平面向量线性运算的应用
了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点一 物理学中的量与向量的关系
(1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是________.
(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________法．
知识点二 用向量方法解决平面几何问题的三个步骤
状元随笔 向量方法解决平面几何问题的六个应用
(1)证明线段相等：通过向量运算，证明 2＝2，即可证明AB＝CD.
(2)证明线段平行：利用＝λ，点A，B，C，D不共线，可以证明AB∥CD，特别地，当λ＝1时，AB綊CD.
(3)证明三点共线：利用＝λ (λ∈R)可以证明A，B，C三点共线，也可变形为＝x＋y (x，y∈R，x＋y＝1)，其中O为空间任意一点．
(4)证明四点共面：利用＝λ＋μ (λ，μ∈R)可以证明点P，A，B，C四点共面．
基础自测
1.已知点A(－2，－3)，B(2，1)，C(0，1)，则下列结论正确的是( )
A．A，B，C三点共线
B．⊥
C．A，B，C是等腰三角形的顶点
D．A，B，C是钝角三角形的顶点
2．若向量OF1＝(1，1)，OF2＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(5，0) B．(－5，0)
C． D．－
3．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( )
A．b＋c B．c－b
C．b－c D．b＋c
4．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3，4)，则力F对质点P做的功是________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 向量在平面几何中的应用[教材P168例1]
例1 如图所示，MN是△ABC的中位线，求证：MN∥BC且MN＝BC.
【解析】 因为M，N分别是AB，AC边上的中点，所以＝，＝，因此＝－＝－＝ (－)＝，
从而可知MN∥BC且MN＝BC.
教材反思
用向量方法解决平面几何问题的步骤
跟踪训练1 (1)在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为( )
A.平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
由 ＋＝0可得∥，||＝||，·＝0可得⊥.
(2)若O是△ABC内一点，＋＋＝0，则O为△ABC的( )
A.内心
B．外心
C．垂心
D．重心
作出图形，取AB的中点E，连接OE.
题型2 向量在物理中的应用[经典例题]
例2 如图所示，求力F1，F2的合力F的大小(精确到0.1 N)和方向(精确到分).
方法归纳
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
跟踪训练2 一艘船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速间的夹角表示).
用相关向量表示行驶速度和水流速度，再利用平行四边形法则求解．
6．3 平面向量线性运算的应用
新知初探·自主学习
知识点一
(1)向量 (2)加减
知识点二
向量 向量问题 运算
[基础自测]
1．解析：因为＝(－2，0)，＝(2，4)，所以·＝－4<0，所以∠C是钝角．
答案：D
2．解析：F1＋F2＝＝(1，1)＋(－3，－2)
＝(－2，－1)．
|F1＋F2|＝＝.
答案：C
3.
解析：如图所示，可知＝＝＝)＝c＋(b－c)＝b＋c.
答案：A
4．解析：因为W＝F·s＝(－1，－2)·(3，4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11.
答案：－11
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解析：(1)由题可知∥，||＝||，且⊥，故四边形为菱形．
解析：(2)如图，取AB的中点E，连接OE，
则＝2.
又＝0，
所以＝－2.又O为公共点，
所以O，C，E三点共线，且||＝2||.
所以O为△ABC的重心．
答案：(1)D (2)D
例2 【解析】 设F1＝(a1，a2)，F2＝(b1，b2)，
则a1＝300cos 30°＝150，a2＝300sin 30°＝150，b1＝－200cos 45°＝－100，b2＝200sin 45°＝100，
所以F1＝(150，150)，F2＝(－100，100)，
则F＝F1＋F2＝(150，150)＋(－100，100)＝(150－100，150＋100)，
|F|＝＝100≈314.6.
设F与x轴的正方向的夹角为θ，则tan θ＝≈2.461 6.由F的坐标知θ是第一象限的角，所以θ≈67°53′.
故两个力的合力约是314.6 N，与x轴正方向的夹角大约为67°53′，与y轴的正方向的夹角大约为22°7′.
跟踪训练2
解析：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度．
在Rt△ABC中，||＝2，||＝2，
∴||＝＝＝4，
∴tan ∠CAB＝＝，∴∠CAB＝60°，
故船实际航行速度的大小为4 km/h，方向与水流速间的夹角为60°.．
6(共20张PPT)
6.3 平面向量线性运算的应用
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
知识点一 物理学中的量与向量的关系
(1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是________.
(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________法．
向量
加减
知识点二 用向量方法解决平面几何问题的三个步骤
向量
向量问题
运算
状元随笔 向量方法解决平面几何问题的六个应用
(1)证明线段相等：通过向量运算，证明2＝2，即可证明AB＝CD.
(2)证明线段平行：利用＝λ，点A，B，C，D不共线，可以证明AB∥CD，特别地，当λ＝1时，AB綊CD.
(3)证明三点共线：利用＝λ (λ∈R)可以证明A，B，C三点共线，也可变形为＝x＋y (x，y∈R，x＋y＝1)，其中O为空间任意一点．
(4)证明四点共面：利用＝λ＋μ (λ，μ∈R)可以证明点P，A，B，C四点共面．
基础自测
1.已知点A(－2，－3)，B(2，1)，C(0，1)，则下列结论正确的是( )
A．A，B，C三点共线
B．⊥
C．A，B，C是等腰三角形的顶点
D．A，B，C是钝角三角形的顶点
解析：因为＝(－2，0)，＝(2，4)，所以·＝－4<0，所以∠C是钝角．
答案：D
2．若向量OF1＝(1，1)，OF2＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(5，0) B．(－5，0)
C． D．－
解析：F1＋F2＝＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)．
|F1＋F2|＝＝.
答案：C
3．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( )
A．b＋cB．c－b
C．b－c D．b＋c
解析：如图所示，可知＝＝＝)＝c＋(b－c)＝b＋c.
答案：A
4．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3，4)，则力F对质点P做的功是________．
解析：因为W＝F·s＝(－1，－2)·(3，4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11.
答案：－11
课堂探究·素养提升
题型1 向量在平面几何中的应用[教材P168例1]
例1 如图所示，MN是△ABC的中位线，求证：MN∥BC且MN＝BC.
【解析】 因为M，N分别是AB，AC边上的中点，所以＝，＝，因此＝－＝－＝ (－)＝，
从而可知MN∥BC且MN＝BC.
教材反思
用向量方法解决平面几何问题的步骤
跟踪训练1 (1)在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为( )
A.平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
由＋＝0可得∥，||＝||，·＝0可得⊥.
解析：(1)由题可知∥，||＝||，且⊥，故四边形为菱形．
答案：D
(2)若O是△ABC内一点，＋＋＝0，则O为△ABC的( )
A.内心
B．外心
C．垂心
D．重心
作出图形，取AB的中点E，连接OE.
解析：(2)如图，取AB的中点E，连接OE，
则＝2.
又＝0，
所以＝－2.又O为公共点，
所以O，C，E三点共线，且||＝2||.
所以O为△ABC的重心．
答案：D
题型2 向量在物理中的应用[经典例题]
例2 如图所示，求力F1，F2的合力F的大小(精确到0.1 N)和方向(精确到分).
【解析】 设F1＝(a1，a2)，F2＝(b1，b2)，
则a1＝300cos 30°＝150，a2＝300sin 30°＝150，b1＝－200cos 45°＝－100，b2＝200sin 45°＝100，
所以F1＝(150，150)，F2＝(－100，100)，
则F＝F1＋F2＝(150，150)＋(－100，100)＝(150－100，150＋100)，
|F|＝＝100≈314.6.
设F与x轴的正方向的夹角为θ，则tan θ＝≈2.461 6.由F的坐标知θ是第一象限的角，所以θ≈67°53′.
故两个力的合力约是314.6 N，与x轴正方向的夹角大约为67°53′，与y轴的正方向的夹角大约为22°7′.
方法归纳
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
跟踪训练2 一艘船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速间的夹角表示).
用相关向量表示行驶速度和水流速度，再利用平行四边形法则求解．
解析：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度．
在Rt△ABC中，||＝2，||＝2，
∴||＝＝＝4，
∴tan ∠CAB＝＝，∴∠CAB＝60°，
故船实际航行速度的大小为4 km/h，
方向与水流速间的夹角为60°.．
