向量的线性运算
1.通过实例，掌握平面向量的加、减运算及数乘向量的混合运算.2.掌握向量的线性运算．
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点一 数乘向量的运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)
λ(a－b)＝λa－λb
知识点二 向量的线性运算
向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算．
状元随笔 向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项．[－(2)]＋(6)可以简单地写成－2＋6.
基础自测
1.化简：＝( )
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
2．下列式子不能化简为的是( )
A．＋－ B．(＋)＋(＋)
C．(＋)＋ D．－＋
3．已知有向线段，不平行，则( )
A．|＋|>||
B．|＋|≥||
C．|＋|≥||＋||
D．|＋|<||＋||
4．化简：－＋－＋＝________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 向量的线性运算[经典例题]
例1 (1)计算：
①4(a＋b)－3(a－b)－8a；②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c).
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求＋(2b－a).
状元随笔 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)对于向量的线性运算，关键是把握运算顺序，即先根据运算律去括号，再进行数乘运算，最后进行向量的加减．
方法归纳
向量线性运算的基本方法
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
跟踪训练1 化简：
(1)－；
(2) .
先由运算律去括号，再进行数乘运算．
题型2 向量线性运算的应用[教材P149例3]
例2
如图所示，已知＝，＝，求证：＝.
【解析】 由已知得
＝－＝－
＝ (－)＝.
教材反思
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)A，P，B三点共线 ＝(1－t)＋t (O为平面内任一点，t∈R).
(5)＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
跟踪训练2 (1)设m，n是两个不共线的向量，若＝m＋5n，＝－2m＋8n，＝4m＋2n，则( )
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
(2)若a，b是两个不共线的向量，＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________.
状元随笔 (1)若一个向量可以由另一个非零向量线性表示，则可以判断两个向量共线；
(2)若两个向量共线，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示．
6．1.5 向量的线性运算
新知初探·自主学习
[基础自测]
1．解析：原式＝ [(a＋4b)－(4a－2b)]＝ (－3a＋6b)＝2b－a，选B.
答案：B
2．解析：(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝，(＋)＋＝＋＋＝，－＋＝＋＝，故B、C、D中的式子都能化简为，只有A项，＋－＝2＋，化简结果不是.
答案：A
3．解析：由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b共线的时候取等号，所以本题中，|＋|<||＋||.
答案：D
4．解析：原式＝＋＋＝.
答案：
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b．
②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c．
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝（）a＋（）b＝－a＋b＝－ (3i＋2j)＋ (2i－j)＝（）i＋（）j＝－i－5j．
跟踪训练1 解析：(1)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(2)原式＝＝ [(4－)a＋(－3＋＋)b]＝＝a－b．
跟踪训练2 解析：(1)因为＝＋＝2m＋10n＝2，且与有公共点B，故A，B，D三点共线．
(2)因为A，B，D三点共线，所以向量与向量共线，所以＝λ，由＝a＋b，＝2a－b，得＝＋＝3a，所以2a＋kb＝λ(3a)，所以k＝0.
答案：(1)A (2)0．
5(共19张PPT)
6.1.5 向量的线性运算
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
知识点一 数乘向量的运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)
λ(a－b)＝λa－λb
知识点二 向量的线性运算
向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算．
状元随笔 向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项．[－(2)]＋(6)可以简单地写成－2＋6.
基础自测
1.化简：＝( )
A．2a－bB．2b－a
C．b－a D．a－b
解析：原式＝ [(a＋4b)－(4a－2b)]＝ (－3a＋6b)＝2b－a，选B.
答案：B
2．下列式子不能化简为的是( )
A．＋－ B．(＋)＋(＋)
C．(＋)＋ D．－＋
解析：(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝，(＋)＋＝＋＋＝，－＋＝＋＝，故B、C、D中的式子都能化简为，只有A项，＋－＝2＋，化简结果不是.
答案：A
3．已知有向线段，不平行，则( )
A．|＋|>||
B．|＋|≥||
C．|＋|≥||＋||
D．|＋|<||＋||
解析：由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b共线的时候取等号，所以本题中，|＋|<||＋||.
答案：D
4．化简：－＋－＋＝________．
解析：原式＝＋＋＝.
答案：
课堂探究·素养提升
题型1 向量的线性运算[经典例题]
例1 (1)计算：
①4(a＋b)－3(a－b)－8a；②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c).
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求＋(2b－a).
【解析】 (1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b．
②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c．
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝（）a＋（）b＝－a＋b＝－ (3i＋2j)＋ (2i－j)＝（）i＋（）j＝－i－5j．
状元随笔 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)对于向量的线性运算，关键是把握运算顺序，即先根据运算律去括号，再进行数乘运算，最后进行向量的加减．
方法归纳
向量线性运算的基本方法
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
跟踪训练1 化简：
(1)－；
(2).
先由运算律去括号，再进行数乘运算
解析：(1)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(2)原式＝＝ [(4－)a＋(－3＋＋)b]＝＝a－b．
题型2 向量线性运算的应用[教材P149例3]
例2 如图所示，已知＝，＝，求证：＝.
【解析】 由已知得
＝－＝－＝ (－)＝.
教材反思
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)A，P，B三点共线 ＝(1－t)＋t (O为平面内任一点，t∈R).
(5)＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
跟踪训练2 (1)设m，n是两个不共线的向量，若＝m＋5n，＝－2m＋8n，＝4m＋2n，则( )
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
解析：(1)因为＝＋＝2m＋10n＝2，且与有公共点B，故A，B，D三点共线．
答案：A
(2)若a，b是两个不共线的向量，＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________.
解析：因为A，B，D三点共线，所以向量与向量共线，所以＝λ，由＝a＋b，＝2a－b，得＝＋＝3a，所以2a＋kb＝λ(3a)，所以k＝0.
答案：0．
状元随笔
(1)若一个向量可以由另一个非零向量线性表示，则可以判断两个向量共线；
(2)若两个向量共线，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示．数乘向量
最新课程标准
通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义．
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点一 向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫作向量的________，记作________，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向______；
当λ<0时，λa的方向与a的方向______．
(3)当λ＝0时，λa＝0.
状元随笔
理解数乘向量应注意的问题
(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．
(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如λ＋，λ－均没有意义．
知识点二 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使____________．
状元随笔 向量共线定理的理解注意点及主要应用
(1)定理中≠不能漏掉. 若＝＝，则实数λ可以是任意实数；若＝0，≠，则不存在
实数λ，使得＝λ.
(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s＝，则必有t＝s＝0.
基础自测
1.存在两个非零向量a，b，满足b＝－3a，则有( )
A．a与b方向相同B．a与b方向相反
C．|a|＝|3b|D．|a|＝|b|
2．设P，Q两点把线段AB三等分(P靠近A)，则下列向量表达式中错误的是( )
A．＝B．＝
C．＝－D．＝
3．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝( )
A．4e2B．4e1
C．3e1＋6e2D．8e2
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 用已知向量表示其它向量[经典例题]
例1 如图， ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，，和.
方法归纳
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
跟踪训练1 如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________．
结合图形：由已知得＝2，分别用1，2表示，．
题型2 向量共线条件的应用[教材P146 例2]
例2 已知＝－e，＝5e，判断A，B，C三点是否共线．如果共线，求出AB∶AC.
【解析】 由已知可得
＝－5，
因此A，B，C三点共线，且AC＝5AB，即
AB∶AC＝1∶5.
教材反思
向量共线定理的应用
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
跟踪训练2 (1)已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于( )
A.－9
B．－4
C．4
D．9
由，共线，得＝m，建立等式求λ．
(2)设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A.10
B．－10
C．2
D．－2
A、B、D三点共线，设＝λ，建立等式求k .
6．1.4 数乘向量
新知初探·自主学习
知识点一
向量 数乘 λa (2)相同 相反
知识点二
b＝λa
[基础自测]
1．解析：因为－3<0，所以a与－3a方向相反．且|－3a|＝3|a|，即|b|＝3|a|，故选B.
答案：B
2．解析：由向量数乘的定义可以得到A、B、C中的表达式都是正确的，只有D错误．
答案：D
3．解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.
答案：D
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 在 ABCD中，
＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b.
由平行四边形的两条对角线互相平分，得
＝－＝－ (a＋b)＝－a－b，
＝＝ (a－b)＝a－b，
＝＝a＋b，
＝－＝－a＋b.
跟踪训练1 解析：因为∥，||＝2||，所以＝2，＝.
(1)＝＋＝e2＋e1.
(2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
答案：(1)e2＋e1 (2)e1－e2
跟踪训练2 解析：(1)由a，b共线知a＝mb，m∈R，于是2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)，即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2.
由于e1，e2不共线，所以
所以λ＝－4.
(2)因为A，B，D三点共线，所以＝λ＝λ(－)，
所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，
所以λ＝1，k＝2.
答案：(1)B (2)C.
5(共17张PPT)
6.1.4 数乘向量
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
知识点一 向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫作向量的________，记作________，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向______；
当λ<0时，λa的方向与a的方向______．
(3)当λ＝0时，λa＝0.
向量
数乘
λa
相同
相反
状元随笔
理解数乘向量应注意的问题
(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．
(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如λ＋，λ－均没有意义．
知识点二 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使____________．
状元随笔 向量共线定理的理解注意点及主要应用
(1)定理中≠不能漏掉. 若＝＝，则实数λ可以是任意实数；若＝0，≠，则不存在
实数λ，使得＝λ.
(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s＝，则必有t＝s＝0.
b＝λa
基础自测
1.存在两个非零向量a，b，满足b＝－3a，则有( )
A．a与b方向相同 B．a与b方向相反
C．|a|＝|3b| D．|a|＝|b|
解析：因为－3<0，所以a与－3a方向相反．且|－3a|＝3|a|，即|b|＝3|a|，故选B.
答案：B
2．设P，Q两点把线段AB三等分(P靠近A)，则下列向量表达式中错误的是( )
A．＝ B．＝
C．＝－ D．＝
解析：由向量数乘的定义可以得到A、B、C中的表达式都是正确的，只有D错误．
答案：D
3．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝( )
A．4e2 B．4e1
C．3e1＋6e2 D．8e2
解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.
答案：D
课堂探究·素养提升
题型1 用已知向量表示其它向量[经典例题]
例1 如图， ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，，和.
【解析】 在 ABCD中，
＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b.
由平行四边形的两条对角线互相平分，得
＝－＝－ (a＋b)＝－a－b，
＝＝ (a－b)＝a－b，
＝＝a＋b，
＝－＝－a＋b.
方法归纳
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
跟踪训练1 如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________．
结合图形：由已知得＝2，分别用1，2表示，．
解析：因为∥，||＝2||，所以＝2，＝.
(1)＝＋＝e2＋e1.
(2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
e2＋e1
e1－e2
题型2 向量共线条件的应用[教材P146 例2]
例2 已知＝－e，＝5e，判断A，B，C三点是否共线．如果共线，求出AB∶AC.
【解析】 由已知可得＝－5，
因此A，B，C三点共线，且AC＝5AB，即
AB∶AC＝1∶5.
教材反思
向量共线定理的应用
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
跟踪训练2 (1)已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于( )
A.－9
B．－4
C．4
D．9
由，共线，得＝m，建立等式求λ．
解析：(1)由a，b共线知a＝mb，m∈R，于是2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)，即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2.
由于e1，e2不共线，所以
所以λ＝－4.
答案：B
(2)设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A.10
B．－10
C．2
D．－2
A、B、D三点共线，设＝λ，建立等式求k .
答案：C
解析：因为A，B，D三点共线，所以＝λ＝λ(－)，
所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，
所以λ＝1，k＝2.向量的减法
最新课程标准
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义．
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点一 相反向量
与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作________.
(1)零向量的相反向量仍是零向量，即－0＝0.
(2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝________.
(3)如果a，b是互为相反的向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
知识点二 向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的________．
(2)几何意义：已知a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为____________指向____________的向量．
状元随笔 1.准确理解向量减法的几何意义
(1)向量减法是向量加法的逆运算．
设＋＝，则＝－，
如图，设 ＝， ＝.
由向量加法的三角形法则可知
＝ ＋，
∴ ＝ － ＝－.
(2)对于两个共起点的向量，它们的差就是连接这两个向量的终点，方向指向被减的向量．
(3)以向量＝，＝为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝＋， ＝－， ＝－.
2．若，是不共线向量，|＋|与|－|的几何意义比较，如图所示，设＝，＝.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有＝＋，＝－.因为四边形OACB是平行四边形，所以|＋|＝||，|－|＝||分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长．
基础自测
1.非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
2．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．b－a C．a＋b D．－a－b
3.－＝________．
4．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为________.
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 已知向量作差向量[经典例题]
例1 如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
教材反思
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
跟踪训练1 如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
先作－，再作－－.
题型2 向量的减法运算[经典例题]
例2 化简(－)－(－).
【解析】 方法一(统一成加法) (－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.
方法二(利用－＝) (－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0.
方法三(利用＝－) 设O是平面内任意一点，则(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0.
方法归纳
1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和．
(2)起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
跟踪训练2 在四边形ABCD中，－－＝________．
结合图形利用减法运算法则求．
题型3 利用已知向量表示未知向量[教材P143例1]
例3 已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，用a，b分别表示向量，.
教材反思
利用已知向量表示其他向量的思路
解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法．
常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即＝＋以及＝－ (M，N均是同一平面内的任意点).
跟踪训练3 如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
状元随笔 利用三角形法则，用已知向量表示未知向量．
6．1.3 向量的减法
新知初探·自主学习
知识点一
－a (2)0
知识点二
(1)相反向量 (2)从向量b的终点 向量a的终点
[基础自测]
1．解析：零向量m与n是相反向量，则有m＝－n，|m|＝|n|.
答案：A
2．解析：＝－＝－－＝－a－b．
答案：D
3．解析：－＝.
答案：
4．解析：＝－＝＋－＝a－b＋c．
答案：a－b＋c
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 作法，如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d．则＝a－b，＝c－d．
跟踪训练1
解析：如图所示，以A为起点分别作向量和＝b．连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量＝(a－b)－c．则向量即为所求作的向量a－b－c.
跟踪训练2 解析：－－＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
答案：
例3
【解析】 如图所示，由向量求和的平行四边形法则可知
＝＋＝a＋b．
按照减法的定义可知
＝－＝a－b．
跟踪训练3 解析：由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则
(1)＝＋＋＝a＋d＋e．
(2)＝－＝－－＝－b－c．
(3)＝＋＋＝a＋b＋e．
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d．.
7(共21张PPT)
6.1.3 向量的减法
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
知识点一 相反向量
与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作________.
(1)零向量的相反向量仍是零向量，即－0＝0.
(2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝________.
(3)如果a，b是互为相反的向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
知识点二 向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的________．
(2)几何意义：已知a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为____________指向____________的向量．
－a
0
相反向量
从向量b的终点
向量a的终点
状元随笔 1.准确理解向量减法的几何意义
(1)向量减法是向量加法的逆运算．
设＋＝，则＝－，
如图，设＝，＝.
由向量加法的三角形法则可知
＝＋，
∴＝－＝－.
(2)对于两个共起点的向量，它们的差就是连接这两个向量的终点，方向指向被减的向量．
(3)以向量＝，＝为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝＋，＝－，＝－.
2．若，是不共线向量，|＋|与|－|的几何意义比较，如图所示，设＝，＝.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有＝＋，＝－.因为四边形OACB是平行四边形，所以|＋|＝||，|－|＝||分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长．
基础自测
1.非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
解析：零向量m与n是相反向量，则有m＝－n，|m|＝|n|.
答案：A
2．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．b－a C．a＋b D．－a－b
解析：＝－＝－－＝－a－b．
答案：D
3.－＝________．
解析：－＝.
答案：
4．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为________.
解析：＝－＝＋－＝a－b＋c．
答案：a－b＋c
课堂探究·素养提升
题型1 已知向量作差向量[经典例题]
例1 如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
【解析】 作法，如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d．则＝a－b，＝c－d．
教材反思
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
跟踪训练1 如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
先作－，再作－－.
解析：如图所示，以A为起点分别作向量和＝b．连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量＝(a－b)－c．则向量即为所求作的向量a－b－c.
题型2 向量的减法运算[经典例题]
例2 化简(－)－(－).
【解析】 方法一(统一成加法) (－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.
方法二(利用－＝) (－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0.
方法三(利用＝－) 设O是平面内任意一点，则(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0.
方法归纳
1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和．
(2)起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
跟踪训练2 在四边形ABCD中，－－＝________．
结合图形利用减法运算法则求．
解析：－－＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
答案：
题型3 利用已知向量表示未知向量[教材P143例1]
例3 已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，用a，b分别表示向量，.
【解析】 如图所示，由向量求和的平行四边形法则可知
＝＋＝a＋b．
按照减法的定义可知
＝－＝a－b．
教材反思
利用已知向量表示其他向量的思路
解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法．
常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即＝＋以及＝－ (M，N均是同一平面内的任意点).
跟踪训练3 如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
状元随笔 利用三角形法则，用已知向量表示未知向量．
解析：由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则
(1)＝＋＋＝a＋d＋e．
(2)＝－＝－－＝－b－c．
(3)＝＋＋＝a＋b＋e．
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d．.向量的加法
最新课程标准
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义．
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点一 向量加法的定义
求__________的运算，叫作向量的加法．
知识点二 向量加法的运算法则
1．三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量________叫作a与b的和(或和向量)，记作________，即a＋b＝＝________．
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
规定：零向量与任一向量a的和都有a＋0＝________＋________＝a.
2．平行四边形法则
如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的__________就是a与b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则．
知识点三 向量加法的运算律
1．交换律：a＋b＝________．
2．结合律：(a＋b)＋c＝________＋(________)．
状元随笔 1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则
(1)两个法则的使用条件不同：
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
如图所示：
＝＋(平行四边形法则)，
又∵ ＝，∴ ＝ ＋(三角形法则)．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
2．向量＋与非零向量的模及方向的联系
(1)当向量与不共线时，向量的方向与都不相同，且||<||＋||，几何意义是三角形两边之和大于第三边．
(2)当向量与同向时，向量与(或)方向相同，且||＝||＋||.
(3)当向量与反向时，且||≤||时，＋与方向相同(与方向相反)，且||＝||－||.
基础自测
1.在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于( )
A． B．
C． D．
2．(多选)在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝0
3．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a、b是方向相反的向量
C．a＝－b
D．a、b无论什么关系均可
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 已知向量作和向量[经典例题]
例1 如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
方法归纳
(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．
②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤
①平移两个不共线的向量使之共起点．
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．
跟踪训练1 如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c.
本题是求向量的和问题，方法是使用三角形法则或平行四边形法则．
题型2 向量的加法运算[教材P141例2]
例2 化简下列各式：
(1)；
(2).
【解析】 (1)＝()＋＝＝.
(2)＝＋()
＝＝()＋
＝＝＝0.
状元随笔 先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量的加法运算求解．
教材反思
向量运算中化简的两种方法
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．
(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．
跟踪训练2 化简：
(1)；
(2)()＋.
多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行. 如
()＋()＝()＋()；
＝[＋()]＋()．
6．1.2 向量的加法
新知初探·自主学习
知识点一
两个向量和
知识点二
1. a＋b 0 a
2．对角线
知识点三
1．b＋a
2．a b＋c
[基础自测]
1．解析：＋＝.
答案：D
2．解析：因为＝＋≠＋，C错误．
答案：ABD
3．解析：只有a∥b，且a与b方向相同时才有|a＋b|＝|a|＋|b|成立，故A项正确．
答案：A
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 方法一 可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c．如图①，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求．
① ②
方法二 三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，
(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b；
(2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b；
(3)再作向量＝c；
(4)作平行四边形CODE，则＝＋c＝a＋b＋c．即为所求．
跟踪训练1 解析：方法一 如图(1)，在平面内作＝a，＝b，则＝a＋b；再作＝c，则＝a＋b＋c．
方法二 如图(2)，在平面内作＝a，＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，则＝a＋b；
再作＝c，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则＝a＋b＋c．
跟踪训练2 解析：(1)＋＋＝＋＋＝＋＝0.
(2)方法一 (＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
方法二 (＋)＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0＝.
方法三 (＋)＋＋＝(＋＋)＋＝＋＝..
7(共24张PPT)
6.1.2 向量的加法
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
知识点一 向量加法的定义
求__________的运算，叫作向量的加法．
两个向量和
知识点二 向量加法的运算法则
1．三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量________叫作a与b的和(或和向量)，记作________，即a＋b＝＝________．
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
规定：零向量与任一向量a的和都有a＋0＝________＋________＝a.
a＋b
0
a
2．平行四边形法则
如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的__________就是a与b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则．
对角线
知识点三 向量加法的运算律
1．交换律：a＋b＝________．
2．结合律：(a＋b)＋c＝________＋(________)．
b＋a
a
b＋c
状元随笔 1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则
(1)两个法则的使用条件不同：
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
如图所示：
＝＋(平行四边形法则)，
又∵＝，∴＝＋(三角形法则)．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
2．向量＋与非零向量的模及方向的联系
(1)当向量与不共线时，向量的方向与都不相同，且||<||＋||，几何意义是三角形两边之和大于第三边．
(2)当向量与同向时，向量与(或)方向相同，且||＝||＋||.
(3)当向量与反向时，且||≤||时，＋与方向相同(与方向相反)，且||＝||－||.
基础自测
1.在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于( )
A． B．
C． D．
解析：＋＝.
答案：D
2．(多选)在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝0
解析：因为＝＋≠＋，C错误．
答案：ABD
3．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a、b是方向相反的向量
C．a＝－b
D．a、b无论什么关系均可
解析：只有a∥b，且a与b方向相同时才有|a＋b|＝|a|＋|b|成立，故A项正确．
答案：A
课堂探究·素养提升
题型1 已知向量作和向量[经典例题]
例1 如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
【解析】 方法一 可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c．如图①，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求．
方法二 三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，
(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b；
(2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b；
(3)再作向量＝c；
(4)作平行四边形CODE，则＝＋c＝a＋b＋c．即为所求．
方法归纳
(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．
②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤
①平移两个不共线的向量使之共起点．
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．
跟踪训练1 如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c.
本题是求向量的和问题，方法是使用三角形法则或平行四边形法则．
解析：方法一 如图(1)，在平面内作＝a，＝b，则＝a＋b；再作＝c，则＝a＋b＋c．
方法二 如图(2)，在平面内作＝a，＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，则＝a＋b；
再作＝c，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则＝a＋b＋c．
题型2 向量的加法运算[教材P141例2]
例2 化简下列各式：
(1)；
(2).
【解析】 (1)＝()＋＝＝.
(2)＝＋()
＝＝()＋
＝＝＝0.
状元随笔
先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量的加法运算求解．
教材反思
向量运算中化简的两种方法
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．
(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．
跟踪训练2 化简：
(1)；
(2)()＋.
解析：(1)＋＋＝＋＋＝＋＝0.
(2)方法一 (＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
方法二 (＋)＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0＝.
方法三 (＋)＋＋＝(＋＋)＋＝＋＝..
多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行. 如
()＋()＝()＋()；
＝[＋()]＋()．向量的概念
最新课程标准
1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．
2．理解平面向量的几何表示和基本要素．
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点一 向量的概念
既有________，又有________的量称为向量．
知识点二 向量的几何表示
1．向量的表示方法
2．向量的长度(模)
||(或|a|)表示向量(或a)的______，即长度(也称模).
3．与向量有关的概念
知识点三 向量的平行或共线
状元随笔 1.理解向量概念应关注三点
(1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素．
(3)向量与向量之间不能比较大小．
2．相等向量的理解
任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定．
3．共线向量与平行向量
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
基础自测
1.(多选)已知向量a如图所示，下列说法正确的是( )
A.也可以用表示 B．方向是由M指向N
C．起点是M D．终点是M
2.
如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )
A．和 B．和
C．和 D．和
3．如图，以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，则以A为始点，可以写出________个不同的向量．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 向量的概念、零向量、单位向量[经典例题]
例1 (1)下列各量中是向量的是( )
A．时间
B．加速度
C．面积
D．长度
(1)既有大小又有方向的量是向量．
(2)给出下列说法：
①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等，其中正确的是________(填上序号)．
(2)长度为0的向量是零向量．长度为1的向量是单位向量. 零向量的方向是任意的．
【解析】 (1)加速度是既有大小又有方向的量，是向量．而时间、面积、长度是只有大小的量，是数量．
【解析】(2)由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正确．
【答案】 (1)B (2)②③④
方法归纳
判断一个量是否为向量关键看它是否具备向量的两要素：(1)有大小．(2)有方向．两个条件缺一不可．
跟踪训练1 (1)下列说法中正确的是( )
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
结合向量的定义，由相等向量、共线向量的定义作出判断．
(2)下列说法正确的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．与非零向量a平行的单位向量只有2个
D．共线向量是在一条直线上的向量
题型2 向量的表示[经典例题]
例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
方法归纳
用有向线段表示向量的步骤
跟踪训练2 在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1)||＝3，点A在点O的正西方向；
(2)||＝3，点B在点O北偏西45°方向；
(3)求出||的值．
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形的知识确定出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量．
题型3 共线向量与相等向量[教材P135例2]
例3 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量相等的向量．
状元随笔 相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，相反向量方向相反，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与平行或共线且长度相等的所有线段，将它们表示成向量．
教材反思
相等向量与共线向量的判断
(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．
(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．
(3)非零向量共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c.
注意：对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．
跟踪训练3 如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与长度相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
(1)共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；
(2)在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；
(3)相等向量既要方向相同，又要大小相等．
6．1.1 向量的概念
新知初探·自主学习
知识点一
大小 方向
知识点二
1．方向 起点 终点 向量 ，，
2．大小
3．长度为0 1个 长度相等 方向相同
知识点三
相同或相反 非零 a∥b 任一向量
[基础自测]
1．解析：终点是N而不是M.
答案：ABC
2．解析：易知＝.
答案：B
3．解析：由图可知，以A为始点的向量有、、、、、、，共有7个．
答案：7
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解析：(1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D正确．
(2)与非零向量a平行的单位向量只有与a方向相同和方向相反且模长为1的两个向量．
答案：(1)D (2)C
例2 【解析】 (1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量，如图所示．
跟踪训练2 解析：取每个方格的单位长为1，
依题意，结合向量的表示可知，
(1)(2)的向量如图所示．
(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，
所以||＝ ＝3.
例3 【解析】 因为两个向量相等，只要方向相同大小相等即可，因此
＝＝＝，
＝＝＝，
＝＝＝.
跟踪训练3 解析：(1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，
∴与共线的向量为.
(2)∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，
∴EF＝BC，BD＝DC＝BC，∴EF＝BD＝DC.
∵AB，BC，AC均不相等，∴与长度相等的向量为.
(3)与相等的向量为..
10(共32张PPT)
6.1.1 向量的概念
最新课程标准
1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．
2．理解平面向量的几何表示和基本要素．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
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知识点一 向量的概念
既有________，又有________的量称为向量．
大小
方向
知识点二 向量的几何表示
1．向量的表示方法
方向
起点
终点
向量
，，
2．向量的长度(模)
||(或|a|)表示向量(或a)的______，即长度(也称模).
3．与向量有关的概念
大小
长度为0
1个
长度相等
方向相同
知识点三 向量的平行或共线
相同或相反
非零
a∥b
任一向量
状元随笔 1.理解向量概念应关注三点
(1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素．
(3)向量与向量之间不能比较大小．
2．相等向量的理解
任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定．
3．共线向量与平行向量
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
基础自测
1.(多选)已知向量a如图所示，下列说法正确的是( )
A.也可以用表示 B．方向是由M指向N
C．起点是MD．终点是M
解析：终点是N而不是M.
答案：ABC
2.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )
A．和 B．和
C．和 D．和
解析：易知＝.
答案：B
3．如图，以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，则以A为始点，可以写出________个不同的向量．
解析：由图可知，以A为始点的向量有、、、、、、，共有7个．
答案：7
课堂探究·素养提升
题型1 向量的概念、零向量、单位向量[经典例题]
例1 (1)下列各量中是向量的是( )
A．时间
B．加速度
C．面积
D．长度
既有大小又有方向的量是向量．
【解析】 (1)加速度是既有大小又有方向的量，是向量．而时间、面积、长度是只有大小的量，是数量．
【答案】 B
(2)给出下列说法：
①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等，其中正确的是________(填上序号)．
长度为0的向量是零向量．长度为1的向量是单位向量. 零向量的方向是任意的．
【解析】(2)由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正确．
【答案】 ②③④
方法归纳
判断一个量是否为向量关键看它是否具备向量的两要素：(1)有大小．(2)有方向．两个条件缺一不可．
跟踪训练1 (1)下列说法中正确的是( )
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
结合向量的定义，由相等向量、共线向量的定义作出判断．
解析：(1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D正确．
答案：D
(2)下列说法正确的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．与非零向量a平行的单位向量只有2个
D．共线向量是在一条直线上的向量
答案：C
解析：与非零向量a平行的单位向量只有与a方向相同和方向相反且模长为1的两个向量．
题型2 向量的表示[经典例题]
例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
【解析】 (1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量，如图所示．
方法归纳
用有向线段表示向量的步骤
跟踪训练2 在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1)||＝3，点A在点O的正西方向；
(2)||＝3，点B在点O北偏西45°方向；
(3)求出||的值．
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形的知识确定出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量．
解析：取每个方格的单位长为1，
依题意，结合向量的表示可知，
(1)(2)的向量如图所示．
(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，
所以||＝＝3.
题型3 共线向量与相等向量[教材P135例2]
例3 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量相等的向量．
【解析】 因为两个向量相等，只要方向相同大小相等即可，因此
＝＝＝，
＝＝＝，
＝＝＝.
状元随笔
相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，相反向量方向相反，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与平行或共线且长度相等的所有线段，将它们表示成向量．
教材反思
相等向量与共线向量的判断
(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．
(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．
(3)非零向量共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c.
注意：对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．
跟踪训练3 如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与长度相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
解析：(1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，
∴与共线的向量为.
(2)∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，
∴EF＝BC，BD＝DC＝BC，∴EF＝BD＝DC.
∵AB，BC，AC均不相等，∴与长度相等的向量为.
(3)与相等的向量为..
(1)共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；
(2)在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；
(3)相等向量既要方向相同，又要大小相等．
