七年级数学冀教版下册 6.1 二元一次方程组 学案（无答案）

第一讲 二元一次方程组
教学目标
通过实例，认知二元一次方程和二元一次方程组都是反映数量关系的重要教学模型；
了解二元一次方程和它的解、二元一次方程组和它的解，会判断一组未知数的值是否为二元一次方程组的解；
会把一些简单的实际问题中的数量关系用二元一次方程组表示出来。
知识点梳理
知识点一、二元一次方程的有关概念
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程。
例：，，，等都是二元一次方程。
提示：任何一个二元一次方程经过整理后都可化成的一般形式。
构成二元一次方程的条件：①含有两个未知数；②含有未知数的式子都是整式；③含未知数的项的次数都是1。
能够使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解。
提示：理解二元一次方程解的概念应注意：由于每一个二元一次方程都含有两个未知数，因此它的解有无数个。
例如： 和 都是二元一次方程的解，此方程有无穷多个解。
通常求二元一次方程的解的方法是：先用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，例如：求二元一次方程的解，可想将其变形为，然后给出的一个值，就能对应地求出的一个值，这样得到的每一对对应值都是二元一次方程的解。
例1、判断下列各组数是不是二元一次方程的解。
(1) (2)
知识点二、二元一次方程组的有关概念
由几个方程组成的一组方程叫做方程组。含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组，叫做二元一次方程组。
如 和 都是二元一次方程组。
提示：①二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程组成的，方程的个数也可以超过两个，其中有的方程可以是一元方程。如 ， 等都是二元一次方程组。
②两个相同未知数必须代表同一数量，否则不能构成二元一次方程组。
二元一次方程组中方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
提示：①方程组的解满足方程组中的每一个方程；②由于方程组需用“｛”表示，所以方程组的解也要用“｛”来表示。
如：方程组 的解表示为
检验一对数是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法是：将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这对数值满足所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；若这对数值不满足其中的任何一个方程，那么它就不是此方程在的解。
例2、判定下列各组数是不是二元一次方程组 的解.
(1) (2)
知识点三、列二元一次方程组
二元一次方程（组）与一元一次方程相类似，也是反映实际问题中数量关系的一种很有效的数学模型，是我们解决实际问题的常用工具。分析实际问题中的两个数量关系，并利用其中的相等关系列出方程组，这是利用代数方法解决实际问题的一般思想。
例3、根据下列语句，分别设适当的未知数，列出方程或方程组。
（1）甲的年龄的3倍比乙的年龄的2倍大4；
（2）某个体商贩在一次买卖中同时卖出两个计算器，每种都以135元出售，按成本计算，其中一个盈利25%，另一个亏本25%.
典型例题
1、已知方程是二元一次方程，试求的值。
2、写出二元一次方程的所有正整数解。
3、如果 与 都是方程的解，那么的值分别是多少？
某球迷协会组织64名球迷租乘汽车赴比赛场地，可租用的汽车有两种：一种是每辆可乘10人，另一种是每辆车可乘4人，要求租用的汽车不留空座也不超载。
（1）请你给出所以可能的租车方案；
（2）若10个座位的汽车租金是300元/天，4个座位的汽车租金是150元/天，请你设计
费用最小的租车方案，并说明理由。
小伟家承包了25亩地，今年春季计划种植黄豆和棉花，共花费了44000元，其中黄豆每亩用1700元，每亩获纯利2400元；棉花每亩用1800元，每亩获纯利2600元。问小伟家一共获纯利多少元？（只列方程组不求解，并用含的式子表示结果）
6、写出一个以 为解的二元一次方程组。
小明给小刚出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组 中第1个方程中的系数遮住，第2个方程中的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出
我原来的方程组吗？”
8、已知方程组是二元一次方程组，请求出的值。
课堂练习
下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A、 B、 C、 D、
下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A、 B、 C、 D、
若是方程的解，则的取值是（ ）
A、5 B、-5 C、2 D、1
已知是方程组的解，则=__________.
若是关于的二元一次方程，则的值是（ ）
A、1 B、任何数 C、2 D、1或2
下面的四个方程中，有一个解为的是（ ）
A、 B、 C、 D、
方程的正整数解有（ ）
A、1组 B、2组 C、3组 D、4组
假期到了，17名女教师取外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有（ ）种租住方案。
A、5 B、4 C、3 D、2
在式子：①；②；③；④；⑤；⑥中，是二元一次方程的有________________.
判断下列各组数是不是二元一次方程组的解。
（1） （2）
根据问题，列方程组：某校七年级学生外出春游，如果每辆汽车坐45人，那么15人没有座位；如果每辆汽车坐60人，那么空出一辆汽车，问共有几辆汽车？（列出方程组即可）
已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
甲乙两个牧羊人放牧归来，甲说：“把你的羊分给我3只，那么我的羊的数目就是你的羊的数目的2倍了。”乙说：“不，还是把你的羊分3只给我，那么我们的羊的数目就一样多了。”问他们原来各有多少只羊。（只列方程或方程组）
课后作业
下列方程中，二元一次方程的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥； ⑦.
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
下列各方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A、 B、 C、 D、
方程的正整数解是____________.
设甲数为，乙数为，根据下列语句，分别列出二元一次方程：
（1）甲数的一半与乙数的的和为100；
（2）甲数与乙数的2倍的和为-5；
（3）甲数的2倍与乙数的的差为-1；
（4）甲数翻一番后与乙数的差的一半等于9.
如图所示，射线OC的端点在直线AB上，∠AOC的度数比∠BOC的度数的2倍多10.设∠AOC和∠BOC的度数分别为则下列方程组正确的为（ ）
A、 B、
C、 D、
小明和小红两人共同解方程组，小明看错了中的，得到方程组的解为，小华不小心看错了方程中的，得到方程组的解为。根据他们对话的内容，请求出，的正确值，并计算的值。
①
②