第2课时 指数函数的图像和性质
1.下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝|x|
C．y＝2x D．y＝x3
2．下列判断正确的是( )
A．1.51.5＞1.52 B．0.52＜0.53
C．e2＜e D．0.90.2＞0.90.5
3．已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图像为( )
4．已知函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
利用指数函数的单调性比较大小[教材P12例1]
例1 利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
(1)0.8－0.1与0.8－0.2；(2)2.5a与2.5a＋1.
状元随笔 对于(1)(2)，要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较．可以利用函数y＝0.8x和y＝2.5x的单调性，以及“x＝0时，y＝1”这条性质把它们联系起来．
教材反思
1.由例题可以看出，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系．
2．比较幂值大小的三种类型及处理方法
跟踪训练1 比较下列各题中两个值的大小：
(1)与；
(2)与；
(3)0.20.3与0.30.2.
底数相同，指数不同；
底数不同，指数相同；
底数不同，指数不同．
指数函数的图像问题[经典例题]
例2 (1)如图所示是下列指数函数的图像：
(1)先由a＞1，0＜a＜1两个角度来判断函数的单调性，确定函数图像．
①y＝ax ②y＝bx
③y＝cx ④y＝dx
则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
(2)当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－3－2必过定点________.
(2)由y＝ax过定点(0，1)来求f(x)过定点．
【解析】 (1)可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图像上升，且当底数越大，图像向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图像下降，且当底数越小，图像向下越靠近x轴，故选B.
(2)当a＞0且a≠1时，总有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函数f(x)＝ax－3－2必过定点(3，－1)．
【答案】 (1)B (2)(3，－1)
方法归纳
指数函数的图像随底数变化的规律可归纳为：
(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像与直线x＝1相交于点(1，a)，由图像可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大．
(2)指数函数的底数与图像间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．
跟踪训练2 (1)已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图像为( )
由底数的范围判断函数图像 .
(2)若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝ax＋b的图像一定在( )
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
解简单的指数不等式[经典例题]
例3 (1)不等式3x－2＞1的解为________；
(2)若ax＋1＞ (a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．
状元随笔 首先确定指数不等式对应函数的单调性，然后根据单调性确定x的取值范围．
方法归纳
解指数不等式应注意的问题
(1)形如ax＞ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
(2)形如ax＞b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．
跟踪训练3 (1)解不等式≤3；
(2)已知 ＞，求x的取值范围．
(1)化成同底，确定指数函数的单调性．
(2)判断a2＋2a＋3的范围．
指数函数性质的综合应用
例4 已知函数f(x)＝a－ (x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；
(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1，5]上的最小值．
(1)用定义法证明函数的单调性需4步：
①取值；②作差变形；③定号；④结论．
(2)先由f(x)为奇函数求a , 再由单调性求最小值．
方法归纳
(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的定义，根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，结合指数运算性质建立方程求参数；
(2)若奇函数在原点处有定义，则可利用f(0)＝0，建立方程求参数．
跟踪训练4 已知定义在R上的函数f(x)＝2x＋，a为常数，若f(x)为偶函数，
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用单调性定义给予证明；
(3)求函数f(x)的值域．
(1)由偶函数求a.
(2)4步法证明f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
(3)利用单调性求最值，得值域．
第2课时 指数函数的图像和性质
[基础自测]
1．解析：y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以排除A；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C.选D.
答案：D
2．解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.2，
所以0.90.2＞0.90.5.
答案：D
3．解析：方法一 y2＝3x与y4＝10x单调递增；y1＝与y3＝10－x＝单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.
方法二 y2＝3x与y4＝10x单调递增，且y4＝10x的图像上升得快，y1＝与y2＝3x的图像关于y轴对称，y3＝10－x与y4＝10x的图像关于y轴对称，所以选A.
答案：A
4．解析：令x－1＝0，得x＝1，此时f(1)＝5.所以函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的图像恒过定点P(1，5).
答案：(1，5)
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)因为0.8－0.1与0.8－0.2都是以0.8为底的幂值，所以考察函数y＝0.8x，由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2.
(2)因为2.5a与2.5a＋1都是以2.5为底的幂值，所以考察函数y＝2.5x，由于这个函数在实数集R上是增函数，又因为a
跟踪训练1 解析：(1)因为0＜＜1，所以函数y＝在其定义域R上单调递减，又－1.8＞－2.5，所以＜.
(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝与y＝的图像，如图所示．当x＝－0.5时，由图像观察可得＞.
(3)因为0＜0.2＜0.3＜1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图像在函数y＝0.3x的图像的下方，所以0.20.2＜0.30.2.
又根据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.3＜0.20.2，所以0.20.3＜0.30.2.
跟踪训练2
解析：(1)由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图像，故选C.
(2)∵a＞1，且－1＜b＜0，故其图像如右图所示．
答案：(1)C (2)A
例3 【解析】 (1)3x－2＞1 3x－2＞30 x－2＞0 x＞2，所以解为(2，＋∞).
(2)因为ax＋1＞，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.
综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，
当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞).
【答案】 (1)(2，＋∞) (2)见解析
跟踪训练3 解析：(1)－2＝(3－1)x2－2＝32－x2，
∴原不等式等价于 32－x2≤31.
∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1.
∴x2≥1，即x≥1或x≤－1.
∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．
(2)∵a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2＞1，
∴y＝(a2＋2a＋3)x在R上是增函数．
∴x＞1－x，解得x＞.
∴x的取值范围是{ x| x＞}.
例4 【解析】 (1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝.
因为x1＜x2，
所以－＜0，
又(1＋)(1＋)＞0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
(2)因为f(x)在x∈R上为奇函数，
所以f(0)＝0，
即a－＝0，解得a＝.
所以f(x)＝－，
由(1)知，f(x)为增函数，
所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1).
因为f(1)＝－＝，
所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为.
跟踪训练4 解析：(1)由f(x)为偶函数得对任意实数x都有2x＋＝＋a·2x成立，即2x(1－a)＝·(1－a)，
所以1－a＝0，
所以a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝2x＋，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝＋－()＝(－)＋()＝(－)＋＝(－)(1-)＝(－)·，
因为x1＜x2，且x1，x2∈(0，＋∞)，
所以＜，＞1，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)由(2)知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又由f(x)为偶函数知函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，
所以f(x)≥f(0)＝2.
故函数f(x)的值域为[2，＋∞).
9(共31张PPT)
第2课时 指数函数的图像和性质
基础自测
课堂探究·素养提升
基础自测
1.下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝|x|
C．y＝2x D．y＝x3
解析：y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以排除A；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C.选D.
答案：D
2．下列判断正确的是( )
A．1.51.5＞1.52 B．0.52＜0.53
C．e2＜e D．0.90.2＞0.90.5
解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.2，所以0.90.2＞0.90.5.
答案：D
3．已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图像为( )
解析：方法一 y2＝3x与y4＝10x单调递增；y1＝与y3＝10－x＝单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.
方法二 y2＝3x与y4＝10x单调递增，且y4＝10x的图像上升得快，y1＝与y2＝3x的图像关于y轴对称，y3＝10－x与y4＝10x的图像关于y轴对称，所以选A.
答案：A
4．已知函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．
解析：令x－1＝0，得x＝1，此时f(1)＝5.所以函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的图像恒过定点P(1，5).
答案：(1，5)
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题型1 利用指数函数的单调性比较大小[教材P12例1]
例1 利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
(1)0.8－0.1与0.8－0.2；(2)2.5a与2.5a＋1.
【解析】 (1)因为0.8－0.1与0.8－0.2都是以0.8为底的幂值，所以考察函数y＝0.8x，由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2.
(2)因为2.5a与2.5a＋1都是以2.5为底的幂值，所以考察函数y＝2.5x，由于这个函数在实数集R上是增函数，又因为a状元随笔
对于(1)(2)，要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较．可以利用函数y＝0.8x和y＝2.5x的单调性，以及“x＝0时，y＝1”这条性质把它们联系起来．
教材反思
1.由例题可以看出，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系．
2．比较幂值大小的三种类型及处理方法
跟踪训练1 比较下列各题中两个值的大小：
(1)与；
底数相同，指数不同；
底数不同，指数相同；
底数不同，指数不同．
解析：(1)因为0＜＜1，所以函数y＝在其定义域R上单调递减，又－1.8＞－2.5，所以＜.
跟踪训练1 比较下列各题中两个值的大小：
(2)与；
底数相同，指数不同；
底数不同，指数相同；
底数不同，指数不同．
解析：(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝与y＝的图像，如图所示．当x＝－0.5时，由图像观察可得＞.
跟踪训练1 比较下列各题中两个值的大小：
(3)0.20.3与0.30.2.
底数相同，指数不同；
底数不同，指数相同；
底数不同，指数不同．
解析：(3)因为0＜0.2＜0.3＜1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图像在函数y＝0.3x的图像的下方，所以0.20.2＜0.30.2.
又根据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.3＜0.20.2，所以0.20.3＜0.30.2.
题型2 指数函数的图像问题[经典例题]
例2 (1)如图所示是下列指数函数的图像：
(1)先由a＞1，0＜a＜1两个角度来判断函数的单调性，确定函数图像．
①y＝ax ②y＝bx ③y＝cx ④y＝dx
则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
【解析】 (1)可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图像上升，且当底数越大，图像向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图像下降，且当底数越小，图像向下越靠近x轴，故选B.
【答案】 (1)B
(2)当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－3－2必过定点________.
(2)由y＝ax过定点(0，1)来求f(x)过定点．
【答案】 (3，－1)
【解析】 (2)当a＞0且a≠1时，总有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函数f(x)＝ax－3－2必过定点(3，－1)．
方法归纳
指数函数的图像随底数变化的规律可归纳为：
(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像与直线x＝1相交于点(1，a)，由图像可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大．
(2)指数函数的底数与图像间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．
跟踪训练2 (1)已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图像为( )
由底数的范围判断函数图像 .
解析：(1)由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图像，故选C.
答案：C
(2)若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝ax＋b的图像一定在( )
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
答案：A
解析：∵a＞1，且－1＜b＜0，故其图像如图所示．
题型3 解简单的指数不等式[经典例题]
例3 (1)不等式3x－2＞1的解为________；
【解析】 (1)3x－2＞1 3x－2＞30 x－2＞0 x＞2，所以解为(2，＋∞).
【答案】 (1)(2，＋∞)
题型3 解简单的指数不等式[经典例题]
例3 (2)若ax＋1＞ (a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．
【解析】 因为ax＋1＞，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.
综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，
当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞).
状元随笔
首先确定指数不等式对应函数的单调性，然后根据单调性确定x的取值范围．
方法归纳
解指数不等式应注意的问题
(1)形如ax＞ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
(2)形如ax＞b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．
跟踪训练3 (1)解不等式≤3；
(2)已知＞，求x的取值范围．
(1)化成同底，确定指数函数的单调性．
(2)判断a2＋2a＋3的范围．
解析：(1)－2＝(3－1)x2－2＝32－x2，
∴原不等式等价于32－x2≤31.
∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1.
∴x2≥1，即x≥1或x≤－1.
∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．
(2)∵a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2＞1，
∴y＝(a2＋2a＋3)x在R上是增函数．
∴x＞1－x，解得x＞.
∴x的取值范围是{ x| x＞}.
题型4 指数函数性质的综合应用
例4 已知函数f(x)＝a－ (x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；
(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1，5]上的最小值．
(1)用定义法证明函数的单调性需4步：
①取值；②作差变形；③定号；④结论．
(2)先由f(x)为奇函数求a , 再由单调性求最小值．
【解析】 (1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝.
因为x1＜x2，
所以－＜0，
又(1＋)(1＋)＞0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
(2)因为f(x)在x∈R上为奇函数，
所以f(0)＝0，
即a－＝0，解得a＝.
所以f(x)＝－，
由(1)知，f(x)为增函数，
所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1).
因为f(1)＝－＝，
所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为.
方法归纳
(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的定义，根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，结合指数运算性质建立方程求参数；
(2)若奇函数在原点处有定义，则可利用f(0)＝0，建立方程求参数．
跟踪训练4 已知定义在R上的函数f(x)＝2x＋，a为常数，若f(x)为偶函数，
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用单调性定义给予证明；
(3)求函数f(x)的值域．
(1)由偶函数求a.
(2)4步法证明f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
(3)利用单调性求最值，得值域．
解析：(1)由f(x)为偶函数得对任意实数x都有2x＋＝＋a·2x成立，即2x(1－a)＝·(1－a)，
所以1－a＝0，
所以a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝2x＋，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝＋－()＝(－)＋()＝(－)＋＝(－)(1-)＝(－)·，
因为x1＜x2，且x1，x2∈(0，＋∞)，
所以＜，＞1，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)由(2)知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又由f(x)为偶函数知函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，
所以f(x)≥f(0)＝2.
故函数f(x)的值域为[2，＋∞).指数函数的性质与图像
(1)通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． (2)能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点一 指数函数的定义
函数________(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．定义域为R.
状元随笔 指数函数解析式的3个特征
(1)底数a为大于0且不等于1的常数．
(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.
(3)ax的系数是1.
知识点二 指数函数的图像与性质
a>1 0图像
性 质 定义域 ________
值域 ________
过定点 过点______，即x＝______时，y＝______
函数值 的变化 当x>0时，________； 当x<0时，________ 当x>0时，________； 当x<0时，________
单调性 是R上的________ 是R上的________
状元随笔 底数a与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图像是“上升”的；当0第1课时 指数函数的概念
基础自测
1.下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1D．y＝
2．函数f(x)＝的定义域为( )
A．R B．(0，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，0)
3．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝的图像之间的关系是( )
A．关于y轴对称B．关于x轴对称
C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称
课堂探究·素养提升——强化创新性
指数函数概念的应用[经典例题]
例1 (1)若指数函数f(x)＝(2a－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1)
B．(1，＋∞)
C．(，1)
D．(－∞，1)
(1)根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠1，ax的系数是1.
(2)指数函数y＝f(x)的图像经过点(-2，)，那么f(4)·f(2)等于________．
(2)先设指数函数为f(x)＝ax，借助条件图像过点(－2 ，)求a，最后求值．
【解析】 (1)由已知，得0<2a－1<1，则(2)设y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，所以a－2＝，所以a＝2，
所以f(4)·f(2)＝24×22＝64.
【答案】 (1)C (2)64
方法归纳
(1)判断一个函数是指数函数的方法
①看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．
(2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤
跟踪训练1 (1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，则实数a的取值范围是________；
1.指数函数系数为1．
2．底数>0且≠1.
(2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)
①y＝2·()x ②y＝2x－1 ③y＝ ④y＝xx ⑤y＝ ⑥y＝.
指数函数
例2 已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(3)＝π，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．
状元随笔 要求f(0)，f(1)，f(－3)的值，应先求出f(x)＝ax的解析式，即先求a的值．
教材反思
求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．因为底数a是大于0且不等于1的实数，所以a＝－3应舍去．
跟踪训练2 若指数函数f(x)的图像经过点(2，9)，求f(x)的解析式及f(－1)的值．
设f(x)＝ax，代入(2，9)求出a .
4．1.2 指数函数的性质与图像
新知初探·自主学习
知识点一
y＝ax
知识点二
R (0，＋∞) (0，1) 0 1 y>1 01 增函数 减函数
第1课时 指数函数的概念
[基础自测]
1．解析：根据指数函数的定义y＝ax(a>0且a≠1)可知只有D项正确．
答案：D
2．解析：要使函数有意义，则2x－1>0，∴2x>1，∴x>0.
答案：B
3．解析：由作出两函数图像可知，两函数图像关于y轴对称，故选A.
答案：A
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解析：(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，
则解得a<且a≠1.
(2)①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.
答案：(1)(－∞，1)∪(1,) (2)③
例2 【解析】 因为f(x)＝ax，且f(3)＝π，则a3＝π，解得a＝，于是f(x)＝.
所以，f(0)＝π0＝1，f(1)＝＝，f(－3)＝π－1＝.
跟踪训练2 解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(2，9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去).
所以f(x)＝3x.所以f(－1)＝3－1＝.
5(共21张PPT)
4.1.2 指数函数的性质与图像
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
最新课程标准
(1)通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．
(2)能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
知识点一 指数函数的定义
函数________(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．定义域为R.
状元随笔 指数函数解析式的3个特征
(1)底数a为大于0且不等于1的常数．
(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.
(3)ax的系数是1.
y＝ax
知识点二 指数函数的图像与性质
a>1 0图像
性 质 定义域 ________
值域 ________
过定点 过点______，即x＝______时，y＝______
函数值 的变化 当x>0时，________； 当x<0时，________ 当x>0时，________；
当x<0时，________
单调性 是R上的________ 是R上的________
状元随笔 底数a与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图像是“上升”的；当0R
(0，＋∞)
(0，1)
0
1
y>1
00y>1
增函数
减函数
第1课时 指数函数的概念
基础自测
1.下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝
解析：根据指数函数的定义y＝ax(a>0且a≠1)可知只有D项正确．
答案：D
2．函数f(x)＝的定义域为( )
A．R B．(0，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，0)
解析：要使函数有意义，则2x－1>0，∴2x>1，∴x>0.
答案：B
3．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝的图像之间的关系是( )
A．关于y轴对称B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
解析：由作出两函数图像可知，两函数图像关于y轴对称，故选A.
答案：A
课堂探究·素养提升
题型 1 指数函数概念的应用[经典例题]
例1 (1)若指数函数f(x)＝(2a－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1)
B．(1，＋∞)
C．(，1)
D．(－∞，1)
(1)根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠1，ax的系数是1.
【解析】 (1)由已知，得0<2a－1<1，则【答案】 C
(2)指数函数y＝f(x)的图像经过点(-2，)，那么f(4)·f(2)等于________．
(2)先设指数函数为f(x)＝ax，借助条件图像过点(－2 ，)求a，最后求值．
【答案】 64
【解析】 (2)设y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，所以a－2＝，所以a＝2，
所以f(4)·f(2)＝24×22＝64.
方法归纳
(1)判断一个函数是指数函数的方法
①看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．
(2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤
跟踪训练1 (1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，则实数a的取值范围是________；
1.指数函数系数为1．
2．底数>0且≠1.
解析：(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，
则解得a<且a≠1.
答案：(－∞，1)∪(1,)
(2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)
①y＝2·()x ②y＝2x－1 ③y＝ ④y＝xx ⑤y＝ ⑥y＝.
答案：③
解析：(2)①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.
题型 2 指数函数
例2 已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(3)＝π，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．
【解析】 因为f(x)＝ax，且f(3)＝π，则a3＝π，解得a＝，于是f(x)＝.
所以，f(0)＝π0＝1，f(1)＝＝，f(－3)＝π－1＝.
状元随笔
要求f(0)，f(1)，f(－3)的值，应先求出f(x)＝ax的解析式，即先求a的值．
教材反思
求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．因为底数a是大于0且不等于1的实数，所以a＝－3应舍去．
跟踪训练2 若指数函数f(x)的图像经过点(2，9)，求f(x)的解析式及f(－1)的值．
设f(x)＝ax，代入(2，9)求出a .
解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(2，9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去).
所以f(x)＝3x.所以f(－1)＝3－1＝.实数指数幂及其运算
通过对有理数指数幂(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点一 n次方根及根式的概念
1．a的n次方根的定义
如果______________，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
(1)当n是奇数时，a的n次方根表示为__________________，a∈____________．
(2)当n是偶数时，a的n次方根表示为______________，其中________表示a的负的n次方根，a∈________．
3．根式
式子____________叫做根式，这里n叫做__________，a叫做__________．
状元随笔 根式的概念中要求n>1，且n∈N*.
知识点二 根式的性质
(1)()n＝________(n∈R＋，且n>1)；
(2)＝
状元随笔 ()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而中a∈R.
知识点三 分数指数幂的意义及有理数指数幂的
运算性质
1．分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数 指数幂 规定：＝________(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数 指数幂 规定：＝＝____________(a>0，m，n∈N*，且n>1)
性质 0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂______
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝________；(a>0，r，s∈Q)
(2)(ar)s＝________；(a>0，r，s∈Q)
(3)(ab)r＝________．(a>0，b>0，r∈Q)
3．无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个__________．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
基础自测
1.＋π等于( )
A．4 B．2π－4
C．2π－4或4 D．4－2π
2．b4＝3(b>0)，则b等于( )
C．43 D．35
3．(多选)下列各式错误的是( )
A．＝－3 B．＝a
C．()3＝－2 D．＝2
课堂探究·素养提升——强化创新性
利用根式的性质化简求值[经典例题]
例1 (1)下列各式正确的是( )
A．＝aB．a0＝1
C. ＝－4 D.＝－5
(2)计算下列各式：
①＝________．
②＝________．
③＝________．
首先确定式子中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果．
方法归纳
根式化简或求值的策略
(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ＋.
由根式被开方数正负讨论x≥y，x 根式与分数指数幂的互化[经典例题]
例2 (1)将分数指数幂(a>0)化为根式为________．
(2)化简：(a2·÷(·)＝________(用分数指数幂表示)．
(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．
①a3·.
②(a>0，b>0)．
利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂．
方法归纳
根式与分数指数幂互化的方法及思路
(1)方法：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．
跟踪训练2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A.－＝ (x>0)
B．＝(y<0)
＝(x>0)
＝－(x≠0)
A：－先把＝再加上－.
B：注意y<0.
C：负指数次幂运算．
分数指数幂的运算与化简[教材P7例3]
例3 化简下列各式：
；.
【解析】 (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＝
＝.
状元随笔 ①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a0＝1(a≠0)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减．
教材反思
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
跟踪训练3 计算：
(1)(－1.8)0＋·；
(a>0，b>0)．
状元随笔 先把根式化为分数指数幂再运用指数幂的运算法则计算．
4．1.1 实数指数幂及其运算
新知初探·自主学习
知识点一
1．xn＝a
2．(1) R (2)± － [0，＋∞)
3. 根指数 被开方数
知识点二
(1)a (2)a |a|
知识点三
1. 0 无意义
2．(1)ar＋s (2)ars (3)arbr
3．确定的实数
[基础自测]
1．解析：＋π＝4－π＋π＝4.故选A.
答案：A
2．解析：因为b4＝3(b>0)，∴b＝＝.
答案：B
3．解析：由于＝3，＝|a|，＝－2，故选项A，B，D错误．
答案：ABD
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)由于＝则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.
(2)①＝－a.
②＝＝π－3.
③＝－－＝－－＝.
【答案】 (1)D (2)①－a ②π－3 ③
跟踪训练1 解析：(1) ＝－2；
(2) ＝＝；
(3) ＝|3－π|＝π－3；
(4)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x.
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x所以原式＝
例2 【解析】 (1)＝＝
(2)(a2·÷(·)＝(a2·)÷(·)＝÷＝＝
(3)①a3·＝a3·＝＝. ②＝＝＝＝.
【答案】 (1) (2) (3)① ②
跟踪训练2 解析：－－ (x>0)；＝＝－ (y<0)；
＝＝ (x>0)；
＝＝ (x≠0).
答案：C
跟踪训练3 解析：(1)原式＝1＋·－10＋＝1＋·－10＋27＝29－10＝19.
(2)原式＝·0.12·＝2××8＝.
8(共25张PPT)
4.1.1 实数指数幂及其运算
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
最新课程标准
通过对有理数指数幂(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
新知初探·自主学习
知识点一 n次方根及根式的概念
1．a的n次方根的定义
如果_________，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
(1)当n是奇数时，a的n次方根表示为________，a∈______．
(2)当n是偶数时，a的n次方根表示为_______，其中________表示a的负的n次方根，a∈________．
3．根式
式子______叫做根式，这里n叫做______，a叫做__________．
状元随笔 根式的概念中要求n>1，且n∈N*.
xn＝a
R
±
－
[0，＋∞)
根指数
被开方数
知识点二 根式的性质
(1)()n＝________(n∈R＋，且n>1)；
(2)＝
状元随笔 ()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而中a∈R.
a
a
|a|
知识点三 分数指数幂的意义及有理数指数幂的
运算性质
1．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数 指数幂 规定：＝________(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数 指数幂 规定：＝＝____________(a>0，m，n∈N*，且n>1)
性质 0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂______
0
无意义
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝________；(a>0，r，s∈Q)
(2)(ar)s＝________；(a>0，r，s∈Q)
(3)(ab)r＝________．(a>0，b>0，r∈Q)
3．无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个__________．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
ar＋s
ars
arbr
确定的实数
基础自测
1.＋π等于( )
A．4 B．2π－4
C．2π－4或4 D．4－2π
解析：＋π＝4－π＋π＝4.故选A.
答案：A
2．b4＝3(b>0)，则b等于( )
C．43 D．35
解析：因为b4＝3(b>0)，∴b＝＝.
答案：B
3．(多选)下列各式错误的是( )
A．＝－3 B．＝a
C．()3＝－2 D．＝2
解析：由于＝3，＝|a|，＝－2，故选项A，B，D错误．
答案：ABD
课堂探究·素养提升
利用根式的性质化简求值[经典例题]
例1 (1)下列各式正确的是( )
A．＝aB．a0＝1
C. ＝－4 D.＝－5
【解析】 (1)由于＝则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.
【答案】 D
(2)计算下列各式：
①＝________．
②＝________．
③＝________．
【解析】①＝－a.
②＝＝π－3.
③＝－－＝－－＝.
－a
π－3
首先确定式子中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果．
方法归纳
根式化简或求值的策略
(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1) ；(2) ；(3) ；
(4) ＋.
由根式被开方数正负讨论x≥y，x解析：(1) ＝－2；
(2) ＝＝；
(3) ＝|3－π|＝π－3；
(4)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x.
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x所以原式＝
根式与分数指数幂的互化[经典例题]
例2 (1)将分数指数幂(a>0)化为根式为________．
(2)化简：(a2·÷(·)＝________(用分数指数幂表示)．
(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．
①a3·.
②(a>0，b>0)．
利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂．
【解析】 (1)＝＝
(2)(a2·÷(·)＝(a2·)÷(·)＝÷＝＝
(3)①a3·＝a3·＝＝. ②＝＝＝＝.
【答案】 (1) (2) (3)① ②
方法归纳
根式与分数指数幂互化的方法及思路
(1)方法：根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数
分数指数的分子．
(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．
跟踪训练2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A.－＝ (x>0)
B．＝(y<0)
＝(x>0)
＝－(x≠0)
A：－先把＝再加上－.
B：注意y<0.
C：负指数次幂运算．
解析：－－ (x>0)；＝＝－ (y<0)；
＝＝ (x>0)；＝＝ (x≠0).
答案：C
分数指数幂的运算与化简[教材P7例3]
例3 化简下列各式：
；.
【解析】 (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＝
＝.
状元随笔
①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a0＝1(a≠0)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减．
教材反思
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
跟踪训练3 计算：
(1)(－1.8)0＋·；
(a>0，b>0)．
状元随笔 先把根式化为分数指数幂再运用指数幂的运算法则计算．
解析：(1)原式＝1＋·－10＋＝1＋·－10＋27＝29－10＝19.
(2)原式＝·0.12·＝2××8＝.