第2课时 对数函数的图像和性质
基础自测
1.函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则( )
A．f(x)＝lgx B．f(x)＝log2x
C．f(x)＝lnxD．f(x)＝xe
2．若log3a＜0，＞1，则( )
A．a＞1，b＞0B．0＜a＜1，b＞0
C．a＞1，b＜0D．0＜a＜1，b＜0
3．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝3xB．y＝103x
C．y＝log2xD．y＝x3
4．函数f(x)＝log3(4x－x2)的递增区间是________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 比较大小[教材P26例1]
例1 比较下列各组数的大小：
(1)log0.33与log0.35；
(2)ln3与ln3.001；
(3)log70.5与0.
构造对数函数，利用函数单调性比较大小．
【解析】 (1)因为0<0.3<1，所以y＝log0.3x是减函数，又因为3<5，所以log0.33>log0.35.
(2)因为e>1，所以y＝lnx是增函数，又因为3.001>3，所以ln3(3)因为7>1，所以y＝log7x是增函数，又因为log71＝0，而且0.5<1，所以log70.5教材反思
比较对数值大小时常用的三种方法
跟踪训练1 (1)设a＝log2π，b＝，c＝π－2，则( )
A．a＞b＞cB．b＞a＞c
C．a＞c＞bD．c＞b＞a
(2)比较下列各组值的大小：
①，.②log1.51.6，log1.51.4.
③log0.57，log0.67.④log3π，log20.8.
状元随笔 (1)选择中间量0和1，比较大小．
(2)①②③利用对数函数的单调性比较大小．
④用中间量0比较大小．
题型2 解对数不等式[经典例题]
例2 (1)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，则x的取值范围为________；
(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．
状元随笔 (1)利用函数y＝log0.7x的单调性求解．
(2)分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，解不等式．
方法归纳
两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．
①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；
②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x).
(2)形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab.
①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab；
②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab.
跟踪训练2 (1)满足不等式log3x＜1的x的取值集合为________；
(2)根据下列各式，确定实数a的取值范围：
①log1.5(2a)＞log1.5(a－1)；
②log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a).
(1)log33＝1.
(2)由对数函数的单调性求解．
题型3 对数函数性质的综合应用[经典例题]
例3 已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，
求实数a的值．
真数大于0.
分0＜a＜1，a＞1两类讨论.
方法归纳
1．解答y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数需注意的问题
①要注意变量的取值范围．例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则f(g(x))＝log2(x2＋x)中需要g(x)＞0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需要x＞0.
②判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．
2．形如y＝logaf(x)的函数的单调性判断
首先要确保f(x)＞0，
当a＞1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性一致．
当0＜a＜1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性相反．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝log2(1＋x2).
求证：(1)函数f(x)是偶函数；
(2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
(1)函数是偶函数，f(－x)＝f(x).
(2)用定义法证明函数是增函数．
第2课时 对数函数的图像和性质
[基础自测]
1．解析：易知y＝f(x)是y＝ex的反函数，所以f(x)＝lnx.
答案：C
2．解析：由函数y＝log3x，y＝的图像知，0＜a＜1，b＜0.
答案：D
3．解析：指数函数模型增长速度最快，故选A.
答案：A
4．解析：由4x－x2＞0得0＜x＜4，
函数y＝log3(4x－x2)的定义域为(0，4).
令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，
当x∈(0，2]时，u＝4x－x2是增函数，
当x∈(2，4]时，u＝4x－x2是减函数．
又∵y＝log3u是增函数，
∴函数y＝log3(4x－x2)的增区间为(0，2].
答案：(0，2]
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解析：(1)a＝log2π＞1，b＝＜0，c＝π－2∈(0，1)，所以a＞c＞b.
(2)①因为函数y＝是减函数，且0.5＜0.6，所以＞.
②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4.
③因为0＞log70.6＞log70.5，所以＜，即log0.67＜log0.57.
④因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8.
答案：(1)C
(2)①＞.②log1.51.6＞log1.51.4.
③log0.67＜log0.57.④log3π＞log20.8.
例2 【解析】 (1)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.72x＜log0.7(x－1)得解得x＞1，
即x的取值范围是(1，＋∞).
【解析】(2)loga(x－1)≥loga(3－x)，
当a＞1时，有解得2≤x＜3.
当0＜a＜1时，有解得1＜x≤2.
综上可得，
当a＞1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2，3)；
当0＜a＜1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围是(1，2].
【答案】 (1)(1，＋∞) (2)见解析
跟踪训练2 解析：(1)因为log3x＜1＝log33，
所以x满足的条件为
即0＜x＜3.所以x的取值集合为{x|0＜x＜3}．
(2)①函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数．
因为log1.5(2a)＞log1.5(a－1)，所以解得a＞1，
即实数a的取值范围是a＞1.
②函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，因为log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a)，
所以解得－1＜a＜1.即实数a的取值范围是－1＜a＜1.
答案：(1){x|0＜x＜3} (2)①(1，＋∞) ②(－1，1)
例3 【解析】 (1)由题意得
解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3).
(2)因为f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]＝loga(－x2＋2x＋3)
＝loga[－(x－1)2＋4]，
若0＜a＜1，则当x＝1时，f(x)有最小值loga4，
所以loga4＝－2，a－2＝4，
又0＜a＜1，所以a＝.
若a＞1，则当x＝1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值．
综上可知，a＝.
跟踪训练3 证明：(1)函数f(x)的定义域是R，
f(－x)＝log2[1＋(－x)2]＝log2(1＋x2)＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(2)设0＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝log2(1＋)－log2(1＋)＝，
由于0＜x1＜x2，则0＜＜，则0＜1＋＜1＋，
所以0＜＜1.
又函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
所以＜0.所以f(x1)＜f(x2).
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
7(共23张PPT)
第2课时 对数函数的图像和性质
基础自测
课堂探究·素养提升
基础自测
1.函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则( )
A．f(x)＝lg x B．f(x)＝log2x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝xe
解析：易知y＝f(x)是y＝ex的反函数，所以f(x)＝ln x.
答案：C
2．若log3a＜0，＞1，则( )
A．a＞1，b＞0 B．0＜a＜1，b＞0
C．a＞1，b＜0 D．0＜a＜1，b＜0
解析：由函数y＝log3x，y＝的图像知，0＜a＜1，b＜0.
答案：D
3．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝3x B．y＝103x
C．y＝log2x D．y＝x3
解析：指数函数模型增长速度最快，故选A.
答案：A
4．函数f(x)＝log3(4x－x2)的递增区间是________．
解析：由4x－x2＞0得0＜x＜4，
函数y＝log3(4x－x2)的定义域为(0，4).
令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，
当x∈(0，2]时，u＝4x－x2是增函数，
当x∈(2，4]时，u＝4x－x2是减函数．
又∵y＝log3u是增函数，
∴函数y＝log3(4x－x2)的增区间为(0，2].
答案：(0，2]
课堂探究·素养提升
题型1 比较大小[教材P26例1]
例1 比较下列各组数的大小：
(1)log0.33与log0.35；
(2)ln 3与ln 3.001；
(3)log70.5与0.
【解析】 (1)因为0<0.3<1，所以y＝log0.3x是减函数，又因为3<5，所以log0.33>log0.35.
(2)因为e>1，所以y＝ln x是增函数，又因为3.001>3，所以ln 3(3)因为7>1，所以y＝log7x是增函数，又因为log71＝0，而且0.5<1，所以log70.5构造对数函数，利用函数单调性比较大小．
教材反思
比较对数值大小时常用的三种方法
跟踪训练1 (1)设a＝log2π，b＝，c＝π－2，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞b＞a
解析：(1)a＝log2π＞1，b＝＜0，c＝π－2∈(0，1)，所以a＞c＞b.
答案：C
(2)比较下列各组值的大小：
①，. ②log1.51.6，log1.51.4.
③log0.57，log0.67. ④log3π，log20.8.
解析：①因为函数y＝是减函数，且0.5＜0.6，所以＞.
②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4.
③因为0＞log70.6＞log70.5，所以＜，即log0.67＜log0.57.
④因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8.
答案：①＞.②log1.51.6＞log1.51.4.
③log0.67＜log0.57.④log3π＞log20.8.
状元随笔 (1)选择中间量0和1，比较大小．
(2)①②③利用对数函数的单调性比较大小．
④用中间量0比较大小．
题型2 解对数不等式[经典例题]
例2 (1)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，则x的取值范围为________；
【解析】 (1)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.72x＜log0.7(x－1)得解得x＞1，
即x的取值范围是(1，＋∞).
【答案】 (1，＋∞)
题型2 解对数不等式[经典例题]
例2 (2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．
【解析】loga(x－1)≥loga(3－x)，
当a＞1时，有解得2≤x＜3.
当0＜a＜1时，有解得1＜x≤2.
综上可得，
当a＞1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2，3)；
当0＜a＜1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围是(1，2].
状元随笔
(1)利用函数y＝log0.7x的单调性求解．
(2)分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，解不等式．
方法归纳
两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．
①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；
②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x).
(2)形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab.
①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab；
②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab.
跟踪训练2 (1)满足不等式log3x＜1的x的取值集合为________；
log33＝1.
答案：(1){x|0＜x＜3}
解析：(1)因为log3x＜1＝log33，
所以x满足的条件为
即0＜x＜3.所以x的取值集合为{x|0＜x＜3}．
跟踪训练2 (2)根据下列各式，确定实数a的取值范围：
①log1.5(2a)＞log1.5(a－1)；
②log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a).
由对数函数的单调性求解．
解析：①函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数．
因为log1.5(2a)＞log1.5(a－1)，所以解得a＞1，
即实数a的取值范围是a＞1.
②函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，因为log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a)，
所以解得－1＜a＜1.即实数a的取值范围是－1＜a＜1.
题型3 对数函数性质的综合应用[经典例题]
例3 已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，
求实数a的值．
真数大于0.
分0＜a＜1，a＞1两类讨论.
【解析】 (1)由题意得
解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3).
(2)因为f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]＝loga(－x2＋2x＋3)
＝loga[－(x－1)2＋4]，
若0＜a＜1，则当x＝1时，f(x)有最小值loga4，
所以loga4＝－2，a－2＝4，
又0＜a＜1，所以a＝.
若a＞1，则当x＝1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值．
综上可知，a＝.
方法归纳
1．解答y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数需注意的问题
①要注意变量的取值范围．例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则f(g(x))＝log2(x2＋x)中需要g(x)＞0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需要x＞0.
②判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．
2．形如y＝logaf(x)的函数的单调性判断
首先要确保f(x)＞0，
当a＞1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性一致．
当0＜a＜1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性相反．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝log2(1＋x2).
求证：(1)函数f(x)是偶函数；
(2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
(1)函数是偶函数，f(－x)＝f(x).
(2)用定义法证明函数是增函数．
证明：(1)函数f(x)的定义域是R，
f(－x)＝log2[1＋(－x)2]＝log2(1＋x2)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．
(2)设0＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝log2(1＋)－log2(1＋)＝，
由于0＜x1＜x2，则0＜＜，则0＜1＋＜1＋，所以0＜＜1.
又函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，所以＜0.所以f(x1)＜f(x2).
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．对数函数的性质与图像
最新课程标准
(1)通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(2)知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1).(3)收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用．
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点一 对数函数的概念
函数____________叫做对数函数，其中________是自变量，函数的定义域是________．
状元随笔 形如y＝2log2x，y＝都不是对数函数，可称其为对数型函数．
知识点二 对数函数的图像与性质
a＞1 0＜a＜1
图 象
性 质 定义域________
值域________
过点________，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
状元随笔 底数a与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”：当a＞1时，对数函数的图像“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图像“下降”．
第1课时 对数函数的概念
基础自测
1.下列函数中是对数函数的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝2D．y＝＋1
2．函数y＝ln (1－x)的定义域为( )
A．(0，1) B．[0，1)
C．(0，1] D．[0，1]
3．函数y＝loga(x－1)(0＜a＜1)的图像大致是( )
4．若f(x)＝log2x，x∈[2，3]，则函数f(x)的值域为________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 对数函数的概念[经典例题]
例1 下列函数中，哪些是对数函数？
(1)y＝loga(a＞0，且a≠1)；
(2)y＝log2x＋2；
(3)y＝8log2(x＋1)；
(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；
(5)y＝log6x.
用对数函数的概念例如y＝logax(a＞0且a≠1)来判断．
【解析】 (1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．
方法归纳
判断一个函数是对数函数的方法
跟踪训练1 若函数f(x)＝(a2－a＋1)·log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．
对数函数y＝logax系数为1.
题型2 求函数的定义域[经典例题]
例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝log3x2；
(2)y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1).
真数大于0.
方法归纳
求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．
跟踪训练2 求下列函数的定义域：
(1)y＝lg (x＋1)＋；
(2)y＝log(x－2)(5－x).
真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
题型3 对数函数的图像问题
例3 (1)函数y＝x＋a与y＝logax的图像只可能是下图中的( )
(2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图像上，则f(log32)＝________．
(3)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为________.
状元随笔 (1)由函数y＝x＋a的图像判断出a的范围．
(2)依据loga1＝0，a0＝1，求定点坐标．
(3)沿直线y＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大．
方法归纳
解决对数函数图像的问题时要注意
(1)明确对数函数图像的分布区域．对数函数的图像在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图像会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图像之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞1，还是0＜a＜1.
(3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像经过点：(1，0)，(a，1)和().
跟踪训练3
(1)如图所示，曲线是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像，已知a取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )
A．，，，
B.，，，
C．，，
D．，
增函数底数a＞1，
减函数底数0＜a＜1.
(2)函数y＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图像大致为( )
先去绝对值，再利用单调性判断．
4．2.3 对数函数的性质与图像
新知初探·自主学习
知识点一
y＝logax(a＞0，且a≠1) x (0，＋∞)
知识点二
(0，＋∞) R (1，0) 增函数 减函数
第1课时 对数函数的概念
[基础自测]
1．解析：形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数．
答案：A
2．解析：由题意，得解得0≤x＜1；故函数y＝ln (1－x)的定义域为[0，1).
答案：B
3．解析：∵0＜a＜1，∴y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝loga(x－1)的图像是由y＝logax的图像向右平移一个单位得到，故A正确．
答案：A
4．解析：因为f(x)＝log2x在[2，3]上是单调递增的，
所以log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23.
答案：[1，log23]
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.
又底数a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1.
答案：1
例2 【解析】 (1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．
(2)因为4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}.
跟踪训练2 解析：(1)要使函数有意义，
需即
∴－1＜x＜1，∴函数的定义域为(－1，1).
(2)要使函数有意义，需∴
∴定义域为(2，3)∪(3，5).
例3 【解析】 (1)A中，由y＝x＋a的图像知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对．
(2)依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝3log32－＝2－＝.
(3)由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1.
过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.
【答案】 (1)C (2) (3)b＞a＞1＞d＞c
跟踪训练3 解析：(1)方法一 作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为，，，，故选A.
方法二 由对数函数的图像在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C1，C2，C3，C4，即，，，.故选A.
(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A.
答案：(1)A (2)A
8(共28张PPT)
4.2.3 对数函数的性质与图像
最新课程标准
(1)通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(2)知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1).(3)收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
知识点一 对数函数的概念
函数____________________叫做对数函数，其中________是自变量，函数的定义域是________．
状元随笔 形如y＝2log2x，y＝都不是对数函数，可称其为对数型函数．
y＝logax(a＞0，且a≠1)
x
(0，＋∞)
知识点二 对数函数的图像与性质
a＞1 0＜a＜1
图 象
性 质 定义域________
值域________
过点________，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
(0，＋∞)
R
(1，0)
增函数
减函数
状元随笔
底数a与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”：当a＞1时，对数函数的图像“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图像“下降”．
第1课时 对数函数的概念
基础自测
1.下列函数中是对数函数的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝2D．y＝＋1
解析：形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数．
答案：A
2．函数y＝ln (1－x)的定义域为( )
A．(0，1) B．[0，1)
C．(0，1] D．[0，1]
解析：由题意，得解得0≤x＜1；故函数y＝ln (1－x)的定义域为[0，1).
答案：B
3．函数y＝loga(x－1)(0＜a＜1)的图像大致是( )
解析：∵0＜a＜1，∴y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝loga(x－1)的图像是由y＝logax的图像向右平移一个单位得到，故A正确．
答案：A
4．若f(x)＝log2x，x∈[2，3]，则函数f(x)的值域为________．
解析：因为f(x)＝log2x在[2，3]上是单调递增的，
所以log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23.
答案：[1，log23]
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题型1 对数函数的概念[经典例题]
例1 下列函数中，哪些是对数函数？
(1)y＝loga (a＞0，且a≠1)；
(2)y＝log2x＋2；
(3)y＝8log2(x＋1)；
(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；
(5)y＝log6x.
用对数函数的概念例如y＝logax(a＞0且a≠1)来判断．
【解析】 (1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．
方法归纳
判断一个函数是对数函数的方法
跟踪训练1 若函数f(x)＝(a2－a＋1)·log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．
对数函数y＝logax系数为1.
解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.
又底数a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1.
答案：1
题型2 求函数的定义域[经典例题]
例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝log3x2；
(2)y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1).
真数大于0.
【解析】 (1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．
(2)因为4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}.
方法归纳
求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．
跟踪训练2 求下列函数的定义域：
(1)y＝lg (x＋1)＋；
(2)y＝log(x－2)(5－x).
真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
解析：(1)要使函数有意义，
需即
∴－1＜x＜1，∴函数的定义域为(－1，1).
(2)要使函数有意义，需∴
∴定义域为(2，3)∪(3，5).
题型3 对数函数的图像问题
例3 (1)函数y＝x＋a与y＝logax的图像只可能是下图中的( )
【答案】 C
【解析】 (1)A中，由y＝x＋a的图像知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对．
(2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图像上，则f(log32)＝________．
【解析】 依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝3log32－＝2－＝.
【答案】
(3)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为________.
【答案】b＞a＞1＞d＞c
【解析】 由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1.
过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.
状元随笔 (1)由函数y＝x＋a的图像判断出a的范围．
(2)依据loga1＝0，a0＝1，求定点坐标．
(3)沿直线y＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大．
方法归纳
解决对数函数图像的问题时要注意
(1)明确对数函数图像的分布区域．对数函数的图像在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图像会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图像之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞1，还是0＜a＜1.
(3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像经过点：(1，0)，(a，1)和().
跟踪训练3
(1)如图所示，曲线是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像，已知a取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )
A．，，，
B.，，，
C．，，
D．，
增函数底数a＞1，
减函数底数0＜a＜1.
答案：A
解析：(1)方法一 作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为，，，，故选A.
方法二 由对数函数的图像在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C1，C2，C3，C4，即，，，.故选A.
(2)函数y＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图像大致为( )
先去绝对值，再利用单调性判断．
解析：函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A.
答案：A对数运算法则
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点一 对数的运算性质
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
(1)loga(M·N)＝____________，
(2)＝____________，
(3)logaMn＝____________(n∈R).
状元随笔 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
知识点二 对数换底公式
logab＝____________(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0).
特别地：logab·logba＝________(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1).
状元随笔 对数换底公式常见的两种变形
(1)logab·logba＝1，即＝logba ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .
(2)＝logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的倍．
基础自测
1.下列等式成立的是( )
A．log2(8－4)＝log28－log24 B．＝
C．log28＝3log22 D．log2(8＋4)＝log28＋log24
2.的值为( )
A． B．2 C． D．
3．2log510＋log50.25＝( )
A．0 B．1 C．2 D．4
4．已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为________.
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 对数运算性质的应用[教材P22例2]
例1 计算下列各式的值：
(1)lg 4＋lg 25；
(2)；
(3)log2(47×25)；
(4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5.
利用对数运算性质计算．
【解析】 (1)lg 4＋lg 25＝lg (4×25)＝lg 100＝2.
(2)＝＝lg 100＝.
(3)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.
(4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5＝(lg 2)2＋lg (10×2)×
＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)×(1－lg 2)
＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2
＝1.
教材反思
1．对于同底的对数的化简，常用方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).
2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
跟踪训练1 (1)计算：＋2lg 2－＝________．
(2)求下列各式的值．
①log53＋
②(lg 5)2＋lg 2·lg 50
③lg 25＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
利用对数运算性质化简求值．
题型2 对数换底公式的应用[经典例题]
例2 (1)已知2x＝3y＝a，＋＝2，则a的值为( )
A．36 B．6
C．2 D．
(2)计算下列各式：
①log89·log2732.
②2lg 4＋lg 5－lg 8－.
③＋lg 4＋2lg 5.
状元随笔 1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．
2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分．
方法归纳
(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．
(2)换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝logab.
跟踪训练2 (1)式子log916·log881的值为( )
A.18 B．
C． D．
(2)(log43＋log83)(log32＋log98)等于( )
A． B．
C． D．以上都不对
利用换底公式化简求值．
用已知对数表示其他对数
例3 已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645.
状元随笔 方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．
方法二 先求出a、b，再利用换底公式化简求值．
方法归纳
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：
(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；
(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；
(3)注意一些派生公式的使用．
跟踪训练3 (1)已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝________；(用p，q表示)
(2)①已知log147＝a，14b＝5，用a，b表示log3528.
②设3x＝4y＝36，求＋的值．
(1)利用换底公式化简．
(2)利用对数运算性质化简求值．
4．2.2 对数运算法则
新知初探·自主学习
知识点一
(1)logaM＋logaN (2)logaM－logaN (3)nlogaM
知识点二
1
[基础自测]
1．解析：由对数的运算性质易知C正确．
答案：C
2．解析：原式＝log39＝2.
答案：B
3．解析：原式＝log5102＋log50.25
＝log5(102×0.25)＝log525＝2.
答案：C
4．解析：log32＝＝.
答案：
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解析：(1)＋2lg 2－＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.
(2)①log53＋＝＝log51＝0.
②(lg 5)2＋lg 2·lg 50
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
③原式＝lg 25＋＋·lg (10×2)＋(lg 2)2
＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2
＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.
答案：(1)－1 (2)见解析
例2 【解析】 (1)因为2x＝3y＝a，
所以x＝log2a，y＝log3a，
所以＋＝＋＝loga2＋loga3＝loga6＝2，
所以a2＝6，解得a＝±.
又a＞0，所以a＝.
(2)①log89·log2732＝·
＝·＝·＝.
②2lg 4＋lg 5－lg 8－＝lg 16＋lg 5－lg 8－＝－＝1－＝.
③＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg (4×52)＝4＋2＝6.
【答案】 (1)D (2)见解析
跟踪训练2 解析：(1)原式＝log3224·log2334＝2log32·log23＝.
(2)原式＝（）·（）
＝（）·（）
＝×log32＝.
答案：(1)C (2)B
例3 【解析】 方法一 因为log189＝a，所以9＝18a.
又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.
又因为log2×1818＝＝＝＝＝，所以原式＝.
方法二 ∵18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝＝＝＝＝＝.
跟踪训练3 解析：(1)lg 5＝＝＝.
(2)①∵log147＝a，14b＝5，
∴b＝log145.
∴log3528＝＝
＝＝.
②∵3x＝36，4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
∴＝＝＝log363，
＝＝＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.
答案：(1) (2)① ②1
8(共26张PPT)
4.2.2 对数运算法则
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
知识点一 对数的运算性质
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
(1)loga(M·N)＝____________，
(2)＝____________，
(3)logaMn＝____________(n∈R).
状元随笔 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立. 例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
知识点二 对数换底公式
logab＝____________(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0).
特别地：logab·logba＝________(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1).
1
状元随笔 对数换底公式常见的两种变形
(1)logab·logba＝1，即＝logba，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数.
(2)＝logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的倍．
基础自测
1.下列等式成立的是( )
A．log2(8－4)＝log28－log24 B．＝
C．log28＝3log22 D．log2(8＋4)＝log28＋log24
解析：由对数的运算性质易知C正确．
答案：C
2.的值为( )
A． B．2 C． D．
解析：原式＝log39＝2.
答案：B
3．2log510＋log50.25＝( )
A．0 B．1 C．2 D．4
解析：原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.
答案：C
4．已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为________.
解析：log32＝＝.
答案：
课堂探究·素养提升
题型1 对数运算性质的应用[教材P22例2]
例1 计算下列各式的值：
(1)lg 4＋lg 25；(2)；
(3)log2(47×25)；(4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5.
利用对数运算性质计算．
【解析】 (1)lg 4＋lg 25＝lg (4×25)＝lg 100＝2.
(2)＝＝lg 100＝.
(3)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.
(4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5＝(lg 2)2＋lg (10×2)×
＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)×(1－lg 2)
＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2
＝1.
教材反思
1．对于同底的对数的化简，常用方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).
2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
跟踪训练1 (1)计算：＋2lg 2－＝________．
解析：(1)＋2lg 2－＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.
答案：(1)－1
(2)求下列各式的值．
①log53＋
②(lg 5)2＋lg 2·lg 50
③lg 25＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
利用对数运算性质化简求值．
解析：(2)①log53＋＝＝log51＝0.
②(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg2＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg2＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
③原式＝lg 25＋＋·lg (10×2)＋(lg 2)2
＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2
＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.
题型2 对数换底公式的应用[经典例题]
例2 (1)已知2x＝3y＝a，＋＝2，则a的值为( )
A．36 B．6
C．2D．
【解析】 (1)因为2x＝3y＝a，
所以x＝log2a，y＝log3a，
所以＋＝＋＝loga2＋loga3＝loga6＝2，
所以a2＝6，解得a＝±.
又a＞0，所以a＝.
【答案】 D
(2)计算下列各式：
①log89·log2732.
②2lg 4＋lg 5－lg 8－.
③＋lg 4＋2lg 5.
【解析】(2)①log89·log2732＝·＝·＝·＝.
②2lg 4＋lg 5－lg 8－＝lg 16＋lg 5－lg 8－＝－＝1－＝.
③＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg (4×52)＝4＋2＝6.
状元随笔
1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．
2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分．
方法归纳
(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．
(2)换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝logab.
跟踪训练2 (1)式子log916·log881的值为( )
A.18 B．
C． D．
利用换底公式化简求值．
解析：原式＝log3224·log2334＝2log32·log23＝.
答案：C
(2)(log43＋log83)(log32＋log98)等于( )
A．B．
C． D．以上都不对
解析：原式＝（）·（）
＝（）·（）
＝×log32＝.
答案：B
题型3 用已知对数表示其他对数
例3 已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645.
【解析】 方法一 因为log189＝a，所以9＝18a.
又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.
又因为log2×1818＝＝＝＝＝，所以原式＝.
方法二 ∵18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝＝＝＝＝＝.
状元随笔
方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．
方法二 先求出a、b，再利用换底公式化简求值．
方法归纳
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：
(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；
(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；
(3)注意一些派生公式的使用．
跟踪训练3 (1)已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝________；(用p，q表示)
利用换底公式化简．
解析：(1)lg 5＝＝＝.
答案：
(2)①已知log147＝a，14b＝5，用a，b表示log3528.
②设3x＝4y＝36，求＋的值．
利用对数运算性质化简求值．
解析：(2)①∵log147＝a，14b＝5，∴b＝log145.
∴log3528＝＝＝＝.
②∵3x＝36，4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
∴＝＝＝log363，＝＝＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.对数运算
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点 对数
1．对数的概念
(1)定义
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数________叫做以________为底________的对数，记作x＝________．
(2)相关概念
①底数与真数
其中，________叫做对数的底数，________叫做真数．
②常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作________；以无理数e＝2.718 28…为底数的对数称为自然对数，并且把logeN记为________．
状元随笔 logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．
2．对数的性质
性质1 ________没有对数
性质2 1的对数是________，即loga1＝________(a>0，且a≠1)
性质3 底数的对数是________，即logaa＝________(a>0，且a≠1)
性质4 alogaN＝N
基础自测
1.把指数式ab＝N化为对数式是( )
A．logba＝N B．logaN＝b
C．logNb＝a D．logNa＝b
2．把对数式loga49＝2写成指数式为( )
A．a49＝2 B．2a＝49
C．492＝a D．a2＝49
3．已知logx16＝2，则x等于( )
A．±4 B．4
C．256 D．2
4．下列各式：
①lg (lg 10)＝0；
②lg (ln e)＝0；
③若10＝lg x，则x＝10；
④由log25x＝，得x＝±5.
其中，正确的是________．(把正确的序号都填上)
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 指数式与对数式互化[经典例题]
例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)54＝625； (2)2－6＝；
利用ab＝N logaN＝b
(3)＝5.73; (4)＝－4；
(5)lg 0.01＝－2; (6)ln 10＝2.303.
方法归纳
指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式
将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式
将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化：
(1)25＝32; (2)＝4；
(3)log381＝4; (4)＝m.
底数不变，指数与对数，幂与真数相对应．
题型2 对数基本性质的应用
例2 求下列各式中的x的值．
(1)log2(log3x)＝0；
(2)log5(log2x)＝1；
(3)＝x.
利用性质logaa＝1，loga1＝0求值．
方法归纳
利用对数性质求值的方法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
跟踪训练2 求下列各式中的x的值．
(1)log8[log7(log2x)]＝0；
(2)log2[log3(log2x)]＝1.
已知多重对数式的值求变量，由外到内，利用性质逐一求值．
题型3 对数恒等式＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)的应用
例3 求下列各式的值：
(1)＋；
(2)22＋；
(3)101＋lg 2；
(4)e－1＋ln 3.
化成＝N形式，再求值．
【解析】 (1)因为＝3，＝2，
所以原式＝3＋2＝5.
(2)原式＝22×＝4×＝.
(3)原式＝10×10lg 2＝10×2＝20.
(4)原式＝e－1×eln 3＝×3＝.
方法归纳
利用对数恒等式化简的关键是利用指数幂的相关运算性质把式子转化为alogaN的形式．
跟踪训练3 计算：(1)＝________；
(2)＝________．
不同底的先化成同底，再利用对数恒等式求值．
4．2.1 对数运算
新知初探·自主学习
知识点
1．(1)x a N logaN (2)a N lg N ln N
2．零和负数 0 0 1 1
[基础自测]
1．解析：根据对数定义知ab＝N logaN＝b.
答案：B
2．解析：根据指数式与对数式的互化可知，把loga49＝2化为指数式为a2＝49.
答案：D
3．解析：由logx16＝2可知x2＝16，所以x＝±4，
又x＞0且x≠1，所以x＝4.
答案：B
4．解析：因为lg 10＝1，所以lg (lg 10)＝lg 1＝0，①正确；
因为ln e＝1，所以lg (ln e)＝lg 1＝0，②正确；
若10＝lg x，则x＝1010，③错误；
由log25x＝，得x＝＝5，④错误．
答案：①②
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)log5625＝4；(2)＝－6；(3)＝m；
(4)＝16；(5)10－2＝0.01；(6)e2.303＝10.
跟踪训练1 解析：(1)log232＝5；(2)＝－2；
(3)34＝81；(4)＝4.
例2 【解析】 (1)因为log2(log3x)＝0，
所以log3x＝1，
所以x＝3.
(2)因为log5(log2x)＝1，
所以log2x＝5，
所以x＝25＝32.
(3)＝＝＋1，
所以＝＝1，
所以x＝1.
跟踪训练2 解析：(1)由log8[log7(log2x)]＝0
得log7(log2x)＝1，
所以log2x＝7，
所以x＝27＝128.
(2)由log2[log3(log2x)]＝1得
log3(log2x)＝2，
所以log2x＝32，
所以x＝29＝512.
跟踪训练3 解析：(1)＝＝＝4.
(2)原式＝×＝3×
＝3×()－1＝3×2－1＝.
答案：(1)4 (2)
7(共20张PPT)
4.2.1 对数运算
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
知识点 对数
1．对数的概念
(1)定义
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数________叫做以________为底________的对数，记作x＝________．
x
a
N
logaN
(2)相关概念
①底数与真数
其中，________叫做对数的底数，________叫做真数．
②常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作________；以无理数e＝2.718 28…为底数的对数称为自然对数，并且把logeN记为________．
状元随笔 logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．
a
N
lg N
ln N
2．对数的性质
性质1 ________没有对数
性质2 1的对数是________，即loga1＝________(a>0，且a≠1)
性质3 底数的对数是________，即logaa＝________(a>0，且a≠1)
性质4 alogaN＝N
零和负数
0
0
1
1
基础自测
1.把指数式ab＝N化为对数式是( )
A．logba＝N B．logaN＝b
C．logNb＝a D．logNa＝b
解析：根据对数定义知ab＝N logaN＝b.
答案：B
2．把对数式loga49＝2写成指数式为( )
A．a49＝2 B．2a＝49
C．492＝a D．a2＝49
解析：根据指数式与对数式的互化可知，把loga49＝2化为指数式为a2＝49.
答案：D
3．已知logx16＝2，则x等于( )
A．±4 B．4
C．256 D．2
解析：由logx16＝2可知x2＝16，所以x＝±4，
又x＞0且x≠1，所以x＝4.
答案：B
4．下列各式：
①lg (lg 10)＝0；
②lg (ln e)＝0；
③若10＝lgx，则x＝10；
④由log25x＝，得x＝±5.
其中，正确的是________．(把正确的序号都填上)
解析：因为lg 10＝1，所以lg (lg 10)＝lg 1＝0，①正确；
因为ln e＝1，所以lg (ln e)＝lg 1＝0，②正确；
若10＝lgx，则x＝1010，③错误；
由log25x＝，得x＝＝5，④错误．
答案：①②
课堂探究·素养提升
题型1 指数式与对数式互化[经典例题]
例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)54＝625； (2)2－6＝；
(3)＝5.73; (4)＝－4；
(5)lg 0.01＝－2; (6)ln 10＝2.303.
利用ab＝N logaN＝b
【解析】 (1)log5625＝4；(2)＝－6；(3)＝m；
(4)＝16；(5)10－2＝0.01；(6)e2.303＝10.
方法归纳
指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式
将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式
将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化：
(1)25＝32; (2)＝4；
(3)log381＝4; (4)＝m.
底数不变，指数与对数，幂与真数相对应．
解析：(1)log232＝5；(2)＝－2；
(3)34＝81；(4)＝4.
题型2 对数基本性质的应用
例2 求下列各式中的x的值．
(1)log2(log3x)＝0；
(2)log5(log2x)＝1；
(3)＝x.
利用性质logaa＝1，loga1＝0求值．
【解析】 (1)因为log2(log3x)＝0，
所以log3x＝1，所以x＝3.
(2)因为log5(log2x)＝1，
所以log2x＝5，所以x＝25＝32.
(3)＝＝＋1，
所以＝＝1，
所以x＝1.
方法归纳
利用对数性质求值的方法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
跟踪训练2 求下列各式中的x的值．
(1)log8[log7(log2x)]＝0；
(2)log2[log3(log2x)]＝1.
已知多重对数式的值求变量，由外到内，利用性质逐一求值．
解析：(1)由log8[log7(log2x)]＝0
得log7(log2x)＝1，
所以log2x＝7，
所以x＝27＝128.
(2)由log2[log3(log2x)]＝1得
log3(log2x)＝2，
所以log2x＝32，
所以x＝29＝512.
题型3 对数恒等式＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)的应用
例3 求下列各式的值：
(1)＋；
(2)22＋；
(3)101＋lg 2；
(4)e－1＋ln 3.
化成＝N形式，再求值．
【解析】 (1)因为＝3，＝2，
所以原式＝3＋2＝5.
(2)原式＝22×＝4×＝.
(3)原式＝10×10lg 2＝10×2＝20.
(4)原式＝e－1×eln 3＝×3＝.
方法归纳
利用对数恒等式化简的关键是利用指数幂的相关运算性质把式子转化为alogaN的形式．
跟踪训练3 计算：(1)＝________；
(2)＝________．
不同底的先化成同底，再利用对数恒等式求值．
解析：(1)＝＝＝4.
(2)原式＝×＝3×
＝3×()－1＝3×2－1＝.
4
