沪教版（2020）数学必修第二册 8.1.2 向量的加法与减法 测试题（含解析）

【学生版】
《第 8 章　平面向量》【8.1.2 向量的加法与减法】
【附录】相关考点
考点一 向量的加法 求两个向量和的运算，叫做向量的加法；
考点二 向量加法的法则 三角形法则： 已知非零向量，， 在平面内取任意一点， 作，，则向量叫做与的和，记作； 即； 平行四边形法则： 已知非零向量，，在平面内取任意一点， 作，，以，为邻边作平行四边形， 作出向量，因为， 因此，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则；
考点三 向量加法的运算律 交换律：； 结合律：；
考点四 向量的减法 1、定义：向量加上的相反向量，叫做与的差， 即； 求两个向量差的运算叫做向量的减法． 2、作法：在平面内任取一点， 作，，则； 如图所示； 3、几何意义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量． 【注意】 （1）向量减法的实质是向量加法的逆运算； 利用相反向量的定义，；就可以把向量的减法转化为加法； （2）向量减法满足三角形法则，在用三角形法则作向量减法时， 要谨记“共起点，连终点，指向被减”原则；解题时要结合图形，准确判断，防止混淆；
注意： 1、对于零向量与任意向量，我们规定：； 2、三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和； 3、用交换律、结合律可以将多个向量相加转化为首尾相接的形式，实现简化运算； 如＋＋＝＋＋＝ 4、与，有什么关系？ 答案：（1）当向量与不共线时，的方向与，不同，且； （2）当与同向时，，，同向，且； （3）当与反向时，若，则的方向与相同，且； 若，则的方向与相同，且；. 5、关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用. 6、向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”；
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、化简＋＋等于(　 　)
A． B． C． D．
2、下列等式不正确的是(　　)
①＋(＋)＝(＋)＋；
②＋＝0；
③＝＋＋.
A．②③ B．② C．① D．③
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、化简＋＋等于
【提示】注意：“首尾”相接；
【答案】；
【解析】＋＋＝＋＝；
【考点】本题考查了向量的加法的符号表示及其“特点”；
4、如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于
5、如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为
6、已知＝，＝，＝，＝，＝，则＋＋＋＝________.
7、若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是
8、如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N，
绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N.则F1和F2的合力为________ N.
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、（1）如图①所示，求作向量；
（2）如图②所示，求作向量；
10、化简：（1）(－)－(－)；（2）(＋＋)－(－－).
【教师版】
《第 8 章　平面向量》【8.1.2 向量的加法与减法】
【附录】相关考点
考点一 向量的加法 求两个向量和的运算，叫做向量的加法；
考点二 向量加法的法则 三角形法则： 已知非零向量，， 在平面内取任意一点， 作，，则向量叫做与的和，记作； 即； 平行四边形法则： 已知非零向量，，在平面内取任意一点， 作，，以，为邻边作平行四边形， 作出向量，因为， 因此，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则；
考点三 向量加法的运算律 交换律：； 结合律：；
考点四 向量的减法 1、定义：向量加上的相反向量，叫做与的差， 即； 求两个向量差的运算叫做向量的减法． 2、作法：在平面内任取一点， 作，，则； 如图所示； 3、几何意义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量． 【注意】 （1）向量减法的实质是向量加法的逆运算； 利用相反向量的定义，；就可以把向量的减法转化为加法； （2）向量减法满足三角形法则，在用三角形法则作向量减法时， 要谨记“共起点，连终点，指向被减”原则；解题时要结合图形，准确判断，防止混淆；
注意： 1、对于零向量与任意向量，我们规定：； 2、三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和； 3、用交换律、结合律可以将多个向量相加转化为首尾相接的形式，实现简化运算； 如＋＋＝＋＋＝ 4、与，有什么关系？ 答案：（1）当向量与不共线时，的方向与，不同，且； （2）当与同向时，，，同向，且； （3）当与反向时，若，则的方向与相同，且； 若，则的方向与相同，且；. 5、关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用. 6、向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”；
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、化简＋＋等于(　 　)
A． B． C． D．
【提示】注意：向量的符号表示：起点、终点；
【答案】C；
【解析】根据平面向量的加法运算，
得＋＋＝(＋)＋＝＋＝；
【考点】本题考查了对平面向量的加法运算的符号表示的理解与应用，关键是“首尾”相连；
2、下列等式不正确的是(　　)
①＋(＋)＝(＋)＋；
②＋＝0；
③＝＋＋.
A．②③ B．② C．① D．③
【提示】注意：向量的解法；
【答案】B；
【解析】②错误，＋＝，①③正确；
【考点】本题考查了向量解法及其运算律；
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、化简＋＋等于
【提示】注意：“首尾”相接；
【答案】；
【解析】＋＋＝＋＝；
【考点】本题考查了向量的加法的符号表示及其“特点”；
4、如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于
【提示】注意：结合向量相等与数形结合；
【答案】；
【解析】＋＋＝＋＋＝＋＝；
【考点】本题综合考查了正六边形的几何性质、向量相等与向量的加法运算；
5、如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为
【提示】注意：数形结合与平面几何的性质；
【答案】；
【解析】＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝；
【考点】本题综合考查向量相等与向量的加减法运算；向量加减法化简的两种形式：①首尾相连且为和；②起点相同且为差；解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用
6、已知＝，＝，＝，＝，＝，则＋＋＋＝________.
【提示】注意：转化为向量的符号表示中的“起点终点”表示法；
【答案】；
【解析】＋＋＋＝＋＋＋＝＝；
【考点】本题考查了向量的加法的符号表示；
7、若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是
【提示】注意：结合向量的加法的平行四边形法则；
【答案】等腰直角三角形；
【解析】以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，
因为AB＝AC＝1，AD＝，所以，∠ABD为直角，该四边形为正方形，
所以∠BAC＝90°，△ABC为等腰直角三角形；
【考点】本题综合考查了向量的平行四边形法则及向量的大小的几何意义；
8、如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N，
绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N.则F1和F2的合力为________ N.
【提示】注意：转化为向量的几何表示；
【答案】12；
【解析】如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝.
在△OCA中，||＝24，
||＝12，∠OAC＝60°，
∴∠OCA＝90°，∴||＝12.
∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为与F2成90°角，竖直向上；
【考点】本题考查了向量运算的几何意义与实际应用；
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、（1）如图①所示，求作向量；
（2）如图②所示，求作向量；
【提示】注意：题设“作”；
【解析】（1）首先作向量＝，然后作向量＝，则向量＝，如图③所示.
（2）方法1、三角形法则)如图④所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝，再作向量＝，则得向量＝，然后作向量＝，则向量＝即为所求.
　　　
方法2、(平行四边形法则)如图⑤所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝，＝，＝，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
则＝＋＝；
再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，
则＝＋＝即为所求；
【考点】向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别 联系
三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和
10、化简：（1）(－)－(－)；（2）(＋＋)－(－－).
【解析】（1）(－)－(－)＝－＝；
（2）(＋＋)－(－－)
＝＋－＋(＋)
＝＋－＋＝－＋
＝＋＋＝＋＝；
【考点】1、向量加减法运算的基本方法：（1）利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；（2）运用减法公式－＝（正用或逆用）；（3）运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题；
2、向量加减法运算结果仍然是向量；