随机事件的独立性
最新课程标准
结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义.结合古典概型,利用独立性计算概率.
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点 随机事件的独立性
对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立(mutually independent),简称为独立.
状元随笔 事件A与B是相互独立的,那么A与与B,与也是相互独立的.
对于A与,因为A=AB,而且AB与A互斥,所以
P(A)=P(AB)=P(AB)+P(A)
=P(A)P(B)+P(A),
所以P(A)=P(A)-P(A)P(B)
=P(A)(1-P(B))=P(A)P().
由事件的独立性定义,A与相互独立.
基础自测
1.设A与B是相互独立事件,则下列命题中正确的是( )
A.A与B是对立事件 B.A与B是互斥事件
C.A与是不相互独立 D.A与是相互独立事件
2.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一目标,则他们都中靶的概率是( )
A. B.
C. D.
3.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和,两人同时参加测试,其中有且只有一人能通过的概率是( )
A. B.
C. D.1
4.两个相互独立的事件A和B,若P(A)=,P(B)=,则P(AB)=________.
课堂探究·素养提升——强化创新性
相互独立事件的判断[经典例题]
例1 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张,设A=“抽到K”,B=“抽到红牌”,C=“抽到J”,那么下列每对事件是否相互独立?是否互斥?是否对立?为什么?
(1)A与B;(2)C与A.
依据互斥事件、对立事件、独立事件的定义来逐一判断.
【解析】 (1)由于事件A为“抽到K”,事件B为“抽到红牌”,故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K,即有可能抽到K,故事件A,B有可能同时发生,显然它们不是互斥事件,更加不是对立事件.
以下考虑它们是否为相互独立事件:
抽到K的概率为P(A)==
抽到红牌的概率为P(B)==,
故P(A)P(B)==,
事件AB为“既抽到K又抽到红牌”,即“抽到红桃K或方块K”,故P(AB)==,从而有P(A)P(B)=P(AB),因此A与B是相互独立事件.
(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张.抽到K就不可能抽到J,抽到J就不可能抽到K,故事件C与事件A不可能同时发生,A与C互斥.由于P(A)=≠0.P(C)=≠0,而P(AC)=0,所以A与C不是相互独立事件,又抽不到K不一定抽到J,故A与C并非对立事件.
方法归纳
对于事件A,B,在一次试验中,A,B如果不能同时发生,则称A,B互斥.一次试验中,如果A,B两个事件互斥且A,B中必然有一个发生,则称A,B对立,显然A为一个必然事件.A,B互斥则不能同时发生,但有可能同时不发生.两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
跟踪训练1 (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A:“甲击中目标”,事件B:“乙击中目标”,则事件A与事件B( )
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
甲、乙击中目标相互不影响,所以相互独立,甲击中目标、乙击中目标,可以同时发生,所以不互斥.
(2)掷一枚正方体骰子一次,设事件A:“出现偶数点”,事件B:“出现3点或6点”,则事件A,B的关系是( )
A.互斥但不相互独立
B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立
D.既不相互独立也不互斥
同理可判断A、B的关系.
题型2 相互独立事件同时发生的概率[经典例题]
例2 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:
(1)2人都射中目标的概率;
(2)2人中恰有1人射中目标的概率;
(3)2人至少有1人射中目标的概率;
(4)2人至多有1人射中目标的概率.
若A、B相互独立,则P(AB)=P(A)·P(B)
方法归纳
解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义,若A,B相互独立,则与B,A与与也是相互独立的,代入相互独立事件的概率公式求解.
跟踪训练2 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次),设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为,两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率.
先求出甲、乙两人超过三小时且不超过四小时的概率(1)再由租车费用相同求概率;(2)先根据租车费之和为4,得出可能的情况,再求概率.
题型3 独立性事件的应用[教材P115例2]
例3 已知甲运动员的投篮命中率为0.7,乙运动员的投篮命中率为0.8.
(1)若甲、乙各投篮一次,则都命中的概率为多少?
(2)若甲投篮两次,则恰好投中一次的概率为多少?
教材反思
求较复杂事件概率的一般步骤如下:
(1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示;
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立,或者是相互独立的),列出关系式;
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算;
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.
跟踪训练3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
两轮活动猜对3个成语,相当于事件“甲猜对1个,乙猜对2个”、事件“甲猜对2个,乙猜对1个”的和事件发生.
5.3.5 随机事件的独立性
新知初探·自主学习
[基础自测]
1.解析:∵A与B是相互独立事件,
∴P(AB)=P(A)P(B),
∴P(A)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)·[1-P(B)]=P(A)P(),
∴事件A与是相互独立事件.故选D.
答案:D
2.解析:设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事件B,根据题意知,P(A)==,P(B)=,且A与B相互独立,故他们都命中目标的概率为P(AB)=P(A)·P(B)==.
答案:A
3.解析:设事件A表示“甲通过听力测试”,事件B表示“乙通过听力测试”.
根据题意,知事件A和B相互独立,
且P(A)=,P(B)=.
记“有且只有一人通过听力测试”为事件C,
则C=AB,且A和B互斥,
故P(C)=P(AB)
=P(A)+P(B)
=P(A)P()+P()P(B)
==.
答案:C
4.解析:∵A、B是相互独立事件,P(A)=,P(B)=
∴P(AB)=P(A)·P(B)==.
答案:
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解析:(1)对同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.
(2)事件A={2,4,6},事件B={3,6},事件AB={6},基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}.
所以P(A)==,P(B)==,P(AB)==,即P(AB)=P(A)P(B),因此,事件A与B相互独立.当“出现6点”时,事件A,B同时发生,所以A,B不是互斥事件.
答案:(1)A (2)B
例2 【解析】 设“甲射击1次,击中目标”为事件A,“乙射击1次,击中目标”为事件B,则A与B,与B,A与与为相互独立事件.
(1)2人都射中目标的概率为P(AB)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72.
(2)“2人各射击1次,恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲射中、乙未射中(事件A发生),另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生).根据题意,事件A与B互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式.所求的概率为
P(A)+P(B)=P(A)·P()+P()·P(B)
=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9
=0.08+0.18=0.26.
(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况,其概率为P=P(AB)+[P(A)+P(B)]=0.72+0.26=0.98.
(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况.
故所求概率为P=P()+P(A)+P(B)
=P()·P()+P(A)·P()+P()·P(B)
=0.02+0.08+0.18=0.28.
跟踪训练2 解析:甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1-=.1-=.
(1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况,租车费都为0元的概率为p1==.租车费都为2元的概率为p2==,租车费都为4元的概率为p3==.
所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p=p1+p2+p3=.
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ,则“ξ=4”表示“两人的租车费用之和为4元”,其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元,②2元、2元,③4元、0元.所以可得P(ξ=4)==,即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为.
例3 【解析】 (1)记A:甲投中,B:乙投中,因为A与B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56,
即都命中的概率为0.56.
(2)记Ai:甲第i次投中,其中i=1,2,则
P(A1)=P(A2)=0.7.
恰好投中一次,可能是第一次投中且第二次没投中,也可能是第一次没投中且第二次投中,即A2,
注意到A1与A2相互独立,且与A2互斥,因此
A2)=A2)
=)P(A2)
=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)
=0.7×(1-0.7)+0.7×(1-0.7)
=0.42.
跟踪训练3 解析:设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,B1,B2分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立性假定,得P(A1)=2×=,P(A2)==.
P(B1)=2×=,P(B2)==.
设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则A=A1B2且A1B2与A2B1互斥,A1与B2,A2与B1分别相互独立,所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)==.
因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是..
8(共27张PPT)
5.3.5 随机事件的独立性
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
知识点 随机事件的独立性
对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立(mutually independent),简称为独立.
状元随笔 事件A与B是相互独立的,那么A与与B,与也是相互独立的.
对于A与,因为A=AB,而且AB与A互斥,所以
P(A)=P(AB)=P(AB)+P(A)
=P(A)P(B)+P(A),
所以P(A)=P(A)-P(A)P(B)
=P(A)(1-P(B))=P(A)P().
由事件的独立性定义,A与相互独立.
基础自测
1.设A与B是相互独立事件,则下列命题中正确的是( )
A.A与B是对立事件 B.A与B是互斥事件
C.A与是不相互独立D.A与是相互独立事件
解析:∵A与B是相互独立事件,
∴P(AB)=P(A)P(B),
∴P(A)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)·[1-P(B)]=P(A)P(),
∴事件A与是相互独立事件.故选D.
答案:D
2.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一目标,则他们都中靶的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事件B,根据题意知,P(A)==,P(B)=,且A与B相互独立,故他们都命中目标的概率为P(AB)=P(A)·P(B)==.
答案:A
3.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和,两人同时参加测试,其中有且只有一人能通过的概率是( )
A. B.
C. D.1
解析:设事件A表示“甲通过听力测试”,事件B表示“乙通过听力测试”.
根据题意,知事件A和B相互独立,
且P(A)=,P(B)=.
记“有且只有一人通过听力测试”为事件C,
则C=AB,且A和B互斥,
故P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)
==.
答案:C
4.两个相互独立的事件A和B,若P(A)=,P(B)=,则P(AB)=________.
解析:∵A、B是相互独立事件,P(A)=,P(B)=
∴P(AB)=P(A)·P(B)==.
答案:
课堂探究·素养提升
题型1 相互独立事件的判断[经典例题]
例1 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张,设A=“抽到K”,B=“抽到红牌”,C=“抽到J”,那么下列每对事件是否相互独立?是否互斥?是否对立?为什么?
(1)A与B;(2)C与A.
依据互斥事件、对立事件、独立事件的定义来逐一判断.
【解析】 (1)由于事件A为“抽到K”,事件B为“抽到红牌”,故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K,即有可能抽到K,故事件A,B有可能同时发生,显然它们不是互斥事件,更加不是对立事件.
以下考虑它们是否为相互独立事件:
抽到K的概率为P(A)==
抽到红牌的概率为P(B)==,
故P(A)P(B)==,
事件AB为“既抽到K又抽到红牌”,即“抽到红桃K或方块K”,故P(AB)==,从而有P(A)P(B)=P(AB),因此A与B是相互独立事件.
(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张.抽到K就不可能抽到J,抽到J就不可能抽到K,故事件C与事件A不可能同时发生,A与C互斥.由于P(A)=≠0.P(C)=≠0,而P(AC)=0,所以A与C不是相互独立事件,又抽不到K不一定抽到J,故A与C并非对立事件.
方法归纳
对于事件A,B,在一次试验中,A,B如果不能同时发生,则称A,B互斥.一次试验中,如果A,B两个事件互斥且A,B中必然有一个发生,则称A,B对立,显然A为一个必然事件.A,B互斥则不能同时发生,但有可能同时不发生.两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
跟踪训练1 (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A:“甲击中目标”,事件B:“乙击中目标”,则事件A与事件B( )
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
甲、乙击中目标相互不影响,所以相互独立,甲击中目标、乙击中目标,可以同时发生,所以不互斥.
解析:(1)对同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.
答案:A
(2)掷一枚正方体骰子一次,设事件A:“出现偶数点”,事件B:“出现3点或6点”,则事件A,B的关系是( )
A.互斥但不相互独立
B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立
D.既不相互独立也不互斥
同理可判断A、B的关系.
答案:B
解析:(2)事件A={2,4,6},事件B={3,6},事件AB={6},基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}.
所以P(A)==,P(B)==,P(AB)==,即P(AB)=P(A)P(B),因此,事件A与B相互独立.当“出现6点”时,事件A,B同时发生,所以A,B不是互斥事件.
题型2 相互独立事件同时发生的概率[经典例题]
例2 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:
(1)2人都射中目标的概率;
(2)2人中恰有1人射中目标的概率;
(3)2人至少有1人射中目标的概率;
(4)2人至多有1人射中目标的概率.
若A、B相互独立,则P(AB)=P(A)·P(B)
【解析】 设“甲射击1次,击中目标”为事件A,“乙射击1次,击中目标”为事件B,则A与B,与B,A与与为相互独立事件.
(1)2人都射中目标的概率为P(AB)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72.
(2)“2人各射击1次,恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲射中、乙未射中(事件A发生),另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生).根据题意,事件A与B互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式.所求的概率为
P(A)+P(B)=P(A)·P()+P()·P(B)
=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9
=0.08+0.18=0.26.
(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况,其概率为P=P(AB)+[P(A)+P(B)]=0.72+0.26=0.98.
(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况.
故所求概率为P=P()+P(A)+P(B)
=P()·P()+P(A)·P()+P()·P(B)
=0.02+0.08+0.18=0.28.
方法归纳
解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义,若A,B相互独立,则与B,A与与也是相互独立的,代入相互独立事件的概率公式求解.
跟踪训练2 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次),设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为,两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率.
先求出甲、乙两人超过三小时且不超过四小时的概率(1)再由租车费用相同求概率;(2)先根据租车费之和为4,得出可能的情况,再求概率.
解析:甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1-=.1-=.
(1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况,租车费都为0元的概率为p1==.租车费都为2元的概率为p2==,租车费都为4元的概率为p3==.
所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p=p1+p2+p3=.
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ,则“ξ=4”表示“两人的租车费用之和为4元”,其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元,②2元、2元,③4元、0元.所以可得P(ξ=4)==,即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为.
题型3 独立性事件的应用[教材P115例2]
例3 已知甲运动员的投篮命中率为0.7,乙运动员的投篮命中率为0.8.
(1)若甲、乙各投篮一次,则都命中的概率为多少?
(2)若甲投篮两次,则恰好投中一次的概率为多少?
【解析】 (1)记A:甲投中,B:乙投中,因为A与B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56,
即都命中的概率为0.56.
(2)记Ai:甲第i次投中,其中i=1,2,则
P(A1)=P(A2)=0.7.
恰好投中一次,可能是第一次投中且第二次没投中,也可能是第一次没投中且第二次投中,即A2,
注意到A1与A2相互独立,且与A2互斥,因此
A2)=A2)
=)P(A2)
=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)
=0.7×(1-0.7)+0.7×(1-0.7)
=0.42.
教材反思
求较复杂事件概率的一般步骤如下:
(1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示;
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立,或者是相互独立的),列出关系式;
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算;
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.
跟踪训练3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
两轮活动猜对3个成语,相当于事件“甲猜对1个,乙猜对2个”、事件“甲猜对2个,乙猜对1个”的和事件发生.
解析:设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,B1,B2分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立性假定,得P(A1)=2×=,P(A2)==.
P(B1)=2×=,P(B2)==.
设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则A=A1B2且A1B2与A2B1互斥,A1与B2,A2与B1分别相互独立,所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)==.
因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是..频率与概率
最新课程标准
结合实例,会用频率估计概率.
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点 频数与频率
一般地,如果在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,则当n很大时,可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为.不难看出,此时也有0≤P(A)≤1.
状元随笔
(1)正确理解频率与概率之间的关系
随机事件的频率,是指事件发生的次数与试验总次数的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动的幅度越来越小.我们给这个常数取一个名字,叫做这个随机事件的概率.概率可以看成频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率.
(2)概率与频率的区别与联系:
频率 概率
区别 频率反映了一个随机事件发生的频繁程度,是随机的 概率是一个确定的值,它反映随机事件发生的可能性的大小
联系 频率是概率的估计值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率
基础自测
1.已知样本10,8,10,8,6,13,11,10,12,7,9,8,12,9,11,12,9,10,11,10,那么频率为0.2的范围是( )
A.5.5~7.5 B.7.5~9.5
C.9.5~11.5 D.11.5~13.5
2.将一个容量为n的样本分成若干组,已知某组的频数和频率分别是30和0.25,则n为( )
A.120 B.160
C.60 D.90
3.某人将一枚硬币连掷10次,正面朝上的情况出现了8次,若用A表示“正面朝上”这一事件,则A的( )
A.概率为
B.频率为
C.频率为8
D.概率接近于8
4.已知随机事件A发生的频率是0.02,事件A出现了10次,那么共进行了________次试验.
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 用频率估计概率[教材P111例4]
例1 为了了解某次数学考试全校学生的得分情况,
数学老师随机选取了若干名学生的成绩,并以[50,60),[60,70),…,[90,100]为分组,作出了如图所示的频率分布直方图.从该学校中随机选取一名学生,估计这名学生该次数学考试成绩在[90,100]内的概率.
【解析】 由频率分布直方图可以看出,所抽取的学生成绩中,在[90,100]内的概率为0.01×(100-90)=0.1.
因为由样本的分布可以估计总体的分布,所以全校学生的数学得分在[90,100]内的频率可以估计为0.1.
根据用频率估计概率的方法可知,随机选取一名学生,这名学生该次数学考试成绩在[90,100]内的概率可以估计为0.1.
教材反思
随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定,但是在大量重复试验的情况下,它的发生呈现出一定的规律性,可以用事件发生的频率去“测量”,因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率.
跟踪训练1 李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布:
成绩 人数
90分以上 43
80分~89分 182
70分~79分 260
60分~69分 90
50分~59分 62
50分以下 8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位).
(1)90分以上;(2)60分~69分;(3)60分以上.
先由表中的数据算出频率,再估计出概率.
题型2 频率分布直方图的应用[经典例题]
例2 (1)在某次赛车中,50名参赛选手的成绩(单位:min)全部介于13到18之间(包括13和18),将比赛成绩分为五组:第一组[13,14),第二组[14,15),…,第五组[17,18].其频率分布直方图如图所示,若成绩在[13,15)内的选手可获奖,则这50名选手中获奖的人数为( )
A.39 B.35
C.15 D.11
(2)某家电公司销售部门共有200名销售员,每年部门对每名销售员都有1 400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年的销售额都在区间[2,22](单位:百万元)内,现将其分成5组,第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6),[6,10),[10,14),[14,18),[18,22],并绘制出如下的频率分布直方图.
①求a的值,并计算完成年度任务的人数;
②用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本,求这5组分别应抽取的人数;
③现从②中完成年度任务的销售员中随机选取2名,奖励海南三亚三日游,求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率.
状元随笔 (1)弄清频率分布直方图中横、纵轴的意义,可知x应为前4组数据的频率和,y表示15~16和16~17两组频数的和.
(2)各小长方形面积之比即为频率比,可求第二小组频率;由频率=可求样本容量;频率即为达标率.
方法归纳
频率分布直方图的意义
(1)频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各组内频率大小.
(2)在频率分布直方图中,各小矩形的面积之和等于1.
(3)频数/相应的频率=样本容量.
跟踪训练 2 某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106].已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )
A.90 B.75
C.60 D.45
5.3.4 频率与概率
新知初探·自主学习
[基础自测]
1.解析:共20个数据,频率为0.2,在此范围内的数据有4个,只有在11.5~13.5范围内有4个数据:13,12,12,12,故选D.
答案:D
2.解析:由题意知,=0.25,所以n=30×4=120.
答案:A
3.解析:做n次随机试验,事件A发生了m次,则事件A发生的频率为.如果多次进行试验,事件A发生的频率总在某个常数附近摆动,那么这个常数才是事件A的概率.故=为事件A的频率.
答案:B
4.解析:设共进行了n次试验,
则=0.02,解得n=500.
答案:500
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解析:总人数为43+182+260+90+62+8=645,根据公式可计算出选修李老师的高等数学课的人的考试成绩在各个段上的频率依次为:≈0.067,≈0.282,≈0.403,≈0.140,≈0.096,≈0.012.
用已有的信息,可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下:
(1)将“90分以上”记为事件A,则P(A)≈0.067;
(2)将“60分~69分”记为事件B,则P(B)≈0.140;
(3)将“60分以上”记为事件C,则P(C)≈0.067+0.282+0.403+0.140=0.892.
例2 【解析】 (1)由频率分布直方图知成绩在[15,18]内的频率为(0.38+0.32+0.08)×1=0.78,所以成绩在[13,15)内的频率为1-0.78=0.22,则成绩在[13,15)内的选手有50×0.22=11(人),即这50名选手中获奖的人数为11,故选D.
【解析】(2)①∵(0.02+0.08+0.09+2a)×4=1,∴a=0.03,
∴完成年度任务的人数为2×0.03×4×200=48.
②第1组应抽取的人数为0.02×4×25=2,
第2组应抽取的人数为0.08×4×25=8,
第3组应抽取的人数为0.09×4×25=9,
第4组应抽取的人数为0.03×4×25=3,
第5组应抽取的人数为0.03×4×25=3,
③在②中完成年度任务的销售员中,第4组有3人,记这3人分别为A1,A2,A3;第5组有3人,记这3人分别为B1,B2,B3.
从这6人中随机选取2名,所有的基本事件为A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1B3,A2A3,A2B1,A2B2,A2B3,A3B1,A3B2,A3B3,B1B2,B1B3,B2B3,共有15个基本事件,
获得此奖励的2名销售员在同一组所包含的基本事件有6个,
故所求概率P==.
【答案】 (1)D (2)略
跟踪训练2 解析:产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)×2=0.300,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n,则=0.300,所以n=120,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90.
答案:A.
7(共22张PPT)
5.3.4 频率与概率
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
知识点 频数与频率
一般地,如果在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,则当n很大时,可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为.不难看出,此时也有0≤P(A)≤1.
状元随笔
(1)正确理解频率与概率之间的关系
随机事件的频率,是指事件发生的次数与试验总次数的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动的幅度越来越小.我们给这个常数取一个名字,叫做这个随机事件的概率.概率可以看成频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率.
(2)概率与频率的区别与联系:
频率 概率
区别 频率反映了一个随机事件发生的频繁程度,是随机的 概率是一个确定的值,它反映随机事件发生的可能性的大小
联系 频率是概率的估计值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率
基础自测
1.已知样本10,8,10,8,6,13,11,10,12,7,9,8,12,9,11,12,9,10,11,10,那么频率为0.2的范围是( )
A.5.5~7.5 B.7.5~9.5
C.9.5~11.5 D.11.5~13.5
解析:共20个数据,频率为0.2,在此范围内的数据有4个,只有在11.5~13.5范围内有4个数据:13,12,12,12,故选D.
答案:D
2.将一个容量为n的样本分成若干组,已知某组的频数和频率分别是30和0.25,则n为( )
A.120 B.160
C.60 D.90
解析:由题意知,=0.25,所以n=30×4=120.
答案:A
3.某人将一枚硬币连掷10次,正面朝上的情况出现了8次,若用A表示“正面朝上”这一事件,则A的( )
A.概率为
B.频率为
C.频率为8
D.概率接近于8
解析:做n次随机试验,事件A发生了m次,则事件A发生的频率为.如果多次进行试验,事件A发生的频率总在某个常数附近摆动,那么这个常数才是事件A的概率.故=为事件A的频率.
答案:B
4.已知随机事件A发生的频率是0.02,事件A出现了10次,那么共进行了________次试验.
解析:设共进行了n次试验,
则=0.02,解得n=500.
答案:500
课堂探究·素养提升
题型1 用频率估计概率[教材P111例4]
例1 为了了解某次数学考试全校学生的得分情况,数学老师随机选取了若干名学生的成绩,并以[50,60),[60,70),…,[90,100]为分组,作出了如图所示的频率分布直方图.从该学校中随机选取一名学生,估计这名学生该次数学考试成绩在[90,100]内的概率.
【解析】 由频率分布直方图可以看出,所抽取的学生成绩中,在[90,100]内的概率为0.01×(100-90)=0.1.
因为由样本的分布可以估计总体的分布,所以全校学生的数学得分在[90,100]内的频率可以估计为0.1.
根据用频率估计概率的方法可知,随机选取一名学生,这名学生该次数学考试成绩在[90,100]内的概率可以估计为0.1.
教材反思
随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定,但是在大量重复试验的情况下,它的发生呈现出一定的规律性,可以用事件发生的频率去“测量”,因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率.
跟踪训练1 李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布:
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位).
(1)90分以上;(2)60分~69分;(3)60分以上.
成绩 人数
90分以上 43
80分~89分 182
70分~79分 260
60分~69分 90
50分~59分 62
50分以下 8
先由表中的数据算出频率,再估计出概率.
解析:总人数为43+182+260+90+62+8=645,根据公式可计算出选修李老师的高等数学课的人的考试成绩在各个段上的频率依次为:≈0.067,≈0.282,≈0.403,≈0.140,≈0.096,≈0.012.
用已有的信息,可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下:
(1)将“90分以上”记为事件A,则P(A)≈0.067;
(2)将“60分~69分”记为事件B,则P(B)≈0.140;
(3)将“60分以上”记为事件C,则P(C)≈0.067+0.282+0.403+0.140=0.892.
题型2 频率分布直方图的应用[经典例题]
例2 (1)在某次赛车中,50名参赛选手的成绩(单位:min)全部介于13到18之间(包括13和18),将比赛成绩分为五组:第一组[13,14),第二组[14,15),…,第五组[17,18].其频率分布直方图如图所示,若成绩在[13,15)内的选手可获奖,则这50名选手中获奖的人数为( )
A.39 B.35
C.15 D.11
【解析】 (1)由频率分布直方图知成绩在[15,18]内的频率为(0.38+0.32+0.08)×1=0.78,所以成绩在[13,15)内的频率为1-0.78=0.22,则成绩在[13,15)内的选手有50×0.22=11(人),即这50名选手中获奖的人数为11,故选D.
【答案】 (1)D
(2)某家电公司销售部门共有200名销售员,每年部门对每名销售员都有1 400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年的销售额都在区间[2,22](单位:百万元)内,现将其分成5组,第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6),[6,10),[10,14),[14,18),[18,22],并绘制出如下的频率分布直方图.
①求a的值,并计算完成年度任务的人数;
②用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取
容量为25的样本,求这5组分别应抽取的人数;
③现从②中完成年度任务的销售员中随机选取
2名,奖励海南三亚三日游,求获得此奖励的2
名销售员在同一组的概率.
【解析】(2)①∵(0.02+0.08+0.09+2a)×4=1,∴a=0.03,
∴完成年度任务的人数为2×0.03×4×200=48.
②第1组应抽取的人数为0.02×4×25=2,
第2组应抽取的人数为0.08×4×25=8,
第3组应抽取的人数为0.09×4×25=9,
第4组应抽取的人数为0.03×4×25=3,
第5组应抽取的人数为0.03×4×25=3,
③在②中完成年度任务的销售员中,第4组有3人,记这3人分别为A1,A2,A3;第5组有3人,记这3人分别为B1,B2,B3.
从这6人中随机选取2名,所有的基本事件为A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1B3,A2A3,A2B1,A2B2,A2B3,A3B1,A3B2,A3B3,B1B2,B1B3,B2B3,共有15个基本事件,
获得此奖励的2名销售员在同一组所包含的基本事件有6个,
故所求概率P==.
状元随笔 (1)弄清频率分布直方图中横、纵轴的意义,可知x应为前4组数据的频率和,y表示15~16和16~17两组频数的和.
(2)各小长方形面积之比即为频率比,可求第二小组频率;由频率=可求样本容量;频率即为达标率.
方法归纳
频率分布直方图的意义
(1)频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各组内频率大小.
(2)在频率分布直方图中,各小矩形的面积之和等于1.
(3)频数/相应的频率=样本容量.
跟踪训练 2 某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106].已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )
A.90 B.75
C.60 D.45
解析:产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)×2=0.300,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n,则=0.300,所以n=120,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90.
答案:A.古典概型
1.结合具体实例,理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率. 2.通过实例,理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点一 古典概型
一般地,如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性),而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性),则称这样的随机试验为古典概率模型,简称为古典概型.
知识点二 概率的性质
假设古典概型对应的样本空间含n个样本点,事件A包含m个样本点,则:
(1)由0≤m≤n与P(A)=可知0≤P(A)≤1;
(2)因为中包含的样本点个数为n-m,所以
P()==1-=1-P(A),即P(A)+P()=1;
(3)若事件B包含有k个样本点,而且A与B互斥,则容易知道A+B包含m+k个样本点,从而
P(A+B)===P(A)+P(B).
状元随笔 1.由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验,而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.
2.在古典概型中,每个基本事件发生的可能性都相等,称这些基本事件为等可能基本事件.
基础自测
1.下列问题中是古典概型的是( )
A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率
B.掷一个质地不均匀的骰子,求出现1点的概率
C.在区间[1,4]上任取一个数,求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两个质地均匀的骰子,求向上的点数之和是5的概率
2.若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本,则随机抽出一本是物理书的概率为( )
A. B.
C. D.
3.若A,B为互斥事件,则( )
A.P(A)+P(B)<1
B.P(A)+P(B)>1
C.P(A)+P(B)=1
D.P(A)+P(B)≤1
4.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 样本空间[经典例题]
例1 连续掷3枚硬币,观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上.
(1)写出这个试验的所有样本点;
(2)求这个试验的样本点的总数;
(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点?
1.将样本点一一列举即可.
2.然后找出符合题意的样本点.
【解析】 (1)这个试验包含的样本点有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反);
(2)这个试验包含的样本点的总数是8;
(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个样本点:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).
方法归纳
要写出所有的样本点通常有列举法、列表法、树形图法.但不论采用哪种方法,都要按一定的顺序进行,做到不重不漏.
跟踪训练1 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点数为( )
A.2 B.3
C.4 D.6
由奇+偶法将样本点一一列举.
题型2 对古典概型的判断[经典例题]
例2 (1)向一个圆面内随机地投一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么?
(2)如图所示,射击运动员向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环,命中9环,…,命中1环和命中0环(即不命中).你认为这是古典概型吗?为什么?
判断是否为古典概型,关键试验是否具有有限性和等可能性.
方法归纳
判断一个试验是古典概型的依据
判断随机试验是否为古典概型,关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性,二者缺一不可.
跟踪训练2 下列试验是古典概型的为________.
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小
②同时掷两颗骰子,点数和为6的概率
③近三天中有一天降雨的概率
④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率
依据古典概型的定义判断.
题型3 简单古典概型概率的计算[教材P106例5]
例3 先后掷两个均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记A:点数之和为7,B:至少出现一个3点,求P(A),P(),P(B),P(AB).
教材反思
在求解概率问题时,常常遇到这样的情况,即从一堆小球中抽取几个小球,根据小球的颜色求解概率.解决此类问题时,首先要分清抽取的方式,即“有放回”与“无放回”.
“有放回”是指抽取物体时,每一次抽取之后,都将被抽取的物体放回原处,这样前后两次抽取时,被抽取的物体的总数是一样的.
“无放回”是指抽取物体时,在每一次抽取后,被抽取的物体放到一边,并不放回到原处,这样,前后两次抽取时,后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少1.
这两种情况下基本事件总数是不同的.
跟踪训练3 为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. B.
C. D.
题型4 概率基本性质的应用[经典例题]
例4 为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率为多少?
状元随笔 “中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况.如果设A=“中奖”,A1=“第一罐中奖”,A2=“第二罐中奖”,那么就可以通过事件的运算构建相应事件,并利用概率的性质解决问题.
方法归纳
1.对于一个较复杂的事件,一般将其分解为几个简单的事件.当这些事件彼此互斥时,即可用概率加法公式.
2.运用事件的概率加法公式解题的步骤:(1)确定题中哪些事件彼此互斥;(2)将待求事件拆分为几个互斥事件之和;(3)先求各互斥事件分别发生的概率,再求和.
跟踪训练4 在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示:
等候人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.05 0.14 0.35 0.30 0.10 0.06
求:(1)等候人数不超过2的概率;
(2)等候人数大于等于3的概率.
等候人数不超过2包括等候人数为0或1或2三种情况;等候人数大于等于3包括等候人数为3,4和大于等于5三种情况.
5.3.3 古典概型
新知初探·自主学习
[基础自测]
1.解析:A,B两项中的样本点的发生不是等可能的;C项中样本点的总数是无限的;D项中每个样本点的发生是等可能的,且样本点总数有限.故选D.
答案:D
2.解析:样本点总数为10,“抽出一本是物理书”包含3个样本点,所以其概率为,故选B.
答案:B
3.解析:因为A,B为互斥事件,所以A是随机事件或必然事件,则P(A=P(A)+P(B)≤1,当A,B为对立事件时,P(A)+P(B)=1.
答案:D
4.解析:由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以由互斥事件概率的加法公式得,中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为=.
答案:
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解析:用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共4种可能.故选C.
答案:C
例2 【解析】 (1)试验的所有可能结果是圆面内的所有点.试验的所有可能结果数是无限的.因此,尽管每一个试验结果出现的可能性相同,这个试验也不是古典概型.
(2)试验的所有可能结果只有11个,但是命中10环,命中9环,…,命中1环和命中0环(即不命中)的出现不是等可能的,这个试验也不是古典概型.
跟踪训练2 解析:①②④是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点.③不是古典概型,因为不符合等可能性,降雨受多方面因素影响.
答案:①②④
例3 【解析】 用数对(x,y)来表示抛掷结果,则样本空间可记为
Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6},
而且样本空间可用图直观表示.
样本空间中,共包含36个样本点.
不难看出,A={(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)},
A包含6个样本点(即图中虚线框中的点),
因此P(A)==.
由对立事件概率之间的关系可知
P()=1-P(A)=1-=.
类似地,可以看出,图中实线框中的点可以代表事件B,因此B包含11个样本点,从而P(B)=.
而且,不难知道,AB={(4,3),(3,4)},
因此P(AB)==.
跟踪训练3 解析:从4种颜色的花中任选两种种在一个花坛中,余下2种种在另一个花坛中,有6种种法,其中红色和紫色不在一个花坛的种数有4种,故概率为,选C.
答案:C
例4 【解析】 设事件A=“中奖”,事件A1=“第一罐中奖”,事件A2=“第二罐中奖”,那么事件A1A2=“两罐都中奖”,A1=“第一罐中奖,第二罐不中奖”,A2=“第一罐不中奖,第二罐中奖”,且A=A1A2A2.
因为A1A2,A1A2两两互斥,所以根据互斥事件的概率加法公式,可得P(A)=P(A1A2)+P(A1)+P(A2).
我们借助树状图(下图)来求相应事件的样本点数.
可以得到,样本空间包含的样本点个数为n(Ω)=6×5=30,且每个样本点都是等可能的.因为n(A1A2)=2,n(A1)=8,n(A2)=8,所以P(A)===.
上述解法需要分若干种情况计算概率.注意到事件A的对立事件是“不中奖”,即“两罐都不中奖”,由于=“两罐都不中奖”,而n()=4×3=12,所以P()==.
因此P(A)=1-P()=1-=.
跟踪训练4 解析:设A,B,C,D,E,F分别表示等候人数为0,1,2,3,4,大于等于5的事件,则易知A,B,C,D,E,F彼此互斥.
(1)设M表示事件“等候人数不超过2”,则M=A故P(M)=P(A)+P(B)+P(C)=0.05+0.14+0.35=0.54,即等候人数不超过2的概率为0.54.
(2)设N表示事件“等候人数大于等于3”,则N=D故P(N)=P(D)+P(E)+P(F)=0.30+0.10+0.06=0.46,即等候人数大于等于3的概率为0.46..
8(共30张PPT)
5.3.3 古典概型
最新课程标准
1.结合具体实例,理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率.
2.通过实例,理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
知识点一 古典概型
一般地,如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性),而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性),则称这样的随机试验为古典概率模型,简称为古典概型.
知识点二 概率的性质
假设古典概型对应的样本空间含n个样本点,事件A包含m个样本点,则:
(1)由0≤m≤n与P(A)=可知0≤P(A)≤1;
(2)因为中包含的样本点个数为n-m,所以
P()==1-=1-P(A),即P(A)+P()=1;
(3)若事件B包含有k个样本点,而且A与B互斥,则容易知道A+B包含m+k个样本点,从而
P(A+B)===P(A)+P(B).
状元随笔 1.由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验,而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.
2.在古典概型中,每个基本事件发生的可能性都相等,称这些基本事件为等可能基本事件.
基础自测
1.下列问题中是古典概型的是( )
A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率
B.掷一个质地不均匀的骰子,求出现1点的概率
C.在区间[1,4]上任取一个数,求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两个质地均匀的骰子,求向上的点数之和是5的概率
解析:A,B两项中的样本点的发生不是等可能的;C项中样本点的总数是无限的;D项中每个样本点的发生是等可能的,且样本点总数有限.故选D.
答案:D
2.若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本,则随机抽出一本是物理书的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:样本点总数为10,“抽出一本是物理书”包含3个样本点,所以其概率为,故选B.
答案:B
3.若A,B为互斥事件,则( )
A.P(A)+P(B)<1
B.P(A)+P(B)>1
C.P(A)+P(B)=1
D.P(A)+P(B)≤1
解析:因为A,B为互斥事件,所以A是随机事件或必然事件,则P(A=P(A)+P(B)≤1,当A,B为对立事件时,P(A)+P(B)=1.
答案:D
4.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.
解析:由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以由互斥事件概率的加法公式得,中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为=.
答案:
课堂探究·素养提升
题型1 样本空间[经典例题]
例1 连续掷3枚硬币,观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上.
(1)写出这个试验的所有样本点;
(2)求这个试验的样本点的总数;
(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点?
1.将样本点一一列举即可.
2.然后找出符合题意的样本点.
【解析】 (1)这个试验包含的样本点有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反);
(2)这个试验包含的样本点的总数是8;
(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个样本点:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).
方法归纳
要写出所有的样本点通常有列举法、列表法、树形图法.但不论采用哪种方法,都要按一定的顺序进行,做到不重不漏.
跟踪训练1 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点数为( )
A.2 B.3
C.4 D.6
由奇+偶法将样本点一一列举.
解析:用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共4种可能.故选C.
答案:C
题型2 对古典概型的判断[经典例题]
例2 (1)向一个圆面内随机地投一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么?
(2)如图所示,射击运动员向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环,命中9环,…,命中1环和命中0环(即不命中).你认为这是古典概型吗?为什么?
判断是否为古典概型,关键试验是否具有有限性和等可能性.
【解析】 (1)试验的所有可能结果是圆面内的所有点.试验的所有可能结果数是无限的.因此,尽管每一个试验结果出现的可能性相同,这个试验也不是古典概型.
(2)试验的所有可能结果只有11个,但是命中10环,命中9环,…,命中1环和命中0环(即不命中)的出现不是等可能的,这个试验也不是古典概型.
方法归纳
判断一个试验是古典概型的依据
判断随机试验是否为古典概型,关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性,二者缺一不可.
跟踪训练2 下列试验是古典概型的为________.
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小
②同时掷两颗骰子,点数和为6的概率
③近三天中有一天降雨的概率
④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率
依据古典概型的定义判断.
解析:①②④是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点.③不是古典概型,因为不符合等可能性,降雨受多方面因素影响.
答案:①②④
题型3 简单古典概型概率的计算[教材P106例5]
例3 先后掷两个均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记A:点数之和为7,B:至少出现一个3点,求P(A),P(),P(B),P(AB).
【解析】 用数对(x,y)来表示抛掷结果,则样本空间可记为
Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6},
而且样本空间可用图直观表示.
样本空间中,共包含36个样本点.
不难看出,A={(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)},
A包含6个样本点(即图中虚线框中的点),
因此P(A)==.
由对立事件概率之间的关系可知
P()=1-P(A)=1-=.
类似地,可以看出,图中实线框中的点可以代表事件B,因此B包含11个样本点,从而P(B)=.
而且,不难知道,AB={(4,3),(3,4)},
因此P(AB)==.
教材反思
在求解概率问题时,常常遇到这样的情况,即从一堆小球中抽取几个小球,根据小球的颜色求解概率.解决此类问题时,首先要分清抽取的方式,即“有放回”与“无放回”.
“有放回”是指抽取物体时,每一次抽取之后,都将被抽取的物体放回原处,这样前后两次抽取时,被抽取的物体的总数是一样的.
“无放回”是指抽取物体时,在每一次抽取后,被抽取的物体放到一边,并不放回到原处,这样,前后两次抽取时,后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少1.
这两种情况下基本事件总数是不同的.
跟踪训练3 为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:从4种颜色的花中任选两种种在一个花坛中,余下2种种在另一个花坛中,有6种种法,其中红色和紫色不在一个花坛的种数有4种,故概率为,选C.
答案:C
题型4 概率基本性质的应用[经典例题]
例4 为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率为多少?
【解析】 设事件A=“中奖”,事件A1=“第一罐中奖”,事件A2=“第二罐中奖”,那么事件A1A2=“两罐都中奖”,A1=“第一罐中奖,第二罐不中奖”,A2=“第一罐不中奖,第二罐中奖”,且A=A1A2A2.
因为A1A2,A1A2两两互斥,所以根据互斥事件的概率加法公式,可得P(A)=P(A1A2)+P(A1)+P(A2).
我们借助树状图(下图)来求相应事件的样本点数.
可以得到,样本空间包含的样本点个数为n(Ω)=6×5=30,且每个样本点都是等可能的.因为n(A1A2)=2,n(A1)=8,n(A2)=8,所以P(A)===.
上述解法需要分若干种情况计算概率.注意到事件A的对立事件是“不中奖”,即“两罐都不中奖”,由于=“两罐都不中奖”,而n()=4×3=12,所以P()==.
因此P(A)=1-P()=1-=.
状元随笔 “中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况.如果设A=“中奖”,A1=“第一罐中奖”,A2=“第二罐中奖”,那么就可以通过事件的运算构建相应事件,并利用概率的性质解决问题.
方法归纳
1.对于一个较复杂的事件,一般将其分解为几个简单的事件.当这些事件彼此互斥时,即可用概率加法公式.
2.运用事件的概率加法公式解题的步骤:(1)确定题中哪些事件彼此互斥;(2)将待求事件拆分为几个互斥事件之和;(3)先求各互斥事件分别发生的概率,再求和.
跟踪训练4 在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示:
等候人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.05 0.14 0.35 0.30 0.10 0.06
求:(1)等候人数不超过2的概率;
(2)等候人数大于等于3的概率.
等候人数不超过2包括等候人数为0或1或2三种情况;等候人数大于等于3包括等候人数为3,4和大于等于5三种情况.
解析:设A,B,C,D,E,F分别表示等候人数为0,1,2,3,4,大于等于5的事件,则易知A,B,C,D,E,F彼此互斥.
(1)设M表示事件“等候人数不超过2”,则M=A故P(M)=P(A)+P(B)+P(C)=0.05+0.14+0.35=0.54,即等候人数不超过2的概率为0.54.
(2)设N表示事件“等候人数大于等于3”,则N=D故P(N)=P(D)+P(E)+P(F)=0.30+0.10+0.06=0.46,即等候人数大于等于3的概率为0.46..
事件之间的关系与运算
最新课程标准
了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点 事件的关系与运算
定义 表示法 图示
事件的关系 包含关系 一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B________,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) ______(或______)
相等关系 特别地,如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,则称事件A与事件B相等 A=B
事件的关系 事件互斥 若A为________,则称事件A与事件B互斥 若________,则A与B互斥
事件对立 若A为______,A为________,那么称事件A与事件B互为对立事件 若A= ,且A=U,则A与B对立
事件的运算 并事件 若某事件发生当且仅当______________,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) ________(或________)
交事件 若某事件发生当且仅当____________,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) ________(或________)
状元随笔 互斥事件与对立事件的区别与联系
两个事件A与B是互斥事件,有如下三种情况:
(1)若事件A发生,则事件B就不发生;
(2)若事件B发生,则事件A就不发生;
(3)事件A、B都不发生.
两个事件A、B是对立事件,仅有前两种情况.因此,互斥未必对立,但对立一定互斥.
基础自测
1.对同一事件来说,若事件A是必然事件,事件B是不可能事件,则事件A与事件B的关系是( )
A.互斥不对立 B.对立不互斥
C.互斥且对立 D.不互斥、不对立
2.抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件为( )
A.至多有2件次品 B.至多有1件次品
C.至多有2件正品 D.至少有2件正品
3.某人打靶两次,事件A为只有一次中靶,事件B为两次都中靶,则A+B________.
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 事件的关系判断[经典例题]
例1 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件:
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
判断的依据是互斥事件、对立事件的定义.
方法归纳
要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,知道它们对事件结果的影响.必要时可以把具体的事件列举出来,更易于分辨.
跟踪训练1 从一批产品中取出三件产品,设A表示“三件产品全不是次品”,B表示“三件产品全是次品”,C表示“三件产品至少有一件是次品”,则下列结论正确的是( )
A.A与C互斥
B.任何两个均互斥
C.B与C互斥
D.任何两个均不互斥
先弄清每个事件的情况,再判断两者之间的关系.
题型2 事件的运算[经典例题]
例2 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间;
(2)用集合的形式表示事件A,B 以及它们的对立事件;
(3)用集合的形式表示事件A和事件,并说明它们的含义及关系.
【解析】 (1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
(2)根据题意,可得
A={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)},
={(0,0),(0,1)},={(0,0),(1,0)}.
(3)A ={(0,1),(1,0),(1,1)},={(0,0)};A表示电路工作正常,表示电路工作不正常;A和互为对立事件.
状元随笔 注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成,所以可以用数组(x1,x2)表示样本点.这样,确定事件A,B所包含的样本点时,不仅要考虑甲元件的状态,还要考虑乙元件的状态.
方法归纳
事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义,列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图,借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
跟踪训练2 在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1={出现1点},事件C2={出现2点},事件C3={出现3点},事件C4={出现4点},事件C5={出现5点},事件C6={出现6点},事件D1={出现的点数不大于1},事件D2={出现的点数大于3},事件D3={出现的点数小于5},事件E={出现的点数小于7},事件F={出现的点数为偶数},事件G={出现的点数为奇数},请根据上述定义的事件,回答下列问题:
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件;
(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件.
5.3.2 事件之间的关系与运算
新知初探·自主学习
知识点
一定发生 B A A B 不可能事件 A∩B= 必然事件 事件A发生或事件B发生 A∪B A+B 事件A发生且事件B发生 A∩B AB
[基础自测]
1.解析:必然事件与不可能事件不可能同时发生,但必有一个发生,故事件A与事件B的关系是互斥且对立.
答案:C
2.解析:至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品,共9种结果,故它的对立事件为含有1或0件次品,即至多有1件次品.
答案:B
3.解析:A+B为并事件即至少有一次中靶.
答案:至少有一次中靶
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生,2名女生,1男1女.
(1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它们不是对立事件.
(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
跟踪训练1 解析:由题意可知,事件A与事件C不可能同时发生,故A与C互斥,选A.
答案:A
跟踪训练2 解析:(1)若事件C1,C2,C3,C4发生,则事件D3必发生,所以C1 D3,C2 D3,C3 D3,C4 D3.
同理可得,事件D2包含事件C4,C5,C6;事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;
事件F包含事件C2,C4,C6;
事件G包含事件C1,C3,C5.
易知事件C1与事件D1相等,即C1=D1.
(2)因为事件D2={出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点},
所以D2=C4∪C5 ∪C6 (或D2=C4+C5+C6).
同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5.
故事件D2,D3,E,F,G为和事件.
6(共22张PPT)
5.3.2 事件之间的关系与运算
最新课程标准
了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
知识点 事件的关系与运算
定义 表示法 图示
事件的关系 包含关系 一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B________,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) ______(或______)
相等关系 特别地,如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,则称事件A与事件B相等 A=B
一定发生
B A
A B
事件的关系 事件互斥 若A为____________,则称事件A与事件B互斥 若________,则A与B互斥
事件对立 若A为______,A为________,那么称事件A与事件B互为对立事件 若A= ,且A=U,则A与B对立
不可能事件
A∩B=
必然事件
事件的运算 并事件 若某事件发生当且仅当___________________,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) ________(或________)
交事件 若某事件发生当且仅当___________________,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) ________(或________)
事件A发生或事件B发生
A∪B
A+B
事件A发生且事件B发生
A∩B
AB
状元随笔 互斥事件与对立事件的区别与联系
两个事件A与B是互斥事件,有如下三种情况:
(1)若事件A发生,则事件B就不发生;
(2)若事件B发生,则事件A就不发生;
(3)事件A、B都不发生.
两个事件A、B是对立事件,仅有前两种情况.因此,互斥未必对立,但对立一定互斥.
基础自测
1.对同一事件来说,若事件A是必然事件,事件B是不可能事件,则事件A与事件B的关系是( )
A.互斥不对立 B.对立不互斥
C.互斥且对立 D.不互斥、不对立
解析:必然事件与不可能事件不可能同时发生,但必有一个发生,故事件A与事件B的关系是互斥且对立.
答案:C
2.抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件为( )
A.至多有2件次品 B.至多有1件次品
C.至多有2件正品 D.至少有2件正品
解析:至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品,共9种结果,故它的对立事件为含有1或0件次品,即至多有1件次品.
答案:B
3.某人打靶两次,事件A为只有一次中靶,事件B为两次都中靶,则A+B________________.
解析:A+B为并事件即至少有一次中靶.
至少有一次中靶
课堂探究·素养提升
题型1 事件的关系判断[经典例题]
例1 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件:
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
判断的依据是互斥事件、对立事件的定义.
【解析】 从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生,2名女生,1男1女.
(1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它们不是对立事件.
(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
方法归纳
要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,知道它们对事件结果的影响.必要时可以把具体的事件列举出来,更易于分辨.
跟踪训练1 从一批产品中取出三件产品,设A表示“三件产品全不是次品”,B表示“三件产品全是次品”,C表示“三件产品至少有一件是次品”,则下列结论正确的是( )
A.A与C互斥
B.任何两个均互斥
C.B与C互斥
D.任何两个均不互斥
先弄清每个事件的情况,再判断两者之间的关系.
解析:由题意可知,事件A与事件C不可能同时发生,故A与C互斥,选A.
答案:A
题型2 事件的运算[经典例题]
例2 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间;
(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件;
(3)用集合的形式表示事件A和事件,并说明它们的含义及关系.
【解析】 (1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
(2)根据题意,可得
A={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)},
={(0,0),(0,1)},={(0,0),(1,0)}.
(3)A={(0,1),(1,0),(1,1)},={(0,0)};A表示电路工作正常,表示电路工作不正常;A和互为对立事件.
状元随笔
注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成,所以可以用数组(x1,x2)表示样本点.这样,确定事件A,B所包含的样本点时,不仅要考虑甲元件的状态,还要考虑乙元件的状态.
方法归纳
事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义,列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图,借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
跟踪训练2 在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1={出现1点},事件C2={出现2点},事件C3={出现3点},事件C4={出现4点},事件C5={出现5点},事件C6={出现6点},事件D1={出现的点数不大于1},事件D2={出现的点数大于3},事件D3={出现的点数小于5},事件E={出现的点数小于7},事件F={出现的点数为偶数},事件G={出现的点数为奇数},请根据上述定义的事件,回答下列问题:
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件;
(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件.
解析:(1)若事件C1,C2,C3,C4发生,则事件D3必发生,所以C1 D3,C2 D3,C3 D3,C4 D3.
同理可得,事件D2包含事件C4,C5,C6;事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;
事件G包含事件C1,C3,C5.
易知事件C1与事件D1相等,即C1=D1.
(2)因为事件D2={出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点},
所以D2=C4∪C5 ∪C6 (或D2=C4+C5+C6).
同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5.
故事件D2,D3,E,F,G为和事件.样本空间与事件
最新课程标准
结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点一 随机现象、必然现象
一定条件下,发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象(或偶然现象),发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象(或确定性现象).
知识点二 样本点和样本空间
1.随机试验
我们把在相同条件下,对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验).
2.样本点与样本空间
我们把随机试验中每一种可能出现的结果,都称为样本点,把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示).
知识点三 随机事件
1.随机事件
一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便,我们将样本空间Ω的子集称为________(random event),简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件(elementary event).随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.
2.必然事件、不可能事件
任何一次随机试验的结果,一定是样本空间Ω中的元素,因此可以认为每次试验中Ω一定发生,从而称Ω为必然事件;又因为空集 不包含任何样本点,因此可以认为每次试验中 一定不发生,从而称 为不可能事件.
状元随笔 1.事件的结果是相对于“条件S”而言的,因此要确定一个随机事件的结果,必须明确何为事件发生的条件,何为此条件下产生的结果.例如,在讨论掷骰子所得到的点数时,需要注明一次要掷骰子的枚数,因为掷一枚骰子所得到的点数的范围与掷两枚骰子所得到的点数的范围是不一样的.
2.随机事件的“可能发生也可能不发生”并不是指没有任何规律地随意发生.
基础自测
1.“李晓同学一次掷出3枚骰子,3枚全是6点”的事件是( )
A.不可能事件 B.必然事件
C.可能性较大的随机事件 D.可能性较小的随机事件
2.下列事件:①明天下雨;②3>2;③某国发射航天飞机成功;④x∈R,x2+2<0;⑤某商船航行中遭遇海盗;⑥任给x∈R,x+2=0.
其中随机事件的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.从6名男生、2名女生中任选3人,则下列事件中,必然事件是( )
A.3人都是男生 B.至少有1名男生
C.3人都是女生 D.至少有1名女生
4.抛掷二枚硬币,面朝上的样本空间有_______________________________.
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 样本空间[经典例题]
例1 抛掷一枚骰子(tóu zi),观察它落地时朝上的面的点数,写出试验的样本空间.
把所有试验可能情况一一列举.
方法归纳
在写试验结果时,一般采用列举法写出,必须首先明确事件发生的条件,根据日常生活经验,按一定次序列举,才能保证所列结果没有重复,也没有遗漏.
跟踪训练1 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出以下随机试验的条件和结果.
(1)从中任取1球;
(2)从中任取2球.
(1)看清从袋中取几球.
(2)取2球时,一定要有规律的取球.
题型2 必然事件、不可能事件与随机事件的判断[经典例题]
例2 指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件:
(1)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯;
(2)若x∈R,则x2+1≥1;
(3)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书,她随意拿出一本,是漫画书.
【解析】 (1)中的事件可能发生,也可能不发生,所以是随机事件.
(2)中的事件一定会发生,所以是必然事件.
(3)小红书包里没有漫画书,所以是不可能事件.
方法归纳
要判定事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的.第二步再看它是一定发生,还是不一定发生,还是一定不发生.一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
跟踪训练2 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.
(1)中国体操运动员将在下次奥运会上获得全能冠军;
(2)抛一枚骰子两次,朝上面的数字之和大于12.
判断事件类型的依据定义.
5.3.1 样本空间与事件
新知初探·自主学习
知识点三
1.随机事件
[基础自测]
1.解析:掷出的3枚骰子全是6点,可能发生,但发生的可能性较小.
答案:D
2.解析:①③⑤⑥是随机事件,②是必然事件,④是不可能事件.
答案:D
3.解析:由于女生只有2人,而现在选择3人,故至少要有1名男生.
答案:B
4.解析:每枚硬币都有可能正面朝上、反面朝上,则样本空间为{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}.
答案:{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 用i表示朝上面的“点数为i”.因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6,共6个可能的基本结果,所以试验的样本空间可以表示为Ω={1,2,3,4,5,6}.
跟踪训练1 解析:(1)条件为:从袋中任取1球.结果为:红、白、黄、黑4种.
(2)条件为:从袋中任取2球.结果为:(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)6种.
跟踪训练2 解析:由题意知:(1)中事件可能发生,也可能不发生,所以是随机事件;由于骰子朝上面的数字最大是6,两次朝上面的数字之和最大是12,不可能大于12,所以(2)中事件不可能发生,是不可能事件.
5(共18张PPT)
5.3.1 样本空间与事件
最新课程标准
结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
知识点一 随机现象、必然现象
一定条件下,发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象(或偶然现象),发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象(或确定性现象).
知识点二 样本点和样本空间
1.随机试验
我们把在相同条件下,对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验).
2.样本点与样本空间
我们把随机试验中每一种可能出现的结果,都称为样本点,把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示).
知识点三 随机事件
1.随机事件
一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便,我们将样本空间Ω的子集称为________(random event),简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件(elementary event).随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.
2.必然事件、不可能事件
任何一次随机试验的结果,一定是样本空间Ω中的元素,因此可以认为每次试验中Ω一定发生,从而称Ω为必然事件;又因为空集 不包含任何样本点,因此可以认为每次试验中 一定不发生,从而称 为不可能事件.
随机事件
状元随笔 1.事件的结果是相对于“条件S”而言的,因此要确定一个随机事件的结果,必须明确何为事件发生的条件,何为此条件下产生的结果.例如,在讨论掷骰子所得到的点数时,需要注明一次要掷骰子的枚数,因为掷一枚骰子所得到的点数的范围与掷两枚骰子所得到的点数的范围是不一样的.
2.随机事件的“可能发生也可能不发生”并不是指没有任何规律地随意发生.
基础自测
1.“李晓同学一次掷出3枚骰子,3枚全是6点”的事件是( )
A.不可能事件 B.必然事件
C.可能性较大的随机事件 D.可能性较小的随机事件
解析:掷出的3枚骰子全是6点,可能发生,但发生的可能性较小.
答案:D
2.下列事件:①明天下雨;②3>2;③某国发射航天飞机成功;④x∈R,x2+2<0;⑤某商船航行中遭遇海盗;⑥任给x∈R,x+2=0.
其中随机事件的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:①③⑤⑥是随机事件,②是必然事件,④是不可能事件.
答案:D
3.从6名男生、2名女生中任选3人,则下列事件中,必然事件是( )
A.3人都是男生 B.至少有1名男生
C.3人都是女生 D.至少有1名女生
解析:由于女生只有2人,而现在选择3人,故至少要有1名男生.
答案:B
4.抛掷二枚硬币,面朝上的样本空间有________________.
解析:每枚硬币都有可能正面朝上、反面朝上,则样本空间为{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}.
答案:{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}
课堂探究·素养提升
题型1 样本空间[经典例题]
例1 抛掷一枚骰子(tóu zi),观察它落地时朝上的面的点数,写出试验的样本空间.
把所有试验可能情况一一列举.
【解析】 用i表示朝上面的“点数为i”.因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6,共6个可能的基本结果,所以试验的样本空间可以表示为Ω={1,2,3,4,5,6}.
方法归纳
在写试验结果时,一般采用列举法写出,必须首先明确事件发生的条件,根据日常生活经验,按一定次序列举,才能保证所列结果没有重复,也没有遗漏.
跟踪训练1 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出以下随机试验的条件和结果.
(1)从中任取1球;
(2)从中任取2球.
(1)看清从袋中取几球.
(2)取2球时,一定要有规律的取球.
解析:(1)条件为:从袋中任取1球.结果为:红、白、黄、黑4种.
(2)条件为:从袋中任取2球.结果为:(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)6种.
题型2 必然事件、不可能事件与随机事件的判断[经典例题]
例2 指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件:
(1)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯;
(2)若x∈R,则x2+1≥1;
(3)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书,她随意拿出一本,是漫画书.
【解析】 (1)中的事件可能发生,也可能不发生,所以是随机事件.
(2)中的事件一定会发生,所以是必然事件.
(3)小红书包里没有漫画书,所以是不可能事件.
方法归纳
要判定事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的.第二步再看它是一定发生,还是不一定发生,还是一定不发生.一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
跟踪训练2 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.
(1)中国体操运动员将在下次奥运会上获得全能冠军;
(2)抛一枚骰子两次,朝上面的数字之和大于12.
判断事件类型的依据定义.
解析:由题意知:(1)中事件可能发生,也可能不发生,所以是随机事件;由于骰子朝上面的数字最大是6,两次朝上面的数字之和最大是12,不可能大于12,所以(2)中事件不可能发生,是不可能事件.