山东省济宁市嘉祥县第三中学20201-2022学年九年级下学期开学考试数学试题
一、单选题
1．（2022九下·嘉祥开学考）如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·淮北月考）反比例函数y=的图象的两个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＞0 C．k＞3 D．k＜0
3．（2022九下·嘉祥开学考）一元二次方程3x2﹣6x﹣1＝0的一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，1 B．3，﹣1 C．﹣6，1 D．﹣6，﹣1
4．（2021九上·无锡期中）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1：2，坡面AB= ，则堤高的高度是（ ）
A．3 B． C．6 D．
5．（2022九下·嘉祥开学考）如图，点A，B，C是上的三个点，若，则的度数为（ ）
A．38° B．48° C．52° D．76°
6．（2022九下·嘉祥开学考）如图，在的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使为直角三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020九上·历城期中）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（ ）
A．3m B．4m C．4.5m D．5m
8．（2022九下·嘉祥开学考）某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是（ ）
A．55 B．56 C．57 D．58
9．（2021九上·宣城期中）二次函数y＝ax2＋bx＋c（abc≠0）的图象如图所示，反比例函数y＝ 与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022九下·嘉祥开学考）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB·CF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2021·高要模拟）计算： ．
12．（2022九下·嘉祥开学考）抛物线的顶点坐标是 ．
13．（2022九下·嘉祥开学考）一个圆柱的三种视图如图所示．则这个圆柱的体积为 ．
14．（2020九上·东阿期中）如图，将三角形纸片的一角折叠，使点B落的AC边上的F处，折痕为DE，已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点E，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BE的长是 ．
15．（2022九下·嘉祥开学考）如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，1)，将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数），则点P2022的坐标为 ．
三、解答题
16．（2022九下·嘉祥开学考）如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体．
（1）图中有几个小正方体；
（2）画出该几何体的三视图；
17．（2022九下·嘉祥开学考）在一个不透明的袋子中，放有四张质地完全相同的卡片，分别标有数字“”．
（1）随机抽出一张卡片是负数的概率是 ；
（2）第一次从袋中随机地抽出一张卡片，把所抽到的数字记为横坐标，不放回袋中，再随机地从中抽出一张，把所抽到的数字记为纵坐标．请用数状图或列表法求所得的点在反比例函数上的概率．
18．（2022九下·嘉祥开学考）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，与x轴交于点E，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求的面积；
19．（2021·嵊州模拟）如图，小东在教学楼距地面9m高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°.
（1）求旗杆AB的高.（结果精确到0.01m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（2）升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25m处.若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？
20．（2022九下·嘉祥开学考）如图，AB为的直径，D为BA延长线上一点，过点D作的切线，切点为C，过点B作交DC的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：BC平分；
（2）当时，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接EO，交BC于点F，若，求的半径．
21．（2020九上·禹州期中）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程 ，通过因式分解可以把它转化为 ，解方程 和 ，可得方程 的解.
问题：
（1）方程 的解是 ， ， .
（2）求方程 的解.
（3）拓展：
用“转化”思想求方程 的解.
22．（2022九下·嘉祥开学考）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点Q是线段AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】
，
，
， A不符合题意；
，B符合题意；
， C不符合题意；
， D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用正弦、余弦和正切的定义逐项判断即可。
2．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：在图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，根据反比例函数的性质，
得k 3＞0，
∴ k＞3．
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的性质和系数的关系可得：k 3＞0，求出k的取值范围即可。
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由一元二次方程3x2﹣6x﹣1＝0的一次项系数、常数项分别是﹣6，﹣1；
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的一次项系数、常数项的定义求解即可。
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡度是1：2，
即 ，
∴
又∵在 中， ， ，
∴
解之得： （取正值）.
故答案为：C.
【分析】根据迎水坡AB的坡度可得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，运用勾股定理求解即可.
5．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】
，
故答案为：A．
【分析】根据圆周角的性质可得
。
6．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：如图，共有5个点均可与点A和B组成直角三角形
则使得
为直角三角形的概率是
故答案为：C．
【分析】先求出能使得
为直角三角形的点C的个数，再利用概率公式求解即可。
7．【答案】D
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变：
∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=4.5m
∴ ，代入得：
∴ m
故答案为：D
【分析】根据题意求出 ，再计算求解即可。
8．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元，根据题意得，
即当一个旅行团的人数是55人时，这个旅行团可以获得最大的营业额，
故答案为：A．
【分析】设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元，根据题意列出函数解析式
，再利用二次函数的性质求解即可。
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： 抛物线的开口向上，与 轴的交点位于 轴的正半轴，
，
抛物线的对称轴位于 轴的右侧，
，
，
由 可知，反比例函数 的图象位于第一、三象限，
由 可知，正比例函数 的图象经过原点，且经过第二、四象限，
观察四个选项可知，只有选项D符合，
故答案为：D．
【分析】由已知二次函数的图象开口方向和对称轴可以确定b的取值范围，由图像与y轴的交点可以确定C的取值范围，即可确定反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图像。
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；四边形的综合
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∠AEB＋∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴，
∴，即
，
∴，故②符合题意；
∵E是BC的中点，
∴，
∴，
∴，故①不符合题意；
∴，故③不符合题意；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴，
，AF＝5a，
∴
A
E
A
F
=
2
5
a
5
a
=
2
5
5
，
B
E
E
F
=
2
a
5
a
=
2
5
5
，
∴
A
E
A
F
=
B
E
E
F
，
∴
△
A
B
E
∽
△
A
E
F
，故④符合题意．
∴②与④符合题意．
∴符合题意结论的个数有2个．
故答案为：B．
【分析】根据题意，可以先求出
t
a
n
∠
B
A
E
=
B
E
A
B
=
1
2
即可判断①；再根据题意证明
△
A
B
E
∽
△
E
C
F
即可判断②；根据②中的结论可以得到CF，然后即可得到CF和CD的关系，从而可以判断③；根据相似三角形的判定方法可以判断④。
11．【答案】0
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
=
=
=0
故答案为：0．
【分析】利用特殊角的三角函数值分别代入进而求出答案。
12．【答案】（-2，5）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线
的顶点坐标是（-2，5）．
故答案为：（-2，5）
【分析】根据二次函数的顶点式直接求解即可。
13．【答案】24π
【知识点】圆柱的体积
【解析】【解答】∵
∴圆柱的高为6，圆的直径为4即半径为2，
∴圆柱的体积为
=
=24π，
故答案为：24π．
【分析】根据三视图可得圆柱体的高为6，圆的直径为4即半径为2，再利用圆柱的体积公式求解即可。
14．【答案】 或5
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】设BE=x，则EC=10﹣x，
∵△DEF是△DEB折叠所得，
∴EF=BE=x，①当∠CEF=∠B时，
∵△FEC∽△ABC，
∴ ,即 ，
解得x= ；②当∠CEF=∠A时，
∵△ECF∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得x=5，
综上，BE= 或5.
【分析】根据折叠与相似三角形的性质，分当∠CEF=∠B时，当∠CEF=∠A时，两种情况进行讨论即可.
15．【答案】(22022，-22022)
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意可得，OP0=
，OP1=2×
=21×
，
OP2=2×21×
=22×
，
OP3=2×22×
=23×
，
OP4=2×23×
=24×
，
…
OP2022=22022×
，
∵每一次都旋转45°，360°÷45°=8，
∴每8次变化为一个循环组，
2022÷8=252…6，
∴点P2022是第253组的第六次变换对应的点，与点P6在同一象限内，即第四象限，
∴点P2022的坐标为（22022，-22022）．
故答案为：（22022，-22022）．
【分析】先求出前几项的数据可得：每8次变化为一个循环组，再因为2022÷8=252…6，所以点P2022是第253组的第六次变换对应的点，与点P6在同一象限内，即第四象限，从而得到点P2022的坐标为（22022，-22022）。
16．【答案】（1）解：1+3+6=10（个）
即图中共有10个小正方体
（2）解：所画的三视图如下：
【知识点】由三视图判断几何体；作图﹣三视图
【解析】【分析】（1）根据图形结合空间想象能力求解即可；
（2）利用三视图的定义求解即可。
17．【答案】（1）
（2）解：法 1：
法 2：
-3 -2 1 6
-3
-2
1
6
符合情况的坐标有：，，，，
．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）P=
，
故答案为：
；
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
18．【答案】（1）解：∵点在双曲线上，
∴，解得，，
∴反比例函数解析式为：，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
则点B的坐标为，
把，代入
得：，解得；
∴一次函数解析式为：y=-x+1
（2）解：对于y=-x+1，当时，，
∴点C的坐标为，
∵点D与点C关于x轴对称，
∴点D的坐标为，
∵点B、D的纵坐标相同
∴BD⊥y轴，且BD=2
∵点A到BD的距离为2+1=3
∴的面积；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入
求出k的值，再将点B代入反比例解析式求出b的值，最后将点A、B的坐标代入
求出m、n的值即可；
（2）先求出点C的坐标，再利用关于x轴对称的点坐标的特征求出点D的坐标，最后利用三角形的面积公式求解即可。
19．【答案】（1）解：过点C作CD⊥AB于点D，如示意图：
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠ACD=37°，∠DCB=45°，
∴△CDB是等腰直角三角形，
∵点C距地面9m高，
∴CD=BD=9m，
∴ ，
∴ ；
答：旗杆AB的高为15.75米
（2）解：由（1）及题意可得：
，
答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，由题意可得∠ACD=37°，∠DCB=∠DBC=45°，CD=BD=9m，进而可得AD=6.75m，然后问题可求解；
（2）根据题意可直接进行求解.
20．【答案】（1）证明：连接OC，
∵CD是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴BC平分．
（2）解：连接AC，
∵AB是直径，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴
（3）解：设的半径为r，则，，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，（舍去），
∴的半径为5．
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，证明OC//BE可得
，再结合
，可得
，因此BC平分；
（2）连接AC，先证明
，可得
，再将数据代入计算可得
；
（3）设的半径为r，则，，根据可得
，所以
，再结合
求出r的值即可。
21．【答案】（1）；3
（2）解：方程 ，可化为 ，
，
.
∴ 或 或 ，
∴ ， ， .
（3）解： ，方程两边平方，得 ，
即 ， ，
∴ 或 ， ， .
∵ 得 ，
∴ 是原方程的解.
【知识点】因式分解的应用；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1） ，
故答案为： ；3.
【分析】（1）对原方程因式分解可得x(x+1)(x-3)=0，据此求解；
（2）对原方程因式分解可得x(x+2)(x-8)=0，据此求解；
（3）对原方程两边同时平方可得-2x+15=x2，因式分解可得(x+5)(x-3)=0，求出x的值，然后根据-2x+15≥0且x≥0求出x的范围，据此对求出的x的值进行检验.
22．【答案】（1）解：∵抛物线过点A（－3，0），B（1，0）
∴，解得：
∴二次函数的关系解析式为．
（2）解：存在点Q（-2，2）或使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．
理由如下：如图①，
设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为（c，），
∴BE=1-c，，
①OA和BE是对应边时，∵△BEQ∽△AOC，
∴，
即，
整理得，c2+c-2=0，
解得c1=-2，c2=1（舍去），
此时，，
点Q（-2，2）；
②OA和QE是对应边时，∵△QEB∽△AOC，
∴，
即，
整理得，4c2-c-3=0，
解得，c2=1（舍去），
此时，，
点Q，
综上所述，存在点Q（-2，2）或使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．
（3）解：存在，满足条件的点Q的坐标为：Q1（-5，0），Q2（-1，0），Q3（2+，0），Q4（2 ，0）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】①如图2，
当MC//AQ且MC=AQ时，M与C关于对称轴x=-1对称，
∴AQ=MC=2，
∴Q1（-1，0），Q2（-5，0），
②如图3，
当AC//MQ且AC=MQ时，
因为平行四边形是中心对称图形并且中心对称点在x轴上，所以点M到x轴的距离为2．
设M（m，
），
∴=-2，
∴m2+2m-6=0，
∴m=-1±
，
∵QG=3，
∴Q3（2+
，0），Q4（2
，0）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为：Q1（-5，0），Q2（-1，0），Q3（2+
，0），Q4（2
，0）．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入
求出a、b的值即可；
（2）设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为（c，），则BE=1-c，，再分两种情况，利用相似三角形的性质列出方程求解即可；
（3）先画出图象，再结合图象，利用平行四边形的性质列出方程求解即可。
1 / 1山东省济宁市嘉祥县第三中学20201-2022学年九年级下学期开学考试数学试题
一、单选题
1．（2022九下·嘉祥开学考）如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】
，
，
， A不符合题意；
，B符合题意；
， C不符合题意；
， D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用正弦、余弦和正切的定义逐项判断即可。
2．（2021九上·淮北月考）反比例函数y=的图象的两个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＞0 C．k＞3 D．k＜0
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：在图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，根据反比例函数的性质，
得k 3＞0，
∴ k＞3．
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的性质和系数的关系可得：k 3＞0，求出k的取值范围即可。
3．（2022九下·嘉祥开学考）一元二次方程3x2﹣6x﹣1＝0的一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，1 B．3，﹣1 C．﹣6，1 D．﹣6，﹣1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由一元二次方程3x2﹣6x﹣1＝0的一次项系数、常数项分别是﹣6，﹣1；
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的一次项系数、常数项的定义求解即可。
4．（2021九上·无锡期中）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1：2，坡面AB= ，则堤高的高度是（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡度是1：2，
即 ，
∴
又∵在 中， ， ，
∴
解之得： （取正值）.
故答案为：C.
【分析】根据迎水坡AB的坡度可得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，运用勾股定理求解即可.
5．（2022九下·嘉祥开学考）如图，点A，B，C是上的三个点，若，则的度数为（ ）
A．38° B．48° C．52° D．76°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】
，
故答案为：A．
【分析】根据圆周角的性质可得
。
6．（2022九下·嘉祥开学考）如图，在的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使为直角三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：如图，共有5个点均可与点A和B组成直角三角形
则使得
为直角三角形的概率是
故答案为：C．
【分析】先求出能使得
为直角三角形的点C的个数，再利用概率公式求解即可。
7．（2020九上·历城期中）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（ ）
A．3m B．4m C．4.5m D．5m
【答案】D
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变：
∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=4.5m
∴ ，代入得：
∴ m
故答案为：D
【分析】根据题意求出 ，再计算求解即可。
8．（2022九下·嘉祥开学考）某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是（ ）
A．55 B．56 C．57 D．58
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元，根据题意得，
即当一个旅行团的人数是55人时，这个旅行团可以获得最大的营业额，
故答案为：A．
【分析】设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元，根据题意列出函数解析式
，再利用二次函数的性质求解即可。
9．（2021九上·宣城期中）二次函数y＝ax2＋bx＋c（abc≠0）的图象如图所示，反比例函数y＝ 与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： 抛物线的开口向上，与 轴的交点位于 轴的正半轴，
，
抛物线的对称轴位于 轴的右侧，
，
，
由 可知，反比例函数 的图象位于第一、三象限，
由 可知，正比例函数 的图象经过原点，且经过第二、四象限，
观察四个选项可知，只有选项D符合，
故答案为：D．
【分析】由已知二次函数的图象开口方向和对称轴可以确定b的取值范围，由图像与y轴的交点可以确定C的取值范围，即可确定反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图像。
10．（2022九下·嘉祥开学考）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB·CF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；四边形的综合
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∠AEB＋∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴，
∴，即
，
∴，故②符合题意；
∵E是BC的中点，
∴，
∴，
∴，故①不符合题意；
∴，故③不符合题意；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴，
，AF＝5a，
∴
A
E
A
F
=
2
5
a
5
a
=
2
5
5
，
B
E
E
F
=
2
a
5
a
=
2
5
5
，
∴
A
E
A
F
=
B
E
E
F
，
∴
△
A
B
E
∽
△
A
E
F
，故④符合题意．
∴②与④符合题意．
∴符合题意结论的个数有2个．
故答案为：B．
【分析】根据题意，可以先求出
t
a
n
∠
B
A
E
=
B
E
A
B
=
1
2
即可判断①；再根据题意证明
△
A
B
E
∽
△
E
C
F
即可判断②；根据②中的结论可以得到CF，然后即可得到CF和CD的关系，从而可以判断③；根据相似三角形的判定方法可以判断④。
二、填空题
11．（2021·高要模拟）计算： ．
【答案】0
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
=
=
=0
故答案为：0．
【分析】利用特殊角的三角函数值分别代入进而求出答案。
12．（2022九下·嘉祥开学考）抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】（-2，5）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线
的顶点坐标是（-2，5）．
故答案为：（-2，5）
【分析】根据二次函数的顶点式直接求解即可。
13．（2022九下·嘉祥开学考）一个圆柱的三种视图如图所示．则这个圆柱的体积为 ．
【答案】24π
【知识点】圆柱的体积
【解析】【解答】∵
∴圆柱的高为6，圆的直径为4即半径为2，
∴圆柱的体积为
=
=24π，
故答案为：24π．
【分析】根据三视图可得圆柱体的高为6，圆的直径为4即半径为2，再利用圆柱的体积公式求解即可。
14．（2020九上·东阿期中）如图，将三角形纸片的一角折叠，使点B落的AC边上的F处，折痕为DE，已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点E，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BE的长是 ．
【答案】 或5
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】设BE=x，则EC=10﹣x，
∵△DEF是△DEB折叠所得，
∴EF=BE=x，①当∠CEF=∠B时，
∵△FEC∽△ABC，
∴ ,即 ，
解得x= ；②当∠CEF=∠A时，
∵△ECF∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得x=5，
综上，BE= 或5.
【分析】根据折叠与相似三角形的性质，分当∠CEF=∠B时，当∠CEF=∠A时，两种情况进行讨论即可.
15．（2022九下·嘉祥开学考）如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，1)，将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数），则点P2022的坐标为 ．
【答案】(22022，-22022)
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意可得，OP0=
，OP1=2×
=21×
，
OP2=2×21×
=22×
，
OP3=2×22×
=23×
，
OP4=2×23×
=24×
，
…
OP2022=22022×
，
∵每一次都旋转45°，360°÷45°=8，
∴每8次变化为一个循环组，
2022÷8=252…6，
∴点P2022是第253组的第六次变换对应的点，与点P6在同一象限内，即第四象限，
∴点P2022的坐标为（22022，-22022）．
故答案为：（22022，-22022）．
【分析】先求出前几项的数据可得：每8次变化为一个循环组，再因为2022÷8=252…6，所以点P2022是第253组的第六次变换对应的点，与点P6在同一象限内，即第四象限，从而得到点P2022的坐标为（22022，-22022）。
三、解答题
16．（2022九下·嘉祥开学考）如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体．
（1）图中有几个小正方体；
（2）画出该几何体的三视图；
【答案】（1）解：1+3+6=10（个）
即图中共有10个小正方体
（2）解：所画的三视图如下：
【知识点】由三视图判断几何体；作图﹣三视图
【解析】【分析】（1）根据图形结合空间想象能力求解即可；
（2）利用三视图的定义求解即可。
17．（2022九下·嘉祥开学考）在一个不透明的袋子中，放有四张质地完全相同的卡片，分别标有数字“”．
（1）随机抽出一张卡片是负数的概率是 ；
（2）第一次从袋中随机地抽出一张卡片，把所抽到的数字记为横坐标，不放回袋中，再随机地从中抽出一张，把所抽到的数字记为纵坐标．请用数状图或列表法求所得的点在反比例函数上的概率．
【答案】（1）
（2）解：法 1：
法 2：
-3 -2 1 6
-3
-2
1
6
符合情况的坐标有：，，，，
．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）P=
，
故答案为：
；
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
18．（2022九下·嘉祥开学考）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，与x轴交于点E，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求的面积；
【答案】（1）解：∵点在双曲线上，
∴，解得，，
∴反比例函数解析式为：，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
则点B的坐标为，
把，代入
得：，解得；
∴一次函数解析式为：y=-x+1
（2）解：对于y=-x+1，当时，，
∴点C的坐标为，
∵点D与点C关于x轴对称，
∴点D的坐标为，
∵点B、D的纵坐标相同
∴BD⊥y轴，且BD=2
∵点A到BD的距离为2+1=3
∴的面积；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入
求出k的值，再将点B代入反比例解析式求出b的值，最后将点A、B的坐标代入
求出m、n的值即可；
（2）先求出点C的坐标，再利用关于x轴对称的点坐标的特征求出点D的坐标，最后利用三角形的面积公式求解即可。
19．（2021·嵊州模拟）如图，小东在教学楼距地面9m高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°.
（1）求旗杆AB的高.（结果精确到0.01m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（2）升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25m处.若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？
【答案】（1）解：过点C作CD⊥AB于点D，如示意图：
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠ACD=37°，∠DCB=45°，
∴△CDB是等腰直角三角形，
∵点C距地面9m高，
∴CD=BD=9m，
∴ ，
∴ ；
答：旗杆AB的高为15.75米
（2）解：由（1）及题意可得：
，
答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，由题意可得∠ACD=37°，∠DCB=∠DBC=45°，CD=BD=9m，进而可得AD=6.75m，然后问题可求解；
（2）根据题意可直接进行求解.
20．（2022九下·嘉祥开学考）如图，AB为的直径，D为BA延长线上一点，过点D作的切线，切点为C，过点B作交DC的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：BC平分；
（2）当时，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接EO，交BC于点F，若，求的半径．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵CD是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴BC平分．
（2）解：连接AC，
∵AB是直径，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴
（3）解：设的半径为r，则，，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，（舍去），
∴的半径为5．
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，证明OC//BE可得
，再结合
，可得
，因此BC平分；
（2）连接AC，先证明
，可得
，再将数据代入计算可得
；
（3）设的半径为r，则，，根据可得
，所以
，再结合
求出r的值即可。
21．（2020九上·禹州期中）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程 ，通过因式分解可以把它转化为 ，解方程 和 ，可得方程 的解.
问题：
（1）方程 的解是 ， ， .
（2）求方程 的解.
（3）拓展：
用“转化”思想求方程 的解.
【答案】（1）；3
（2）解：方程 ，可化为 ，
，
.
∴ 或 或 ，
∴ ， ， .
（3）解： ，方程两边平方，得 ，
即 ， ，
∴ 或 ， ， .
∵ 得 ，
∴ 是原方程的解.
【知识点】因式分解的应用；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1） ，
故答案为： ；3.
【分析】（1）对原方程因式分解可得x(x+1)(x-3)=0，据此求解；
（2）对原方程因式分解可得x(x+2)(x-8)=0，据此求解；
（3）对原方程两边同时平方可得-2x+15=x2，因式分解可得(x+5)(x-3)=0，求出x的值，然后根据-2x+15≥0且x≥0求出x的范围，据此对求出的x的值进行检验.
22．（2022九下·嘉祥开学考）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点Q是线段AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线过点A（－3，0），B（1，0）
∴，解得：
∴二次函数的关系解析式为．
（2）解：存在点Q（-2，2）或使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．
理由如下：如图①，
设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为（c，），
∴BE=1-c，，
①OA和BE是对应边时，∵△BEQ∽△AOC，
∴，
即，
整理得，c2+c-2=0，
解得c1=-2，c2=1（舍去），
此时，，
点Q（-2，2）；
②OA和QE是对应边时，∵△QEB∽△AOC，
∴，
即，
整理得，4c2-c-3=0，
解得，c2=1（舍去），
此时，，
点Q，
综上所述，存在点Q（-2，2）或使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．
（3）解：存在，满足条件的点Q的坐标为：Q1（-5，0），Q2（-1，0），Q3（2+，0），Q4（2 ，0）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】①如图2，
当MC//AQ且MC=AQ时，M与C关于对称轴x=-1对称，
∴AQ=MC=2，
∴Q1（-1，0），Q2（-5，0），
②如图3，
当AC//MQ且AC=MQ时，
因为平行四边形是中心对称图形并且中心对称点在x轴上，所以点M到x轴的距离为2．
设M（m，
），
∴=-2，
∴m2+2m-6=0，
∴m=-1±
，
∵QG=3，
∴Q3（2+
，0），Q4（2
，0）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为：Q1（-5，0），Q2（-1，0），Q3（2+
，0），Q4（2
，0）．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入
求出a、b的值即可；
（2）设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为（c，），则BE=1-c，，再分两种情况，利用相似三角形的性质列出方程求解即可；
（3）先画出图象，再结合图象，利用平行四边形的性质列出方程求解即可。
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