，则BN=BC-CN=x-6，DM=CD-CM=x-8，根据题意列出方程x-6+x-8=10，求出x的值即可；
（2）设BN=x，DM=y，根据tan∠BAN==，可得AB=3BN=3x，CN=BC-BN=2x，CM=CD-DM=3x-y，再利用勾股定理可得（2x）2+（3x-y）2=（x+y）2，求出x的值即可；
（3）延长AB至P，使BP=BN=2，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，先证明△ABN∽△APE，可得
，再利用线段的和差求出EQ=PQ-PE=8-
=
，然后根据勾股定理可得（
）2+（8-x）2=（
+x）2，求出x的值即可。
23．【答案】（1）解：由题意得：AP=2t
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∵PD⊥AB
∴∠PDA=∠C=90°
∵∠PAD=∠BAC
∴△APD∽△ABC
∴
∴
（2）解：由（1）得：
∴
∵当DQ∥AC时，点Q在BC边上
∴BQ=3t
∴CQ=BC BQ=6 3t
∵DQ∥AC
∴
即
∴
解得：
（3）解：过点Q作QE⊥AB于E，如图
则∠QEB=∠C=90°
∵∠B=∠B
∴△BQE∽△BAC
∴
∴
∴
∴
∵
∴当，即时，S有最大值，此时
（4）解：满足条件的t值为或
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：(4)当点Q在BC边上时，如图
∵∠PDQ=∠A，∠A+∠B=∠PDQ+∠QDB=90°
∴∠QDB=∠B
∴BQ=DQ
∵QE⊥AB
∴点E为BD中点，且BD=2BE
∵
∴
解得：
当点Q在边AC上时，如图
∵∠PDQ=∠A，∠PDQ+∠QDA =90°
∴∠A+∠QDA =90°
∴DQ⊥AC
∴DQ∥BC
∴
即
点Q在BC上运动的时间为6÷3=2（秒）
∴
∴
∴
解得：
综上所述，满足条件的t值为
或
【分析】（1）先证明△APD∽△ABC 可得
，再求出
即可；
（2）先求出
，再利用
可得
，然后将数据代入可得
，求出t的值即可；
（3）过点Q作QE⊥AB于E，先证明△BQE∽△BAC可得，所以
，再利用线段的和差可得
，最后根据三角形的面积公式可得
，再利用二次函数的性质求解即可；
（4）分两种情况，分别画出图形，再列出方程求解即可。
24．【答案】（1）解：①∵点A(1，0)在的图象上
∴
∴m=2
∴
②∵抛物线上点B到x轴的距离为1
∴或
解前一方程得：，，解后一方程得
则点B的坐标为或或(2， 1)
（2）解：∵
∴抛物线的顶点坐标为
∴抛物线的对称轴为直线x=m
∵m 1①当，即m≥1时，函数在x=m时取得最小值
即
解得
但m≥1，则不合题意
∴
②当，即0即
解得(舍去)
③当，即m≤0时，函数在时取得最小值
即
解得：，（舍去）
综上所述，m的值为或
（3）解：或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(3)由题意知设点Q的坐标为(3，1)，点N的坐标为(-4，-3)，即矩形PQMN的范围为
∵抛物线的对称轴为直线x=m，且当x=0时，y=3
∴抛物线恒过点(0，3)
①当m≤ 4时，则矩形位于抛物线对称轴的右侧
∴抛物线在矩形PQMN内部的部分的函数值y随x的增大而增大
②当 4解不等式组得
∴
综合两种情况得：
③当0解得：
即
④当m≥3时，矩形PQMN在抛物线对称轴的左侧
∴抛物线在矩形PQMN内部的部分的函数值y随x的增大而减小
综合两种情况得：
综上得：
或
【分析】（1）①将点A的坐标代入求出m的值即可；
②根据题意可得或 ，求出x的值即可；
（2）分类讨论， ①当，即m≥1时，函数在x=m时取得最小值；②当，即0（3）分类讨论，再利用函数的性质列出不等式或不等式组求解即可。
1 / 1吉林省第二实验学校2021-2022学年九年级下学期开学质量监测数学试题
一、单选题
1．（2021·梁山模拟）已知a是 ，则a的倒数为（ ）
A．2 B． C． D．-2
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵ ×(-2)=1，
∴a的倒数为-2，
故答案为：D．
【分析】根据倒数定义即可求解。
2．（2021·天河模拟）人民网北京2021年1月7日电，截至1月3日6时，我国首次火星探测任务天问一号火星探测器已经在轨飞行约163天，飞行里程突破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里．数据830万公里用科学记数法表示为（ ）
A．8.3×106公里 B．8.3×105公里
C．8.3×104公里 D．0.83×106公里
【答案】A
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：830万＝8300000＝8.3×106，
故答案为：A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．（2022九下·吉林开学考）如图是由5个相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面可看到第一行有三个正方形，
第二行最左边有1个正方形．
故答案为：A．
【分析】利用三视图的定义求解即可。
4．（2021九上·云阳月考）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；单项式乘单项式；二次根式的乘除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、 和 不是同类项，不能合并，故错误；
B、 ，故错误；
C、 ，故错误；
D、 ，故正确.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序及系数没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的不能合并，据此可判断A；根据单项式与单项式的乘法法则“单项式乘以单项式，把系数及相同的字母分别相乘，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”可判断B；根据积的乘方法则“积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”、幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可判断C；根据二次根式的乘法法则“二次根式的乘法，根指数不变，把被开方数相乘”可判断D.
5．（2022九下·吉林开学考）不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①得
，
解②得
，
所以不等式组的解集为：
．
故答案为：C．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
6．（2019·南关模拟）如图，在 中， 平分 交边 于点 ，若 ， ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-55°=80°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD= ∠BAC=40°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+45°=85°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和算出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义，由∠BAD= ∠BAC得出∠BAD的度数，最后根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，由∠ADC=∠B+∠BAD算出答案。
7．（2021八上·台州期末）如图，在 中， 用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解： 点P到点A、点B的距离相等，
点P在线段AB的垂直平分线上，
故答案为：C.
【分析】点P到点A、点B的距离相等知点P在线段AB的垂直平分线上，故分别以点A,B为圆心，大于AB一半的长度为半径画弧，两弧分别在AB的两侧相交，过两交点作直线，该线与BC的交点就是所求的点，据此可得答案.
8．（2022九下·吉林开学考）已知点A是双曲线在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】反比例函数图象的对称性；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵双曲线 关于原点对称
∴A、B关于原点对称
∴OA=OB
连接OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CD⊥x轴于D，如图所示
∵△ABC是等边三角形
∴OC⊥AB，∠BAC=60゜，AB=AC，AC=2OA
∴由勾股定理得：
∵AE⊥OE，CD⊥OD
∴∠AEO=∠CDO=90゜
∵∠AOE+∠COD=∠COD+∠OCD=90゜
∴∠AOE=∠OCD
∴Rt△AOE∽Rt△OCD
∴
由反比例函数比例系数k的几何意义知：
∴
∵k>0
∴k=1
故答案为：A
【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CD⊥x轴于D，先证明Rt△AOE∽Rt△OCD，可得 ，再利用反比例函数比例系数k的几何意义知： ，求出k的值即可。
二、填空题
9．（2022九下·吉林开学考）因式分解： ．
【答案】x（5x-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】
故答案为：x（5x-2）.
【分析】提取公因式x即可。
10．（2022九下·吉林开学考）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值 ．（写出一个即可）
【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得Δ=（-1）2-4m＞0，
解得m＜
，
所以当m取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：0．
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得Δ=（-1）2-4m＞0，再求出m的取值范围即可得到答案。
11．（2022九下·吉林开学考）如图，正六边形ABCDEF是由正六边形A′B′C′D′E′F′经过位似变换得到的，已知AB=3，B′C′=1，则正六边形A′B′C′D′E′F′和正六边形ABCDEF的面积比是 ．
【答案】1：9
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵正六边形ABCDEF是由正六边形A'B'C'D'E'F'经过位似变换得到的，∴正六边形ABCDEF∽正六边形A'B'C'D'E'F'，∴正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比=（1：3）2=1：9．
故答案为1：9．
【分析】根据位似图形的性质可得：正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比=（1：3）2=1：9。
12．（2022九下·吉林开学考）如图，在中，∠ABC=90°，∠A=58°，AC=18，点D为边AC的中点．以点B为圆心，BD为半径画圆弧，交边BC于点E，则图中阴影部分图形的面积为 ．
a
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，点D为边AC的中点，
∴BD=CD=
AC=9，
∴∠DBC=∠C，
∵∠C=90°-∠A=90°-58°=32°，
∴∠DBE=32°，
∴图中阴影部分图形的面积=
．
故答案为：
π．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得BD=CD=
AC=9，再求出∠DBE=32°，最后利用扇形面积公式求解即可。
13．（2022九下·吉林开学考）将一架长为3米的梯子斜靠在竖直的墙AB上，梯子与地面的夹角，则梯子底端C与墙根A点的距离为 米．（结果精确到米）[参考数据：，，]
【答案】1.3
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】依题意在Rt△ABC中，
∴AC
1.3
故答案为：1.3．
【分析】根据解直角三角形的方法可得
，再求出AC的值即可。
14．（2022九下·吉林开学考）二次函数的对称轴为，若关于x的一元二次方程(t为实数)在-4【答案】-1≤t＜8
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：对称轴为直线x=-
=-1，
解得b=2，
所以二次函数解析式为y=x2+2x，
y=（x+1）2-1，
x=-1时，y=-1，
x=-4时，y=16-2×4=8，
∵x2+bx-t=0的解相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，
∴当-1≤t＜8时，在-1＜x＜4的范围内有解．
故答案为：-1≤t＜8．
【分析】先由对称轴为x=-1求出b的值，再结合函数与方程间的关系求得t的取值范围即可。
三、解答题
15．（2021·朝阳模拟）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】解：
．
当 时，原式 ．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
16．（2022九下·吉林开学考）2022年冬奥会将在我国北京和张家口举行，如图所示为冬奥会和冬残奥会的会徽“冬梦”“飞跃”，吉样物“冰墩墩”“雪容融”，将四张正面分别印有以上个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”的概率是 ．
（2）若从中任意抽取两张，请用列表或画树状图法求两张卡片上的图案都是会徽的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
冬梦 飞跃 冰墩墩 雪容融
冬梦 冬梦，飞跃 冬梦，冰墩墩 冬梦，雪容融
飞跃 飞跃，冬梦 飞跃，冰墩墩 飞跃，雪容融
冰墩墩 冰墩墩，冬梦 冰墩墩，飞跃 冰墩墩，雪容融
雪容融 雪容融，冬梦 雪容融，飞跃 雪容融，冰墩墩
由表可知，从中任意抽取两张，一共有12种可能，抽得两张卡片上的图案都是会徽的有2种可能，所以抽得两张卡片上的图案都是会徽的概率=．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】(1)解：∵从中任意抽取1张有4种可能，抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”有1种可能
∴抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”的概率=
故答案为：
．
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
17．（2022九下·吉林开学考）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斜”大致意思是，有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，问：1大桶加1小桶共盛多少斛米？(注：斛是古代一种容量单位)
【答案】解：设1个大桶可以盛x斛米，一个小桶可以盛y斛米，
由题意可得，
解得：x+y=，
答：1大桶加1小桶共盛斛米．
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设1个大桶可以盛x斛米，一个小桶可以盛y斛米，根据题意列出方程组求解即可。
18．（2022九下·吉林开学考）如图，在中，∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线，过点C、D分别作，交于点E，连结BE．
（1）求证：四边形CDBE是菱形．
（2）若AB=10，，则菱形CDBE的面积为 ．
【答案】（1）证明：由∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线可知
∵
∴四边形是平行四边形
∴
∵
∴四边形是平行四边形
又∵
∴四边形是菱形．
（2）24
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：(2)∵ ，
设
，则
由勾股定理得
解得
或
（不符合题意，舍去）
∴，
∵，
∴
故答案为：24．
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用，即可证明四边形是菱形；
（2）设
，则
，再利用勾股定理求出x的值，再结合
，
可得
。
19．（2022九下·吉林开学考）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张家口市联合举行．为了解学生对冬奥会冰雪项目的认识程度，某校体育组老师从该校八年级学生中随机抽取了20名学生进行冰上项目和雪上项目的知识测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对数据（测试成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．测试成绩的频数分布表如下：
冰上项目 0 0 12 6 2
雪上项目 1 4 7 3 5
b．雪上项目测试成绩在这一组的是：
70，70，70，71，71，73，75
c．冰上项目和雪上项目测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
项目 平均数 中位数 众数
冰上项目 77.95 76 75
雪上项目 76.85 70
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值为 ；
（2）在此次测试中，某学生的冰上项目测试成绩为75分，雪上项目测试成绩为73分，这名学生测试成绩排名更靠前的是 ▲ （填“冰上”或“雪上”）项目，并说明理由；
（3）已知该校八年级共有200名学生，假设该年级学生都参加此次测试，估计冰上项目测试成绩不低于80分的人数．
【答案】（1）72
（2）解：雪上；这名学生的冰上项目测试成绩是75分，小于中位数76分，所以该生冰上项目的成绩在10名以后；这名学生的雪上项目测试成绩是73分，大于中位数72分，所以该生冰上项目的成绩在10名以前，所以这名学生的雪上项目成绩排名更靠前；
（3）解：在样本中，冰上项目测试成绩在组，的人数分别为6，2，所以样本中冰上项目测试成绩不低于80分的人数为8人；假设该年级学生都参加此次测试，估计冰上项目测试成绩不低于80分的人数为：（人）．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】（1）由题可知，雪上项目的中位数为：
，
故m的值为72；
（2）这名学生的冰上项目测试成绩是75分，小于中位数76分，所以该生冰上项目的成绩在10名以后；这名学生的雪上项目测试成绩是73分，大于中位数72分，所以该生冰上项目的成绩在10名以前，所以这名学生的雪上项目成绩排名更靠前；
【分析】（1）根据频数分布表和70≤x＜80的这一组的具体成绩得出第10、11个数据分别为71、73。继而依据中位数的定义求解即可；
（2）根据中位数的意义求解即可；
（3）用总人数乘以样本中冰上项目测试成绩不低于80分的人数所占比例即可。
20．（2021九上·瑞安月考）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上.请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上.
（1）在图1中以线段AB为边画一个△ABD，使其与△ABC相似，但不全等.
（2）在图2中画一个△EFG，使其与△ABC相似，且面积为8.
【答案】（1）解：如图
（2）解：
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用；作图-三角形
【解析】【分析】(1)根据相似三角形的判定定理，构造格点△ABD和△ABC相似即可；
(2)根据相似三角形的判定定理，构造格点△EFG和△ABC相似，并使其面积为8即可 .
21．（2022九下·吉林开学考）近年，净月潭公园将环潭公路改造为东北三省最长的人车分离彩色环保公路，平坦宽敞的路面分橙、黑两色，拓宽了原有的人行步道，成为市民健身的好去处，小明和爸爸参加了此公园举办的“亲子健身赛”，两人的行程y(千米)随时间x(时)变化的图象(全程)如图所示．
（1）两人出发后 小时相遇，此次“亲子健身赛”的全程是 千米．
（2）求出AB所在直线的函数关系式．
（3）若小明想和爸爸一起到达终点，则需在两人出发1.5小时后，将速度调整为 千米/时．
【答案】（1）1；20
（2）解：设直线AB的解析式为
由图象知，直线AB过(0.5，8)及(1，10)两点，把这两点的坐标分别代入得：
解方程组得：
∴直线AB的解析式为
（3）16
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】(1)观察图象知，两人1小时后相遇，此时两人都行驶了10千米，则爸爸的速度为10÷1=10（千米/时），由图象知，爸爸全程行驶了2小时，则全程长为：10×2=20（千米）
故答案为：1，20
(3)当x=1.5时，
∴当小明1.5小时后行驶了12千米，此时离终点还有：20 12=8（千米）
由题意知，小明还要行驶2 1.5=0.5小时，才能和爸爸同时到达终点
∴小明的速度应为：8÷0.5=16（千米/时）
故答案为：16
【分析】（1）由图象可得，两人出发后1小时相遇，全程是（10÷1）×2=10×2=20千米；
（2）设AB所在直线的函数关系式是y=kx+b，由图象过点（1，10）和（0.5，8），即是AB所在直线的函数关系式是
；
（3）在
中，令x=1.5得到y=12，可得出发1.5小时，小明距终点还有20-12=8千米，即可得到答案。
22．（2022九下·吉林开学考）【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN=MN．
（1）【实践探究】在图①条件下，若CN=6，CM=8，则正方形ABCD的边长是 ．
（2）如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN=45°，若tan∠BAN=，求证：M是CD的中点．
（3）【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN=45°，BN=2，则DM的长是 ．
【答案】（1）12
（2）证明：设BN=x，DM=y，
由（1）得：MN=BN+DM=x+y，
∵∠B=90°，tan∠BAN=，
∴tan∠BAN==，
∴AB=3BN=3x，
∴CN=BC-BN=2x，CM=CD-DM=3x-y，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：（2x）2+（3x-y）2=（x+y）2，
整理得：3x=2y，
∴CM=2y-y=y，
∴DM=CM，
即M是CD的中点；
（3）4
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】(1)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=AD，∠BAD=∠C=∠D=90°，
由旋转得：△ABE≌△ADM，
∴BE=DM，∠ABE=∠D=90°，AE=AM，∠BAE=∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM=∠BAD=90°，
即∠EAM=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=90°-45°=45°，
∴∠MAN=∠EAN，
在△AMN和△AEN中，
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN=EN．
∵EN=BE+BN=DM+BN，
∴MN=BN+DM．
在Rt△CMN中，MN= =10，
则BN+DM=10，
设正方形ABCD的边长为x，则BN=BC-CN=x-6，DM=CD-CM=x-8，
∴x-6+x-8=10，
解得：x=12，
即正方形ABCD的边长是12；
故答案为：12；
(3)解：延长AB至P，使BP=BN=2，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，如图③所示：
则四边形APQD是正方形，
∴PQ=DQ=AP=AB+BP=8，
设DM=x，则MQ=8-x，
∵PQ∥BC，
∴△ABN∽△APE，
∴，
∴PE=
BN=
，
∴EQ=PQ-PE=8-
=
，
由（1）得：EM=PE+DM=
+x，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：（ ）2+（8-x）2=（ +x）2，
解得：x=4，
即DM的长是4；
故答案为：4．
【分析】（1）由旋转得：△ABE≌△ADM，可得BE=DM，∠ABE=∠D=90°，AE=AM，∠BAE=∠DAM，再利用“SAS”证明△AMN≌△AEN，所以MN=EN，再利用勾股定理求出BN+DM=10，设正方形ABCD的边长为x，则BN=BC-CN=x-6，DM=CD-CM=x-8，根据题意列出方程x-6+x-8=10，求出x的值即可；
（2）设BN=x，DM=y，根据tan∠BAN==，可得AB=3BN=3x，CN=BC-BN=2x，CM=CD-DM=3x-y，再利用勾股定理可得（2x）2+（3x-y）2=（x+y）2，求出x的值即可；
（3）延长AB至P，使BP=BN=2，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，先证明△ABN∽△APE，可得
，再利用线段的和差求出EQ=PQ-PE=8-
=
，然后根据勾股定理可得（
）2+（8-x）2=（
+x）2，求出x的值即可。
23．（2022九下·吉林开学考）如图，在中，∠C=90°，AC=8，BC=6，动点P从点A出发沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿折线BC-CA向终点A运动，点Q在BC上的速度是每秒3个单位长度，在CA上的速度是每秒4个单位长度，当Q不与A、B重合时，过点P作AB的垂线交AB于点D，连接PQ、DQ．设点P运动的时间为t(秒)(t>0)．
（1）用含t的代数式表示线段PD的长；
（2）当时，求t的值；
（3）当Q在BC边上运动时，面积S最大时，求AP的长；
（4）当∠PDQ=∠A时，直接写出t的值．
【答案】（1）解：由题意得：AP=2t
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∵PD⊥AB
∴∠PDA=∠C=90°
∵∠PAD=∠BAC
∴△APD∽△ABC
∴
∴
（2）解：由（1）得：
∴
∵当DQ∥AC时，点Q在BC边上
∴BQ=3t
∴CQ=BC BQ=6 3t
∵DQ∥AC
∴
即
∴
解得：
（3）解：过点Q作QE⊥AB于E，如图
则∠QEB=∠C=90°
∵∠B=∠B
∴△BQE∽△BAC
∴
∴
∴
∴
∵
∴当，即时，S有最大值，此时
（4）解：满足条件的t值为或
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：(4)当点Q在BC边上时，如图
∵∠PDQ=∠A，∠A+∠B=∠PDQ+∠QDB=90°
∴∠QDB=∠B
∴BQ=DQ
∵QE⊥AB
∴点E为BD中点，且BD=2BE
∵
∴
解得：
当点Q在边AC上时，如图
∵∠PDQ=∠A，∠PDQ+∠QDA =90°
∴∠A+∠QDA =90°
∴DQ⊥AC
∴DQ∥BC
∴
即
点Q在BC上运动的时间为6÷3=2（秒）
∴
∴
∴
解得：
综上所述，满足条件的t值为
或
【分析】（1）先证明△APD∽△ABC 可得
，再求出
即可；
（2）先求出
，再利用
可得
，然后将数据代入可得
，求出t的值即可；
（3）过点Q作QE⊥AB于E，先证明△BQE∽△BAC可得，所以
，再利用线段的和差可得
，最后根据三角形的面积公式可得
，再利用二次函数的性质求解即可；
（4）分两种情况，分别画出图形，再列出方程求解即可。
24．（2022九下·吉林开学考）在平面直角坐标系中，已知抛物线(m是常数)．
（1）当点A(1，0)在这个函数图象上时，
①求抛物线的函数表达式；
②抛物线上有一点B到x轴的距离为1，求点B的坐标．
（2）当抛物线在直线x=m-1与直线x=2m-1之间的部分(包括端点)的最小值是1时，求m的值．
（3）在平面直角坐标系中，已知点P(-4，1)，点M(3，-3)，以PM为对角线构造矩形PQMN，矩形各边与坐标轴垂直．当抛物线在矩形PQMN内部的部分的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：①∵点A(1，0)在的图象上
∴
∴m=2
∴
②∵抛物线上点B到x轴的距离为1
∴或
解前一方程得：，，解后一方程得
则点B的坐标为或或(2， 1)
（2）解：∵
∴抛物线的顶点坐标为
∴抛物线的对称轴为直线x=m
∵m 1①当，即m≥1时，函数在x=m时取得最小值
即
解得
但m≥1，则不合题意
∴
②当，即0即
解得(舍去)
③当，即m≤0时，函数在时取得最小值
即
解得：，（舍去）
综上所述，m的值为或
（3）解：或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(3)由题意知设点Q的坐标为(3，1)，点N的坐标为(-4，-3)，即矩形PQMN的范围为
∵抛物线的对称轴为直线x=m，且当x=0时，y=3
∴抛物线恒过点(0，3)
①当m≤ 4时，则矩形位于抛物线对称轴的右侧
∴抛物线在矩形PQMN内部的部分的函数值y随x的增大而增大
②当 4解不等式组得
∴
综合两种情况得：
③当0解得：
即
④当m≥3时，矩形PQMN在抛物线对称轴的左侧
∴抛物线在矩形PQMN内部的部分的函数值y随x的增大而减小
综合两种情况得：
综上得：
或
【分析】（1）①将点A的坐标代入求出m的值即可；
②根据题意可得或 ，求出x的值即可；
（2）分类讨论， ①当，即m≥1时，函数在x=m时取得最小值；②当，即0（3）分类讨论，再利用函数的性质列出不等式或不等式组求解即可。
1 / 1
