江苏省洪泽中学2012-2013学年度高一上学期期末考试数学试题

洪泽中学2012-2013学年度高一上学期期末考试数学试题
一、填空题
1．在中，已知分别所对的边，为的面积，若，满足，则
2．已知，则的范围是____________
3．已知下列命题：①②函数的图象向左平移1个单位后得到的函数图象解析式为；③函数满足，则函数的图象关于直线对称；④满足条件的三角形有两个，其中正确命题的序号是　　　　　　　　　　　　。
4．已知数列的通项，则其前项和 ．
5．设函数f(x)＝，g(x)＝x2f(x－1)，
则函数g(x)的递减区间是________
6．若不等式的解为则 , .
7．在平行六面体中，，，，则的长为．
8．圆与直线的位置关系是 ．(相交、相切、相离)
9．空间四边形中，， ，，则<>的值是
10．已知函数的图象如图所示，它与直线在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则的值为
11．已知函数，则满足的的取值范围为 .
12．已知双曲线C：的右焦点为，过的直线与C交于两点，若，则满足条件的的条数为 .
13．过点总可作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是 .
14．在中，已知，b，c是角A、B、C的对应边，则
①若，则在R上是增函数；
②若，则ABC是；
③的最小值为；
④若，则A=B；⑤若，则，
其中错误命题的序号是_____
二、解答题
15．某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人.
(1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?
(2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率.
16． 2012年春晚歌舞类节目成为春晚顶梁柱，尤其是不少创意组合都被网友称赞很有新意.王力宏和李云迪的钢琴PK，加上背景板的黑白键盘，更被网友称赞是行云流水的感觉.某网站从2012年1月23号到1月30做了持续一周的在线调查，共有n人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示.
序号
年龄分组
组中值
频数（人数）
频率（f）
1
[20,25)
22.5
x
s
2
[25,30)
27.5
800
t
3
[30,35)
32.5
y
0.40
4
[35,40)
37.5
1600
0.32
5
[40,45)
42.5
z
0.04
(1)求n及表中x,y,z,s,t的值
(2)为了对数据进行分析，采用了计算机辅助计算，分析其中一部分计算，见算法流程图，求输出的S值，并说
明S的统计意义.
（3）从年龄在[20,30）岁人群中采用分层抽样法抽取6人参加元宵晚会活动，其中选取2人作为代表发言，求选取2名代表中恰有1人年龄在[25,30）岁的概率.
17．如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，? （I）求证：（I）AC⊥BC1；?
（II）求证：AC 1//平面CDB1；
18． 数列中，是函数 的极小值点，且
（1）求的通项公式；
（2）记为数列的前项和，试比较与的大小关系.
19．（本题满分9分）
在中，，为线段BC的垂直平分线，与BC交与点D，E为上异于D的任意一点，
⑴求的值。
⑵判断的值是否为一个常数，并说明理由。
20．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．

（1）求证：EF ∥平面CB1D1；
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
参考答案
1．
2．
3．③
4．
5．(0,1)
6． －6 , 1
7．
8．
9．
10．-2
11．
12．
13．或
14．③⑤
15．(Ⅰ) 22人，24人，26人，28人 (Ⅱ) 0.75
16．（1）n==5000,x=5000-(800+2000+1600+200)=400,
y=5000×0.40=2000,z=5000×0.04=200,s==0.08,t==0.16
(2)S＝22.5×0.08+27.5×0.16+32.5×0.40+37.5×0.32+42.5×0.04=32.9;
S的统计意义即是指参加调查者的平均年龄.
（3）。
17．解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，
∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；
（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴ DE//AC1，∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1；
解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）
（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴?＝0，∴AC⊥BC1.
（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1.
面面平行线面平行线线平行；
主要依据是有关定义及判定定理和性质定理．?
?
?
18．（1）；（2）.
第一问利用函数的极值概念得到，从而得到递推关系式即
第二问中当时， ………1分
猜想≥6时，，然后运用数学归纳法证明。
解：（1）由题意得:. ………1分
得:,可得,即.………3分
(2), 当时， ………1分
猜想≥6时， ………1分
下用数学归纳法证明
①当,,成立.
②假设当(时不等式成立,即,那么………1分
,即当时,不等式也成立, ………2分
由①、②可得：对于所有的都有成立．………1分
19．（1） =
（2） 为常数。
【解析】本试题主要是结合了平面向量的基本定理表示未知向量，然后结合已知的长度和角度得到证明。并能利用平面直角坐标系表示数量积来得到。或者运用向量的基本定理表示得到证明。
（1）第一问利用平面向量基本定理表示出利用已知中的长度和角度得到结论。
（2）利用设出平面坐标系来表示点，然后借助于向量的数量积得到结论。
解法1：（1）因为又可知
由已知可得，，
= …………4分
（2）的值为一个常数
L为L为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，
故 = ……9分
解法2：（1）以D点为原点，BC所在直线为X轴，L所在直线为Y轴建立直角坐标系，可求A（），此时， ……4分
（2）设E点坐标为（0，y）(y0),此时
此时 为常数。……9分
20．（1）见解析；（2）见解析。
【解析】
试题分析：（1）连结BD
在正方体中，对角线.
又 E、F为棱AD、AB的中点，
. .
又B1D1平面，平面，
EF∥平面CB1D1.
（2） 在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，
AA1⊥B1D1.
又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
B1D1⊥平面CAA1C1. 又 B1D1平面CB1D1，
平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
考点：线面垂直的判定定理；面面垂直的判定定理。
点评：本题第一问的关键是证得B1D1∥EF；第二问的关键是熟练掌握空间中线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化。