沪教版（2020）数学必修第二册 8.1.1 向量的概念 测试题（含解析）

【学生版】
《第 8 章　平面向量》【8.1.1 向量的概念】
【附录】相关考点
考点一 向量与标量 既有大小又有方向的量叫做向量；准确地说，一个向量由两个要素定义，一是它的大小（一个非负实数），一是它的方向； 仅仅有数值（可以是任何实数）而没有方向的量称为数量；又称为“标量”；
考点二 向量的表示 （1）或；（2）有向线段
考点三 向量的相关概念 （特殊向量） 1、单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量； 2、零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作； 可认为它具有任意方向； 3、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；向量与相等，记作：；． 4、平行向量或共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量．向量平行于，记作∥； 注意：由于约定了零向量具有任意方向；因此，零向量平行与任意向量；零向量都是相等的； 5、互为负向量：一对平行向量与具有相等的模但方向相反，那么称 它们互为负向量，或者称为的负向量;
说明： 1、向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，而向量的模可以比较大小． 2、任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关． 3、在平面上，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量； 4、有向线段的起、终点决定向量的方向，与表示不同方向的向量； 5、有向线段的长度决定向量的大小，用表示，；
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是（ ）
A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程 D．以上都不对
2、下列说法正确的是(　　)
A．若||＝||，则与的长度相等且方向相同或相反
B．若||＝||，且与的方向相同，则＝
C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上
D．向量与向量平行，则向量与方向相同或相反
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、已知，，若，则________.
4、给出下列各命题：
（1）零向量没有方向； （2）若||＝||，则＝； （3）单位向量都相等；
（4）向量就是有向线段； （5）两相等向量若其起点相同，则终点也相同；
（6）若＝，＝，则＝；（7）若，，则；
（8）若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝.其中正确命题的序号是________________.
5、如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人
从A点沿西偏南________方向行走了________ km.
6、已知A，B，C是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则＝________.
7、给出以下5个条件：
①＝；②||＝||；③与的方向相反；④||＝0或||＝0；⑤与都是单位向量；
其中能使∥成立的是 _(填序号).
8、中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中．若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有________个．
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、“若向量与是共线向量，则四点A，B，C，D必在同一条直线上”这种说法是否正确？为什么？
10、设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
（1）分别找出与，相等的向量；
（2）找出与共线的向量；
（3）找出与模相等的向量；
（4）向量与是否相等？
【教师版】
《第 8 章　平面向量》【8.1.1 向量的概念】
【附录】相关考点
考点一 向量与标量 既有大小又有方向的量叫做向量；准确地说，一个向量由两个要素定义，一是它的大小（一个非负实数），一是它的方向； 仅仅有数值（可以是任何实数）而没有方向的量称为数量；又称为“标量”；
考点二 向量的表示 （1）或；（2）有向线段
考点三 向量的相关概念 （特殊向量） 1、单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量； 2、零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作； 可认为它具有任意方向； 3、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；向量与相等，记作：；． 4、平行向量或共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量．向量平行于，记作∥； 注意：由于约定了零向量具有任意方向；因此，零向量平行与任意向量；零向量都是相等的； 5、互为负向量：一对平行向量与具有相等的模但方向相反，那么称 它们互为负向量，或者称为的负向量;
说明： 1、向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，而向量的模可以比较大小． 2、任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关． 3、在平面上，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量； 4、有向线段的起、终点决定向量的方向，与表示不同方向的向量； 5、有向线段的长度决定向量的大小，用表示，；
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是（ ）
A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程 D．以上都不对
【提示】注意：向量具有：大小与方向；
【答案】C；
【解析】速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小；
【考点】本题考查了生活中的简单的向量问题；
2、下列说法正确的是(　　)
A．若||＝||，则与的长度相等且方向相同或相反
B．若||＝||，且与的方向相同，则＝
C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上
D．向量与向量平行，则向量与方向相同或相反
【提示】注意：理解特殊向量满足的条件；
【答案】B；
【解析】A不正确，由||＝||只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系；
B正确，因为||＝||，且与同向，由两向量相等的条件，可得＝；
C不正确，单位向量的长度为1，由于没有明确起点，所以终点也是不确定的；
D不正确，因为向量与向量若有一个是零向量，则其方向不确定；
【考点】本题综合考查了向量的有关概念及其表示；
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、已知，，若，则________.
【提示】注意：向量模的几何意义；
【答案】 ；
【解析】由勾股定理可知，BC＝＝，所以||＝；
【考点】本题考查了向量的几何表示与模的几何意义；
4、给出下列各命题：
（1）零向量没有方向； （2）若||＝||，则＝； （3）单位向量都相等；
（4）向量就是有向线段； （5）两相等向量若其起点相同，则终点也相同；
（6）若＝，＝，则＝；（7）若，，则；
（8）若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝.其中正确命题的序号是________________.
【提示】依据零向量定义判断（1）；依据向量定义判断（4）；依据向量相等的定义去判断（2）、（3）、（5）、（6）、（8）；依据向量共线定义判断（7）.
【答案】（5），（6）
【解析】
（1）零向量的方向任意.说法错误；
（2）若||＝||，则向量，长度相等，但方向不一定相同.说法错误；
（3）单位向量长度相等，但是方向不一定相同.说法错误；
（4）向量可以用有向线段表示.向量平移后与原向量相等, 有向线段则没有这一性质.说法错误；
（5）相等向量方向相同，长度相等，故相等向量若起点相同，终点必相同.说法正确；
（6）依据等量代换，若＝，＝，则＝.说法正确；
（7）当时，若，，则与不一定平行.说法错误；
（8）若四边形ABCD是平行四边形，则，.说法错误.
故答案为：（5），（6）
【考点】本题考查了向量的定义及其相关概念；注意：
判断一个量是否为向量应从两个方面入手：1、是否有大小；2、是否有方向；
理解零向量和单位向量：1、零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；2、单位向量不一定相等，易忽略向量的方向；
5、如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人
从A点沿西偏南________方向行走了________ km.
【提示】注意：结合实际问题明确大小与方向；
【答案】60°；2 km；
【解析】由题图可知，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从A点沿西偏南60°的方向行走了2 km.
【考点】结合实际问题理解向量的定义；
6、已知A，B，C是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则＝________.
【提示】注意：数形结合理解“平行（又称共线）向量”；
【答案】；
【解析】与不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行；
【考点】本题考查了特殊向量与向量的几何表示；
7、给出以下5个条件：
①＝；②||＝||；③与的方向相反；④||＝0或||＝0；⑤与都是单位向量；
其中能使∥成立的是 _(填序号).
【提示】注意：理解与应用平行（共线）向量；
【答案】①③④；
【解析】相等向量一定是共线向量，①能使∥；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使∥；零向量与任意向量平行，④成立；
【考点】本题考查了平行（共线）向量及与其他特殊向量的联系；
8、中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中．若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有________个．
【提示】注意：理解马走“日”字与向量的关联；
【答案】11；
【解析】如图，以B点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个．所以共有11个；
【考点】本题综合考查了向量的定义与初步应用；
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、“若向量与是共线向量，则四点A，B，C，D必在同一条直线上”这种说法是否正确？为什么？
【提示】注意：理解共线向量；
【答案】不正确；
【解析】因为与是共线向量，说明两向量方向相同或相反，但并不一定有A，B，C，D四点共线．
【考点】本题易在对共线向量的理解上出现问题，与平行直线概念混淆. 事实上，共线向量所在的直线可以平行，也可以重合；
10、设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
（1）分别找出与，相等的向量；
（2）找出与共线的向量；
（3）找出与模相等的向量；
（4）向量与是否相等？
【提示】注意：数形结合地理解向量的定义、特殊向量；
【解析】（1）＝，＝；
（2）与共线的向量有：，，；
（3）与模相等的向量有：，，，，，，；
（4）向量与不相等，因为它们的方向不相同；
【考点】本题综合考查了向量的定义、表示及其特殊向量；