洋浦中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学(文)试题
一、选择题(每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案)
1.“”是方程表示双曲线的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3.下列命题中假命题是( )
A.离心率为的双曲线的两渐近线互相垂直
B.过点(1,1)且与直线x-2y+=0垂直的直线方程是2x + y-3=0
C.抛物线y2 = 2x的焦点到准线的距离为1
D.+=1的两条准线之间的距离为
4.过曲线,点P的坐标为 ( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆和双曲线有公共焦点,那么双曲线的渐近线方程为( )
A. B.
C. D.
6.给出30个数:1,2,4,7,11,…,要计算这30个数的和,现已给出了该问题的程序框图如右图所示,那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )
A. B.
C. D.
7.( )
A. B. C. D.
8.方程y=ax2+b与y2=ax2-b表示的曲线在同一坐标系中的位置可以是( )
9.函数f(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是 ( )
A.0<<<f(3)-f(2) B.0<<f(3)-f(2) <
C.0<f(3)<<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<<
10 若点的坐标为,是抛物线的焦点,点在抛物线上移动时,使取得最小值的的坐标为( )
A B C D
11.已知抛物线的焦点为,点,在抛物线上,且, 则有 ( )
A. B.
C. D.
12.椭圆与圆(为椭圆半焦距)有四个不同交点,则离心率的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“?”或“?”可表述为___________.
14.设,,△的周长是,则的顶点的轨迹方程为___ ________
15.如图,椭圆的中心在坐标原点,为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”,可推出“黄金双曲线”的离心率为 .
16. 设曲线()在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为,则= .
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2012-2013学年第一学期期末考试高二年级(理科)数学试题答题卡
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13、 ; 14、 ;15、 ;16、 ;
三、解答题(共70分)
17、(本题10分)双曲线的离心率等于4,且与椭圆有相同的焦点,求此双曲线方程.
18、(本题12分)已知曲线y=
(1)求曲线在x=2处的切线方程;(2)求曲线过点(2,4)的切线方程.
19、(本题12分)某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查,以计算每户的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”.若小区内有至少的住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否则称为“非低碳小区” .若备选的5个居民小区中有三个非低碳小区,两个低碳小区.
(1)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率;
(2)假定选择的“非低碳小区”为小区,调查显示其“低碳族”的比例为1:2,数据如图1所示,经过大力宣传,三个月后又进行一次调查,数据如图2所示,问这时小区是否达到“低碳小区”的标准?
20、(本题12分)直线(极轴与x轴的非负半轴重合,且单位长度相同)。
(1)求圆心C到直线的距离; (2)若直线被圆C截的弦长为的值。
21、(本题14分)如图,一水渠的横断面是抛物线形,O是抛物线的顶点,口宽EF=4米,高3米,建立适当的直角坐标系,(1)求抛物线方程.(2)若将水渠横断面改造成等腰梯形ABCD,要求高度不变,只挖土,不填土,求梯形ABCD的下底AB多大时,所挖的土最少?
请在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.已知圆方程为.
(1)求圆心轨迹的参数方程C;
(2)点是(1)中曲线C上的动点,求的取值范围.
23.已知曲线C:(为参数).
(1)将C的参数方程化为普通方程;
(2)若把C上各点的坐标经过伸缩变换后得到曲线,求曲线上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值.
24. 在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为.
(1)求圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线交于点,若点的坐标为,求
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2012-2013学年第一学期期末考试高二年级(文科)数学试卷答案
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
D
A
D
D
B
D
B
D
C
A
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13、?x0<0,使(1+x0)(1-9x0)>0 14、
15、 16、
三、解答题(共70分)
17题 解:∵ 椭圆的焦点坐标为(-4,0)和(4,0),……………………3分
则可设双曲线方程为(a>0,b>0),
∵ c=4,又双曲线的离心率等于2,即,∴ a=1.……………………6分
∴ =15.故所求双曲线方程为……………………10分
18题: (1)∵=x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=|x=2=4. ……………2分?
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. …………………… 4分?
(2)设曲线y=与过点P(2,4)的切线相切于点,
则切线的斜率k=|=. …………………… 6分
∴切线方程为即 …………………… 8分
∵点P(2,4)在切线上,∴4=
即∴
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. ……………………12分
19、(本题12分)
(1)设三个“非低碳小区”为,两个“低碳小区”为 …………1分
用表示选定的两个小区,,
则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个:,,,,,, ,,,. …………4分
用表示:“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件,则中的结果有6个:,,, ,,.……6分 故所求概率为.……7分
(2)由图1可知月碳排放量不超过千克的成为“低碳族”. …………9分
由图2可知,三个月后的低碳族的比例为,……11分
所以三个月后小区达到了“低碳小区”标准. …………12分
21.(本小题满分14分)
(1)解:如图 以O为原点,AB所在的直线为X轴,建立平面直角坐标系,
则F(2,3),设抛物线的方程是
因为点F在抛物线上,所以
所以抛物线的方程是
……………………4分
(2) 解:等腰梯形ABCD中,AB∥CD,线段AB的中点O是抛物线的顶点,AD,AB,BC分别与抛物线切于点M,O,N
,设,,则抛物线在N处的切线方程是……………………8分
,所以,……………………10分
梯形ABCD的面积是
……………………12分
答:梯形ABCD的下底AB=米时,所挖的土最少. ……………………14分
22.解:将圆的方程整理得:(x-4cos)2+(y-3sin)2=1 设圆心坐标为P(x,y)
则 --------5分
(2)2x+y=8cos+3sin =
∴ -≤2x+y≤-……………10分
23. 解:⑴的普通方程为. (4分)
⑵(方法一)经过伸缩变换后,(为参数), (7分)
∴≤3,当时取得“=”.
∴曲线上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值为3. (10分)
(方法二) 经过伸缩变换后,,∴. (7分)
∵≥,∴≤3.
当且仅当时取“=”.
∴曲线上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值为3. (10分)