7.5 正态分布 同步检测-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（word版含答案）

7.5 正态分布（同步检测）
一、选择题
1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ<0)＝(　　)
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，P(ξ≤4)＝0.68，则P(ξ≥2)＝(　　)
A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16
3.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0，2)内取值的概率为0.8，则ξ在(0，1)内取值的概率为(　　)
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.8
4.某校有1 200人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为(　　)
A．180 B．240
C．360 D．480
5.已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：千克)服从正态分布N(90，64).现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在区间(82，106)内的产品估计有(　　)
(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.954 5)
A．8 186件 B．6 826件
C.4 772件 D．2 718件
6.(多选题)已知随机变量X服从正态分布N(100，102)，则下列选项正确的是(　　)
(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈0.682 7)，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)≈0.997 3)
A.E(X)＝100 B．D(X)＝100
C.P(X≥90)＝0.841 35 D．P(X≤120)＝0.998 7
7.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σA．2 387 B．2 718 C．3 414 D．4 777
二、填空题
8.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，则P(ξ＜2)＝________
9.若随机变量ξ服从正态分布N(9，16)，则P(－3＜ξ≤13)＝________
(参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3)
10.研究珠海市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数X服从正态分布N(90，σ2)，且P(x＜70)＝0.1，从中随机抽取10株，果实个数在[90，110]的株数记作随机变量X，假设X服从二项分布，则X的方差为________
11.有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20，4)，若该批零件共有5 000个，则这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占百分比为______，若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有________个．
12.若某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(1，22)，从中随机取一件，其长度误差落在区间 (3，5)内的概率为________
三、解答题
13.在一次测试中，测试结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0，2)内取值的概率为0.2，求：
(1)X在(0，4)内取值的概率；(2)P(X>4).
14.某市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168，16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164)，第2组[164，168)，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)试估计该校高三年级男生的平均身高；
(2)求这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数；
(3)在这50名身高在172 cm以上(含172 cm)的男生中任意抽取2人，将该2人身高纳入全市排名(从高到低)，能进入全市前135名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
15.搪瓷是涂烧在金属底坯表面上的无机玻璃瓷釉．搪瓷制品曾经是人们不可或缺的生活必备品，如厨房用具中的锅碗瓢盆、喝茶用到的杯子、洗脸用到的脸盆、婚嫁礼品等，可以说搪瓷制品浓缩了上世纪一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，并交给生产水平不同的A和B两个厂生产．已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X服从正态分布N(μ，0.25)，且P(X<6)＝，在电商平台上A厂生产的搪瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的搪瓷水杯的零售价为30元/件．
(1)①求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值；
②若A厂生产了10 000件这种搪瓷水杯，记ξ表示这10 000件搪瓷水杯等级系数X位于区间[5.5，6.5]的产品件数，求E(ξ).
(2)从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示．
设L＝，若以“L的值越大，产品越具可购买性”为判断标准，根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由．
注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
参考答案：
一、选择题
1.A　2.B　3.C　4.C　5.A　
6.ABC　
解析：∵随机变量X服从正态分布N(100，102)，∴曲线关于x＝100对称，
根据题意可得，P(90＜x＜110)≈0.682 7，P(80＜x＜120)≈0.954 5，
∴P(x≥90)≈0.5＋×0.682 7＝0.841 35，故C正确；
P(x≤120)≈0.5＋×0.954 5＝0.977 25，故D错误．而A，B都正确．故选ABC.
7.C　
解析：由P(－1二、填空题
8.答案：0.5　
9.答案：0.84　
10.答案：2.4　
解析：∵x～N(90，σ2)，且P(x＜70)＝0.1，∴P(90＜x＜110)＝0.5－0.1＝0.4，∴X～B(10，0.4)，
X的方差为10×0.4×(1－0.4)＝2.4.故答案为2.4.
11.答案：68.27%，107　
解析：∵X～N(20，4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%.
∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在14～26 mm间的零件所占的百分比大约是99.73%，而尺寸在16～24 mm间的零件所占的百分比大约是95.45%.
∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.14%.因此尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.14%＝107(个).
∴这批零件中不合格的零件大约有107个．
12.答案：0.135 9　
解析：设长度误差为随机变量ξ，由正态分布N(1，22)得P(－1<ξ<3)≈0.682 7，P(－3<ξ<5)≈0.954 5，所以P(3<ξ<5)＝≈＝0.135 9.
三、解答题
13.解：(1)由X～N(2，σ2)知，对称轴x＝2，画出示意图，
因为P(0(2)P(X>4)＝[1－P(014.解：由频率分布直方图可知，该校高三年级男生的平均身高约为(162×0.05＋166×0.07＋170×0.08＋174×0.02＋178×0.02＋182×0.01)×4＝168.72(cm).
(2)由频率分布直方图知，后3组的频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10.
(3)全市100 000名男生的身高X服从正态分布N(168，16)，则P(168－3×4≤X≤168＋3×4)＝P(156≤X≤180)≈0.997 3.
由正态曲线的对称性可知，P(X≥180)≈＝0.001 35，且0.001 35×100 000＝135，
故全市约前135名男生的身高在180 cm及以上．
这50人中身高在180 cm及以上的人数为50×0.01×4＝2.
随机变量ξ的可能取值为0，1，2，则
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
15.解：(1)①根据题意，P(X<6)＝，得μ＝6，即A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为6.
②∵σ2＝0.25，∴σ＝0.5，则μ＋σ＝6.5，μ－σ＝5.5，
易知一件搪瓷水杯等级系数X位于区间[5.5，6.5]的概率约为0.682 7，依题意知ξ服从参数为10 000，0.682 7的二项分布，∴E(ξ)≈10 000×0.682 7＝6 827.
(2)A厂生产的搪瓷水杯更具可购买性，理由如下：
用样本估计总体，可得B厂生产的搪瓷水杯的等级系数XB的平均值为(3.5×10＋4.5×8＋5.5×6＋6.5×5＋7.5×1)＝4.8.
∵A厂生产搪瓷水杯的等级系数的平均值为6，价格为36元/件，∴LA＝＝≈0.17，
∵B厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为4.8，价格为30元/件，∴LB＝＝0.16，
又0.17>0.16，故A厂生产的搪瓷水杯更具可购买性．