2022年新教材高中数学第六章平面向量初步章末检测含解析新人教B版必修第二册（word版含答案）

平面向量初步
考试时间：120分钟　满分：150分
一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．如图，在⊙O中，向量，，是(　　)
A.有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
2．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则＋2等于(　　)
A．5　　　　B．(－1，5)
C．(6，1) D．(－4，9)
3．若A(x，－1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为(　　)
A．－3B．－1
C．1D．3
4．已知向量a，b满足a＋b＝(1，3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为(　　)
A．(4，0)，(－2，6) B．(－2，6)，(4，0)
C．(2，0)，(－1，3) D．(－1，3)，(2，0)
5．若a＝(5，x)，|a|＝13，则x＝(　　)
A．±5B．±10
C．±12D．±13
6．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　)
A.x＝，y＝
B．x＝，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝
7．设向量a＝，b＝，则a＋3b＝(　　)
A．(λ＋3，－λ) B．(－λ＋3，λ)
C．(1，0) D．(3，0)
8．若向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　　)
A．a＋bB．－a－b
C．a＋bD．a－b
二、多项选择题(本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列命题不正确的是(　　)
A．单位向量都相等
B．若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量
C．|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b
D．若a与b是单位向量，则|a|＝|b|
10．已知a＝(1，2)，b＝(3，4)，若a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k＝(　　)
A．B．
C．－D．－
11．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于M，设＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)
A．＝a＋bB．＝－a＋b
C．＝－a＋bD．＝－a＋b
12．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)
A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D．若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
三、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________.
14．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
15．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N，则每根绳子的拉力大小为________N．
16．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．设＝x，＝y，则＋＝________．
四、解答题(本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：
(1)－；
(2)＋；
(3)－.
18.(12分)已知点A(－1，2)，B(2，8)以及＝，＝－，求点C，D的坐标和的坐标．
19．(12分)已知A(1，1)，B(3，－1)，C(a，b).
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
20．(12分)长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h，同时江水的速度为向东6km/h.
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°).
21．(12分)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
22．(12分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，
(1)用，表示；
(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．
章末质量检测(六)　平面向量初步
1．解析：由图可知，，是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.
答案：C
2．解析：＝(2，3)，＝(－3，3)，∴＋2＝(2，3)＋2(－3，3)＝(－4，9).
答案：D
3．解析：∥，(1－x，4)∥(1，2)，2(1－x)＝4，x＝－1，故选B.
答案：B
4．解析：由题意知，解得
答案：C
5．解析：由题意得|a|＝＝13，
所以52＋x2＝132，解得x＝±12.
答案：C
6．解析：由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.
答案：A
7．解析：因为a＝
b＝
所以a＋3b＝＋3＝(3，0).
答案：D
8．解析：设c＝xa＋yb，则＝(2x－y，x＋2y)，所以，解得则c＝a＋b.
答案：A
9．解析：单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当b＝0时，a与c可以为任意向量；|a＋b|＝|a－b|，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直．故选AB.
答案：AB
10．解析：a2＝5，b2＝25，且a＋kb与a－kb垂直，∴(a＋kb)(a－kb)＝a2－k2b2＝5－25k2＝0，解得k＝±.故选BD.
答案：BD
11．解析：由题意可得，＝＋＝b＋a，故A正确；＝＋＝－a＋b＋a＝b－a，故B正确；＝＋＝－a＋＝－a＋b＋a×＝b－a，故C错误；＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a，故D正确．
答案：ABD
12．解析：由平面向量基本定理可知，A，D是正确的．对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，或当λ1e1＋μ1e2为非零向量，而λ2e1＋μ2e2为零向量(λ2＝μ2＝0)，此时λ不存在．故选B，C.
答案：BC
13．解析：若a，b能作为平面内的一组基底，则a与b不共线，则a≠kb(k∈R)，又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.
答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)
14．解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴∴
∴m－n＝2－5＝－3
答案：－3
15．解析：如图，由题意得，∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10N.
答案：10
16．解析：＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ
＝(1－λ)x＋λy，①
又∵G是△OAB的重心，∴＝＝×(＋)
＝＋.②
而，不共线．∴由①②，得
解得∴＋＝3.
答案：3
17．解析：(1)因为＝b，＝d，
所以－＝＝－＝d－b.
(2)因为＝a，＝b，＝c，＝f，
所以＋＝(－)＋(－)＝b＋f－a－c.
(3)－＝＋＝＝－＝c－e.
18．解析：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3，6)，
＝(－1－x2，2－y2)，＝(－3，－6).
因为＝，＝－，
所以有和
解得和
所以点C，D的坐标分别是(0，4)，(－2，0)，
从而＝(－2，－4).
19．解析：(1)由已知＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∵A，B，C三点共线，∴∥.
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵＝2，
∴(a－1，b－1)＝2(2，－2).
∴解得
∴点C的坐标为(5，－3).
20.
解析：(1)如图所示，表示船速，表示江水速度，以AD，AB为邻边作 ABCD，则表示船实际航行的速度．
(2)在Rt△ABC中，||＝6，||＝15，于是||＝＝＝≈16.2.
因为tan∠CAB＝＝，所以利用计算工具可得∠CAB≈68°.
因此，船实际航行速度的大小约为16.2km/h，方向与江水速度间的夹角约为68°.
21．解析：(1)由题意得(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)，
所以解得
(2)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.
22．解析：(1)因为2＋＝0，
所以2(－)＋(－)＝0，
2－2＋－＝0，
所以＝2－.
(2)证明：如图，
＝＋＝－＋＝(2－).
故＝.
故四边形OCAD为梯形．
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