安徽省马鞍山市12—13学年度高二上学期期末素质测试数学理

马鞍山市第二中学2012—2013学年度
第一学期期终素质测试
高二数学试题（理科）
命题人 聂晓峰 审题人 张以虎
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，计50分）
1．命题“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是（▲▲）
A、若a+b不是偶数，则a、b都不是偶数 B、若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数
C、若a、b都不是偶数，则a+b不是偶数 D、若a、b不都是偶数，则a+b不是偶数
2．“直线y=kx+1的倾斜角为钝角”的一个必要不充分条件是（▲▲）
A、k<0 B、k<-1 C、k<1 D、k>-2
3．下列语句为特称命题且为假命题的是（▲▲）
A、指数函数都是增函数 B、有一个事件的概率大于1吗？
C、有些三角形没有外接圆 D、存在一个实数x，使x2≤0
4．椭圆的焦点坐标为（▲▲）
A、(3, 0)，(-3, 0) B、(0, 3)，(0, -3) C、(2, 0)，(-2, 0) D、(0, 2)，(0, -2)
5．双曲线的渐近线方程为（▲▲）
A、y=±3x B、y=±x C、y=±x D、y=±x
6．过点(1, 1)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有（▲▲）
A、1条 B、2条 C、3条 D、0条
7．已知S是⊿ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若=x+y+z，则x+y+z的值为（▲▲）
A、0 B、1 C、2 D、3
8．若a、b、c为任意向量，λ∈R，下列等式不一定成立的是（▲▲）
A、(a+b)+c= a+(b+c) B、(a+b)·c= a·b+ a·c C、λ(a+b)=λa+λb D、(a·b)c= a(b·c)
9．已知A(x, 5-x, 2x-1)，B(1, x+2, 2-x)，当||取最小值时，x的值等于（▲▲）
A、 B、- C、19 D、
10．将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，则异面直线AB与CD的夹角的余弦值是（▲▲）
A、- B、 C、 D、
二、填空题（本大题5小题，每小题5分，计25分）
11．在⊿ABC中，“A12．双曲线上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则点P到左焦点的距离为　▲▲▲▲　；
13．抛物线y=x2的焦点坐标是　▲▲▲▲　；
14．已知a=(1, 1, 0)，b=(1, 1 ,1 )，若b=b1+b2，且b1∥a，b2⊥a，则b1=▲▲▲▲、b2=▲▲▲▲；
15．已知空间四边形ABCD的四条边和对角线长都为a，点E、F、G分别是AB，AD，DC的中点，则四个数量积①·；②·；③·；④·中，其中运算结果为的式子的序号为　▲▲▲▲　；
三、解答题（本大题共6小题，计75分）
16．（12分）给定两个命题：命题甲：关于x的不等式x 2 + (a-1)x +a2 ≤0的解集为Ф；命题乙：函数f (x)=(2a2-a) x在R上是增函数。分别求出符合下列条件的实数a的取值范围。
(1) 甲、乙中至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且仅有一个是真命题。
17．（12分）已知抛物线C：x2=2py(p>0)上一点A(m, 4)到其焦点F的距离为。
(1)求p与m的值；
(2)若直线l过焦点F交抛物线于P，Q两点，且|PQ|=5，求直线l的方程。
18．（12分）若a、b、c均为实数，且a=x2-2y+，b=y2-2z+，c=z2-2x+。求证：a，b，c中至少有一个大于0。
19．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点。
(1)求异面直线AC与PB的距离；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离。
20．（13分）如图，⊿BCD与⊿MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2。
(1)求直线AM与平面BCD所成角的大小；
(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
21、（14分）设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60 ，且。
（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程。
*******此页自行保存，只要上交答题卷，请将有关答案填入相应答题栏*******
2012-2013学年度第一学期期末考试高二数学理科***答题卷***
一、选择题(5×10=50)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题(5×5=25)
11）、 　　　　 ； 12）、 　　 ； 13)、　　　　　　　　　；
14）、 ； 15）、 。
三、解答题（本大题共6小题，计75分）
16．（12分）给定两个命题：命题甲：关于x的不等式x 2 + (a-1)x +a2 ≤0的解集为Ф；命题乙：函数f (x)=(2a2-a) x在R上是增函数。分别求出符合下列条件的实数a的取值范围。
(1) 甲、乙中至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且仅有一个是真命题。
17．（12分）若a、b、c均为实数，且a=x2-2y+，b=y2-2z+，c=z2-2x+。求证：a，b，c中至少有一个大于0。
18．（12分）已知抛物线C：x2=2py(p>0)上一点A(m, 4)到其焦点F的距离为。
(1)求p与m的值；
(2)若直线l过焦点F交抛物线于P，Q两点，且|PQ|=5，求直线l的方程。
19．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点。
(1)求异面直线AC与PB的距离；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离。
20．（13分）如图，⊿BCD与⊿MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2。
(1)求直线AM与平面BCD所成角的大小；
21、（14分）设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60 ，。
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程。
参考答案
一、选择题(3×12=36)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C D B A A D A B
二、填空题(4×5=20)
11）、 充要条件 ； 12）、 13 ； 13)、　　（0, １）　　；
14）、 (1, 1, 0) ； (0, 0, 1) ； 15）、 ②③ 。
三、解答题（本大题共6小题，计75分）
16．（12分）给定两个命题：命题甲：关于x的不等式x2 + (a-1)x +a2 ≤0的解集为Ф；命题乙：函数f (x)=(2a2-a) x在R上是增函数。分别求出符合下列条件的实数a的取值范围。
(1) 甲、乙中至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且仅有一个是真命题。
解：由甲命题为真，得(a-1)2-4a2<0， 　(3a-1)(a+1)>0，∴a< -1或a>，
　　由乙命题为真，得2a2-a>1， 　(2a+1)(a-1)>0，∴a< -或a>1。　　　　………4分
(1)若甲、乙全假，可得a∈[-，]，故所求范围是(-∞, -)∪(, +∞)　 　………8分
(2)若甲、乙全真，可得a∈(-∞, -1)∪(1, +∞)，故所求范围是[-1, -)∪(,1] ………12分
17．（12分）若a、b、c均为实数，且a=x2-2y+，b=y2-2z+，c=z2-2x+。求证：a，b，c中至少有一个大于0。
解：假设a、b、c均不大于零，则a+b+c≤0　（*）　　 ………2分
而由已知得，a+b+c=x2-2x+y2-2y+z2-2z+++=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3 ………8分
由于π-3<0，所以a+b+c>0，与（*）式矛盾，故假设错误，
所以，原命题成立。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………12分
18．（12分）已知抛物线C：x2=2py(p>0)上一点A(m, 4)到其焦点F的距离为。
(1)求p与m的值；
(2)若直线l过焦点F交抛物线于P，Q两点，且|PQ|=5，求直线l的方程。
解：(1)依题=4+，∴p=，x2=y，∴m2=4，m=±2 ………5分
(2)依题可设PQ的方程为l：y=kx+，与x2=y联立，消去x，得y2-(+k2)y+=0，
∴y1+y2=+k2，而|PQ|= y1+y2+p=1+k2，k2=5-1=4，k=±2 ………10分
∴直线l的方程为y=2x+或y= -2x+， ………12分
19．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点。
(1)求异面直线AC与PB的距离；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离。
答案：(1)、；(2)１；。
解析：以A为原点，以向量的方向为坐标轴方向建立空间直角坐标系，利用向量条件下的距离公式求解，以下省略。
20．（13分）如图，⊿BCD与⊿MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2。
(1)求直线AM与平面BCD所成角的大小；
(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
解：(1)取CD中点O，则MO⊥CD，
∵面MCD⊥面BCD交于CD，∴MO⊥面BCD，
又AB⊥面BCD，∴AB∥MO。
取AB中点F，连OF，由题设可知MO=，AF=，
∴OF∥AM，故OF与平面BCD所成的角等于所求的角。
而在Rt⊿BEF中，BO=，BF=，∠BOF=45 ，即所求的角为45 。　　　………6分
(2)延长BO、AM相交于点G，∵MO∥AB且MO=AB，
∴OG=BO=，又CO=1，∴CG=2，作EH⊥CG于H，
由于ME⊥平面BCD，则MH⊥CG，∴∠MHO即为所求二面角的平面角。
在Rt⊿OCG中，由OH·CG=OC·OG，得OH=，
从而MH=，∴sin∠MHO=。　　　　　　　………13分
另解：依题易知OB、OC、OM两两垂直，故可以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解，过程略。
21、（14分）设椭圆C：的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60 ，。
（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程。
解：(1)设F(c, 0)，则c2=a2-b2，且直线l的方程为y=(x-c)，设A(x1, y1)、B(x2, y2)，
由，得，∴y1+y2= -y2，y1y2=-2y22，
联立直线l与椭圆C的方程，并消元、整理，得，
于是 4a2=9c2，∴e=； ………7分
(2)∵|AB|=，∴　①； 由e=，得5a2=9b2 ②，
联立①②解得a=3，b2=5，∴椭圆C的方程为 ………14分
马鞍山市第二中学2012—2013学年度
第一学期期终素质测试
高二数学试题（理科）
命题人 聂晓峰 审题人 张以虎
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，计50分）
1．命题“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是（▲▲）
A、若a+b不是偶数，则a、b都不是偶数 B、若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数
C、若a、b都不是偶数，则a+b不是偶数 D、若a、b不都是偶数，则a+b不是偶数
2．“直线y=kx+1的倾斜角为钝角”的一个必要不充分条件是（▲▲）
A、k<0 B、k<-1 C、k<1 D、k>-2
3．下列语句为特称命题且为假命题的是（▲▲）
A、指数函数都是增函数 B、有一个事件的概率大于1吗？
C、有些三角形没有外接圆 D、存在一个实数x，使x2≤0
4．椭圆的焦点坐标为（▲▲）
A、(3, 0)，(-3, 0) B、(0, 3)，(0, -3) C、(2, 0)，(-2, 0) D、(0, 2)，(0, -2)
5．双曲线的渐近线方程为（▲▲）
A、y=±3x B、y=±x C、y=±x D、y=±x
6．过点(1, 1)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有（▲▲）
A、1条 B、2条 C、3条 D、0条
7．已知S是⊿ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若=x+y+z，则x+y+z的值为（▲▲）
A、0 B、1 C、2 D、3
8．若a、b、c为任意向量，λ∈R，下列等式不一定成立的是（▲▲）
A、(a+b)+c= a+(b+c) B、(a+b)·c= a·b+ a·c C、λ(a+b)=λa+λb D、(a·b)c= a(b·c)
9．已知A(x, 5-x, 2x-1)，B(1, x+2, 2-x)，当||取最小值时，x的值等于（▲▲）
A、 B、- C、19 D、
10．将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，则异面直线AB与CD的夹角的余弦值是（▲▲）
A、- B、 C、 D、
二、填空题（本大题5小题，每小题5分，计25分）
11．在⊿ABC中，“A12．双曲线上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则点P到左焦点的距离为　▲▲▲▲　；
13．抛物线y=x2的焦点坐标是　▲▲▲▲　；
14．已知a=(1, 1, 0)，b=(1, 1 ,1 )，若b=b1+b2，且b1∥a，b2⊥a，则b1=▲▲▲▲、b2=▲▲▲▲；
15．已知空间四边形ABCD的四条边和对角线长都为a，点E、F、G分别是AB，AD，DC的中点，则四个数量积①·；②·；③·；④·中，其中运算结果为的式子的序号为　▲▲▲▲　；
三、解答题（本大题共6小题，计75分）
16．（12分）给定两个命题：命题甲：关于x的不等式x 2 + (a-1)x +a2 ≤0的解集为Ф；命题乙：函数f (x)=(2a2-a) x在R上是增函数。分别求出符合下列条件的实数a的取值范围。
(1) 甲、乙中至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且仅有一个是真命题。
17．（12分）已知抛物线C：x2=2py(p>0)上一点A(m, 4)到其焦点F的距离为。
(1)求p与m的值；
(2)若直线l过焦点F交抛物线于P，Q两点，且|PQ|=5，求直线l的方程。
18．（12分）若a、b、c均为实数，且a=x2-2y+，b=y2-2z+，c=z2-2x+。求证：a，b，c中至少有一个大于0。
19．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点。
(1)求异面直线AC与PB的距离；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离。
20．（13分）如图，⊿BCD与⊿MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2。
(1)求直线AM与平面BCD所成角的大小；
(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
21、（14分）设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60 ，且。
（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程。
*******此页自行保存，只要上交答题卷，请将有关答案填入相应答题栏*******
2012-2013学年度第一学期期末考试高二数学理科***答题卷***
一、选择题(5×10=50)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题(5×5=25)
11）、 　　　　 ； 12）、 　　 ； 13)、　　　　　　　　　；
14）、 ； 15）、 。
三、解答题（本大题共6小题，计75分）
16．（12分）给定两个命题：命题甲：关于x的不等式x 2 + (a-1)x +a2 ≤0的解集为Ф；命题乙：函数f (x)=(2a2-a) x在R上是增函数。分别求出符合下列条件的实数a的取值范围。
(1) 甲、乙中至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且仅有一个是真命题。
17．（12分）若a、b、c均为实数，且a=x2-2y+，b=y2-2z+，c=z2-2x+。求证：a，b，c中至少有一个大于0。
18．（12分）已知抛物线C：x2=2py(p>0)上一点A(m, 4)到其焦点F的距离为。
(1)求p与m的值；
(2)若直线l过焦点F交抛物线于P，Q两点，且|PQ|=5，求直线l的方程。
19．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点。
(1)求异面直线AC与PB的距离；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离。
20．（13分）如图，⊿BCD与⊿MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2。
(1)求直线AM与平面BCD所成角的大小；
21、（14分）设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60 ，。
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程。
参考答案
一、选择题(3×12=36)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C D B A A D A B
二、填空题(4×5=20)
11）、 充要条件 ； 12）、 13 ； 13)、　　（0, １）　　；
14）、 (1, 1, 0) ； (0, 0, 1) ； 15）、 ②③ 。
三、解答题（本大题共6小题，计75分）
16．（12分）给定两个命题：命题甲：关于x的不等式x2 + (a-1)x +a2 ≤0的解集为Ф；命题乙：函数f (x)=(2a2-a) x在R上是增函数。分别求出符合下列条件的实数a的取值范围。
(1) 甲、乙中至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且仅有一个是真命题。
解：由甲命题为真，得(a-1)2-4a2<0， 　(3a-1)(a+1)>0，∴a< -1或a>，
　　由乙命题为真，得2a2-a>1， 　(2a+1)(a-1)>0，∴a< -或a>1。　　　　………4分
(1)若甲、乙全假，可得a∈[-，]，故所求范围是(-∞, -)∪(, +∞)　 　………8分
(2)若甲、乙全真，可得a∈(-∞, -1)∪(1, +∞)，故所求范围是[-1, -)∪(,1] ………12分
17．（12分）若a、b、c均为实数，且a=x2-2y+，b=y2-2z+，c=z2-2x+。求证：a，b，c中至少有一个大于0。
解：假设a、b、c均不大于零，则a+b+c≤0　（*）　　 ………2分
而由已知得，a+b+c=x2-2x+y2-2y+z2-2z+++=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3 ………8分
由于π-3<0，所以a+b+c>0，与（*）式矛盾，故假设错误，
所以，原命题成立。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………12分
18．（12分）已知抛物线C：x2=2py(p>0)上一点A(m, 4)到其焦点F的距离为。
(1)求p与m的值；
(2)若直线l过焦点F交抛物线于P，Q两点，且|PQ|=5，求直线l的方程。
解：(1)依题=4+，∴p=，x2=y，∴m2=4，m=±2 ………5分
(2)依题可设PQ的方程为l：y=kx+，与x2=y联立，消去x，得y2-(+k2)y+=0，
∴y1+y2=+k2，而|PQ|= y1+y2+p=1+k2，k2=5-1=4，k=±2 ………10分
∴直线l的方程为y=2x+或y= -2x+， ………12分
19．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点。
(1)求异面直线AC与PB的距离；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离。
答案：(1)、；(2)１；。
解析：以A为原点，以向量的方向为坐标轴方向建立空间直角坐标系，利用向量条件下的距离公式求解，以下省略。
20．（13分）如图，⊿BCD与⊿MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2。
(1)求直线AM与平面BCD所成角的大小；
(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
解：(1)取CD中点O，则MO⊥CD，
∵面MCD⊥面BCD交于CD，∴MO⊥面BCD，
又AB⊥面BCD，∴AB∥MO。
取AB中点F，连OF，由题设可知MO=，AF=，
∴OF∥AM，故OF与平面BCD所成的角等于所求的角。
而在Rt⊿BEF中，BO=，BF=，∠BOF=45 ，即所求的角为45 。　　　………6分
(2)延长BO、AM相交于点G，∵MO∥AB且MO=AB，
∴OG=BO=，又CO=1，∴CG=2，作EH⊥CG于H，
由于ME⊥平面BCD，则MH⊥CG，∴∠MHO即为所求二面角的平面角。
在Rt⊿OCG中，由OH·CG=OC·OG，得OH=，
从而MH=，∴sin∠MHO=。　　　　　　　………13分
另解：依题易知OB、OC、OM两两垂直，故可以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解，过程略。
21、（14分）设椭圆C：的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60 ，。
（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程。
解：(1)设F(c, 0)，则c2=a2-b2，且直线l的方程为y=(x-c)，设A(x1, y1)、B(x2, y2)，
由，得，∴y1+y2= -y2，y1y2=-2y22，
联立直线l与椭圆C的方程，并消元、整理，得，
于是 4a2=9c2，∴e=； ………7分
(2)∵|AB|=，∴　①； 由e=，得5a2=9b2 ②，
联立①②解得a=3，b2=5，∴椭圆C的方程为 ………14分
马鞍山市第二中学2012—2013学年度
第一学期期终素质测试
高二数学试题（理科）
命题人 聂晓峰 审题人 张以虎
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，计50分）
1．命题“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是（▲▲）
A、若a+b不是偶数，则a、b都不是偶数 B、若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数
C、若a、b都不是偶数，则a+b不是偶数 D、若a、b不都是偶数，则a+b不是偶数
2．“直线y=kx+1的倾斜角为钝角”的一个必要不充分条件是（▲▲）
A、k<0 B、k<-1 C、k<1 D、k>-2
3．下列语句为特称命题且为假命题的是（▲▲）
A、指数函数都是增函数 B、有一个事件的概率大于1吗？
C、有些三角形没有外接圆 D、存在一个实数x，使x2≤0
4．椭圆的焦点坐标为（▲▲）
A、(3, 0)，(-3, 0) B、(0, 3)，(0, -3) C、(2, 0)，(-2, 0) D、(0, 2)，(0, -2)
5．双曲线的渐近线方程为（▲▲）
A、y=±3x B、y=±x C、y=±x D、y=±x
6．过点(1, 1)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有（▲▲）
A、1条 B、2条 C、3条 D、0条
7．已知S是⊿ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若=x+y+z，则x+y+z的值为（▲▲）
A、0 B、1 C、2 D、3
8．若a、b、c为任意向量，λ∈R，下列等式不一定成立的是（▲▲）
A、(a+b)+c= a+(b+c) B、(a+b)·c= a·b+ a·c C、λ(a+b)=λa+λb D、(a·b)c= a(b·c)
9．已知A(x, 5-x, 2x-1)，B(1, x+2, 2-x)，当||取最小值时，x的值等于（▲▲）
A、 B、- C、19 D、
10．将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，则异面直线AB与CD的夹角的余弦值是（▲▲）
A、- B、 C、 D、
二、填空题（本大题5小题，每小题5分，计25分）
11．在⊿ABC中，“A12．双曲线上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则点P到左焦点的距离为　▲▲▲▲　；
13．抛物线y=x2的焦点坐标是　▲▲▲▲　；
14．已知a=(1, 1, 0)，b=(1, 1 ,1 )，若b=b1+b2，且b1∥a，b2⊥a，则b1=▲▲▲▲、b2=▲▲▲▲；
15．已知空间四边形ABCD的四条边和对角线长都为a，点E、F、G分别是AB，AD，DC的中点，则四个数量积①·；②·；③·；④·中，其中运算结果为的式子的序号为　▲▲▲▲　；
三、解答题（本大题共6小题，计75分）
16．（12分）给定两个命题：命题甲：关于x的不等式x 2 + (a-1)x +a2 ≤0的解集为Ф；命题乙：函数f (x)=(2a2-a) x在R上是增函数。分别求出符合下列条件的实数a的取值范围。
(1) 甲、乙中至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且仅有一个是真命题。
17．（12分）已知抛物线C：x2=2py(p>0)上一点A(m, 4)到其焦点F的距离为。
(1)求p与m的值；
(2)若直线l过焦点F交抛物线于P，Q两点，且|PQ|=5，求直线l的方程。
18．（12分）若a、b、c均为实数，且a=x2-2y+，b=y2-2z+，c=z2-2x+。求证：a，b，c中至少有一个大于0。
19．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点。
(1)求异面直线AC与PB的距离；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离。
20．（13分）如图，⊿BCD与⊿MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2。
(1)求直线AM与平面BCD所成角的大小；
(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
21、（14分）设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60 ，且。
（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程。
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2012-2013学年度第一学期期末考试高二数学理科***答题卷***
一、选择题(5×10=50)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题(5×5=25)
11）、 　　　　 ； 12）、 　　 ； 13)、　　　　　　　　　；
14）、 ； 15）、 。
三、解答题（本大题共6小题，计75分）
16．（12分）给定两个命题：命题甲：关于x的不等式x 2 + (a-1)x +a2 ≤0的解集为Ф；命题乙：函数f (x)=(2a2-a) x在R上是增函数。分别求出符合下列条件的实数a的取值范围。
(1) 甲、乙中至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且仅有一个是真命题。
17．（12分）若a、b、c均为实数，且a=x2-2y+，b=y2-2z+，c=z2-2x+。求证：a，b，c中至少有一个大于0。
18．（12分）已知抛物线C：x2=2py(p>0)上一点A(m, 4)到其焦点F的距离为。
(1)求p与m的值；
(2)若直线l过焦点F交抛物线于P，Q两点，且|PQ|=5，求直线l的方程。
19．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点。
(1)求异面直线AC与PB的距离；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离。
20．（13分）如图，⊿BCD与⊿MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2。
(1)求直线AM与平面BCD所成角的大小；
21、（14分）设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60 ，。
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程。
参考答案
一、选择题(3×12=36)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C D B A A D A B
二、填空题(4×5=20)
11）、 充要条件 ； 12）、 13 ； 13)、　　（0, １）　　；
14）、 (1, 1, 0) ； (0, 0, 1) ； 15）、 ②③ 。
三、解答题（本大题共6小题，计75分）
16．（12分）给定两个命题：命题甲：关于x的不等式x2 + (a-1)x +a2 ≤0的解集为Ф；命题乙：函数f (x)=(2a2-a) x在R上是增函数。分别求出符合下列条件的实数a的取值范围。
(1) 甲、乙中至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且仅有一个是真命题。
解：由甲命题为真，得(a-1)2-4a2<0， 　(3a-1)(a+1)>0，∴a< -1或a>，
　　由乙命题为真，得2a2-a>1， 　(2a+1)(a-1)>0，∴a< -或a>1。　　　　………4分
(1)若甲、乙全假，可得a∈[-，]，故所求范围是(-∞, -)∪(, +∞)　 　………8分
(2)若甲、乙全真，可得a∈(-∞, -1)∪(1, +∞)，故所求范围是[-1, -)∪(,1] ………12分
17．（12分）若a、b、c均为实数，且a=x2-2y+，b=y2-2z+，c=z2-2x+。求证：a，b，c中至少有一个大于0。
解：假设a、b、c均不大于零，则a+b+c≤0　（*）　　 ………2分
而由已知得，a+b+c=x2-2x+y2-2y+z2-2z+++=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3 ………8分
由于π-3<0，所以a+b+c>0，与（*）式矛盾，故假设错误，
所以，原命题成立。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………12分
18．（12分）已知抛物线C：x2=2py(p>0)上一点A(m, 4)到其焦点F的距离为。
(1)求p与m的值；
(2)若直线l过焦点F交抛物线于P，Q两点，且|PQ|=5，求直线l的方程。
解：(1)依题=4+，∴p=，x2=y，∴m2=4，m=±2 ………5分
(2)依题可设PQ的方程为l：y=kx+，与x2=y联立，消去x，得y2-(+k2)y+=0，
∴y1+y2=+k2，而|PQ|= y1+y2+p=1+k2，k2=5-1=4，k=±2 ………10分
∴直线l的方程为y=2x+或y= -2x+， ………12分
19．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点。
(1)求异面直线AC与PB的距离；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离。
答案：(1)、；(2)１；。
解析：以A为原点，以向量的方向为坐标轴方向建立空间直角坐标系，利用向量条件下的距离公式求解，以下省略。
20．（13分）如图，⊿BCD与⊿MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2。
(1)求直线AM与平面BCD所成角的大小；
(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
解：(1)取CD中点O，则MO⊥CD，
∵面MCD⊥面BCD交于CD，∴MO⊥面BCD，
又AB⊥面BCD，∴AB∥MO。
取AB中点F，连OF，由题设可知MO=，AF=，
∴OF∥AM，故OF与平面BCD所成的角等于所求的角。
而在Rt⊿BEF中，BO=，BF=，∠BOF=45 ，即所求的角为45 。　　　………6分
(2)延长BO、AM相交于点G，∵MO∥AB且MO=AB，
∴OG=BO=，又CO=1，∴CG=2，作EH⊥CG于H，
由于ME⊥平面BCD，则MH⊥CG，∴∠MHO即为所求二面角的平面角。
在Rt⊿OCG中，由OH·CG=OC·OG，得OH=，
从而MH=，∴sin∠MHO=。　　　　　　　………13分
另解：依题易知OB、OC、OM两两垂直，故可以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解，过程略。
21、（14分）设椭圆C：的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60 ，。
（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程。
解：(1)设F(c, 0)，则c2=a2-b2，且直线l的方程为y=(x-c)，设A(x1, y1)、B(x2, y2)，
由，得，∴y1+y2= -y2，y1y2=-2y22，
联立直线l与椭圆C的方程，并消元、整理，得，
于是 4a2=9c2，∴e=； ………7分
(2)∵|AB|=，∴　①； 由e=，得5a2=9b2 ②，
联立①②解得a=3，b2=5，∴椭圆C的方程为 ………14分
D
C
B
A
第19题
C
P
D
B
A
E
M
第20题
E
A
B
D
P
C
第19题
A
B
C
D
M
第20题
E
A
B
D
P
C
第19题
z
A
B
C
D
M
O
x
y
F
G
H
第20题
E
A
B
D
P
C
第19题
A
B
C
D
M
第20题
E
A
B
D
P
C
第19题
A
B
C
D
M
第20题
E
A
B
D
P
C
第19题
z
A
B
C
D
M
O
x
y
F
G
H
第20题
E
A
B
D
P
C
第19题
A
B
C
D
M
第20题
E
A
B
D
P
C
第19题
A
B
C
D
M
第20题
E
A
B
D
P
C
第19题
z
A
B
C
D
M
O
x
y
F
G
H
第20题
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