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全等三角形的判定与性质
教学内容
1、两角一边；
2、两边一夹角；
3、全等三角形的性质．
教学过程
考点一:两角一边
诊断．（2017 南山区三模）如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．
求证：△ABF≌△EDF．
【解答】证明：由折叠可知，CD＝ED，∠E＝∠C．
在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．
∴AB＝ED，∠A＝∠E．
在△AFB与△EFD中，，
∴△AFB≌△EFD（AAS）．
内化1-1．（2017 龙华区二模）如图，已知矩形ABCD 中，E、F分别为BC、AD 上的点，将四边形ABEF沿直线EF折叠后，点B 落在CD 边上的点G处，点A的对应点为点H．再将折叠后的图形展开，连接BF、GF、BG，若BF⊥GF．
求证：△ABF≌△DFG．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠ABF＝90°，
∵BF⊥GF，∴∠AFB+∠DFG＝90°，∴∠ABF＝∠DFG，由折叠知BF＝GF，
在△ABF和△DFG中，，∴△ABF≌△DFG（AAS）；
内化1-2．（2018 宝安区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFG和正方形BCDE，过点D做FC的延长线的垂线，垂足为点H．
求证：△ABC≌△HDC．
【解答】解：（1）∵四边形BCDE是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵四边形ACFG是正方形，∴CF＝AG＝AC，∠ACF＝∠ACH＝90°，
∴∠ACB＝∠HCD，∵DH⊥CF，∴∠H＝90°＝∠BAC，
在△ABC和△HDC中，，∴△ABC≌△HDC；
考点二:两边一夹角
诊断．（2021秋 龙岗区校级期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
求证：△AFD≌△CEB．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，
又∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE＝BE＝AB，CF＝DF＝CD，
∴BE＝DF，AE＝CF，
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（SAS）；
内化1-1．（2020春 罗湖校级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE．
求证：△ADE≌△BDF．
【解答】证明：（1）∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，
在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（SAS）；
内化1-2．（2019春 南山区校级期中）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
求证：△ABC≌△ADE．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
考点三:全等三角形的性质
诊断．（2020 大鹏新区一模）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．
求∠AEG的度数．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠BCF＝90°，
在△ABE和△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，
∵EG∥BF，
∴∠CBF＝∠CEG，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CEG+∠BEA＝90°，
∴AE⊥EG，
∴∠AEG的度数为90°；
内化1-1．（2021 龙华校级期中）已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC和DC边上的点，且EC＝FC．
求证：∠AEF＝∠AFE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，BC＝DC，∠B＝∠D，
∵EC＝FC，∴BE＝DF，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE．
内化1-2．（2021 罗湖区三模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．过点O作BD的垂线，交BA延长线于点E，交AD于F，交BC于点N，若EF＝OF．
求证：EF＝EN．
【解答】证明：（1）如图所示；
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝OC，BO＝OD，∴∠DAO＝∠BCO，
在△AOF与△CON中，，∴△AOF≌△CON（ASA），
∴OF＝ON，∵EF＝OF，∴EF＝EN；
挑战过关
1．（2020秋 坪山期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）若AB＝6，DF＝3EF，求矩形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°．
∴∠AEB＝∠DAF．∵AE＝BC，∴AE＝AD．∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°．
∴∠B＝∠AFD，
∴△ABE≌△DFA （AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DFA，
∴DF＝AB＝6，
∵DF＝3EF，
∴EF＝DF＝6＝2，
∴AF＝AE﹣2＝AD﹣2，
在Rt△AFD中，AD2＝DF2+AF2，
∴AD2＝62+（AD﹣2）2，
解方程，得AD＝10，
∴S矩形ABCD＝6×10＝60．
2．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝9，AD＝6，求AF的长．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA）；
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝9，AD＝DC＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝3，
∴AF＝AD﹣DF＝6﹣3＝3．
3．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，
∵DE＝CF，∴AE＝DF，在△BAE和△ADF中，，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE＝AF；
（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵AB＝4，DE＝1，
∴AE＝3，
∴BE＝＝＝5，
在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，
∴AG＝＝．
4．（2018 龙华区二模）如图，已知平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接AC．
（1）求证：AD＝CF；
（2）若AB⊥AF，且AB＝6，BC＝4，求sin∠ACE的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠D＝∠ECF，∠DAE＝∠F，
∵E是CD的中点
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS）
∴AD＝CF，
（2）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC＝4
∵△ADE≌△FCE∴AD＝CF＝BC＝4，
∵AB⊥AF∴AC＝BF＝4 AF＝
∴AE＝EF＝AF＝
∵AB∥CD，
∴CD⊥AF
∴sin∠ACE＝．
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全等三角形的判定与性质
教学内容
1、两角一边；
2、两边一夹角；
3、全等三角形的性质．
教学过程
考点一:两角一边
诊断．（2017 南山区三模）如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．
求证：△ABF≌△EDF．
内化1-1．（2017 龙华区二模）如图，已知矩形ABCD 中，E、F分别为BC、AD 上的点，将四边形ABEF沿直线EF折叠后，点B 落在CD 边上的点G处，点A的对应点为点H．再将折叠后的图形展开，连接BF、GF、BG，若BF⊥GF．
求证：△ABF≌△DFG．
内化1-2．（2018 宝安区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFG和正方形BCDE，过点D做FC的延长线的垂线，垂足为点H．
求证：△ABC≌△HDC．
考点二:两边一夹角
诊断．（2021秋 龙岗区校级期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
求证：△AFD≌△CEB．
内化1-1．（2020春 罗湖校级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE．
求证：△ADE≌△BDF．
内化1-2．（2019春 南山区校级期中）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
求证：△ABC≌△ADE．
考点三:全等三角形的性质
诊断．（2020 大鹏新区一模）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．
求∠AEG的度数．
内化1-1．（2021 龙华校级期中）已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC和DC边上的点，且EC＝FC．
求证：∠AEF＝∠AFE．
内化1-2．（2021 深圳三模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．过点O作BD的垂线，交BA延长线于点E，交AD于F，交BC于点N，若EF＝OF．
求证：EF＝EN．
挑战过关
1．（2020秋 坪山期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）若AB＝6，DF＝3EF，求矩形ABCD的面积．
2．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝9，AD＝6，求AF的长．
3．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
4．（2018 龙华区二模）如图，已知平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接AC．
（1）求证：AD＝CF；
（2）若AB⊥AF，且AB＝6，BC＝4，求sin∠ACE的值．
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