上海市崇明区横沙中学2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年上海市崇明区横沙中学八年级（上）期末数学试卷
副标题
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）
下列方程中，属于一元二次方程的是
A. B.
C. D.
反比例函数的图象在第二、四象限内，则点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
下列二次根式中，属于最简二次根式的是
A. B. C. D.
下列命题的逆命题中，真命题有
全等三角形的对应角相等；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
关于某一条直线对称的两个三角形全等；
等腰三角形的两个底角相等．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共14小题，共28.0分）
计算：______．
方程的根是______．
二次根式的有理化因式可以是______．
当时，化简______．
如果是方程的一个根，那么代数式的值为______．
如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是______．
在实数范围内分解因式：______．
函数：的定义域是______．
到定点的距离等于的点的轨迹是______ ．
在直角坐标平面内，已知点、，且，那么的值是______．
在中，，是边上的中线，如果，那么：的值是______．
如图，在中，，，斜边的垂直平分线交边于点，垂足为点，取线段的中点，联结，如果，则______．
在证明“勾股定理”时，可以将个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图所示，如果小正方形的面积是，大正方形的面积为，那么
______．
如图，在中，，，将绕顶点顺时针旋转，得到，点、分别与点、对应，边分别交边、于点、，如果点是边的中点，那么______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
计算：．
四、解答题（本大题共7小题，共54.0分）
解方程：．
已知关于的一元二次方程．
如果方程的根的判别式的值为，求的值；
如果方程有两个实数根，求的取值范围．
已知：如图，，，，求证：．
如图，点的坐标是，过点作轴的平行线交轴于点，交双曲线于点，作交双曲线于点，联结已知．
求的值；
求的面积．
如图，在四边形中，，对角线与相交于点，、分别是边、的中点．
求证：；
当，时，求的长．
甲、乙两队参加赛龙舟比赛，上午时同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程千米与时间小时的函数关系如图所示．甲队在上午时分到达终点．
______先到达终点，时间相差______小时；
比赛中______的速度始终保持不变，为______千米小时；
比赛行程总长为______千米；小时后两者距离______千米．
如图，在中，，，，点是边上的动点点与点不重合，是边上的动点，且，，交边于点．
求证：；
若，，求关于的函数关系式并写出定义域；
延长交的延长线于点，联结，若与全等，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，是一元一次方程，故A不符合题意；
B.是分式方程，故B不符合题意；
C.方程整理可得，是一元一次方程，故C不符合题意；
D.是一元二次方程，故D符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
2.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象在第二、四象限内，
，
点的横纵坐标都为负，
点在第三象限，
故选：．
根据反比例函数的性质，结合反比例函数图象所在象限，求出的取值范围，再由点的坐标特点，确定点所在象限．
本题主要考查了反比例函数的性质，象限内点的坐标特征，关键是根据反比例函数图象的位置确定的取值范围．
3.【答案】
【解析】解：、是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：．
利用最简二次根式的定义：被开方数不含分母，分母中不含根号，且被开方数不含能开的尽方的因数，判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题为一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，正确，是真命题，符合题意；
关于某一条直线对称的两个三角形全等的逆命题为全等的两个三角形关于某条直线对称，错误，是假命题，不符合题意；
等腰三角形的两个底角相等的逆命题为两角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意．
真命题有个，
故选：．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出原命题的逆命题，难度不大．
5.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：．
先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
6.【答案】，
【解析】解：，
，
，
，，
，，
故答案为：，．
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．
7.【答案】
【解析】解：，
的有理化因式为，
故答案为：．
运用平方差公式可找到的有理化因式．
本题考查了有理化因式，解题的关键是两个含有根号的代数式相乘，使它们的积不含有根式．
8.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先判断出，再根据二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，根据的取值范围判断出是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：把代入方程，得到，
所以代数式；
故答案为：．
先把代入方程，得到，再代入代数式，即可求出答案．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10.【答案】
【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
先把前面两项配成完全平方式，然后根据平分差公式进行因式分解即可．
本题考查了利用公式进行因式分解的方法：把整式先配成完全平分式或平分差的形式，然后利用公式法进行因式分解．
【解答】
解：，
，
，
故答案为：
12.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于，可知：，解得的范围．
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
13.【答案】以为圆心，以为半径的圆
【解析】解：到定点的距离等于的点的轨迹是：以为圆心，以为半径的圆．
故答案是：以为圆心，以为半径的圆．
根据圆的定义即可判断．
本题主要考查了圆的定义，正确理解定义是关键．
14.【答案】
【解析】解：、，
，
，
，
解得，
故答案为：．
结合两点间的距离公式根据的长列等式，计算可求解的值．
本题主要考查两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式是解题的关键．
15.【答案】：．
【解析】解：如图，
是边上的中线，
，
，
，
即：：，
故答案为：：．
根据中线的定义可得，结合可求解：的值．
本题主要考查直角三角形斜边上的中线，求解与的关系是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：连接，
是的垂直平分线，
，，
，
，
是的中点，
，
中，，
，
．
故答案为：．
连接，先根据线段垂直平分线的性质得：，再利用直角三角形斜边中线的性质得：与的关系，最后根据直角三角形度的性质得和的关系，从而得出结论．
本题考查了含度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线及线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：小正方形的面积是，
，
≌，
，
大正方形的面积为，
，
，
设，
则，
在中：，
解得：，，
当时，，
当时，，
，
，，
，
故答案为：．
首先求出小正方形的边长和大正方形的边长然后再求出和的长，进而可得的值．
此题主要考查了勾股定理和锐角三角形函数，关键是掌握勾股定理的应用．
18.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
设，
在中，，
，
，
将绕顶点顺时针旋转，得到，
，，，
在中，点是边的中点，
，
是等边三角形，，
，
，
，
，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作于点，设，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出，的长，根据旋转的性质得到，，，根据直角三角形斜边中线的性质得到，进而得到是等边三角形，，得到，根据三角形的外角的性质得到，根据等腰三角形的三线合一的性质和勾股定理计算出的长，进而得到的长，计算比值即可．
本题考查了含度角的直角三角形，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形斜边中线定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
19.【答案】解：
．
【解析】根据单项式乘多项式、分母有理化，二次根式的平方可以将题目中的式子化简．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：，
，
，
，
，，，
，
，
，．
【解析】先把方程化为一般式得到，再用公式法进行求解即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21.【答案】解：方程化为：，
根据题意得，
解得；
根据题意得且，
解得且，
即的取值范围为且．
【解析】先把方程化为一般式，再根据根的判别式的定义得到，然后解关于的方程即可；
利用判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
22.【答案】证明：在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，
．
【解析】根据证明≌，得出再由可推出，最后根据外角的性质即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：点的坐标为，
，．
，
，
点的坐标为．
把代入中，得．
，
．
当时，．
．
．
【解析】根据的坐标为，先求出点的坐标为，从而求出．
由可求得反比例函数的解析式根据点的横坐标求出其纵坐标，得出，从而求得．
主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数中的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
24.【答案】证明：连接、．
在和中，，是边的中点，
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
是的中点，
；
解：，，、分别是边、的中点．
，；
在中，勾股定理．
【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定，从而推知点是边上的中点，所以是的中垂线；
在中，利用勾股定理求得的长．
本题综合考查了直角三角形斜边上的中线、勾股定理．解题时，通过作辅助线、构建了直角三角形斜边上的中线，然后利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”来解答问题．
25.【答案】乙 乙
【解析】解：折线表示甲的路线，直线表示乙的路线，所以乙先到达终点．
因为乙的速度为千米小时，路程为千米，
所以乙到达终点用时小时．
因为甲用时小时，所以时间相差小时，
故答案为：乙，；
线段表示乙运动路线，做匀速直线运动，速度不变，
运动小时路程为千米，所以速度是千米小时．
故答案为：乙，；
比赛行程总长是千米，小时后两者距离为千米．
故答案为：，．
通过观察图示易知：比赛路程为千米；折线表示甲的路线，作变速运动；直线表示乙的路线，作匀速运动；出发小时后甲领先乙千米．根据信息解答问题．
此题考查一次函数的应用，关键在能从图象中获取相关信息，综合性较强．
26.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，过点作垂足为点，
在中，，，
，
，
，
，，
，
在中，，
，
根据勾股定理得，，
，
，
，
，
解得：，
；
解：≌，
，
点与点重合，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，即，
解得：，
答：线段的长为．
【解析】根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
过点作垂足为点，根据直角三角形的性质求出，得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，计算即可；
根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质定理是解题关键．
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