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相似三角形的判定与性质
教学内容
1、AA；
2、SAS；
3、相似三角形的性质．
教学过程
考点一:AA
诊断．（2020 龙岗区校级模拟）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．
求证：△ADE∽△ABC．
内化1-1．（2019秋 深圳中学期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D．
求证：△ABF∽△BEC．
内化1-2．（2021秋 龙岗区校级月考）如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．
求证：△ABC∽△DEC．
考点二:SAS
诊断．（2021秋 罗湖区期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，，∠BAD＝∠CAE．
求证：△BAC∽△DAE．
内化1-1．（2019秋 南外校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．
求证：△ADC∽△ACB．
内化1-2．（2021春 福田区校级月考）如图，在△ABC中，点D、G在边AC上，点E在边BC上，DB＝DC，EG∥AB，AE、BD交于点F，BF＝AG．
求证：△BFE∽△CGE．
考点三:相似三角形的性质
诊断．（2021 罗湖区）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB．
求证：．
内化1-1．（2019 福田区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC为半径作弧（MCN），再以点C为圆心，任意长为半径作弧，交前弧于M、N两点，射线BM、BN分别交直线AC于点D、E．
（1）求证：AC2＝AD AE；
（2）若BM⊥AC，且CD＝2，AD＝3，求△ABE的面积．
内化1-2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）求证：．
挑战过关
1．（2019 罗湖区一模）如图，D、E、F分别是△ABC的边BC．AB．AC上的点，EF∥BC，AD与EF相交于点G，AD＝10，BC＝8．
（1）若DG＝5，求EF的长；
（2）在上述线段EF的平移过程中，设DG＝x，EF＝y，试求y与x之间的函数关系式．
2．（2021 光明区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，M为AB的中点，点P是BC边上一点（不与B，C重合），连接MP，PF⊥MP交CD于点F．点B，B'关于MP对称，点C，C′关于PF对称，连接B'C．
（1）求证：△PFC∽△MPB．
（2）①当BP＝2时，B'C'＝ ；
②求B'C的最小值．
（3）是否存在点P，使点B'，C′重合？若存在，请求出此时M，F的距离；若不存在，请说明理由．
3．（2019 宝安区二模）如图1，正△ABC中，点D为BC边的中点，将∠ACB绕点C顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，点P为线段A′C上的一点，连接PD与B′C、AC分别交于点E、F，且∠PAC＝∠EDC．
（1）求证：AP＝2ED；
（2）猜想PA和PC的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，连接AD交B'C于点G，若AP＝2，PC＝4，求AG的长．
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相似三角形的判定与性质
教学内容
1、AA；
2、SAS；
3、相似三角形的性质．
教学过程
考点一:AA
诊断．（2020 龙岗区校级模拟）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．求证：△ADE∽△ABC．
【解答】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°，
∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB，∵∠EAD＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，
内化1-1．（2019秋 深圳中学期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D．求证：△ABF∽△BEC．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠D+∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC，∵∠AFB+∠AFE＝180°，∴∠C＝∠AFB，∴△ABF∽△BEC．
内化1-2．（2021秋 龙岗区校级月考）如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．求证：△ABC∽△DEC．
【解答】（1）证明：∵DC⊥CE，∴∠DCE＝90°，∵AC∥DE，∴∠A＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△DEC；
考点二:SAS
诊断．（2021秋 罗湖区期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，，∠BAD＝∠CAE．
求证：△BAC∽△DAE．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，即∠BAC＝∠DAE，
∵＝，∴＝，∴△BAC∽△DAE；
内化1-1．（2019秋 南外校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．求证：△ADC∽△ACB．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，
∵AC2＝AB AD，∴＝，∴△ADC∽△ACB；
内化1-2．（2021春 福田区校级月考）如图，在△ABC中，点D、G在边AC上，点E在边BC上，DB＝DC，EG∥AB，AE、BD交于点F，BF＝AG．求证：△BFE∽△CGE．
【解答】证明：（1）∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，
∵EG∥AB，∴，∵BF＝AG，∴，∴△BFE △CGE；
考点三:相似三角形的性质
诊断．（2021 罗湖区）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB．
求证：．
【解答】证明：（1）∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABE，
又∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABE＝∠ACB，
又∵∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴＝，
又∵AB＝AD，
∴＝；
内化1-1．（2019 福田区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC为半径作弧（MCN），再以点C为圆心，任意长为半径作弧，交前弧于M、N两点，射线BM、BN分别交直线AC于点D、E．
（1）求证：AC2＝AD AE；
（2）若BM⊥AC，且CD＝2，AD＝3，求△ABE的面积．
【解答】证明：（1）连接CM，CN，由作图可知：BM＝BN，CM＝CN，
∵BC＝BC，∴△BCM≌△BCN（SSS），∴∠CBM＝∠CBN，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD+∠CBD＝∠CBE+∠E，∴∠ABD＝∠E，
∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△AEB，∴＝，∴AB2＝AD AE．
∵AB＝AC，∴AC2＝AD AE．
（2）解：∵AD＝3，CD＝2，∴AC＝AB＝5，∵AB2＝AD AE，∴AE＝，
在Rt△ABD中．BD＝＝4，∴S△ABE＝ AE BD＝×4×＝．
内化1-2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）求证：．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD为AB边上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，
∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∴△AEB∽△CFB．
（2）证明：∵∠ABE＝∠CBE，∠A＝∠BCD，∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CEF＝∠A+∠ABE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，
∵△AEB∽△CFB，∴＝，∴＝．
挑战过关
1．（2019 罗湖区一模）如图，D、E、F分别是△ABC的边BC．AB．AC上的点，EF∥BC，AD与EF相交于点G，AD＝10，BC＝8．
（1）若DG＝5，求EF的长；
（2）在上述线段EF的平移过程中，设DG＝x，EF＝y，试求y与x之间的函数关系式．
【解答】解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，
∴＝，＝，
∴＝，
∵AD＝10，BC＝8，DG＝5，
∴＝，
∴EF＝4；
（2）由（1）得，＝，
∵AD＝10，BC＝8，DG＝x，EF＝y，
∴＝，∴y＝﹣x+8，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+8．
2．（2021 光明区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，M为AB的中点，点P是BC边上一点（不与B，C重合），连接MP，PF⊥MP交CD于点F．点B，B'关于MP对称，点C，C′关于PF对称，连接B'C．
（1）求证：△PFC∽△MPB．
（2）①当BP＝2时，B'C'＝ ；
②求B'C的最小值．
（3）是否存在点P，使点B'，C′重合？若存在，请求出此时M，F的距离；若不存在，请说明理由．
【解答】证明：（1）∵PF⊥MP，∴∠FPC+∠MPB＝90°，
∵∠PMB+∠MPB＝90°，∴∠FPC＝∠PMB，∴△PFC∽△MPB；
（2）①如图1，连接B'P，C'P，
∵BP＝2，∴PC＝3，∵点B，B'关于MP对称，点C，C′关于PF对称，
∴BP＝B'P＝2，CP＝C'P＝3，∠BPM＝∠B'PM，∠CPF＝∠C'PF，
∵∠BPC＝180°，∴∠MPB'+∠FPC'＝90°，又∵∠MPF＝90°，∴PB'与PC'共线，
∴B'C'＝1，故答案为1；
②如图2，连接MB'，CM，
∵M为AB的中点，∴MB＝MB'＝2，∴点B'在以点M为圆心，2为半径的圆上，
∴当点B'在线段CM上时，CB'有最小值，∵CM＝＝＝，
∴CB'的最小值＝﹣2；
（3）存在，理由如下：
如图4，设B'，C'重合点为N，连接PN，MN，NF，
∵点B，N关于MP对称，点C，N关于PF对称，
∴BP＝PN，PC＝PN，MN＝BM＝2，FN＝CF，∠B＝∠MNP＝90°，∠C＝∠PNF＝90°，
∴点M，点N，点F三点共线，PB＝PC＝PN＝，
∵∠MPF＝90°，∴∠MPB+∠FPC＝90°+∠MPB+∠BMP，∴∠BMP＝∠FPC，
又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BMP∽△CPF，∴，∴CF＝＝，
∴MF＝MN+NF＝2+＝．
3．（2019 宝安区二模）如图1，正△ABC中，点D为BC边的中点，将∠ACB绕点C顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，点P为线段A′C上的一点，连接PD与B′C、AC分别交于点E、F，且∠PAC＝∠EDC．（1）求证：AP＝2ED；（2）猜想PA和PC的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，连接AD交B'C于点G，若AP＝2，PC＝4，求AG的长．
【解答】（1）证明：∵将∠ACB绕点C顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，
∴∠DCE＝∠ACP，∵∠PAC＝∠EDC，∴△CDE∽△CAP，∴＝，
∵△ABC 是等边三角形，∴BC＝AC，∴点D为BC边的中点，∴CD＝BC＝AC，
∴＝＝，∴AP＝2ED；
（2）解：PA⊥PC，理由：连接AD，如图1，∵△ABC是等边三角形，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠PAC＝∠EDC，∴A、D、C、P四点共圆，
∵∠ADC＝90°，∴AC是共圆的直径，∴∠APC＝90°，∴PA⊥PC；
（3）解：如图2，∵AP＝2，PC＝4，∠APC＝90°，∴AC＝＝2，
∴DC＝AC＝，AD＝AC＝∵AP＝2ED，∴ED＝1，
∵△CDE∽△CAP，∴∠CED＝∠APC＝90°，∴CE＝＝2，
∵∠EDG+∠EDC＝90°∠EDC+∠ECD＝90°，∴∠EDG＝∠ECD，
∵∠CED＝∠DEG＝90°，∴△EDG∽△ECD，∴＝，
∴GD＝＝＝，∴AG＝AD﹣GD＝﹣．
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