海南省洋浦中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学（文）试题

洋浦中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学（文）试题
一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）
1.“”是方程表示双曲线的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．椭圆的离心率为(　 )
A. B. C. D.
3．下列命题中假命题是（ ）
A．离心率为的双曲线的两渐近线互相垂直
B．过点（1，1）且与直线x－2y+=0垂直的直线方程是2x + y－3=0
C．抛物线y2 = 2x的焦点到准线的距离为1
D．+=1的两条准线之间的距离为
4．过曲线，点P的坐标为 ( )
A． B． C． D．
5.已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为（　 　）
A． B．
C． D．
6．给出30个数：1，2，4，7，11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（ ）
A． B．
C． D．
7.（ ）
A． B． C． D．
8.方程y＝ax2＋b与y2＝ax2－b表示的曲线在同一坐标系中的位置可以是（ ）
9.函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是 ( )
A.0＜＜＜f(3)-f(2) B.0＜＜f(3)-f(2) ＜
C.0＜f(3)＜＜f(3)-f(2) D.0＜f(3)-f(2)＜＜
10 若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（ ）
A B C D
11.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且， 则有 （　 ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
12.椭圆与圆（为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是 （　 ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”或“?”可表述为___________．
14.设,,△的周长是，则的顶点的轨迹方程为___ ________
15.如图，椭圆的中心在坐标原点，为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为 ．
16. 设曲线()在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为,则=　　　　．
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2012-2013学年第一学期期末考试高二年级（理科）数学试题答题卡
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13、 ； 14、 ；15、 ；16、 ；
三、解答题（共70分）
17、（本题10分）双曲线的离心率等于4，且与椭圆有相同的焦点，求此双曲线方程.
18、（本题12分）已知曲线y=
（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.
19、（本题12分）某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．若备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.
（1）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；
（2）假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为1:2，数据如图1所示，经过大力宣传，三个月后又进行一次调查，数据如图2所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？
20、（本题12分）直线（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同）。
（1）求圆心C到直线的距离； （2）若直线被圆C截的弦长为的值。
21、（本题14分）如图,一水渠的横断面是抛物线形，O是抛物线的顶点,口宽EF=4米，高3米，建立适当的直角坐标系，（1）求抛物线方程.（2）若将水渠横断面改造成等腰梯形ABCD，要求高度不变，只挖土，不填土，求梯形ABCD的下底AB多大时，所挖的土最少？
请在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．已知圆方程为．
（1）求圆心轨迹的参数方程C；
（2）点是（1）中曲线C上的动点，求的取值范围．
23.已知曲线C：（为参数）.
(1)将C的参数方程化为普通方程；
(2)若把C上各点的坐标经过伸缩变换后得到曲线，求曲线上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值．
24. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求
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2012-2013学年第一学期期末考试高二年级（文科）数学试卷答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
D
A
D
D
B
D
B
D
C
A
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13、?x0<0，使(1＋x0)(1－9x0)>0 14、
15、 16、
三、解答题（共70分）
17题 解：∵ 椭圆的焦点坐标为（－4，0）和（4，0），……………………3分
则可设双曲线方程为（a＞0，b＞0），
∵ c＝4，又双曲线的离心率等于2，即，∴ a＝1．……………………6分
∴ ＝15．故所求双曲线方程为……………………10分
18题: （1）∵=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=|x=2=4. ……………2分?
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. …………………… 4分?
（2）设曲线y=与过点P（2，4）的切线相切于点，
则切线的斜率k=|=. …………………… 6分
∴切线方程为即 …………………… 8分
∵点P（2，4）在切线上，∴4=
即∴
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. ……………………12分
19、（本题12分）
（1）设三个“非低碳小区”为，两个“低碳小区”为 …………1分
用表示选定的两个小区，，
则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个：，，，,,, ,,，. …………4分
用表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则中的结果有6个：，,, ，,.……6分 故所求概率为.……7分
（2）由图1可知月碳排放量不超过千克的成为“低碳族”. …………9分
由图2可知，三个月后的低碳族的比例为，……11分
所以三个月后小区达到了“低碳小区”标准. …………12分
21．（本小题满分14分）
（1）解：如图 以O为原点，AB所在的直线为X轴，建立平面直角坐标系，
则F（2，3），设抛物线的方程是
因为点F在抛物线上，所以
所以抛物线的方程是
……………………4分
(2) 解：等腰梯形ABCD中,AB∥CD，线段AB的中点O是抛物线的顶点，AD，AB，BC分别与抛物线切于点M，O，N
，设，，则抛物线在N处的切线方程是……………………8分
，所以，……………………10分
梯形ABCD的面积是
……………………12分
答：梯形ABCD的下底AB=米时，所挖的土最少. ……………………14分
22．解：将圆的方程整理得：(x-4cos)2+(y-3sin)2=1 设圆心坐标为P(x,y)
则 --------5分
(2)2x+y=8cos+3sin =
∴ -≤2x+y≤-……………10分
23. 解：⑴的普通方程为．　　 (4分)
⑵(方法一)经过伸缩变换后，（为参数），　 　　(7分)
∴≤3，当时取得“=”.
∴曲线上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值为3.　　　　　　　　 (10分)
(方法二) 经过伸缩变换后，，∴.　　　(7分)
∵≥，∴≤3.
当且仅当时取“=”.
∴曲线上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值为3. (10分)