第2课时 两点间的距离、中点坐标公式及向量平行
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点一 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，AB＝||＝.这就是平面直角坐标系内两点之间的距离公式．
x＝，y＝.这就是平面直角坐标系内的中点坐标公式．
知识点二 向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x2y1＝x1y2.
状元随笔 已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
(1)当≠0时，＝λ.
这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0.
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，
而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
基础自测
1.已知A(1，2)，B(－3，4)，的中点坐标为( )
A．(－4，2) B．(4，2)
C．(－1，3) D．(1，－3)
2．下列各组向量相互平行的是( )
A．a＝(－1，2)，b＝(3，5) B．a＝(1，2)，b＝(2，1)
C．a＝(2，－1)，b＝(3，4) D．a＝(－2，1)，b＝(4，－2)
3．已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝( )
A．－9B．9
C．3D．－3
4．已知A(1，2)，B(4，5).若＝2，则点P的坐标为________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 向量共线的判定[经典例题]
例1 (1)下列各对向量中，共线的是( )
A.a＝(2，3)，b＝(3，－2)
B．a＝(2，3)，b＝(4，－6)
C．a＝(，－1)，b＝(1，)
D．a＝(1，)，b＝(，2)
(2)已知点A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB与直线CD平行吗？
(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或＝λ验证．
(2)判断∥，只要把点的坐标代入公式x1y2－x2y1＝0，看是否成立．
方法归纳
向量共线的判定方法
跟踪训练1 下列各组向量中，共线的是( )
A.a＝(－2，3)，b＝(4，6)
B．a＝(2，3)，b＝(3，2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)
D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
(x1，y1)， (x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则，共线．
题型2 三点共线问题[教材P166例7]
例2 在平面直角坐标系中，已知A(－2，－3)，B(0，1)，C(2，5)，求证：A，B，C三点共线．
教材反思
判断向量(或三点)共线的三个步骤
跟踪训练2 设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．
方法一由已知求，，利用＝λ，求k.
方法二与共线，则x1y2－x2y1＝0，求k.
题型3 向量共线的应用[经典例题]
例3 如图所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
先求C、D坐标，设出M(x，y)，利用与共线，求M.
【解析】 ∵＝＝(0，5)＝()，∴C(0，).
∵＝＝(4，3)＝(2，)，∴D(2，).
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝(2-0，)＝(2，).
∵∥，
∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①
又＝(x，)，＝(4，)，
∵∥，∴x－4()＝0，即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为(，2).
方法归纳
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
跟踪训练3 若平行四边形ABCD的三个顶点为A(1，5)，B(－1，－2)，C(3，－1)，求顶点D的坐标．
设D(x，y)，由已知得＝，求D.
第2课时 两点间的距离、中点坐标公式及向量平行
新知初探·自主学习
[基础自测]
1．解析：由A(1，2)，B(－3，4)，则中点坐标为＝(－1，3)．
答案：C
2．解析：D中，b＝－2a.
答案：D
3．解析：因为a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.
答案：B
4．解析：设P(x，y)，所以＝(x－1，y－2)，＝(4－x，5－y)，又＝2，所以(x－1，y－2)＝2(4－x，5－y)，
即解得
答案：(3，4)
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)由向量共线的充要条件可知：非零向量a与b共线，当且仅当存在唯一实数λ，使得b＝λa.而只有D满足：因为a＝(1，)，b＝(，2)，所以b＝a.
(2)因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－1，7－5)＝(1，2)，
因为2×2－1×4＝0，所以∥.
又＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2，6)，
＝(2，4)，2×4－2×6≠0，
所以与不平行．
所以A，B，C不共线，AB与CD不重合．
所以直线AB与CD平行．
【答案】 (1)D (2)见解析
跟踪训练1 解析：由两向量共线的坐标表示知，对于D，(－3)×(－4)－2×6＝0，所以共线，其他均不满足．
答案：D
例2 【解析】 由已知得
＝(0，1)－(－2，－3)＝(2，4)，
＝(2，5)－(－2，－3)＝(4，8)．
因为2×8＝4×4，所以
∥，
因此A，B，C三点共线．
跟踪训练2 解析：方法一 ∵A，B，C三点共线，
∴存在实数λ，使得＝λ.
∵＝＝(4－k，－7)，
＝＝(10－k，k－12)，
∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，
即
解得k＝－2或k＝11.
方法二 由题意知共线．
∵＝＝(4－k，－7)，＝＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.
跟踪训练3 解析：设D点的坐标为(x，y)，则＝(x－1，y－5)，＝(4，1)，由题意知＝，即(x－1，y－5)＝(4，1)，得解得因此，D点的坐标为(5，6)．
7(共21张PPT)
第2课时 两点间的距离、
中点坐标公式及向量平行
新知初探·自主学习
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新知初探·自主学习
知识点一 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，AB＝||＝.这就是平面直角坐标系内两点之间的距离公式．
x＝，y＝.这就是平面直角坐标系内的中点坐标公式．
知识点二 向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x2y1＝x1y2.
状元随笔 已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
(1)当≠0时，＝λ.
这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0.
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，
而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
基础自测
1.已知A(1，2)，B(－3，4)，的中点坐标为( )
A．(－4，2) B．(4，2)
C．(－1，3) D．(1，－3)
解析：由A(1，2)，B(－3，4)，则中点坐标为＝(－1，3)．
答案：C
2．下列各组向量相互平行的是( )
A．a＝(－1，2)，b＝(3，5) B．a＝(1，2)，b＝(2，1)
C．a＝(2，－1)，b＝(3，4) D．a＝(－2，1)，b＝(4，－2)
解析：D中，b＝－2a.
答案：D
3．已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝( )
A．－9 B．9
C．3 D．－3
解析：因为a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.
答案：B
4．已知A(1，2)，B(4，5).若＝2，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，所以＝(x－1，y－2)，＝(4－x，5－y)，又＝2，所以(x－1，y－2)＝2(4－x，5－y)，
即解得
答案：(3，4)
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题型1 向量共线的判定[经典例题]
例1 (1)下列各对向量中，共线的是( )
A.a＝(2，3)，b＝(3，－2)
B．a＝(2，3)，b＝(4，－6)
C．a＝(，－1)，b＝(1，)
D．a＝(1，)，b＝(，2)
向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或＝λ验证．
【解析】 (1)由向量共线的充要条件可知：非零向量a与b共线，当且仅当存在唯一实数λ，使得b＝λa.而只有D满足：因为a＝(1，)，b＝(，2)，所以b＝a.
【答案】 D
(2)已知点A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB与直线CD平行吗？
判断∥，只要把点的坐标代入公式x1y2－x2y1＝0，看是否成立．
【解析】 因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－1，7－5)＝(1，2)，
因为2×2－1×4＝0，所以∥.
又＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2，6)，
＝(2，4)，2×4－2×6≠0，
所以与不平行．
所以A，B，C不共线，AB与CD不重合．
所以直线AB与CD平行．
方法归纳
向量共线的判定方法
跟踪训练1 下列各组向量中，共线的是( )
A.a＝(－2，3)，b＝(4，6)
B．a＝(2，3)，b＝(3，2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)
D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
(x1，y1)， (x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则，共线．
解析：由两向量共线的坐标表示知，对于D，(－3)×(－4)－2×6＝0，所以共线，其他均不满足．
答案：D
题型2 三点共线问题[教材P166例7]
例2 在平面直角坐标系中，已知A(－2，－3)，B(0，1)，C(2，5)，求证：A，B，C三点共线．
【解析】 由已知得＝(0，1)－(－2，－3)＝(2，4)，
＝(2，5)－(－2，－3)＝(4，8)．
因为2×8＝4×4，所以∥，
因此A，B，C三点共线．
教材反思
判断向量(或三点)共线的三个步骤
跟踪训练2 设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．
方法一由已知求，，利用＝λ，求k.
方法二与共线，则x1y2－x2y1＝0，求k.
解析：方法一 ∵A，B，C三点共线，
∴存在实数λ，使得＝λ.
∵＝＝(4－k，－7)，＝＝(10－k，k－12)，
∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，
即解得k＝－2或k＝11.
方法二 由题意知共线．
∵＝＝(4－k，－7)，＝＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.
题型3 向量共线的应用[经典例题]
例3 如图所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
先求C、D坐标，设出M(x，y)，利用与共线，求M.
【解析】 ∵＝＝ (0，5)＝()，∴C(0，).
∵＝＝ (4，3)＝(2，)，∴D(2，).
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝(2-0，)＝(2，).
∵∥，
∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①
又＝(x，)，＝(4，)，
∵∥，∴x－4()＝0，即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为(，2).
方法归纳
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
跟踪训练3 若平行四边形ABCD的三个顶点为A(1，5)，B(－1，－2)，C(3，－1)，求顶点D的坐标．
设D(x，y)，由已知得＝，求D.
解析：设D点的坐标为(x，y)，则＝(x－1，y－5)，＝(4，1)，由题意知＝，即(x－1，y－5)＝(4，1)，得解得因此，D点的坐标为(5，6)．直线上向量的坐标及其运算 平面向量的坐标及其运算
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加法，减法与数乘运算．3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
第1课时 平面向量的坐标及运算
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点一 直线上向量的坐标
1．对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标．
状元随笔 值得注意的是，如果直线上向量的坐标为x，则x既能刻画的模，也能刻画向量的方向．事实上，此时
||＝|x|＝|x|||＝|x|；
而且：当x>0时，的方向与的方向相同；当x＝0时，是零向量；当x<0时，的方向与的方向相反．也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定．
2．事实上，设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，则＝x1e，＝x2e，因此＝－＝x2e－x1e＝(x2－x1)e，所以不难看出AB＝||＝|x2－x1|.这就是数轴上两点之间的距离公式．
3．另外，假设M(x)是线段AB的中点，则＝(＋)＝＝，又因为＝xe，因此x＝.这就是数轴上的中点坐标公式．
知识点二 正交分解
1．向量垂直
平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b.为了方便起见，规定零向量与任意向量都垂直．
2．正交分解
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
知识点三 平面向量的坐标表示
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).
状元随笔 1.对平面向量坐标的几点认识
(1)设＝x＋y(O为坐标原点)，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y).因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等．
(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．
2．符号(x，y)的意义
符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y).
知识点四 平面向量的坐标运算
(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么
a＋b＝____________________，
a－b＝____________________，
λa＝(λx1，λy1).
(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝______________________．
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．
基础自测
1.数轴上两点，A的坐标为1，B的坐标为－2，的坐标为( )
A．3 B．(3，0)
C．－3D．(－3，0)
2．已知M(2，3)，N(3，1)，则的坐标是( )
A．(2，－1) B．(－1，2)
C．(－2，1) D．(1，－2)
3．若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 直线上向量的运算与坐标表示[教材P159例3]
例1 设数轴上两点A，B的坐标分别为3，－7，求：
(1)向量的坐标，以及A与B的距离；
(2)线段AB中点的坐标．
【解析】 (1)由题意得的坐标为3，的坐标为－7，又因为＝－，所以的坐标为－7－3＝－10，而且
AB＝||＝|－10|＝10.
(2)设线段AB中点的坐标为x，则
x＝＝－2.
教材反思
数轴上A点坐标x1，B点坐标x2
(1)则坐标x2－x1，||＝|x2－x1|
(2)线段AB的中点坐标
跟踪训练1 数轴上向量a的坐标为－2，b的坐标为3，则a＋2b的坐标为( )
A．－1B．－8
C．4D．1
题型2 求向量的坐标[经典例题]
例2 如图，分别用基底{x，y}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标．
结合坐标系，写出、、、的坐标．
方法归纳
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
跟踪训练2 在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标．
由于向量，的起点在坐标原点，因此只需求出终点A，B的坐标．
题型3 平面向量的坐标运算[经典例题]
例3 (1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A.(－7，－4)
B．(7，4)
C．(－1，4)
D．(1，4)
方法一先求C点坐标，再求.
方法二先求，再求.
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标．
方法归纳
平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．
跟踪训练3 (1)已知A、B、C的坐标分别为(2，－4)、(0，6)、(－8，10)，则＋2＝____________，－＝____________；
先求，，坐标，再计算＋2，－的值．
(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，c＝(4，1)，若用a和b表示c，则c＝____________．
设＝x＋y，建立方程组，求出x，y.
题型4 向量坐标运算的应用[经典例题]
例4 已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及＝＋t.
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
(1)＝(1＋3t，2＋3t)，利用点在坐标轴及象限的特征求解．
(2)若四边形OABP为平行四边形，则有＝.
方法归纳
向量中含参数问题的求解策略
(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．
(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．
跟踪训练4 若保持本例条件不变，B为线段AP的中点，则t＝______．
由B是AP的中点，得＝2，求出t的值．
第1课时 平面向量的坐标及运算
新知初探·自主学习
知识点四
(1)(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (2)(x2－x1，y2－y1) 终点 始点
[基础自测]
1．解析：A的坐标为1，B的坐标为－2，则的坐标为－3.
答案：C
2．解析：＝(2－3，3－1)＝(－1，2)．
答案：B
3．解析：＝＝＝(2，3)－(4，7)＝(－2，－4)．
答案：(－2，－4)
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解析：∵b的坐标为3，∴2b的坐标为6，
∴a＋2b的坐标为－2＋6＝4.
答案：C
例2 【解析】 如题图可知，a＝＝2x＋3y，
所以a＝(2，3)．
同理，
b＝－2i＋3j＝(－2，3)，
c＝－2i－3j＝(－2，－3)，
d＝2i－3j＝(2，－3)．
跟踪训练2 解析：设点A(x，y)，B(x0，y0)，
∵|a|＝2，且∠AOx＝45°，
∴x＝2cos45°＝，且y＝2sin45°＝.又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°，
∴x0＝3cos120°＝－，y0＝3sin120°＝.
故a＝＝()，b＝＝.
例3 【解析】 (1)方法一 设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.
方法二 ＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
＝＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A.
(2)a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)，3a＝3(－1，2)＝(－3，6)，
2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5)＝(－2，4)＋(9，－15)＝(7，－11)．
【答案】 (1)A (2)见解析
跟踪训练3 解析：(1)∵A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，
∴＝(－2，10)，＝(－8，4)，＝(－10，14)，
∴＋2＝(－18，18)，＝(－3，－3)．
(2)设c＝xa＋yb，则(x，2x)＋(－2y，3y)＝(x－2y，2x＋3y)＝(4，1).
故解得所以c＝2a－b.
答案：(1)(－18，18) (－3，－3) (2)2a－b
例4 【解析】 (1)＝＋t＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
所以t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
所以t＝－.
若点P在第二象限，则
所以－＜t＜－.
(2)＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，则＝，
所以该方程组无解．
故四边形OABP不能为平行四边形．
跟踪训练4 解析：由＝＋t，得＝t.所以当t＝2时，＝2，B为线段AP的中点．
答案：2
9(共29张PPT)
第1课时 平面向量的坐标及运算
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
知识点一 直线上向量的坐标
1．对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标．
状元随笔 值得注意的是，如果直线上向量的坐标为x，则x既能刻画的模，也能刻画向量的方向．事实上，此时
||＝|x|＝|x|||＝|x|；
而且：当x>0时，的方向与的方向相同；当x＝0时，是零向量；当x<0时，的方向与的方向相反．也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定．
2．事实上，设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，则＝x1e，＝x2e，因此＝－＝x2e－x1e＝(x2－x1)e，所以不难看出AB＝||＝|x2－x1|.这就是数轴上两点之间的距离公式．
3．另外，假设M(x)是线段AB的中点，则＝ (＋)＝＝，又因为＝xe，因此x＝.这就是数轴上的中点坐标公式．
知识点二 正交分解
1．向量垂直
平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b.为了方便起见，规定零向量与任意向量都垂直．
2．正交分解
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
知识点三 平面向量的坐标表示
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).
状元随笔 1.对平面向量坐标的几点认识
(1)设＝x＋y (O为坐标原点)，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y).因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等．
(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．
2．符号(x，y)的意义
符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y).
知识点四 平面向量的坐标运算
(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么
a＋b＝____________________，
a－b＝____________________，
λa＝(λx1，λy1).
(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝______________________．
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(x2－x1，y2－y1)
终点
始点
基础自测
1.数轴上两点，A的坐标为1，B的坐标为－2，的坐标为( )
A．3 B．(3，0)
C．－3 D．(－3，0)
解析：A的坐标为1，B的坐标为－2，则的坐标为－3.
答案：C
2．已知M(2，3)，N(3，1)，则的坐标是( )
A．(2，－1) B．(－1，2)
C．(－2，1) D．(1，－2)
解析：＝(2－3，3－1)＝(－1，2)．
答案：B
3．若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝________．
解析：＝＝＝(2，3)－(4，7)＝(－2，－4)．
答案：(－2，－4)
课堂探究·素养提升
题型1 直线上向量的运算与坐标表示[教材P159例3]
例1 设数轴上两点A，B的坐标分别为3，－7，求：
(1)向量的坐标，以及A与B的距离；
(2)线段AB中点的坐标．
【解析】 (1)由题意得的坐标为3，的坐标为－7，又因为＝－，所以的坐标为－7－3＝－10，而且
AB＝||＝|－10|＝10.
(2)设线段AB中点的坐标为x，则
x＝＝－2.
教材反思
数轴上A点坐标x1，B点坐标x2
(1)则坐标x2－x1，||＝|x2－x1|
(2)线段AB的中点坐标
跟踪训练1 数轴上向量a的坐标为－2，b的坐标为3，则a＋2b的坐标为( )
A．－1 B．－8
C．4 D．1
解析：∵b的坐标为3，∴2b的坐标为6，
∴a＋2b的坐标为－2＋6＝4.
答案：C
题型2 求向量的坐标[经典例题]
例2 如图，分别用基底{x，y}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标．
结合坐标系，写出、、、的坐标．
【解析】 如题图可知，a＝＝2x＋3y，
所以a＝(2，3)．
同理，
b＝－2i＋3j＝(－2，3)，
c＝－2i－3j＝(－2，－3)，
d＝2i－3j＝(2，－3)．
方法归纳
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
跟踪训练2 在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标．
由于向量，的起点在坐标原点，因此只需求出终点A，B的坐标．
解析：设点A(x，y)，B(x0，y0)，
∵|a|＝2，且∠AOx＝45°，
∴x＝2cos 45°＝，且y＝2sin 45°＝.又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°，
∴x0＝3cos 120°＝－，y0＝3sin 120°＝.
故a＝＝()，b＝＝.
题型3 平面向量的坐标运算[经典例题]
例3 (1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A.(－7，－4)
B．(7，4)
C．(－1，4)
D．(1，4)
方法一先求C点坐标，再求.
方法二先求，再求.
【解析】 (1)方法一 设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.
方法二 ＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
＝＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A.
【答案】 A
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标．
【解析】 a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)，3a＝3(－1，2)＝(－3，6)，
2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5)＝(－2，4)＋(9，－15)＝(7，－11)．
方法归纳
平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．
跟踪训练3 (1)已知A、B、C的坐标分别为(2，－4)、(0，6)、(－8，10)，则＋2＝____________，－＝____________；
先求，，坐标，再计算＋2，－的值．
解析：(1)∵A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，
∴＝(－2，10)，＝(－8，4)，＝(－10，14)，
∴＋2＝(－18，18)，＝(－3，－3)．
(－18，18)
(－3，－3)
(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，c＝(4，1)，若用a和b表示c，则c＝____________．
设＝x＋y，建立方程组，求出x，y.
2a－b
解析：设c＝xa＋yb，则(x，2x)＋(－2y，3y)＝(x－2y，2x＋3y)＝(4，1).
故解得所以c＝2a－b.
题型4 向量坐标运算的应用[经典例题]
例4 已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及＝＋t.
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
(1)＝(1＋3t，2＋3t)，利用点在坐标轴及象限的特征求解．
(2)若四边形OABP为平行四边形，则有＝.
【解析】 (1)＝＋t＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－.
若点P在第二象限，则
所以－＜t＜－.
(2)＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，则＝，
所以该方程组无解．
故四边形OABP不能为平行四边形．
方法归纳
向量中含参数问题的求解策略
(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．
(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．
跟踪训练4 若保持本例条件不变，B为线段AP的中点，则t＝______．
由B是AP的中点，得＝2，求出t的值．
解析：由＝＋t，得＝t.所以当t＝2时，＝2，B为线段AP的中点．
答案：2向量基本定理与向量的坐标 向量基本定理
知识点一 共线向量的基本定理
一般地，有如下共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
状元随笔 在共线向量基本定理中：
(1)＝λ时，通常称为能用表示．
(2)其中的“唯一”指的是，如果还有＝μ，则有λ＝μ.这是因为：由λ＝μ可知(λ－μ)＝，如果λ－μ≠0，则＝，与已知矛盾，所以λ－μ＝0，即λ＝μ.
知识点二 平面向量的基本定理
一般地，有如下平面向量基本定理：
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
状元随笔 平面向量基本定理的理解
(1)是同一平面内的两个不共线的向量，的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．
(2)平面内的任一向量都可以沿基底进行分解．
(3)基底确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的．
基础自测
1.已知向量a与b共线反向，则下列结论正确的是( )
A．|a＋b|＝|a|＋|b| B．|a＋b|＝|a|－|b|
C．|a－b|＝|a|＋|b|D．|a－b|＝|a|－|b|
2．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①②B．①③
C．①④D．③④
3．已知△ABC的边BC上有一点D，满足＝3，则可表示为( )
A．＝B．＝
C．＝－2＋3D．＝
4．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 平面向量基本定理的理解[经典例题]
例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；
②e1－2e2与e2－2e1；
③e1－2e2与4e2－2e1；
④e1＋e2与e1－e2.
其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．
由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．
【解析】 ①设e1＋e2＝λe1，则无解，
∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底．
②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，
则无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，
即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底．
③∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，
即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．
④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，
则无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与能作为一组基底．
【答案】 ③
方法归纳
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．
跟踪训练1 下面三种说法：
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；
③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )
A.①②
B．②③
C．①③
D．①②③
平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．
题型2 共线基本定理[教材P155例3]
例2 已知a与b不共线，而且a－xb与3a＋2b共线，求x的值．
教材反思
共线向量定理的应用
(1)证明向量共线，对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．
(2)证明三点共线，若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
提醒：证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点．
跟踪训练2 (1)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
(2)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若－3＋2＝0，则等于________．
状元随笔 (1)由λ与＋2共线，得λ＝t(＋2)再解方程组求λ．
(2)利用共线求与的关系．
题型3 用基底表示平面向量[经典例题]
例3 如图，不共线，且＝t(t∈R)，用表示.
结合图形，利用、表示
方法归纳
用基底表示向量的两种方法
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．
(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
跟踪训练3 如图所示，在 ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用a，b表示向量.
解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．
6．2.1 向量基本定理
新知初探·自主学习
[基础自测]
1．解析：因为向量a与b共线反向，
所以|a＋b|<|a|＋|b|，|a＋b|≥0，而|a|－|b|的符号不确定，所以A，B不正确．
同理，D不正确，C显然正确．
答案：C
2．解析：①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．
答案：B
3．解析：由＝3，得＝＝＝＝.
答案：B
4．解析：由图可知，＝4e1＋3e2.
答案：＝4e1＋3e2
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B项正确．
答案：B
例2 【解析】 因为a与b不共线，所以3a＋2b≠0，因此由已知可得存在实数t，使得
a－xb＝t(3a＋2b)，
即a－xb＝3ta＋2tb，从而解得x＝－.
跟踪训练2 解析：(1)∵λa＋b与a＋2b平行，
∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，
∴解得
(2)由已知得，＝2()，
∴＝2，∴＝2.
答案：(1) (2)2
例3 【解析】 因为＝t，
所以＝
＝＋t
＝＋t()
＝＋t－t
＝(1－t)＋t.
跟踪训练3 解析：＝
＝－
＝－＝a－b.
＝
＝－＝b－a.
7(共23张PPT)
6.2.1 向量基本定理
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知识点一 共线向量的基本定理
一般地，有如下共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
状元随笔 在共线向量基本定理中：
(1)＝λ时，通常称为能用表示．
(2)其中的“唯一”指的是，如果还有＝μ，则有λ＝μ.这是因为：由λ＝μ可知(λ－μ)＝，如果λ－μ≠0，则＝，与已知矛盾，所以λ－μ＝0，即λ＝μ.
知识点二 平面向量的基本定理
一般地，有如下平面向量基本定理：
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
状元随笔 平面向量基本定理的理解
(1)是同一平面内的两个不共线的向量，的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．
(2)平面内的任一向量都可以沿基底进行分解．
(3)基底确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的．
基础自测
1.已知向量a与b共线反向，则下列结论正确的是( )
A．|a＋b|＝|a|＋|b| B．|a＋b|＝|a|－|b|
C．|a－b|＝|a|＋|b| D．|a－b|＝|a|－|b|
解析：因为向量a与b共线反向，
所以|a＋b|<|a|＋|b|，|a＋b|≥0，而|a|－|b|的符号不确定，所以A，B不正确．
同理，D不正确，C显然正确．
答案：C
2．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．
答案：B
3．已知△ABC的边BC上有一点D，满足＝3，则可表示为( )
A．＝B．＝
C．＝－2＋3 D．＝
解析：由＝3，得＝＝＝＝.
答案：B
4．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．
解析：由图可知，＝4e1＋3e2.
答案：＝4e1＋3e2
课堂探究·素养提升
题型1 平面向量基本定理的理解[经典例题]
例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；
②e1－2e2与e2－2e1；
③e1－2e2与4e2－2e1；
④e1＋e2与e1－e2.
其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．
由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．
③
【解析】 ①设e1＋e2＝λe1，则无解，
∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底．
②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，
则无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，
即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底．
③∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，
即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．
④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，
则无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与能作为一组基底．
方法归纳
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．
跟踪训练1 下面三种说法：
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；
③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )
A.①②
B．②③
C．①③
D．①②③
解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B项正确．
答案：B
平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．
题型2 共线基本定理[教材P155例3]
例2 已知a与b不共线，而且a－xb与3a＋2b共线，求x的值．
【解析】 因为a与b不共线，所以3a＋2b≠0，因此由已知可得存在实数t，使得a－xb＝t(3a＋2b)，
即a－xb＝3ta＋2tb，从而解得x＝－.
教材反思
共线向量定理的应用
(1)证明向量共线，对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．
(2)证明三点共线，若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
提醒：证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点．
跟踪训练2 (1)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
解析：(1)∵λa＋b与a＋2b平行，
∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，
∴解得
答案：
(2)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若－3＋2＝0，则等于________．
答案：2
解析：由已知得，＝2()，
∴＝2，∴＝2.
状元随笔
(1)由λ与＋2共线，得λ＝t(＋2)再解方程组求λ．
(2)利用共线求与的关系．
题型3 用基底表示平面向量[经典例题]
例3 如图，不共线，且＝t(t∈R)，用表示.
结合图形，利用、表示
【解析】 因为＝t，
所以＝＝＋t＝＋t()＝＋t－t
＝(1－t)＋t.
方法归纳
用基底表示向量的两种方法
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．
(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
跟踪训练3 如图所示，在 ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用a，b表示向量.
解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．
解析：＝＝－＝－＝a－b.
＝＝－＝b－a.
