幂函数
最新课程标准
通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图像，理解它们的变化规律，了解幂函数．
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数________叫做幂函数，其中________是自变量，________是常数．
状元随笔 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．
知识点二 幂函数的图像与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝
定义域 R R R ________ ________
值域 R ________ R ________ ________
奇偶性 奇函数 ________ ________ 非奇非 偶函数 ________
单调性 在R上 递增 在________ 上递减， 在________ 上递增 在______上 递增 在________ 上递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减
图像
过定点 ________ ________
状元随笔 幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．
基础自测
1.在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．幂函数f(x)的图像过点(3，)，则f(8)＝( )
A．8 B．6
C．4 D．2
3．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( )
A．1 B．2
C．1或2 D．3
4．判断大小：0.20.2________0.30.2.
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 幂函数的概念[经典例题]
例1 (1)下列函数：①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．
其中幂函数的个数为( )
A.1 B．2
C．3 D．4
(1)依据幂函数的定义逐个判断．
(2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为( )
A.1 B．－3
C．－1 D．3
(2)依据幂函数的定义列方程求m.
(3)已知幂函数f(x)的图像经过点，则f(4)＝______．
(3)先设f(x)＝xα，再将点(3，)代入求α.
【解析】 (1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．
(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，
所以
所以m＝1.
(3)设f(x)＝xα，所以＝3α，α＝－2，
所以f(4)＝4－2＝.
【答案】 (1)B (2)A (3)
方法归纳
(1)幂函数的判断方法
①幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．
②如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．
(2)求幂函数解析式的依据及常用方法
①依据．
若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．
②常用方法．
设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.
跟踪训练1 (1)给出下列函数：
①y＝；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝0.3x.其中是幂函数的有( )
A.1个 B．2个
C．3个 D．4个
(1)利用幂函数定义判断．
(2)函数f(x)＝是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
(2)由幂函数的系数为1，求m的值，然后逐一验证．
题型2 幂函数的图像及应用[经典例题]
例2 幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图像如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是________．
依据α<0 , 0<α<1和α>1的幂函数图像的特征判断．
方法归纳
解决幂函数图像问题应把握的两个原则
(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图像确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断．
跟踪训练2 当α∈时，幂函数y＝xα的图像不可能经过第__________象限．
要先回忆幂函数的五种常见类型的图像与性质特点．
题型3 幂函数的单调性质及应用[教材P35例1]
例3 比较下列各题中两个值的大小：
(1)2.31.1和2.51.1；
和.
教材反思
幂函数当α>0时在第一象限单调递增，当α<0时在第一象限单调递减．
比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图像．
跟踪训练3 比较下列各题中两个幂值的大小．
(1)3.11.3与2.91.3；
与；
与.
(1)利用函数y＝x1.3的单调性来判断．
(2)利用函数y＝的单调性来判断．
(3)找中间量判断．
4．4 幂函数
新知初探·自主学习
知识点一
y＝xα x α
知识点二
{x|x≥0} {x|x≠0} {y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0} 偶函数 奇函数 奇函数 (－∞，0) (0，＋∞) R (0，＋∞) (0，0)，(1，1) (1，1)
[基础自测]
1．解析：函数y＝＝x－4为幂函数；
函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；
函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；
函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．
答案：B
2．解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，由函数的图像过点(3，)，可得＝3α，∴α＝，则幂函数f(x)＝，∴f(8)＝＝4.
答案：C
3．解析：∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.
答案：A
4．解析：因为函数y＝x0.2是增函数，
又0.2<0.3，
∴0.20.2<0.30.2.
答案：<
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解析：(1)可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的六个函数中，只有y＝＝x－3和y＝＝符合幂函数的定义，是幂函数，其余四个都不是幂函数．
(2)根据幂函数定义得m2－m－1＝1，
解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．
故f(x)＝x3.
答案：(1)B (2)f(x)＝x3
例2 【解析】 过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n<0，
当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，0
1时，指数越大，图像越高，所以m>q，综上所述n【答案】 n跟踪训练2 解析：幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图像经过第一、三象限；y＝的图像经过第一象限；y＝x2的图像经过第一、二象限．
所以幂函数y＝xα的图像不可能经过第四象限．
答案：四
例3 【解析】 (1)考察幂函数y＝x1.1，因为其在区间[0，＋∞)上是增函数，而且2.3<2.5，所以2.31.1<2.51.1.
(2)考察幂函数y＝，因为其在区间(0，＋∞)上是减函数，而且a2＋2≥2，所以.
跟踪训练3 解析：(1)函数y＝x1.3在(0，＋∞)上为增函数，又因为3.1>2.9，所以3.11.3>2.91.3.
(2)方法一 函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，又因为<，所以.
方法二 ＝＝.
而函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，且4>3，所以.
(3)因为<＝1；
而>＝1；
所以<.
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4.4 幂函数
最新课程标准
通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图像，理解它们的变化规律，了解幂函数．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数________叫做幂函数，其中________是自变量，________是常数．
状元随笔 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．
y＝xα
x
α
知识点二 幂函数的图像与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝
定义域 R R R ________ ________
值域 R ________ R ________ ________
奇偶性 奇函数 ________ ________ 非奇非 偶函数 ________
单调性 在R上 递增 在________ 上递减， 在________ 上递增 在______上 递增 在________ 上递增 在(－∞，0)
和(0，＋∞)
上递减
{x|x≥0}
{x|x≠0}
{y|y≥0}
{y|y≥0}
{y|y≠0}
偶函数
奇函数
奇函数
(－∞，0)
(0，＋∞)
R
(0，＋∞)
图像
过定点 ________ ________
状元随笔 幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．
(0，0)，(1，1)
(1，1)
基础自测
1.在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：函数y＝＝x－4为幂函数；
函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；
函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；
函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．
答案：B
2．幂函数f(x)的图像过点(3，)，则f(8)＝( )
A．8 B．6
C．4 D．2
解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，由函数的图像过点(3，)，可得＝3α，∴α＝，则幂函数f(x)＝，∴f(8)＝＝4.
答案：C
3．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( )
A．1 B．2
C．1或2 D．3
解析：∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.
答案：A
4．判断大小：0.20.2________0.30.2.
解析：因为函数y＝x0.2是增函数，又0.2<0.3，
∴0.20.2<0.30.2.
答案：<
课堂探究·素养提升
题型1 幂函数的概念[经典例题]
例1 (1)下列函数：①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．
其中幂函数的个数为( )
A.1 B．2
C．3 D．4
依据幂函数的定义逐个判断．
【解析】 ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．
【答案】 B
(2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为( )
A.1 B．－3
C．－1 D．3
依据幂函数的定义列方程求m.
【解析】 因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，
所以
所以m＝1.
【答案】 A
(3)已知幂函数f(x)的图像经过点，则f(4)＝______．
先设f(x)＝xα，再将点(3，)代入求α.
【答案】
【解析】 设f(x)＝xα，所以＝3α，α＝－2，
所以f(4)＝4－2＝.
方法归纳
(1)幂函数的判断方法
①幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．
②如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．
(2)求幂函数解析式的依据及常用方法
①依据．
若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．
②常用方法．
设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.
跟踪训练1 (1)给出下列函数：
①y＝；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝0.3x.其中是幂函数的有( )
A.1个 B．2个
C．3个 D．4个
利用幂函数定义判断．
解析：(1)可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的六个函数中，只有y＝＝x－3和y＝＝符合幂函数的定义，是幂函数，其余四个都不是幂函数．
答案：B
(2)函数f(x)＝是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
由幂函数的系数为1，求m的值，然后逐一验证．
答案：f(x)＝x3
解析：根据幂函数定义得m2－m－1＝1，
解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．
故f(x)＝x3.
题型2 幂函数的图像及应用[经典例题]
例2 幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图像如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是________．
依据α<0 , 0<α<1和α>1的幂函数图像的特征判断．
【解析】 过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n<0，
当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，01时，指数越大，图像越高，所以m>q，综上所述nn方法归纳
解决幂函数图像问题应把握的两个原则
(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图像确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断．
跟踪训练2 当α∈时，幂函数y＝xα的图像不可能经过第__________象限．
要先回忆幂函数的五种常见类型的图像与性质特点．
解析：幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图像经过第一、三象限；y＝的图像经过第一象限；y＝x2的图像经过第一、二象限．
所以幂函数y＝xα的图像不可能经过第四象限．
答案：四
题型3 幂函数的单调性质及应用[教材P35例1]
例3 比较下列各题中两个值的大小：
(1)2.31.1和2.51.1；
和.
【解析】 (1)考察幂函数y＝x1.1，因为其在区间[0，＋∞)上是增函数，而且2.3<2.5，所以2.31.1<2.51.1.
(2)考察幂函数y＝，因为其在区间(0，＋∞)上是减函数，而且a2＋2≥2，所以.
教材反思
幂函数当α>0时在第一象限单调递增，当α<0时在第一象限单调递减．
比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图像．
跟踪训练3 比较下列各题中两个幂值的大小．
(1)3.11.3与2.91.3；
与；
与.
(1)利用函数y＝x1.3的单调性来判断．
(2)利用函数y＝的单调性来判断．
(3)找中间量判断．
解析：(1)函数y＝x1.3在(0，＋∞)上为增函数，又因为3.1>2.9，所以3.11.3>2.91.3.
(2)方法一 函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，又因为<，所以.
方法二 ＝＝.
而函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，且4>3，所以.
(3)因为<＝1；而>＝1；所以<.